10 Poglavlje Fnbvnbvizika 1

7/25/2019 10 Poglavlje Fnbvnbvizika 1

1/99

HOOKEOV ZAKON I MEHANIKI TITRAJNI SUSTAVI

LABORATORIJSKA VJEBA

10


2/99


3/99

309

Fizika 1 - Prirunik za laboratorijske vjebe

10.HOO

KEOVZAKONIMEHANIKITITRAJNIS

USTAVI

10.

HOOKEOV ZAKON I MEHANIKI TITRAJNI SUSTAVIUlazna provjera znanja

Paljivo prouite teorijski i eksperimentalni dio laboratorijske vjebe i odgovorite na sljedea pitanja:

1. to je titranje? Navedite nekoliko primjera titranja u prirodi!

2. a) to je harmonijski oscilator?

b) Opiite harmonijsku silu.

c) Skicirajte jedan harmonijski oscilator i ucrtajte fizikalne veliine kojima se opisuje njegovo titranje.

d) Koji uvjet mora biti zadovoljen kako bi neko periodiko gibanje bilo jednostavno harmonijsko titranje?

3. a) Opiite neprigueno harmonijsko titranje.

b) Za titranje nepriguenog harmonijskog oscilatora napiite jednadbu i njezino rjeenje.

c) Navedite i definirajte fizikalne veliine kojima se opisuje gibanje harmonijskog oscilatora.


4/99

310

Fizika 1 - Prirunik za laboratorijske vjebe 10.HOOKEOV ZAKON I MEHANIKI TITRAJNI SUSTAVI

d) O emu ovisi period titranja harmonijskog oscilatora?

e) Skicirajte ovisnost pomaka tijela o vremenu pri titrajnom gibanju.

4. Na elastinu oprugu je ovjeeno tijelo mase m. Koji od navedenih omjera ostaje stalan tijekom nepriguenogharmonijskog titranja? Objasnite!

a) Elongacija / frekvencija b) elongacija / brzina c) Elongacija / period

d) elongacija / ubrzanje e) Brzina / ubrzanje

5.

a) Navedite razliku izmeu priguenog i nepriguenog titrajnog sustava?

b) O emu ovisi faktor priguenja nekog titrajnog sustava?

6.

a) Napiite jednadbu titranja u sluaju slabih priguenja.

b) to se dogaa s amplitudom, a to s frekvencijom titranja kod priguenog titrajnog sustava?

c) to je faktor kvalitete nekog titrajnog sustava? O emu on ovisi?

7. Kuglica mase 50 g titra na opruzi konstantne elastinosti 25 N/m pri emu je poetni pomak iz ravnotenogpoloaja 30 cm. Sila otpora oblika F b v djeluje na kuglicu te se amplituda titranja smanji na 10 cm za 5sekundi. Izraunajte vrijednost konstante priguenja b.


5/99

311


10.HOO


USTAVI

10.3.

Jednostavno njihaloUlazna provjera znanja


1. Tijelo koje visi na niti pomaknuto je iz ravnotenog poloaja i nakon toga puteno.

a) Pod kojim e se uvjetima tijelo gibati amo-tamo oko ravnotenog poloaja?

b) Pod kojim e uvjetima gibanje ovog tijela biti jednostavno harmonijsko titranje?

c) Pod kojim se uvjetima ovakav titrajni sustav moe nazvati jednostavno njihalo?

2.

a) O emu ovisi period titranja jednostavnog njihala? Napiite matematiku relaciju za period titranja jedno-

stavnog njihala. (Koje je znaenje pojedinih oznaka u formuli?)

b) Napiite jednadbu koja opisuje titranje jednostavnog njihala. (Koje je znaenje pojedinih oznaka u formuli?)

3. Koje se ovisnosti izmeu mjerenih fizikalnih veliina istrauju pri eksperimentalnom odreivanju ubrzanja Ze-

mljine sile tee pomou jednostavnog njihala? Opiite rijeima i napiite u matematikom obliku ove ovisnosti.

4.

a) Kako period titranja jednostavnog njihala ovisi o duljini niti? Je li ta ovisnost linearna? Obrazloite odgovor!

b) U eksperimentalnom odreivanju ubrzanja Zemljine sile tee mjeren je period titranja jednostavnog nji-

hala na dva razliita jednostavna njihala, jednom duljine niti l, a drugom duljine niti 2l. Objasnite u kakvom su

odnosu periodi titranja tih jednostavnih njihala!


6/99

312


c) Pri eksperimentalnom odreivanju ubrzanja Zemljine sile tee mjeren je period titranja jednostavnog nji-

hala na dva razliita jednostavna njihala, duljine niti l. Objasnite u kakvom su odnosu periodi titranja tih jedno-

stavnih njihala ako kuglica ovjeena o nit prvog jednostavnog njihala ima dvostruko veu masu od kuglice ob-

jeene o nit drugog jednostavnog njihala!

5.

a) Ovisi li period titranja jednostavnog njihala o kutu otklona njihala iz ravnotenog poloaja? Obrazloite

odgovor.

b) Dvije osobe sjede na ljuljakama. Jedna se osoba odmakne od poloaja ravnotee za 1o, a druga za 2o. Ko-

ja e se osoba prije vratiti u poloaj ravnotee?

6. Izraunajte duljinu jednostavnog njihala ako ono za 12 sekundi uini 5 titraja.

7. Izraunajte ubrzanje Zemljine sile tee ako period titranja jednostavnog njihala duljine 99 cm iznosi 2 s. Kut ot-

klona jednostavnog njihala je manji od 5.

8. Jednostavno njihalo duljine 1 m privreno je o strop dizala koje se :

a) giba stalnom brzinom 5 m/s prema gore,

b) giba stalnom brzinom 5 m/s prema dolje,

c) jednoliko ubrzava prema gore stalnim ubrzanjem od 5 m/s2,

d) jednoliko ubrzava prema dolje stalnim ubrzanjem od 5 m/s2

Koliki je period titranja njihala u pojedinim sluajevima?

9. Jednostavno njihalo dugo 2 m njie se tako da mu je 30onajvei kut otklona iz poloaja ravnotee. Izraunajte

period titranja ovog njihala:

a) prema relaciji (10-25),

b) uzimajui u obzir prva tri lana u relaciji (10-26).

c) S obzirom na zadani kut otklona, u kojem se sluaju (aili b) dobiva tonija vrijednost? Procijenite tonost

tako da izraunate relativnu pogreku.


7/99

313


10.HOO


USTAVI

. Miokovi, Fizika 1 - Prirunik za laboratorijske vjebe

10.Hookeov zakon i mehaniki titrajni sustavi

UVOD

U prirodi su vrlo esti periodini procesi kao to su izmjena dana i noi ili izmjena godinjih doba, gibanje Mjeseca oko Zemlje, gibanje

planeta itd. Isto tako, u ovjekovom organizmu postoje periodiki procesi (npr. disanje, rad srca, ), a mnogi su periodiki procesi stvoreni

ljudskim radom (npr. ure-njihalice, rad klipova u strojevima, ). Svi ovi periodini procesi ponavljaju se nakon odreenog vremenskog

intervala.

U prirodi, takoer, postoje gibanja tijela koja se periodino ponavljaju u vremenu. Ova posebna vrsta gibanja dogaa se kada je sila F

koja djeluje na tijelo proporcionalna pomaku xtijela iz ravnotenog poloaja. Ako je sila takvog smjera da je uvijek usmjerena prema rav-

notenom poloaju, tijelo e se, pod djelovanjem ove povratne sile, gibati amotamo oko ravnotenog poloaja. Gibanje pod djelova-

njem povratne sile ( npr. sila opruge) ubrzano je, a elongacija tijela mijenja se s vremenom kao sinusna funkcija. Stoga se ovo gibanje nazi-

va periodino gibanje, harmonijsko gibanje, titranje ili vibracija (sva etiri naziva potpuno su ravnopravna!), a sila koja ga izaziva naziva se

elastina ili harmonijska sila.

Elastina ili harmonijska sila (F kx ) posebni je sluaj Hookeovog zakona koji opisuje deformaciju elastinih tijela. Elastina tijela,

nakon prestanka djelovanja vanjskih sila, vraaju se u prvobitni oblik. Pri tome, elastinost ukljuuje povratnu silu koja uzrokuje titranje. Za

veinu elastinih tijela, povratna sila je proporcionalna deformaciji tijela, ukoliko deformacija nije prevelika. U nekim sluajevima titranja

nastaju pod djelovanjem gravitacijskog polja. Ako se neko objeeno tijelo izvede iz ravnotenog poloaja, gravitacijska sila vraa tijelo u

ravnoteni poloaj. Primjer ovakvih titrajnih sustava su njihala. Openito, tijelo koje titra pod djelovanjem povratne sile opisane Hookeo-

vim zakonom naziva se harmonijski oscilator.

Ako bi se neki titrajni sustav mogao potpuno izdvojiti iz okoline, odnosno ako nema gubitaka (trenja, otpora zraka i sl.), tada bi on ne-

prestano titrao istom amplitudom, a potencijalna energija stalno bi se pretvarala u kinetiku i obratno, ali ne bi mogla izai iz sustava.

Ovakav zamiljeni titrajni sustav koji bi titrao neprigueno beskonano dugo naziva se neprigueni harmonijski oscilator. Iako je harmonij-

ski oscilator model idealnog titrajnog sustava, matematiki opis harmonijskog oscilatora temelj je svih titrajnih sustava. Meutim, stvarni

titrajni sustavi prigueni su i s vremenom gube energiju uslijed djelovanja disipativnih sila (npr. otpor zraka). Ovi titrajni sustavi s vreme-

nom titraju sve slabije te se na kraju zaustave.

Neki od najeih primjera harmonijskog titranja u prirodi su: tijelo objeeno na elastinu oprugu, ljuljanje djeje ljuljake, gibanje raz-liitih njihala, vibracije ica glazbenih instrumenata te membrana zvunika i mikrofona. Pored ovih svakodnevnih zornih primjera titrajnih

gibanja postoje i brojni nevidljivi primjeri periodinih gibanja kao to su titranje molekula oko ravnotenog poloaja u vrstim tijelima;

estice zraka titraju kada se kroz njih iri zvuni val; irenje svjetlosti kao elektromagnetskog vala koje je karakterizirano titranjem elektri-

nog i magnetskog polja; u elektrinim krugovima elektrini naboji titraju periodino u vremenu na isti nain kao i estice u mehanikim

titrajnim sustavima. Titraju svi atomi tvari koja nas okruuje, kao i atomi u nama samima. Openito, titranje je jedna od sredinjih pojava u

fizici (mehanici, elektrodinamici, atomskoj fizici, fizici vrstog stanja) te u tehnici i tehnologiji, a harmonijski oscilator jedan od najvanijih

fizikalnih modela u klasinoj i kvantnoj mehanici.

U eksperimentalnom dijelu ove laboratorijske vjebe istrauju se stvarni mehaniki titrajni sustavi na primjerima laboratorijskih njiha-

la. Analizom titranja jednostavnih (matematikih) i fizikih njihala kao nepriguenih harmonijskih oscilatora odreuje se ubrzanje Zemljine

sile tee, dok se iz analize titranja torzijskog njihala odreuju elastina svojstva tijela.

TEORIJSKI DIO

Titranje je periodino gibanje tijela oko ravnotenog

poloaja pri emu se tijelo giba gore-dolje, ili lijevo-

desno i pri tome prijee istu putanju u jednom, a potom

u suprotnom smjeru. Sl.10.1. prikazuje nekoliko primjera

mehanikih titrajnih sustava.

Svako titranje uzrokuje odreena povratna sila koja

nastoji vratiti sustav u poloaj ravnotee. Najjednostavni-

je titranje je ono pri kojemu je sila proporcionalna iznosu

pomaka iz poloaja ravnotee, a suprotna njegovu smje-

ru. Ovakav titrajni sustav moe se predoiti tijelom mase

m koje je objeeno na opruzi konstante elastinosti k

(sl.10.2.).

Kada opruga nije stisnuta ili rastegnuta, tijelo se nala-

zi u poloaju 0x koji se naziva ravnoteni poloaj sus-tava. Ako se tijelo pod djelovanjem vanjske sile povue

prema dolje, odnosno opruga na kojoj visi tijelo rasteg-

ne, a zatim pusti, tijelo e se zbog elastine sile opruge

vratiti prema gore, proi ravnoteni poloaj ox , sabi-

ti oprugu, zaustaviti se, vratiti dolje i tako titrati gore-

dolje. Kada se tijelo pobudi iz ravnotenog poloaja za

mali pomak x, opruga se rastegne zbog djelovanja sile

koja je proporcionalna pomaku iz ravnotenog poloaja idana Hookeovim zakonom:

F kx , (10-1)


8/99

314


gdje je xpomak iz ravnotenog poloaja, a kkonstantaelastinosti opruge (mjerna jedinica je N/m). Sila F nazi-va se elastinaili harmonijska(harmonika) silai uvijek

je usmjerena prema ravnotenom poloaju sustava, a

suprotnog je smjera od pomaka iz ravnotenog poloaja

(predznak "-" u relaciji (10-1)).

Sl. 10.1. Primjeri mehanikih titrajnih sustava

Kada je tijelo pomaknuto iz ravnotenog poloaja

prema dolje, pomak xje pozitivan, a sila F je usmjerenaprema gore. Slino, kada je tijelo pomaknuto iz ravnote-

nog poloaja prema gore, pomak x iz ravnotenog po-

loaja je negativan, a sila F koja djeluje usmjerena je usuprotnu stranu, odnosno prema dolje. Sustav koji segiba ubrzano pod djelovanjem harmonijske sile naziva se

harmonijski oscilator, a njegovo gibanje harmonijsko

titranje.

Sl.10.2.Gibanje tijela objeenog na opruzi pod djelo-vanjem povratne sile (F kx )

Pomak iz poloaja ravnotee u nekom trenutku nazi-

va se elongacija ( )x t , dok je amplituda A najvea elon-

gacija. Vrijeme titranja ili period titranja Tje vrijeme pot-rebno da tijelo napravi jedan potpuni titraj, odnosno

dvaput proe kroz poloaj ravnotee. Broj titraja n u

nekom vremenu tje frekvencijaf,pri emu je1

n

f ft T

, (10-2)

10.1.Jednadba jednostavnog harmonijskog titranja

Od svih titranja matematiki je najlake opisati jedno-

stavno harmonijsko titranje, odnosno titranje harmonij-

skog oscilatora. Openito, mnoga titranja u prirodi njime

se mogu aproksimirati.

Zakonitosti jednostavnog harmonijskog titranja naj-

bolje se mogu uoiti prouavanjem gibanja tijela mase m

uvrenog na kraju opruge konstante elastinosti k(tzv.restitucijske konstante) po pravocrtnom putu, u smjeru

osi x, oko ravnotenog poloaja (sl.10.2.). Uz pretpostav-ku da su gubici (npr. otpor zraka, trenje, ) pri titranju

ovakvog sustava zanemarivi, opadanje amplitude titranjau vremenu vrlo je sporo, titranje se, u manjim vremen-

skim intervalima, moe smatrati nepriguenim. Ovakav

sustav najblii je modelu harmonijskog oscilatora koji

izvodi jednostavno harmonijsko titranje.

Za odreivanje jednadbe titranja harmonikog osci-

latora potrebno je rijeiti jednadbu gibanja (II. Newto-

nov zakon)

2

2R

d xF kx ma m

dt , (10-3)

pri emu je elastina sila, dana relacijom (10-1), rezultan-

ta silaFRkoja djeluje na tijelo (ili sustav) dok se sila tea isila trenja meusobno ponitavaju.

Sreivanjem relacije (10-3) dobiva se jednadba gi-

banja jednodimenzionalnog harmonijskog oscilatora

2

20

d x kx

mdt , (10-4)

odnosno

22

20o

d xx

dt , (10-5)

Jednadba (10-5) je homogena linearna diferencijalna

jednadba drugog reda ije je rjeenje oblika1

sin o ox t A t , (10-6)

gdje je ( )x t elongacija ovisna o vremenu, A amplituda,

o poetna faza, a ok

m kruna frekvencija titranja.

Oblik rjeenja jednadbe titranja ukazuje da je to funkcija

koja opisuje periodino gibanje za iji period vrijedi

2oT ,

22

o

mT

k

, (10-7)

1Ispravnost rjeenja moe se provjeriti uvrtavanjem relacije (10-6) u jednadbu (10-5).


9/99

315


10.HOO


USTAVI

Prema tome, svako tijelo (ili sustav) koje titra prema

zakonu (10-6) naziva se harmonijski oscilator, a tijelo

izvodi jednostavno harmonijsko titranje. Pri tome, jed-

nadba gibanja ne odreuje amplitudu gibanja, ve se

ona odreuje iz poetnih uvjeta (ovisno o tome koliko je

tijelo izvueno iz poloaja ravnotee). Isto tako, ukoliko

sustav titra pod djelovanjem samo elastine sile, period

titranja (10-7) ne ovisi o poetnim uvjetima (Ai o ).

Brzina i ubrzanje harmonijskog oscilatora odreuje se

deriviranjem elongacije (10-6) po vremenu:

2 2

( ) cos

( ) sin ( )

o o o

o o o o

dxv t A t

dt

dxa t A t x t

dt

, (10-8)

pri emu je max ov A najvea brzina, a2

max oa A najvee ubrzanje. Brzina i ubrzanje harmonikog oscila-

tora ovise o poetnim uvjetima. Prema relacijama (10-8),

kada je tijelo, u trenutku t, pomaknuto iz ravnotenogpoloaja za pomak ( )x t , postie ubrzanje ( )a t . Ako se

tijelo na poetku gibanja pomakne iz poloaja ravnotee

za maksimalnu vrijednost x A i pusti titrati, ubrzanjetijela u tom trenutku bit e maksimalno i negativno. U

trenutku kada tijelo prolazi kroz ravnoteni poloaj 0x, ubrzanje tijela jednako je nuli, dok je u istom trenutku,

pri prolasku kroz ravnoteni poloaj, brzina tijela najvea.

Nakon toga gibanje tijela nastavlja se u drugu stranu, do

pomaka x A , kada je ubrzanje tijela maksimalno ipozitivno, a brzina tijela u tom trenutku je opet jednaka

nuli.

Ukupna energijauk

E nepriguenog harmonijskog

oscilatora je stalna, tj. ne mijenja se u vremenu

0ukdE

dt

i jednaka je zbroju kinetike i potencijalne

energije u danom trenutku:

2 2

2 2

1 1( ) ( )

2 2

1 1cos sin

2 2

uk

o o o o o

E m v t k x t

m A t k A t

(10-9)

Prema tome, ukupna energija je jednaka potencijal-

noj energiji u poloaju amplitude21

2ukE kA , jer u o-

vom poloaju kinetika energija iezava. U ravnotenom

poloaju ukupna energija jednaka je kinetikoj energiji

2max

1

2ukE mv , dok u ovom poloaju iezava potenci-

jalna energija.

Napomena:

Zato je vano jednostavno harmonijsko titranje?

Ne treba zaboraviti da sva periodina gibanja nisuuvijek jednostavna harmonijska titranja. Openito,

kod periodinih gibanja ovisnost povratne sile opomaku tijela iz ravnotenog poloaja je puno sloe-nija nego to je to prikazano relacijom (10-3).Me-

utim, kod mnogih sustava koji se periodino gibaju,povratna sila je priblino proporcionalna pomaku iz

ravnotenog poloaja, ukoliko je taj pomak dovoljnomali (sl.10.3.).

Sl.10.3. Ovisnost povratne sile xF kx ,odreene Hookeovim zakonom, o pomakux

tijela iz ravnotenog poloaja

Naime, u veini stvarnih titrajnih sustava, Hookeovzakon se primjenjuje pod uvjetom da se tijelo pri tit-

ranju ne otklanja predaleko od ravnotenog poloaja.

Prema tome, ako je amplituda titranja dovoljno mala,

titranje takvih sustava priblino je jednostavno har-

monijsko i oni se ponaaju kao harmonijski oscilatori

te za njih vrijedi relacija (10-5).

Stoga, jednostavno harmonijsko titranje predstavlja

model pomou kojega se priblino mogu opisati razliita

periodina gibanja u prirodi, kao to su vibracije kvar-

cnog kristala u runim satovima, vibracije glazbene vilju-

ke, elektrina struja u izmjeninim strujnim krugovimate titranje atoma i molekula tvari.


10/99

316


10.2.

Prigueno titranje

Titrajni sustavi u prirodi obino se, pod utjecajemvanjskih sila, nee gibati beskonano dugo, ve e se svremenom amplituda titranja smanjivati, a potom e se

zaustaviti. U stvarnim titrajnim sustavima dio mehanikeenergije titranja troi se na savladavanje vanjskih disipa-tivnih sila. Npr. kod tijela objeenog na opruzi dio energi-ji troi se na zagrijavanje opruge i na otpor zraka, a kodnjihala na svladavanje otpora zraka. Titranje kod kojeg seamplituda postupno smanjuje u vremenu naziva se pri-gueno titranje. Prigueno titranje moe se predoitiukoliko tijelo koje titra na opruzi uronimo u neku viskoz-nu tekuinu (npr. ulje). Sila koja djeluje pri ovakvom tit-ranju razmjerna je brzini gibanja tijela i djeluje u suprot-nom smjeru od smjera brzine:

tr

dx

F bv b dt

, (10-10)

gdje je b konstanta trenja (priguenja), a predznak -pokazuje da su sila trenja i brzina suprotnog smjera.

Jednadba gibanja (II. Newtonov zakon) za priguenotitranje je

opr tr ma F F

, (10-11)

odnosno

2

2

d x dxm kx b

dtdt ,(10-12)

Preureivanjem jednadbe (10-12) i uvoenjem zamjena:

2b

m , 2o

k

m dobiva se jednadba priguenog titranja

2

22 0o

d x dxx

dtdt ,(10-13)

gdje je ok

m vlastita kruna frekvencija titranja ne-

priguenog harmonikog oscilatora, a2

b

m faktor

priguenja. Bez detaljnijeg matematikog izvoda, rjee-nje homogene linearne diferencijalne jednadbe (10-13),

u sluaju vrlo slabih priguenja ( o ), ima oblik

( ) sin( )t ox t Ae t , (10-14)

gdje je2 2o kruna frekvencija priguenog

titranja. to je trenje vee, priguenje je vee i smanjujese frekvencija titranja.

Amplituda titranja ( ) tA t Ae opada eksponencijalno svremenom. to je faktor priguenja vei, to se amplituda

bre smanjuje (sl.10.4.).

Omjer dviju susjednih amplituda kod priguenog tit-ranja, tj. amplituda koje se razlikuju za period Tuvijek jestalan i iznosi

( )

( )

TA t eA t T

, (10-15)

pa je logaritamski dekrement titranja

( )ln

( )

A tT

A t T

. (10-16)

a)

b)

Sl.10.4. Usporedba dvaju titrajnih sustava; ovisnost elongacije

xo vremenu tza: a)prigueno titranje ,

b)neprigueno titranje

Logaritamski dekrement titranja i period titranja Tnekog titrajnog sustava mogu se lako izmjeriti pa se,pomou relacije (10-16), moe odrediti faktora prigu-

enja, odnosno 2b m konstanta trenja. Priguenititrajni sustav moe se, takoer, opisati tzv. Q-faktorom,odnosno faktorom dobrote ili kvalitete titrajnog sustava

koji je odreen relacijom

2

oQT

, (10-17)

gdje je o vlastita frekvencija nepriguenog titranja, a logaritamski dekrement titranja dan relacijom (10-16). toje faktor dobrote vei, priguenje je manje i manji je gubi-tak energije iz titrajnog sustava. U dobrim mehanikimtitrajnim sustavima Q-faktor je reda veliine 310 do 510 .


11/99

317


10.HOO


USTAVI

U okviru ovog Prirunika zakoni titranja harmonijskog oscilatora primjenjuju se na prouavanje titranja laboratorij-

skih njihala kao stvarnih mehanikih titrajnih sustava. U svakodnevnom ivotu njihalo predstavlja tijelo objeeno o ue

tako da mu se centar mase nalazi ispod ovjesita. Kada se takvo tijelo otkloni iz ravnotenog poloaja pojavljuje se

moment sile koji ga vraa prema ravnotenom poloaju. Zbog djelovanja ovog momenta sile tijelo se poinje gibati

periodino oko ravnotenog poloaja i ovo gibanje ima sve osobine harmonikog titranja. U sljedeim potpoglavljima,

ovog Prirunika, dan je teorijski opis titranja laboratorijskih njihala koja se, s obzirom na grau, mogu podijeliti u tri

skupine:

jednostavna njihala, fizika njihala, torzijska njihala.

10.3.

Jednostavno njihalo

Jedan od najjednostavnijih modela idealnog harmo-

nijskog oscilatora naziva se jednostavno ili matematiko

njihalo, koje se sastoji od tijela (kuglice) mase mobjee-nog o nerastezljivu nit duljine L pri emu je masa nitizanemariva u odnosu na masu kuglice objeene o nit

(sl.10.5.)2.

Kada njihalo miruje, ono se postavi u ravnoteni po-

loaj tako da se centar mase nalazi ispod toke ovjesita

O na pravcu koji se poklapa s pravcem sile tee G

. U

ravnotenom poloaju sila N

napetosti niti uravnoteuje

silu teu G

. Na sl.10.5. prikazane su sile koje djeluju na

njihalo kada je kuglica mase m otklonjena za kut izravnotenog poloaja.

Sl.10.5.Jednostavno njihalo

Na kuglicu u otklonjenom poloaju djeluje tangenci-jalna tF i normalna rF komponenta sile tee. Kada je

kuglica otklonjena za kut iz ravnotenog poloaja,

normalna komponenta sile tee uravnoteena je sa silom

N

napetosti niti,

cosrN F mg , (10-18)

a tangencijalna komponenta tF

sile tee usmjerena je

prema ravnotenom poloaju. Rezultanta sila na tijelo

mase mjednaka je tangencijalnoj komponenti sile tee:

sintF mg , (10-19)

Negativan predznak pokazuje da je sila tF suprotnogsmjera od smjera poveanja kuta otklona iz ravnote-

nog poloaja.

Kada se kuglica pomakne iz poloaja ravnotee za kut

i pusti, uslijed djelovanja povratne tangencijalne sile

tF , kuglica e titrati amo-tamo oko ravnotenog poloa-

ja. Sila tF nije harmonijska budui da je proporcionalna

sin , a ne kutnom pomaku i gibanje njihala nije har-monijsko. Meutim, za male kuteve otklona vrijedi da je

sin (sl.10.6.). Npr. ako je o0,1 rad ( 6 ) ,

sin 0,0998 , a razlika je samo 0,2%.

Sl.10.6.Ovisnost povratne tangencijalne silesintF mg o amplitudi titranja kod

jednostavnog njihala.

Za vrlo male kuteve otklona iz poloaja ravnotee

tangencijalna povratna sila

tF mg , (10-20)

harmonijska je i njihalo priblino titra kao neprigueniharmonijski oscilator. Prema tome, jednostavno (mate-

matiko) njihalo harmonijski titra samo za male kutne

otklone iz ravnotenog poloaja, tj. za male amplitude

dok za vee amplitude njegovo gibanje (njihanje) nije

harmonijsko.

Jednadba gibanja jednostavnog njihala je

sint tma F mg , (10-21)

gdje je ta tangencijalno ubrzanje kuglice mase mobje-ene o nit duljine L. U aproksimaciji malih kutnih poma-

ka, jednadba gibanja njihala ima oblik,

t tma F mg , (10-22)

2U Priruniku se za ovu vrstu njihala rabi se naziv jednostavno njihalo.


12/99

318


Uzimajui u obzir vezu izmeu tangencijalnog i kut-

nog ubrzanja2

2t

da L L

dt

, jednadba jednos-

tavnog (matematikog) njihala (10-22) ima oblik

2

20

d g

Ldt

, (10-23)

Prema tome, jednadba (10-23) ima isti matematiki

oblik kao i jednadba (10-4) titranja opruge. Stoga jed-

nadba (10-23) predstavlja jednadbu harmonijskog

titranja ije je rjeenje oblika

( ) sino ot t , (10-24)

gdje je o amplituda titranja, o poetna faza,g

L

kruna frekvencija titranja, dok je period titranja jednos-

tavnog (matematikog) njihala,

2 L

Tg

, (10-25)

Prema relaciji (10-25), u sluaju malih amplituda titra-

nja, period titranja jednostavnog njihala ne ovisi ni o

masi ni o amplitudi, ve samo o duljini njihala Li ubrza-

nju sile teeg3.

Kod veih amplituda titranja matematikog njihala (tj.kada vrijedi sin ), period titranja ovisi o amplitudi

o i vei je za vee amplitude titranja. Za amplitude tit-

ranja ,o6o , period titranja matematikog njihala

odreuje se prema relaciji

2 41 92 1 sin sin ...

4 2 64 2

o oLTg

, (10-26)

Primjer:

Koliki je period titranja matematikog njihala duljine 1 mako su amplitude titranja:

a) 6o , b)15o , c)45o?

Kolika je relativna pogreka ako se u b) i c) sluaju pretpostavi da period ne ovisi o amplitudi titranja?

( ,g 29,81m/s 3,14 )

a) Ako je o o6 = 0,1047 rad, sin o 0,1045 pa vrijedi sin . Period titranja je

2 LTg

2, 00505 s

b) Za o o15 = 0,2617 rad, sin o 0, 25869 pa vrijedi sin i period je

2 42 sin sin ...L

Tg

o o-51 15 9 151+ 2, 00505 (1+ 0, 00426 + 4, 082 10 ) = 2, 01367 s

4 2 64 2

Relativna pogreka je

T

T

2,00505- 2,01367= 0, 4 %

2,00505

c) Za o o45 = 0, 785 rad , sin o 0,70683 pa vrijedi sin i period je

2 42 sin sin ...LTg

o o1 15 9 151+ + 2, 00505 (1+ 0, 03661+ 0, 00302) = 2, 0845 s4 2 64 2

Relativna pogreka je

T

T

2,00505-2,0845= 4, 0%

2,00505

3G. Galilei (1564. - 1642.) zakljuio je, promatrajui titrajno gibanje tekog i laganog svijenjaka iste duljine, da period titranja ne ovisi o masi, ve samo o duljini

njihala.


13/99

319


10.HOO


USTAVI

EKSPERIMENTALNI DIO

Eksperimentalnim istraivanjem titranja jednostavnog njihala moe se odrediti ubrzanje Zemljine sile tee.

a) Za male amplitude titranja ( o o6 sin ) jednostavnog njihala

Period titranja ne ovisi o amplitudi titranja o i masi mnjihala, ve samo o duljini niti Li ubrzanju Zemljine sile tee.

Prema relaciji (10-25) ovisnost ( )T f L perioda titranja To duljini Ljednostavnog njihala je nelinearna. Preureiva-

njem relacije (10-25) dobiva se linearna ovisnost2 ( )T f L oblika

22 4

T Lg

(10-27)

Linearna ovisnost2 ( )T f L , prikazana relacijom (10-27), predstavlja jednadbu pravca u eksplicitnom obliku, pri

emu je koeficijent smjera tog pravca24

ag

, a odsjeak na osi ordinate 0b . Prema tome, odreivanjem a- koefi-

cijenta smjera pravca, koji prikazuje linearnu ovisnost 2T f L , mogue je odreditigubrzanje Zemljine sile tee.

b) Za vee amplitude titranja ( o o6 sin ) jednostavnog njihala

Period titranja ne ovisi o masi mnjihala, ve ovisi duljini nitiLigubrzanju Zemljine sile tee, ali i o amplitudi titranja

o . Prema relaciji (10-26), za vee amplitude titranja, poveava se period titranja jednostavnog njihala. Zanemarujui

vie lanove reda, relacija (10-26) moe se napisati u obliku

2 21 12 1 sin 1 sin

4 2 4 2

o oo

LT T

g

, (10-28)

gdje je 2oL

T g period titranja jednostavnog njihala duljine niti Li amplitude titranja o (o

6o ). Relacija (10-28)

prikazuje nelinearnu ovisnost sin2

oT f

perioda titranja jednostavnog njihala o amplitudi titranja. Preureenjem

relacije (10-28) mogue je dobiti linearnu ovisnost2sin

2

oT f

perioda titranja o amplitudi:

21 sin4 2

oo oT T T

, (10-29)

Linearna ovisnost prikazana relacijom (10-29), predstavlja jednadbu pravca u eksplicitnom obliku, pri emu je koe-

ficijent smjera tog pravcao

a T1

4, a odsjeak na osi ordinate

o

b T . Prema tome, odreivanjem parametara pravca (b

- odsjeka na osi ordinata, a- koeficijenta smjera) koji prikazuje linearnu ovisnost 2sin2

oT f

, mogue je odrediti

period oT titranja jednostavnog njihala za male amplitude titranja, a potom, pomou relacije (10-27) ubrzanje Zemljine

sile teeg.


14/99

320


LV 10.1.

Odreivanje ubrzanja Zemljine sile tee pomoujednostavnog njihala

U eksperimentalnom dijelu ove laboratorijske vjebe ubrzanje Zemljine sile tee odreuje se iz analize titranja labo-

ratorijskog modela jednostavnog matematikog njihala na dva naina:

I.

Mjerenjem perioda titranja njihala u ovisnosti o duljini niti za male amplitude titranja (kutne pomake iz

ravnotenog poloaja),

II.

Mjerenjem perioda titranja njihala u ovisnosti o amplitudi titranja (kutnom pomaku iz ravnotenog

poloaja)

Na sl. 10.7. prikazana je eksperimentalna

postava za ovu laboratorijsku vjebu, a sastoji

se od: kuglice (1), stalka (2), stezaljke (3), kutom-

jera (4), mjerne vrpce (5), svjetlosne barijere (6),

zaporne ure (7) te pomine mjerke (8).

Jednostavno njihalo sastavljeno je od kugli-

ce (1) koja je objeena na stalak (2) pomou

tanke niti. Na vrhu stalka nalazi se kutomjer (4)

pomou kojeg se namjeta poetni kut otklona

( o amplituda titranja) njihala. Pomou mjernevrpce (5) mjeri se duljina niti njihala, a pomi-

nom mjerkom (8) dimenzije kuglice. Svjetlos-

na barijera (6) fotoosjetljivi je element koji se u

eksperimentu upotrjebljava za mjerenje perio-

da titranja njihala (sl. P1.1., Prilog 1.).

Sl. 10.7.Eksperimentalni postav

POSTUPAK PRI MJERENJU

I. Mjerenje perioda titranja jednostavnog njihala za razliite duljine niti i za male ampli-

tude titranja (kutne pomake iz ravnotenog poloaja)

1. korak

Duljinu niti ljednostavnog njihala namjestiti na l=1 m.

Napomena:

Duljinu niti ljednostavnog njihala mjeriti od objesita do kuglice !

2. korak

Preklopnik svjetlosne barijere (sl.P1.1.a., Prilog 1.) postaviti u 2. poloaj: .


15/99

321


10.HOO


USTAVI

3. korak

Otkloniti kuglicu na njihalu iz ravnotenog poloaja za mali kut otklona i pustiti da titra. Nakon treeg prolaska

kuglice kroz svjetlosnu barijeru, na zaslonu svjetlosne barijere pojavit e se vrijednost perioda titranja njihala.

4. korak

Opisani postupak ponoviti nekoliko puta. Pri svakom mjerenju duljinu niti jednostavnog njihala smanjiti za 5 cm.

II. Mjerenje perioda titranja njihala za razliite amplitude titranja, tj. kutne otklone kug-

lice iz ravnotenog poloaja

1. korak

Duljinu niti ljednostavnog njihala namjestiti na 1 m.

Napomena:

Duljinu ljednostavnog njihala mjeriti od objesita njihala do kuglice !

2. korak

Preklopnik svjetlosne barijere (sl.P1.1.a., Prilog 1.) postaviti u 2. poloaj: .

3. korak

Otkloniti kuglicu njihala iz ravnotenog poloaja za izabrani kut otklona i pustiti da titra. Nakon treeg prolaska

kuglice kroz svjetlosnu barijeru, na zaslonu svjetlosne barijere pojavit e se vrijednost perioda titranja njihala.

4. korak

Opisani postupak ponoviti za nekoliko izabranih kuteva otklona .

5. korak

Za izabrane kutove otklona (10 i 30) pomou zaporne ure izmjeriti vrijeme za koje se amplituda titranja jednos-

tavnog njihala smanji na polovicu poetne vrijednosti te vrijeme za koje se njihalo zaustavi.

Napomena:

Tijekom izvoenja ovog mjerenja amplitudu titranja provjeravati pomou

kutomjera privrenog na vrhu stalka (sl. 10.7.).


16/99


17/99

323


10.HOO


USTAVI

LV 10.1. Jednostavno njihalo HOOKEOV ZAKON I MEHANIKI TITRAJNI SUSTAVI

AEksperimentna provjera ovisnosti perioda titranjajednostavnog njihala o duljini niti

RAD U LABORATORIJU

A1. zadatak

Pomou pomine mjerke izmjerite promjer kuglice jednostavnog njihala: ____________ mD

A2. zadataka) Pomou mjerne vrpce izmjerite duljinu lniti jednostavnog njihala.

b) Izraunajte duljinuLjednostavnog njihala prema relaciji:2

L lD

, gdje jeDpromjer kuglice.

Izraun:

A3. zadataka) Pomou svjetlosne barijere, za svaku duljinuLnjihala, izmjerite period Ttitranja jednostavnog njihala. Izvedite 10razliitih mjerenja. Pri svakom mjerenju skratite duljinuLnjihala za 5 cm. Popunite tablicu A10.1.

Tablica A10.1.

Br. mj. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

l / m

L / m

T / s

g / ms-2

A4. zadatak

Pomou relacije (10-25) izraunajtegubrzanje Zemljine sile tee i popunite tablicu A10.1.

Izraun:


18/99


19/99

325


10.HOO


USTAVI


AEksperimentna provjera ovisnosti perioda titranjajednostavnog njihala o duljini niti

ANALIZA I RASPRAVA REZULTATA MJERENJA

A5. zadatak

a) Izraunajte maksimalnu apsolutnu, maksimalnu relativnu pogreku i srednju kvadratnu pogreku pri eksperimen-talnom odreivanju ubrzanja Zemljine sile tee. Podatke za duljinu niti jednostavnog njihala i njegov period titranjapreuzmite iz tablice A10.1. Pogreke pri odreivanju duljine niti njihala i perioda titranja odreene su upotrijebljenimmjernim instrumentima.

Izraun:

maksimalna apsolutna pogreka

maksimalna relativna pogreka

srednja kvadratna pogreka

b) Konane rezultate upiite u tablicu A10. 2.

Tablica A10. 2. Rezultati statistike analize sluajnih pogreaka pri mjerenju ubrzanja Zemljine sile tee

Rezultat mjerenja izraenMAKSIMALNOMAPSOLUTNOM

pogrekom

Rezultat mjerenja izraenMAKSIMALNOMRELATIVNOM

pogrekom

Rezultat mjerenja izraenSREDNJOM KVADRATNOM

pogrekom

c) Obrazloite dobivenu pogreku! Navedite nekoliko imbenika koji su, po Vaem miljenju, utjecali na rezultateovog mjerenja?


20/99

326


A6. zadatak

a) U gr. A10.1. ucrtajte mjerne podatke koji prikazuju ovisnost perioda titranja Tjednostavnog njihala o duljini Lnjihala, ( )T f L .

b) Kroz danu raspodjelu mjernih podataka, u gr. A10.1., ucrtajte krivulju koja najbolje odgovara ovisnosti ( )T f L .

c) Kako se naziva krivulja koja prikazuje ovu grafiku ovisnost? Napiite formulu za matematiku funkciju koja opisuje

ovisnost izmeu mjerenih fizikalnih veliina.

Gr. A10.1.Ovisnost perioda titranja To duljini niti jednostavnog njihalaL, ( )T f L .

A7. zadatak

Obrazloite kako period titranja Tjednostavnog njihala ovisi o duljini njihalaL.

A8. zadatak

Linearizacija grafikog prikaza

Preuredite podatke prikazane na gr. A10.1. tako da dobijete linearno ovisne podatke: 2T f L . Popunite tablicu

A10.3.


21/99

327


10.HOO


USTAVI

Tablica A10.3.

2 2/ sT

/ mL

a) Ucrtajte mjerne podatke iz tablice A10.3. u gr. A10.2. tako da prikaete ovisnost 2

T f L

.

Gr. A10. 2.Ovisnost kvadrata perioda titranja2

T o duljini niti jednostavnog njihalaL, 2T f L .

A9. zadatak

Prema grafikom postupkuodredite najbolje prilagoen (best-fit) pravac na dane mjerne podatke na gr.A10.2.:a) Odredite koordinate i ucrtajte toku srT x, y u gr. A10.2.

__________ __________ ____ , _____srx y T

b) Na gr. A10.2. provucite od oka najbolje prilagoen pravac na dane mjerne podatke.


22/99

328


A10. zadatak

a) Odredite parametre Vaeg najbolje prilagoenog (best-fit) pravca: a- koeficijent smjera (nagib) pravca, b- od-sjeak na osi ordinatai napiite dobivenu jednadbu pravca u eksplicitnom obliku.

Izraun:

a = __________ b = __________ y = ax+ b = __________________

b) Izraunajte pogreku pri odreivanju nagiba najbolje prilagoenog (best-fit) pravca nagib .

Izraun:

____________nagib

c) Sluei se dobivenom jednadbom najbolje prilagoenog (best-fit) pravca i relacijom (10-27) izraunajtegubr-zanje Zemljine sile tee.

Izraun:

____________g

A11. zadatak

Metodom najmanjih kvadrataizraunajte parametre regresijskog pravca: koeficijent smjera pravca a, odsjeak naosi ordinata b, mjere nepouzdanosti parametara regresijskog pravca - a , b i koeficijent korelacije -R. Popunitetablicu A10.4.

Izraun:

a ba = __________ b = __________ = ___________ = ___________ R = ___________

Tablica A10.4.

n ix iy i ix y 2

ix 2

i

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

n ix iy i ix y 2

ix 2

iy 2

ix 2

iy

_____

_____

i

i

x

y


23/99

329


10.HOO


USTAVI

a) Napiite dobivenu jednadbu regresijskog pravca u eksplicitnom obliku. Regresijski pravac ucrtajte u gr. A10.2.

y = ax + b = _______________

b) Pomou dobivene jednadbe regresijskog pravca i relacije (10-27) izraunajtegubrzanje Zemljine sile tee.

Izraun:

____________g

A12. zadatak

Objasnite linearnu korelaciju izmeu danih mjernih podataka s obzirom na dobivenu vrijednost koeficijenta korelacijeR.

A13. zadatak

a) Promatrajui gr. A10.2. usporedite pravce dobivene pomou dva razliita postupka grafike analize ovisnosti

2T f L . Objasnite!

b) Izraunajte relativnu razliku pri odreivanju ubrzanja Zemljine sile tee gkoja je dobivena pomou dva razliitapostupka grafike analize rezultata mjerenja.

Izraun:

A14. zadatak

a) Neka je prava (teorijska) vrijednost ubrzanja Zemljine sile tee gdana je u tablici P3.3. Procijenite tonost mjere-nja tako da izraunate relativnu pogreku pri odreivanju ubrzanja Zemljine sile teegdobivenu:

iz grafikog postupka:

metodom najmanjih kvadrata:

b) Objasnite dobivene procjene. Kojim se postupkom grafike analize dobiva toniji rezultat?


24/99

330


A15. zadatak

Navedite koje pogreke najvie utjeu na rezultate mjerenja u ovom eksperimentu?

A16. zadatak

Je li regresijski pravac dobiven pomou metode najmanjih kvadrata prolazi kroz ishodite koordinatnog sustava?

Obrazloite svoj odgovor!

A17. zadatak

Jedno jednostavno njihalo uini 15, a drugo 18 titraja u sekundi. Kako se odnose njihove duljine?

Izraun:

A18. zadatak

Jednostavno njihalo koje se sastoji od kuglice mase 100 g i duljine 1 m titra harmoniki pri emu elongacija titranja

njihala slijedi zakon ( ) sint t 0,25 . Kolika sila djeluje na nit njihala u trenutku:

a)2

Tt b)

4

Tt (T period titranja)

Izraun:

A19. zadatak

Za koliko bi trebalo produljiti nit jednostavnog njihala ija je duljina niti Lkako bi ono titralo istom frekvencijom u

dizalu koje se podie ubrzanjem2

ga kao i u dizalu koje miruje.

A20. zadatak

Moe li se jednostavno njihalo upotrijebiti za mjerenje vremena? Navedite prednosti i nedostatke ovakvog mjernog

instrumenta.


25/99

331


10.HOO


USTAVI


BEksperimentna provjera ovisnosti perioda titranjajednostavnog njihala o amplitudi titranja

RAD U LABORATORIJU

B1. zadatak

Pomou pomine mjerke izmjerite promjer kuglice jednostavnog njihala: ____________ mD

B2. zadatak

a) Pomou mjerne vrpce izmjerite duljinu lniti jednostavnog njihala.

b) Izraunajte duljinuLjednostavnog njihala prema relaciji:2

L lD

, gdje jeDpromjer kuglice.

Izraun:

B3. zadatak

Pomou svjetlosne barijere izmjerite period titranja .mjerT jednostavnog njihala za zadanu o amplitudu titranja.

Popunite tablicu B10.1.

Tablica B10.1.

Br. mj. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

o /

2

o /

sin2

o

.mjerT / s

.raT / s

relativna

pogreka


26/99

332


B4. zadatak

Uzimajui u obzir da je ubrzanje sile tee g 29,81 m/s , prema relaciji (10-28), izraunajte vrijednost perioda titra-

nja jednostavnog njihala .raT . Popunite tablicu B10.1.

Izraun:

B5 zadatak

Sluei se relacijama (2-3), (2-6) procijenite tonost pojedinog mjerenja. Rezultate upiite u tablicu B10.1.

Izraun:

B6. zadatak

Za izabrane poetne amplitude titranja ( o10 , o30 ), pomou zaporne ure, izmjerite vrijeme u kojem se amplituda titranja

smanji na polovicu poetne vrijednosti 12

o

i vrijeme za koje se njihalo zaustavi, tj. amplituda titranja poprimi vrijed-

nost 2 o0 . Izvedite 3 istovrsna mjerenja ( 1t , 2t , 3t ), izraunajte srednju vrijednost t i popunite tablicu B10.2.

Tablica B10.2.

o o10

12

o o5 2

o0 o o30

12

o o15 2

o0

1t

2t

3t

t

B7. zadatak

Uzimajui u obzir da za amplitudu titranja priguenog titrajnog sustava vrijedi ( ) t

ot e

,za izabrane poetne

amplitude titranja ( o10 , o30 ), odredite faktor priguenja pri titranju ovog laboratorijskog njihala.

Izraun:


27/99

333


10.HOO


USTAVI


BEksperimentna provjera ovisnosti perioda titranjajednostavnog njihala o amplitudi titranja


B8. zadatak

Za izabranu amplitudu titranja, izradite statistiku analizu pogreaka pri mjerenju vremena u kojem amplituda titra-nja njihala padne na polovicu poetne vrijednosti. Popunite tablicu B10.3. i tablicu B10.4

Tablica B10.3. Statistika analiza sluajnih pogreaka pri mjerenju vremena

n t t t t t t t max,t t max,tr r 2

t t , n

Mj .jed. s s s s s % s2 s

1.

t

maxt

tr

maxr

3M

2.

3.

1

n

i

Izraun:

aritmetika srednja vrijednost: apsolutna pogreka mjerenja:

maksimalna apsolutna pogreka: relativna pogreka mjerenja:

maksimalna relativna pogreka: standardna devijacija pojedinog mjerenja:

standardna devijacija aritmetike sredine: relativna nepouzdanost mjerenja:

Tablica B10.4. Rezultati statistike analize sluajnih pogreaka pri mjerenju vremena

Rezultat mjerenja izraenAPSOLUTNOM pogrekom

Rezultat mjerenja izraenRELATIVNOM pogrekom

Rezultat mjerenja izraenSTANDARDNOM pogrekom

t

maxt max

r

r

t

t

M

M

t

t

R


28/99

334


B9. zadatak

a) Izraunajte maksimalnu apsolutnu, maksimalnu relativnu pogreku i srednju kvadratnu pogreku pri odreivanjuperioda titranja njihala uzimajui u obzir relaciju (10-28). Duljina niti jednostavnog njihala je L 1,01 0, 01 m , ampli-tuda titranja njihala o 201 , dok je ubrzanje Zemljine sile tee g

29,810.15 m/s .

Izraun:




b) Konane rezultate upiite u tablicu B10.5.

Tablica B10.5. Rezultati statistike analize sluajnih pogreaka pri odreivanju perioda titranja jednostavnog njihala

Rezultat mjerenja izraenMAKSIMALNOMAPSOLUTNOM

pogrekom

Rezultat mjerenja izraenMAKSIMALNOMRELATIVNOM

pogrekom


pogrekom

c) Obrazloite dobivenu pogreku! to je najvie utjecalo na pogreku pri mjerenju?

B10. zadatak

a) U gr. B10.1. ucrtajte mjerne podatke koji prikazuju ovisnost izmjerenog perioda titranja njihala .mjerT o amplitudi

titranja o

jednostavnog njihala, . sin 2o

mjerT f

.


29/99

335


10.HOO


USTAVI

Gr. B10.1.Ovisnost perioda titranja jednostavnog njihala .mjerT o sin2

o( o amplituda titranja ).

a) Kroz danu raspodjelu mjernih podataka, u gr. B10.1., ucrtajte krivulju koja najbolje odgovara ovisnosti

. sin2

omjerT f

.

b) Kakva je funkcionalna ovisnost perioda titranja .mjerT jednostavnog njihala o sinusu amplitude titranja sin2

o

?

Napiite matematiku relaciju za ovu ovisnost.

c) Opiite rijeima kako period titranja .mjerT jednostavnog njihala ovisi o sinusu amplitude titranja sin2

o

.

B11. zadatak

a) Linearizirajte graf. prikaz . sin2

omjerT f

tako da preuredite podatke prikazane na gr. B10.1. i dobijete linearno

ovisne podatke:2

. sin2

omjerT f

. Popunite tablicu B10.6.


30/99

336


Tablica B10.6.

. / smjerT

2sin2

o

b) Ucrtajte mjerne podatke iz tablice B10.6. u gr. B10.2. tako da prikaete ovisnost2

. sin2

omjerT f

.

Gr. B10.2.Ovisnost perioda titranja jednostavnog njihala .mjerT o2sin

2

o

( o amplituda titranja ).

B12. zadatak

Prema grafikom postupkuodredite najbolje prilagoen (best-fit) pravac na dane mjerne podatke na gr. B10.2.:

a) Odredite koordinate i ucrtajte toku srT x, y u gr. B10.2.

__________ __________ ____ , _____srx y T

b) Na gr. B10.2. provucite od oka najbolje prilagoen pravac na dane mjerne podatke.


31/99

337


10.HOO


USTAVI

B13. zadatak

a) Odredite parametre Vaeg najbolje prilagoenog (best-fit) pravca: a- koeficijent smjera (nagib) pravca, b- od-

sjeak na osi ordinatai napiite dobivenu jednadbu pravca u eksplicitnom obliku.

Izraun:

a = __________ b = __________ y = ax+ b = __________________

a) Izraunajte pogreku pri odreivanju nagiba najbolje prilagoenog (best-fit) pravca nagib .Izraun:

____________nagib

b) Pomou dobivene jednadbe najbolje prilagoenog (best-fit) pravca i relacije (10-29) izraunajte period oT tit-

ranja jednostavnog njihala i ubrzanje Zemljine sile teeg.

Izraun:

________________ ____________oT g

B14. zadatak

Metodom najmanjih kvadrataizraunajte parametre regresijskog pravca: koeficijent smjera pravca a, odsjeak na

osi ordinata b, mjere nepouzdanosti parametara regresijskog pravca - a , b i koeficijent korelacije -R. Popunite

tablicu B10.7.

Izraun:

a ba = __________ b = __________ = ___________ = ___________ R = ___________

c) Napiite dobivenu jednadbu regresijskog pravca u eksplicitnom obliku. Regresijski pravac ucrtajte u gr. B10.2.

y = ax + b = _______________

Tablica B10.7.

n ix iy i ix y 2

ix 2

i

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

n ix iy i ix y 2

ix 2

iy 2

ix 2

iy

_____

_____

i

i

x

y


32/99

338


d) Koristei dobivenu jednadbu regresijskog pravca i relaciju (10-29) izraunajte period oT titranja jednostavnog

njihala i ubrzanje Zemljine sile teeg.

Izraun:

________________ ____________oT g

B15. zadatak

Objasnite linearnu korelaciju izmeu danih mjernih podataka s obzirom na dobivenu vrijednost koeficijenta korelacije R.

B16. zadatak

a) Promatrajui gr. B10.2. usporedite pravce dobivene pomou dva razliita postupka grafike analize ovisnosti

2. sin

2

omjerT f

. Objasnite !

b) Izraunajte relativnu razliku pri odreivanju perioda titranja oT i ubrzanja Zemljine sile tee g koji su dobivenipomou dva razliita postupka grafike analize rezultata mjerenja.

B17. zadatak

a) Prava (teorijska) vrijednost ubrzanja Zemljine sile teegdana je u tablici P3.3. Procijenite tonost mjerenja tako daizraunate relativnu pogreku pri odreivanju ubrzanja Zemljine sile tee gdobiveno:



b) Objasnite rijeima dobivene procjene. Kojim postupkom grafike analize dobijete toniji rezultat?

B18. zadatak

Navedite koje bi pogreke (sistematske, sluajne) najvie mogle utjecati na rezultate mjerenja u ovom eksperimentu?


33/99

339


10.HOO


USTAVI

B19. zadatak

Analizirajui rezultate mjerenja, dane u tablici B10.1., objasnite kako period titranja ovisi o amplitudi titranja jednos-

tavnog njihala.

B20. zadatakKolika je amplituda titranja njihala duljine niti 1 m ako je njegov period titranja 3% manji od perioda kojim bi titralo

ovo njihalo kada bi se aproksimiralo idealnim harmonijskim oscilatorom?

B21. zadatak

a) Uzimajui u obzir eksperimentalno dobivene vrijednosti fizikalnih veliina (period titranja oT i faktor priguenja

titranja) ovog njihala, odredite Q faktor kvalitete (dobrote) ovog titrajnog sustava.

b) Opiite rijeima kvalitetu ovog titrajnog sustava.

B22. zadatak

Na niti, zanemarive mase, dugoj 1 m objeena je metalna kuglica. Amplituda titranja kuglice, za 30 minuta, smanji se

odo12 na o6,5 . Odredite Qfaktor kvalitete ovog njihala.

B23. zadatak

Jednostavno njihalo sastoji se od kuglice mase 5 g objeene na niti duljine 80 cm. Njihalo otklonimo za o15 iz rav-notenog poloaja i pustimo iz mirovanja. Odredite maksimalnu brzinu kuglice njihala.


34/99


35/99

341


10.HOO


USTAVI

10.4.

Fiziko njihalo

Ulazna provjera znanja


1. Opiite i skicirajte fiziko njihalo.

2. Objeeno tijelo pomaknuto je iz ravnotenog poloaja i nakon toga puteno.a)Pod kojim e se uvjetima tijelo gibati amo-tamo oko ravnotenog poloaja?

b)Pod kojim e uvjetima gibanje ovog tijela biti jednostavno harmonijsko titranje?

3. Napiite jednadbu i njezino rjeenje za titranje fizikog njihala. Imenujte sve fizikalne veliine i pripadne mjer-ne jedinice.

4.

Napiite relaciju za period titranja fizikog njihala. O emu ovisi period titranja fizikog njihala?

5. to je reducirana duljina fizikog njihala? O emu ovisi reducirana duljina njihala?

6. Fiziko njihalo sastoji se od sitne kuglice objeene o dugaku nit zanemarive mase. Pokaite da je relacija zaperiod titranja ovog fizikog njihala jednaka relaciji za period titranja jednostavnog njihala.

7. Na niti dugoj 3 m visi kuglica polumjera 3 cm. Koliki je omjer perioda titranja ovog fizikog njihala i perioda tit-ranja jednostavnog njihala s kojim se ono moe aproksimirati?

8.

a)Kakav matematiki oblik ima ovisnost perioda titranja fizikog njihala u obliku prstena o polumjeru pr-stena?


36/99

342


b) Koja se linearna ovisnost istrauje pri odreivanju ubrzanja sile tee pomou fizikog njihala u oblikuprstena?

9. Pet tankih ianih prstena objeenih o klin njiu kao pet fizikih njihala. Njihove mase i polumjeri su:

I.Prsten: M 250 g , R 30 cm II.Prsten: M 350 g , R 10 cm

III.Prsten: M 150 g , R 50 cm IV.Prsten: M 300 g , R20 cm

V.Prsten: M 200 g , R 40 cm

Poredajte ova fizika njihala s obzirom na njihov period titranja ( od najmanjeg do najveeg !). Objasnite!

10. Izraunajte duljinu polumjera prstena koji titra kao fizikalno njihalo ako period titranja tog fizikalnog njihala iz-

nosi 0,8 s. Ubrzanje Zemljine sile tee iznosi 9,81 2m/s .

11.

a)O emu ovisi period titranja fizikog njihala u obliku jednakostraninog trokuta?

b) Koja se linearna ovisnost istrauje pri odreivanju ubrzanja sile tee pomou fizikog njihala u oblikujednakostraninog trokuta?

12. Pri eksperimentalnom odreivanju ubrzanja Zemljine sile tee pomou fizikalnog njihala u obliku jednakostra-

ninog trokuta upotrijebljena su dva fizika njihala razliitih masa: jedno mase m, a drugo mase 2m. Objasniteu kakvom su odnosu periodi titranja tih fizikih njihala!

13.

a)O emu ovisi period titranja fizikog njihala u obliku tapa?

b) Koje se fizikalne veliine mjere pri eksperimentalnom odreivanju ubrzanja sile tee pomou njihala uobliku tapa?

14. Teite jednostavnog njihala mase mi duljine Lnalazi se u kuglici njihala na udaljenosti Lod ovjesita. Teitehomogenog tapa iste mase i duljine 2Lobjeenog na jednom kraju tapa je, takoer, na udaljenosti Lod o-vjesita. Kako se odnose periodi titranja ovog fizikog i jednostavnog njihala? Objasnite.

a)tap ima dui period titranja.

b)tap ima krai period titranja.

c) Periodi titranja ovih njihala su jednaki.


37/99

343


10.HOO


USTAVI

. Miokovi, Fizika 1 - Prirunik za laboratorijske vjebe

10.4

Fiziko njihalo4

Za razliku od jednostavnog (matematikog) njihala,

kao priblino idealnog modela harmonijskog oscilatora,

ija se masa prikazuje tokastom masom, fiziko njihalo

je svako stvarno njihalo, odnosno svako kruto tijelo masem, koje se njie oko vodoravne osi koja ne prolazi kroznjegovo teite (sl.10.8.). Meutim, za male amplitude

titranja, analiza titranja stvarnog fizikog njihala vrlo je

slina analizi titranja jednostavnog njihala (potpogl.

10.3.).

Sl.10.8. Fiziko njihalo

Sl. 10.8. prikazuje fiziko njihalo u obliku krutog tijela

nepravilnog oblika koje se giba bez trenja oko osi koja

prolazi njegovim ovjesitem O. Kada je fiziko njihalo u

ravnotenom poloaju hvatite sile tee mg

(teite T)

tijela nalazi se tono ispod ovjesita O na udaljenosti L.Ako se takvo tijelo otkloni iz poloaja ravnotee za kut

i prepusti samo sebi, ono se njie (titra) pod utjecajem

momenta sile tee

sinM mgL , (10-30)

Za male kutne pomake ( sin ) moment sile tee je

M mgL , (10-31)

Prema II. Newtonovom zakonu za rotaciju krutog tije-

la ( I ), jednadba gibanja fizikog njihala oko

nepomine osi za male amplitude titranja je

I mgL , (10-32)

odnosno

2

20

d mgL

Idt

, (10-33)

gdje je Imoment tromosti krutog tijela s obzirom na os

rotacije, a2

2

d

dt

kutno ubrzanje. Jednadba (10-33)

ima isti matematiki oblik kao i jednadba (10-5) titranja

harmonikog oscilatora pa je (10-33) jednadba titranja

fizikog njihala ije je rjeenje oblika

0 0sin t , (10-34)

gdje jemgL

I kruna frekvencija, a 0 pomak u fazi

titranja, a 0 amplituda titranja, dok je period titranja

fizikog njihala

2 I

TmgL

, (10-35)

Prema tome, period titranja fizikog njihala ovisi o

teini mg krutog tijela, njegovom momentu tromosti Is

obzirom na os rotacije O i udaljenosti Lizmeu ovjesitaO i teita tijela T.

Sl. 10.9.Reducirana duljina fizikog njihala

Usporedbom perioda titranja fizikog i matematikog

njihala odreuje se reducirana duljina fizikog njihala.

Reducirana duljina rl fizikog njihala odgovara duljini

matematikog njihala koje ima isti period titranja kao i

fiziko njihalo (sl.10.9.),

m fT T , (10-36)

gdje je mT period titranja matematikog njihala, a fT period titranja fizikog njihala.

Uzimajui u obzir relacije (10-25) i (10-35) slijedi

2 2rl I

g mgL , (10-37)

4 esto se naziva i fizikalno njihalo.


38/99

344


Prema tome, reducirana duljina rl fizikog njihala je

r

Il

mL , (10-38)

gdje je I moment tromosti promatranog njihala, m ukupna masa sustava, a L udaljenost ovjesita do teitanjihala.

Primjer 1:

Reducirana duljina fizikog njihala

Sl.10.9. prikazuje fiziko njihalo u obliku homogenog tapa duljine 2L h koji se njie oko osi koja prolazi jednimnjegovim krajem. Prema Steinerovom pouku, moment tromosti tapa s obzirom na os koja prolazi jednim njegovim

krajem je

22 2 21 1

12 2 3T

LI I md mL m mL

.

Prema relaciji (10-37) reducirana duljina ovog njihala je2 2

3 3r

mLl L

mh , gdje je

2

Lh . Matematiko njihalo duljine

2

3rl L imat e isti period kao i tap duljine L. Toka na tapu, koja je od ovjesita udaljena za reduciranu duljinu rl

naziva se sredite titranjaP. Prema tome, ako se tap objesi na os koja prolazi kroz toku P i zatitra (zanjie), tada e on

titrati istim periodom kao i za prvobitnu os.

Primjer 2:

Primjenom Steinerovog pouka dokaite da fiziko njihalo u obliku tapa duljine 2L h (sl.10.9.), objeeno u sredi-tu titranja (u toki P), ima isti period titranja kao i kada titra objeeno o prvobitnu os (u toki O).

Ako fiziko njihalo titra oko osi kroz toku O, njegov period titranja je

2O

O

2 22 2 2

3 3

I mL LT

mgh mgL g

, (10-39)

gdje je, prema Steinerovom pouku

22 2 21 1

12 2 3O T

LI I mh mL m mL

, a TI moment tromosti s obzirom na os

kroz teite tapa. Ako os prolazi kroz sredite titranja P, period titranja je

2P

P1

6 22 2 2

9 3

I mL LT

mgh mgL g , (10-40)

gdje je, prema Steinerovom pouku

22 2 2

1

1 1

12 6 9P T

L

I I mh mL m mL

, pri emu je 12

3 2 6rL L

h l h L , TI

moment tromosti tapa s obzirom na os kroz teite, a rl reducirana duljina ovog fizikog njihala. Usporeujui relacije

(10-39) i (10-40) vrijedi O PT T .

Njihalo koje se moe objesiti tako da se njie oko toke O i oko sredita titranja P zove se reverzijsko njihalo. Kako je

za reverzijsko njihalo prilino lako odrediti period titranja, mjerenjem perioda titranja ovog njihala mogue je odreditigubrzanje Zemljine sile tee.


39/99

345


10.HOO


USTAVI

EKSPERIMENTALNI DIO

Eksperimentalnim istraivanjem titranja fizikog njihala mogue je odrediti:

a)Moment tromosti krutog tijela koje njie,

b)Ubrzanje Zemljine sile tee, ukoliko je poznat moment tromosti krutog tijela koje njie.

U ovom e se Priruniku eksperimentalno istraiti titranje laboratorijskih modela fizikih njihala razliitih oblika:

a)fiziko njihalo u obliku tankog prstena,

b)fiziko njihalo u obliku jednakostraninog trokuta,

c) fiziko njihalo u obliku tapa.

10.4.1. Fiziko njihalo u obliku prstena

Tanki iani prsten mase mi polumjera Roslonjen je

na otar brid (sl. 10.10.). Za male kutove otklona ovajprsten predstavlja fiziko njihalo koje titra oko vodoravne

osi koja prolazi osloncem O i okomita je na ravninu prs-tena. Na sl. 10.10. prikazano je fiziko njihalo u obliku

prstena polumjera Rkoji njie o obzirom na os koja pro-lazi rubom prstena.

Sl. 10.10.Fiziko njihalo u obliku prstena

Prema sl. 10.10. udaljenostLizmeu teita prstena Ti oslonca (osi rotacije) O trokuta jednaka je Rpolumjeruprstena:L R . Moment tromosti prstena s obzirom naos rotacije O koja prolazi rubom prstena, prema Steine-

rovom pouku (2

TI I md , TI - moment tromosti s

obzirom na os kroz teite, d udaljenost izmeu osi

kroz teite tijela i osi rotacije O) je

2 2 22I mR mR mR , (10-41)

Uvrtavanjem relacije (10-41) u relaciju (10-35), period

titranja fizikog njihala u obliku prstena je

22

RT

g , (10-42)

Iz relacije (10-42) moe se uoiti da period titranja fi-

zikog njihala u obliku prstena ovisi samo o polumjeruRprstena. Sl. 10.11. predstavlja grafiki prikaz ovisnosti

( )T f R - perioda titranja Tfizikog njihala o polumjeruRprstena.

Sl. 10.11.Ovisnost perioda Ttitranja fizikog njihala

u obliku prstena o polumjeruRprstena.

Ovisnost ( )T f R , prikazana na sl. 10.11., je neline-arna. Meutim, preureivanjem relacije (10-42) moe se

dobiti linearna ovisnost2 ( )T f R u obliku

22 8T R

g

, (10-43)

Relacija (10-43) predstavlja jednadbu pravca u eks-

plicitnom obliku gdje je28

ag

koeficijent smjera prav-

ca, a 0b odsjeak pravca na osi ordinate. Prema tome,

odreivanjem parametara pravca (10-43), koji prikazujelinearnu ovisnost

2 ( )T f R , moe se odrediti ubrzanje

gZemljine sile tee.

10.4.2. Fiziko njihalo u obliku trokuta

Od tanke ice oblikovano je tijelo mase M u obliku

jednakostraninog trokuta sa stranicom duljine l.Trokutje oslonjen na otar brid jednim svojim vrhom (sl. 10.12.).

Za male kuteve otklona ovakav jednakostranian tro-

kut predstavlja fiziko njihalo koje titra (njie) oko vodo-

ravne osi koja prolazi osloncem O i okomita je na ravninu

trokuta.

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

2,2

T/

s

R / m


40/99

346


Sl. 10.12.Fiziko njihalo u obliku jednakostraninog trokuta.

Prema sl. 10.12. udaljenost Lizmeu teita trokuta Ti oslonca (osi rotacije) O trokuta je

3

3L l , (10-44)

gdje je lduljina jedne stranice trokuta. Moment tromostitrokuta s obzirom na vodoravnu os koja prolazi osloncem

i okomita je na ravninu trokuta je

1 2 3I I I I , (10-45)

gdje su 1I , 2I , 3I momenti pojedinih stranica trokuta (1,

2, 3) s obzirom na os O (sl. 10.12.). U ovom sluaju svaka

stranica trokuta moe se promatrati kao tap mase

3m i duljine lkoji rotira s obzirom na os rotacije O.

Stranice 1 i 2 rotiraju s obzirom na os koja prolazi jednim

njihovim krajem. Stoga su momenti tromosti stranica 1 i

2 jednaki: 1 2I I . Primjenom Steinerovog pouka, mo-

menti tromosti ovih stranica su

22 2

1 2

1 1

12 2 3

lI I ml m ml

, (10-46)

Moment tromosti stranice 3 prema Steinerovom pou-

ku je

2

2 23

1 3 5

12 2 6I ml m l ml

, (10-47)

Prema tome, moment tromosti trokuta s obzirom na

vodoravnu os koja prolazi osloncem O, a okomita je na

ravninu trokuta jednak je

21 2 3

3

2I I I I ml , (10-48)

Uvrtavanjem relacije (10-44) i (10-48) u relaciju (10-

35), period titranja fizikog njihala u obliku jednakostra-

ninog trokuta je

32

2 3

lT

g , (10-49)


zikog njihala u obliku jednakostraninog trokuta ovisi

samo o duljini l stranice trokuta. Sl. 10.13. predstavlja

grafiki prikaz ovisnosti ( )T f lperioda titranja T fizi-

kog njihala o duljini lstranice jednakostraninog troku-ta.

Sl. 10.13.Ovisnost perioda titranja Tfizikog njihala u obliku

jednakostraninog trokuta o duljini lstranice trokuta

Ovisnost ( )T f l , prikazana na sl. 10.13., je neline-

arna. Meutim, preureivanjem relacije (10-49) dobiva se

linearna ovisnost2 ( )T f l , odnosno jednadba pravca

u eksplicitnom obliku

22 6

3T l

g

, (10-50)

gdje je26

3

a

g

koeficijent smjera pravca, a 0b od-

sjeak pravca na osi ordinate. Stoga, odreivanjem koefi-

cijenta smjera pravca (10-50), koji prikazuje linearnu

ovisnost2 ( )T f l , odreuje se ubrzanjegsile tee.

10.4.3. Fiziko njihalo u obliku tapa

Tanki homogeni tap mase mi duljine lnjie oko vo-doravne osi koja prolazi kroz jedan njegov kraj (sl.10.14.).

Sl. 10.14.Fiziko njihalo u obliku tapa

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50

0,00

0,15

0,30

0,45

0,60

0,75

0,90

1,05

1,20

T/

s

l/ m


41/99

347


10.HOO


USTAVI

Za male kutove otklona ovakav tap predstavlja fi-ziko njihalo koje titra oko vodoravne osi koja prolazi

osloncem O i okomita je na tap. Pored toga, na tapu

postoji niz rupica koje slue kao oslonac tapa na otar

brid. Promjenom oslonca tapa o otar brid mijenja se

udaljenost izmeu osi rotacije (O) tapa i teita (T) tapa.

Sl. 10.14. prikazuje fiziko njihalo u obliku tapa s nizom

ravnomjerno rasporeenih rupica.

Prema sl. 10.14. udaljenost Lizmeu teita tapa T ioslonca (osi rotacije) O tapa je

L r , (10-51)

gdje je r udaljenost izmeu osi rotacije tapa i teitatapa ( tj. ovisi o izboru rupice pomou koje je tap ovje-

en o otar brid). Prema Steinerovom pouku,2

TI I md , gdje je, u ovom sluaju, d r , momenttromosti tapa s obzirom na os rotacije O koja prolazi

osloncem tapa je

2 21

12I ml mr , (10-52)

pri emu je mmasa, a lduljina tapa. Uvrtavanjem rela-cije (10-51) i (10-52) u relaciju (10-35), period titranja

fizikog njihala u obliku tapa je

2 2122

12

l rT

g r

, (10-53)


zikog njihala u obliku tapa ovisi o duljini l tapa i oudaljenosti rizmeu teita T tapa i oslonca (osi rotaci-je) O.

Sl. 10.15.Ovisnost perioda titranja Tfizikog njihala, u oblikutapa razliite duljine ls ravnomjerno rasporeenim rupicama, o

udaljenosti rizmeu oslonca tapa i teita tapa.

Sl. 10.15. predstavlja grafiki prikaz ovisnosti

( )T f r - perioda titranja Tfizikog njihala o udaljenostiizmeu oslonca O i teita T tapa duljine l 0,3 m . Ovi-

snost ( )T f r , prikazana na sl. 10.15., nelinearna je i

moe se uoiti da:

a) za jako male udaljenosti 0r period ti-tranja fizikog njihala u obliku tapa postaje jako

velik T ,

b) postoji odreena udaljenost minr , izmeu

osi rotacije i teita tapa, za koju je period titra-nja Tovakvog fizikog njihala najmanji.

Udaljenost minr za koju je period titranja fizikog nji-

hala najmanji moe se odrediti iz uvjeta za ekstrem funk-

cije ( )T f r :

min

10

2 3

Tr l

r

, (10-54)

a najmanji period titranja minT fizikog njihala u obliku

tapa duljine lje

min

32

3

lT

g

. (10-55)

Npr. u sluaju fizikog njihala u obliku tapa duljine

l 0,3 m za koji je ovisnost ( )T f r prikazana na sl.

10.15. slijedi da je

min min,r T= 0,087 m = 0,835 s .

Kako je ovisnost ( )T f r nelinearna, mogue je

preureivanjem relacije (10-53) postii linearnu ovisnost

prikazanu na dva naina:

I. 2 2 22

312

gT r r l

(10-56)

Linearna ovisnost 2 223g

T r f r

, prikazana relaci-

jom (10-56), predstavlja jednadbu pravca u eksplicitnom

obliku, pri emu je koeficijent smjera tog pravca a = 12 , a

odsjeak na osi ordinate 2b l .

II.

2 22 2 24

3T r r l

g g

. (10-57)

Linearna ovisnost 2 2T r f r , prikazana relacijom(10-57), predstavlja jednadbu pravca u eksplicitnom

obliku, pri emu je koeficijent smjera tog pravca24

ag

, a odsjeak na osi ordinate

2

3b

g

.

Prema tome, odreivanjem ili b- odsjeka pravca na

osi ordinate ili a- koeficijenta smjera pravca, koji prikazu-

je linearnu ovisnost 2T r f r , mogue je odrediti

ubrzanjegZemljine sile tee.


42/99

348


LV 10.2.

Odreivanje ubrzanja Zemljine sile tee pomou fizikog

njihala u obliku prstena

Cilj ove laboratorijske vjebe je eksperimentalno odreivanje ubrzanja Zemljine sile tee mjerenjem perioda titranja

laboratorijskog modela fizikog njihala u obliku tankog prstena.

Na sl. 10.16. prikazan je eksperimentalni postav laboratorijskog modela fizikog njihala u obliku tankog prstena koji

se sastoji od: 3 tanka prstena razliitih polumjera (1), nosaa (2), pomine mjerke (3), mjerne vrpce (ravnala) (4), zaporne

ure (5), kutomjera (6).

Sl. 10.16. Eksperimentalni postav za mjerenje

perioda titranja fizikog njihala u obliku prstena

Tanki prsten (1) objeen je o nosa (2) i, za male kutne

otklone iz ravnotenog poloaja, titra kao fiziko njihalo.

Pomou pomine mjerke (3) i mjerne vrpce (4) mjere sedimenzije prstena. Zapornom urom (5) mjeri se vrijeme

titranja. Kutomjer (6) je privren na vrh nosaa i slui za

odreivanje kutnog otklona pri titranju fizikog njihala.


1. korak

Postaviti prsten na objesite nosaa.

2. korak

Otkloniti fiziko njihalo u obliku prstena za mali kut otklona (manji od 20) pomou kutomjera i pustiti ga da titra.

3. korak

Izmjeriti period titranja fizikog njihala, mjerei vrijeme potrebno fizikom njihalu da uini 10 titraja.

4. korak

Postupak ponoviti za nekoliko prstena razliitih polumjera.


43/99

349


10.HOO


USTAVI

LV 10.2. Fiziko njihalo HOOKEOV ZAKON I MEHANIKI TITRAJNI SUSTAVI

AOdreivanje ubrzanja Zemljine sile tee pomou fizikog njihalau obliku prstena

RAD U LABORATORIJU

A1. zadatak

a) Pominom mjerkom izmjerite promjere prstena (veliki, srednji, mali prsten; vD - promjer vanjskog dijela prstena,

uD - promjer unutarnjeg dijela prstena). Mjerenje ponovite 3 puta. Izraunajte srednju vrijednost promjera prstena D .Popunite tablicu A10.5.

Tablica A10.5.

/ m2

v uD DD

/ mD / mR t / s / sT / smjerT T -2/ msg

1.prsten

(mali)

2.prsten

(srednji)

3.prsten

(veliki)


44/99

350


b) Izraunajte polumjer prstenaRi popunite tablicu A10.5.

Izraun:

A2. zadatak

a) Pomou zaporne ure izmjerite vrijeme t potrebno fizikom njihalu da naini 10 punih titraja. Popunite tablicuA10.5. Mjerenje ponovite 5 puta.

b) Za svako mjerenje izraunajte period titranja Tovog njihala. Popunite tablicu A10.5.

Izraun:

c) Izraunajte srednju vrijednost perioda titranja T fizikog njihala. Popunite tablicu A10.5.

Izraun:

A3. zadatak

Pomou relacije (10-42), za svako mjerenje, izraunajte ubrzanjegZemljine sile tee i popunite tablicu A10.5.Izraun:


45/99

351


10.HOO


USTAVI


AOdreivanje ubrzanja Zemljine sile tee pomou fizikog njihalau obliku prstena


A4. zadatak

Izradite statistiku analizu pogreaka pri eksperimentalnom odreivanju promjeraDjednog prstena. Popunite tab-licu A10.6. i tablicu A10.7

Tablica A10.6. Statistika analiza sluajnih pogreaka pri mjerenju promjera prstena

n D D D D D D max,D D max,Dr r 2

D D ,D D

mj .jed. m m m m m % m2 m

1.

D

maxD

Dr

maxr

D

3M

2.

3.

1

n

i

Izraun:





Tablica A10.7. Rezultati statistike analize sluajnih pogreaka pri mjerenju promjeraDprstena

Rezultat mjerenja izraenAPSOLUTNOM pogrekom

Rezultat mjerenja izraenRELATIVNOM pogrekom

Rezultat mjerenja izraenSTANDARDNOM pogrekom

D

maxD max

D

D

r

r

3

M

M

D

D

R


46/99

352


A5. zadatak

a) Izraunajte maksimalnu apsolutnu, maksimalnu relativnu pogreku i srednju kvadratnu pogreku pri eksperimen-talnom odreivanju ubrzanja Zemljine sile tee pomou fizikog njihala u obliku tankog prstena. Pogreke za polumjerprstena Ri period titranja fizikog njihala Todredite iz preciznosti mjerenja uporabljenih mjernih instrumenata. Vrijed-nost broja je (3,140.02).

Izraun:




b)Konane rezultate upiite u tablicu A10.8.

Tablica A10.8. Rezultati statistike analize sluajnih pogreaka pri mjerenju promjera jednog prstena

Rezultat mjerenja izraenMAKSIMALNOM APSOLUTNOM

pogrekom

Rezultat mjerenja izraenMAKSIMALNOM RELATIVNOM

pogrekom


pogrekom

c) Obrazloite dobivenu pogreku! to je najvie utjecalo na pogreku pri mjerenju?

A6. zadatak

a) Na gr. A10.3. prikazana je teorijska ovisnost perioda titranja fizikog njihala o polumjeru prstena, ( )teoT f R ,izraunata pomou relacije (10-42). Prema tablici A10.5. u gr. A10.3. ucrtajte mjerne podatke, u obliku toaka, koji prika-zuju ovisnost ( )mjerT f R .


47/99

353


10.HOO


USTAVI

Gr. A10.3. Ovisnost perioda titranja Tfizikog njihala u obliku prstena o polumjeru prstenaR, ( )T f R

b) Obrazloite rijeima kako period titranja Tfizikog njihala ovisi o polumjeru prstenaR.

c) Za svaki prsten izraunajte tonost mjerenja usporeujui mjerenu mjerT i teorijsku teoT vrijednost perioda titranjanjihala. Za koji prsten dobivate najtoniju vrijednost perioda titranja?

Izraun:

d) Navedite mogue izvore pogreaka pri ovom mjerenju.

A7. zadatak

a) Preuredite podatke prikazane na gr. A10.3. tako da dobijete linearno ovisne podatke: 2T f R .Popunite tablicu A10.9.

Tablica A10.9.

1. prsten 2. prsten 3. prsten

/ mR

2 2/ sT

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

T/

s

R / m


48/99

354


b) Ucrtajte mjerne podatke iz tablice A10.9. u gr. A10.4. tako da prikaete ovisnost 2T f R .

Gr. A10.4. 2T f R - ovisnost kvadrata perioda titranja 2T fizikog njihala u obliku prstena o polumjeru prstenaR

A8. zadatak

Grafikim postupkomodredite najbolje prilagoen (best-fit) pravac na dane mjerne podatke:

a) Odredite koordinate i ucrtajte toku ,srT x y u gr. A10.4.

__________ __________ ____ , _____srx y T

b) Na gr. A10.4. provucite od oka najbolje prilagoen pravac na dane mjerne podatke.

A9. zadatak

a) Odredite parametre najbolje prilagoenog (best-fit) pravca: a- koeficijent smjera (nagib) pravca, b- odsjeak na

osi ordinatai napiite dobivenu jednadbu pravca u eksplicitnom obliku.

Izraun:

__________ __________ __________y ax b a b

b) Izraunajte pogreku pri odreivanju nagiba najbolje prilagoenog (best-fit) pravca nagib .

Izraun:

____________nagib


49/99

355


10.HOO


USTAVI

c) Pomou dobivene jednadbe najbolje prilagoenog (best-fit) pravca i relacije (10-43) izraunajte ubrzanje Zem-

ljine sile tee .

Izraun:

____________g

A10. zadatak

Metodom najmanjih kvadrataizraunajte parametre regresijskog pravca: koeficijent smjera pravca a, odsjeak naosi ordinata b, mjere nepouzdanosti parametara regresijskog pravca - a , b i koeficijent korelacije -R. Popunitetablicu A10.10.

Tablica A10.10.

Izraun:

a ba = __________ b = __________ = ___________ = ___________ R = ___________

a) Napiite dobivenu jednadbu regresijskog pravca u eksplicitnom obliku. Regresijski pravac ucrtajte u gr. A10.4.

y = ax+ b = _______________

b) Pomou dobivene jednadbe regresijskog pravca i relacije (10-43) izraunajte ubrzanje Zemljine sile teeg.

Izraun:

____________g

A11. zadatak

Objasnite linearnu korelaciju izmeu danih mjernih podataka s obzirom na dobivenu vrijednost koeficijenta korelacijeR.

A12. zadatak

a) Promatrajui gr. A10.4. usporedite pravce dobivene pomou dva razliita postupka grafike analize ovisnosti

2T f R . Objasnite!

n ix iy i ix y 2

ix 2

i

1.

2.

3.

n ix iy i ix y 2

ix 2

iy 2

ix 2

iy

_____

_____

i

i

x

y


50/99

356


b) Izraunajte relativnu razliku pri odreivanju ubrzanja Zemljine sile tee gkoja je dobivena pomou dva razliita

postupka grafike analize rezultata mjerenja.

Izraun:

A13. zadatak

a) Prava (teorijska) vrijednost ubrzanja Zemljine sile teegdana je u tablici P3.3. Procijenite tonost mjerenja tako da

izraunate relativnu pogreku pri odreivanju ubrzanja Zemljine sile tee dobivenu:



b) Objasnite rijeima dobivene procjene. Kojim postupkom grafike analize dobijete toniji rezultat?

A14. zadatak

Bakreni okvir oblika prstena, mase 200 g i pomjera 40 cm, objeen o klin, giba se lijevo-desno oko ravnotenog po-

loaja. Ako je njegov period titranja 1,27 s, odredite moment tromosti prstena s obzirom na os koja prolazi ovjesitem i

okomita je na ravninu prstena.

Izraun:

A15. zadatak

Ako elimo da se tanki iani prsten objeen o klin njie, s malim otklonima iz ravnotenog poloaja, tako da svake 2

sekunde prsten napravi jedan puni titraj, koliki bi trebao biti polumjer tog prstena?

Izraun:

A16. zadatak

Fiziko njihalo u obliku tankog metalnog prstena polumjera 15 cm, koji titra prigueno, predstavlja titrajni sustav iji

je faktor kvalitete 2000. Za koje vrijeme e amplituda titranja ovog njihala postati dvostruko manja?

Izraun:


51/99

357


10.HOO


USTAVI

LV 10.3.

Odreivanje ubrzanja Zemljine sile tee

pomou fizikog njihala u obliku trokuta

Cilj ovog eksperimenta je odreivanje ubrzanja Zemljine sile tee mjerenjem perioda titranja laboratorijskog mode-la fizikog njihala u obliku trokuta.

Na sl. 10.17. prikazan je eksperimentalni postav koji sesastoji od tankog ianog okvira oblika jednakostrani-nog trokuta (1), nosaa (2), pomine mjerke (3), mjerne

vrpce (4), zaporne ure (5), kutomjera (6).iani trokutasti okvir (1) objeen je o nosa (2) i, za

male kutne otklone iz ravnotenog poloaja, titra kaofiziko njihalo. Pomou pomine mjerke (3) i mjerne vrpce(4) mjere se dimenzije trokuta, dok se zapornom urom (5)mjeri vrijeme titranja ovog fizikog njihala. Kutomjer (6) jeprivren na vrh nosaa i slui za odreivanje kutnogotklona pri titranju fizikog njihala.

Sl. 10.17. Eksperimentalni postav fizikog njihala u obliku trokuta


5. korak

Postaviti iani okvir u obliku jednakostraninog trokuta na objesite nosaa.

6. korak

Otkloniti iani okvir za mali kut otklona (manji od 20) pomou kutomjera i pustiti ga da titra.

7. korak

Izmjeriti period titranja fizikog njihala, mjerei vrijeme koje je potrebno njihalu da uini desetak titraja.

8. korak

Postupak ponoviti za sve raspoloive iane okvire u obliku jednakostraninog trokuta.


52/99


53/99

359


10.HOO


USTAVI


AOdreivanje ubrzanja Zemljine sile tee pomou fizikog njihalau obliku trokuta

RAD U LABORATORIJU

A1. zadatak

Mjernom vrpcom ili pominom mjerkom izmjerite duljine stranica trokutastih ianih okvira. Mjerenje ponovite 3puta. Izraunajte srednje vrijednosti duljina stranica trokuta. Popunite tablicu A10.11.

A2. zadatak

a) Pomou zaporne ure izmjerite vrijeme tpotrebno pojedinom fizikom njihalu u obliku ianog trokuta da naini10 titraja. Popunite tablicu A10.11. Mjerenje ponovite 5 puta.

Tablica A10.11.

/ ml / ml t / s / sT / smjerT T -2/ msg

1.

tr

okutasti

okvir

2.

trokutasti

okvir

3.

trokutsti

okvir


54/99

360


b) Za svako njihalo izraunajte njegov period titranja T. Izraunajte srednju vrijednost mjerT T perioda titranja fizi-

kalnog njihala u obliku trokuta. Popunite tablicu A10.11.

A3. zadatak

Uzimajui u obzir relaciju (10-49) izraunajte ubrzanjegZemljine sile tee i popunite tablicu A10.11.

Izraun:


55/99

361


10.HOO


USTAVI


AOdreivanje ubrzanja Zemljine sile tee pomou fizikog njihalau obliku trokuta


A4. zadatak

Izradite statistiku analizu pogreaka pri eksperimentalnom odreivanju perioda titranja fizikog njihala u oblikutankog jednakostraninog trokuta. Popunite tablicu A10.12. i tablicu A10.13.

Tablica A10.12. Statistika analiza sluajnih pogreaka pri mjerenju perioda titranja fizikog njihala u obliku trokuta

n T T T T T T max,T T max,Tr r 2

T T , n

Mj .jed. s s s s s % s 1.

T

maxT

Tr

maxr

5M

2.

3.

4.

5.

1

n

i

Izraun:





Tablica A1

Documents

10 Poglavlje Fnbvnbvizika 1