1. иy 8 y 5 4. На плоскости нарисовано бесконечное ...postypashki.ru/wp-content/uploads/2019/07/... · 2019-07-24 · случайно брошен

Олимпиада имени профессора И.В. Савельева,осень 2018

11 класс

Вариант № 1

1. Натуральные числа x и y таковы, что их ( , ) 8НОД x y , а

2 6(log , log ) 3НОД x y . Найти эти числа.

2. Найти количество различных троек чисел ; ;x y z –

решений уравнения cos( ) cos( ) 2 cosx y z y z z ,

удовлетворяющих неравенству2 2 2 2( / 2) ( / 2) 4x y z .

3. Найти все пары целых чисел ;x y , удовлетворяющие

уравнению 2

49 3 5x y x y .

4. На плоскости нарисовано бесконечное число параллельных

прямых, отстоящих друг от друга на расстояние 1. На плоскость

случайно брошен круг с диаметром 1. Найти вероятность того, что

прямая, пересекающая круг, делит его на части, отношение

площадей которых (меньшей к большей) не превосходит числа

2 : 3 2 .

5. При каких значениях a система уравнений

2 21 2cos 2 2sin 3

1 2 0

x a y a

x y

имеет четыре решения?

6. Точка N делит диагональ AC трапеции ABCD в отношении

CN:NA=2. Длины оснований BC и AD трапеции относятся как 1:3.

Через точку N и вершину D проведена прямая, пересекающая

боковую сторону AB в точке M . Какую часть площади трапеции

составляет площадь четырехугольника MBCN?

Ответы и решения

1. Обозначим 2 6log , 0, log , 0.x m Z m y n Z n

Тогда 2 , 6 .m nx y В результате имеем

3( , ) (2 ,6 ) (2 ,2 3 ) 8 2 .m n m n nНОД x y НОД НОД

Случай 1. .m n Тогда 3,n 36 216,y

2(log ,3) 3.НОД x

Отсюда находим 2l o g 3 ,x k k Z или

8 , .kx k Z

Случай 2. .m n Тогда 3

63, 2 8, (3,log ) 3.m x НОД y

Отсюда получаем 6log 3 , , 0y s s Z s или

216 , , 0.sy s Z s

Ответ: 1) 8 , 1,2,...; 216kx k y ;

2) 8, 216 , 1,2,...sx y s

2. Тройка чисел ; ;x y z удовлетворяет уравнению, если

cos( ) 1,

cos( ) 1,

cos 0.

x y z

y z

z

Решим эту систему. Имеем

,

, , , .

, 2

x y z n

y z m n m k Z

z k

Отсюда находим

( ),

( ) , , , .2

,2

x n m

y m k n m k Z

z k

Введем обозначения: , ,2 2

x x y y z z

. Количество

различных троек ; ;x y z , удовлетворяющих неравенству

2 2 2 24x y z равно числу искомых троек ( ; ; )x y z . Имеем

2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) .x y z n m m k k

В результате неравенство принимает вид: 2 2 2( ) ( ) 4.n m m k k (*)

Нужно найти число троек целых чисел ; ;n m k , удовлетворяющих

этому неравенству. Еще раз введем обозначения:

, , .n n m m m k k k

Тогда неравенство (*) примет вид 2 2 2 4.n m k

Последнее неравенство задает шар с центром в нуле радиуса 2.

Количество различных троек целых чисел ( , , )n m k ,

удовлетворяющих этому неравенству равно количеству искомых

решений уравнения.

Сечение шара2 2 2 4u v w плоскостью 0w является круг

2 2 4u v . Этот круг содержит 13 точек с целочисленными

координатами:

Сечение шара 2 2 2 4u v w плоскостью 1w является круг2 2 3u v . Этот круг содержащит 9 точек с целочисленными

координатами:

Сечение шара плоскостью 2w содержит только одну точку

0;0;2 с целочисленными координатами.

С учетом симметрии шара относительно плоскости 0w общее

число троек ( ; ; )n m k , удовлетворяющих неравенству

2 2 2 4n m k равно 13 2 9 2 1 33.N

Ответ: 33 решения.

3. Так как правая часть уравнения 2

49 3 5x y x y

делится на 49, то 7 .x y k Подставляя это в уравнение,

получаем 249 49 3 5k x y или 23 5x y k . Решая систему

23 5 ,

7 ,

x y k

x y k

находим

35,

2 .

21,

2

k kx

k Zk k

y

Из полученных решений надо отобрать те, у которых x

и y

являются целыми числами. В силу того, что числа k и 35 k и k

и 21k

имеют разную четность, то при любых целых k числители обеих дробей являются четными, и, следовательно, сами

дроби являются целыми числами.

Ответ: :

35,

2 .

21,

2

k kx

k Zk k

y

4. Каждому опыту бросания круга соответствует точка M −

положение центра круга на вертикальном отрезке ;A B длины 1.

Введём обозначения: R − радиус круга, O − середина отрезка

;A B , 0;0,5OM x

– случайная величина, равномерно

распределенная на этом отрезке, − угол, указанный на рисунке,

cos.

2AM h

Площадь кругового сегмента 1S круга радиуса R задается

формулой:

2 2

1

1sin 2

2S R R

В нашем случае 1

2R , следовательно,

1

sin 2.

4 8S

Из условия задачи следует, что

{𝑆1: 𝑆2 = (𝜋 − 2): (3𝜋 + 2),

𝑆1 + 𝑆2 =𝜋

4.

Тогда 𝑆1 = 𝑘(𝜋 − 2) , а 𝑆2 = 𝑘(3𝜋 + 2). Подставляя это во второе

равенство получим: 𝑆1 + 𝑆2 = 𝑘 ∙ 4𝜋 =𝜋

4. Следовательно, 𝑘 =

1

16 .

Тогда, 𝑆1 =𝛼

4−

𝑠𝑖𝑛2𝛼

8=

1

16(𝜋 − 2) . Откуда находим 𝛼 =

𝜋

4 . Таким

образом, условия задачи соответствуют центральному углу PMQ

равному 2

. Тогда

2

4h и благоприятному исходу опыта

соответствуют точки M , удаленные от точки O на расстояние не

более, чем 1 2 2

2 4h

. Так как вероятность искомого события

равна отношению длины отрезка «благоприятных» исходов, т.е.

2 2

2

к длине отрезка ;A B , т.е. к единице, то искомая

вероятность 2 2

( ) 0,292

P A

Ответ: 2 2

( ) 0,29.2

P A

5. Решениями второго уравнения системы являются 1x и

2.y

Cлучай 1. 1.x Подставляем в первое уравнение системы 1,x

получим:

4𝑐𝑜𝑠2𝑎 + (𝑦 − 2 − 2𝑠𝑖𝑛𝑎)2 = 3

или

(𝑦 − 2)2 − 2𝑠𝑖𝑛𝑎(𝑦 − 2) + 1 = 0.

Это квадратное уравнение относительно 2 .y Оно имеет два

решения, если его дискриминант положительный: 𝐷

4⁄ = 4𝑠𝑖𝑛2𝑎 − 1 > 0 или |sin𝑎| > 12⁄ .

На тригонометрическом круге отмечены значения a , при

которых окружность (первое уравнение системы) пересекает

прямую 1.x

Случай 2. 2.y Подставляем в первое уравнение системы

2y , получим:

(𝑥 − 1 − 2𝑐𝑜𝑠𝑎)2 + 4𝑠𝑖𝑛2𝑎 = 3

или

(𝑥 − 1)2 − 4𝑐𝑜𝑠𝑎(𝑥 − 1) + 1 = 0.

Полученное квадратное уравнение относительно 1x имеет два

решения, если его дискриминант положительный, то есть

𝐷

4= 4𝑐𝑜𝑠2𝑎 − 1 > 0 или |cos𝑎| > 1

2⁄ .

На тригонометрическом круге отмечены значения a , при которых

окружность (первое уравнение системы) пересекает прямую 2.y

На пересечении отмеченных в случаях 1 и 2 множеств окружность

пересекает обе прямые, а система имеет четыре решения:

Искомые значения a объединяются в серию

; , .6 2 3 2

k ka k Z

Ответ: ; , .6 2 3 2

k ka k Z

6. Введём обозначения: S – площадь трапеции, 1S – площадь

треугольника ABC , 2S – площадь треугольника ACD , h – высота

трапеции, 𝛾 =𝑞

𝑝 , 𝜇 =

𝑛

𝑚.

Имеем 1 2:n

S Sm

так, как у этих треугольников одинаковая

высота. Следовательно, 𝑆1 =𝑛

𝑛+𝑚∙ 𝑆. Из подобия треугольников

AND иCNT следует, что 𝑇𝐶

𝐴𝐷=

𝑞

𝑝. Из этого равенства получим:

TC=𝑞

𝑝𝐴𝐷 . Тогда TB= 𝑇𝐶 − 𝐵𝐶 =

𝑞

𝑝𝐴𝐷 −

𝑛

𝑚𝐴𝐷 = (

𝑞

𝑝−

𝑛

𝑚) 𝐴𝐷. Из

подобия треугольников AMD и BTM следует

BM:AM= 𝑇𝐵: 𝐴𝐷 = (𝑞

𝑝−

𝑛

𝑚) .

Поэтому 𝐴𝑀

𝐴𝐵=

𝐴𝑀

𝐴𝑀+𝑀𝐵=

1

1+𝐵𝑀:𝐴𝑀=

1

1+𝑞

𝑝⁄ −𝑛𝑚⁄

.

Тогда

𝑆𝐴𝑀𝑁 =𝐴𝑀

𝐴𝐵∙

𝑝

𝑝+𝑞∙ 𝑆1 =

1

1+𝑞

𝑝−

𝑛

𝑚

∙1

1+𝑞

𝑝

∙ 𝑆1 =1

1+𝛾−𝜇∙

1

1+𝛾∙ 𝑆1

Отсюда получим

𝑆𝑀𝐵𝐶𝑁 = 𝑆1 − 𝑆𝐴𝑀𝑁 = (1 −1

1 + 𝛾 − 𝜇∙

1

1 + 𝛾) 𝑆1 =

= (1 −1

1+𝛾−𝜇∙

1

1+𝛾)

𝜇

1+𝜇𝑆.

В нашей задаче 𝛾 = 2 , 𝜇 =1

3 поэтому 𝑆𝑀𝐵𝐶𝑁: 𝑆 = 7: 32.

Ответ: : 7 : 32.MBCNS S


1. Натуральные числа x и y таковы, что их ( , ) 16НОД x y , а

8 12(log , log ) 18НОК x y . Найти эти числа.

Ответ: .y,xy,x 1448;1448 189


решений уравнения sin( 2 ) sin( ) 2 cosx y z y z z ,

удовлетворяющих неравенству2 2 2 2( / 2) 9x y z .

Ответ: 123 решения.



25 2 3x y x y .

Ответ:

(15 ),

10 ,

x m m

y m m

.m Z






4 3 3 : 8 3 3 .

Ответ: 1

( ) .2

P A


2 2

2 2 2 cos 1 2 2 sin 2

3 1 0

x a y a

x y x y

имеет три

решения?

Ответ:

1 2

7 11, , .

12 12a k a k k Z

6. Точка N делит диагональ AC трапеции ABCD в

отношении : 3CN NA . Длины оснований BC и AD трапеции

относятся как 1: 2 . Через точку N и вершину D проведена

прямая, пересекающая боковую сторону AB в точке M . Какую

часть площади трапеции составляет площадь четырехугольника

MBCN ?

Ответ: : 13 : 42.MBCNS S


1. Натуральные числа x и y таковы, что их

6 8( , ) 3 2НОК x y , а 3 12(log , log ) 2НОД x y . Найти эти числа.

Ответ: .y,x 20736127293 46


решений уравнения sin( 2 ) cos( ) 2 sinx y z y z z ,

удовлетворяющих неравенству 2 2 2 2( / 2) 5x y z .

Ответ: 57 решений.



2 9x y x y .

Ответ:

(2 3),

3 ,

x m m

y m m

.m Z






2 3 3 : 10 3 3 .

Ответ: 2 3

( ) 0,132

P A

.


2 2 52 5 cos 1 5 sin

4

2 3 0

x a y a

x x y

имеет два решения?

Ответ: 5 2

; ; , .12 3 12 3

a k k k k k Z

6. Точка N делит диагональ AC трапеции ABCD в

отношении : 4CN NA . Длины оснований BC и AD трапеции

относятся как 2 : 3 . Через точку N и вершину D проведена

прямая, пересекающая боковую сторону AB в точке M . Какую

часть площади трапеции составляет площадь четырехугольника

MBCN ?

Ответ:

: 124 : 325.MBCNS S


1. Натуральные числа x и y таковы, что их

4 6( , ) 5 2НОК x y , а 10 40(log , log ) 4НОК x y . Найти эти числа.

Ответ: .y,x 24 4010


решений уравнения cos( ) sin( ) 2 sinx y z y z z ,

удовлетворяющих неравенству2 2 2 2( / 2) ( / 2) 3x y z .

Ответ: 27 решений.



2 3 16x y x y .

Ответ: 1)

(15 4),

10 4

x m m

y m m

; 2)

(5 2)(3 2)

2 (5 2),

x m m

y m m m Z

.






5 3 : 7 3 .

Ответ: 2 2 3

( ) 0,742

P A


2 22 3cos 2 3sin 1

2 0

x a y a

y x y

имеет единственное

решение?

Ответ:

1 2

1 1arcsin , arcsin , .

3 4 3a k a k k Z

6. Точка N делит диагональ AC трапеции ABCD пополам.

Длины оснований BC и AD трапеции относятся как 1: 4 . Через

точку N и вершину D проведена прямая, пересекающая боковую

сторону AB в точке M . Какую часть площади трапеции

составляет площадь четырехугольника MBCN ?

Ответ:

: 1: 7.MBCNS S

Очный отборочный тур в регионах,осень 2018

11 класс (выезд 1)


1. При каких натуральных значениях a уравнение

5 cos2 , sin 2 3НОД x a x имеет решения? Найти эти решения.

2. Координаты ( ; ; )x y z точек M в пространстве являются

решениями уравнения 2sin( ) cos( 2 ) 2 3x y z x y z a a .

Найти максимальный радиус шара в пространстве, не содержащего

внутри себя такие точки.

3. Прямая с уравнением 2 5 0x y касается параболы

2y ax bx c в точке с целочисленными координатами. Найти

координаты вершины параболы, если известно, что она пересекает

ось x в точке с абсциссой 1x , а числа , ,a b c – целые.

4. Ученики 10a вычисляли средние арифметические

1 2 ... /n nx a a a n членов числовой последовательности

2 15 /12, 1,2,..., , 1,2,...,16ka k k n n . Вероятность

допустить ошибку при вычислении nx пропорциональна n , а

событие «сделать ошибку при вычислениях 16 средних» -

достоверно. При вычислении 15x получен результат 15 31/12x .

Найти вероятность того, что при вычислении 14 15,x x и 16x будет

хотя бы два правильных результата.

5. При каких целых a и b система уравнений

2 1

2 3 1 4 19 2 3 0

ax y b

x y x y x y


6. Точки ,M N и P лежат на боковых ребрах правильной

треугольной призмы 1 1 1ABCA B C и делят их в отношении

1 1 1: 1: 2, : 1: 3, : 2 : 3AM MA BN NB CP PC . В каком

отношении делит объем призмы плоскость, проходящая через

точки ,M N и P ?


1. 5 | cos2 |x из натуральных значений может принимать только

значения 1,2,3,4,5. Так как

НОД(5| cos2 |, | sin2 |) 3,x a x

то 5| cos2 | 3,x т.е.

1 3| cos 2 | 3 / 5 sin 2 | 4 / 5 и arccos , .

2 5 2 |

nx x x n Z

Для параметра a получаем уравнение

НОД(3,4 / 5) 3,a

равносильное тому, что a кратно 15.

Ответ:

15 , ;

3arccos , .

5 2

a k k N

nx n Z

2. Так как 2 22 3 ( 1) 2,a a a то при 1a величина

2 2 3 2a a и уравнение не имеет решений, поэтому искомый

радиус .R При 1a уравнение равносильно системе

sin( ) 1

cos( 2 ) 1

x y z

x y z

Решая систему, получаем

2 ,2

2 2 ,

x y z n n Z

x y z k k Z

Первое уравнение определяет семейство плоскостей с нормальным

вектором {1;1;–1} и расстоянием между плоскостями, равным

1 2 / 3.d Второе уравнение задает семейство плоскостей с

нормальным вектором {1;1;2} и расстоянием между плоскостями,

равным 2 2 / 6.d Так как скалярное прозведение векторов

{1;1;–1} и {1;1;2} равно нулю, то плоскости из разных семейств

взаимно перпендикулярны. Таким образом решение

рассматриваемой системы представлено пересечениями этих

плоскостей. Эти пересечения образуют семейство прямых

параллельных рассматриваемым плоскостям. При пересечении

этих прямых плоскостью, перпендикулярной им, получим сетку из

точек, лежащих в вершинах прямоугольников со сторонами

1 2и d d :

Круг, описанный около прямоугольника (на рисунке это ABCD),

имеет радиус, равный максимальному радиусу шара, внутрь

которого не попадают прямые из нашего семейства. Они касаются

поверхности шара:

Используя теорему Пифагора для треугольника BCD получаем,

что искомый радиус

2 22 2

1 2

1 1 4 4.

2 2 3 6 2R d d

d1

d2

1

C

A D

B

A

B C

D

d1

d2

1

2R

Ответ:

, 1

, 12

R a

R a

.

3. Так как парабола пересекает ось абсцисс при 1,x то

значение функции 2y ax bx c в этой точке равно нулю, т.е.

0.a b c

Уравнение заданной прямой можно записать в виде

5 2 .y x

Условие касания этой прямой с параболой в точке ( ; )x y состоит в

равенстве значений функций и производных:

2 5 2

2 2

ax bx c x

ax b

Это дает следующую систему уравнений

2 5 2

2 2

0

ax bx c x

ax b

a b c

Из двух последних уравнений находим

2 2 , 2 2 .b ax c a b a ax

Подставляя это в первое уравнение, получаем

2 2( 2 1) 3, ( 1) 3.a x x a x

По условию задачи величины a и x должны быть целыми. Это

возможно только в двух случаях: x=0 или x=2. Решая систему,

находим два варианта

0 3, 2, 5

2 3, 10, 7

x a b c

x a b c

В первом случае координаты вершины параболы

21 16, ,

2 3 3в в в в

bx y ax bx c

a

А во втором

25 4, .

2 3 3в в в в

bx y ax bx c

a

Ответ: 3 16 5 4

; , ; .5 3 3 3

4. Пусть вероятность допустить ошибку при вычислении nx

равна pn. Вероятность того, что при вычислении nx не было

ошибки

равна 1− pn. Вероятность того, что все вычисления проделаны без

ошибок равна

1 2 16(1 )(1 )...(1 ),p p p

А вероятность того, что ошибка сделана равна

1 2 161 (1 )(1 )...(1 ).p p p

По условию задачи данная вероятность равна 1. Это может быть

только тогда, когда одна из вероятностей pn равна 1. С другой

стороны, по условию задачи

1.np np

Поэтому единице может быть равна только p16. Это означает, что

1 2 3 15 16

1 2 3 15, , , ... , , 1.

16 16 16 16p p p p p

Вычислим x15, суммируя 15 членов арифметической прогрессии с

первым членом 19 и последним членом 45, находим

15

1 17 19 45 1... 17 19 ... 45

15 12 12 12 15 12

(17 45) 15 62 15 31.

15 12 2 15 12 2 12

x

Отсюда следует что при вычислении x15 ошибки не было. Поэтому

при вычислении x15, x15, x15 будут хотя бы два правильных

результата тогда и только тогда, когда безошибочно одно из

вычислений x14 или x16. Вероятносто того, что ошибочны оба

вычисления равна

14 16

14 71 .

16 8p p

Соответственно искомая вероятность равна

7 11 .

8 8

Ответ: 1

.8

5. Первое уравнение системы определяет при b≠0 пару

параллельных прямых и при b=0 одну прямую. Второе уравнение

определяет три прямых в общем положении. Их точки пересечения

имеют координаты (4;3), (1:1) и (5:−1). Четыре решения у системы

возможны в следующих двух случаях:

1) Первое уравнение определяет пару параллельных прямых

(т.е. b≠0). Эти прямые параллельны одной из прямых второго

уравнения системы и не проходят через их точки пересечения.

2) Первое уравнение определяет пару параллельных прямых

(т.е. b≠0), которые не параллельны ни одной прямой из второго

уравнения системы и каждая из этих параллельных прямых

проходит через одну из точек пересечения прямых из второго

уравнения.

Рассмотрим первый случай. Параллельность прямых проверяем

равенством их угловых коэффициентов. Условие параллельности

прямой 2x-3y+1=0 имеет вид

2 4 .

2 3 3

aa

Этот случай не подходит, т.к значение a должно быть целым.

Условие параллельности прямой 4x+y-19=0:

4 8.2

aa

Значение b находим из условия прохождения через точки

пересечения:

| 8 2 1| .b x y

Для точки (1;1) получаем b=11, для точки (4;3) величина b=39 и для

точки (5;−1) значение b также равно 39. Условие параллельности

прямой x+2y−3=0:

1 1.

2 2

aa

Прохождение через точки пересечения определяет величину

параметра

| 2 1| .b x y

Для точки (1;1) получаем b=4, для точки (4;3) величина b=11 и для

точки (5;−1) значение b равно 4. Это заканчивает рассмотрение

первого случая.

Рассмотрим второй случай. С учетом предыдущего пункта условие

непараллельности имеет вид

8, 1.a a

Прохождение через точки пересечения определяет параметр b. Для

пары точек (1;1) и (4;3) получаем

| 3 | | 4 7 |,

3 4 7

3 4 7

4 / 3

2

b a a

a a

a a

a

a

Подходит только целое значение a=−2, для которого b=1. Для пары

точек (1;1) и (5;−1) имеем уравнение

| 3 | | 5 1|,

3 5 1

3 1 5

1

1/ 3

b a a

a a

a a

a

a

Здесь оба значения не подходят. Наконец для пары точек (4;3) и

(5;−1) получаем уравнение

| 4 7 | | 5 1|,

4 7 5 1

4 7 1 5

8

2 / 3

b a a

a a

a a

a

a

Здесь также не подходит ни одно из значений.

Объединяя все рассмотенные случаи получаем окончательный

ответ

Ответ:

8, , 11, 39

1, , 4, 11

2, 1

a b N b b

a b N b b

a b

6. Нарисуем чертёж согласно условиям задачи.

Обозначим заданные в задаче отношения следующим образом

1 1 1 2 1 3: , : , :AM MA BN NB CP PC . Пусть a – сторона

основания призмы, b – ее боковое ребро. Без ограничения

общности, полагаем, что 3 1 2 . Тогда PC MA NB и

3 1 2

3 1 2

, , .1 1 1

PC b MA b NB b

Площадь основания пирамиды PMQTN равна

3 31 2

1 3 2 3

31 2

1 2 3

1

2 1 1 1 1

2,

2 1 1 1

QMNTS b b a

ab

а ее объем 2

31 2

1 2 3

23.

12 1 1 1PQMNT

a bV

Объем призмы ABCQTPравен

2

3

3

3

4(1 )ABCQTP

a bV

. Объем

многогранника ABCMNP равен 2

31 2

1 2 3

3

12 1 1 1ABCMNP PQMNT ABCQTP

a bV V V

Объем многогранника 1 1 1A B C MNP равен

1 1 1 1 1 1

2 2

31 2

1 2 3

2

1 2 3

3 3

4 12 1 1 1

3 1 1 1

12 1 1 1

A B C MNP ABCA B C ABCMNPV V V

a b a b

a b

Тогда 1 1 1

: :A B C MNP ABCMNPV V , где

31 2

1 2 3 1 2 3

1 1 1,

1 1 1 1 1 1

В данном варианте

1 1 11 2 3

1 1 2, , : 59 :121.

2 3 3A B C MNP ABCMNPV V

Ответ: 59:121



4 cos , cos3 2НОД x a x имеет решения? Найти эти решения.

Ответ:

4 2, ; , 3

4 , ; , 3

ka n n N x k Z

a n n N x k k Z


решениями уравнения2cos( 2 2 ) sin( ) 4 6 0x y z y z a a . Найти

максимальный радиус шара в пространстве, не содержащего


Ответ: 22

6



наибольшее возможное значение второго корня уравнения2 0ax bx c , если первый корень равен 1 , а числа , ,a b c –

целые.

Ответ: 3

2

4. Ученики 10бвычисляли средние арифметические


2 3 / 6, 1,2,..., , 1,2,...,12ka k k n n . Вероятность допустить

ошибку при вычислении nx пропорциональна n , а событие «сделать

ошибку при вычислениях 12 средних» достоверно. При

вычислении 7x получен результат 7 9 / 7x . Найти вероятность

того, что при вычислении 7 8,x x и 9x будет один правильный

результат.

Ответ: 5

12


2 1

2 4 5 7 1 0

ax y b

x y x y x y

имеет шесть решений?

Ответ:

1; 10; 2;

2 5; 2 7; 2 1;

2 3; 5 ; 3

a a a

b a b a b a

b a b a b a



1 1 1: 1: 4, : 3 : 2, : 3 : 4AM MA BN NB CP PC . В каком



Ответ: 62:43



6 sin , sin3 2НОД x a x имеет решения? Найти эти решения.

Ответ:

6 2, ; , 2

154 , ; arcsin ,

3

227(2 1), ; arcsin ,

3

a n n N x k k Z

a n n N x k k Z

a n n N x k k Z


решениями уравнения

sin( 2 2 ) sin(2 2 ) 3 2x y z x y z a . Найти

максимальный радиус шара в пространстве, не содержащего


Ответ: 2

3



координаты точки касания, если парабола пересекает ось x в точке

с абсциссой 2x , а числа , ,a b c – целые.

Ответ: (3;−5), (1;3)

4. Ученики 10ввычисляли средние арифметические


3 5 /15, 1,2,..., , 1,2,...,10ka k k n n . Вероятность

допустить ошибку при вычислении nx пропорциональна n , а

событие «допустить ошибку при вычислениях 10 средних» –

достоверно. При вычислении 6x получен результат 6 43 /18x .

Найти вероятность того, что при вычислении 6 7,x x и 8x будет два

правильных результата.

Ответ: 3

50


2 1

3 5 2 5 22 3 4 0

ax by

x y x y x y

имеет пять решений?

Ответ:

1 , , 1

3 , , 2

3 1, 5 2, , 0

3 , 5 1, , 0

a b b Z b

a b b Z b

a n b n n Z n

a n b n n Z n



1 1 1: 2 : 5, : 1: 3, : 4 : 3AM MA BN NB CP PC . В каком

отношении делит объем призмы плоскость, проходящая через точки

,M N и P ?

Ответ: 53:31



4 cos , cos2 2НОД x a x имеет решения? Найти эти решения.

Ответ:

4 2, ; ,

4 , ; , 3

a n n N x k k Z

a n n N x k k Z


решениями уравнения

sin( 2 ) cos( 3 ) 2 2 0x y z x y z a .

Найти максимальный радиус шара в пространстве, не содержащего


Ответ: 1122

66



наименьшее возможное значение ординаты точки касания, если

парабола пересекает ось x в точке с абсциссой 2x , а числа

, ,a b c – целые.

Ответ: −14

4. Ученики 10гвычисляли средние арифметические


4 3 / 5, 1,2,..., , 1,2,...,13ka k k n n . Вероятность допустить

ошибку при вычислении nx пропорциональна n , а событие

«допустить ошибку при вычислениях 13 средних» – достоверно.

При вычислении 11x получен результат 11 21/ 5x . Найти

вероятность того, что при вычислении 10 11,x x и 12x будет два

правильных результата.

Ответ: 46

169


2 3

3 4 1 4 10 5 6 0

ax y b

x y x y x y

имеет бесконечное число решений?

Ответ: 8, 17; 8; 23.a b a b



1 1 1: 2, : 2 :5, : 2 :3AM MA BN NB CP PC . В каком



Ответ: 173:142.

Очный отборочный тур в регионах, осень 2018

11 класс (второй выезд)


1. Знаменатель геометрической прогрессии nb равен q , а при

некотором натуральном

2 2 2 3 2 2 1log log ... log 2 lognb b b b .

Найти наименьшее возможное значение2

1logq b , если известно, что

оно целое. При каком n это значение достигается?

2. Решить уравнение 3 sin 2 cos sin 2x x x , где a

целая часть числа a , т.е. наибольшее целое число, не

превосходящее a .

3. Доказать, что дробь

4 2

3

2 4 1

2 3

a a

a a

несократимая при любых

натуральных a .

4. На отрезке длины L случайным образом взяты две точки,

разделившие его на три части. Найти вероятность того, что длина

одной из этих частей окажется не меньшей5 /12L .

5. При каких a система

2 2 2 2

7 sin 1 cos 0

( 4) ( 4) 1 ( 4) ( 4) 4 0

x a y a

x y x y

имеет единственное решение?

6. Точки ,P Q и K расположены на боковых ребрах , ,SA SB SC

треугольной пирамиды SABC так, что

: 1: 2, : 2:3, : 3:5SP SA SQ SB SK SC .

Объем пирамиды SABC равен 15. Точка M принадлежит

треугольнику ABC основания пирамиды. Найти максимально

возможное значение объема пирамиды MPQK .

2n


1. Согласно свойствам логарифмов получаем после

преобразований 2

2 2 3 2 1

2

2 3 1

log ( ) logn

n

b b b b

b b b b

Используя формулу общего члена геометрической прогрессии,

получаем 2 1

2 1 3 1 1, , , n

nb b q b b q b b q

и с помощью этих соотношений и формулы суммы

арифметической прогрессии

( 1)1 2 ( 1)

2

n nn

приводим полученное уравнение к виду

1 1 2 ( 1) 2 3 ( 1)/2

1 1 1 1n n n n nb q b b q

Логарифмируя по основанию q, находим

1

2

1

2

1

( 1)( 3) log 0

2

3 ( 1)log 0

2 2

( 1)log

3

q

q

q

n nn b

n n nb

n nb

n

Так как

( 1) ( 3) 2( 3) 6 62 ,

3 3 3

n n n n nn

n n n

то

2

1

6log 2 .

3q b n

n

Согласно условию задачи величина

6

3n

должна быть целым числом. Это возможно только при

2;4;5;6;9 .n

Подставляя в полученную выше формулу указанные значения,

находим все возможные значения искомой величины 2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2 log 2

4 log 12

5 log 10

6 log 10

9 log 12

q

q

q

q

q

n b

n b

n b

n b

n b

Отсюда видно, что наименьшее значение искомой величины равно

−12 и оно достигается для двух значений: n=4 и n=9.

Ответ: 12 при 4 и 9.n n

2. Имеем следующие значения

3[sin 2 ] { 3;0;3}, 2[cos ] { 2;0;2}, [sin 2 ] { 1;0;1}.x x x

Для решения уравнения они дают всего три варианта

[sin ] 1, [cos ] 1, [sin 2 ] 1

[sin ] 0, [cos ] 0, [sin 2 ] 0

[sin ] 1, [cos ] 1, [sin 2 ] 1

x x x

x x x

x x x

Рассмотрм первый вариант.

[sin ] 1 1 sin 0

[cos ] 1 cos 1

[sin 2 ] 1 1 sin 2 0

x x

x x

x x

Из второго уравнения следует, что

sin 0x

И это противоречит первому уравнению. В данном варианте

решения отсутствуют. Рассмотрим второй вариант

[sin ] 0 0 sin 1

[cos ] 0 0 cos 1

[sin 2 ] 0 0 sin 2 1

x x

x x

x x

Из первого и второго соотношений системы следует, что

sin 2 2sin cos 0,x x x

а так как sin 2 1x , то из решений первых двух двойных

неравенств системы нужно только выбросить точки в которых

sin 2 1x . Решения первых двух указанных неравенств

определяют первую четверть на тригонометрическом круге:

Решение уравнения sin 2 1x имеют вид

, .4

x n n Z

Таким образом, решения для второго варианта имеют вид

2 ; 2 2 ; 2 , .4 4 2

x n n n n n Z

Рассмотрим последний вариант.

[sin ] 1 sin 1

[cos ] 1 1 cos 0

[sin 2 ] 1 sin 2 1

x x

x x

x x

Из первого уравнения системы следует, что cos 0x , что

противоречит второму соотношению системы. Эта система также

как и первая решений не имеет.

Ответ: 2 ; 2 2 ; 2 , .4 4 2

x n n n n n Z

3. Пусть 4 22 4 1a a и

32 3a a делятся на d. Тогда 4 2 32 3 (2 3 )a a a a a

Также делится на d. Отсюда следует, что на d делится разность 4 2 4 2 2(2 4 1) (2 3 ) 1.a a a a a

Следовательно величина 3 22 2 ( 1) 2a a a a

также делится на d. Так как согласно первоначальному

предположению величина 32 3a a делится на d и

32 2a a также

делится на d , то на d делится их разность 2 2(2 3 ) (2 2 ) .a a a a a

Поэтому на d делится также и 2a . Но выше было показано, что на

d делится величина 2 1a , отсюда следует, что разность

2 2( 1) 1a a

должна делится на d, но это означает, что d=1, что и означает

несократимость исходной дроби. Утверждение задачи доказано.

4. Пусть x и y – длины двух отрезков с левой стороны. Длина

третьего отрезка равна ( )L x y . Пространство элементарных

событий состоит их всех пар ( , ),x y для которых

0 0

0 0

0 ( ) 0

x L x L

y L y L

L x y L x y L

На координатной плоскости они образуют треугольник с

вершинами (0,0), ( ,0), (0, ) L L :

x

y

L

L

Площадь этого треугольника равна 2 / 2L . Для решения задачи

удобнее вычислить вероятность неблагоприятных событий,

которые определяются системой неравенств

5 5

12 12

5 5

12 12

5 7( )

12 12

x L x L

y L y L

L x y L x y L

На координатной плоскости они также образуют прямоугольный

треугольник с катетами / 4L :

Площадь этого треугольника равна 21

32L . Вероятность

неблагоприятных событий равна отношению площадей

2

2

1

1321 16

2

L

q

L

А искомая вероятность

1 151 1 .

16 16p q

x

y L

7L/12 5L/12 L

7L/12

5L/12

Ответ: 15

.16

5. Первое уравнение системы определяет семейство прямых,

проходящих через точку M(7;1) и имеющих угловой коэффициент,

равный tgk a . Второе уравнение определяет пару

концентрических окружностей с центром O(4;4) и радиусами 1 и 2.

Система будет иметь единственное решение тогда и только тогда,

когда прямая касается окружности большего радиуса. Таких

прямых две:

Вектор MO имеет координаты {4-7;4-1}={-3;3} и поэтому

прямая MO образует угол3 / 4 с осью абсцисс. По теореме

Пифагора длина отрезка MO равна 3 2 . Длина отрезка OK (K –

точка касания) равна 2 (радиус большей окружности). Поэтому из

прямоугольного треугольника OMK находим величину угла

2 2arcsin arcsin .

33 2OMK

Теперь находим величину искомого угла

3 3 2arcsin .

4 4 3a n n

Аналогично находим значение параметра a для второй прямой

x

y

M

O K

N a φ

3

4

Так как треугольники OMK и OMN равны, то величина угла

OMN также равна

2arcsin .

3

Следовательно

3 3 2arcsin .

4 4 3a n n

Ответ: 3 2

arcsin , .4 3

a n n Z

6. Нарисуем чертёж:

Обозначим заданные в задаче отношения следующим образом

1 2 3: , : , :SP SA SQ SB SA SC . Пусть V – объем

пирамиды SABC . Вычислим объем 1V пирамиды SPQK . Пусть у

M

O

N φ

3

4

a

S

M

K

Q

P

C

B

A

пирамииды SABC основанием будет треугольник SAB , а

вершиной точка C . Тогда

1,

3SAB CV S h

где Ch − высота, опущенная из вершины C . Площадь основания

1sin( ).

2SABS SA SB S

Площадь SPQ равна

1sin( ).

2SPQS SP SQ S


1 2

1sin( )

21

sin( )2

SPQ

SAB

SP SQ SS SP SQ

S SA SBSA SB S

Так, что

1 2 .SPQ SABS S

Объем пирамиды SPQK

1

1,

3SPQ KV S h

где Kh − высота, опущенная на плоскость SAB из вершины K .

Так как 3: ,SA SC то также и

3 3 .KK C

C

hh h

h

Таким образом

1 1 2 3 1 2 3

1 1 1,

3 3 3SPQ K SAB C SAB CV S h S h S h

т.е.

1 1 2 3 .V V

Объем пирамиды MPQK равен произведению одной трети

площади треугольника PQK на расстояние от точки M до

плоскости PQK . Следовательно объем пирамиды MPQK будет

максимальным в том случае когда точка M находится на

наибольшем расстоянии от плоскости PQK . Нетрудно видеть, что

для этого точка M должна совпадать с той вершиной треугольника

ABC , которая находится дальше всего от плоскости PQK .

Обозначим искомый в задаче объем пирамиды MPQK через 2V .

Если точка M совпадает с вершиной A , то посколько у пирамид

MPQK и SPQK одно и то же основание PQK , то отношение их

объемов равно

11 1.AP SA SP SA

SP SP SP


2 1 1( 1) .V V

Аналогично в том случае, когда точка M совпадает с вершиной B, то

2 2 1( 1) ,V V

а если когда точка M совпадает с вершиной C , то

2 3 1( 1) ,V V

Таким образом наибольшее значение объема

2 1

1 2 3

1 1 1max 1, 1, 1 ,V V

т.е.

2 1 2 3

1 2 3

1 1 1max 1, 1, 1 .V V

Для данного варианта

1 2 3

1 2 3, , , 15,

2 3 5V

что дает значение

2 3.V

Ответ: 3.



некотором натуральном


Найти наибольшее возможное значение2



Ответ: 6 при 3.n

2. Решить уравнение sin 2 2 cos 3 sin3x x x , где a



Ответ:

2 ; 2 2 ; 26 6 4

2 ; 2 , 4 3

x n n n n

n n n Z


2

3 2

2 1

2 2

a a

a a a





одной из этих частей окажется не меньшей3 / 4L .

Ответ: 3

16


2 2 2 2

sin 6 cos 0

( 3) ( 3) 1 ( 3) ( 3) 9 0

x a y a

x y x y

имеет два решения?

Ответ:

2n

3 2; arcsin

2 4 6

3 2arcsin ; ,

4 6

a n n

n n n Z



: 2 :3, : 1: 4, : 1:3SP SA SQ SB SK SC .




Ответ: 2.



некотором натуральном 2n


Найти наименьшее возможное значение2



Ответ: −30 при 6n и 25.n

2. Решить уравнение cos3 2 sin 2 cosx x x , где a



Ответ:

, 2

22 ,

3

2 ; 2 , 6

72 ; 2 ,

6

x n n Z

x n n Z

x n n n Z

x n n n Z


4 2

3

6 6 1

6 3

a a

a a





одной из этих частей окажется не меньшей 4 / 9L .

Ответ: 8

9


2 2 2 2

5 sin 5 cos 0

( 1) ( 1) 4 ( 1) ( 1) 16 0

x a y a

x y x y

имеет три решения?

Ответ: 2

arcsin , 4 6

a n n Z



: 2 :5, : 1: 2, : 4:9SP SA SQ SB SK SC .




Ответ: 6.



некотором натуральном 2n


Найти наибольшее возможное значение2



Ответ: 20 при 5.n

2. Решить уравнение 2 cos 2 sin 3 sin 4x x x , где a



Ответ:

2 ; 2 , 8

2 ; 2 , 8 4

32 ,

4

x n n n Z

x n n n Z

x n n Z


2

3 2

2 1

2 3 2

a a

a a a





одной из этих частей окажется не меньшей 2 / 3L .

Ответ: 1

3


2 2 2 2

8 sin 2 cos 0

( 3) ( 3) 1 ( 3) ( 3) 9 0

x a y a

x y x y


Ответ:

3 2 3 2arcsin ; arcsin , .

4 10 4 10a n n n Z



: 3:5, : 2:3, : 1:6SP SA SQ SB SK SC .




Ответ: 8.

Documents

1. иy 8 y 5 4. На плоскости нарисовано бесконечное ...postypashki.ru/wp-content/uploads/2019/07/... · 2019-07-24 · случайно брошен