LNEAS DE INFLUENCIA PARA ARMADURASLos sistemas de armazones de pisos de uso comn para transmitir cargas vivas a las armaduras son semejantes a los usados para las vigas maestras, discutidos en la seccin anterior. En la figura 8.14, se muestra un sistema de piso de un puente de armadura, descrito con anterioridad en la seccin 1.4 (Fig.1.13). El tablero del puente descansa sobre largueros que son soportados por vigas de piso, las cuales, a su vez, estn conectadas en todos sus extremos a los nodos de las cuerdas inferiores de las dos armaduras longitudinales. Por tanto, cualesquiera cargas vivas (por ejemplo, el peso del trnsito), sin importar en dnde estn ubicadas sobre el tablero o si estn concentradas o distribuidas, siempre se transmiten hacia las armaduras como cargas concentradas que se aplican a los nodos. Las cargas vivas se transmiten a las armaduras de tejados de manera semejante. Como en el caso del sistema de piso de la vigas maestras, se supone que los sistemas de pisos de las armaduras estn simplemente apoyados en sus extremos, sobre las vigas adyacentes de piso. De donde, las lneas de influencia para las armaduras tambin contienen segmentos rectilneos entre los nodos.

Para ilustrar la construccin de las lneas de influencia para las armaduras, considere la armadura Pratt para puente mostrada en la figura 8.15(a). Una carga unitaria (de 1 k) se mueve de izquierda a derecha sobre los largueros de un sistema de piso sujeto a la cuerda inferior AG de la armadura. El efecto de la carga unitaria se transmite a la armadura en los nodos A al G, en donde las vigas de piso se conectan a la propia armadura. Suponga que se desea trazar las lneas de influencia para las reacciones verticales en los apoyos A y E, as como las fuerzas axiales en los miembros CI, CD, DI, IJ, y FL de la armadura.LNEAS DE INFLUENCIA PARA LAS REACIONESSe pueden determinar las ecuaciones de las lneas de influencia para las reacciones verticales, y , al aplicar las ecuaciones de equilibrio (Fig. 8.15 (b)): En las figuras 8.15(c) y (d), se muestran las lneas de influencia que se obtienen al trazar las grficas de estas ecuaciones. Ntese que estas lneas de influencia son idnticas a las de las reacciones de una viga correspondiente a la cual se aplica directamente la carga unitaria.LNEA DE INFLUENCIA PARA LA FUERZA EN EL MIEMBRO VERTICAL CISe pueden determinar las expresiones para la fuerza en el miembro,, si se pasa una seccin imaginaria a travs de los miembros CD, CI y HI, como se muestra en la figura 8.15(e) y mediante la aplicacin de la ecuacin de equilibrio a una de las dos partes de la armadura. En la figura 8.15 (e), se puede ver que, cuando la carga de 1 k se encuentra localizada a la izquierda del nodo C , es decir, sobre la parte AC de la armadura, entonces, se puede determinar de modo conveniente al considerar el equilibrio del cuerpo libre de la parte derecha DG como

9. APLICACIN DE LAS LNEAS DE INFLUENCIA9.1 RESPUESTA EN UN LUGAR EN PARTICULAR DEBIDA A UNA SOLA CARGA CONCENTRADA EN MOVIMIENTO

Como se discuti en el captulo anterior, cada ordenada de una lnea de influencia da el valor de la funcin de respuesta debido a una sola carga concentrada de magnitud unitaria, colocada sobre la estructura en la ubicacin de esa ordenada. Por tanto, se puede decir lo siguiente:1. Se puede obtener el valor de una funcin de respuesta, debido a cualquier carga concentrada nica, si se multiplica la magnitud de la carga por la ordenada de la lnea de influencia de esa funcin de respuesta en la posicin de esa carga.2. Para determinar el valor positivo mximo de una funcin de respuesta, debido a una sola carga concentrada en movimiento, sta debe colocarse en la ubicacin de la ordenada de la lnea de influencia de esa funcin de respuesta, en tanto que para determinar el valor negativo mximo de la funcin de respuesta, la carga debe colocarse en la ubicacin de la ordenada negativa mxima de la lnea de influencia.Considrese, por ejemplo, una viga sujeta a una carga concentrada en movimiento de magnitud P, como se muestra en la figura 9.1(a). Supngase que se desea determinar el momento flexionante en B cuando la carga P est localizada a una distancia x a partir del apoyo izquierdo A. La lnea de influencia para , dada en la figura 9.1(a). Tiene una ordenada y en la posicin de la carga P causa un momento flexionante . Debido a que el principio de superposicin es vlido, la carga de magnitud P debe causar un momento flexionante en B, el cual es P veces tan grande como el causado por la carga de magnitud unitaria. De donde, el momento flexionante en B debido a la carga P es .

En seguida, supngase que nuestro objetivo es determinar los momentos flexionantes positivo mximo en B debido a la carga P. A partir de la lnea de influencia para (Fig. 9.1(a)) se observa que las ordenadas positiva mxima y negativa mxima de la lnea de influencia se presentan en los puntos B y D, respectivamente. Por lo tanto, para obtener el momento flexionante positivo mximo en B, se coloca la carga P en B, como se muestra en la figura 9.1 (b), y se calcula la magnitud de ese momento como , en donde es la ordenada de la lnea de influencia en B (Fig.9.1(a)). De manera anloga, para obtener el momento flexionante negativo mximo en B, se coloca la carga P en el punto D, como se indica en la figura 9.1(c), y se calcula la magnitud del momento flexionante negativo mximo como .

9.2 RESPUESTA EN UN LUGAR EN PARTICULAR DEBIDA A UNA CARGA VIVA UNIFORMENTE DISTRIBUIDATambin se pueden emplear las lneas de influencia a fin de determinar los valores de las funciones de respuesta de estructuras debidos a cargas distribuidas. Considrese por ejemplo, una viga sujeta a una carga uniformemente distribuida de intensidad , como se muestra en la figura 9.2(a). Supngase que se desea determinar el momento flexionante en B cuando la carga se coloca sobre la viga, desde hasta , segn se muestra en la figura. La lnea de influencia para tambin se da en la figura. Al tratar la carga distribuida sobre una longitud diferencial de la viga como una carga concentrada de magnitud , como se hace ver en la figura, se puede expresar el momento flexionante en B, debido a la carga , como se puede expresar el momento flexionante en B, debido a la carga , como:

(9.1)

En donde es la ordenada de la lnea de influencia en , el cual es el punto de aplicacin de , como se muestra en la figura.

Para determinar el momento flexionante total en B, debido a la carga distribuida desde hasta , se integra la ecuacin (9.1) entre estos lmites, para obtener:

(9.2)

En la cual la integral representa el rea debajo del segmento de la lnea de influencia, la cual corresponde a la parte cargada de la viga. Esta rea se muestra en la figura 9.2(a) como un rea sombreada sobre la lnea de influencia para .La ecuacin (9.2) tambin indica que el momento flexionante en B ser positivo mximo si la carga uniformemente distribuida se coloca sobre esas partes de la viga en donde las ordenadas de la lnea de influencia son positivas y viceversa. A partir de la figura 9.2(a), se puede ver que las ordenadas de la lnea de influencia para son positivas entre los puntos A y C y negativas entre C y D. Por lo tanto, para obtener el momento flexionante positivo mximo en B, se coloca la carga uniformemente distribuida desde A hasta C, como se ilustra en la figura 9.2(b) y se calcula la magnitud de ese momento como:

(rea de debajo de la lnea de influencia entre A y C).

De modo anlogo, para obtener el momento flexionante negativo mximo en B, se coloca la carga desde C hasta D, como se muestra en la figura 9.2(c), y se calcula la magnitud de ese momento como:

(rea debajo de la lnea de influencia entre C y D)

Con base en la discusin realizada, se puede expresar lo siguiente:1. Se puede obtener el valor de una funcin de respuesta debido a una carga uniformemente distribuida aplicada sobre una parte de la viga al multiplicar la intensidad de la carga por el rea neta debajo de la parte correspondiente de la lnea de influencia de respuesta.2. Para determinar el valor positivo (o negativo) mximo de una funcin de respuesta debido a una carga viva uniformemente distribuida, esta carga debe colocarse sobre aquellas partes de la estructura en donde las ordenadas de la lnea de influencia de la funcin de respuesta son positivas (o negativas).EJEMPLO 9.1:Para la viga que se muestra en la figura 9.3(a), determine las cortantes positiva y negativa mximas, as como los momentos flexionantes negativos en el punto C, debido a una carga viva concentrada de 90 kN, una carga viva uniformemente distribuida de 40 kN/m y una carga muerta uniformemente distribuida de 20 kN/m.SOLUCIN:Las lneas de influencia para la cortante y el momento flexionante en el punto C de esta viga se construyeron con anterioridad en el ejemplo 8.5 y se muestran en las figuras 9.3 (b) y (c), respectivamente.Cortante positiva mxima en C con el fin de obtener la cortante positiva mxima en C, debida a la carga viva concentrada de 90 kN, se coloca esa carga precisamente a la derecha de C (Fig. 9.3(c)), en donde se presenta la ordenada positiva mxima (2.3 kN/kN) de la lnea de influencia para .

Al multiplicar la magnitud de la carga por el valor de esta ordenada, se determina el valor positivo mximo de , debido a la carga viva concentrada, como:En la figura 9.3 (b), se observa que las ordenadas de la lnea de influencia para son positivas entre los puntos A y B y entre los puntos C y D. Por consiguiente, a fin de obtener la cortante positiva mxima en C, debida a la carga viva uniformemente distribuida de 40 kN/m, se coloca esa carga sobre las partes AB y CD de la viga, como se ilustra en la figura 9.3(c), y se calcula el valor positivo mximo de , debido a esta carga, al multiplicar la intensidad de la misma por el rea debajo de las partes AB y CD de la lnea de influencia. De donde:A diferencia de las cargas vivas, las muertas siempre actan en posiciones fijas de las estructuras; es decir, no se pueden hacer variar sus posiciones para maximizar las funciones de respuesta. Por lo tanto, la carga muerta uniformemente distribuida de 20 kN/m se coloca sobre toda la magnitud de la viga, como se hace ver en la figura 9.3(c), y la cortante correspondiente en C se determina al multiplicar la intensidad de la carga muerta por el rea neta debajo de la lnea de influencia, como:Ahora se puede obtener la cortante positiva mxima total en C sumando algebraicamente los valores de determinados para los tres tipos de cargas:Positiva mxima Resp.Cortante negativa mxima en C la disposicin de las cargas para obtener la cortante negativa mxima en C se muestra en la figura 9.3 (d). La cortante negativa mxima se muestra en la figura 9.3 (d). La cortante negativa mxima en C queda dada por:Negativa mxima Resp.Momento flexionante positivo mximo en C la disposicin de las cargas para obtener el momento flexionante positivo mximo en C se muestra en la figura 9.3 (f). Ntese que la carga viva concentrada de 90 kN se coloca en la ubicacin de la ordenada positiva mxima de la lnea de influencia para (Fig. 9.3 (e)); la carga viva uniformemente distribuida de 40 kN/m se coloca sobre la parte BD de la viga, en donde las ordenadas de la lnea de influencia son positivas; en tanto que la carga muerta uniformemente distribuida de 20 kN/m se coloca sobre la longitud completa de la propia viga. El momento flexionante positivo mximo en C queda dado por:Positivo mximo Resp.Momento flexionante negativo mximo en C la disposicin de las cargas para obtener el momento flexionante negativo mximo en C se muestra en la figura 9.3 (g). El negativo mximo se expresa por:Negativo mximo Resp.

9.3 RESPUESTA EN UN LUGAR EN PARTICULAR DEBIDA A UNA SERIE DE CARGAS CONCENTRADAS EN MOVIMIENTO

Como se discuti en la seccin 2.2, las cargas vivas debidas al trnsito de vehculos sobre puentes de carreteras y de ferrocarril se representan por una serie de cargas concentradas en movimiento con un espaciamiento especificado entre las mismas (vanse las figuras 2.2 y 2.3). Las lneas de influencia proporcionan un medio conveniente de anlisis de las estructuraras sujetas a este tipo de cargas en movimiento. En esta seccin, se discute cmo se puede usar la lnea de influencia para una funcin de respuesta con el fin de determinar 1) el valor de respuesta para una posicin dada de una serie de cargas concentradas y 2) el valor mximo de la funcin de respuesta debido a una serie de cargas concentradas en movimiento.

Considrese, por ejemplo, la viga de puente que se muestra en la figura 9.4. Supngase que se desea determinar la cortante en el punto B de la viga debida a las cargas de las ruedas de un camin HS20-44, cuando el eje delantero de ste se localiza a una distancia de 16 ft del apoyo izquierdo A, como se muestra en la figura. Se conocen las distancias entre las tres cargas as como la localizacin de la carga de 4 k. demod que las localizaciones de las otras dos cargas se pueden establecer con facilidad. Aun cuando se pueden obtener las ordenadas de las lneas de influencia correspondientes a las cargas mediante la utilizacin de las propiedades de los tringulos semejantes formados por la propia lnea, suele ser conveniente evaluar cualquiera de esas ordenadas al multiplicar la pendiente del segmento de la misma en donde la carga est ubicada por la distancia de esta ltima al punto en el cual el segmento de esa lnea de influencia se intersecta con el eje horizontal ( es decir, se hace cero). El signo (ms o menos) de la ordenada se obtiene por inspeccin. Por ejemplo, la ordenada de la lnea de influencia correspondiente a la carga de 4 k (Fig.9.4) se puede calcular al multiplicar la pendiente (1:1000) del segmento de esa lnea para la parte AB por la distancia (16 ft) de la carga al punto A. De donde, la ordenada de la lnea para correspondiente a la carga de 4 k es igual a (1/100)(16) = -0.16 k/k. En la figura 9.4, se muestran las ordenadas correspondientes a las tres cargas, obtenidas de este modo.

Puede recordarse que la cortante en B debida a una sola carga concentrada se expresa por el producto de la magnitud de esa carga y la ordenada de la lnea en la localizacin de aquella. En virtud de que la superposicin es vlida, se puede determinar la cortante total en B causada por las tres cargas concentradas al sumar algebraicamente las cortantes en ese punto debidas a cada una de las cargas por separado; es decir, sumando los productos de las magnitudes de las cargas y las ordenadas respectivas de la lnea de influencia. De donde:

Se puede emplear el procedimiento descrito para determinar el valor de cualquier funcin de respuesta de fuerza o de momento de una estructura para una posicin dada de una serie de cargas concentradas. Tambin se pueden usar las lneas de influencia para la determinacin de los valores mximos de las funciones de respuesta, en lugares particulares de las estructuras, debidos a una serie de cargas concentradas. Considrese la viga mostrada en la figura 9.5(a) y supngase que nuestro objetivo es determinar la cortante positiva mxima en el punto B debida a la serie de cuatro cargas concentradas que se muestran en la figura. La lnea de influencia para se muestra en la figura 9.5 (b). Si se supone que la serie de cargas se mueve de derecha a izquierda sobre la viga, se puede observar a partir de estas figuras que, conforme la serie se mueve desde el extremo C de la viga hacia el punto B, en donde se localiza la ordenada positiva mxima de la lnea de influencia. Cuando la carga de 8 k cruza el punto B, la cortante en ese punto decrece de manera abrupta en una cantidad igual a -8(0.667 + 0.333) = -8 k. Con la serie de cargas movindose en forma continua hacia la izquierda, crece una vez ms y alcanza otro mximo relativo cuando la segunda carga de la serie, la de 10 k, llega precisamente a la derecha de B, y as sucesivamente. Debido a que se convierte en un mximo relativo siempre que una de las cargas de la serie llega a la ordenada positiva mxima de la lnea de influencia, se puede concluir que, durante el movimiento de la serie de cargas a travs de la longitud completa de la viga, se presenta la cortante mxima (absoluta) en B cuando una de las cargas de la serie est en la ubicacin de la ordenada positiva mxima de la lnea de influencia para . Ya que no es posible identificar por inspeccin la carga que causar la positiva mxima cuando se coloque en la ordenada mxima de la lnea de influencia, se utiliza un procedimiento por tanteos para determinar el valor de la cortante positiva mxima en B. Como se hace ver en la figura 9.5(c), la serie de cargas est inicialmente en posicin sobre la viga con su primera carga, la de 8 k, colocada precisamente a la derecha de B, en donde se localiza la ordenada positiva mxima de la lnea de influencia. Notando que la pendiente del segmento de esta lnea para la parte BC es de 1:30 (Fig. 9.5(b)), se calcula el valor de para esta posicin de las cargas como:

9.4 RESPUESTA MXIMA ABSOLUTA

Hasta ahora, se ha considerado la respuesta mxima que puede ocurrir en una ubicacin particular de una estructura. En esta seccin, se discute cmo determinar el valor mximo absoluto de una funcin de respuesta que puede ocurrir en cualquier lugar de toda una estructura. Aun cuando en esta seccin solo se consideran vigas simplemente apoyadas todos los conceptos presentados en ella se pueden usar para desarrollar procedimientos para el anlisis de respuestas absolutas mximas de otros tipos de estructuras.

9.4.1 CARGA NICA CONCENTRADA

Considere la viga simplemente apoyada que se muestra en la figura 9.7 (a).las lneas de influencia para la cortante y el momento flexionante en cualquier seccin arbitraria a a localizada una distancia a del apoyo izquierdo A, se muestran en las figuras 9.7 (b) y (c), respectivamente. Recuerde que en principio estas lneas de influencias se desarrollaron en la seccin 8.1 (FIG 8.2 (e) y (f)).

Suponga que se desea determinar la cortante mxima absoluta en la biga, debido a una sola carga concentrada en movimiento de magnitud P. Como se discuti en la seccin 9.1, la cortante positiva mxima en la seccin aa queda data por el producto de la magnitud de la carga P, y la ordenada positiva mxima Y-(a/L), de la lnea de influencia para la cortante en esa seccin (figura 9.7(b)).

Por tanto, cortante positiva mxima = P (1-a/L) (9.3)

De modo anlogo, la cortante negativa mxima en la seccin aa queda dada por cortante negativa mxima = -Pa/L (9.4)

Estas ecuaciones indican que las cortantes positiva mxima y negativa mxima en una seccin, debidas a una sola carga concentrada en movimiento, varan linealmente con la distancia a de la seccin al apoyo izquierdo A de la viga. En la figura 9.7 (d), se muestra una grfica de las ecuaciones (9.3) y (9.4), con la cortante mxima como ordenada, contra la ubicacin a de la seccin como abscisa. Una grfica de este tipo, en la que se representa la variacin del valor mximo de una funcin de respuesta como funcin de la ubicacin de la seccin, se conoce como envolvente de los valores mximos de una funcin de respuesta.

Una envolvente de los valores mximos de una funcin de respuesta proporciona un modo conveniente para la determinacin del valor mximo absoluto de esa funcin as como de su ubicacin. A partir de la envolvente de las cortantes mximas (fig.9.7(d)) se puede ver que en una viga simplemente apoyada sujeta una carga concentrada en movimiento, P,P la cortante mxima absoluta se desarrolla en las secciones precisamente hacia adentro de los apoyos y tiene la magnitud de P.

La envolvente de los momentos flexionantes mximos debidos a una sola carga concentrada en movimiento, P, se puede generar de manera semejante con. Usando la lnea de influencia para el momento flexionante en la seccin arbitraria las aa, data en la figura 9.7(c), se determina la expresin para el momento flexionante mximo en esa seccin como momento flexionante mximo = P a (1-a/L)(9.3)

De modo anlogo, la cortante negativa mxima en la seccin aa queda data por cortante negativa mxima = -Pa/L(9.4)

Estas ecuaciones indican que las cortantes positiva mxima y negativa mxima en una seccin, debidas a una sola carga concentrada en movimiento, varan linealmente con la distancia a de la seccin al apoyo izquierdo A de la viga, en la figura 9.7 (d), se muestra una grfica de las ecuaciones (9.3) y (9.4) con la cortante mxima como ordenada, contra la ubicacin a de la seccin como abscisa.

Una envolvente de los valores mximos de una funcin de respuesta proporciona un modo conveniente para la determinacin del valor mximo absoluto de esa funcin as como de su ubicacin. A partir de la envolvente de las cortantes mximas (Fig. 9.7 (d)) se puede ver que, en una viga simplemente apoyada sujeta a una carga concentrada en movimiento P, se puede generar de manera semejante. Usando la lnea de influencia para el momento flexionante en la seccin arbitraria aa, dada en la figura 9.7(c), se determina la expresin para el momento flexionante mximo en esa seccin como momento flexionante mximo = P a (1-a/L) (9.5)

En la figura 9.7 (e), se muestra la envolvente de los momentos flexionantes mximos construida al trazar la grfica de la ecuacin (9.5). se puede ver que el momento flexionante mximo absoluto ocurre a la mitad del claro cubierto por la viga y tiene la magnitud PL/4.

9.4.2 CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA

A continuacin, determinaremos la cortante y el momento flexionante mximos absolutos en la viga simplemente apoyada de la figura 9.7(a), debida a una carga viva uniformemente distribuida de intensidad . Como se discuti en la seccin 9.2, se puede obtener la cortante positiva (o negativa) mxima en la seccin aa al colocar la carga sobre la parte de la viga en donde las ordenadas de la lnea de influencia de esa cortante (Fig. 9.7 (b)) son positivas (o negativas) y multiplicar el rea de la lnea de influencia debajo de la parte cargada de la viga. Por tanto:

Cortante positiva mxima (9.6)Cortante negativa mxima (9.7)En la figura 9.7(f), se muestra la envolvente de las cortantes mximas debidas a una carga viva uniformemente distribuida, construida al trazar la grfica de las ecuaciones (9.6) y (9.7). Se puede ver que la cortante mxima absoluta se desarrolla en las secciones precisamente hacia adentro de los apoyos y tiene la magnitud

A fin de determinar la expresin para el momento flexionante mximo en la seccin aa, se multiplica la intensidad de la carga, , por el rea de la lnea de influencia del momento flexionante (Fig. 9.7(c)), para obtener: Momento flexionante mximo (9.8)

En la figura 9.7 (g), se muestra la envolvente de los dos momentos flexionantes mximos debidos a una carga viva uniformemente distribuida, construida al trazar la grfica de la ecuacin (9.8). A partir de esta envolvente, se puede ver que el momento flexionante mximo absoluto ocurre a la mitad del claro cubierto por la viga y tiene la magnitud .

9.4.3 SERIE DE CARGAS CONCENTRADAS

El valor mximo absoluto de una funcin de respuesta en cualquier estructura sujeta a una serie de cargas concentradas en movimiento o a cualquier otra condicin de las cargas vivas se puede determinar a partir de la envolvente de los valores mximos de esa funcin.

Aplicando la ecuacin de equilibrio y usando la resultante , en lugar de cada una de las cargas por separado en esta ecuacin, se determina que la reaccin vertical es: De donde el momento flexionante debajo de la carga queda dada por: