Upload
daniela-chaverra
View
11
Download
0
Embed Size (px)
DESCRIPTION
TRABAJO COLABORATIVO
Citation preview
PRIMERA FASE TRABAJO COLABORATIVO
ALGEBRA LINEAL
PRESENTADO POR:
JONATHAN ROBERTO ORTEGA
JUAN CAMILO GIL
LEIDI JUDITH MOSQUERA
C.C 1039087538
YEAN ALEXANDER PATERNOSTRO
YULY MARICELA VASQUEZ
C.C 1044100419
GRUPO:
100408_92
PRESENTADO A:
JUAN PABLO VARGAS
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
ESCUELA DE CIENCIA BASICAS E INGENERIA
DE SEPTIEMBRE DE 2014.
INTRODUCCION.
El lgebra lineal es una rama de las matemticas que estudia conceptos tales como vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales y su enfoque de manera ms formal, espacios y sus transformaciones lineales.
En el primer trabajo colaborativo de algebra lineal se dar a conocer los procedimientos para la correcta solucin de problemas planteados correspondientes a la ubicacin en el plano cartesiano vectores en forma polar, forma rectangular, operaciones en el plano cartesiano con escala de medicin apropiada estableciendo su magnitud, el ngulo de vectores, utilizacin del mtodo Gauss Jordn y determinantes e inversas de matrices.
La magnitud de un vector es encontrar el tamao de un vector utilizando el teorema de Pitgoras, las matrices son tomadas como un arreglo de nmeros representadas en un orden de cantidad de filas por cantidad de columnas, el mtodo de Gauss Jordn consiste en invertir A por medio de operaciones en las filas de [a/] para obtener [/A-1].
La construccin de cada uno de estos ejercicios son la base para afianzar los conocimientos presentados en la primera unidad del curso de algebra lineal.
OBJETIVOS.
Representar de manera correcta y siguiendo el debido procedimiento vectores dados en forma polar al igual que de forma rectangular.
Fijar de manera clara y establecer la magnitud de las componentes rectangulares en cada uno de los vectores involucrados.
Emplear el mtodo de Gauss Jordn de manera apropiada donde se identifique todos y cada uno de los pasos necesarios para su desarrollo.
Identificar los productos indicados en las matrices propuestas y justificar las razones en caso de no ser posibles.
Encontrar de manera efectiva la matriz inversa empleando determinantes.
Interactuar con el grupo colaborativo cada uno de los puntos planteados para la correcta solucin de cada uno de ellos.
1. Utilizando el plano cartesiano represente los siguientes vectores dados en forma polar:
1.1. 030;3 u
| |
| |
Y
X
| |
| |
| |
Y
y
0240;1 w
| |
| |
| |
| |
| |
2
y
0120;2 t
| |
| |
y
2. Utilizando el plano cartesiano represente los siguientes vectores
dados en forma rectangular:
2.1. )3,2( u
2.2. )3,1(v
2.3. )4,1( w
2.4. )2,3( t
2.5 2,2
3s
3. Realice las operaciones indicadas de manera grfica y analtica. Para esto emplee el plano cartesiano y una escala de medicin apropiada (fijada por el estudiante) de manera, que se pueda establecer la magnitud (de las componentes rectangulares) de cada uno de los vectores involucrados.
Siendo jiu 2
, jiv 43
y jiw 34
3.1. vu
2
Aplicando la propiedad del producto de un vector por un escalar a ,
obtenemos:
( )
( ) ( )
Ahora realizamos la adicin de dichos vectores, aplicando la propiedad de suma de vectores, en la cual se suman componente a componente, teniendo en cuenta que estos deben pertenecer al mismo espacio vectorial (igual nmero de componentes), ntese que todos los vectores para este problema
se encuentran en , por tanto se pueden aplicar las propiedades descritas anteriormente.
Mtodo analtico
( ) ( )
Mtodo grafico
3.2. wv
Mtodo analtico
( ) ( )
Mtodo Grafico
4. Encuentre el ngulo entre los siguientes vectores:
Por definicin:
( )
( )( )
Donde y son dos vectores del mismo espacio vectorial y es el ngulo menor entre ellos.
Siendo ( ) y ( )
Aplicando estos conceptos a cada inciso obtenemos:
4.1. jiu 2
y jiv 43
( ) y ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )( )
( )
(
)
4.2. jiw 34
y jiu 2
( ) y ( ) ;
( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )( )
( )
(
)
4.3. jiv 43
y jiw 34
( ) y ( ) ;
( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )( )
( )
( )
(Perpendiculares)
5. Dada la siguiente matriz, encuentre 1A empleando para ello el mtodo
de Gauss Jordn. (Describa el proceso paso por paso)
0565
1324
1553
10702
A
Si tenemos una matriz A y deseamos hallar su forma inversa A-1, podemos utilizar la eliminacin de Gauss-Jordn.
Para utilizar este mtodo se arma una matriz aumentada [A I ], la cual tendr a nuestra matriz A al costado derecho y la matriz identidad de igual dimensin al costado izquierdo, se procede a llevar la matriz A a su forma escalonada reducida, al terminar obtendremos en el lado derecho una nueva matriz identidad y al lado izquierdo la matriz inversa (A-1), de nuestra matriz A.
(
|
)
(
|
)
(
||
)
(
|
|
)
(
|
|
)
610
51
6043
02
15
110
7
005
110
3
0002
1
30221
6019100
1063
52200
516
101110
52
701
191100
19112
19143
044
522
144
7
005
110
3
0002
1
191442100
4463100
516
101110
52
701
19110
445
4202455
8404555
044
522
144
7
005
110
3
0002
1
84047415000
4463100
516
101110
52
701
148388
1483191
1483182
1483111
044
522
144
7
005
110
3
0002
1
100044
63100
516
101110
52
701
148388
1483191
1483182
1483111
652525544
1483442
1483328
148377
741514080
74153056
74151429
14830897
1483440
1483955
1483910
2966373
1000
0100
010
1110
02
701
148388
1483191
1483182
1483111
652525544
1483442
1483328
148377
1483143
1483125
148375
14835
14831
1483592
1483238
148383
1000
0100
0010
0001
Por tanto se concluye que
A-1=
148388
1483191
1483182
1483111
652525544
1483442
1483328
148377
1483143
1483125
148375
14835
14831
1483592
1483238
148383
6. Dadas las siguientes matrices realice los productos indicados (en caso de ser posible). En caso de que el producto no pueda realizarse explique las razones.
581
421;
0
9
4
;810;95
71DCBA
Para ello debemos partir de que el nmero de columnas de la primera matriz,
debe ser igual a nmero de filas de la segunda:
6.1 AB
[
] [ ]
Por ende la multiplicacin NO se puede efectuar, porque el nmero de
columnas de la matriz A(2) no es igual al nmero de filas de la matriz B(1).
6.2 AC
[
] [ ]
Por ende la multiplicacin NO se puede efectuar, porque el nmero de
columnas de la matriz A(2) no es igual al nmero de filas de la matriz C(3).
6.3 AD
[
] [
]
Por ende la multiplicacin entre las matrices si se puede efectuar, quedando
una matriz de la siguiente forma:
[
]
( )
( )
( )
El producto de matrices AD es:
[
]
6.4 BC
[ ] [ ]
Por ende la multiplicacin NO se puede efectuar, porque el nmero de
columnas de la matriz B(2) no es igual al nmero de filas de la matriz C(3).
6.5 BD
[ ] [
]
Por ende la multiplicacin entre las matrices si se puede efectuar, quedando
una matriz de la siguiente forma:
[ ]
( ) ( )
( ) ( )
( )
El producto de matrices BD es:
[ ]
6.6 BA
[ ] [
]
Por ende la multiplicacin entre las matrices si se puede efectuar, quedando
una matriz de la siguiente forma:
[ ]
( )
( )
El producto de matrices BA es:
[ ]
6.7 CA
[ ] [
]
Por ende la multiplicacin NO se puede efectuar, porque el nmero de
columnas de la matriz C(1) no es igual al nmero de filas de la matriz A(2).
6.8 CB
[ ] [ ]
Por ende la multiplicacin entre las matrices si se puede efectuar, quedando
una matriz de la siguiente forma:
[
]
( )
( )
( ) ( )
( )
El producto de matrices CB es:
[
]
6.9 CD
[ ] [
]
Por ende la multiplicacin NO se puede efectuar, porque el nmero de
columnas de la matriz C(1) no es igual al nmero de filas de la matriz D(2).
6.10 DA
[
] [
]
Por ende la multiplicacin NO se puede efectuar, porque el nmero de
columnas de la matriz D(3) no es igual al nmero de filas de la matriz A(2).
6.11 DB
[
] [ ]
Por ende la multiplicacin NO se puede efectuar, porque el nmero de
columnas de la matriz D(3) no es igual al nmero de filas de la matriz B(1).
6.12 DC
[
] [ ]
Por ende la multiplicacin entre las matrices si se puede efectuar, quedando
una matriz de la siguiente forma:
[ ]
( )
( ) ( ) ( )
El producto de matrices DC es:
[ ]
7. Encuentre el determinante de la siguiente matriz, describiendo paso a paso la operacin que lo va modificando (sugerencia: emplee las propiedades e intente transformarlo en una matriz triangular).
11147
371115
12453
123102
06901
B
8. Encuentre la inversa de la siguiente matriz, empleando para ello
determinantes (Recuerde: AdjADetA
A *11 )
5107
321
238
A
321
238
5107
321
238
B
8(2) (-5)+1(10) (-2)+7(-3) (-3)-(7) (2) (-2)-(8) (10) (-3)-(1) (-3) (-5) 216|| A
20)3)(10()5)(2(510
3211
A
16)3)(10()5)(1(57
3112
A
4)2)(7()10)(1(107
2113
A
35)2)(10()5)(3(510
2321
A
26)2)(7()5)(8(57
2822
A
101)3)(7()10)(8(107
3823
A
13)2)(2()3)(3(32
2331
A
22)2)(1()3)(8(31
2832
A
11)3)(1()1)(8(21
383
A
112213
1012635
21620
B
111014
222616
133520
BA
111014
222616
133520
216
11A
216/11216/10154/1
108/11108/1327/2
216/13216/3554/5
CONCLUSION.
Con el desarrollo de la actividad correspondiente al trabajo colaborativo uno, logramos comprender la importancia del algebra lineal en el mundo actual, permitiendo resolver problemas en todos los mbitos, mediante la representacin de graficas en el plano cartesiano, vectores, determinantes de matrices, y los procedimientos dados por el mtodo de Gauss Jordn.
El trabajo en equipo constituye las bases para el buen desempeo en cualquier meta propuestas, adems de afianzar los conocimientos propios y el de los compaeros, al mismo tiempo es un medio para conocernos como futuros profesionales y como personas, aspectos importantes para sacar con xitos este curso.
BIBLIOGRAFIA.
Thenacoos. (2012, Junio 12). Introduccin al Algebra lineal, concepto de vector [archivo de video]. Recuperado de https://www.youtube.com/watch?v=v97BVW5yR3MVISTO 20 AGOSTO DE 2014
Thenacoos. (2012, Septiembre 12). Clculo de la magnitud de un vector [archivo de video]. Recuperado de https://www.youtube.com/watch?v=m0SyPo5EnEIVISTO 25 AGOSTO DE 2014
Muriel, R. (2013). Clculo de la norma de un vector Representacin grfica [archivo de video]. Recuperado el 9 de mayo de 2014 de:https://www.youtube.com/watch?v=-Vf93SaviSA VISTO 28 DE AGOSTO DE 2014.
Tareasplus. (2012, Diciembre 17). Suma de vectores [archivo de video]. Recuperado de https://www.youtube.com/watch?v=8add3R73ERMVISTO 28 DE AGOSTO DE 2014.
http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_linealVISTO 23 SEPTIEMBRE DE 2014