1 RICHIAMI DI MECCANICA DEL CONTINUO

1.1 Tensore degli sforzi

Lo stato di tensione in corrispondenza di un punto appartenente ad un continuo è rappresentato, in

base al teorema di Cauchy

nTt ˆ][

(1.1.1),

dal tensore doppio simmetrico

zzyzx

yzyyx

xzxyx

T (1.1.2)

costituito dai seguenti sei componenti linearmente indipendenti: yzxzxyzyx ,,,,,

organizzabili in un vettore 6 x 1.

Lo stato di tensione (o di sforzo) rappresentato dalla (1.1.2) viene riferito in corrispondenza:

1. del sistema di riferimento Oxy rappresentato nella fig. 1.1

2. del baricentro del cubetto elementare di lati dx, dy, dz rappresentato nella fig. 1.1.

Fig. 1.1 Cubetto elementare e sistema di riferimento Oxyz

1.

Se si cambia sistema di riferimento, ovvero se lo si fa ruotare, le componenti di [T] si trasformano

seguendo la legge di variazione di un tensore doppio, il quale permane sym.

In particolare, nel caso di un materiale isotropo e omogeneo, è possibile individuare (risolvendo un

problema agli autovalori/autovettori) delle giaciture privilegiate, rispetto alle quali le componenti di

[T] sulle quali il vettore tensione (1.1) presenti solo delle componenti normali; le giaciture

privilegiate vengono individuate da una terna di assi detti principali (rispetto ai quali, per l’appunto,

yzxzxy ,, sono nulle). La (1.1.2), scritta rispetto alla terna principale, diventa:

III

II

I

00

00

00

(1.3)

Dove

IIIIII .

Infine, si ricorda che è possibile determinare yzxzxyzyx ,,,,, (cioè tutte le componenti di [T]

rispetto ad una terna di riferimento diversa da quella principale) una volta noti i valori degli sforzi

principali.

1.2 Tensore delle deformazioni

Nella presente sezione ci si limita a considerare il solo campo di deformazione lineare.

In analogia alla definizione del tensore degli sforzi, è possibile definirne uno doppio simmetrico

delle deformazioni [ ].

zzzyzx

yzyyyx

xzxyx

][ (1.2.1)

dove:

y

w

z

v

x

w

z

u

x

v

y

u

z

w

y

v

x

u

yz

xz

xy

z

y

x

sono i suoi costituenti linearmente indipendenti (u,v,w sono le componenti lungo gli assi x,y,z del

vettore di spostamento u

) organizzabili in un vettore 6 x 1.

Le componenti miste del tensore (1.2.1) possono essere espresse come “deformazioni angolari”

mediante la seguente relazione:

mnmn 2 (1.2.2)

Tale modalità di scrittura viene adottata, per comodità, al momento della scrittura delle relazioni

costitutive.

Continuando nell’analogia col tensore degli sforzi, anche per quello delle deformazioni si dimostra

che, nel caso di un materiale isotropo ed omogeneo, esistono tre assi (rappresentativi di tre

giaciture) linearmente indipendenti (detti, ancora una volta, assi principali) rispetto ai quali le tre

distorsioni yzxzxy ,, sono nulle. In definitiva, rispetto ad una terna principale di riferimento, il

tensore delle deformazioni (1.2.1) diventa:

III

II

I

00

00

00

(1.2.3)

Infine, si ricorda che è possibile determinare yzxzxyzyx ,,,,, (cioè tutte le componenti di [ ]

rispetto ad una terna di riferimento diversa da quella principale) una volta noti i valori degli sforzi

principali.

1.3 Legge di Hooke generalizzata

La legge di Hooke generalizzata, ovvero l’espressione delle relazioni costitutive di un materiale in

campo lineare, si scrive come:

C (1.3.1)

essendo

[C] = matrice di elasticità (6 x 6) Sym .

Nel caso di un materiale isotropo ed omogeneo, si ricorre, nell’ambito delle formulazioni e dei

calcoli, a due parametri ingegneristici (ricavabili dalla classica prova di trazione) linearmente

indipendenti:

E = modulo di Young

= coefficiente di Poisson

Vi è infine il parametro G =)1(2

E; poiché 3.0 o 0.5, è possibile approssimare G E

3

1 .

La 1.3.1 può essere invertita utilizzando la matrice di flessibilità [F] = [C]-1

:

][F (1.3.2)

La (1.3.2), scritta rispetto ad una generica terna di assi, è la seguente:

xy

yz

xz

z

y

x

xy

yz

xz

x

y

x

E....

)1(200.000

0)1(20.000

00)1(2.000

.......

000.1

000.1

000.1

1.... (1.3.3)

Dalla (1.3.3) si evince come non sia possibile determinare se si conoscono solo le ovvero

determinare le conoscendo solo le .

Nel caso di stato di sforzo uniassiale (ad esempio lungo l’asse x, 0zy ) , la (1.3.3)

diventa:

xxE

1

xyE

(1.3.4)

zzE

Tenendo conto che ci si trova in corrispondenza di sforzi e deformazioni riferibili ad un asse

principale, le (1.3.4) riscritte in termini di sforzo e deformazioni principali e sommate danno:

IIIIIIIE

21 (1.3.5)

Generalizzando la (1.3.5) al caso di uno stato di sollecitazione tri-assiale, è possibile riscrivere la

legge di Hooke come segue:

)(21

IIIIIIIIIIIIE

(1.3.6)

dividendo e moltiplicando per 3 il secondo membro della (1.3.6) si ha:

K

mV (1.3.7)

dove:

IIIIIIV = VARIAZIONE UNITARIA DI VOLUME

3

IIIIIIm = TENSIONE MEDIA

)21(3

EK = MODULO DI ELASTICITÀ CUBICA

1.4 STATO DI TENSIONE PIANA

Poiché numerosi componenti strutturali aeronautici vengono fabbricati utilizzando lamiere sottili, in

prima approssimazione, è possibile trascurare gli sforzi attraverso lo spessore:

yzxzz = 0 (1.4.1)

In tal caso si sta rappresentando una condizione di sforzo piano per la quale le equazioni di

continuità si riducono a:

0

0

Yxy

Xyx

yxy

xyx

(1.4.2)

Essendo X e Y, rispettivamente, le componenti di una generica forza esterna F

(detta condizione di

carico) secondo gli assi x e y di un generico sistema di riferimento Oxyz.

1.5 SFORZI PRINCIPALI

Come già accennato nel paragrafo 1.1, le componenti del tensore degli sforzi possono essere scritte

facendo riferimento ad una terna di riferimento principale (e lo stesso vale per le equazioni (1.4.2));

ciò è dovuto a molteplici necessità:

Disporre di espressioni invarianti alle rotazioni del sistema di riferimento;

Identificare le giaciture ove sia nullo il contributo delle tau;

Evidenziare (ai fini della determinazione delle condizioni di criticità – snervamento, rottura,

ecc. -) l’effettivo stato di sollecitazione locale, spesso non appieno comprensibile se si

utilizza un sistema di riferimento diverso da quello principale (questo può essere il tipico

problema di edilizia nel quale si intendono identificare le direzioni principali di sforzo al

fine di determinare l’orientamento delle armature di rinforzo per il cemento).

Vi sono principalmente due modi per giungere alla determinazione dei valori degli sforzi principali:

o si risolve un problema agli autovalori/ autovettori, o si esegue il ragionamento riportato di

seguito.

Si consideri un corpo B (fig. 1.2) di spessore unitario (in sostanza si intende prendere in

considerazione un elemento bi-dimensionale) e lo si sezioni con un piano p inclinato di un angolo

(che può variare in modo continuo tra [0 e 2 ) rispetto alla verticale.

I lati dx e dy dell’elemento sono “corti” in modo da ipotizzarvi una distribuzione uniforme degli

sforzi.

AB = 1

AC = AB cos = cos

y

y

x

x

xy

xy

xy

xy

A

B C

x

y

O

A

BC = AB sin = AB sin

Fig. 1.2

L’equilibrio delle forze secondo le direzioni normale e parallela al piano inclinato è rappresentato

da:

0cossincossin

0sincossincos

ACCBCBACAB

ACCBCBACAB

xyyxyx

xyyxyx

da cui, sostituendo i valori di AB, AC e BC :

22

22

cossincossincossin

cossin2sincos

xyxyyx

xyyx

ovvero:

)cos(sin2sin2

12sin

2

1

2sinsincos

22

22

xyyx

xyyx

da cui, in definitiva:

B C

y

xy

xy

x

2cos2sin2

2sinsincos 22

xy

yx

xyyx

(1.5.1)

Osservando attentamente la (1.5.1) si nota che:

)(

)( (1.5.2)

ovvero che sia la sigma che la tau possono assumere diversi valori al variare dell’angolo alfa; i

valori a cui si è interessati sono, per ragioni di sicurezza (e quindi ai fini della progettazione o della

verifica di resistenza) quelli massimi.

Questi ultimi possono essere ricercati tenendo conto delle (1.5.2), cioè derivando le espressioni

degli sforzi normale e tangenziale rispetto all’angolo .

02cos2cossin2sincos20 xyyxd

d

da cui

02cos2)(2sin02cos22sin2sin xyyxxyyx

indi

yx

xytg

22 (1.5.3)

La (1.5.3) presenta due soluzioni: una per e l’altra per 2

: ciò significa che esistono due

piani mutuamente ortogonali sui quali lo sforzo normale una volta è massimo e l’altra minimo.

Questi piani, inoltre (come si verificherà nel seguito) corrispondono a quelli dove è assente lo

sforzo tangenziale: trattasi dei piani principali.

Risolvendo la (1.5.3) per , rispetto al seno si ha:

Ayx

xy2

2cos

2sin

2

2222

2 12sin)2sin1(sin

sin1

2sin

A

AAA

2

2

)(

41

1

)(

22sin

yx

xyyx

xy

22 4)(

22sin

xyyx

xy (1.5.4)

rispetto al coseno si ha:

Ayx

xy2

2cos

2sin

2

2

2

22

1

12cos

2cos

2cos1

2cos

cos1

AAA

22 4)(

.2cos

xyyx

yx (1.5.5)

Per 2

si ha:

22

22

4)(2cos

4)(

22sin

xyyx

yx

xyyx

xy

(1.5.6)

Sostituendo la (1.5.4) e la (1.5.5) nella prima delle (1.5.1) e ricordando che 2

2cos1cos ,

2

2cos1sin , si ha:

2sin2

2cos1

2

2cos12sinsincos 2222

xyyxxyyx

222222 4)(

2

4)(1

24)(1

2xyyx

xy

xy

xyyx

yxy

xyyx

yxxI

22 4)(2

1

2xyyx

yx

I (1.5.7)

Analogamente, sostituendo le (1.5.6) nella prima delle (1.5.1) e ricordando che

2

2cos1cos ,

2

2cos1sin , si ha:

22 4)(2

1

2xyyx

yx

II (1.5.8)

Poiché le radici quadrate che compaiono nella (1.5.7) e nella (1.5.8) devono essere quantità reali

positive, si comprende come, in senso algebrico (cioè nel senso che, ad esempio, 3>-5) III ;

si definiscono pertanto:

I = massimo sforzo (principale) normale

II = minimo sforzo (principale) normale

1.6 Massimo sforzo di taglio

Ricordando che:

dall’esamina delle (1.5.1) si nota:

)(

)( (1.5.2)

ovvero che sia la sigma che la tau possono assumere diversi valori al variare dell’angolo

alfa;

i valori a cui si è interessati sono, per ragioni di sicurezza (e quindi ai fini della

progettazione o della verifica di resistenza) quelli massimi;

questi ultimi possono essere ricercati tenendo conto delle (1.5.2), cioè derivando le

espressioni degli sforzi normale e tangenziale rispetto all’angolo ,

di seguito si procede alla ricerca del massimo sforzo tangenziale derivando la tau di (1.5.1) rispetto

ad alfa.

02sin22

2cos2)(0 xy

yx

d

d

xy

yxtg

22 (1.6.1)

Procedendo in analogia a quanto fatto per le sigma principali, la (1.6.1) presenta le seguenti quattro

espressioni soluzione:

22 4)(

)(2sin

xyyx

yx

22 4)(

)()

2(2sin

xyyx

yx (1.6.2)

22 4)(

22cos

xyyx

xy

22 4)(

2)

2(2cos

xyyx

xy

Sostituendo le (1.6.2)) nella seconda delle (1.5.1) si ha:

22

minmax, 4)( xyyx (1.6.3)

dove i valori massimo e minimo sono definiti in senso algebrico.

Infine, tenendo conto delle (1.5.7) e (1.5.8), la (1.6.3) si riscrive come:

2max

III (1.6.4)

NOTE :

1. le (1.6.3) e (1.6.4) forniscono il valore del massimo sforzo di taglio nel caso bi-

dimensionale, mentre nel caso tri-dimensionale ciò non è sempre vero.

2. Poiché la (1.6.4) è il reciproco negativo della (1.5.3), si deduce che gli angoli 2

considerati nelle conseguenti espressioni (1.5.5)&(1.5.6) e (1.6.2) differiscono tra loro di

90°, ovvero in alternativa, i piani di massimo sforzo di taglio sono inclinati di 45° rispetto a

quelli principali.

1.7 Il cerchio di Mohr

Tenendo conto di quanto determinato nei precedenti paragrafi, di seguito si mostra come sia

possibile determinare e visualizzare graficamente lo stato di tensione in un punto appartenente ad un

corpo deformabile.

Sviluppando la prima delle (1.5.1) si ha:

2sin2

2cos1

2

2cos1xyyx

2sin2cos)(2

1

2xyyx

yx

Quadrando la precedente espressione e sommandola alla seconda delle (1.5.1) si ha:

2

2

2

2

)(2

1

2

1xyyxyx

(1.7.1)

La (1.7.1) rappresenta l’equazione di una circonferenza di raggio

22 4)(2

1xyyxR (1.7.2)

Ed il cui centro giace nel punto di coordinate: 0;2

yx (1.7.3)

1.7.1 Costruzione del cerchio di Mohr nel caso bi-dimensionale

Noti xyyx ,, , nel piano si tracciano i valori corrispondenti ai due piani coordinati

perpendicolari (ad esempio i piani XZ e YZ). A tali valori corrispondono due punti A e B che, per

definizione, giacciono sulla circonferenza rappresentata dalla (1.7.1). Il suo centro C è il punto di

intersezione tra l’asse delle ed il segmento AB.

xyyA ,

xyxB ,

C 0;2

yx

L’intersezione del cerchio con l’asse delle determina i valori di I e II . Un altro punto lo si

ottiene tracciando una verticale V per B ed un’orizzontale O per A.

Tracciato il cerchio, si ottengono anche i valori della m ax , a 45° (veri, rispetto ai 90° della

costruzione grafica, così come tra I e II ci sono 90° effettivi, contro i 180° della

rappresentazione grafica.

E’ così possibile ottenere i valori di e per qualsiasi valore dell’angolo (si ottiene cioè un

fascio di piani con retta di sostegno l’asse z).

A

B

C

I II

m ax

NOTA

Come convenzione dei segni, per il tracciamento del cerchio di Mohr, si consiglia di adottare quela

riportata di seguito.

x

y

z

Piano yz

Piano xz

Piano generico

del fascio

+

-

+

-

1.7.2 Costruzione del cerchio di Mohr nel caso bi-dimensionale

In questo caso si procede con la costruzione di due circoli distinti, secondo le modalità descritte,

con piani perpendicolari (xz ed yz, poi yz e xy) ottenendo così i valori di IIIIII ,, .

La m ax è pari a:

2max

IIII

C1 C3

C2

I III

II

m ax

1.7.3.1 Primo esempio bi-dimensionale

E’ dato lo stato di sforzo piano illustrato nella figura seguente; questo si verifica in un punto critico

di un componente di macchina realizzato in acciaio. Determinare gli sforzi principali, il massimo

sforzo tangenziale e le direzioni principali.

Svolgimento

Si è in corrispondenza di uno stato di tensione piana; le espressioni da utilizzare per ricavare gli

sforzi principali sono le (1.5.7) e (1.5.8):

MPaxy

yxyx

I 85252

4080

2

4080

22

2

2

2

2

MPaxy

yxyx

II 45252

4080

2

4080

22

2

2

2

2

La massima tensione tangenziale la si ottiene impiegando la (1.6.3) o la (1.6.4) ed è pari a 65MPa.

Dalla (1.7.3), il centro C ha coordinate (20MPa, 0); dalla (1.7.2), il raggio del cerchio vale R =

65MPa.

MPay 40

MPax 80

MPaxy 25

x

y

xyyA , =(-40,25)

xyxB , = (80,-25)

C 0;2

yx=(20,0)

Nel presente problema, lo sforzo di taglio, per come riportato nel testo del problema è

positivo

Per la determinazione delle direzioni principali, si fa riferimento alla (1.5.3) da cui si esplicita:

yx

xytg

22 1 =22.61°

Ne consegue che l’angolo di inclinazione (rispetto agli assi x, y) del riferimento di assi principali è

31.11 .

A

B

C

I II

m ax

2

N = Direzione principale

T = direzione dove è massimo lo sforzo di taglio (cfr nota n°2 del paragrafo 1.6)

L’angolo è positivo in senso antiorario rispetto al diametro AB del cerchio di Mohr: nel

presente esempio, il diametro congiungente i punti A e B compie deve essere ruotato proprio in

senso anti-orario per farlo coincidere con il diametro degli sforzi principali.

MPay 40

MPax 80

MPaxy 25

x

y

MPaII 45min

MPa

I

45

max

MPamed 20

MPamed 20

MPa65max

MPa65max

45°

T

N

1.7.3.2 Secondo esempio bi-dimensionale

E’ dato lo stato di sforzo piano illustrato nella figura seguente; questo si verifica in un punto critico

di un componente di macchina realizzato in acciaio. Determinare gli sforzi principali, il massimo

sforzo tangenziale e le direzioni principali.

Svolgimento

Si è in corrispondenza di uno stato di tensione piana; le espressioni da utilizzare per ricavare gli

sforzi principali sono le (1.5.7) e (1.5.8):

MPaxy

yxyx

I 132482

60100

2

60100

22

2

2

2

2

MPaxy

yxyx

II 28482

60100

2

60100

22

2

2

2

2

La massima tensione tangenziale la si ottiene impiegando la (1.6.3) o la (1.6.4) ed è pari a 52MPa.

Dalla (1.7.3), il centro C ha coordinate (80MPa, 0); dalla (1.7.2), il raggio del cerchio vale R =

52MPa.

MPay 60

MPax 100

MPaxy 48

x

y

xyyA , =(60,-48)

xyxB , = (100,-(-48))= (100,48)

C 0;2

yx=(80,0)

Nel presente problema, lo sforzo di taglio, per come riportato nel testo del problema è

negativo

Per la determinazione delle direzioni principali, si fa riferimento alla (1.5.3) da cui si esplicita:

yx

xytg

22 1 =67.4°

Ne consegue che l’angolo di inclinazione (rispetto agli assi x, y) del riferimento di assi principali è

7.33 .

A

B

C

I II

m ax

2

N = Direzione principale

L’angolo è positivo in senso antiorario rispetto al diametro AB del cerchio di Mohr: nel

presente esempio, il diametro congiungente i punti A e B compie deve essere ruotato in senso

orario per farlo coincidere con il diametro degli sforzi principali.

MPax 100

MPaxy 48

x

y

MPaII 28min

MPa

I

132

max

N

MPay 60

1.8 Bibliografia

Scienza delle costruzioni. Introduzione alla meccanica dei materiali F.P. Beer E.Russell

Johnston jr. McGraw-Hill Libri Italia S.r.l.

Meccanica delle strutture. Il comportamento dei mezzi continui Vol. 1 Leone Corradi

Dell’Acqua McGraw-Hill Libri Italia S.r.l.

Analysis of Aircraft Structures. An introduction Bruce K. Donaldson McGraw-Hill International

Editions

Aircraft Structures for engineering students T.H.G. Megson ARNOLD