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CALCULO DIFERENCIAL

TRABAJO COLABORATIVO 3

GRUPO: 100410-10

UNIDAD TRES

ANALISIS DE DERIVADAS Y SUS APLICACIONES

PRESENTADO POR:

DANNY JOSE RIOS CODIGO: 10774624LUIS ALBERTO NIEVES CODIGO: 1069357

ARY !U"O# ALVARE# CODIGO: 10693926

CRISTIAN JAVIER OBREGON CODIGO: 103712

FABIO ANTONIO GUERRERO CODIGO: 1076567

PRESENTADO A:

OSCAR DIONISIO CARRILLO RIVEROS

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA $ UNAD

ESCUELAS DE CIENCIAS B%SICAS& TECNOLOG'A E INGENIER'AINGENIER'A DE SISTE!AS

2014

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INTRODUCCION

C() *+ ,+*./+.) ,++( (*+(,+.( (,,8().) + *+ ).+ 3 (,

* +)*.. *+ ,.++ ; +8*.+.()& 8,(.+& +

+, ?)+ & ,,+ ; )-.=+ ,.++ 8(, =.( * +8,)./+

++( ) 8,(*=+& () ()8( .=8(,+) ) *( +*

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1. y=x23x2

y =2x3

2x3=0

2x=3

x=3

2

y =2

y=3

2

2

33

2

2

-2

y=9

4

9

22

1

y=174

P( 32 ,17

4 )

P es un punto mnimo, porque cuando el valor de la segunda derivada espositive se obtiene un punto mnimo.

2. y=3x212x

y=6x12

6x12=0

6x=12

x=12

6

x=2

3

2

14

2

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y =6

y=3(2)212(2)

y=3(4)24

y=1224

y=12

P (2,12 )

P, es un punto mnimo, porque cuando el valor de la segunda derivada es

positivo se obtiene un punto mnimo.

3. limx 0

3

3x+11x

S. ,=8*+/+=(

3

3 (0 )+11

0 =

0

0 I),=.)+.)

(3x+1 )1

31x

=

1

3(3x+1 )

1

31

.3

1

(3x+1 )

23

1 =

1

(3x+1 )2

3

1

3

(3x+1 )2=

1

1=1

limx 0

3

3x+11x

=1

-12

Derivada

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4. limx 11x2

sin ( x )=

1(1)2

sin (.1 )=

0

0 Indeterminacin

Aplicamos !"opital

limx 1

2xcos ( x )

= 2(1)

cos ( .1 )=

2

. cos =

2

=

2

lim

x1

1x2

sin

( x )

=2

#. limx 0

e2x1

x =

e010 =

110 =

0

0 Indeterminacin

-1

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Aplicamos !"opital

limx 0

2e2x

1 =

2e0

1 =2

$- f(X)=3tan3X

%olucin

"allamos la primera derivada

f (x )=df

dx=9cot (3X)

"allamos la segunda derivada

f (x )=d

2f

d x2=27tan (3x )

"allamos la tercera derivada

f (x )=d3

f

d x3=81cot (3x )

&- f(X)=3cot3X

%olucin

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"allamos la primera derivada

f (x )=df

dx=9 t an (3X)

"allamos la segunda derivada

f (x )=d2

fd x

2=27cot (3x )

"allamos la tercera derivada

f (x )=d

3f

d x3=81 t an (3x )

Ejercicio No. 8

Halle, paso a paso, la derivada implcita, con respecto a x , de:

exey=1

Solucin:

Derivemos implcitamente respecto a x : '

exey1=0

ex

e

(y)d

dx(1)

d

dx(exey1 )=0 d

dx

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e

(y )0=0

dx

dx( ex )+ dy

dx

e

(y )=0

dx

dx( ex )+ dy

dx

e

(y )=0

dx

dx( ex )+ dy

dx

e

(y)=0

(ex )+ dydx

e

(y )

ex=

dy

dx

e

(y )

ex=dydx

Despe(andody

dx tenemos que'

dy

dx=

ex

ey

As la derivada implcita viene dada por'

dy

dx=

ex

ey =e

yx

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)(ercicio *

%e bombea aire +acia el interior de un globo esrico de modo que su

volumen aumenta a ran de 100cm

3

s . /0on qu rapide crece el globo

cuando su radio es de 2#cm ecordar que el volumen es igual4

3 r3

.

%olucin'

%ea V el volumen del radio 3 rsu radio, la ran de cambio con

respecto son derivadas 3 viene dada por dVdt donde t 3 esta

representa la ran de cambio del volumen respecto al tiempo 3 la ran

del aumento del radio es'dr

dt .

%egn los datos se tiene que'

dV

dt

=100cm

3

s

5enemos que calculardr

dt cuandor=25 cm . %abemos que el volumen

viene dado por'

V=4

3 r

3

.

Para derivar el segundo miembro es necesario usar la regla de lacadena, esto es'

dV

dt=

dV

dr

dr

dt=4 r2

dr

dt

Despe(amosdr

dt obtenemos'

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dr

dt=

1

4 r2dV

dt

dr

dt=

1

4(25cm)2100

cm3

s =

1

25cm /s

)l globo crece con una rapide de1

25 cm/s

16. 7na 8brica tanques de almacenamiento de agua desea construiruno de orma cilndrica con tapa, que tenga una capacidad de 1 metro

cbico 91666 litros:. /0u8les deben ser las dimensiones del tanque paraque la cantidad de material empleado en su construccin sea mnima

SO!"#$N

Volumen= r2 h=1m3

Despe(amos para +allar

h

r2

h=1m3

h=1m

3

r2

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Area=2 r2+2rh

emplaamos h

Area=2 r2+2r1 m

3

r

2

Area=2 r2+21m

3

r

)limino magnitudes

Area=2 r2+2m

2

r

;rea en uncin de radio.

A (r )=2 r2+2m2 r1

Primera derivada de 8rea.

A (r )=4r2m2r2

Igualo a 6

A (r )=4r2m2r2=0

Divido por 4

A (r )=r0.5m2 r2=0

A (r )=r0.5m2

r2 =0

A (r )= r30.5m2=0

A (r )= r3=0.5m2

Despe(o r

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r=3

0.5m

2

%egunda derivada de 8rea.

A (r )=4r+4m2

r3

A (r )= 4 r

4 m2

r3

emplao r

A (r )= 4 r

4 m2(3

0.5m

2

)

3

A (r )= 4 m

2

0.5m2

>0es unminimo

r=3

0.5m

2

r=0.54m

emplaamos r en volumen.

v= r2 h=13

v=(0.54m)2 h=1m3

h= 1m

3

(0.54m)2

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h= 1m

3

2.87m2

h=0.34m

as dimensiones mnimas son 6.4

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8,(*=+ ; 8,(.=.)( ,+@?.( 8(, (*.()+,& +=.@) +8,). +(,,?., ),( ,,(, 8(, =.( *+ ,,(+*.=)+.) ),( (,

S *(?,+ +=.@) * 8,(8.( ,+ +

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*+I& -%&.$ (1/02/2010# Derivadas de una funcin uti!iando !a reg!a de!producto#[Vdeo] %ecuperado de:V$% VID$*+I& -%&.$ (1/0/2009# Derivadas de un cociente#[Vdeo] %ecuperado de: V$% VID$I-%&.$S&%D$345$345I64S# (02/07/1012# Derivada de una funcincompuesta#[Vdeo] %ecuperado de:V$% VID$*+I& -%&.$ (1/0/2009# Derivadas imp!8cita#[Vdeo] %ecuperado de:V$% VID$*+I& -%&.$ (2/10/2012# Derivadas de funciones eponencia!es#[Vdeo] %ecuperadode:V$% VID$*+I& -%&.$ (2/10/2012# Derivadas de funciones !ogar8tmicas#[Vdeo] %ecuperado

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