ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №71 Г. МОСКВЫ

Непериодические замощения Непериодические замощения прямой и плоскостипрямой и плоскости

Выполнил: Мухамеджанов Владислав, Выполнил: Мухамеджанов Владислав, ученик 9 «А» класса ученик 9 «А» класса

Научный руководитель:Научный руководитель:Павлова А.А., учитель физики Павлова А.А., учитель физики и информатики, к.г–м.н.и информатики, к.г–м.н.

Москва, 2013 г. Москва, 2013 г.

L R

L R L R

L R L L L

L L L L L L L L

R R R

R R RRRR R R

Например, число е=2,718281828459 (основание натурального логарифма) соответствует следующая бесконечная последовательность символов ...121086420 RLLRLRLRLRLRLRLRLRLRRL

Непериодические замощения прямой

объединение всехмножеств дает нам всепространство разбиения(прямая, плоскость и т.п.)

любые два множества пересекаются по множеству меньшей размерности (например, плоскости пересекаются по прямой)

Непериодические замощения прямой

{ } { }1;00;1 21 == eиe

е1

е2

y=kx, k>022 1

1

1 kи

k

k

++

2

2

Лемма 1. При описанном проецировании квадратной решетки на прямую y=kx, при k не равным 1 получается дваотрезка различной длины

при к=1 – один отрезок длины

.

Непериодические замощения прямойДоказательство

Пересекаем вертикальнуюсоседнюю

Пересекаем горизонтальнуюсоседнюю

1

αsin1 ⋅

21sin

k

k

+=α

1

Х

длина искомой проекции равна

.1

1cos,

1

1cos

,,cos

22 kто

tg

иktgкактакx

+=

+=

==

αα

α

αα

Непериодические замощения прямой

Лемма 2. Если , то получается периодическое замощение прямой

Qk ∈

Лемма 3. Длина периода последовательности равна m+n, где

{ }nxx

n

my =

ДоказательствоЕсли , то последовательность не периодична

2

15 −=k

Обозначим первый отрезок P, второй – Q. Пусть длина одного отрезка 1, другого k. Разобьем отрезок P на две части длины k, k2. Изменим теперь масштаб в k раз, тогда для каждого отрезка P получим два отрезка P, Q, а из Q получаем один отрезок P. Пусть теперь p,q число отрезков P, Q соответственно, тогда до смены масштаба их отношение равно p/q, а после смены (q+p)/p.

2

51+=⇒+=q

p

p

pq

q

pчто противоречит тому, что p и q натуральные

10,101 →→ 1, 10, 101, 10110, 10110101 и т.д.

Непериодические замощения прямой

012 =−+ nxxСеребряные сечения

2

42 nnk

−+= )( nnRLВ системе счисления LR -

01

10000

→

→

n

Генератор последовательности замощения для серебряных сечений

Непериодические замощения плоскости

Мы построили пример замощения на плоскости в «Маthematica 4.0» с использованием алгоритма Пенроуза. В этой конструкции правильный 5-ти угольник можно заменить на любой правильный многоугольник.

Таким образом, мы исследовали непериодическое замощение прямой, которое получается из периодического замощения плоскости проекцией на прямую с угловым коэффициентом равным золотому сечению.

Мы делаем предположение, что если угловой коэффициент прямой иррационален, то полученное замощение прямой будет не периодично.

Так же мы делаем предположение, что генерация последовательности связана с деревом Штерна-Броко.

На плоскости мы по предложенному алгоритму построили одно из них.

Заключение

Спасибо завнимание!!!