1

4. Linearni modeli i matrična

algebra� Prednosti matrične algebre:

1. Sažet način pisanja sistema jednačina;

2. Dovodi do načina provjere postojanja rješenja računanjem determinante (usko povezana sa pojmom matrice)

3. Daje metodu pronalaženja rješenja (ako postoji)

4. Široka primjena ne samo u statičkoj već i u komparativnostatičkoj i dinamičkoj analizi)

� Ograničenje: može se primijeniti samo na sistemelinearnih jednačina – koliko linearne j-ne mogu opisati stvarne ekonomske veze?

2

• Nelinearna funkcija se može transformisati u linearnu: b

axy = xbay logloglog +=

3

4.1 Matrice i vektori� Tržišni model dva dobra, nakon eliminisanja varijabli

količina, može se napisati kao sistem 2 linearne j-ne:

� Uopšte, sistem od m linearnih jednačina sa n nepoznatih:

02211

02211

χχχ −=+

−=+

PP

cPcPc

mnmnmm

nn

nn

dxaxaxa

dxaxaxa

dxaxaxa

=+++

=+++

=+++

...

....

...

...

2211

22222121

11212111

4

� Matrice kao šeme3 dijela: skup koeficijenata aij, skup varijabli x1,...,xn i skup konstanti d1,...,dm

Pr.

Matrica – pravougaona šema (tabela) brojeva, parametara ili varijabliElementi matrice – članovi šeme. Kod sistema: A matrica koeficijenata uz

nepoznate, x- matrica nepoznatih i d- matrica (kolona) slobodnih članova

=

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

...

...

...

...

21

22221

11211

=

nx

x

x

x...

2

1

=

md

d

d

d...

2

1

1054

1224

2236

321

321

321

=+−

=−+

=++

xxx

xxx

xxx

−

−=

514

241

136

A

=

3

2

1

x

x

x

x

=

10

12

22

d

5

• Vektori kao specijalne matrice

Broj vrsta i kolona u matrici definišu tip (red) matrice

pr. Matrica A ima m vrsta i n kolona, pa je tipa m*n (m puta n)

Ako je m=n, u pitanju je kvadratna matrica reda n (npr, 3*3)

Ako matrica sadrži samo jednu kolonu, zove se vektor kolona

(analogno i vektor vrsta)

Vektor – jedna uređena n-torka – tačka n-dimenzionog prostora

Matrica m*n – uređeni skup m vektora vrsta i n vektora kolona

Ax=d

[ ]nxxxx ...21'=

6

4.2 Operacije s matricama

Za dvije matrice i kažemo da su jednake akko imaju isti tip i akko imaju identične elemente na odgovarajućim mjestima u šemi (A=B akko je aij=bij za sve vrijednosti i i j)

Pr.

� Sabiranje i oduzimanje matrica

Dvije matrice možemo sabirati akko imaju isti tip.

Sabiranje se definiše kao sabiranje svakog para odgovarajućih el.

Pr.

[ ]ijaA = [ ]ijbB =

≠

=

34

02

02

34

02

34

=

4

7

y

x

4

7

=

=

y

x

=

++

++=

+

82

96

7102

0924

70

02

12

94

7

++

++

++

=

+

32323131

22222121

12121111

3231

2221

1211

3231

2221

1211

baba

baba

baba

bb

bb

bb

aa

aa

aa

[ ] [ ] [ ]ijijij cba =+

[ ] [ ] [ ]ijijij dba =−

ijijij bac +=

ijijij bad −=

Množenje skalaromPomnožiti matricu brojem – skalarom – znači pomnožiti svaki njen element zadanim skalarom.

−=

−

350

721

50

137

8

� Množenje matricaUslov za množenje dvije matrice A i B je da broj kolona matrice A

(vodeće matrice) mora biti jednak broju vrsta matrice B (krajnje matrice).

Pr.

Uopšteno, ako je A tipa m*n i B tipa p*q, AB će biti definisan akko je n=p. AB će biti tipa m*q.

Postupak množenja:Svaki element matrice C je zbir proizvoda elemenata i-te vrste vodeće

matrice A i odgovarajućih elemenata j-te kolone krajnje matrice B.

[ ]121121 aaA =×

=×

232221

13121132

bbb

bbbB

[ ]131211 cccCAB ==

2112111111 babac +=

9

2212121112 babac +=

10

Skalarni proizvod dva vektora – ako su zadata 2 vektora u i v, svaki sa n elemenata, npr. (u1, u2,..., un) i (v1, v2,..., vn), uređeni ili kao dvije vrste ili kao dvije kolone ili kao jedna vrsta i jedna kolona, njihov skalarni proizvod u*v

definiše se:

u*v=u1v1+u2v2+...+unvn

Skalarni proizvod dva vektora je skalar – suma proizvoda odgovarajućih elemenata (pr. Troškovi kupovine –vektor kupljenih količina n dobara i vektor njihovih cijena).

Element cij u matrici C=AB je, dakle, skalarni proizvod i-te vrste vodeće matrice A i j-te kolone krajnje matrice B.

11

Primjer

=× 64

5322A

−=× 74

0122B

( )

( )

=

⋅+⋅⋅+−⋅

⋅+⋅⋅+−⋅=

4220

3517

76044614

75034513AB

• Pitanje dijeljenja

Matrice nije moguće dijeliti jednu s drugom. Ne može se pisati A/B.

Uvodi se pojam inverzne matrice o kojoj će kasnije biti riječi.

• Uzgred o oznaci ∑

Koristi se za kraći zapis sabiranja.

∑=

=++3

1321

j

jxxxx

12

4.3 O operacijama s vektorima

• Množenje vektora

Proizvod vektora kolone u tipa m*1 i vektora vrste v’ tipa 1*n je matrica uv’ tipa m*n.

Pr.

=

2

3u [ ]541'=v

=

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅=

1082

15123

524212

534313'uv

13

Geometrijska interpretacija operacija s vektorima

• Radijus vektor – orjentisana duž koja polazi iz koord.poč.

• (a) množenje vektora uskalarom k (k>1, 0<k<1, k=0)(b) množenje negativnim skalarom(c) sabiranje vektora(d) razlika vektora

• Linearna kombinacija vektora

14

Linearna zavisnost

• Skup vektora je linearno zavisan akko se bilo koji od njih može izraziti kao linearna kombinacija preostalih vektora. U protivnom su linearno nezavisni.

Pr.

=

7

21v

=

8

12v

=

5

43v

321 5

4

16

2

21

623 vvv =

=

−

=−

023 321 =−− vvv

=

0

00

15

• Skup n vektora v1, v2,..., vn je linearno zavisan akko postoji skup skalara k1, k2,..., kn (gdje je barem jedan različit od nule) takvih da je

• S druge strane, ako se ta j-na može zadovoljiti samo kad je ki=0, za svako i, onda su ti vektori linearno nezavisni.

• Geometrijski, zavisni vektori leže na jednom pravcu, a nezavisni ne.

• Zaključak: ako se u dvodimenzionom prostoru nađu dva nezavisna vektora u i v, onda se svi ostali vektori tog prostora mogu izraziti kao njihova linearna kombinacija.

• Svaki skup od barem tri dvodimenzionalna vektora mora biti linearno zavisan.

∑=

×=n

i

niivk1

10

16

Vektorski prostor

• Skup svih dvodimenzionih vektora koji generišu različite linearne kombinacije dva nezavisna vektora u i v čini dvodimenzioni vektorski prostor (R2).

• Dva linearno nezavisna vektora u i v čine jednu bazu

dvodimenzionog prostora. Npr, jedinični vektori [1,0] [0,1]

• Trodimenzionalni vektorski prostor

≡

0

0

1

1e

=

0

1

0

2e

=

1

0

0

3e

17

• Uopštenje: n-dimenzioni prostor je skup svih n-dimenzionih vektora (realnih brojeva) – Euklidski

prostor.

• Udaljenost između 2 vektora u i vili tačke (a1,a2,...,an) i (b1,b2,...,bn):

(za u=v)

(za u≠v)

(za w ≠u,v)

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )vwdwudvud

uvdvud

vud

,,,

0,,

0,

+≤

>=

=

( ) ( ) ( ) ( )2222

211 ..., nn bababavud −++−+−=

( ) ( ) ( )vuvuvud −−=',

18

Zakoni komutacije, asocijacije i distribucije

• U skalarnoj algebri operacije sabiranja i množenja zadovoljavaju zakone komutacije, asocijacije i distribucije:

Komutacija: a+b=b+a; ab=ba

Asocijacija: (a+b)+c=a+(b+c); (ab)c=a(bc)

Distribucija: a(b+c)=ab+ac

• Sabiranje matrica

Zakon komutacije A+B=B+A

Zakon asocijacije (A+B)+C=A+(B+C)

• Množenje matrica

Množenje nije komutativno: AB≠BA, ali množenje skalarom jeste kA=Ak

Zakon asocijacije (AB)C=A(BC)=ABC

Zakon distribucije A(B+C)=AB+AC (množenje s lijeva s A)

(B+C)A=BA+CA (množenje s desna s A)

qppnnm CBA ×××

19

Jedinična i nulta matrica

• Jedinična matrica je kvadratna matrica s jedinicama na glavnoj dijagonali i nulama na svim ostalim mjestima. Označava se sa I ili In, gdje je n red matrice.

• Igra sličnu ulogu kao skalar 1 u skalarnoj algebri: IA=A, AI=A

•

• Idempotentna matrica – matrica koja ostaje ista bez obzira koliko je puta pomnožimo sa samom sobom.

• Nula matrica – matrica čiji su svi elementi nule (ne mora biti kvadratna)

=

10

012I

=

100

010

001

3I

( ) pnnmpnmnnm BABAIBIA ××××× ==

20

Osobine matrične algebre

• Jednačina ab=0 ne implicira uvijek da je ili aili b jednako nuli.

• Jednačina cd=ce (c≠0) ne implicira da je d=e.

• To se javlja kod specijalne klase matrica – singularne matrice

(sadrže red koji je djelilac drugog reda).

000

00

21

42

21

42=

=

−

−

=AB

=

96

32C

=

21

11D

−=

23

12E

==

2415

85CECD

21

Transponovana i inverzna matrica

• Transponovana matrica matrice A – matrica kojoj su vrste kolone matrice A i kolone vrste matrice A. Označava se sa A’ ili AT.

• Svojstva transponovanja:

1. (A’)’=A

2. (A+B)’=A’+B’

3. (AB)’=B’A’

• Inverzna matrica postoji samo za kvadratnu matricu A. Označava se sa A-1 i zadovoljava uslov:

AA-1=A-1A=1

1. Svaka kvadratna matrica A nema inverznu matricu. Ako je ima, kaže sa da je A nesingularna ili regularna matrica. Ako nema, onda je A singularna.

22

2. Ako A-1 postoji, onda je njoj inverzna matrica A.

3. Ako je A reda n (tipa n*n), onda je i A-1 istog reda.

4. Ako inverzna matrica postoji, onda je ona jedinstvena. Dokaz.

5. Dva dijela uslova inverzne matrice, AA-1=I i A-1A=I impliciraju jedan drugog. I to se može dokazati.

Inverzna matrica i rješenje sistema linearnih jednačina

131333 ××× = dxA

dAAxA11 −−

= 1313313 ×

−×× = dAx