Poglavlje 1 Jednadzbe mehanike fluida

Poglavlje 1

Jednadzbe mehanike fluida

U ovom poglavlju izvodimo jednadzbe mehanike fluida slijedeci [?]. Metoda se oslanjana geometrijsku i mehanicku intuiciju i stoga je pogodnija za prikaz mehanickog znacenjapojedinih clanova u diferencijalnim jednadzbama gibanja. Matematicki strozi izvod mozese naci u [?].

1.1 Kinematika

Gibanje kontinuuma opisujemo preslikavanjem x = φ(X, t) koje materijalnoj tocki Xpridruzuje prostornu lokaciju x u kojoj se tocka nalazi u trenutku t. Prelikavanje je utrenutku t = 0 (odnosno bilo kojem odabranom trenutku koji smatramo pocetkom gibanja)definirano na nekom skupu B ⊂ R3 koji nazivamo referentna konfiguracija; slika funkcije φje podskup od R3 (x ∈ R3).

Pretpostavljamo da je funkcija φ glatka injekcija i promatramo je kao familiju presli-kavanja x = φt(X) parametriziranu vremenom. Za svaki fiksni trenutak t preslikavanjeφt = φ(·, t) preslikava referentnu konfiguraciju u polozaj tijela Bt = φt(B) u trenutku t.Preslikavanje φt je bijekcija sa B na Bt za svako t i prirodno je pretpostaviti da za svakumaterijalnu tocku X ∈ B vrijedi

det∇φt(X) > 0. (1.1)

Do tog uvjeta dolazimo iz zahtjeva da za svaki komad tijela P ⊂ B pozitivnog volumena iza svaki trenutak t vrijedi vol(Pt) > 0 (Pt = φt(P)). Naime, zamjenom varijabli u integraludobivamo

vol(Pt) =

∫Pt

dx =

∫P

det∇φt(X) dX > 0.

Sada (??) slijedi zbog proizvoljnosti komada P ⊂ B. Uocimo da smo time dobili i kriterijizohoricnosti gibanja, pri cemu kazemo da je gibanje izohoricko ako cuva volumen, odnosnoako je vol(Pt) = vol(P) za svaki trenutak t i komad P ⊂ B. Iz prethodne zamjene varijabli

1

2

slijedi da je gibanje izohoricko ako i samo ako je za sva vremena t, i za svako X ∈ B, vrijedidet∇φt(X) = 1.

Pored samog gibanja tijela najvise nas zanima brzina i ubrzanje tijela, odnosno svakognjegovog komada i svake materijalne tocke. Definicija brzine v i ubrzanja a je slijedeca:

v(X, t) =∂φ

∂t(X, t), a(X, t) =

∂2φ

∂t2(X, t). (1.2)

Oznacili smo ih s tildom stoga sto nas brzina i akceleracija, kao i ostala polja, ne zanimajukao funkcije materijalne tocke X iz referentne konfiguracije (i vremena t), vec ih zelimoiskazati kao funkcije proizvoljne prostorne tocke x (i vremena t). Razlog je u tome sto jereferentna konfiguracija, barem kada se radi o fluidima, artificijelan pojam koji najcesceodabremo kao polozaj fluida u proizvoljno odabranom trenutku. S druge strane, u teorijielasticnosti moze biti povoljnije raditi s referentnom konfiguracijom koja se prirodno mozeodabrati kao nedeformirani polozaj tijela.

Za (x, t) ∈ Bt × R definiramo1 brzinu v i ubrzanje a zamjenom varijabli:

v(x, t) = v(X, t)|X=φ−1t (x), a(x, t) = a(X, t)|X=φ−1

t (x).

Krace pisano imamo,

v =∂φt∂t φ−1

t , a =∂2φt∂t2 φ−1

t . (1.3)

Ovdje se pokazuje prednost promatranja gibanja kao jednoparametarske familije presli-kavanja (deformacija). Uocimo da je v(x, t) brzina one materijalne cestice koja se je utrenutku t zatekla u polozaju x, odnosno

v(φt(X), t) = v(X, t) =d

dtφt(X).

Oznacimo li trajektoriju materijalne cestice t 7→ φt(X) na jednostavniji nacin, kao t 7→ x(t),onda se definicija brzine v moze zapisati jednostavnije, u obliku

d

dtx(t) = v(x(t), t). (1.4)

Napomena 1. Pored trajektorije materijalne cestice (ili materijalne krivulje) koja je inte-gralno polje brzine v, tj. zadovoljava diferencijalnu jednazbu (??), promatraju se i krivuljekoje zadovoljavaju diferencijalnu jednadzbu

d

dσx(σ) = v(x(σ), t),

u zadanom trenutku t. Takve se krivulje nazivaju strujnice i predstavljaju one tocke konti-nuuma u kojima je brzina brzina gibanja u trenutku t tangencijalna na strujnicu. Ako jegibanje stacionarno, tj. ako je Eulerova brzina v neovisna o vremenu, onda se strujnice imaterijalne krivulje podudaraju. Materijalna tocka se tada giba po strujnici, sto nije istinaza nestacionarno gibanje.

1Skup T = (x, t) : x ∈ Bt, t ∈ R naziva se trajektorija gibanja.

M. Jurak, Radna verzija 2 28. listopada 2014.

3

Izrazimo sada ubrzanje a(x, t) deriviranjem brzine v(x, t). Imamo:

a(x, t) =∂

∂t

(∂φ

∂t(X, t)

)racunato u X = φ−1

t (x)

=∂

∂t(v(φt(X), t)) racunato u X = φ−1

t (x)

= (∇v)(φt(X), t)∂φt(X)

∂t+∂v

∂t(φt(X), t) racunato u X = φ−1

t (x)

= (∇v)(x, t)∂φt(X)

∂t|X=φ−1

t (x) +∂v

∂t(x, t)

= (∇v)(x, t)v(x, t) +∂v

∂t(x, t).

Vidimo, dakle, da je izraz za akceleraciju:

a = (∇v)v +∂v

∂t. (1.5)

Izraz koji smo dobili za akceleraciju nije jednostavna parcijalna derivacija brzine po vre-menu stoga sto, da bismo dobili ubrzanje materijalne tocke, treba derivirati duz trajektorijematerijalne tocke. Slican se izraz dobiva pri deriviranju bilo kojeg polja duz materijanekrivulje (trajektorije materijalne tocke).

Sva polja Φ definirana na tijelu u gibanju (gustoca mase, unutarnja energija, brzinaitd.) imaju dva prikaza. Ona mogu biti definirana na referentnoj konfiguraciji ili trajektorijigibanja. Ako je Φ bilo koje polje definirano na B × R, gdje je B referentna konfiguracijatijela, njemu mozemo pridruziti polje

Φ(x, t) = Φ(φ−1t (x), t),

koje je definirano na trajektoriji gibanja. Obratno, ako je zadano polje Φ mozemo definiratiΦ kao Φ(X, t) = Φ(φt(X), t). Polje Φ nazivamo Lagrangeovim poljem, a polje Φ Eulerovim;svako polje moze stoga imati Eulerovu ili Lagrangeovu reprezentaciju.

U mehanici fluida uglavnom radimo s Eulerovim poljima, no ponekad ih moramo derivi-rati po vremenu duz materijalne krivulje (trajektorije materijalne tocke). Takva derivacijanam daje vremensku promjenu polja u materijalnoj tocki koja se giba. Da bismo dobili tuvelicinu za skalarno polje f treba derivirati

d

dtf(φt(X), t) = (∇f)(φt(X), t) · ∂φt(X)

∂t+∂f

∂t(φt(X), t)

Kada sad tu formulu uzmemo u x = φt(X) (odnosno X = φ−1t (x))dobivamo

d

dtf(φt(X), t)|X=φ−1

t (x) = (∇f)(x, t) · ∂φt(X)

∂t|X=φ−1

t (x) +∂f

∂t(x, t)

= (∇f)(x, t) · v(x, t) +∂f

∂t(x, t).


4

Derivaciju na lijevoj strani nazivamo supstancijalna ili materijalna derivacija Eulerovogpolja i oznacavamo je jednostavno s

D

Dtf(x, t) ili f(x, t).

Imamo,

f = ∇f · v +∂f

∂t. (1.6)

Ako deriviramo vektorsko Eulerovo polje u onda gornji racun daje

u = (∇u)v +∂u

∂t. (1.7)

Tako vidimo iz formule (??) da se ubrzanje dobiva kao materijalna derivacija brzine: a = v.

Zadatak 1. Pokazite da je materijalna derivacija linearan operator koji na skalarnimfunkcijama φ i ψ, te na vektorskim funkcijama u, w zadovoljava:

D

Dt(φψ) = φψ + φψ,

D

Dt(u ·w) = u ·w + u · w.

Pri izvodenju diferencijalnih jednadzbi koje izrazavaju fizikalne zakone cesto trebamoderivirati integral po komadu tijela u gibanju nekog Eulerovo polja Φ:

d

dt

∫Pt

Φ(x, t) dx =d

dt

∫φt(P)

Φ(x, t) dx.

Da bismo izracunali tu derivaciju trebamo zamjenom varijabli eliminirati vrijeme iz domeneintegracije: ∫

Pt

Φ(x, t) dx =

∫P

Φ(φt(X), t) det∇φt(X) dX,

sto daje

d

dt

∫Pt

Φ(x, t) dx =

∫P

d

dtΦ(φt(X), t) det∇φt(X) + Φ(φt(X), t)

d

dtdet∇φt(X)

dX.

Prema formuli za derivaciju determinante (??) imamo

d

dtdet(∇φt(X)) = det(∇φt(X))tr

((∇φt(X))−1 d

dt∇φt(X)

).

Koristeci taj izraz vratit cemo se ponovo na podrucje integracije Pt i dobivamo

d

dt

∫Pt

Φ(x, t) dx

=

∫Pt

d

dtΦ(φt(X), t)|X=φ−1

t (x) + Φ(x, t)tr(

(∇φt(X))−1 d

dt∇φt(X)

)|X=φ−1

t (x)

dx.


5

U tom izrazu znamo da je

d

dtΦ(φt(X), t)|X=φ−1

t (x) = Φ(x, t),

i ostaje nam samo izracunati

tr(

(∇φt(X))−1 d

dt∇φt(X)

)|X=φ−1

t (x) = tr(

(∇φt(X))−1∇v(X, t))|X=φ−1

t (x)

= tr(∇v(X, t)(∇φt(X))−1

)|X=φ−1

t (x)

= tr(∇v(X, t)|X=φ−1

t (x)∇φ−1t (x)

).

S druge strane imamo

∇v(x, t) = ∇xv(φ−1t (x), t) = (∇Xv)(φ−1

t (x), t)∇xφ−1t (x).

Stoga je konacno

tr(

(∇φt(X))−1 d

dt∇φt(X)

)|X=φ−1

t (x) = tr∇v(x, t) = div v(x, t).

Time smo dokazali sljedeci rezultat:

Teorem 1. (Reynoldsov transportni teorem) Neka je Φ skalaro ili vektorsko Eulerovo poljei neka je P podskup referentne konfiguracije B. Tada je

d

dt

∫Pt

φ(x, t) dx =

∫Pt

Φ(x, t) + Φ(x, t) div v(x, t)

dx, (1.8)

gdje je φt gibanje tijela te Pt = φt(P).

Pogledajmo sada izraz koji se nalazi pod integralom na desnoj strani u (??). U slucajuskalarnog polja Φ = f imamo

f + f div v =∂f

∂t+∇f · v + f div v =

∂f

∂t+ div(fv),

gdje smo iskoristili (??). Sada primjenom teorema o divergenciji imamo

d

dt

∫Pt

f dx =

∫Pt

∂f

∂tdx +

∫∂Pt

fv · n dS,

gdje je n jedinicna vanjska normala na granicu ∂Pt. Ukupna promjena polja f u domeni Ptima dva doprinosa: lokalnu promjenu koja dolazi od ∂f/∂t i dio koji dolazi od transportapolja kroz granicu domene, fv · n.

Ako je Φ jednako vektorskom polju u, onda imamo

u + u div v =∂u

∂t+ (∇u)v + u div v =

∂u

∂t+ div(u⊗ v),

gdje smo iskoristili (??). Sada primjenom teorema o divergenciji imamo

d

dt

∫Pt

u dx =

∫Pt

∂u

∂tdx +

∫∂Pt

u(v · n) dS,

sto nas vodi na iste zakljucke o karakteru promjene polja u unutar Pt.


6

1.2 Zakon sacuvanja mase

Na makroskopskoj razini masu tijela zadajemo pomocu gustoce mase koju obicnooznacavamo s ρ. Ako je Ω dio kontinuuma, onda je njegova masa dana izrazom

m(Ω) =

∫Ω

ρ dx.

Vidimo da ρ predstavlja masu po jedinici volumena te ima jedinicu [M/L3]. Opcenito jegustoca mase funkcija prostorne varijable i vremena: ρ = ρ(x, t).

U izvodenju jednadzbi mehanike kontinuuma mozemo se sluziti komadima tijela u giba-nju Pt ili kontrolnim volumenima koje cemo nadalje oznacavati s Ω. Kontrolni volumen jenepomicni dio prostora koji je stalno, ili u nekom vremenskom intervalu, ispunjen kontinu-umom cije gibanje promatramo. Ako kontinuum ne ispunjava u potpunosti cijelo vrijemekontrolni volumen, onda uzimamo konvenciju da kontrolni volumen promatramo samo uonom vremenskom intervalu u kojem je u potpunosti ispunjen kontinuumom. Takva nampretpostavka treba jer cemo po kontrolnom volumenu integrirati razlicite karakteristikekontinuuma.

Zakon sacuvanja mase mozemo izraziti na sljedeci nacin: za svaki kontrolni volumen Ωmora vrijediti:

brzinapromjenemase u Ω

=

brzinaulaska

mase u Ω

−

brzinaizlaska

mase iz Ω

(1.9)

Uocimo prvo da je jednostavno izraziti brzinu promjene mase u kontrolnom volumenu.brzina

promjenemase u Ω

=d

dt

∫Ω

ρ dx,

Da bismo izrazili brzinu ulaska i izlaska mase iz kontrolnog volumena uvedimo sljedeceoznake: Neka je n jedinicna vanjska normala na granicu kontrolnog volumena koju ozna-cavamo s ∂Ω. Granicu ∂Ω mozemo rastaviti na uniju ∂Ω = ∂Ω+∪∂Ω− gdje je ∂Ω+ izlaznidio granice (onaj kroz koji masa napusta volumen), a ∂Ω− ulazni dio granice (onaj krozkoji masa ulazi u volumen). Ta dva skupa mozemo karakterizirati na ovaj nacin:

∂Ω+ = x ∈ ∂Ω: v(x) · n(x) > 0, ∂Ω− = x ∈ ∂Ω: v(x) · n(x) ≤ 0.Naravno, ako se brzina vremenski mijenja razliciti dijelovi granice ce biti ulazni (izlazni)u razlicitim vremenskim trenucima.

Promotrimo li komad ravne plohe orijentirane vektorom normale n i povrsine S u fluidukoji se giba konstantnom brzino v, lako cemo se uvjeriti da je brzina kojom masa prolazikroz plohu jednaka ρv · nS. Generalizacijom tog zakljucka na proizvljnu plohu dobivamo:

brzinaulaska

mase u Ω

= −∫∂Ω−

ρv · n dS,

brzinaizlaska

mase iz Ω

=

∫∂Ω+

ρv · n dS.


7

Ovdje smo morali paziti na predznake koji su odredeni time sto je n vanjska normala narub od Ω i sto obje ove brzine moraju biti pozitivne. Time dobivamo:

brzinaulaska

mase u Ω

−

brzinaizlaska

mase iz Ω

= −∫∂Ω

ρv · n dS.

Jednadzba (??) dobiva oblik

d

dt

∫Ω

ρ dx +

∫∂Ω

ρv · n dS = 0.

Nakon primjene teorema o divergenciji dolazimo do zakljucka∫Ω

(∂ρ

∂t+ div(ρv)

)dx = 0.

Ta jednakost mora vrijediti za svaki kontrolni volumen Ω i stoga zakljucujemo da po-dintegralna funkcija mora biti jednaka nuli u svakoj tocki promatrane domene (teorem olokalizaciji). Time smo dobili diferencijalnu jednadzbu:

∂ρ

∂t+ div(ρv) = 0, (1.10)

koja se naziva jednadzba kontinuiteta i predstavlja diferencijalni zapis zakona sacuvanjamase.

Sada mozemo dati sljedecu interpretaciju clanovima (??): ∂ρ∂t

predstavlja brzinu pro-mjene mase po jedinici volumena; − div(ρv) predstavlja brzinu povecanja mase usljedkonvekcije mase.

Zakon sacuvanja mase jos je jednostavnije izvesti koristenjem Reynoldsovog transport-nog teorema. Ako je P bilo koji komad tijela B, onda zakon sacuvanja mase kaze da senjegova masa ne mijenja tijekom gibanja, odnosno

d

dt

∫Pt

ρ dx = 0.

Ovdje je za razliku od kontrolnog volumena brzina ulaska/izlaska mase u Pt jednaka nuli.Primjenom Reynoldsovog teorema slijedi∫

Pt

(ρ+ ρ div v) dx = 0.

Odavde, zbog proizvoljnosti komada P , slijedi jednadzba kontinuiteta u obliku

ρ+ ρ div v = 0, (1.11)

koja je ekvivalentna s jednadzbom (??).


8

Iz jednadzbe kontinuiteta mozemo izvesti zakljucak da za proizvoljno skalarni ili vek-torsko polje Φ vrijedi:

d

dt

∫Pt

ρΦ dx =

∫Pt

ρΦ dx (1.12)

Zaista, prema Reynoldsovom teoremu imamo

d

dt

∫Pt

ρΦ dx =

∫Pt

(ρΦ + ρΦ + ρΦ div v) dx

=

∫Pt

(ρΦ + (ρ+ ρ div v)Φ) dx =

∫Pt

ρΦ dx,

gdje smo u zadnjem koraku iskoristili jednadzbu kontinuiteta (??).Velicina ν = 1/ρ naziva se specificni volumen (volumen po jedinici mase). Iz jednadzbe

kontinuiteta (??) neposredno deriviranjem dobivamo da je

ν =div v

ρ. (1.13)

Pomocu tog rezultata mozemo vidjeti kako se mijenja volumen komada tijela u vremenu:

d

dtvol(Pt) =

d

dt

∫Pt

ρν dx =

∫Pt

ρν dx =

∫Pt

div v dx.

Taj nam rezultat govori da je div v mjera brzine promjene volumena i time dobivamo novikriterij izohoricnosti gibanja: div v = 0. Ako je div v > 0, onda volumen raste i imamoekspanziju; ako je div v < 0, onda se radi o kompresiji.

Jedna vazna primjena jednadzbe kontinuiteta je zapis izraza tipa ρΦ u konzervativnojformi, odnosno s gustocom mase pod znakom deriviranja. Na primjer, za skalarnu funkcijuΦ = f , koristeci (??), imamo

ρf = ρ∂f

∂t+ ρv · ∇f =

∂

∂t(ρf)− f ∂ρ

∂t+ ρv · ∇f

=∂

∂t(ρf) + f div(ρv) + ρv · ∇f =

∂

∂t(ρf) + div(ρfv).

Time smo dobili da za svako skalarno polje f vrijedi

ρf =∂

∂t(ρf) + div(ρfv). (1.14)

Za vektorsku funkciju Φ = u, koristeci (??), imamo

ρu = ρ∂u

∂t+ ρ(∇u)v =

∂

∂t(ρu)− u

∂ρ

∂t+ ρ(∇u)v

=∂

∂t(ρu) + u div(ρv) + ρ(∇u)v =

∂

∂t(ρu) + div(ρu⊗ v).

Time smo dobili da za svako vektorsko polje u vrijedi

ρu =∂

∂t(ρu) + div(ρu⊗ v). (1.15)


9

1.3 Zakon sacuvanja impulsa

Zakon sacuvanja impulsa predstavlja generalizaciju drugog Newtonovog aksima na me-haniku kontinuuma. Zakon u mehanici materijalne tocke kaze da je brzina promjene im-pulsa mv jednaka sili koja djeluje na tijelo:

d

dt(mv) = F,

u oznakama tipicnim za mehaniku materijalne tocke.U mehanici kontinuuma impuls je zadan gustocom impulsa ρv. Impuls nekog komada

tijela Ω je jednak ∫Ω

ρv dx.

Nadalje, prilikom racuna promjene kolicine impulsa u nekom komadu Ω duzni smo uzeti uobzir da se impuls, kao i masa i energija, transportira s kontinuumom koji se giba. Stogaimamo ovu generalizaciju drugog Newtonovog zakona:

brzinapovecanja

impulsa u Ω

=

brzinaulaska

impulsa u Ω

−

brzinaizlaska

impulsa iz Ω

+

djelovanje

vanjske silena Ω

(1.16)

U ovoj jednadzbi jednostavno je odrediti samo prvi clan:brzina

povecanjaimpulsa u Ω

=d

dt

∫Ω

ρv dx.

Impuls se transportira pomocu dva mehanizma: konvektivnim transportom i molekular-nim transportom. Konvektivni transport je posljedica makroskopske brzine kontinuuma,dok molekularni transport dolazi od interakcija na molekularnoj razini i u mehanici konti-nuuma se modelira tzv. kontaknom silom.

Vidjeli smo kod zakona sacuvanja mase da se brzina transporta mase izrazava integra-lom

−∫∂Ω−

ρv · n dS−∫∂Ω+

ρv · n dS = −∫∂Ω

ρv · n dS.

To zakljucivanje moze se prenijeti na bilo koju velicinu zadanu svojom volumnom gustocomE koja se transportira s kontinuumom: Brzina transporta velicine E kroz volumen Ω je

−∫∂Ω

E(v · n) dS (1.17)

Napomena 2. U diferencijalnoj formulaciji integralu (??) odgovara clan − div(Ev) akoje E skalarno polje, ili clan − div(E⊗ v) ako je E vektorsko polje.


10

Primjenom na gustocu impulsa dobivamo:brzina ulaska

impulsa konvektivnimtransportom

−

brzina izlaskaimpulsa konvektivnim

transportom

= −∫∂Ω

ρv(v · n) dS.

Molekularni transport proizlazi iz medudjelovanja molekula koje dovodi do prijenosaimpulsa s jednog mjesta na drugo. Ako sa φ oznacimo brzinu izlaska impulsa kroz jedinicnupovrsinu okomitu na jedinicni vektor vanjske normale n na ∂Ω, onda je

brzina ulaskaimpulsa molekularnim

transportom

−

brzina izlaskaimpulsa molekularnim

transportom

= −∫∂Ω

φ dS.

Velicina −φ ima dimenziju sile po jedinici povrsine i naziva se kontaktna sila. U mehanicikontinuuma se pokazuje da kontaktna sila nuzno linearno ovisi o vektoru jedinicne normalen (Cauchyjev teorem) te je stoga oblika

−φ = Tn, (1.18)

pri cemu tenzor T nazivamo tenzor naprezanja. Prema odabranom predznaku kontaktnasila −φ predstavlja silu kojom materijal izvan Ω djeluje na materijal unutar Ω.

Oblik tenzora naprezanja i njegova veza s kinematickim velicinama spada u konstitu-tivne zakone kojim se opisuju svojstva promatranog materijala. Konstitutivni su zakonipo svojoj prirodi uvijek aproksimativnog karaktera.

Tenzor naprezanja u (Newtonovom) fluidu uzima se u obliku

T = −pI + T. (1.19)

Prvi dio −pI dolazi od kaoticnog gibanja molekula i predstavlja silu kojom fluid djelujeu svim smjerovima: tlak. Drugi dio ovisi o gradijentu brzine gibanja i predstavlja efektkohezionih sila medu molekulama. Opcenito se uzima u obliku

T = µ(∇v + (∇v)τ ) + (κ− 2

3µ) div(v)I. (1.20)

Koeficijenti µ i κ se nazivaju dinamicka i dilatacijska viskoznost i predstavljaju pozitivnevelicine (µ ≥ 0 i κ ≥ 0).

Napomena 3. Ukupni tok impulsa jednak je

φ + ρv(v · n) = −pn + Tn + ρv(v · n).

Oznacimo li silu po jedinici mase koja djeluje na fluid (volumna sila) s f , onda je ukupnasila koja djeluje na kontrolni volumen jednaka

djelovanjevanjske sile

na fluid

=

∫Ω

ρf dx.


11

Sada jednakost (??) mozemo zapisati u obliku

d

dt

∫Ω

ρv dx = −∫∂Ω

ρv(v · n) dS−∫∂Ω

φ dS +

∫Ω

ρf dx,

odnosno koristeci (??), kao

d

dt

∫Ω

ρv dx = −∫∂Ω

ρv(v · n) dS +

∫∂Ω

Tn dS +

∫Ω

ρf dx.

Pomocu teorema o divergenciji, jednakost mozemo reformulirati na sljedeci nacin:∫Ω

∂

∂t(ρv) dx +

∫Ω

div(ρv ⊗ v − T) dx =

∫Ω

ρf dx.

Pomocu teorema o lokalizaciji dolazimo do diferencijalne jednadzbe gibanja fluida:

∂

∂t(ρv) + div(ρv ⊗ v − T) = ρf . (1.21)

Uvazimo li dekompoziciju tenzora naprezanja (??) ovu jednadzbu mozemo zapisati uobliku:

∂

∂t(ρv) + div(ρv ⊗ v) +∇p = div(T) + ρf , (1.22)

pri cemu smo iskoristili (??).

Napomena 4. U mehanici materijalne tocke iz zakona sacuvanja impulsa slijedi zakonsacuvanja momenta impulsa:

d

dt(r×mv) = r× F,

gdje je r radij-vektor polozaja materijalne tocke, a F sila koja na nju djeluje. U meha-nici kontinuuma zakon sacuvanja momenta impulsa nije u potpunosti posljedica zakonasacuvanja impulsa. Kada vrijedi zakon sacuvanja impulsa, zakon sacuvanja momenta im-pulsa ekvivalentan je simetriji tenzora naprezanja T (vidi [?]). Za Newtonov fluid simetrijaje evidentno zadovoljena.

Zakon sacuvanja impulsa mozemo postaviti i za komad tijela Pt. Pri tome nestaje dioimpulsa koji se prenosi konvektivnim transportom buduci da nema konvekcije kroz ∂Pt.Stoga dobivamo

d

dt

∫Pt

ρv dx =

∫∂Pt

Tn dS +

∫Pt

ρf dx.

Sada koristeci (??) dobivamo∫Pt

ρv dx =

∫∂Pt

Tn dS +

∫Pt

ρf dx,


12

sto vodi na jednadzbu gibanja:

ρv = divT + ρf . (1.23)

Ova je jednadzba ekvivalentna s (??) sto se vidi tako da se zapise u obliku

ρ(∂v

∂t+ (∇v)v) = divT + ρf ,

i primijeni se formula iz sljedeceg zadatka.

Zadatak 2. Koristeci jednadzbu kontinuiteta dokazite da vrijedi

∂

∂t(ρv) + div(ρv ⊗ v) = ρ(

∂v

∂t+ (∇v)v) = ρv.

1.4 Zakon promjene mehanicke energije

Kao i u mehanici materijalne tocke iz zakona sacuvanja impulsa (drugi Newtonov zakon)slijedi zakon sacuvanja energije. U mehanici kontinuuma pored kineticke i potencijalneenergije moramo uzeti u obzir i unutarnju energiju tijela koja dolazi od titranja molekula,a mjeri se temperaturom tijela. Buduci da zakon sacuvanja impulsa ne ukljucuje unutarnjuenergiju tijela, iz njega mozemo izvesti samo zakon promjene mehanicke energije tijela.

Mnozeci (??) brzinom v dobivamo

∂

∂t(ρv) · v + div(ρv ⊗ v) · v = div(T) · v + ρf · v.

Uocimo da je primjenom jednadzbe kontinuiteta

∂

∂t(ρv) · v =

1

2

∂

∂t(ρ|v|2) +

1

2|v|2∂ρ

∂t

=1

2

∂

∂t(ρ|v|2)− 1

2|v|2 div(ρv).

Pomoci (??) te (??) sto daje 2(∇v)τv = ∇(|v|2) dobivamo

div(ρv ⊗ v) · v = div(ρv)|v|2 + ρv · ∇(|v|22

).

Zbrajanjem slijedi

∂

∂t(ρv) · v + div(ρv ⊗ v) · v =

1

2

∂

∂t(ρ|v|2) + div(ρv)

|v|22

+ ρv · ∇(|v|22

)

=1

2

∂

∂t(ρ|v|2) + div(ρ

|v|22

v).


13

Napomena 5. Taj je racun jednostavniji s materijalnom derivacijom. Buduci da materi-jalna derivacija ima sva svojstva obicne derivacije imamo, koristeci (??), dobivamo:

ρv · v = ρd

dt

( |v|22

)=

∂

∂t

(ρ|v|22

)+ div(ρ

|v|22

v).

Koristeci sada (??) i simetriju tenzora naprezanja mozemo pisati

1

2

∂


|v|22

v)− div(Tv) = −T : ∇v + ρf · v, (1.24)

ili, ako uvazimo dekompoziciju T = −pI + T, slijedi

1

2

∂


|v|22

v) + div(pv)− div(Tv)

= p div v − T : ∇v + ρf · v. (1.25)

Konacno, ako je vanjska sila potencijalna, f = −∇η, η = η(x) (potencijal ne ovisi ovremenu) onda primjenom jednadzbe kontinuiteta dobivamo

ρf · v = − ∂

∂t(ρη)− div(ρηv).

Time dolazimo do jednadzbe:

∂

∂t(ρ(|v|22

+ η)) + div(ρ(|v|22

+ η)v) + div(pv)− div(Tv) = p div v − T : ∇v. (1.26)

Ovdje se pojavljuje gustoca ukupne mehanicke energije em = |v|2/2+η. Korisno je zapisati(??) pomocu materijalne derivacije u sljedecem obliku:

ρem + div(pv − Tv) = p div v − T : ∇v. (1.27)

Da bismo interpretirali clanove ove jednadzbe prointegrirajmo je po materijalnom volu-menu Pt, u trenutku t. Dobivamo

d

dt

∫Pt

ρem dx =

∫∂Pt

(−pI + T)n · v dS +

∫Pt

p div v dx−∫Pt

T : ∇v dx.

Prvi clan na desnoj strani je upravo brzina kojom okolina vrsi rad na komadu Pt putemkontaktne sile. Sav taj rad ne prelazi u mehanicku energiju zbog prisutnosti dva dodatnaclana nadesnoj strani. Uocimo da clan koji sadrzi p div v moze biti pozitivan i negativan(p > 0, div v mijenja predznak), tj. moze dodavati ukupnoj mehanickoj energiji (div v > 0,ekspanzija) ili od nje oduzimati (div v < 0, kompresija). Kako ukupna energija tijelaostaje konstantna (zakon sacuvanja energije) to se povecanje odnosno smanjenje mehanickeenergije vrsi na racun toplinske energije tijela, odnosno takozvane unutarnje energije kojuuvodimo u sljedecoj sekciji.


14

Clan koji sadrzi −T : ∇v, po zakonima termodinamike mora uvijek biti negativan jeron predstavlja brzinu vrsenja rada sile trenja koje umanjuju mehanicku energiju, konver-tirajuci je u toplinsku energiju. Na primjer, kod Newtonovog fluida imamo:

T : ∇v = µ(∇v + (∇v)τ ) : ∇v + (κ− 2

3µ) div(v)I : ∇v

=1

2µ(∇v + (∇v)τ ) : (∇v + (∇v)τ ) + (κ− 2

3µ)(div(v))2

=1

2µ|∇v + (∇v)τ − 2

3div(v)I|2 + κ(div(v))2, (1.28)

sto je nenegativno uz uvjet µ ≥ 0, κ ≥ 0.Uocimo jos da ce mehanicka energija biti sacuvana – odnosno sav rad kontaktne i

vanjske sile ce biti transformiran u kineticku i potencijalnu energiju – samo onda ako jediv v = 0 i T : ∇v = 0. U slucaju Newtonovog fluida to znaci da viskoznost mora bitizanemarena i da gibanje mora biti izohoricko.

Interpretaciju clanova sumiramo ovdje:

• ∂∂t

(ρem) = brzina povecanja ukupne mehanicke energije po jedinici volumena;

• − div(ρemv) = brzina dodavanja ukupne mehanicke energije konvektivnim transpor-tom po jedinici volumena;

• − div(pv) = brzina kojom okolina vrsi rad nad fluidom kroz tlak;

• div(Tv) = brzina kojom viskozne sile vrse rad nad fluidom;

• −p div v = brzina reverzibilne konverzije kineticke energije u unutarnju energiju kom-presijom;

• T : ∇v = brzina ireverzibilne konverzije kineticke energije u unutarnju energijuviskoznom disipacijom.

1.5 Zakon sacuvanja energije

Ukupna energija tijela je zbroj kineticke, potencijalne i unutarnje energije tijela. Podunutarnjom energijom (ili toplinskom energijom) razumijevamo makroskopsku velicinu kojareprezentira kineticku energiju molekula tijela racunatu u koordinatnom sustavu koji segiba makroskopskom brzinom tijela v. Kako makroskopska brzina v predstavlja srednjuvrijednost brzina molekula to znaci da unutarnjoj energiji doprinose oscilacije molekulaoko te srednje vrijednosti.

Unutarnja energija je ekstenzivna velicina sto znaci da je proporcionalna volumenusustava odnosno da se moze iskazati volumnom ili masenom gustocom. Pored unutarnjeenergije, volumen, entropija, masa itd. su takoder ekstenzivne velicine. Intezivne velicine,s druge strane, ne ovise o velicini sustava. To su na primjer, tlak, temperatura, brzina,


15

koncentracija itd. Unutarnju energiju oznacavamo s U , a njenu masenu gustocu s u. Takoje unutarnja energija komada tijela P u trenutku t jednaka

U(P) =

∫Pt

ρ(x, t)u(x, t) dx.

Isto tako definiramo unutarnju energiju nekog kontrolnog volumena Ω koji se nalazi utrajektoriji gibanja u trenutku t kao

U(Ω) =

∫Ω

ρ(x, t)u(x, t) dx.

U sljedecoj formulaciji zakona sacuvanja energije ukupnom energijom cemo zvati sumuunutarnje i kineticke energije, a rad vanjskih sila cemo ostaviti na desnoj strani jednadzbekako bismo dozvolili i nekonzervativne sile. Kao i do sada uzimamo u obzir transportenergije te rad kontakne i vanjske sile. Sada jos moramo uzeti u obzir i transport toplinskeenergije kondukcijom koja je molekularni mehanizam i stoga vodi na novi clan, kontaktnitoplinski fluks. Imamo:

brzina

povecanjaukupneenergije

=

brzina povecanjaukupne energijekonvektivnimtransportom

+

brzina povecanja

unutarnje energijemolekularnimtransportom

+

brzina vrsenja

rada na sustavumolekularnimmehanizmima

+

brzina vrsenja

rada na sustavuvanjskimsilama

. (1.29)

Ukupna energija kontrolnog volumena je∫Ω

ρ(1

2|v|2 + u) dx,

gdje smo s u oznacili gustocu unutarnje energije (po jedinici mase) odnosno specificnuunutarnju energiju. Transport ukupne energije racunamo kako je objasnjeno ranije:

brzina povecanjaukupne energijekonvektivnimtransportom

= −∫∂Ω

ρ(1

2|v|2 + u)v · n dS.

Molekularni transport toplinske energije modeliramo na ovaj nacin:brzina povecanja

unutarnje energijemolekularnimtransportom

= −∫∂Ω

q · n dS


16

gdje je q kontaktno polje toplinskog fluksa. Toplinski fluks je nova velicina koju moramouvesti, slicno kao sto smo uveli kontaktno polje sile, kako bi opisali molekularni transportunutarnje energije. Ono modelira prijenos toplinske energije s tijela vise temperature natijelo nize temperature.

Kao i ranije brzina vrsenja

rada na sustavumolekularnimmehanizmima

= −∫∂Ω

φ · v dS =

∫∂Ω

Tn · v dS.

U sumu vanjskih sila mozemo dodati novi clan:brzina vrsenja

rada na sustavuvanjskimsilama

=

∫Ω

(ρf · v + r) dx.

Ovdje je r (volumna) gustoca volumnog toplinskog fluksa. Ona predstavlja kolicinu energijekoja se u jedinici vremena prenosi jedinici volumena tijela.

Time dobivamo zakon sacuvanja energije u sljedecoj formi:

d

dt

∫Ω

ρ(1

2|v|2 + u) dx +

∫∂Ω

q · n dS

+

∫∂Ω

ρ(1

2|v|2 + u)v · n dS−

∫∂Ω

Tn · v dS =

∫Ω

(ρf · v + r) dx.

Lokalizacijom dolazimo do jednadzbe za energiju:

∂

∂t(1

2ρ|v|2 + ρu) + div

(ρ(

1

2|v|2 + u)v

)+ div(q)− div(Tv) = ρf · v + r, (1.30)

odnosno, uzimajuci u obzir rastav T = −pI + T, zapisujemo

∂

∂t(1

2ρ|v|2 + ρu) + div

(ρ(

1

2|v|2 + u)v

)+ div(q) + div(pv) (1.31)

= div(Tv) + ρf · v + r.

Zakon promjene unutarnje energije dobivamo sada oduzimanjem zakona sacuvanja me-hanicke energije (??), sto daje

∂

∂t(ρu) + div (ρuv) + div(q) = −p div v + T : ∇v + r. (1.32)

Vidimo da su disipativni clanovi ponovo na desnoj strani, kao i u jednadzbi (??), ali sasuprotnim predznakom. Zapisimo tu jednadzbu s materijalnom derivacijom

ρu+ div(q) = −p div v + T : ∇v + r, (1.33)


17

te iskoristimo (??) i uvedimo kolicinu topline po jedinici mase q definiranu sa

ρq = − div(q).

Sada (??) prelazi u

u = q − pν + νT : ∇v + νr.

U klasicnoj termodinamici prvi zakon termodinamike kaze da je

dU = dQ− pdV

gdje je dQ nepotpuni diferencijal kolicine topline dovedene tijelu, a −pdV predstavljareverzibilni rad vanjskih sila koji ukljucuje samo promjenu volumena. Kada nismo u staci-onarnom stanju mozemo zakone termodinamike primijeniti na materijalnu tocku u gibanjuuz pretpostavku da je brzina gibanja mnogo manja od brzine kojom se lokalno uspostavljatermodinamicka ravnoteza u samoj tocki. Tada je prirodno diferencijale zamijeniti mate-rijalnom derivacijom (derivacijom duz trajektorije materijalne cestice). U primjeni prvogzakona termodinamike na materijalnu tocku u gibanju mi dakle zamijenjujemo volumensa specificnim volumenom ν i uzimamo da je dQ jednako q + νT : ∇v + νr. Taj je clannepotpuni diferencijal zbog prisutnosti clanova νT : ∇v + νr.

Prvi zakon termodinamike kaze da je unutarnja energija funkcija stanja, sto znaci da semoze izraziti kao funkcija od tlaka p, volumena V i temperature θ. Te se zavisnosti mogudobiti kombiniranjem prvog i drugog zakona termodinamike. Uz pretpostavku lokalnogravnoteznog stanja (u materijalnoj tocki) te termodinamicke relacije mozemo primijenitina nasu situaciju. Buduci da tri varijable p, V i θ nisu nezavisne vec su vezane jednadzbomstanja, unutarnja energija se moze zapisati kao funkcija dviju od njih, na primjer V i θ. Tese relacije mogu prijenjeti i na specificnu unutarnju energiju u koja tada postaje funkcijaod ν i θ, odnosno, zbog ν = 1/ρ, funkcija od ρ i θ: u = u(ρ, θ). Pored toga, jednadzbastanja nam daje i zavisnost ρ = ρ(p, θ).

Za toplinski fluks obicno se koristi Fourierov zakon:

q = −k∇θ, (1.34)

gdje je koeficijent toplinske vodljivosti k > 0 jer toplina prijelazi s mjesta vise na mjestonize temperature.

Kao najjednostavniji promjer konstitutivnih pretpostavki uzmimo primjer idealnog plinau kojem je

u = u(θ) = cvθ, ρ = Cp

θ.

U tom slucaju jednadzba (??) postaje

ρcv(∂θ

∂t+ v · ∇θ)− k∆θ = −p div v + T · ∇v + r,


18

gdje su koeficijenti cv i k uzeti kao konstante. Ako zanemarimo viskoznost (T = 0) ikompresibilnost (div v = 0) dolazimo do jednadzbe za temperaturu

ρcv(∂θ

∂t+ v · ∇θ)− k∆θ = r,

koja je vezana s ostatkom sustava samo kroz brzinu v.

1.6 Zakon entropije

Prema principima termodinamike moze se uvesti nova makroskopska funkcija stanja Skoja se naziva entropija sustava i koja ima sljedece svojstvo: ukupna varijacija entropijesustava dS moze se podijeliti u dva dijela,

dS = deS + diS,

gdje je deS entropija koja dolazi od interakcije s okolinom sustava, dok je diS entropijaproizvedena unutar sustava. Drugi zakon termodinamike postulira da je diS jednako nulikod reverzibilnih transformacija sustava i strogo pozitivno kod svih drugih (ireverzibilnih):

diS ≥ 0.

Entropija sustava S je ekstenzivna varijabla te se moze izraziti preko svoje gustoce pojedinici mase η (specificne entropje):

S =

∫Ω

ρη dx.

Promjena etropije uslijed interakcije s okolinom zadaje se entropijskim fluksom Js,tot,

deS

dt= −

∫∂Ω

Js,tot · n dS,

dok je entropija proizvedena unutar sustava prikazana gustocom po volumenu, odnosnoprodukcijom entropije σ,

diS

dt=

∫Ω

σ dx.

Kako je

dS

dt=deS

dt+diS

dt,

mozemo pisati

d

dt

∫Ω

ρη dx = −∫∂Ω

Js,tot · n dS +

∫Ω

σ dx.


19

odnosno

∂(ρη)

∂t+ div Js,tot = σ, σ ≥ 0. (1.35)

Uvodenjem entropijskog fluksa Js = Js,tot − ρηv mozemo pisati

ρη + div Js = σ, σ ≥ 0. (1.36)

Nas je zadatak odrediti oblik entropijskog fluksa Js i produkcije entropije σ. S tim ciljemuvodimo pretpostavku da se na materijalnu tocku u kontinuumu u gibanju mogu primijenitizakljucci klasicne termodinamike. Pretpostavlja se da je gustoca entropije funkcija drugihvarijabli sustava, preciznije

η = η(u, ν),

gdje je u gustoca unutarnje energije, a ν specificni volumen. Nadalje, pretpostavlja se daje proces transporta entropije koji se lokalno desava u promatranoj tocki reverzibilan (nizravnoteznih stanja) tako da vrijedi

θdη = du+ pdν. (1.37)

Primjena hipoteze lokalne termodinamicke ravnoteze na fluid u gibanju izvodi se tako dase diferencijali zamjene supstancijalnim derivacijama. Time dobivamo

θDη

Dt=Du

Dt+ p

Dν

Dt. (1.38)

Koristeci fromule (??) za Dν/Dt i (??) za Du/Dt dobivamo

ρη = −div(q)

θ+

1

θT : ∇v +

1

θr. (1.39)

Da bismo identificirali Js i σ zapisimo (??) u obliku

ρη = − div

(1

θq

)− 1

θ2q · ∇θ +

1

θT : ∇v +

1

θr. (1.40)

Odavdje zakljucujemo, usporedivanjem s (??), da je

Js =1

θq (1.41)

σ = − 1

θ2q · ∇θ +

1

θT : ∇v +

1

θr. (1.42)

Uzimajuci u obzir Fourierov zakon, vidimo da se entropija transportira konvekcijom itermickom kondukcijom:

Js,tot = ρηv +1

θq = ρηv − k

θ∇θ.

Nadalje, σ ≥ 0 ce biti zadovoljeno kada je

−q · ∇θ ≥ 0, T : ∇v ≥ 0 r ≥ 0.

Prvi uvjet se svodi na k ≥ 0 dok je drugi uvjet za Newtonov fluid (??) zadovoljen, prema(??), ako je µ ≥ 0 i κ ≥ 0.


20

1.7 Navier-Stokesove jednadzbe

Pogledajmo jednadzbe koje smo do sada uveli:

∂ρ

∂t+ div(ρv) = 0,

∂

∂t(ρv) + div(ρv ⊗ v) +∇p = div(T) + ρf ,

∂

∂t(ρu) + div (ρuv) + div(q) = −p div v + T : ∇v + r

T = µ(∇v + (∇v)τ ) + (κ− 2

3µ) div(v)I,

q = −k∇θ, ρ = ρ(p, θ), u = u(ρ, θ).

Eliminacijom velicina q i T uz pretpostavku konstantnosti viskoznosti µ i κ dobivamo:

∂ρ

∂t+ div(ρv) = 0, (1.43)

∂

∂t(ρv) + div(ρv ⊗ v) +∇p = µ∆v + (κ+

1

3µ)∇(div v) + ρf , (1.44)

∂

∂t(ρu) + div (ρuv)− div(k∇θ) = −p div v + κ(div(v))2 (1.45)

+1

2µ|∇v + (∇v)τ − 2

3div(v)I|2 + r

ρ = ρ(p, θ), u = u(ρ, θ). (1.46)

U sustavu (??)–(??) imamo 7 nepoznanica (u trodimenzionalnom prostoru): v, ρ, p, u, θ.Za njih imamo 5 diferencijalnih jednadzbi (??)–(??) i dvije dvije konstitutivne jednadzbe(??) koji ih vezu.

U slucaju kada usprkos disipaciji mehanicke energije temperatura i unutarnja ener-gija kontinuuma ostaju konstantne, jednazba za unutarnju energiju se moze zanemariti tedobivamo jednostavniji sustav Navier-Stokesovih jednadzbi:

∂ρ

∂t+ div(ρv) = 0, (1.47)

∂

∂t(ρv) + div(ρv ⊗ v) +∇p = µ∆v + (κ+

1

3µ)∇(div v) + ρf , (1.48)

ρ = ρ(p), (1.49)

u kojima je broj jednadzbi ponovo jednak broju nepoznanica. Zbog konstantnosti tempe-rature gustoca mase je funkcija samo od tlaka.

Daljnje pojednostavljenje sastoji se u tome da se pretpostavi da je fluid nestlaciv stoznaci da mu je gustoca mase neovisna o tlaku. Takva je pretpostavka realisticna za mnogetekucine cija je stlacivost vrlo mala (narocito za vodu), ukoliko tlak pod kojim se fluidnalazi nema ekstremnih varijacija. S druge strane, takva pretpostavka nije primijenjiva


21

na plinove. Time dolazimo do Navier-Stokesovih jednadzbi koje opisuju izotermno gibanjenestlacivog Newtonovog fluida:

div v = 0, (1.50)

∂

∂t(ρv) + div(ρv ⊗ v) +∇p = µ∆v + ρf . (1.51)

Ukoliko je gustoca mase ρ konstantna i zadana sustav (??), (??) predstavlja sustav odcetiri diferencijalne jednadzbe za cetiri nepoznanice: v i p.

S druge strane, nestlacivost ne znaci da je gustoca fluida nuzno konstantna, buduci damoze postojati neka inicijalna nehomogenost gustoce mase koja se potom transportira stokom. Tada jednadzbama (??), (??) treba dodati jednadzbu za ρ,

∂ρ

∂t+∇ρ · v = 0,

koja postaje peta nepoznanica sustava.

Napomena 6. Jednadzba (??) je zapisana u “konzervativnoj formi” koja je dobra za, npr.numericku diskretizaciju metodom konacnih volumena. Cesce se koristi zapis

ρ(∂v

∂t+ (∇v)v) +∇p = µ∆v + ρf . (1.52)

Rubni uvjeti koji se postavljaju uz Navier-Stokesove jednadzbe su sljedeci:

• Na krutoj stijenci: v = 0. Zbog viskoznosti dolazi do ljepljenja fluida za stijenku.Ako se stijenka giba, fluid ima brzinu stijenke. Ako je fluid neviskozan, onda trebauzeti slabiji rubni uvjet v · n = 0, gdje je n normala na krutu stijenku.

• Na ulazni/izlaznoj granici se zadaje brzina: v= zadano. Pri tome na ulaznoj granicitreba jos zadati i gustocu ulaznog fluida (ili njegov tlak).

Rezultati egzistencije, jedinstvenosti i korektnosti razlicitih zadaca za Navier-Stokesovsustav mogu se naci u [?].

Napomena 7. Neka je fluid u ravnotezi u polju sile teze. Tada je v = 0 u citavoj domenifluida. Kako je f = g imamo jednadzbu ∇p = ρg. Pretpostavimo prvo da je gustoca fluidakonstantna. Tada dobivamo rjesenje p = ρgz + const, gdje smo os z orijentirali vertikalnoprema gore. To je izraz za hidrostatski tlak. Mozemo ga pisati u obliku

p

ρg+ z = const,

u kome sve velicine imaju dimenziju duljine. Pri tome se u hidrologiji p/ρg naziva tlacnavisina (eng. pressure head), a izraz p/ρg + z piezometarska razina (eng. piezometric head).U mirovanju je, dakle, piezometarska razina konstantna u citavoj domeni fluida.


22

U slucaju barotropnog fluida, kod koga je ρ = ρ(p), treba definirati tlacnu visinu kao

H(p) =

∫1

gρ(p)dp,

a piezometarsku razinu kao H(p)+z. Zakljucak je isti: piezometarska razina je konstantnau citavoj domeni fluida.

Zadatak 3. Promatramo stacionarni tok Newtonovog fluida s konstantnom gustocom ρ.Neka je brzina fluida dovoljno mala da mozemo zanemariti clan (∇v)v. Pokazite da jetada tlak harmonijska funkcija, tj. zadovoljava ∆p = 0.

Zadatak 4. Promatramo stacionarni tok neviskoznog Newtonovog fluida (µ = 0) s kons-tantnom gustocom ρ. Pokazite da je tada zadovoljena Bernoullijeva jednadzba

gz +p

ρ+|v|22

= const.

Os z ovdje gleda vertikalno prema gore. Kako jednadzba glasi ako je ρ = ρ(p)?

Zadatak 5. Odredite ravninski tok nestlacivog Newtonovog fluida u horizontalnoj pruziR × (0, a). Pretpostaviti da je brzina oblika v = v1(x2)e1 i da je zadano Q =

∫ a0v1(y)dy.

Rj.

v1(x2) =6Q

a3(a− x2)x2, p = −12µ

Q

a3x1 + const.

Rijesite isti zadatak ako je pruga nagnuta pod kutem α prema horizontali.

Zadatak 6. (Hagen-Poiseuilleov tok) Odredite ravninski tok nestlacivog Newtonovog flu-ida u ravnoj cjevcici kruznog presjeka radijusa R, u polju sile teze, pri cemu os cjevcice,oznacena sa z, gleda u smjeru ubrzanja sile teze g. Izrazite brzinu i srednju brzinu popresjeku cjevcice kao funkcije gradijenta piezometarske visine. Uputa: brzinu traziti ucilindricnom sustavu u obliku v = vz(r)k. Rj.

vz(r) = − 1

4µ

∂φ

∂z(R2 − r2), 〈vz〉 = −R

2

8µ

∂h

∂z, h = p− ρgz.

Tlak je linearna funkcija od z.

Zadatak 7. U prethodnom zadatku odredite silu po jedinici duljine cjevi kojom cijev djelujena fluid. Rj.

F = πR2∂h

∂z.

Smjer je suprotan od smjera gibanja.


23

1.8 Povrsinska napetost i Young-Laplaceov zakon

Kada se dva dovoljno razlicita fluida (kao npr. voda i zrak) nalaze u dodiru na provrsinikoja ih razdvaja dolazi do pojave povrsinske napetosti. Razlog za novu pojavu vezanuuz plohu razvajanja fluida nalazi se u razlicitim stanjima u kojima se nalaze molekuleunutar fluida i na njegovoj povrsini. Rezultanta sila medumolekularnog djelovanja namolekulu u unutrasnjosti fluida jednaka je nuli, buduci da je svaka molekula ravnomjernookruzena istovrsnim molekulama. Na povrsini fluida ta je ravnoteza narusena i te dolazi dodvije pojave: 1) ploha razdvajanja nije ravna vec dobiva odredenu zakrivljenost; 2) ploharazdvajanja djeluje kao napeta membrana.

Posljedice povrsinske napetosti su brojne (kao npr. sposobnost nekih kukaca da hodajupo vodi) i imaju veliku vaznost u brojnim fizikalnim pojavama, a posebno u gibanju fluidakroz poroznu sredinu.

Povrsinska napetost je rezultat molekularnog djelovanja i stoga ju na makroskopskojrazini modeliramo kontaktnom silom. Buduci da kontaktna sila djeluje izmedu molekulana povrsini razdvajanja fluida, povrsinska kontaktna sila se definira kao sila po jediniciduljine kojom materijal je jedne strane zamisljene krivulje na plohi razdvajanja djeluje namaterijal s druge strane te krivulje. Kao i kod kontakne sile koja djeluje unutar tijela (kaosila po jedinici povrsine) zakljucujemo da kontakta sila na plohi razdvajanja ovisi samo onormali na krivulju na kojoj je promatramo.

Oznacimo sa S plohu razdvajanja dvaju fluida (fluidi 1 i 2) i n normalu na tu plohukoja gleda iz fluida 1 u fluid 2. Neka je γ ⊂ S bilo koja zatvorena krivulja na plohi Skoja omeduje dio plohe Sγ ⊂ S. Kontaktna sila na krivulji γ je oblika σnγ,S , gdje je nγ,S(vanjska) normala na krivulju γ koja lezi u tangencijalnoj ravnini plohe S; σ je konstantakoja predstavlja povrsinsku napetost i mjeri se u sili po jedinici duljine. Ukupna je silapovrsinske napetosti na komad plohe Sγ ⊂ S jednaka∫

γ

σnγ,S ds = σ

∫γ

nγ,S ds.

Evidentno je da rezultantna sila povrsinskog naprezanja ima komponentu normalnu naplohu razdvajanja ukoliko ona nije ravna. Kako u smjeru normale na na plohu separacijedjeluju tlakovi fluida dolazimo do zakljucka da tlakovi fluida u dodiru, u ravnotezi morajubiti ekvilibrirani sa silom povrsinske napetosti. To ima sljedeci posljedicu:

• Ako je ploha razdvajanja dvaju fluida zakrivljena, onda tlakovi u fluidima, s dvijestrane plohe razdvajanja nisu jednaki. Razlika tih tlakova uravnotezuje silu povrsinskenapetosti na plohi razdvajanja. Drugim rijecima, tlak je diskontinuiran pri prijelazuiz jednog fluida u drugi.

Razlika tlakova u fluidima u kontaktu ovisit ce o zakrivljenosti separacijske plohe. Izvestcemo tu zavisnost u pojednostavljenom slucaju kada je ploha razdvajanja sfera.

Odaberimo proizvoljnu tocku na P ∈ S na sferi S koja razdvaja fluide 1 i 2, i pret-postavimo da je radijus sfere jednak R. Koordinatnu os z stavimo s ishodistem u centru


24

osz

θ

π2 − θ

r

P

R

Fluid 1, p1

Fluid 2, p2~nγ,S

~n(P )

Slika 1.1: Pojednostavljeni dolaz Laplace-Youngova zakona.

sfere, tako da prolazi kroz tocku P (vidi Sliku ??). Odaberimo na sferi S kruznicu γr ⊂ S,radijusa r, koja lezi u ravnini okomitoj na os z, tj. na spojnicu centra sfere i tocke P , iima centar na osi z. Ta kruznica omeduje sfernu kapicu centriranu u tocki P koju cemooznaciti sa Sr.

Neka je n normala na sferu. Tada se ravnoteza sila na sfernoj kapici Sr moze zapisatiu obliku: ∫

Sr(p2 − p1)n dS =

∫γr

σnγ,Sds. (1.53)

Prema definiciji kontaktne sile (kao sile koja djeluje s pozitivne strane plohe - one na kojupokazuje jedinicna normala - na materijal na negativnoj strani) ako je p1 tlak izvan kugle,a p2 tlak unutar kugle, onda treba uzeti normalu koja gleda prema sredistu kugle.

Prijelazom na limes u (??), kada r → 0, dobivamo trazeni odnos tlakova i povrsinskenapetosti u tocki P . Stoga prvo aproksimirajmo integral na lijevoj strani,

n(P ) ·∫Sr

(p1 − p2)n dS ≈ (p1(P )− p2(P ))|Sr| = (p2(P )− p1(P ))πr2 +O(r3),

dok desni integral mozemo izracunati:

n(P ) ·∫γr

σnγ,Sds = 2rπσ cos(π

2− θ) = 2rπσ sin θ,

gdje je n(P ) · nγ,S = sin θ i θ je kut iz odnosa sin θ = r/R. Time smo dobili

(p2(P )− p1(P ))πr2 +O(r3) = 2rπσ sin θ,

ili

(p2(P )− p1(P ))π +O(r) = 2πσsin θ

r= 2π

σ

R.


25

Prijelazom na limes kada r → 0 dobivamo

p2 − p1 =2σ

R.

To je specijalan slucaj Young-Laplaceovog zakona. Uocimo da je 1/R zakrivljenost sfereradijusa R. Kako je izraz na desnoj strani pozitivan vidimo da je tlak p2 veci od tlaka p1,sto je u skladu s geometrijskom konfiguracijom.

Da bi se ovaj zakon generalizirao na proizvoljnu plohu razdvajanja izmedu dva fluidaporebno je upotrijebiti alat diferencijalne geometrije. Sam generalizacija je vrlo prirodna:Za proizvoljnu plohu Young-Laplaceovog zakon glasi

p2 − p1 = 2σH, (1.54)

gdje je σ povrsinska napetost, a H je srednja zakrivljenost plohe. Jednakost vrijedi u svakojtocki separacije dva fluida.

Ostaje nam jos objasniti pojam srednje zakrivljenosti plohe u nekoj tocki. Uzmimo dase ploha S moze lokalno, u okolini tocke P , u nekom pravokutnom koordinatnom sustavuprikazati parametrizacijom (u, v) 7→ r(u, v). Tako sto je moguce za svaku glatku plohu,te neka je P = r(u0, v0) za neki par (u0, v0). Uzimajuci u (u, v) ravnini pravce oblika(v − v0) = α(u− u0), koji prolaze kroz (u0, v0), dobivamo krivulje na plohi S koje prolazekroz tocku P . Svaka takva krivulja γα ima svoju zakrivljenost κα i glavnu normalu nα kojesu definirane kao

nα = ραdt

ds, κα = |dt

ds|, ρα = 1/κα,

gdje je t vektor jedinicne tangente na krivulju, parametriziran duljinom luka krivulje s (tzv.prirodna parametrizacija krivulje). Glavna normala na krivulju nα ne mora nuzno lezati utangencijalnoj ravnini plohe na kojoj se krivulja nalazi (osim ako krivulja nije ravninska) pastoga ima komponentu u smjeru normale na plohu. Stoga definiramo normalnu zakrivljenostkrivulje γα

κα,S =dt

ds· n = καnα · n = κα cosφα,

gdje je φα kut izmedu normale na plohu S i glavne normale na krivulju nα. Reciprocnavrijednost normalne zakrivljenosti je radijus normalne zakrivljenosti.

Kada se promatra zakrivljenost κα,S u tocki P kao funkciju smjera α onda se pokazujeda postoje dva smjera u kojima zakrivljenost postize minimalnu, odnosno maksimalnuvrijednost. Pripadni smjerovi se nazivaju glavnim smjerovima, a pripadni radijusi zakriv-ljenosti se oznacavaju obicno s R1 i R2 i nazivaju glavnim radijusima zakrivljenosti plohe udanoj tocki. Srednja zakrivljenost plohe se tada definira kao

H =1

2(

1

R1

+1

R2

),

i Young-Laplaceov zakon se najcesce zapisuje u obliku

p2 − p1 = σ(1

R1

+1

R2

). (1.55)


26

θ

Fluid 1

Fluid 2

Slika 1.2: Kut vlazenja izmedu krute stijenke i fluida 1.

Srednja zakrivljenost plohe je invarijanta plohe. Ona ne ovisi o nacinu uvodenja lokalnogkoordinatnog sustava kojim se parametrizira ploha. Nadalje, pokazuje se da su glavnismjerovi medusobno okomiti i da je suma zakrivljenosti u proizvoljna dva ortogonalansmjera jednaka sumi zakrivljenosti u glavnim smjerovima, tj. 2H.

Napomena 8. Kontaktna sila ima jedinicu sila/duljina, sto je isto kao energija/povrsina.Pokazuje se da plohi razdvajanja fluida mozemo pridruziti energiju koja je proporcionalnapovrsini plohe, a σ je konstantna proporcionalnosti. U ravnotezi tada kontaktna plohazauzima polozaj minimalne energije, a to je polozaj minimalne povrsine. Kapljica vode uzraku je stoga uvijek sfericna (ako zanemarimo utjecaj sile teze). Young-Laplaceov zakonse, jednako tako, moze izvesti polazeci od principa minimizacije energije.

Neka se dva fluida razdvojena kontaktnom plohom nalaze u zatvorenoj posudi i nekase kontaktna ploha proteze sve do stijenke posude. U svakoj tocki dodira dva fluida ikrute stijenke sve sile povrsinskih naprezanja moraju biti uravnotezene. Pri tome moramoracunati sa silama povrsinskog naprezanja izmedu fluida 1 i 2, izmedu fluida 1 i krutestijenke te izmedu fluida 2 i krute stijenke. Bitna velicina koja odreduje ravnoteznu kon-figuraciju je kut vlazenja (ili kut mocenja) θ. Radi se o kutu koji zatvara razdijelna plohafluida s krutom stijenkom, a mjeri se kroz fluid vece gustoce mase (vidi Sliku ??).

Uzmimo primjer kontakta vode, zraka i krute stijenke. Oznacimo pripadne povrsinskenapetosti sa σvz, σzs i σvs (v=voda, z=zrak, s=stijenka). Kut vlazenja θ mjerimo krozvodu. U ravnotezi mora vrijediti:

σvz cos θ = σzs − σvs,

pa vidimo da je kut vlazenja posve odreden povrsinskim napetostima. Ako je θ < π/2,onda kazemo da fluid kroz koji mjerimo kut (voda u ovom primjeru) vlazi stijenku. Usuprotnom ju ne vlazi, vec je drugi fluid (plin) vlazeci. (U sustavu plin-voda, voda jeredovito vlazeci fluid.)

Ravnotezna konfiguracija nije moguca ako je |σzs − σvs|/σvz > 1. Takva je situacijanpr. u slucaju kontakta vode, nafte i zraka. Ovdje imamo tri fluida od kojih je vodanajvece gustoce, zatim nafta te onda zrak. Kapljice nafte se ne mogu formirati na vodizbog odnosa povrsinskih napetosti koji je takav da je |σzv−σvn|/σzn > 1. U tom slucaju senafta prostire po povrsini vode sve dok ne stvori mikroskopski mali sloj nafte na povrsinivode.


27

θvoda

zrak

~σzs

~σvz

~σvs

Slika 1.3: Ravnoteza sila u tocki dodira triju faza.

Stvaranje jasne plohe razgranicenja izmedu dva fluida ovisi o svojstvima tih fluida. Ge-neralno govorimo o nemjesivim fluidima ako je povrsinska napetost medu njima dovoljnovelika da formira jasnu granicu koja ih separira. U suprotnom govorimo o mjesivim flu-idima. Voda i zrak, voda i nafta, nafta i plin su parovi nemjesivih fluida. S druge strane,postoje parovi kao sto su voda i alkohol koji su potpuno mjesivi i izmedu njih ne dolazido formiranja plohe razdvajanja. Medu plinovima takoder ne dolazi do pojave povrsinskenapetosti vec se oni mjesaju u svim omjerima.

Kada imamo par nemjesivih fluida, onda je redovito jedan od njih vlazeci, a drugunevlazeci. Vlazeci je onaj fluid koji ima kut mocenja manji od π/2 (mjeren kroz taj fluid).Ta su svojstva vazna za ponasanje smjese fluida u poroznoj sredini. Konacno, skok tlakapri prijelazu kroz granicu dvaju nemjesivih fluida dan je Young-Laplaceovim zakonom (??)u kome se razlika tlakova p2 − p1 naziva kapilarni tlak.

Zadatak 8. Otvorena tanka cjevcica dijametra a uronjena je u bazen vode gustoce ρ.Voda se u cjevcici izdigla za visinu h i primijecuje se kut vlazenja θ < π/2 vode na stijenkicjevcice. Izracunajte povrsinsku napetost vode. Rj. σ = ρgha/(4 sin θ).

Bibliografija

[1] I. Straskraba A. Novotny. Introduction to the Mathematical Theory of CompressibleFlow. Oxford, University Press, Oxford, 2004.

[2] Ibrahim Aganovic. Uvod u rubne zadace mehanike kontinuuma. Element, Zagreb, 2003.

[3] Edwin N. Lightfoot R. Byron Bird, Warren E. Stewart. Transport Phenomena. JohnWiley & Sons, New York, 2002.


Documents

Poglavlje 1 Jednadzbe mehanike fluida