軌跡軌跡10

10.1 軌跡的概念

可通過以下各步驟：軌跡方程在笛卡兒坐標平面上的一般來說，動點 P

步驟一： 設 P 點的坐標為 (x, y) 。

步驟二： 根據已知條件，建立 x、 y 的方程或方程組。

步驟三： 化簡步驟 二所得的方程或方程組，得出所求的軌跡方程 ( 連結變量 x ， y 的方程 ) 　　

10 軌跡

例 10.1

解：),( yxP點的坐標為設

5)3()1( 22 yx

步驟一

25)3()1( 22 yx 步驟三

259612 22 yyxx

步驟二【 P 點與點 (–1, 3) 的距離 = 5 】

10.1 軌跡的概念

若 P 點在移動時與點 (–1, 3) 的距離恆為 5 單位，試求 P 點的軌跡方程。

0156222 yxyx

10 軌跡

例 10.1

解：),( yxP點的坐標為設 步驟一

25)3()1( 22 yx 步驟三

步驟二【 P 點與點 (–1, 3) 的距離 = 5 】

10.1 軌跡的概念

若 P 點在移動時與點 (–1, 3) 的距離恆為 5 單位，試求 P 點的軌跡方程。

點的軌跡是一個圓 P

01562

22 yxyx

P點的軌跡方程因此，

5)3()1( 22 yx

259612 22 yyxx

0156222 yxyx

10 軌跡

例 10.2

10.1 軌跡的概念

解：

2222 )4()2()3()1( yxyx

步驟一

168449612 2222 yyxxyyxx 步驟三

0573

yx

P點的軌跡方程是因此，

步驟二

若 P 點為 (–1, 3) 和 (2, –4) 兩點等距，試求 P 點的軌跡方程。

),( yxP點的坐標為設

0573 yx

10 軌跡

例 10.2

10.1 軌跡的概念

解：

2222 )4()2()3()1( yxyx

步驟一

0573

168449612 2222

yx

yyxxyyxx 步驟三

0573

yx

P點的軌跡方程是因此，

步驟二

若 P 點為 (–1, 3) 和 (2, –4) 兩點等距，試求 P 點的軌跡方程。

),( yxP點的坐標為設

Ｐ 點的軌跡是連接 (–1, 3) 及 (2, –4)兩點的線段之垂直平分線。

10 軌跡

10.2 參數方程

2

2

tx

ty例如

參數方程：在這些方程中 ， x 和 y 分別以第三個變量 ( 例如 t) 來表示， 這個變量稱為參數。

10 軌跡

10.2 參數方程

2

2

tx

ty例如

參數方程：在這些方程中 ， x 和 y 分別以第三個變量 ( 例如 t) 來表示， 這個變量稱為參數。

消去

10 軌跡

例 10.6

1

1

:

2ty

tx

已知參數方程

解：

(2).................................................. 1

..(1).................................................. 12ty

tx

)........(3........................................ 1

(1)

xt

得，從

，可得代入把 (2) (3)

1)1( 2 xy

10.2 參數方程

)( 即笛卡兒方程的方程和，試求關於通過消去參數 yxt

注意這是二次圖像的方程222 xxy

10 軌跡

例 10.7

10.2 參數方程

解：

1sincos 22

1 22

r

hy

r

hx

222 )()( rkxhx

sin

cos

),(

rky

rhx

yxP 點的坐標為設

已知對於所有 值，點 P (h + rcos, k + rsin )均位於一曲線上，其中 r、 h 和 k 為常數。試求該曲線的笛卡兒方程。

10 軌跡

解：

為半徑的圓上及為圓心點是在恆以

) ,(

r

khP

例 10.7

10.2 參數方程

1sincos 22

1 22

r

hy

r

hx

222 )()( rkxhx

sin

cos

),(

rky

rhx

yxP 點的坐標為設

已知對於所有 值，點 P (h + rcos, k + rsin )均位於一曲線上，其中 r、 h 和 k 為常數。試求該曲線的笛卡兒方程。

10 軌跡

例 10.10

10.3 進階軌跡問題

解：

已知 PQR 有 Q(–1, 3) 和 R(0, 1) 兩個固定頂點。若 PQR 的面積為 2 平方單位， 試求動點 P 的軌跡方程。

) ,( yxP點的坐標為設

10 軌跡

2 的面積PQR

2

1 0

3 1

1 0

2

1

yx

P、 Q 和 R 可按順時針或逆時針方向排列

2)]31()[(2

1 xxy

412 xy

052 032 yxyx 或

052 032

yxyx

P

或點的軌跡方程是因此，

例 10.10

10.3 進階軌跡問題

解：P 點的軌跡為平行於 QR 的一對直線。

已知 PQR 有 Q(–1, 3) 和 R(0, 1) 兩個固定頂點。若 PQR 的面積為 2 平方單位， 試求動點 P 的軌跡方程。

) ,( yxP點的坐標為設

10 軌跡

例 10.11

10.3 進階軌跡問題

點的軌跡方程的中點，試求為若為一定點上的一動點且為圓已知

10) (2, 52 22

NPNM

MyxP

解：

.......(1)........................................ 25

25 ) ,( 22

22

nm

yxnmP 上位於

) ,( ) ,( nmyxPN 和兩點的坐標分別為和設

10 軌跡

例 10.11

10.3 進階軌跡問題

解：

點的軌跡方程的中點，試求為若為一定點上的一動點且為圓已知

10) (2, 52 22

NPNM

MyxP

.......(1)........................................ 25

25 ) ,( 22

22

nm

yxnmP 上位於

) ,( ) ,( nmyxPN 和兩點的坐標分別為和設

10 軌跡

解：

210

22

nymx

PNM

及

的中點，因此，是由於

..(3).................................................. 20

...(2).................................................. 4

yn

xm

25)(20)(4 22 yx

039140822 yxyx

0391408

22 yxyx

N點的軌跡方程是因此，

例 10.11

10.3 進階軌跡問題

把 (2) 、 (3) 代入 (1) ，可得

點的軌跡方程的中點，試求為若為一定點上的一動點且為圓已知

10) (2, 52 22

NPNM

MyxP