Embed Size (px)
Citation preview
1
Estabilidad
Universidad Tecnológica Nacional
Promoción Directa
Facultad Regional Avellaneda
Ingeniería CivilEstabilidad
Líneas de influenciaMódulo X
2
Estabilidad
Decano F.R.A.Ing. Jorge O. Del Gener
Coordinador de Promoción DirectaIng. Luis Muraca
AutorIng. Jorge O. Del Gener
Realizado por
Coordinador Facultad Abierta Avellaneda on-lineAlejandro González
DiseñoProf. Ricardo KrotkiProf. Alcira Virgili
Vers. OCT2008
3
Estabilidad
Módulo 10Líneas de influencia
4
Estabilidad
5
Estabilidad
INDICE
Módulo X: LIneAs De InfLuenCIA
nociones de cinemática plana
Diagramas de corrimientos
Determinación de polos
Trabajo virtual
Principio de los trabajos virtuales
Actividades
ejemplos
Actividades
6
Estabilidad
7
Estabilidad
NOCIONES DE CINEMÁTICA PLANA
Al definir el corrimiento de un punto como el cambio de posición del mismo, podemos representarlo mediante un vector que va de la posición inicial a la final, cuya intensidad será igual a la longitud del segmento así trazado y su signo, positivo, cuando lo sea su proyección sobre el eje x. Por lo tanto, el corrimiento de un punto A perteneciente a una chapa plana rígida, para un desplazamiento infinitesimal de la misma, quedará representado por un vector cuya magnitud, dirección y sentido coincidirá con el del desplazamiento.en el caso más general, podemos suponer que dicho desplazamiento será una rotación de la chapa alrededor de un punto fijo O, denominado polo, y debido al cuál un punto A pasará a ocupar la posición A´.
Por ser la rotación infinitésima, el arco se confunde con la tangente, por lo que supondremos al vector desplazamiento como tangente a dicha rotación, o sea perpendicular al radio OA, y su magnitud estará dada por el producto de la distancia del polo O al punto A(OA) por la intensidad de la rotación θ.
θ⋅⋅= AOaA
Por lo tanto, si conozco los corrimientos de dos puntos de una chapa rígida, puedo determinar el polo de rotación de la misma.
Cuando todos los puntos ubicados sobre el radio OA sufren el mismo desplazamiento, estamos en presencia de una traslación (rotación alrededor de un polo impropio).Por ser un vector, cualquier desplazamiento puede descomponerse vectorialmente según dos direcciones, por ejemplo las paralelas a los ejes coordenados.
8
Estabilidad
Trazado de diagramas
si tenemos una chapa que experimenta una rotación infinitésima θ>0 alrededor del polo O(x0;y0), para determinar los corrimientos verticales η y horizontales ξ de un punto A(xA;yA), deberíamos aplicar las ecuaciones :
( )( )
−⋅=
−⋅−=
A0
A0
yy
xx1
θζθη
Analizando estas ecuaciones vemos que si hacemos variar xA, η variará linealmente ya que Θ y x0 son constantes. Lo mismo ocurre para ξ, por lo tanto ambos diagramas tendrán una variación lineal.
Veremos ahora, que para trazar los diagramas de corrimientos η y ξ, no es necesario dar una rotación determinada θ al sistema, ni haber calculado previamente los corrimientos de un punto mediante el sistema de ecuaciones 1 , sino que basta con darle una rotación cualquiera, con el mismo sentido que θ, y luego determinar la escala en que deberán medirse los valores de los desplazamientos.
Por ejemplo, para trazar el diagrama de corrimientos verticales η, adoptamos un eje horizontal x-x de referencia y proyectamos sobre el mismo el polo O, obteniendo el punto O’. si le damos a la chapa un giro cualquiera en valor pero de signo igual al de θ, y a partir de O’ medimos un ángulo cualquiera con ese signo y trazamos la recta M’n’, obtenemos el diagrama de corrimientos verticales. Como podemos ver, todos los puntos ubicados sobre una recta vertical que pasa por A tendrán el mismo corrimiento vertical ηA.
9
Estabilidad
Para determinar la escala medimos horizontalmente una distancia cualquiera b(m) en escala de longitud, y por su extremo trazamos una vertical obteniendo un valor η(cm), tal que:
Para trazar el diagrama de corrimientos horizontales ξ tomamos un eje vertical y-y de referencia y proyectamos sobre el mismo el polo O, obteniendo el punto O’’. si adoptamos la misma escala para los corrimientos horizontales, el diagrama estará dado por una recta s”T” , normal a la recta M´n´ de corrimientos verticales, ya que la pendiente (θ) es la misma para ambos corrimientos y las líneas de cierre x-x e y-y son normales.
( )( )
( )( )mc
mbCorrimEsc
mb
CorrimEscmc
ηθη
θ⋅
=⋅⋅⇒⋅⋅⋅
=
10
Estabilidad
Determinación de polos
en toda cadena cinemática de un grado de libertad, los polos de dos chapas consecutivas deberán encontrarse alineado con la articulación relativa correspondiente.
Desplazamientos relativos de chapas rígidas
el desplazamiento relativo de la chapa s2 respecto de la s1, es una rotación relativa θ2-1, que será negativa pues el giro experimentado por la chapa s2 para llevarla a su posición definitiva, es negativo.
11
Estabilidad
Ejemploa) Determinar los polos de las siguiente cadena cinemática de un grado de libertad.
b) Determinar los diagramas de corrimientos de la siguiente cadena cinemática de un grado de libertad.
12
Estabilidad
c) Determinar los diagramas de corrimientos de la siguiente cadena cinemática de un grado de libertad.
ACTIVIDADES
Ejercicio N°1Determinar los diagramas de corrimientos de las siguientes cadenas cinemáticas de un grado de libertad.
a)
13
Estabilidad
b)
c)
14
Estabilidad
TRABAJO VIRTUAL
Desplazamiento virtual
es todo desplazamiento infinitésimo de un sistema rígido de puntos materiales, compatible con sus condiciones de vínculo.
Trabajo de una fuerza
se define como trabajo φ desarrollado por una fuerza P aplicada en un punto A durante el desplazamiento aA de su punto de aplicación, al producto de la intensidad de P por la proyección δ de aA sobre la dirección de P.
φ = P · δ
Cuando el sentido de la proyección del corrimiento del punto de aplicación de la fuerza coincide con el de ésta, el trabajo será positivo, y negativo en caso contrario.si el corrimiento del punto de aplicación de la fuerza es un corrimiento virtual, el trabajo desarrollado por P es un trabajo virtual.
Trabajo de un par de fuerzas
el trabajo de un par de fuerzas aplicado a una chapa rígida, que experimenta una rotación θ, es igual al producto de la intensidad del par por la intensidad de la rotación.
φ = M · θ
15
Estabilidad
Trabajo de dos fuerzas opuestas
Dadas dos fuerzas opuestas PA = - PB aplicadas respectivamente en los puntos A y B, que experimentan corrimientos aA y aB, tendremos que:
φ=PΒ · a’BA = PA · a’AB
Por lo tanto, el trabajo desarrollado por dos fuerzas opuestas para corrimientos cualesquiera de sus puntos de aplicación, es igual al producto de la intensidad de cualquiera de ellas por l proyección sobre su dirección, del corrimiento relativo de su punto de aplicación respecto de la otra fuerza.Trabajo del esfuerzo interno de una barra
si tenemos un conjunto de dos chapas articuladas entre sí y vinculadas mediante una barra AB, en equilibrio bajo la acción de un sistema Pi de fuerzas exteriores, al suprimir la misma, para restituir el equilibrio es necesario aplicar en A y B, dos fuerzas iguales y opuestas TA y TB. si damos al sistema un desplazamiento infinitésimo, las fuerzas TA y TB desarrollarán trabajo, cumplndose que :
θ=T·(-δAB)
O sea que el trabajo del esfuerzo interno de una barra es igual al producto de la intensidad T del mismo por la variación de distancia entre sus puntos extremos, cambiada de signo; recordando que la variación de distancia es un escalar que se define como la proyección del desplazamiento relativo de uno de los puntos respecto del otro, sobre la dirección definida de ambos, resultando positiva cuando los puntos se alejan y negativa cuando se acercan.
16
Estabilidad
Principio de los trabajos virtuales
Para que un sistema de puntos materiales, sujeto a una vinculación determinada, se encuentre en equilibrio bajo la acción de un sistema de fuerzas cualesquiera, el trabajo desarrollado por las fuerzas activas y reactivas, para cualquier desplazamiento virtual del sistema, debe ser nulo.
Aplicando este principio, determinar para la estructura dada la reacción de vínculo en el punto D y el momento flector en el punto B.
Reacción en D (RD)
Al poner en evidencia la incógnita eliminando el vínculo en D, le damos al sistema un grado de libertad, transformando la estructura isostática en un mecanismo cinemático capaz de sufrir un
desplazamiento independiente, al que le aplicamos una rotación infinitésima θ> 0 y trazamos el diagrama de corrimientos verticales:
RD
Aplicando el P.T.V. :
Dη P1 · η1 + P2 · η2 - Rd · ηd =0∴
DD
ppR
ηηη 2211 ⋅+⋅
=
17
Estabilidad
Momento flector en B (MB)
Al poner en evidencia la incógnita colocando una articulación en el punto B, le damos al sistema un grado de libertad y le aplicamos una rotación θ1>0 a la chapa s1, para trazar a continuación el diagrama de corrimientos verticales η.
Aplicando el P.T.V. :P1 · η1 + P2 · η2 + MB · θ2-1 =0
Y como:θ2-1 = θ2 - θ1
Donde:
332
11
12
nY
n=
⋅= θθ
Tenemos:
⋅⋅
−=⋅⋅
−⋅⋅
−=− 29
26
23 111
12ηηη
θ
Y reemplazando en la ecuación:
( )2211
1
12211
12211
92
029
029
ηηη
ηηη
ηηη
⋅+⋅⋅⋅⋅
=⇒=⋅⋅−⋅+⋅
=
⋅⋅
−⋅+⋅+⋅
PPMMPP
MPP
BB
B
18
Estabilidad
19
Estabilidad
LINEAS DE INFLUENCIA
La línea de influencia de una determinada solicitación es un diagrama que me da el valor de dicha solicitación en un punto fijo “i”, cuando en un punto móvil “j” actúa una carga de valor unitario.Por lo tanto, la diferencia fundamental con los diagramas de M, n y Q es que, mientras éstos nos dan el valor de la solicitación en cualquier punto de una estructura debido a un estado de cargas fijo, los diagramas de línea de influencia nos dan el valor de la solicitación en un punto fijo debido a una carga móvil.Para determinar estos diagramas comenzamos por eliminar el vínculo correspondiente con la magnitud estática cuya línea de influencia queremos hallar y aplicamos luego, el principio de los trabajos virtuales. Por ejemplo, si queremos hallar el diagrama de línea de influencia para la reacción de vínculo en el punto B de la siguiente estructura, tendremos :
P ·ηP + RB · a=0Donde si P = 1:
1a1
R pB
−=η
O sea que el valor de la reacción en B es igual al corrimiento en el punto donde se considera aplicada la
carga, por una determinada escala
−
a1
, donde “a” es el desplazamiento del punto de aplicación de la incógnita proyectada en la dirección de la misma, es decir, es el desplazamiento correspondiente con la incógnita.en cuanto al signo de la línea de influencia, si observamos la ecuación 1 , vemos que para corrimientos η positivos el signo de la incógnita es contrario al de a, por lo tanto, a la parte positiva del diagrama de corrimientos corresponde signo contrario al del desplazamiento correspondiente con la incógnita.en definitiva la línea de influencia de una incógnita es un diagrama cuyas ordenadas miden, en una cierta escala, el valor de la misma cuando una fuerza unitaria y positiva se desplaza sobre una línea del sistema.en síntesis, el método a utilizar para trazar la línea de influencia de una incógnita x, serà el siguiente :
a) Ponemos en evidencia la incógnita x, dando al sistema un grado de libertad.b) Determinamos los polos del mecanismo resultante y le damos un desplazamiento
virtual.c) Trazamos los diagramas de corrimientos.d) Determinamos el desplazamiento correspondiente con la incógnita que
permitirá conocer la escala de la línea de influencia y su signo.
20
Estabilidad
LINEAS DE INFLUENCIA DE REACCIONES DE VÍNCULO EXTERNO
Dada la estructura plana de la figura, sometida a la acción de una carga vertical P que se desplaza sobre la misma manteniéndose paralela a dicha dirección, determinaremos los diagramas de línea de influencia de sus reacciones de vínculo externo.
Línea de influencia de RB
Como primera medida eliminamos el vínculo móvil aplicado en el punto B, poniendo en evidencia la incógnita RB y dando un grado de libertad al sistema, y determinado el polo de rotación O1 del mismo le damos una rotación θ>0, trazando a continuación el diagrama de corrimientos verticales η.
P ·ηP + RB · a=0De donde:
1a1
R pB
−=η
Donde a, el desplazamiento correspondiente con la incógnita, no es otra cosa que el corrimiento efectivo del punto B, aB, proyectado sobre la dirección de RB. Para hallar aB podríamos trazar
el diagrama de corrimientos horizontales ξ y componer ηA y ξA, pero como sabemos que el corrimiento efectivo de un punto es normal a la recta que une el polo con el punto, obtenido el corrimiento vertical ηB, es mas sencillo trazar por B’ una normal a la dirección O1B y por B’’ una paralela al corrimiento horizontal ξ hasta cortar a aquélla en el punto B’’’. De esta manera, el segmento B´B´´´ será el corrimiento efectivo aB, que
21
Estabilidad
proyectado en la dirección de RB, nos dará a, el desplazamiento correspondiente con la incógnita.Como a es positivo, por serlo su proyección sobre el eje x, el diagrama de línea de influencia tendrá signo negativo porque a las ordenadas positivas del diagrama de corrimientos les corresponde signo contrario al de a.
Línea de influencia de VA
Considerando que el vínculo fijo aplicado en A está constituido por dos vínculos móviles, uno en la dirección de x y otro en la dirección de y, eliminando este último pondremos en evidencia la incógnita VA y daremos al sistema un grado de libertad. una vez hallado el polo O1, le aplicamos una rotación θ>0 y trazamos el diagrama de corrimientos verticales η.
P ·ηP + VA·a =0
De donde:
−⋅=
aV PA
1η
en este caso particular el corrimiento vertical de A, ηA, coincide con el efectivo aA, por encontrarse el polo O1 sobre la horizontal de aquel punto, y con el desplazamiento a correspondiente con la incógnita, por ser VA vertical. O sea que:
ηA = aA = a
Como a es positivo, por serlo su proyección sobre el eje y, el diagrama de línea de influencia tendrá signo negativo porque a las ordenadas positivas del diagrama de corrimientos les corresponde signo contrario al de a.
Línea de influencia de HA
eliminando el vínculo móvil en la dirección de x pondremos en evidencia la incógnita HA y daremos al sistema un grado de libertad. una vez hallado el polo O1, le aplicamos una rotación θ>0 y trazamos el diagrama de corrimientos verticales η y, en este caso, también el de corrimientos horizontales ξ, ya que la incógnita HA tiene esa dirección.
22
Estabilidad
en este caso particular el corrimiento horizontal de A, ξA, coincide con el efectivo aA, por encontrarse el polo O1 sobre la vertical de aquel punto, y con el desplazamiento a correspondiente con la incógnita, por ser HA horizontal. O sea que:
ξA = aA = a
P · ηP + HΑ · a =0 De donde:
−⋅=
aH PA
1η
Como a es negativo, por serlo su proyección sobre el eje x, el diagrama de línea de influencia tendrá signo positivo porque a las ordenadas positivas del diagrama de corrimientos les corresponde signo contrario al de a.
LINEAS DE INFLUENCIA DE ESFUERZOSEN SISTEMAS DE RETICULADO
Dado el reticulado plano de la figura, sometido a la acción de una fuerza vertical P que se desplaza a lo largo del cordón superior manteniéndose paralela a dicha dirección, determinaremos los diagramas de línea de influencia de los esfuerzos en algunas de sus barras.
23
Estabilidad
Línea de influencia del esfuerzo en la barra BD
suprimiendo la barra BD ponemos en evidencia la incógnita T y transformamos el sistema en una cadena de dos chapas articuladas en E, con un grado de libertad. Obtenidos los polos O1 y O2, aplicamos una rotación θ>0 a la chapa s1 y trazamos el diagrama de corrimientos verticales η.
P · ηP + T · a =0De donde:
−⋅=
a1
pT η
Recordando que el trabajo del esfuerzo interno de una barra es igual al producto de la intensidad T del mismo por la variación
de distancia δ entre sus puntos extremos, cambiada de signo, en este caso, el desplazamiento a correspondiente con la incógnita será la variación de distancia entre los puntos B y D, cambiada de signo, es decir: a = -δBD
Por lo tanto tendremos que:
−⋅=
a1
pT η 1
Como δBD=θ2-1·t, llevando horizontalmente a partir de A’1-2 la distancia t, medida desde la articulación A1-2 hasta la recta BD, y trazando por su extremo una vertical hasta cortar a [s1]
y [s2], determinamos los puntos R y S que definen el segmento aSR DB == δ . en cuanto al signo, como la rotación relativa θ2-1 es negativa, los puntos B y D se acercan mutuamente, por lo tanto la variación de distancia δBD resulta negativa y con ello a es positiva. De esta manera, y de acuerdo a la ecuación 1 , el signo de la línea de influencia será negativo para las ordenadas positivas del diagrama de corrimientos verticales.
24
Estabilidad
Línea de influencia del esfuerzo en la barra BE
suprimiendo la barra Be ponemos en evidencia la incógnita T y transformamos el sistema en una cadena de dos chapas articuladas en la intersección de las bielas BD y Ce con un grado de libertad. Obtenidos los polos O1 y O2, aplicamos una rotación θ1>0 a la chapa s1 y trazamos el diagrama de corrimientos verticales η.
P · ηP + T · a =0De donde:
−⋅=
a1
pT η
Y como: a =-δBETenemos:
( )
−−⋅=
EB
1pT
δη
Para determinar la variación de distancia δBE, llevamos la distancia t de A1-2 a la dirección de la barra Be, horizontalmente a partir de A’1-2 y por su extremo trazamos una vertical hasta cortar
a [s1] y [s2] en los puntos R y s, definiendo así el segmento aSR EB == δ en cuanto al signo, como la rotación relativa θ2-1 es negativa, el punto E se acerca al B, por lo que la variación de distancia será negativa y a>0. en consecuencia, a la parte positiva del diagrama de corrimientos le corresponde signo contrario, es decir, negativo.
25
Estabilidad
LINEAS DE INFLUENCIA DE ESFUERZOS CARACTERÍSTICOS EN SISTEMAS DE ALMA LLENA.
Considerando el sistema de alma llena de la figura, trazaremos los diagramas de línea de influencia de los esfuerzos característicos en la sección n-n para cargas verticales que se desplazan paralelamente a lo largo de la misma.
Línea de influencia del momento flexor en la sección n-n
Para poner en evidencia la incógnita, colocamos una articulación en la sección n-n dándole al sistema un grado de libertad y rompiendo su equilibrio. Para restituirlo aplicamos dos pares M1 y M2, iguales y opuestos, que representan al momento flexor que actúa en la sección y cuyo signo estará dado siempre por el del par M2, aplicado en la chapa s2, por representar el momento de las fuerzas que actúan a la izquierda de la sección considerada.Determinados los polos O1 y O2, damos una rotación θ1>0 a la chapa s1, trazamos el diagrama de corrimientos y planteamos la ecuación de trabajos virtuales:
P · ηP + M1 · θ1 + M2 · θ2 =0Por ser : M1 = - M2Reemplazando: P · ηP - M2 · θ1 + M2 · θ2 =0 P · ηP + M · (θ2 - θ1)=0 P · ηP + M · θ2-1=0
11
pM12
−⋅=
−θη
26
Estabilidad
Como vemos, en este caso, el desplazamiento a correspondiente con la incógnita es la rotación relativa θ2-1, de la chapa s2, donde actúa el momento de la resultante izquierda M2, respecto de la chapa s1 y para determinarla, trazamos horizontalmente a partir de la articulación A’1-2 un segmento que en la escala de longitud corresponda a 1m y por su extremo dibujamos una
vertical hasta cortar a [s1] y [s2] en los puntos R y S, que me definirán el segmento ( )mcaSR =. Como se trata de una rotación infinitésima, se cumplirá que:
θ2-1 · 1(m) = a(cm) ∴ ( )( ) 12
1mca
m1
−
=θ
Y en cuanto al signo, de acuerdo a la ecuación 1 a la parte positiva del diagrama de corrimientos le corresponde signo contrario al de θ2-1, y como la rotación θ2-1 es negativa, las ordenadas de la línea de influencia ubicadas por debajo del eje serán positivas y negativas las restantes.
Línea de influencia del esfuerzo de corte en la sección n-n
Para poner en evidencia la incógnita, colocamos el vínculo relativo correspondiente en la sección n-n dándole al sistema un grado de libertad y rompiendo su equilibrio. Para restituirlo aplicamos dos fuerzas Q1 y -Q2, iguales y opuestas, que representan al esfuerzo de corte que actúa en la sección y cuyo signo estará dado siempre por el de la fuerza Q2, aplicada en el punto D de la chapa s2, por ser ésta la componente de la resultante izquierda que produce dicho esfuerzo.Determinados los polos O1 y O2, damos una rotación θ>0 a la chapa s1, trazamos el diagrama de corrimientos y planteamos la ecuación de trabajos virtuales :
P · ηP + Q · a =0De donde:
−⋅=
a1
pQ η
27
Estabilidad
De las dos fuerzas Q consideramos la correspondiente a la resultante izquierda aplicada en el baricentro T de la chapa s2, y en cuanto al desplazamiento a correspondiente con la incógnita, en este caso será la proyección sobre la dirección de Q del corrimiento relativo del punto T respecto del R (no hay variación de distancia ya que los puntos T y R son coincidentes).Como las bielas de la articulación relativa A1-2∝ son normales a la dirección de Q, el desplazamiento relativo efectivo del punto T respecto del R, aTR, tendrá la dirección del esfuerzo de corte, y por consiguiente, trazando por el extremo R’ una paralela a la dirección de Q, la
desproyección de T’ sobre la misma determina un punto T’’ que define el vector RTa´́T´R = y que coincide con el desplazamiento correspondiente con la incógnita a.Como el signo de a es negativo, le corresponderá signo positivo a la parte del diagrama ubicado por debajo del eje de referencia.
Línea de influencia del esfuerzo normal
Para poner en evidencia la incógnita, colocamos el vínculo relativo correspondiente en la sección n-n dándole al sistema un grado de libertad y rompiendo su equilibrio. Para restituirlo aplicamos dos fuerzas n y (-n), iguales y opuestas, que representan al esfuerzo de corte que actúa en la sección y cuyo signo estará dado siempre por el de la fuerza n, aplicada en el punto D de la chapa s2, por ser ésta la componente de la resultante izquierda que produce dicho esfuerzo.Determinados los polos O1 y O2, damos una rotación θ1>0 a la chapa s1, trazamos el diagrama de corrimientos y planteamos la ecuación de trabajos virtuales:
P · ηP + n · a =0De donde:
−⋅=
a1
pN η
28
Estabilidad
De las dos fuerzas n consideramos la correspondiente a la resultante izquierda aplicada en el baricentro T de la chapa s2, y en cuanto al desplazamiento a correspondiente con la incógnita, en este caso será la proyección sobre la dirección de n del corrimiento relativo del punto T respecto del R (no hay variación de distancia ya que los puntos T y R son coincidentes).Como las bielas de la articulación relativa A1-2∝ son normales a la dirección de n, el desplazamiento relativo efectivo del punto T respecto del R, aTR, tendrá la dirección del esfuerzo normal, y por consiguiente, trazando por el extremo R’ una paralela a la dirección de n, la
desproyección de T’ sobre la misma determina un punto T’’ que define el vector RTa´́T´R = y que coincide con el desplazamiento correspondiente con la incógnita a.Como el signo de a es negativo, le corresponderá signo positivo a la parte del diagrama ubicado por debajo del eje de referencia.
29
Estabilidad
EJEMPLOS
1.- Dado el sistema de alma llena de la figura : a) Determinar los diagramas de línea de influencia de las reacciones de vínculo externas y el
valor que toman las mismas cuando la fuerza vertical P = 1 está aplicada en el punto C.b) Determinar los diagramas de línea de influencia de los esfuerzos característicos en la
sección n-n y el valor que toman los mismos cuando la fuerza P está aplicada en el punto C.
a1) Línea de influencia de VA
P ·ηP + VA · a =0
VA= P · ηP
−
a1
a=ηA
VA=1t·1,2cm
−
mc31
VA=-0,4t
30
Estabilidad
a2)Línea de influencia de HA:
a3) Línea de influencia de VB:
P · ηP + Vb · a =0
VB= P · ηP ·
−
a1
VB = 1t · 2,7cm ·
−
mc5.41
VB = - 0,60 t
P · ηP + HA · a=0
HA = P · ηP ·
−
a1
HA = 1t · 0,5cm ·
−
−mc5.2
1
HA =0,2t
31
Estabilidad
a4) Línea de influencia de HB:
P · ηP + HB · a =0
HB = P · ηP ·
−
a1
HB= 1t · 0,65cm ·
−
mc2.31
HB= -0,2t
32
Estabilidad
b1) Línea de influencia de Mfn-n:
P · ηP + M · θ3-2 =0
Mf = P · ηP
−
−23
1θ
θ3-2 · 1m = a(cm)
Mf = 1t · ( - 0,95cm) ·
−
mmc
4,2
1
Mf = 0,39 tm
b2) Línea de influencia de Qn-n:
P · ηP + Q · a =0
Q= P · ηP
−
a1
a = aTR
Q= 1t · (1,1cm) ·
−
−93,1
1
Q= - 0,28t
33
Estabilidad
b3) Línea de influencia de Nn-n:
P · ηP + n · a =0
n= P · ηP ·
−
a1
a= aTR =-2,7cm
n= 1t · 1,5cm ·
−
−mc7,2
1
n= 0,55 t (compresión)
34
Estabilidad
2.- Dado el sistema reticulado de la figura sometido a la acción de una carga vertical P=1 que se desplaza a lo largo del cordón superior:
a) determinar los diagramas de línea de influencia de los esfuerzos en las barras 4-6, 3-6 y 5-6 , y el valor de los mismos cuando la fuerza P está aplicada en el nudo 6.
a1) Línea de influencia de n4-6:
P · ηP + n4-6 · a =0
n4-6 = P · ηP ·
−
a1
a= -δ4-6 = - (- 2,7cm)= 2,7 cm
Como δ4-6<0 ⇒ a>0
n4-6 = 1t · 1,35cm ·
−
mc7,21
n4-6 = - 0,5t (compresión)
35
Estabilidad
a2) Línea de influencia de n3-6:
P · ηP + n3-6 · a =0
n3-6 =P · ηP ·
−
a1
a= -δ3-6 = - 3,8cm
δ3-6 >0 ⇒ a <0
n3-6 = 1t · (- 2,7cm) ·
mc8.3
1
n3-6= - 0,71t (compresión)
a3) Línea de influencia de n5-6:
P · ηP + n5-6 · a =0
n5-6 = P · ηP ·
−
a1
a = -δ5-6 = - (- 4,7cm)= 4,7 cm
δ5-6 <0 ⇒ a>0
n5-6 = 1t · 2,35cm ·
−
mc7,41
n5-6 = - 0,5t (compresión)
36
Estabilidad
37
Estabilidad
ACTIVIDADES
1.- Dado el sistema de alma llena de la figura sometido a la acción de una fuerza vertical P = 1, determinar los diagramas de línea de influencia de las reacciones de vínculo externas y de los esfuerzos característicos en una sección n-n, y el valor que tomarán los mismos cuando la fuerza P actúa en el punto C.
2.- Dado el sistema de reticulado de la figura sometido a la acción de una fuerza vertical P = 1 que se desplaza sobre el cordón superior, determinar los diagramas de línea de influencia de los esfuerzos en las barras 3-5, 4-5 y5-6 , y el valor de los mismos cuando la fuerza P actúa sobre el nudo 3.
38
Estabilidad
39
Estabilidad
BIBLIOgRAFÍA.
Ciencia de la Construcción – Tomo IOdone BelluzziAguilar s.A. –Madrid – 3° edición 1970
Mecánica Vectorial para Ingenieros-Estáticaferdinand P. Beer – e. Russell Johnston Jr.McGraw-Hill / Interamericana editores s.A. MéxicoQuinta edición-Año 1999
Ingeniería Mecánica – EstáticaWilliam f. Riley – Leroy D. sturgeseditorial Reverté s.A. españa – edición 1995
Mecánica para Ingeniería y sus aplicaciones – EstáticaDavid J. Mc Grill – Milton W. KingGrupo editorial Iberoamericana – Año 1994
Mecánica para Ingeniería – EstáticaAnthony Bedford – Wallace fowlerAddison Wesley Longman de México s.A. – Año 2000
Ingeniería Mecánica – EstáticaR. C. HibbelerPrentice Hall Hispanoamericana s.A. – Año 1996
Temas de Estabilidad – EstáticaClaudio A. MolanesPrimera edición IRO – enero 1999
Estabilidad – 1° Cursoenrique fliesseditorial Kapelusz – Bs. As. – 3° edición 1970
Teoría de las Estructurass. Timoshenko – D.H. YoungAcme Agency s.R.L. – Bs.As. – 1957
