Embed Size (px)
Citation preview
1 PIRMYK�T E FUNKCIJA
1 PIRMYK�T E FUNKCIJAYra uºdaviniu�, kuriuose ºinoma i²vestine, o reikia surasti funkcij¡. Pavyzdºiui,mechanikoje, kai ºinomas ta²ko greitis ar pagreitis, o reikia surasti to ta²kojudejimo desni�.
�i¡ problem¡ ir nagrinesime.
1 apibreºimas. Funkcija F (x) vadinama funkcijos f(x)pirmyk²te inter-vale (a, b) (aibeje X ), jei visuose ²io intervalo (aibes X ) ta²kuose x funkcijaF (x) yra diferencijuojama ir
F ′(x) = f(x).
1 pavyzdys. Funkcija F (x) =√
1− x2 yra funkcijos f(x) = − x√1− x2
pirmyk²te intervale (−1, 1), nes kiekviename ²io intervalo ta²ke x yra teisingalygybe
(√
1− x2)′ = − x√1− x2
.
J
2 pavyzdys. Funkcija F (x) = cos x yra funkcijos f(x) = − sin x pirmyk²teintervale (−∞, +∞), nes kiekviename ²io intervalo ta²ke x yra teisinga lygybe
(cos x)′ = − sin x.
J
3 pavyzdys. Funkcija F (x) = ln x yra funkcijos f(x) =1
xpirmyk²te inter-
vale (0,∞), nes kiekviename ²io intervalo ta²ke x yra teisinga lygybe
(ln x)′ =1
x.
J
Jei F (x) yra funkcijos f(x) pirmyk²te intervale (a, b), tai funkcija F (x)+C(C � bet kokia konstanta) irgi yra funkcijos f(x) pirmyk²te. I²kyla klausimas,ar gali buti kitokiu� pirmyk²£iu� funkciju�. Pasirodo ne.
1 teorema. Jei F1(x) ir F2(x) yra dvi funkcijos f(x) pirmyk²tes intervale(a, b), tai jos skiriasi viena nuo kitos tik konstanta C:
F1(x)− F2(x) = C.
1
2 NEAPIBR E�TINIS INTEGRALAS
I�rodymas. Nagrinekime funkcij¡
Φ(x) = F1(x)− F2(x).
Jos i²vestine
Φ′(x) = F ′1(x)− F ′
2(x) = f(x)− f(x) = 0, ∀x ∈ (a, b).
Pasirinkime du intevalo (a, b) ta²kus x1, x2 ir pritaikykime Lagranºo teo-rem¡. J¡ taikyti galime, nes funkcija Φ(x) yra tolydi ir turi i²vestin¦ intervale[x1, x2]. Taigi
Φ(x2)− Φ(x1) = Φ′(c)(x2 − x1), c ∈ (x1, x2).
Kadangi Φ′(c) = 0, taiΦ(x1) = Φ(x2)
visiems intervalo (a, b) ta²kams x1 ir x2. Todel
Φ(x) = const., ∀x ∈ (a, b).
J
2 NEAPIBR E�TINIS INTEGRALAS2 apibreºimas. Aibe visu� duotosios funkcijos f(x) pirmyk²£iu� funkciju� in-tervale (a, b) vadinama funkcijos f(x) neapibreºtiniu integralu intervale(a, b) ir ºymima simboliu ∫
f(x) dx.
�enklas ∫ vadinamas integralo ºenklu, sandauga f(x)dx � pointegraliniurei²kiniu, pati funkcija f(x) � pointegraline funkcija, o x � integravimokintamuoju.
Veiksmas, kuriuo randama duotosios funkcijos pirmyk²te funkcija arbaneapibreºtinis integralas vadinamas funkcijos integravimu.
4 pavyzdys. ∫ −x√1− x2
dx =√
1− x2 + C
intervale −1 < x < 1, nes funkcija F (x) =√
1− x2 yra viena i² funkcijosf(x) =
−x√1− x2
pirmyk²£iu� ²iame intervale. J
2
3 SVARBIAUSIOS NEAPIBR E�TINIO INTEGRALO SAVYB ES
5 pavyzdys. ∫(− sin x) dx = cos x + C
intervale −∞ < x < +∞, nes funkcija F (x) = cos x yra viena i² funkcijosf(x) = − sin x pirmyk²£iu� ²iame intervale. J
3 SVARBIAUSIOS NEAPIBR E�TINIO INTE-GRALO SAVYB ES
1. (∫f(x) dx
)′= f(x).
2.d
(∫f(x) dx
)= f(x) dx.
3. ∫dF (x) = F (x) + C.
4.∫
(αf(x) + βg(x)) dx = α∫
f(x) dx + β∫
g(x) dx, α, β − const.
I�rodymai. tegul F (x) yra viena i² funkcijos f(x) pirmyk²£iu�. Tuomet
(1)∫
f(x) dx = F (x) + C.
1. Pirmosios savybes i�rodymas i²plaukia i² (1) lygybes. Uºtenka paimtijos abieju� pusiu� i²vestines.
2. Antroji savybe taip pat i²plaukia i² (1) lygybes, prisiminus, kad dF (x) =F ′(x)dx = f(x)dx.
3. Tre£ioji savybe irgi i�rodoma lyginant abieju� (1) lygybes pusiu� diferen-cialus.
4. Ketvirtoji savybe i�rodoma paemus jos abieju� lygybes pusiu� i²vestines.Kadangi (∫
(αf(x) + βg(x)) dx)′
= αf(x) + βg(x).
3
4 PAGRINDINIAI NEAPIBR E�TINIAI INTEGRALAI
Antra vertus(α
∫f(x) dx + β
∫g(x) dx
)′= α
(∫f(x) dx
)′+ β
(∫g(x) dx
)′
= αf(x) + βg(x).
Taigi abieju� lygybes pusiu� i²vestines lygios, todel lygybe teisinga. J
4 PAGRINDINIAI NEAPIBR E�TINIAI INTE-GRALAI
1. ∫0 dx = C.
2. ∫dx = x + C.
3. ∫xα dx =
xα+1
α + 1+ C (α 6= −1).
4. ∫ 1
xdx = ln |x|+ C (x 6= 0).
5. ∫ex dx = ex + C
6. ∫ax dx =
ax
ln a+ C (0 < a 6= 1).
7. ∫sin x dx = − cos x + C.
8. ∫cos x dx = sin x + C.
9.∫ dx
cos2 x=
∫(1 + tg2x) dx = tgx + C
(x 6= π
2+ πn, n ∈ Z
).
4
5 PAGRINDINIAI INTEGRAVIMO METODAI
10.∫ dx
sin2 x=
∫(1 + ctg2x) dx = −ctgx + C (x 6= πn, n ∈ Z) .
11. ∫ dx√1− x2
= arcsin x + C = − arccos x + C1 (−1 < x < 1).
12. ∫ dx√a2 − x2
= arcsinx
a+ C (a > 0, −a < x < a).
13. ∫ dx
1 + x2= arctgx + C = −arcctg x + C1.
14. ∫ dx
a2 + x2=
1
aarctg x
a+ C (a > 0).
15. ∫ dx
a2 − x2=
1
2aln
∣∣∣∣x + a
x− a
∣∣∣∣ + C (a > 0).
16. ∫ dx√x2 ± a2
= ln∣∣∣x +
√x2 ± a2
∣∣∣ + C (a > 0).
5 PAGRINDINIAI INTEGRAVIMOMETODAI5.1 Integravimas kei£iant kintam¡ji�2 teorema. Tarkime, kad funkcija t = φ(x) apibreºta ir diferencijuojamaaibeje X , o T yra ²ios funkcijos reik²miu� aibe. Be to, tegul funkcija g(t)aibeje T turi pirmyk²t¦ funkcij¡ G(t), t.y.
∫g(t) dt = G(t) + C.
Tada aibeje X egzistuoja funkcijos g(φ(x)) φ′(x) pirmyk²te funkcija G(φ(x)),t.y. ∫
g(φ(x)) φ′(x) dx = G(φ(x)) + C.
5
5.2 Integravimas dalimis5 PAGRINDINIAI INTEGRAVIMO METODAI
I�rodymas. I�rodant teorem¡, uºtenka remtis sudetines funkcijos diferenci-javimo taisykle:
(G(φ(x)))′x = G′(φ(x)) φ′(x) = g(φ(x)) φ′(x).
J
6 pavyzdys.∫
ecos x sin x dx =
[t = cos x
dt = − sin x dx
]= −
∫et dt = −et + C = −ecos x + C.
J
7 pavyzdys.∫
(17 x + 6)2006 dx =
[t = 17 x + 6dt = 17 dx
]
=1
17
∫t2006 dt =
t2007
17 · 2007+ C =
(17 x + 6)2007
34 119+ C.
J
8 pavyzdys.
∫ dx
(x2 + a2)3/2=
t = arctg x
a, −π
2< t <
π
2x = a tg t, dx =
a
cos2 tdt
x2 + a2 = a2(tg2t + 1) =a2
cos2 t
=1
a2
∫cos t dt =
1
a2sin t + C =
tg t
a2√tg2t + 1
+ C =x
a2√
x2 + a2+ C.
J
5.2 Integravimas dalimis3 teorema. Tarkime, funkcijos u(x) ir v(x) yra diferencijuojamos aibeje X ,be to, ²ioje aibeje funkcija v(x) u′(x) turi pirmyk²t¦. Tada funkcija u(x) v′(x)turi pirmyk²t¦ aibeje X ir
(2)∫
u(x) v′(x) dx = u(x) v(x)−∫
v(x) u′(x) dx
arba, uºra²ant trumpiau,∫
u dv = uv −∫
v du.
6
5.2 Integravimas dalimis5 PAGRINDINIAI INTEGRAVIMO METODAI
I�rodymas. Kadangi
(u(x) v(x))′ − v(x) u′(x) = u(x) v′(x)
ir kairioji pastarosios lygybes puse turi pirmyk²t¦, tai turi ir de²inioji puse ir∫
((u(x) v(x))′−v(x) u′(x)) dx = u(x) v(x)−∫
v(x) u′(x) dx =∫
u(x) v′(x) dx.
JIntegralo skai£iavimas naudojant (2) formul¦ vadinamas daliniu inte-
gravimu.
9 pavyzdys.∫
x2 ln x dx =1
3
∫ln x dx3 =
1
3
(x3 ln x−
∫x3 d ln x
)
=x3
3ln x− 1
3
∫x2 dx =
x3
3ln x− x3
6+ C.
J
10 pavyzdys.∫ x dx
cos2 x=
∫x d tg x = x tgx−
∫tgx dx = x tgx−
∫ sin x dx
cos x
= x tgx +∫ d cos x
cos x= x tgx + ln | cos x|+ C.
J
11 pavyzdys.∫
x2 sin x dx = −∫
x2 d cos x = −x2 cos x +∫
cos x dx2
= −x2 cos x +∫
2x cos x dx = −x2 cos x + 2∫
x d sin x
= −x2 cos x + 2(x sin x−
∫sin x dx
)= −x2 cos x + 2x sin x + 2 cos x + C.
J
7
6 RACIONALIU� JU� TRUPMENU� INTEGRAVIMAS
12 pavyzdys.
(3)∫
e3x cos 2x dx =1
2
∫e3x d sin 2x =
1
2e3x sin 2x− 1
2
∫sin 2x de3x
=1
2e3x sin 2x− 3
2
∫e3x sin 2x dx =
1
2e3x sin 2x +
3
4
∫e3x d cos 2x
=1
2e3x sin 2x +
3
4e3x cos 2x− 3
4
∫cos 2x de3x
=1
2e3x sin 2x +
3
4e3x cos 2x− 9
4
∫e3x cos 2x dx.
Pasiºymej¦ ie²kom¡ji� integral¡
I =∫
e3x cos 2x dx
ir i�stat¦ i� (3) formul¦, turesime lygti�
I =1
2e3x sin 2x +
3
4e3x cos 2x− 9
4I.
I²sprend¦ ²i¡ lygti� gausime, kad
I =e3x(2 sin 2x + 3 cos 2x)
13+ C.
J
6 RACIONALIU� JU� TRUPMENU� INTEGRAV-IMAS
6.1 Taisyklingos racionaliosios trpmenos rei²kimas pa-pras£iausiu� trupmenu� suma
Racionali¡ja trupmena yra vadinama trupmena
(4) P (x)
Q(x),
kurios skaitiklis ir vardiklis yra daugianariai P (x) ir Q(x). (10) trupmenavadinama taisykling¡ja trupmena, jei daugianario P (x) laipsnis yra maºes-nis uº daugianario Q(x) laipsni�. Papras£iausiomis trupmenomis vadi-namos keturiu� ru²iu� trupmenos
A
x− a,
B
(x− a)k,
Mx + N
x2 + px + q,
Kx + L
(x2 + px + q)k, k > 1, p2 − 4q < 0.
8
6.2 Papras£iausiu� racionaliu�ju� trupmenu� integravimas6 RACIONALIU� JU� TRUPMENU� INTEGRAVIMAS
�iame skyrelyje taip pat laikysime, kad (10) trupmena yra nesuprastinama,t.y., kad daugianariai P (x) ir Q(x) neturi bendru� ²aknu�.
4 teorema. Tarkime, P (x)
Q(x)yra taisyklingoji racionalioji trupmena, o dau-
gianario Q(x) skaidinys pirmojo laipsnio daugianariais ir antrojo laipsniodaugianariais, neturin£iais realiu�ju� ²aknu�, yra toks
Q(x) = (x− a)k . . . (x− b)l (x2 + px + q)m . . . (x2 + rx + s)n.
Tuomet trupmen¡ P (x)
Q(x)galima i²reik²ti papras£iausiu� trupmenu� suma:
P (x)
Q(x)=
A1
x− a+
A2
(x− a)2+ · · ·+ Ak
(x− a)k+ . . .
+B1
x− b+
B2
(x− b)2+ · · ·+ Bl
(x− b)l
+M1x + N1
x2 + px + q+
M2x + N2
(x2 + px + q)2+ · · ·+ Mmx + Nm
(x2 + px + q)m+ . . .
+K1x + L1
x2 + rx + s+
K2x + L2
(x2 + rx + s)2+ · · ·+ Knx + Ln
(x2 + rx + s)n;
£ia A1, A2, . . . , Ak, B1, B2, . . . , Bl, M1,M2, . . . , Mm, N1, N2, . . . , Nm,K1, K2, . . . , Kn, L1, L2, . . . , Ln � realieji skai£iai.
6.2 Papras£iausiu� racionaliu�ju� trupmenu� integravimas�iame skyrelyje suintegruosime papras£iausias racionali¡sias trupmenas.
1.
(5)∫ dx
x− a= ln |x− a|+ C.
2. Kai k > 1.
(6)∫ dx
(x− a)k=
(x− a)−k+1
−k + 1=
1
(1− k)(x− a)k−1+ C.
9
6.2 Papras£iausiu� racionaliu�ju� trupmenu� integravimas6 RACIONALIU� JU� TRUPMENU� INTEGRAVIMAS
3. Kai lygtis x2 + px + q = 0 neturi realiu�ju� ²aknu�, D = p2 − 4q < 0.
(7)∫ Mx + N
x2 + px + qdx =
∫ Mx + N(x +
p
2
)2
+ q − p2
4
dx =
t = x +
p
2, dx = dt
q − p2
4= a2
=∫ M
(t +
p
2
)+ N
t2 + a2dt = M
∫ t dt
t2 + a2+
(N − Mp
2
) ∫ dt
t2 + a2
=M
2
∫ dt2
t2 + a2+
2N −Mp
2
∫ dt
t2 + a2
=M
2ln(t2 + a2) +
2N −Mp
2aarctg t
a+ C
=M
2ln(x2 + px + q) +
2N −Mp√4q − p2
arctg 2x + p√4q − p2
+ C.
4. Kai lygtis x2 + px + q = 0 neturi realiu�ju� ²aknu�, D = p2 − 4q < 0 irk > 1.
Analogi²kai kaip 3-iame integrale darydami tuos pa£ius pakeitimus, turesime,kad
(8)∫ Mx + N
(x2 + px + q)kdx =
M
2
∫ dt2
(t2 + a2)k+
2N −Mp
2
∫ dt
(t2 + a2)k
=M
2
1
(1− k)(t2 + a2)k−1+
2N −Mp
2
∫ dt
(t2 + a2)k.
PaºymekimeIk =
∫ dt
(t2 + a2)k.
Tuomet
(9) Ik =1
a2
∫ ((t2 + a2)− t2) dt
(t2 + a2)k=
1
a2
∫ dt
(t2 + a2)k−1− 1
2a2
∫ t dt2
(t2 + a2)k
=1
a2Ik−1 − 1
2a2
∫ t d(t2 + a2)
(t2 + a2)k=
1
a2Ik−1 − 1
2a2
∫t d 1
(1− k)(t2 + a2)k−1
=1
a2Ik−1 − 1
2a2
(t
(1− k)(t2 + a2)k−1− 1
1− k
∫ dt
(t2 + a2)k−1
)
=1
a2Ik−1 − 1
2a2
(t
(1− k)(t2 + a2)k−1+
1
k − 1Ik−1
)
=2k − 3
2a2(k − 1)Ik−1 +
t
2a2(k − 1)(t2 + a2)k−1
10
6.3 Racionaliu�ju� trupmenu� integravimas6 RACIONALIU� JU� TRUPMENU� INTEGRAVIMAS
Gavome taip vadinam¡ rekurentin¦ formul¦. �inodami, kad
I1 =∫ dt
t2 + a2=
1
aarctg t
a+ C,
i² (9) rekurentines formules galime rasti I2, o tada jau I3 ir t.t. Tada i�stat¦Ik i� (8) formul¦, ir pakeit¦ naujus paºymejimus senaisiais, t = x +
p
2, a =
√q − p2
4, gausime 4-¡ji� integral¡.
6.3 Racionaliu�ju� trupmenu� integravimas
Jeigu racionali trupmena P (x)
Q(x)nera taisyklinga, tai j¡ uºra²ome (galime
panaudoti dalybos su liekana algoritm¡) daugianario S(x) ir taisyklingosracionaliosios trupmenos T (x)
Q(x)suma:
P (x)
Q(x)=
S(x) Q(x) + T (x)
Q(x)= S(x) +
T (x)
Q(x).
Daugianari� S(x) suintegruoti lengva, o taisykling¡j¡ trupmen¡ T (x)
Q(x)reikia
uºra²yti papras£iausiu� trupmenu� suma ir jas suintegruoti.
13 pavyzdys. Suskai£iuokime integral¡∫ x4 − x3 + 1
x2 + x + 2dx.
Pointegraline racionalioji trupmena netaisyklinga. Reikia i²skirti sveik¡j¡dali�. Padalin¦ skaitikli� i² vardiklio gausime, kad
x4 − x3 + 1 = (x2 − 2x)(x2 + x + 2) + (4x + 1).
Taigi∫ x4 − x3 + 1
x2 + x + 2dx =
∫(x2 − 2x) dx +
∫ 4x + 1
x2 + x + 2dx
=x3
3− x2 + 2 ln(x2 + x + 2) +
2√7arctg 2x + 1√
7+ C.
Paskutiniajam integralui paskai£iuoti panaudojome (7) formul¦, nes tai 3-iosios ru²ies papras£iausioji trupmena. J
11
6.3 Racionaliu�ju� trupmenu� integravimas6 RACIONALIU� JU� TRUPMENU� INTEGRAVIMAS
14 pavyzdys. Suskai£iuokime integral¡∫ 2x3 + 4x2 + x + 2
(x− 1)2(x2 + x + 1)dx.
Pointegraline trupmena taisyklinga. Laikydamiesi 4 teoremos nurodymu�,uºra²ykime j¡ papras£iausiu� trupmenu� suma:
(10) 2x3 + 4x2 + x + 2
(x− 1)2(x2 + x + 1)=
A
x− 1+
B
(x− 1)2+
Mx + N
x2 + x + 1.
Neºinomus koe�cientus rasime taip vadinamu neapibreºtiniu� koe�cientu�metodu. Sudej¦ (10) formules de²ineje puseje para²ytas trupmenas, turesime
2x3 + 4x2 + x + 2
(x− 1)2(x2 + x + 1)
=A(x− 1)(x2 + x + 1) + B(x2 + x + 1) + (Mx + N)(x− 1)2
(x− 1)2(x2 + x + 1)
=(A + M)x3 + (B − 2M + N)x2 + (B + M − 2N)x + (−A + B + N)
(x− 1)2(x2 + x + 1).
Sulygin¦ skaitikliu� koe�cientus prie x3, x2, x1, x0, gausime lyg£iu� sistem¡
A + M = 2,
B − 2M + N = 4,
B + M − 2N = 1,
−A + B + N = 2.
J¡ i²spr¦nd¦, turesime, kad A = 2, B = 3,M = 0, N = 1. Taigi
2x3 + 4x2 + x + 2
(x− 1)2(x2 + x + 1)=
2
x− 1+
3
(x− 1)2+
1
x2 + x + 1.
Pasinaudoj¦ (5), (6) ir (7) formulemis, gauname∫ 2x3 + 4x2 + x + 2
(x− 1)2(x2 + x + 1)dx
=∫ 2
x− 1dx +
∫ 3
(x− 1)2dx +
∫ 1
x2 + x + 1dx
= 2 ln |x− 1| − 3
x− 1+
2√3arctg 2x + 1√
3+ C.
J
12
6.3 Racionaliu�ju� trupmenu� integravimas6 RACIONALIU� JU� TRUPMENU� INTEGRAVIMAS
15 pavyzdys. Suskai£iuokime integral¡∫ 3x4 + 2x3 + 3x2 − 1
(x− 2)(x2 + 1)2dx.
Pointegraline trupmena taisyklinga. Laikydamiesi 4 teoremos nurodymu�,uºra²ykime j¡ papras£iausiu� trupmenu� suma:
(11) 3x4 + 2x3 + 3x2 − 1
(x− 2)(x2 + 1)2=
A
x− 2+
Mx + N
x2 + 1+
Kx + L
(x2 + 1)2.
Sudej¦ (11) formules de²ineje puseje para²ytas trupmenas, turesime
3x4 + 2x3 + 3x2 − 1
(x− 2)(x2 + 1)2
=A(x2 + 1)2 + (Mx + N)(x− 2)(x2 + 1) + (Kx + L)(x− 2)
(x− 2)(x2 + 1)2
=(A + M)x4 + (−2M + N)x3 + (2A + M − 2N + K)x2
(x− 2)(x2 + 1)2
+(−2M + N − 2K + L)x + (A− 2N − 2L)
(x− 2)(x2 + 1)2.
Sulygin¦ skaitikliu� koe�cientus prie x4, x3, x2, x1, x0, gausime lyg£iu� sistem¡
A + M = 3,
−2M + N = 2,
2A + M − 2N + K = 3,
−2M + N − 2K + L = 0,
A− 2N − 2L = −1.
J¡ i²spr¦nd¦, turesime, kad A = 3,M = 0, N = 2, K = 1, L = 0. Taigi3x4 + 2x3 + 3x2 − 1
(x− 2)(x2 + 1)2=
3
x− 2+
2
x2 + 1+
x
(x2 + 1)2.
Integruodami pastar¡j¡ lygyb¦ gauname∫ 3x4 + 2x3 + 3x2 − 1
(x− 2)(x2 + 1)2dx
=∫ 3
x− 2dx +
∫ 2
x2 + 1dx +
∫ x
(x2 + 1)2dx
= 3 ln |x− 2|+ 2 arctgx +1
2
∫ d(x2 + 1)
(x2 + 1)2
= 3 ln |x− 2|+ 2 arctg x− 1
2(x2 + 1)+ C.
13
7 TRIGONOMETRINIU� REI�KINIU� INTEGRAVIMAS
J
7 TRIGONOMETRINIU� REI�KINIU� INTE-GRAVIMAS
Visur toliau R(x, y) ºymesime racionali¡j¡ dvieju� argumentu� x ir y funkcij¡.Racionalioji dvieju� argumentu� funkcija apibreºiama taip. Dvieju� argumentu�x ir y n-ojo laipsnio daugianariu vadiname rei²kini�
Pn(x, y) = a00 +a10x+a01y+a20x2 +a11xy+a02y
2 + · · ·+an0xn + · · ·+a0ny
n,
kurio koe�cientai a00, a10, . . . , a0n � kokie nors skai£iai. Racionali¡ja dvieju�argumentu� funkcija vadinamas santykis:
R(x, y) =Pn(x, y)
Qm(x, y),
kai Pn(x, y) ir Qm(x, y) yra bet kokie dvieju� kintamu�ju� n-ojo ir m-ojo laipsniodaugianariai.
�iame skyrelyje integruosime funkcij¡
R(sin x, cos x).
Tokios funkcijos neapibreºtinis integralas visuomet yra elementarioji funkcija.Veliau susidursime ir su tokiais neapibreºtiniais integralais, kurie nera ele-mentariosios funkcijos.
1. I² tikru�ju�
(12)∫
R(sin x, cos x) dx =
t = tg x
2, x = 2 arctg t, dx =
2 dt
1 + t2,
sin x =2 tg x
2
1 + tg2x
2
=2t
1 + t2, cos x =
1− tg2x
2
1 + tg2x
2
=1− t2
1 + t2
=∫
R
(2t
1 + t2,1− t2
1 + t2
)2 dt
1 + t2=
∫R1(t) dt.
�ia R1(t) yra racionali argumento t funkcija arba racionali trupmena. Tokiu�trupmenu� integravimui skirtas 6 skyrelis.
Keitinys t = tg x
2visada funkcijos R(sin x, cos x) integral¡ suveda i� racionalios
funkcijos integravim¡. Todel jis vadinamas universaliuoju keitiniu. Bet ji�
14
8 TRUPMENINIU� TIESINIU� IRACIONALUMU� INTEGRAVIMAS
panaudojus, daºnai gaunami griozdi²ki rei²kiniai, o ju� integravimas buna il-gas ir sunkus. Todel nurodysime kelet¡ atskiru� atveju�, kai funkcijos R(sin x, cos x)integral¡ galima suskai£iuoti naudojant kitus paprastesnius keitinius.
2. Sakykime, R(sin x, cos x) kei£ia ºenkl¡, kai kei£iamas sin x ºenklas, t.y.
R(− sin x, cos x) = −R(sin x, cos x).
�iuo atveju funkcijos R(sin x, cos x) integralas racionalizuojamas keitiniu
t = cos x.
3. Jei gu funkcija R(sin x, cos x) yra nelygine cos x atºvilgiu, t.y.
R(sin x,− cos x) = −R(sin x, cos x),
tai funkcijos R(sin x, cos x) integralas racionalizuojamas naudojant keitini�
t = sin x.
4. Jeigu pointegraline funkcija R(sin x, cos x) yra tokia, kad
R(− sin x,− cos x) = R(sin x, cos x),
tai funkcijos R(sin x, cos x) integralui racionalizuoti tinka keitinys
t = tgx.
8 TRUPMENINIU� TIESINIU� IRACIONALUMU�INTEGRAVIMAS
�iame skyrelyje integruosime funkcij¡
R
x, n
√ax + b
cx + d
, ad− bc 6= 0.
Tokios funkcijos vadinamos trupmeniniais tiesiniais iracionalumais. Tokiosfunkcijos integralas visuomet yra elementarioji funkcija. Jeigu ad−bc = 0, taitrupmena po n-ojo laipsnio ²aknimi susiprastina ir nelieka jokio trupmeninioiracionalumo, lieka racionalus rei²kinys.
15
9 BINOMINIU� DIFERENCIALU� INTEGRAVIMAS
I² tikru�ju�
(13)∫
R
x, n
√ax + b
cx + d
dx =
[t = n
√ax + b
cx + d, tn =
ax + b
cx + d, x =
dtn − b
a− ctn, dx =
(ad− bc)ntn−1
(a− ctn)2dt
]
=∫
R
(dtn − b
a− ctn, t
)(ad− bc)ntn−1
(a− ctn)2dt =
∫R1(t) dt.
Taigi trupmeninio tiesinio iracionalumo integravimas keitiniu t = n
√ax + b
cx + dsuvedamas i� racionaliosios trupmenos integravim¡.
9 BINOMINIU� DIFERENCIALU� INTEGRAV-IMAS
Binominiu diferencialu vadinamas rei²kinys
xm(a + bxn)p dx;
£ia a ir b � realus skai£iai, o laipsnio rodikliai m, n ir p � racionalus skai£iai.I²nagrinesime tris atvejus, kuriais binominio diferencialo integtralas yra ele-mentarioji funkcija.
1. p � sveikasis skai£ius. Tuomet
(14)∫
xm(a + bxn)p dx =
[r − racionaliu�ju� skai£iu� m ir n vardikliu� maºiausias bendras kartotinis]
=∫
R(x, r√
x) dx =[
t = r√
x, nes po integralu trupmeninistiesinis iracionalumas, a = d = 1, b = c = 0
]
=∫
R1(t) dt.
Po integralu turime racionali¡j¡ trupmen¡. Ji integruojama 6 skyrelyjei²destytais metodais.
16
9 BINOMINIU� DIFERENCIALU� INTEGRAVIMAS
2. m + 1
n� sveikasis skai£ius. Tada
(15)∫
xm(a + bxn)p dx =
[z = xn, x = z1n , dx =
1
nz
1n−1 dz]
=1
n
∫z
m+1n−1(a + bz)p dz =
1
n
∫zq(a + bz)p dz =
[q =
m + 1
n− 1 ∈ Z
]
=∫
R(z,
s√
a + bz)dz =
[s− racionaliojo skai£iaus p vardiklis, t =
s√
a + bz]
=∫
R1(t) dt.
Vadinasi ²iuo atveju binominio diferencialo integravimas racionalizuojamaskeitiniu
t =s√
a + bz =s√
a + bxn.
3. m + 1
n+ p � sveikasis skai£ius. �iuo atveju darydami t¡ pati� keitini�
z = xn kaip ir antruoju atveju, turesime
(16)∫
xm(a + bxn)p dx =1
n
∫z
m+1n−1(a + bz)p dz
=1
n
∫z
m+1n−1+p
(a + bz
z
)p
dz =1
n
∫zq
(a + bz
z
)p
dz =
[q =
m + 1
n− 1 + q ∈ Z
]
=∫
R
z,
s
√a + bz
z
dz =
s− racionaliojo skai£iaus p vardiklis, t =
s
√a + bz
z
=∫
R1(t) dt.
�iuo atveju binominio diferencialo integravimas racionalizuojamas keitiniu
t =s
√a + bz
z=
s
√a + bxn
xn.
Yra i�rodyta, kad kitais atvejais (i²skyrus tris i²nagrinetuosius) binominiodiferencialo integralas nera elementarioji funkcija.
17
10 KVADRATINIU� IRACIONALUMU� INTEGRAVIMAS
10 KVADRATINIU� IRACIONALUMU� INTE-GRAVIMAS
�iame skyrelyje integruosime funkcij¡
R(x,√
ax2 + bx + c).
Tokios funkcijos vadinamos kvadratiniais iracionalumais. Ai²ku, tariame,kad kvadratinis trinaris neturi lygiu� realiu� ²aknu� (nera pilnas kvadratas), nesjei turetu� lygias ²aknis, ²aknis i² trinario i²sitraukia ir nelieka iracionalumo,turime racionalu� rei²kini�. Kvadratiniai iracionalumai gali visada buti suinte-gruoti, naudojant Oilerio keitinius. Juos ir panagrinesime.
1. Kai a > 0, tinka toks keitinys
(17) t =√
ax2 + bx + c±√a x.
�iuo atveju∫
R(x,√
ax2 + bx + c) dx =
√ax2 + bx + c = t∓√a x, bx + c = t2 ∓ 2
√a tx,
x =t2 − c
b± 2√
a t,
√ax2 + bx + c =
±√a t2 + bt± c√
a
b± 2√
a t,
dx =±2√
a t2 + 2bt± 2c√
a
(b± 2√
a t)2dt
=∫
R
(t2 − c
b± 2√
a t,±√a t2 + bt± c
√a
b± 2√
a t
) ±2√
a t2 + 2bt± 2c√
a
(b± 2√
a t)2dt
=∫
R1(t) dt.
2. Kai c > 0, tinka toks keitinys
(18) t =
√ax2 + bx + c±√c
x.
18
10 KVADRATINIU� IRACIONALUMU� INTEGRAVIMAS
�iuo atveju∫
R(x,√
ax2 + bx + c) dx =
√ax2 + bx + c = tx∓√c , ax2 + bx = t2x2 ∓ 2
√c tx,
x =b± 2
√c t
t2 − a,
√ax2 + bx + c =
±3√
c t2 + bt∓ a√
c
t2 − a,
dx =∓2√
c t2 − 2bt∓ 2a√
c
(t2 − a)2dt
=∫
R
(b± 2
√c t
t2 − a,±3√
c t2 + bt∓ a√
c
t2 − a
) ∓2√
c t2 − 2bt∓ 2a√
c
(t2 − a)2dt
=∫
R1(t) dt.
3. Jeigu trinaris ax2 + bx + c turi dvi skirtingas reali¡sias ²aknis x1 ir x2,tai tinka toks keitinys
(19) t =
√ax2 + bx + c
x− x1
.
�iuo atveju∫
R(x,√
ax2 + bx + c) dx =
√ax2 + bx + c =
√a(x− x1)(x− x2) = t(x− x1),
a(x− x2) = t2(x− x1), x =x1t
2 − ax2
t2 − a,
√ax2 + bx + c =
a(x1 − x2) t
t2 − a, dx =
2a(x2 − x1) t
(t2 − a)2dt
=∫
R
(x1t
2 − ax2
t2 − a,a(x1 − x2) t
t2 − a
)2a(x2 − x1) t
(t2 − a)2dt
=∫
R1(t) dt.
(17), (18) ir (19) keitiniai vadinami Oilerio keitiniais. Nors Oileriokeitiniai ir racionalizuoja kvadratinius iracionalumus, bet daºniausiai gau-nami labai griozdi²ki ir sudetingi rei²kiniai. Todel praktikoje kvadratiniamsiracionalumams integruoti daºnai ie²komi kitokie budai.
19
11 INTEGRALAI, NEI�REI�KIAMI ELEMENTARIOSIOMISFUNKCIJOMIS
11 INTEGRALAI, NEI�REI�KIAMI ELEMEN-TARIOSIOMIS FUNKCIJOMIS
Kai kuriu� net labai paprastu� elementariu�ju� funkciju� integralai gali buti neele-mentariosios funkcijos. Tokius intagralus vadiname nesuintegruojamais, turedamigalvoje, kad ju� negalima i²reik²ti elementariosiomis funkcijomis.
�tai jau musu� nagrinetas binominio diferencialo integralas∫
xm(a + bxn)p dx
nera elementarioji funkcija, jei nei p, nei m + 1
n, nei m + 1
n+ p nera sveikieji
skai£iai.Neelementariosios funkcijos yra ir tokie integralai. Integralinis sinusas
six =∫ sin x
xdx,
integralinis cosinusasci x =
∫ cos x
xdx,
integralinis logaritmaslix =
∫ dx
ln x.
Neelementariosios funkcijos yra ir tikimybiu� teorijoje pla£iai taikomasintegralas ∫
e−x2 dx,
ir �zikoje taikomas integralas∫
sin x2 dx,
Matematikoje ir �zikoje yra svarbus elipsiniai integralai:
I1 =∫ dx√
(1− x2)(1− k2x2),
I2 =∫ x2 dx√
(1− x2)(1− k2x2),
I3 =∫ dx
(1 + hx2)√
(1− x2)(1− k2x2);
20
11 INTEGRALAI, NEI�REI�KIAMI ELEMENTARIOSIOMISFUNKCIJOMIS
£ia 0 < k < 1, h ∈ C. Jie vadinami pirmojo, antrojo ir tre£iojo tipoelipsiniais integralais. �iu� integralu� i²rai²kos supaprasteja padarius keitini�x = sin φ, 0 ≤ φ ≤ π
2:
I1 =∫ dφ√
1− k2 sin2 φ,
I2 =1
k2
∫ dφ√1− k2 sin2 φ
− 1
k2
∫ √1− k2 sin2 φ dφ,
I3 =∫ dφ
(1 + h sin2 φ)√
1− k2 sin2 φ.
�ie integralai vadinami pirmojo, antrojo ir tre£iojo tipo Leºandroelipsiniais integralais. Ypa£ svarbus ir daºnai taikomi integralai
F (k, φ) = I1 =∫ dφ√
1− k2 sin2 φ,
E(k, φ) = I1 − k2I2 =∫ √
1− k2 sin2 φ dφ.
21
