10 色谱理论基础

(1) 色谱过程热力学——高选择性色谱分离的理论基础； ⑵ 色谱过程动力学——高效色谱分离的理论基础； ⑶ 色谱分离条件的选择——多元混合物分离最优化理论。

色谱理论研究色谱过程中分子运动的规律，探讨微观分子运动与色谱分离的内在联系。它包括三个基本理论问题：

一、色谱过程

色谱柱 检测器 色谱图

组分在色谱柱内运

动

溶质浓度分布 柱内：谱带 柱后：色谱峰

色谱仪

色谱过程指多组分混合物样品在流动相带动下通过色谱柱 / 床，实现各组分分离的过程。 ▲ 样品组分是被洗脱分离 ▲ 样品带是以不连续的形式分布的

样品分子在色谱柱内运行的两个基本特征

混合物中不同组分 分子在柱内的 差速迁移(differantial migration) 混合物中同种组分 分子在色谱体系迁移过程中的分布离散 (spreading)

差速迁移指不同组分通过色谱柱时的移动速度不同。样品注入色谱柱时，由于流动相以一定速度通过固定相，使样品中各组分在两相之间进行连续多次的分配。 由于组分与固定相和流动相作用力的差别，在两相中的分配系数不同。 在固定相溶解或吸附大的，即分配系数大的组分，迁移速度 ？ 慢； 在固定相溶解或吸附小，即分配系数小的组分，迁移速度 ？

快。

结果是样品各组分同时进入色谱柱，而以不同的速度在色谱柱内迁移，导致各组分分离。组分通过色谱柱的速度，取决于各组分在色谱体系中的平衡分布。因此，影响平衡分布的因素，即流动相和固定相的性质、色谱柱柱温等影响组分的迁移速度 。

分配系数 (KD) 与保留时间 (tR)

Fig Illustraction of the idea of chromatography as extraction

M

SD C

CK

固定相

流定相

对应塔板界面

Vs

Cs

Vm

Cm

进样

A

B

Time or volume

分子 A 的平均速度 =A 在流动相的时间分数 × 流动相流速 + A 在固定相的时间分数 × 固定相流速

0 （为什么？）

分子 A 的平均速度 =A 在流动相的时间分数 × 流动相流速

分子的平均速度 = 流速×分子在流动相的时间分数

单个 A分子 在流动相的时间分数 = 总体 A分子 在流动相中的摩尔分数

)V/V(K1

1

)VC/VC(1

1

VCVC

VC

nn

n

MSD

MMSS

SSMM

MM

sm

m

溶质的迁移速度为

)V/V(K1

1uu

MSi,Di

)k1(t)V

V(K1(tt

)V/V(K1

1(u

L

u

Lt

0M

SD0R

MSi,D

ii,R

色谱过程的差速迁移的本质是热力学性质（分配系数）差异。可见，任何改变分配平衡的因素都将影响色谱分离 。

色谱过程的分子离散 指同一化合物分子沿色谱柱迁移过程中发生分子分布扩展或分子离散。 同一组分分子在色谱柱入口处分布在一个狭窄的区带内，随着分子在色谱柱内迁移，分布区带不断展宽，同种组分分子的移动速度不同。 这种差别不是由于平衡分布不同，而是来源于流体分子运动的速率差异。

A+B A B A A

起始 运行后 起始 运行后

造成色谱过程分子离散的原因

● 纵向分子扩散 ：布朗运动形成扩散● 吸附和解吸：分子吸附和解吸是随机的● 流动相的移动和扩散 ：色谱柱内“微流路径”会在速度和方向上频繁地发生变化 但色谱过程带的迁移是许多分子运动的平均行为，表现为一个平滑的连续过程。

二、色谱过程热力学● 色谱保留作用● 分布平衡● 分配系数与柱温的关系● 分配系数与保留体积的关系● 分布等温线和等温线方程● 容量因子和分离因子

在色谱分离过程中，不同溶质在色谱柱内不同位置上的浓度分布是不断变化的。 组分在柱内的浓度分布形状叫做谱带（ band) 。

uRu X

从色谱分离过程不难理解，只有分布在流动相中的溶质才能（随流动相）移动通过色谱柱 ；溶质流过色谱柱的速度是由任一时刻该分子存在于流动相的分子分数决定的。可见， uX 依赖于 X在流动相的分数 (R)和流动相速度：

流动相溶剂分子在柱内的平均流速为 u (cm/s) ；溶质 (X) 谱带平均迁移速度为 uX 。

如果 R=0 ，即 X在流动相的分数为零 , uX = 0 ，即X 谱带不会发生迁移；如果 R = 1 ，即所有 X 均在流动相中 , uX = u ，即 X 谱带的迁移速度与流动相分子通过色谱柱的速度一样。

m

RX

t

t

u

uR

mmX

ssXssXmmX

mmX

sm

mX

VC

VCVCVC

VC

nn

n

u

uR

,

,,,

,

1

1

m

s

C

CK

m

sm

R

V

VK

t

t

1

1

1+k’= tR / tm k’= ( tR / tm ) -1

注意： t0 和 tm 的区别

?

容量因子 ( 新定义为保留因子， Retention factor) 在色谱法中，保留值是表示组分在色谱柱内滞留状况的一个指标。而容量因子（ k）是一个具有普遍意义的色谱保留值，它指在一定柱温下 , 溶质在两相间达到分配平衡时 , 分配在固定相和流动相中的总量之比。 k = ws /wm = K·Vs/ Vm = K / 可见， k 与组分的分配系数 K 和相比有关，但与流动相流速无关。 k值大小可直接从色谱图上测量。有关计算式如下：

kt t

t

V V

Vr r

0

0

0

0

tr = t0 (1 ＋ k) Vr = F tr

V V k V KVr s 0 01( )基本保留方程

t

t

K

K

k

kr

r

2

1

2

1

2

1分离因子

恒流速t0 的测

定

色谱分离的特征之一是组分在色谱柱上有不同程度上的滞留。由于色谱固定相面积很大、液膜很薄 , 组分通过色谱柱时 , 它们在两相间的分配被认为是达到平衡的。优先分配在固定相的组分在柱上的保留时间最长 , 而分配系数小的组分保留时间短。换句话说，溶质的保留行为是其平衡分配性质的函数。组分之间平衡分配性质的差异给色谱分离提供了可能性。 从本质上讲，溶质在色谱柱上的分离，是由于它们与固定相或流动相分子间相互作用力差异造成的。 如吸附色谱，溶质、溶剂和吸附剂间的相互作用涉及到静电力、诱导力、色散力和氢键等，它们分别和偶极距、极化率、电离能、和分子间距离等微观因素有关。

色谱分配平衡的研究方法一、用统计热力学方法处理组分在两相间的分配；二、通过分子结构及分子间的相互作用来解释 组分间分配系数的差异。 前一种方法以其严格和普遍性为特征，而后一种方法则将化合物结构性质与其色谱行为有机地联系起来。更多的色谱学家就是在讨论分子间的相互作用与分离结果的基础上，建立色谱分离机理或理论模型的。 由统计力学可知：分子间相互作用的位能场不同，体系中各种分布状态也就不同。分配系数与分子的一系列微观参量有着明显的定量关系。

分配系数

K

化学势 μ

等温等容自由能 F

配分函数

Z

分子构型及其相互作用

分配系数是连接色谱过程中分子微观量和宏观可测量之间的一个桥梁。

RTeK

jn,V,T

i

)n

F(

ZlnRTF

)k1(tt '0R

容量因子 k’

保留时间 tR

/Kk '

内配分函数

构型分配函数

j

)h

mKT2(Z

j

j2/3

2

色谱宏观可测量和微观量的关系示意图

色谱过程分类 线性色谱与非线性色谱：分布等温线 理想色谱与非理想色谱 色谱过程热力学可逆，传质速率很高、平衡瞬间实现，分子扩散可以忽略。 通常，在理论上把色谱类型分为： 线性理想色谱 非线性理想色谱 线性非理想色谱 非线性理想色谱

凹形凸形

Cm

线形Cs

Sig

tR

峰形

tR

m

图 8. 分布等温线类型及对色谱峰形和保留时间的影响

分配系数与柱温的关系 当色谱体系和分离对象确定以后 , 分配系数（ K）只与柱温（ Tc ）有关：

由于分配系数依赖于温度 , 在气相色谱中柱温就成了最重要的操作参数。通常 , 组分在固定相中的G 为负值 , 则柱温与分配系数成反比。一般温度上升 , K值下降 , 这导致组分移动速度增加 , 保留值下降。 对任何色谱过程 , 分配系数对温度的变化率为：

ln KG

RTc

0

d K

dT

H

RTc c

ln

在气相色谱中 , 组分从气相转移到液相 , 其 H 值大 , 常用控制柱温来调节分离；而在 液相色谱中 , 组分从液相转移另一液相（固定相） , 其 H 值要小得多。所以液相色谱对温度变化不太敏感 , 一般在室温下操作。

问题：在色谱分析中，温度除了对分离结果有影响外，还有其它影响吗？

对于气相色谱分析 , 柱温上升 20℃， K 下降一半，低温有利于分离，高温有 利于分析速度。 同样，柱温的稳定性严重影响 GC的保留值，商品仪器的柱温控制精度为±0.2℃。

GC 中的温度控制 在气相色谱测定中，温度是重要的指 标，它直接影响色谱柱的选择分离、检测器的 灵敏度和稳定性。 控制温度主要指对色谱柱炉，气化室，检测器三处的温度控制。 色谱柱的温度控制方式有恒温和程序升温二种。 控制柱温的一般原则：在使最难分离的组分有 尽可能好的分离 前提下，采取适当低的柱温，但以保留时间适宜，峰形不拖尾为度；注意柱温的选择不能高于固定液的最高使用温度（为什么？）。 气化室，检测器温控的依据又是什么？ 液相色谱仪中温控部位、作用？

补充材料

色谱动力学 色谱动力学是 研究物质在色谱过程中运动的 科学，其主要目的是解释色谱流出曲线的形状，探求影响色谱区带（样品带）扩张的原因，为高效能色谱柱系统提供理论上的指导以及为色谱分析、色谱 专家系统谱图库的建立奠定理论基础。对于溶质在色谱柱内的运动过程， 严格的数学处理时应根据柱内溶质迁移过程及各种影响因素，列出相应的偏微分方程组， 求出描写色谱谱带运动的方程 式。由于这些偏微分方程组 求解困难，实际色谱动力学研究只 采用较为简单的假设和数学处理。

注意

● 色谱动力学侧重研究溶质在柱内的扩散与传质问题

● 化学动力学研究化学反应速度问题

平衡色谱理论

Wilson 等人提出的平衡色谱理论的三个基本假设：  溶质在流动相和固定相之间的分配平衡在整个色谱过程中都能瞬间实现； 传质阻力，纵向扩散对平衡的影响可以忽略；  溶质在色谱柱迁移过程中，在一定时间内，色谱柱每一小段溶质量的变化符合物料平衡原理。

qudtdCC mm )(

dx

quadtCm xdtt

Cqdx m )(

dtt

Cqdx x

s )()1(

   

流动相

固定相 

平衡色谱理论物料平衡示意图

根据物料平衡：

溶质在两相间的分配或吸附平衡常数：

dtt

Cadxdt

t

CadxaudtdCCaudtC

x

s

x

m

mmm)()1()()(

)(m

s

C

CK

通过数学处理，组分的保留值为： KLaLqV

Ku

Lt

R

R

)1(

])1

(1[

从平衡色谱理论导出的溶质谱带迁移速率方程及相应的保留时间、保留体积表达式，初步揭示了物质在色谱柱的差速迁移过程。非线性等温线比较好地解释了不对称色谱峰，特别是拖尾峰的成因。但它未能阐明色谱流出曲线，实际应用比较有限。

根据平衡色谱理论，当分布等温线呈线性时，溶质的 K为常数，谱带迁移速率不变，不产生色谱谱带扩张。若分布等温线为非线性，则 K随 Cm 变化溶质迁移速度亦变化，引起色谱峰扩张，形成不对称色谱峰。

塔板理论 (the plate model) 1941 年， Martin 和 Synge 阐明了色谱、蒸馏和萃取之间的相似性，将色谱柱设想成由许多液液萃取单元或理论塔板组成；与精馏相似，色谱分离也是一个分配平衡过程。这就是 Martin 等人提出的塔板理论。掌握这一理论的要点是：

假设→二项式分布（ 概率密度函数）→流出曲线→实验事实

塔板理论基本假设固定相，流动相，H, vm ， v3

  色谱柱由一系列塔板组成   塔板内，组分在两相间 迅速达到平衡（理想色谱）   组分的分配系数不随它的浓度变化而变化（线性分布等温线）    组分的 轴向扩散为零    流动相的流动是 跳跃过程

溶质的二项式分布

萃取

多次萃取

错流萃取

合并萃取液

单次操作类似萃取洗涤

根据假设，将连续的色谱过程“人为地”分解成间歇过程。这样色谱过程与 Craig 多次连续萃取过程十分相似，塔板内一次平衡相当于一次萃取。下面我们先看一个简单例子。1） 多次萃取与 Craig多级萃取比较

转移平衡

对于某一含量相同的 A 和 B 双组分 萃取体系， DA=32 ， DB=0.032 ，采用相同体积比萃取两次后：

EA,t=97% ＋ 3%×97%=99.9% “增加 A 的回收率”

EB,t=3% ＋ 97%×3%=5.9% “杂质含量增大 , SB/A增大？”

可见，由于含 A 有机相再和新鲜水相混合萃取一次，使有机相中 A的纯度进一步提高。但 A 的浓度比前一次有机相的浓度降低。（联系色谱过程中的稀释效应！）

按 Craig萃取原理，将此含有 97%A 的有机相再与一新鲜水相接触。平衡后，又有 97%的 A留在上 层有机相中。此时有机相中 A的实际分数为 (0.97)2=0.94，而 B留在有机相中的分数由 3 % 减少到 (0.03)2=9×10-4，此时有机相 A的纯度可达 0.94/(0.94 ＋ 0.0009)=99.9 %。

流动相

固定相

塔板号 0 1 2 3 r-1 r

塔板理论示意图

如果把上述错流萃取过程继续下去，即“平衡→转移→再平衡→再转移→。。。”

则每一个萃取单元（塔板）的溶质分布呈现二项式分布，呈现为概率密度函数：

0加样

0平衡

流动

0 1 0 1再平衡

流动

0 1 2

塔板理论示意图

rnrn,r pq

!r)!rn(

!nF

q 萃取率

p 萃余率

 

n\r 0 1 2 3 4 5

0 1          

1 p q        

2 p2 2pq q2      

3 p3 3p2q 3pq2 q3    

4 p4 4p3q 6p2q2 4pq3 q4  

5            

谱带位置

分配 次数 溶质在塔板上的分布

]

)1VD(

VnD2)rr(

exp[

)1VD(

VnD2

1]

npq2

)rnq(exp[

npq2

1F

2r

r

2max

2r

r

2

n,r

rn

r

r

r

rn,r )

1VD

1()

1VD

VD(

!r)!rn(

!nF

可见，每个塔板中溶质分数与分配系数、相 比和转移塔板数有关。从二项式展开成高斯分布可 知： ① Fr,n - r 分布 呈高斯峰； ② 高斯峰的位置随转移塔板数 n增多而移动。固定转移次数，高斯峰的位置与溶质性质 D有关； ③ 转移次数增多， Fr,n 变小，高斯峰展宽，分离度 增大。

当 n足够大时，溶质随流动相流过色谱柱。溶质的移动速度 取决于溶质分配在流动相中的分数。 如果溶质较易分配在固定相 , 则它的移动速度 较慢。反之，如果溶质较易分配在流动相， 则溶质就容易从色谱柱中流出来。从数学上说，流动速度 取决于 q （流动相中的溶质分数）。 浓度最大的塔板号数 rmax，即峰位置：

1VD

VnDnqr

r

rmax

例如 DA=3和 DB=1/3，显然它们的峰值位置不同， n不同，分离 情况也不同。对于分配 比相差小的化合物，增大 n也可以将它们分开。

])(2

exp[2

2

R

R

RRV

VVn

VV

nmC

对于色谱过程而言， n和 r均很大，进一步采用数学上近似处理方法，可推导出溶质组分的保留方程为：

二项式分布展开成高斯分布，得到色谱流出曲线方程：

smR KVVV

最大组分浓度——峰高： R

maxV2

WNC

决定色谱峰最大浓度的因素：

  进样量越大，峰高越大  相同保留时间，塔板数越大，峰高越大 固定进样量和塔板数，保留时间越小，峰高越大，即色谱峰高且窄；反之，保留时间长的组分色谱峰低且宽。

色谱峰半高宽度： )1(2ln2

)1(2ln2

2ln2

2/1

2/1

2/1

kaLHV

NkVV

NVV

T

m

R

R

maxV2

WNC

决定色谱峰的区域宽度的因素：  保留值越大，峰宽越大  峰宽与柱结构有关  柱长越大，峰宽越大 塔板数越大，峰宽越小 塔板数的计算公式 N = 16 (tr / wb)

2

N = 5.54 (tr / w1/2)2

塔板高度的计算公式 H = L / N

Martin引入理论塔板数作为衡量柱效率的指标！

基于塔板理论，组分在色谱分离过程中的分布

开始时，若有单位质量，即 m=1（例 1mg 或 1μg ）的某组分 加到第 0号塔板上，分配平衡后，由于 k=1，即 ns=nm故 nm=ns=0.5。当一个板体积（ lΔV ）的载气以脉动形式进入 0 号板时，就将气相中含有 nm部分组分的 载气顶到 1 号板上，此时 0 号板液相中 ns部分组分及 1 号板气相中的 nm部分组分，将 各自在两相间重新分配。 故 0号板上所含组分总量为 0.5，其中气液两相各为 0.25而 1 号板上所含总量同样为 0.5 ．气液相亦各为 0.25。以后每当一个新的板体积载气以脉动式进入色谱柱时，上述过程就重复一次 ( 见下表 ) 。补充材料

补充材料

塔板理论的优缺点 塔板理论是一种半经验理论，它初步揭示了色谱分离过程。塔板理论在色谱中的意 义在于 ：  高斯峰分布与色谱流出曲线基本相符  塔板数作为衡量柱效指标是有效的  峰高 Cmax与 W 、 H、 VR 的关系符合实验结果 塔板理论的缺陷：   在气相色谱中，忽略分子轴向扩散 流动相的运动是跳跃式的、不连续的假设显然违背了实际色谱过程

   实际色谱过程难于达到真正的平衡状态  分配系数与浓度无关只在一定的范围内成立 塔板理论的最大缺点是说明不了色谱流出曲线峰展宽的本质及曲线形状变化的影响因素，也说明不了各种实验操作条件变化所引起的色谱峰峰宽变化的原因。它无法把各种色谱参数与塔板高度定量地关联起来，特别是不能解释流速对柱效率的影响。

速率理论 塔板理论把色谱过程分成单个不连续步骤，每步中体系都达到平衡。可见，这是一种“平衡过程研究方法”。速率理论认为色谱分离是一个连续的流动过程，每个组分以一定的速率通过色谱柱，体系没有达到平衡，这是一种“非平衡过程研究方法”或“速率”模型。扩散和传质是谱带展宽的本质。速率理论可以较好地描述色谱过程，速率理论方程物理意义明确，能有效解释了影响色谱峰展宽的各种因素，为高效色谱提供了理论指导。

◆ 1956 年， Van Deemter 研究扩散、传质等与色谱过程物料平衡或质量平衡的关系（偏微分方程），考察溶质通过色谱体系总的浓度变化，导出速率理论方程。 H = A ＋ B/ u ＋ C u

涡流扩散；纵向分子扩散；传质 ◆ 1958 年， Giddings 用随机行走模型描述色

谱过程，并导出速率理论方程。 H = HL ＋ HS ＋ HM ＋ HSM

速率理论学习要点

色谱动力学过程的本质扩散与传质

随机行走模型（ theory of random walk model）

高斯分布；独立随机过程的加和性

脉冲浓度样品带的迁移规律

Time 0

当样品液从柱入口瞬间导入，它应该是一个塞状（“圆柱形”）的样品流。随着色谱过程的进行，这一塞状的样品带会因扩散和传质的影响而不断加宽扩展。。

t1 t2t3

● 样品带是不连续的● 样品带的迁移是均一性的机械运动与分子的 无规运动 相叠加● 引起样品带的根本原因分子 无规运动的固有特性，它形成高斯带，是时间和距离的函数

色区扩张

( 区带展宽）

谱带展宽

色谱峰展宽

色区的形成及其加宽效应是许多分离方法的共同现象。可采用统计力学方法——把色区变宽过程视为无规过程处理。

分离过程中浓度脉冲带的离散性：色谱和电泳等分离过程中，溶质是以不连续带的形式分布的，同时溶质带一直是在连续不断地向外扩展。 抑制溶质带的扩展是控制分离过程的重要目标。

平板扩散的浓度分布 2)x

(e

2

1C

2 = 2Dt , σ 为 x 沿方向的均方位移

C

0 x

CFick 第二扩散定律：

浓度脉冲随时间变化规律

带的迁移规律： 2

2

mt dx

CdD

dx

dC)vv(

dt

dC

2

2

dx

CdD

dt

dC

vm ：体相液体流动速度 vt ：在化学势作用下溶质的迁移速度样品带浓度随时间和浓度的变化规律，同样也是高斯曲线。

1 ）随机过程、方差和扩散 分子热运动是引起扩散的根本原因。各种分子扩散都是基于分子在 介质中的向前或向后的杂乱无章的跳跃。随着时间的推移，每个分子都要经历一系列杂乱运动阶段。因为单个分子将向一个或另一个方向做随意的跳跃，所以对样品带中的一群分子而言，就会表现出从它的原有位置向外扩散。这样，一个很狭窄的原始谱带便加宽成一个呈现高斯分布外形的浓度分布谱带。 随机过程中谱带扩展程度取决于随机步距的、随机步频率及长度经历的时间长短等。说明这种依赖关系的简单模型就是随机行走模型。

随机行走模型的假定一个经历了 n个固定步长为 l的路径，而这些具有一定步距的步子是向前还是向后，却是由随机效应决定的。在经历了许多步后，其分布方差为

nl22 可见，总步数 n随时间增大，离散方差也是随时间变大的。

前面介绍过，在分离过程中，溶质是由谱带中心向外扩散的，其对应的方差

Dt22

对于以恒速为 v的均匀体系中的迁移带，在时间 t内的迁移距离 tvX

X)v

D2(2

上式说明在均匀体系中， σ2与迁移距离成正比。这里定义一个重要的衡量分离能力的参数 --H：

X)

v

D2(H

2

显然这里的 H 与精馏或塔板理论的塔板高度不谋而合，但它们的意义却不同。对于色谱、电泳、沉降等分离过程，并无真正实际意义的塔板。但对于这些类型的分离 , 也能得到 H = 2/X 的关系。因此 , 目前还沿用塔板高度这一名词表示 H, 因为H是一个比较各种类型分离技术的普适参数。

从统计学的观点分析，对于几种独立的随机过程，方差的具有加和性： σ2= σ2 i

因此 H 也应有加和性： H = Hi , 这是理论塔

板高度的一个非常重要的特征 , 它表明可以分别控制的各种独立效应对于塔板高度的贡献也是独立的并具有加和性。

因此，速率理论要解决的关键问题是如何从复杂的色谱分离系统中找出各个独立的随机过程，并决定每一个随机过程的步长（ l）和步频（ n）值。

2 ）色谱分离过程中的独立的随机过程

色谱峰展宽：柱内效 应和柱外效应

2222222

222

RDFTVSE

柱外柱内色谱峰

色谱峰展宽主要是由柱内谱带展宽 引起 , 但它还应包括色谱柱以外的其它造成额外谱带展宽效应──柱外效应。谱带展宽在柱内是 客观存在的 , 人们不能完全消除它 , 而只能把控制在最小程度。

柱外效应（ extra-column effect ）

造成柱外效应的因素有：

1） 样品体积

2） 进样阀

3） 柱前后连接管线（主要）

4） 柱头死体积

5） 检测池形状和体积

6） 电子线路与传感器

现代色谱仪器的设计已日趋完善，对进样阀、接头和检测器等所引起的色谱峰展宽是相当有限的。而现代电子技术的发展，电子线路与传感器引起的柱外效应也是微不足道。 通常柱外效应应控制在总方差的 5%内。

注意： HPLC的柱外效应比 GC严重

微柱的柱外效应比常规柱严重

图 8. 柱外效应的影响

waste

柱外效应的三个重要结论（ Kirkland)

●柱效越高，样品谱带越窄，柱外效应就显得越重要。

●先出峰谱带比后出峰的谱带的柱外效应更为重要。

●使用直径较大和较长的柱子将使柱外效应的重要性降低。

HPLC的柱外效应比 GC 严重得多，特别是微柱 HPLC。 。

柱内谱带展宽效应 扩散和传质过程是导致谱带展宽的主要因素。 Giddings 等人将复杂的填充柱色谱分离过程 归纳为几个独立的扩散或传质过程，并分别用 独立的随机过程描述。

★多路径效应（涡流效应）而引起的谱带展宽★分子纵向扩散过程而 引起的谱带展宽★溶质分子在流动相中 传质过程而引起的谱带展宽 ★溶质分子在固定相中 传质过程而引起的谱带展宽

多路径效应（ multipath effect ）或涡流效应（ eddy diffusion ）

在填充柱中，填料之间的间隙，即是流动相的通 道。填料的粒径、形状以及填充柱紧密程度的不均匀性，都会产生多路径效应。这可以用相同的溶质分子在流 经柱床内不同通道时所走的途径的长短来解释，也可以理解为携带溶质的流动相与填料颗粒碰撞时产生的涡流效应所带来的影响。

F

问题：粒径太小会带来什么新的问题？

从随机的观点看，涡流效应的每一步跳动的 步长与填料的粒径成正比，跳动的 次数是柱长与溶质分子从一流线扩散到另一流线所经过的横向距离的比值。

涡流效应引起的带宽 : σ2 = 2Ldp He = 2dp

dp:填料粒子的直径 ; :与填充柱填充均匀性有关的因子。涡流扩散的大小与样品性质、流动相性质和流速 无关。

纵向扩散示意图

性质 扩散系数(cm2s-1)

密度 (gcm-

2)粘度（ gcm-1s-1 ）

雷诺准数

气体 10-1 10-3 10-4 10

液体 10-5 1 10-2 100

F

柱内谱带 形状

 

S

L 相应的响应信号

纵向扩散：分子在流动方向即纵向的扩散是由于浓度梯度造成的。应该说，在流动相和固定相内都会发生纵向扩散。但由于分子在流动相和固定相的停留时间不同，特别是溶质在流动相中的扩散系数 比它在固定相中大得多，通常对固定相中的纵向扩散忽略不计。因此，对加宽效应的峰高贡献为： HL = L

2 / L = 2DM / u

这里是由于填料以及柱床结构对扩散形成阻力的阻碍因子。可以看出 , 纵向扩散的贡献是与流速成反比的。纵向扩散的影响只有在流动相 , 特别是气相色谱的载气中比较重要。在液相色谱 (u>0.5cm/s)中 , 纵向扩散的影响一般可以忽略。

纵向扩散的随机过程

分子的扩散过程是个随 机过程： Dt22

溶质在流动相的停留时间： tm = L/u （为什

么？）。在 tm 时间内溶质分子纵向扩散距离的离差

L2 = 2DM L/ u

考虑到填料的存在是溶质分子不能自由地扩散，所以引入一个柱参数对 DM进行校正。

L2 = 2DM L / u

流动相传质阻力（ the resisitance to the mass transfer in the mobile phase ）

在色谱过程中，溶质谱带随着流动相一同前行。一方面，溶质在流动相和固定相之间不断地进行传质过程；同时，受流动相流型的影响，谱带会发生增宽。即流型、流速以及扩散速度对谱带加宽都有影响。 流型效应：由流速梯度引起 , 即靠近管壁或毛细管柱表面的地方流速小 , 而通道中心的流速大。因此处于不同流线上的溶质分子的移动速度不同 , 这样就形成了色区的加宽。 HD = udp

2 / DM

这里是一个与柱子填充程度有关的因子。

停滞流动相传质：当使用多孔固定相时 , 除颗粒间的流动相外 , 还有一部分存在于颗粒内部空隙中的流动相──停滞流动相。溶质分子进入固定相既是通过扩散进入这部分停滞的流动相内。 HsM = kdp

2u / [(1＋ k)2DM] 这里是由固定相的性质及构型的差别引起的。要减少流动相传质阻力 , 必须设法缩小固定相颗粒内的空隙深度 , 或采用极细的固定相 , 其目的是缩短在停滞流动相的扩散和传质的路径。

流动相传质的随机过程 在色谱过程中，流动相运动可 看成由许多流线所组成，而且每一条流线有不同的速度矢量。溶质分子在不同的流线上以不同的速度运动，这 会导致谱带的展宽。减少这种展宽的最重要因素之一就是溶质分子从

一流线向另一流线的横向扩散。溶质分子的扩散系数越大，速度不等性引起的谱带展宽的影响就越小。

随机模型认为溶质分子在不同流线间的 横向扩散就是跳动。向 前跳动就是扩散到流速 较大的流线上，向后跳动就是扩散到流速 较小的流线上。

流动相传质的随机过程的离差：

这里， f(k) 是容量因子的函数， ω是填充柱的结构因子。

M

2P2

D

ud)k(fL

平均来说，溶质分子向前或向后跳动的扩散距离于填料的直径成正比。因此，该随机过程的跳跃步长是与溶质分子从一区域扩散到另一区域所费时间和流动相平均流速的乘积成正比。跳跃数目是柱长与溶质分子从一流线扩散到另一流线所经过的横向距离的比值。

固定相传质阻力（ the resisitance to the mass transfer in the stationary phas

e ）

(a) 两相达到平衡时

(b) 达到平衡的瞬间内图 固定相传质对谱带展宽的影响

mp

sp

在固定相 传质过程中，溶质分子 必须越过流动相与固定相的界面，才能进入或离开固定相。 对于液体固定相进出的速度由扩散效应决定；对于吸附过程 , 则取决于吸附 -解吸的动力学。 在固定相 停留的时间和路径的长短，会影响谱带展宽的程度。

固定相中传质阻力使谱带展宽的机理：当组分达到平衡 (a)后的瞬间内，流动相携带其中的组分向前移动 , 超过原谱带中心 , 而在固定相中的组分还来不及返回流动相 , 因而相对落后。这是由于组分从固定相内部返回两相界面的速率受扩散速率的控制 , 而扩散需要时间。这一超前和滞后的部分 , 相对于位移后的新的一部分固定相和流动相来说 , 由于存在浓度梯度 , 必然要扩散 , 在两相间重新建立新的分配平衡 , 经过使平衡后的谱带比原来更宽 (b) 。由固定相传质引起的谱带展宽为： Hs = qkdf

2u / [(1 ＋ k)2Ds]

q是与固定相性质、构型有关的因子。

固定相传质的随机过程 在色谱过程中，保留在固定相中溶质分子的运动 会落后于流动相中的溶质分子。在保留时间内，溶质分子 始终存在着吸附 -解吸平衡，一部分溶质分子从固定相 脱附到流动相中，一部分在流动相中的溶质分子 被吸附在固定相上，结 果导致谱带展宽。溶质分子 全部以流动相速度的 某一比值向前流动。 随机理论认为每一步脱附是向前运动 。设 ta 、 td 分别为流动相、固定相中走完每一次跳跃 l 所需要的平衡时间。则溶质分子 每一步跳跃的步长为

而溶质分子在流动相中的 跳动数为

ut)R1(utk1

1utl aaa

ut

L2n

a

式中乘以 2是因为每一步长运动对应于二次跳跃。

考虑到柱结构的影响，要引入柱结构因子 q。因此

da222 Rut)R1(Lut)R1(L2nl

式中R

t)R1(ktat a

d

2d

d2

)k1(

kutqLRut)R1(qL

由此可得，固定相传质随机过程的离差：

影响固定相传质（ s2 ）的因素

① 液膜厚度 (VS)：减少液膜厚度 , 可缩短组分在固定液内的扩散时间 , 有利于平衡的迅速建立 , 有助于提高柱效。② DS：采用低粘度和具有较大 DS值的固定液 , 适当提高柱温 , 可缩短达到平衡的时间 , 缓和谱带超前和滞后的程度。③ u: 流速越大 , 加大了固定相的传质阻力。

保留时间与相比有关；但液膜厚度过小 , 回使载体表面的吸附中心暴露 , 导致峰拖尾 , 而且降低最大允许样品量 , 不利于痕量分析。

在色谱分析中，液 膜厚度或相比应如何选择？或者说相比大有利，还是小有利？

对色谱独立过程的修正—偶合项 在色谱中， 涡流扩散和流型效应不完全是独立的随机过程。流线加宽效应会由于径向扩散效应 , 分子时常改变自 己所出的流线 , 即在不同的流线上移动而 减弱。这种相互影响与流动相流速有关。 在流速 较高的色谱过程 , 如气相色谱中 , 流动相对 塔板高度的总贡献为涡流扩散效应和流型效应之和： HM = He ＋ HD = dp ＋ udp

2 / DM

但在流速 很低的情况下 , 随着流速的增加 HM趋于极大值 , 并不再与流速有关。这时涡流效应起主导作用。 对于液相色谱这种填料颗粒小、流速又不太低的情况 , 涡流效应是和流型效应起耦合作用。因为涡流扩散也就是流线遇到阻力而产生的分裂作用 , 它和径向扩散效应一样 , 都能使溶质分子从一 条流线过渡到另一条流线。即在这个意 义上讲二者的作用是相同的 , 因为如把这两个效应结合起来则一个溶质分子在不同流线上变动的 几率就更大些。而这种几率越大 , 这个分子在柱中的移动速度就 越接近于所有分子的平均速度 , 即减少色区加宽效应。 HM = 1 / (1 / He＋ 1 / HD ) = 1 / ( 1 / dp＋ DM / udp2) 一般说来 , 采用细颗粒固定相 , 增大组分在流动相中的扩散系数 , 减少流速 , 就可使流动相中的 传质阻力减少 , 柱效提高。

根据理论塔板高度的加和性 , 得：

H = HM ＋ HL ＋ HRM ＋ HRS

总塔板高度 = 纵向扩散板高 +流动相 传质板高 + 固定相传质板高 u

Dk

qkdu

D

d

k

k

ud

D

du

DH

s

f

M

P

P

M

P

M

2

22

22 )1()1(

12

Cuu

BAH

即著名的范氏速率方程： 对比塔板理论，速率理论的成功之处：● 分离效率受流速的影响● 从本质上阐明影响谱带展宽的各种实验因素 速率理论方程式是选择色谱条件 , 如填料粒度、填充均匀度、固定相性质及厚度、流动相组成及流速、柱温等的重要依据。

对给定色谱体系 , 当其它实验条件确定后 , u对H的影响（速率曲线）可由实验来测得。将 u 以外的参数视作常数 , 则速率方程可简化为 (不考虑耦合效应 ) ： H = A＋ B/u＋ Cu式中 A、 B、 C为常数。上式中三项分别代表涡流扩散、纵向分子扩散和两相传质阻力对总塔板高度的贡献。 绘制 H-u 图时 , 应选择若干不同的线速，包含高、中、低线速，测定组分的色谱峰 , 计算出 H 值 ,然后作图。

速率理论方程讨论 : 1 ） H~u 曲线

图 8. Van Deemter 方程曲线

H = A + B/u + Cu

H

u

AB/u

Cu

Hmin

uopt

GC

HPLC

图 8. GC 和 LC 的 H~u曲线

H

u

问题： GC 或 HPLC 的柱效高？

从理论上说，较小的板高在 LC中比 GC 更容易得到。但在这个优点被实际使用的柱长所抵消。（为什么？）

液相色谱与气相色谱理论方程的主要区别可归因于流体与气体性质的差异：

●溶质在液体中的扩散系数 比它在气体中要小 104 - 105倍 （纵向扩散 B 项在 GC中很重要）

●液体粘度比气体约大 102倍 ( 柱压、柱长 )●液体表面张力比气体约大 104倍●液体密度比气体约大 103倍（ MSD）●液体是不可压缩的（在 GC需要压力校正因子）

这些性质对色谱扩散和传质过程有很大的影响，因而造成 GC和 LC在柱效上的 明显差异和不同实验条件的选择。

折合参数塔板方程

AuF1/3B/uF

CuF

图 8. 折合板高和折合 流速对数曲线图

lgh

lguF

-1 0 1 2 3

2 1 0 1

-

为了比较不同色谱条件下，特别是不同填料粒度对板高的影响， Knox等人采用 Giddings 等提出了折合板高和折合流速两个无因次的折合参数： 折合板高： h = H/dP 折合流速 : uF = udP/DM推导出折合板高方程： h = A uF1/3 + B/ uF + C uF 折合板高方程可用于不同填料色谱系统的柱效比较，可评估填充柱的质量。

● 曲线平直， hmin=10,则 A 值大了，柱子可能填充不均匀

● 曲线右端上升陡峭，如 uF在 20左右， hmin=10,则 C值大了，柱子填料不佳

色谱柱柱压和流动相线速度的 讨论 通常色谱柱柱前压力高，柱出口压力低，压力沿色谱柱轴向流动方向减少。由于在实验压力下，液体是不可压缩的，液相色谱柱内压力沿色谱柱流动方向 减少，流动相的线速度的不变的 ；在气相色谱中，由于气体是可压缩的，柱内轴向各点的载气压力不同，使得对应的载气线速度不同。因此在气相色谱中，通常采用压力校正因子和平均线速度讨论问题。 理论分析和实验结果表明：气相色谱的柱内压降是非线性变化的， pi / po比值越大，则非线性越严重，在入口处变化较慢，越接近出口时，则变化越快。因此，填充柱 GC柱的柱长受到一定的限制。（为什么？）

影响谱带展宽的其它因素

① 非线性色谱：前面有关传质和扩散的讨论均假定分配等温线是线性的。事实上 , 经常遇到的是非线性等温线 , 特别是吸附色谱中 , 因此造成峰“拖尾”和“伸舌头”现象 , 使峰展宽 , 对峰的基线宽度的影响尤为严重。② 活性中心的影响：在气液色谱中 , 有时会发现样品量很少时 , 色谱峰拖尾 , 若增加样品量 , 峰的拖尾程度反而减少。这种现象显然不能由等温线的非线性加以解释 , 而是由于载体表面的活性中心对组分的吸附太强 , 因此这些组分迟迟不得释放而造成拖尾。其解决办法是将载体预处理 , 以除去表面活性中心。

★ 其他色谱理论非平衡理论（ nonequilibrium theory）： 1965年， Giddings提出。非平衡理论从宏观出发，其着眼点是在给定柱截面积内溶质组分宏观变动的 部分，而不是一个溶质分子的运动 情况。它是建立在溶质浓度本 身的变化和由色谱动力学过程所 引起浓度变化的基础之上。数学处理比较复杂，对一般色谱工作者有一定的难度。质量平衡理论：质量平衡理论的基本原理就是在色谱柱的一个微体积元内流入的溶质量与流 出量之差等于在该微体积元内的积累量。它不仅能从物理意义上描述各种因素对色谱分离动力学过程的影响，而且能有效地给出色谱柱效与参数的关系及色谱流出曲线的信息。 ( 与平衡色谱理论有何不同？ )

数学处理比较复杂 色谱流出曲线的统计矩（ moment ）的意义： 一阶原点统计矩为色谱峰流出平均时间 二阶中心矩表示色谱流出函数的分散程度 三阶中心矩翻译色谱流出函数的对称性

要点： 掌握速率理论的基本概念、计算式。影响柱效的因素，提高柱效的途径。速率理论的特点。

思考题：塔板理论解决了如何提高柱效的问题吗？ 如何提高柱效？应从哪些方面来提高柱效？

补充材料