157

10. DESETO PREDAVANJE:

POJAVE PRI PROSTIRANJU

TALASA

Pri prostiranju kroz neku sredinu talasi podležu različitim pojavama:

1) odbijanju (refleksiji)

2) prelamanju (refrakciji)

3) interferenciji

4) difrakciji

5) apsorpciji.

Ovim pojavama podležu i mehanički i elektromagnetni talasi i objašnjenja

fizičkih procesa koji dovode do njih je isto, osim u slučaju difrakcije. Na neke od

ovih pojava uticaj ima sredina, dok druge isključivo zavise od karakteristika

talasa. Tokom ovog predavanja ćemo se bliže upoznati sa ovim pojavama.

10.1. Odbijanje talasa

Kada talas naiĎe na neku drugu sredinu, sa drugačijim karakteristikama

od one kroz koju se prostirao, onda će doći do delimičnog odbijanja talasa na

granici te dve sredine i delimičnog prelamanja talasa u drugu sredinu. Energija

talasa se pritom deli na reflektovani (odbijeni) talas i transmitovani (onaj koji

prelazi u drugu sredinu). Na koji način će se dogoditi ta podela energije zavisi

isključivo od sredine, a ne od talasa. Ta zavisnost se iskazuje preko veličina koje

se zovu impedansa sredine i koeficijenti refleksije (transmisije) ali bavljenje

ovim prevazilazi ambicije ovog kursa. Recimo samo da ne postoje sredine koje

potpuno reflektuju talase, niti postoje one koje potpuno propuštaju talase (to su

idealizacije koje ćemo ponekad prihvatati radi lakšeg rešavanja problema).

Posvetićemo se prvo odbijanju talasa i u tom smislu, kada govorimo o nailasku

158

talasa na granicu dve sredine, one će za nas biti „gušća“ i „reĎa“ sredina. Izraze

gušća i reĎa koristićemo u smislu da gušća sredina pruža veći otpor prostiranju

talasa, nego što to čini reĎa sredina, na sličan način na koji je nama lakše da

trčimo kroz vazduh, nego kroz vodu.

Na slici 10.1 prikazan je jedan sferni

talas koji stiže na granicu dve sredine različite

gustine (granica je označena slovom G). Radi

preglednosti slike nacrtan je samo jedan zrak

(normala na sferni talasni front) koja pada na

granicu u tački B i reflektuje se nazad u istu

sredinu. Po Hajgensovom principu, o kome

smo govorili tokom prethodnog predavanja,

svaka tačka sredine pogoĎena talasom postaje

izvor elementarnih sfernih talasa. Na granicu

G prvo je stigao zrak duž pravca OA, pa je u

tački A emitovan prvi elementarni sferni talas

i potom redom (iznad i ispod tačke A) sve do

zraka koji pada u tačku B (ima ih i iznad B, ali

ćemo našu pažnju usmeriti baš na taj zrak koji

pada u B). Što je duži put koji zrak preĎe od

izvora u tački O do granice sredine, to on

kasnije stigne, pa se kasnije i emituje

elementarni talas, što znači da su od tačke A

do tačke B emitovane kružnice sve manjeg

radijusa. (Ovde se zapravo radi o

polukružnicama jer nas zanima samo ono što se dogaĎa sa iste strane granice).

Zajedničko svim tim kružnicama je obvojnica (kriva l) koja zapravo predstavlja

rezultujući talas koji se sastoji od svih elementarnih talasa formiranih na granici.

Ovaj rezultujući sferni talas izgleda kao da dolazi od nekog imaginarnog izvora

O koji se nalazi na istom rastojanju od granice G, kao i izvor talasa O, samo sa

druge strane granice, u drugoj sredini. Normala na ovaj talasni front (l) je

reflektovani talas.

Ugao je upadni ugao zraka. Upadni ugao se uvek definiše prema

normali na granicu dve sredine (nikada drugačije). Ugao je odbojni ugao

(takoĎe se uvek definiše prema normali na granicu). Sa slike vidimo da je

i , pa iz podudarnosti trouglova AOB i AOB sledi

(10.1)

Tako dolazimo do toga da zakon odbijanja talasa možemo formulisati

kroz dva stava:

Pri odbijanju talasa upadni i odbojni ugao su jednaki.

Slika 10.1 Odbijanje sfernog

talasa na granici dve sredine.

159

Upadni ugao, normala na granicu dve sredine i odbojni ugao

leže u istoj ravni.

Na slici 10.2

prikazano je odbijanje ravnog

talasa na granici dve sredine.

Ravan talas (talasni fron AA i

njemu paralelne linije) pada

na granicu dve sredine (G).

Normale na talasne frontove

su paralelni zraci koji padaju

na granicu u tačkama O, O,

O, itd. redom, pod upadnim

uglom . Prvi zrak koji padne

inicira emitovanje sfernog

elementarnog talasa koji ima centar u tački O i na slici je najvećeg radijusa, jer je

prvi emitovan. Sledeći elementarni talas koji se emituje ima centar u O i manjeg

je radijusa i tako redom. Svi ti elementarni talasi imaju zajedničku tangentu

koja predstavlja talasni front reflektovanog talasa. Normale na talasni front su

reflektovani zraci. Diskutujte ovu sliku i pokažite da se i sa nje može zaključiti

da su upadni i odbojni ugao jednaki.

Na početku je rečeno da se energija talasa raspodeljuje izmeĎu

reflektovanog i transmitovanog talasa. Da li to znači da kada bi se talas samo

reflektovao ne bi došlo do promene njegove energije? Da li se neka druga

svojstva talasa menjaju pri refleksiji? Talasna dužina talasa, frekvencija, brzina

se ne menjaju. MeĎutim, faza talasa se menja u slučaju refleksije na granici sa

gušćom sredinom. Do promene faze ne dolazi pri refleksiji na granici sa reĎom

sredinom. Da bismo to pokazali, razmotrimo jedan jednostavan primer

transverzalnog talasa, tzv. pulsa koji nastaje u zategnutom kanapu (žici) koji je

pričvršćen na jednom svom kraju, kako je već ranije prikazano na slici 9.2.

Na slici 10.3 prikazan je slučaj refleksije na granici sa gušćom sredinom

(slika 10.3(a)) i na granici sa reĎom sredinom (slika 10.3(b)). Razmotrimo prvo

slučaj pod (a). Talas se prostire kroz žicu, koja je u ovom slučaju reĎa sredina u

odnosu na zid za koji je ta žica pričvršćena, u smeru ka zidu. Jednačina tog

„dolazećeg“ talasa je

( ) ( ) (10.2)

Nakon refleksije „odlazeći“ talas je opisan jednačinom

( ) ( ) (10.3)

jer se za prostiranje u suprotnom smeru menja predznak ispred x (izraz 9.4).

Slika 10.2 Odbijanje ravnog talasa na granici dve

sredine

160

Neka je na površini zida x=0 i

neka pri refleksiji nema

gubitaka energije, što znači da

neće doći do promene

amplitude, pa je y01=y02. Kako

važi princip superpozicije,

onda je u tački u kojoj je

zakačena žica ispunjeno da je

(10.4)

Naime, elongacija žice u tački

kačenja mora biti nula, jer je

to nepokretna tačka. Onda iz

gornjih jednačina, uz uslove

koje smo zadali, sledi da je

( ) ( )

(10.5)

odnosno

(10.6)

pa zaključujemo: pri odbijanju talasa na granici ređe sa gušćom sredinom dolazi

do promene faze talasa za .

Kada se talas prostire kroz gušću sredinu (žica) i doĎe na granicu sa

reĎom sredinom (vazduh), kao na slici 10.3(b), takoĎe će doći do refleksije

talasa, ali ne i do njegovog „prevrtanja“, odnosno promene faze. Razlog leži u

činjenici da je na granici sa vazduhom slobodan (neprišvršćen) kraj žice, pa će

princip superpozicije talasa omogućiti porast transverzalne deformacije u toj

tački i nije ispunjen uslov (10.4). Rezultujuća elongacija jednaka je algebarskom

zbiru elongacija „dolazećeg“ i „odlazećeg“ talasa, što prouzrokuje ponovno

prostiranje talasa udesno. Nema promene faze i važi da je

(10.7)

Zaključujemo da: pri odbijanju talasa na granici gušće sa ređom sredinom ne

dolazi do promene faze talasa. Dobra ilustracija ovog slučaja u praksi je „pucanj“

biča na slobodnom kraju (jako povećana amplituda transverzalne deformacije

koja izaziva naglu promenu pritiska vazduha u blizini, što se manifestuje kao

intenzivan zvuk sličan pucnju).

Sličnu analizu i iste zaključke možemo sprovesti i u slučaju

longitudinalnih talasa.

Slika 10.3 Promena faze talasa pri refleksiji na

granici sa gušćom sredinom (a). Pri refleksiji na

granici sa ređom sredinom ne dolazi do promene

faze (b).

161

10.2. Prelamanje talasa

Posmatrajmo jedan ravanski talas koji

dolazi na granicu dve sredine različite gustine

(slika 10.4). Talas dolazi iz reĎe sredine gde je

brzina prostiranja c1, delimično se odbije, a

delimično prelazi u gušću sredinu, gde je

brzina prostiranja c2 i manja je od c1. Brzina

talasa se mora smanjiti jer gušća sredina pruža

veći otpor kretanju. Talasni front sa crteža je

ograničen dvema normalama (zracima).

Rastojanje izmeĎu dva talasna fronta je talasna

dužina. Pri prelasku u drugu sredinu

frekvencija talasa se ne menja ( )

jer ona zavisi od karakteristika izvora talasa, a

ne zavisi od sredine. Do promene pravca

prostiranja talasa takoĎe ne dolazi, što se lako može pokazati konstrukcijom, tj.

primenom Hajgensovog principa, što je u ovom slučaju identično situaciji

opisanoj na slici 9.7(b).

Imajući sve ovo u vidu možemo zaključiti da ako je

(10.8)

tada mora doći do zgušnjavanja talasnog fronta, tj. do smanjenja talasne dužine

talasa. Obrnuto, kada talasi prelazi iz gušće u reĎu sredinu, dolazi do povećanja

talasne dužine.

Kolike su promene talasne

dužine talasa koji prelazi u drugu

sredinu ispitaćemo na primeru

prikazanom na slici 10.5. Ravan

talas, talasne dužine 1 dolazi iz

reĎe sredine, gde se prostire

brzinom c1, na granicu sa gušćom

sredinom, u kojoj mu je brzina

prostiranja c2, pri čemu je .

Upadni ugao pod kojim zraci

padaju na granicu je ugao . Na

slici su nacrtana samo dva zraka

koji omeĎuju talasni front. Talasni

front AB najpre pogaĎa tačku A

koja, u skladu sa Hajgensovim

principom, postaje izvor

elementarnog sfernog talasa, a potom sukcesivno sve tačke na granici do tačke C.

Slika 10.4 Transmisija talasa

koji prelaze iz ređe sredine u

gušću.

Slika 10.5 Prelamanje ravanskog talasa na

granici dve sredine. Upadni talas dolazi iz

ređe sredine.

162

Svaka pogoĎena tačka je izvor elementarnog sfernog talasa čiji radijusi opadaju s

porastom rastojanja od A. Duž CD na slici je tangenta ovih kružnica. Vreme koje

protekne od trenutka kada talasni front pogodi tačku A do trenutka kada bogodi

tačku C je vreme koje je talasu potrebno da se prostirući brzinom c1 pomeri od B

do C. Za to isto vreme će talasni front elementarnog talasa koji je krenuo iz tačke

A preći rastojanje AD, prostirući se brzinom c2. Prema tome

(10.9)

Sa slike se vidi da je došlo do lomljenja talasnog fronta, što znači da je zrak

promenio pravac (jer je normala na front). Iz pravouglih trouglova ABC i ADC je

(10.10)

što zamenom u (10.9) daje

(10.11)

gde je indeks prelamanja druge sredine u odnosu na prvu. Izraz (10.11)

predstavlja Snelov zakon prelamanja talasa (u delu literature ovaj zakon se

naziva Snelius-Dekartov zakon). Imajući u vidu vezu izmeĎu talasne dužine i

brzine talasa, ovaj zakon se može napisati u obliku

(10.12)

Ovde n1 i n2 predstavljaju indekse

karakteristične za sredinu kroz koju se talas

prostire. To su bezdimenzioni brojevi koji su

utoliko veći ukoliko je sredina gušća. Iz ovog

zakona vidimo da važi jednostavno pravilo:

ukoliko se talas prelama na granici sa gušćom

sredinom, zrak će se prelomiti ka normali i

obrnuto – ako se prelama na granici sa reĎom

sredinom, prelomiće se od normale na

graničnu površ. Na slici 10.6 predstavljeno je

ovo pravilo pomoću jednog upadnog zraka.

Dopunski stav zakona prelamanja

talasa glasi: upadni, prelomljeni zrak i normala leže u istoj ravni.

Slika 10.6 Prelamanje zraka na

granici dve sredine.

163

10.3 Interferencija talasa

U nekoj sredini može postojati više izvora talasa. Iz svakog izvora se

talas prostire samostalno, ne utičući na druge talase u okolini. Kada neka čestica

sredine bude pobuĎena na oscilovanje od strane više različitih talasnih procesa,

njeno oscilovanje će biti rezultanta uslovljena pojedinačnim pobudama. Kažemo

da je u toj tački prostora došlo do slaganja talasa ili do interferencije. Očigledno

je da se radi o posledici važenja principa superpozicije talasa. Da bi došlo do

interferentnih efekata potrebno je da talasi imaju iste frekvencije i da su

koherentni, što znači da imaju stalnu faznu razliku.

Radi ilustracije razmotrimo jedan takav primer interferencije dva talasa

iste amplitude i frekvence koji se prostiru u istom pravcu i smeru, a izmeĎu kojih

postoji stalna fazna razlika. Talasne jednačine kojima se opisuju ti talasi su

( ) (10.13)

( ) (10.14)

Primenom principa superpozicije i poznatog trigonometrijskog identiteta

(10.15)

dobijamo da je

⏟ (

) (10.16)

Zaključujemo da je interferentni (rezultujući) talas takoĎe sinusoidni i da se od

interferirajućih talasa razlikuje i po amplitudi (deo u jednačini (10.16) označen

horizontalnom zagradom) i po fazi, za /2.

Ukoliko se interferirajući talasi ne razlikuju u fazi (=0), onda je

( ) (10.17)

što znači da je rezultujući talas dvostruko veće amplitude. Ovo je slučaj potpuno

konstruktivne interferencije. Grafički je potpuno konstruktivna interferencija

predstavljena na slici 10.7(a).

Ukoliko su progresivni talasi u kontrafazi, tj. ako je njihova fazna razlika

jednaka , onda je to slučaj potpuno destruktivne interferencije (slika 10.7(b)).

Ova dva slučaja su granični slučajevi.

Ukoliko se talasi koji interferiraju prostiru u suprotnim smerovima,

rezultat interferencije je pojava stojećeg talasa kojem ćemo se posvetiti nešto

kasnije.

164

Interferenciji podležu i talasi koji imaju različitu frekvenciju i taj slučaj

se naziva izbijanjem. U tom slučaju rezultujući talas ima promenljivu amplitudu.

Frekvencija te promene amplitude je frekvencija izbijanja i ona je jednaka razlici

frekvencija polaznih talasa.

10.4. Stojeći talasi

Do formiranja stojećih talasa dolazi interferencijom progresivnih talasa

koji se prostiru u suprotnim smerovima u istom delu prostora ili odbijanjem

talasa na granici sa gušćom sredinom.

Razmotrimo prvo slučaj formiranja stojećih talasa interferencijom dva

talasa jednake amplitude i frekvencije koji se prostiru u suprotnim smerovima.

Njihove jednačine su

( ) (10.18)

( ) (10.19)

Interferencijom se dobija

(10.20)

Slika 10.7 Interferencija talasa iste amplitude, frekvencije i stalne fazne razlike.

(a)Apsolutno konstruktivna i (b) apsolutno destruktivna interferencija.

165

Jednačina (10.20) predstavlja jednačinu stojećeg talasa. Analizirajmo ovu

jednačinu. Pošto je faza argument trigonometrijske funkcije koji zavisi od

vremena, onda je faza stojećeg talasa

(10.21)

Odavde vidimo da faza stojećeg talasa zavisi isključivo od vremena, a da ne

zavisi od položaja tačke u prostoru koja je deo talasa. To znači da svi delići

sredine koji osciluju istovremeno prolaze kroz amplitudne položaje, ravnotežne

položaje itd.

Amplituda stojećeg talasa je član jednačine (10.20) koji ne zavisi od vremena

(10.22)

Dakle, amplituda stojećeg talasa nije

konstantna veličina, kao što je to slučaj kod

progresivnih talasa, već zavisi od položaja

oscilujuće čestice u odnosu na izvor talasa.

Različiti delići sredine osciluju različitom

amplitudom koja može imati vrednosti od nule

do 2y0. Mesta u prostoru gde je ampltuda

stojećeg talasa nula predstavljaju čvorove

stojećih talasa (slika 10.8), a mesta gde je amplituda 2y0 su trbusi stojećeg

talasa. Rastojanje izmeĎu dva susedna trbuha (u delu literature ove amplitude se

zovu anti-čvorovi) ili dva susedna čvora jednako je polovini talasne dužine

talasa. Čvorovi i trbusi stojećeg talasa imaju uvek isti položaj u prostoru i otuda i

potiče i naziv ovoj vrsti talasa – stojeći talasi.

Drugi način za formiranje stojećeg talasa je refleksija na granici sa

gušćom sredinom. Kako smo već videli, pri ovakvoj refleksiji dolazi do promene

faze talasa za , tako da je

( ) (10.23)

( ) ( ) (10.24)

Ako iskoristimo poznati trigonometrijski identitet

(10.25)

dobijamo

(10.26)

Odavde se vidi da su amplituda i faza stojećeg talasa

Slika 10.8 Stojeći talas

166

(10.27)

Stojeći talas koji se dobija pri refleksiji imaće uvek čvor na mestu gde se

odbijanje dogodilo na granici sa gušćom sredinom i obrnuto, na mestu refleksije

o reĎu sredinu formiraće se trbuh stojećeg talasa. Primer za ove talase može biti

stojeći talas koji se formira u čaši mleka koja stoji u frižideru. Vibracije frižidera

iniciraju nastanak talasa koji se prostire po površini mleka, reflektuje o zidove

čaše i formira stojeći talas pri interferenciji sa drugim progresivnim talasom.

U prostorno ograničenoj sredini ne mogu se formirati stojeći talasi

proizvoljnih, već tačno odreĎenih talasnih dužina, odnosno frekvencija. To su

tzv. rezonantne ili sopstvene frekvencije. Talasi svih ostalih frekvencija se

meĎusobno poništavaju. Oni stojeći talasi koji se formiraju i imaju najnižu

frekvenciju (tj. najveću talasnu dužinu) su tzv. osnovni harmonici (ili prvi

harmonici). Svi ostali stojeći talasi koji se u toj sredini formiraju predstavljaju

harmonike višeg reda. Koliko tačno iznose rezonantne frekvencije zavisi od tipa

odbijanja, odnosno od vrste ograničene sredine i mi ćemo, kao primer, navesti

neke od njih.

Primer 10.1 Žica učvršćena na oba kraja ili vazdušna cev zatvorena (ili

otvorena) na oba kraja

Na krajevima je žica

učvršćena i te tačke moraju biti

nepomične, tj. tu se nalaze

čvorovi stojećeg talasa. (Slično

važi i za vazdušnu cev koja je na

oba kraja zatvorena.) Onda, kako

zaključujemo sa slike, dužina žice

mora biti jednaka celobrojnom

umnošku polovina talasnih

dužina, odnosno

(10.28)

...

U opštem slučaju je

Slika 10.9 Prva tri harmonika stojećeg talasa

formiranog u žici zategnutoj na oba kraja.

167

(10.29)

Za n=1 dobijamo frekvenciju osnovnog harmonika.

Primer 10.2 Žica učvršćena na jednom kraju ili vazdušni stub zatvoren na

jednom kraju.

Na slici 10.10 prikazan je osnovni i prva dva

harmonika stojećeg talasa koji se može formirati

na žici dužine L, koja je učvršćena na jednom

svom kraju. Isti oblik imaju i stojeći talasi koji se

formiraju u vazdušnom stubu iste dužine

zatvorenom na jednom kraju. Sa slike vidimo da

su ispunjeni uslovi

(10.30)

tako da, u opštem slučaju, važi da je

( )

(10.31)

Kako važi veza izmeĎu frekvencije i talasne

dužine (pogledaj npr. jednačinu 9.10), onda je

( )

(10.32)

Primer 10.3 Žica učvršćena na sredini

Na slici 10.11 prikazana je žica učvršćena na sredini na kojoj su

formirana prva harmonika stojećeg talasa. Sa slike vidimo da je

(10.33)

Slika 10.10 Prva tri

harmonika stojećeg talasa

formiranog na žici

učvršćenoj na jednom kraju.

168

U opštem slučaju je

( )

(10.34)

odakle je konačno

( )

(10.35)

Slika 10.11 Prva tri harmonika

stojećeg talasa formiranog na

žici uklještenoj na sredini.

169

10.5. Difrakcija talasa

Ako ravanski talas, pri svom

prostiranju kroz sredinu, naiĎe na neku

prepreku doći će do savijanja zraka i pojave

difrakcije. Objašnjenje pojave za mehaničke

talase se zasniva na primeni Hajgensovog

principa. Na slici 10.12 prikazan je ravanski

talas koji nailazi na prepreku sa otvorom čija

širina je reda veličine talasne dužine talasa. Iza

prepreke sa otvorom formira se talasni front

kao obvojnica emitovanih elementarnih

sfernih talasa. Kako su zraci normale na

talasni front vidimo da je došlo do njihovog

radijalnog rasipanja. Što je otvor manji to će ova pojava biti izraženija i njoj

podležu više talasi veće talasne dužine. Zahvaljujući ovoj pojavi moguće je čuti

govor iza otvorenih vrata ili iza ugla neke zgrade.

10.6. Doplerov efekat za mehaničke talase

Doplerov (Christian Doppler, 1803-1853) efekat je pojava promene

frekvencije talasa koji stiže do prijemnika (detektora) u odnosu na frekvenciju

koju je emitovao izvor, uzrokovanu relativnim kretanjem izora i prijemnika.

Tipičan primer za Doplerov efekat je zvuk koji čujemo kada npr. stojimo na

pločniku i pored nas velikom brzinom proĎe motocikl. Dramatična promena

zvuka od visokofrekventnog, gotovo iritirajućeg, zvuka do dubokog brujanja dok

motocikl prolazi pored nas je utoliko izraženija ukoliko mu je brzina veća. Slično

se dešava i kada pored nas prolazi policijski ili bolnički automobil sa uključenom

sirenom, voz koji se oglašava sirenom kada polazi iz stanice ili pristiže na nju itd.

Isti efekat primećujemo i kada ovi izvori mehaničkog talasa (zvuka) miruju, ali

se mi (kao prijemnici zvuka) krećemo. Ova pojava postoji i za elektromagnetne

talase, samo se tada češće govori o Doplerovom pomaku (plavom ili crvenom),

ali i u relativističkoj fizici gde se uključuje efekat dilatacije vremena.

Razmotrimo sada razlike u frekvenci koje nastaju izmeĎu emitovanih

mehaničkih talasa i onih koji stižu do prijemnika.

Slika 10.12 Difrakcija

mehaničkog talasa na pukotini.

170

Na slici 10.13 prikazan je nepokretni

izvor zvučnih talasa (sirena vatrogasnog

kamiona) kao i dva posmatrača, koji su u

ovom slučaju prijemnici (ili detektori) zvuka.

Zvuk se širi u obliku sfernih talasnih frontova

– ekvidistantnih koncentričnih kružnica.

Rastojanje izmeĎu ovih kružnica jednako je

talasnoj dužini emitovanih zvučnih talasa.

Kako i izvor i prijemnici miruju zvuk stiže do

prijemnika nepromenjene talasne dužine

(frekvencije).

Na slici 10.14

prikazan je pokretni izvor

zvuka (motocikl) talasne

dužine 0 (odnosno

frekvencije 0) koji se

približava brzinom

devojci, udaljavajući se od

mladića. Mladić i devojka su

nepokretni detektori zvučnih

talasa. Posledica kretanja

izvora zvuka je zgušnjavanje

sfernih talasnih frontova na

strani gde je devojka,

odnosno razreĎivanje talasnih frontova na suprotnoj strani. To znači da do

devojke stižu talasi smanjene talasne dužine. To smanjenje je za dužinu koja je

jednaka rastojanju koje preĎe izvor zvuka krećući se brzinom , za vreme koje

protekne izmeĎu emitovanja dva talasna fronta (a to je vreme jednako jednom

periodu, T). Dakle,

(10.36)

Za isti iznos je uvećana talasna dužina talasa koji stižu do mladića, pa možemo

napisati istu jednačinu sa znakom + ispred brzine. Ako uvrstimo vezu izmeĎu

talasne dužine i frekvencije u gornji izraz, dobijamo

(10.37)

SreĎivanjem ovog izraza dobija se da je frekvencija talasa koji stižu do

prijemnika (devojke) jednaka

Slika 10.13 Izvor zvuka

(vatrogasna sirena) miruje, kao

i oba posmatrača (prijemnika)

Slika 10.14 Motocikl je izvor zvučnog talasa koji se

kreće sleva udesno (prema devojci). Mladić i

devojka su nepokretni detektori zvuka.

171

(10.38)

što znači da će devojka čuti zvuke više frekvencije od one koju je izvor

emitovao. S druge strane, detektor od koga se izvor udaljava (u našem slučaju

mladić) primaće talase niže frekvencije, koja je utoliko niža ukoliko je brzina

izvora veća. Prema tome, u slučaju udaljavanja izvora, važi da je

(10.39)

Na posletku, pretpostavimo da izvor

zvučnih talasa, koji emituje talase

talasne dužine 0 i frekvencije 0,

miruje (automobil na slici 10.15) a da

se prijemnici zvuka kreću (devojka se

udaljava, a mladić približava

automobilu) brzinom . Situacija u

kojoj se mladić približava talasnom

frontu je potpuno ista kao kada bi on

mirovao, a talasni frontovi se

približavali njemu brzinom koja je

jednaka . Onda će do njega stizati talasi čija je frekvencija uvećana

(10.40)

U slučaju kada se detektor udaljava (devojka) do nje stiže smanjena frekvencija

(negativan predznak ispred brzine detektora), tako da posle sreĎivanja jednačine

(10.40) dobijamo da je

(

) (10.41)

gde se znak + uzima u slučaju približavanja izvoru, a znak – u slučaju

udaljavanja.

U slučaju kada se kreću i izvor i prijemnik talasa, kombinovanjem

jednačina 10.38, 10.39 i jednačine 10.41, dobijamo

(10.42)

gde se gornji znaci uzimaju u slučaju približavanja, a donji u slučaju udaljavanja.

Slika 10.15 Izvor zvuka (automobil)

miruje, a detektori se kreću u

naznačenom smeru.

172

Na kraju recimo da je Doplerov efekat pojava koja ima široku primenu u

različitim oblastima, od istraživanja svemira, preko satelitskog pozicioniranja,

sve do policijskih radara kojima se utvrĎuje brzina kretanja objekata ili pokretnih

vrata na ulazima u supermarketima čiji su zvučni detektori osetljivi na kretanje.

U astronomiji se ispitivanjem spektra ustanovljava da li se daleke zvezde i

galaksije približavaju (plavi pomak) ili udaljavaju (crveni pomak) od nas i kojom

to brzinom čine, što je samo jedna od mnogih primena Doplerovog efekta u

slučaju elektromagnetnih talasa. jedna od najznačajnijih primena je u

medicinskoj dijagnostici, gde se pomoću Doplerovog pomaka u frekvenciji

ultrazvučnih talasa utvrĎuje protok i brzina protoka krvi kroz krvne sudove.