11

Stochastic Loewner Evolution and Statistical Mechanics

Part 1/2 KATORI, Makoto (Chuo University)

香取眞理 ［かとりまこと］（中央大学）

第５３回函数論シンポジウム

２０１０年11月21－23日

名城大学名鉄サテライト

22

from http://www.emis.math.ca/EMIS/mirror/IMU/medals/2006/

3

from http://www.icm2010.org.in/prize-winners-2010/fields-medal

The 2010 Fields medalsStanislav Smirnov

for the proof of conformal invariance of percolation and the planar Ising model in statistical physics.

Section de Mathématiques, Université de Genève

http://www.icm2010.org.in/wp-content/icmfiles/medalists/stan.jpg

441. Statistical Mechanics Models and Measures on  Continuous Path Space

1.1  Scaling limits of planar lattice models

551. Statistical Mechanics Models and Measures on  Continuous Path Space

1.1  Scaling limits of planar lattice models

661. Statistical Mechanics Models and Measures on  Continuous Path Space

1.1  Scaling limits of planar lattice models

771. Statistical Mechanics Models and Measures on  Continuous Path Space

1.1  Scaling limits of planar lattice models

881. Statistical Mechanics Models and Measures on  Continuous Path Space

1.1  Scaling limits of planar lattice models

99

1010

1111

1212

1313

1414

1515

[0th example] RW on Square Latticed      

Complex BMcont. limit

1616[1st

example]

Loop‐Erased RW: LERW

1717[1st

example]

Loop‐Erased RW: LERW

1818[1st

example]

Loop‐Erased RW: LERW

1919[1st

example]

Loop‐Erased RW: LERW

2020[1st

example]

Loop‐Erased RW: LERW

2121[1st

example]

Loop‐Erased RW: LERW

2222Continuum Limit of Loop‐Erased RW: LERW

2323Continuum Limit of Loop‐Erased RW: LERW

2424[2nd

example] Self‐Avoiding Walk : SAW (自己回避ウォーク)] 

Figures （a1）

n = 200 steps，（a2）

n = 800 steps

2525Continuum Limit of SAWs

2626[3rd

example] critical percolation model（臨界浸透模型）

2727[3rd

example] critical percolation model（臨界浸透模型）

2828percolation exploration process（浸透探索過程）

2929Continuum limit of percolation  exploration process

Figures (b1) on 35×35 triangular lattice

(b2) on 100 ×100 triangular lattice

3030[4th

example] critical Ising

model (臨界 Ising

模型)

3131

3232Ising

Interface （Ising

界面)

33331.2  Conformal Invariance  and Domain

Markov Property

3434The following two properties are expected． ①

conformal covariance and conformal invariance

3535

3636② Domain 

Markov Property 

3737In some

special cases the measures can have the additional properties. 1.3 Restriction Property and Locality Property

3838In some

special cases the measures can have the additional properties. 1.3 Restriction Property and Locality Property

3939③ Restriction Property

4040④

Locality property

4141④

Locality Property

4242④

Locality Property

43

44

Ensembles of Discrete Paths in

Statistical Mechanics Models on Planar Lattice

[1] Loop-Erased Random Walks ⇒

SLE2 (κ=2)① conformal ② domain Markov

[2] Self-Avoiding Walks ⇒

SLE8/3 (κ=8/3)① conformal ② domain Markov ③ restriction

[3] Percolation Exploration Process ⇒

SLE6 (κ=6)① conformal ② domain Markov ④ locality

[4] Ising Interface ⇒

SLE3 (κ=3)① conformal ② domain Markov

Conformally CovariantMeasures of

Continuous Paths(boundary scaling exponent b)

cont.limit(scaling limit)

ν =1/d

Stochastic Loewner Evolution�and Statistical Mechanics�Part 1/2�KATORI, Makoto (Chuo University)�香取眞理 ［かとりまこと］（中央大学）スライド番号 2スライド番号 3 1. Statistical Mechanics Models and Measures on � Continuous Path Space�1.1 Scaling limits of planar lattice modelsスライド番号 5スライド番号 6スライド番号 7スライド番号 8スライド番号 9スライド番号 10スライド番号 11スライド番号 12スライド番号 13スライド番号 14スライド番号 15[1st example] Loop-Erased RW: LERWスライド番号 17スライド番号 18スライド番号 19スライド番号 20スライド番号 21スライド番号 22スライド番号 23[2nd example] Self-Avoiding Walk : SAW (自己回避ウォーク)] Continuum Limit of SAWs[3rd example] critical percolation model（臨界浸透模型）[3rd example] critical percolation model（臨界浸透模型）percolation exploration process（浸透探索過程）Continuum limit of percolation exploration process[4th example] critical Ising model�(臨界 Ising 模型)スライド番号 31Ising Interface （Ising 界面)1.2 Conformal Invariance � and Domain Markov PropertyThe following two properties are expected．�①　conformal covariance and conformal invarianceスライド番号 35② Domain Markov Property In some special cases the measures can have the additional properties.�1.3 Restriction Property and Locality PropertyIn some special cases the measures can have the additional properties.�1.3 Restriction Property and Locality Property③ Restriction Property④　Locality property④　Locality Property④　Locality Propertyスライド番号 43Ensembles of�Discrete Paths in�Statistical Mechanics Models�on Planar Lattice