100412 173 Trabajo Fase 2 Oscar

7/17/2019 100412 173 Trabajo Fase 2 Oscar

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Trabajo Colaborativo Fase 2

Ecuaciones Diferenciales100412_173

Oscar Javier Jones ZrateC!"i#o$ %12&44&0

Tutora$ 'enifer Eli(abet) *alin"o

+,-.E/-DD ,C-O, -E/T ' D-T,C--,*E,-E/- -,D+T/-

CED *+J-//io)ac)a Octubre 02 2015



INTRODUCCION

Mediante este producto que presentaremos con los diferentes aportes del equipo de trabajo 10041!1"#

del curso ecuaciones diferenciales de la uni$ersidad nacional abierta % a distancia UN&D estaremos

poniendo en pr'ctica la aplicaci(n de los diferentes contenidos de la unidad del m(dulo

correspondiente al curso de ecuaciones difereciales) despejando las dudas correspondientes con los

aportes indi$iduales % la asesoria del tutor a la aplicaci(n de los ejercicios de la fase su*eridos en la

*uia inte*radora de acti$idades+



O,-.TI/O

Determinar el operador que anula una ecuaci(n diferencial

Diferenciar entre una ecuaci(n lineal omo*2nea con coeficiente constante a una ecuaci(n

lineal no omo*2nea+

Identificar soluciones de ecuaciones diferenciales

Desarrollar ecuaciones diferenciales con el m2todo de coeficientes indeterminados+

Resol$er ecuaciones diferenciales por el m2todo de $ariaci(n de par'metros+

&cti$idad indi$idual



Cada estudiante debe esco*er del listado de ejercicios propuesto un ejercicio de cada tem'tica %desarrollarlo de forma indi$idual+

Tem'tica3 ecuaciones diferenciales de orden superior

Nota3 Del punto 1 cada estudiante debe esco*er un literal a desarrollar) los dem's puntos a 56 se

deben distribuir entre el *rupo para ser desarrollados+1. Indique cu'les de las si*uientes ecuaciones son diferenciales lineales omo*2neas con

coeficientes constantes % cu'les son diferenciales lineales no omo*2neas % resu2l$alas+

A. y ´ ´ +2 y ´ −8 y=0

7a ecuaci(n diferencial es omo*2nea

Transformamos en la ecuaci(n au8iliar

m2+2m−8=0

9actori:amos) talque dos n;meros que sumados den % multiplicados den <=

(m−4)(m+2)=0

7a primera ra>: tiene $alor de3 m1=−4

7a se*unda ra>: tiene $alor de3 m2=2

7a soluci(n ser>a3

yh=c1 e−4 x+c2 e

2 x

Como y (0 )=0, y' (0 )=−1

.ntonces

y (0 )=c1 e−4∗0+c2 e

2∗0=0

⇒c1+c2=0



⇒c1=−c2

7ue*o

y ' h=−4 c1e−4 x+2c2 e

2 x

.ntonces

y ' (0)=−4c1 e−4∗0+2c2e

2∗0=−1

⇒−4 c1+2c

2=−1

⇒4 c1=2c

2+1

ustitu%endo % despejando

4 c1=2c

2+1

⇒4 c1=−2c1+1

⇒6c1=1

⇒c1=

1

6

.ntonces

c1=−c2

⇒c2=−c1

⇒c2=−1

6



B. y ´ ´ +8 y ´ +16 y=0

.l polinomio caracter>stico es3 ?@= @15A0ʎ ʎ

@46? A 0ʎ

ʎ₁A ʎ₂A <4

7a soluci(n *eneral es3 γ= C₁ е

−4 x

+C₂ е

−4 x

. χ

,usquemos C₁ % C₂

B 06 A C₁ е0

@C₂ 06 е0

C₁ A 0

e a%a B BA <4C₁ е−4 x

@C₂ е−4 x

< 4E е−4 x

7ue*o3 B 06A <4C₁ е0

@C₂ е0

< 4 (0)е0

A <1

A <406+ 1 @ C₂+ 1< 0A<1 C₂A <1

9inalmente3 F A 0+ е−4 x

@ <16 е−4 x

E

F A < е−4 x

E

C. y ´ ´ +2 y ´ − y=0

,

Donde %06A0) %G06A<1

.l polinomio caracter>stico es3 ?@ <1A0ʎ ʎ

Aʎ

−2±√ 22−4(1)(−1)2(1) A

−2±√ 4+4

2 A

−2±√ −8

2

Aʎ

−2±2√ 2

2 A <1 ±√ 2



ʎ₁A < 1@ √ 2 % ʎ₂A <1< √ 2

7ue*o F A C₁ е(−1+√ 2) χ

@ C₂ е−(1+√ 2) χ

Hallamos aora C₁ % C₂3

F 06 A C₁ е−(1−√ 2) .0 @ C₂ е−(1+√ 2 ).0

A 0

C₁@C₂ A 0 ① C₂ A <C₁

FA <1@ √ 2 6 C₁ е−(1−√ 2) x

@ <1< √ 2 6 е−(1+√ 2) x

+C₂

ustitu%endo3

F 06 A <1@ √ 2 6 C₁ е0

@ <1< √ 2 6 е0

+C₂A <1

<1 C₁@ √ 2 C₁<C₂< √ 2 C₂ A <1②

7ue*o3 <C₁@ √ 2 C ₁ <<C₁6< √ 2 <C₁6 A <1

<C₁@ √ 2 C₁@C₁@ √ 2 C₁A <1

√ 2 C₁ A < 1

C₁ A−1

2√ 2

C₁A <√ 2

4 ③

C₂ A < C₁ A < <√ 24 6 A

√ 24

9inalmente3 F A <√ 2

4 е(−1+√ 2) x

< е(−1−√ 2) x

6

D. 3 y ´ ´ +14 y ´ +58 y=0



y=e λx

→3 λ2

e λx+14 λ e

λx+58e λx=0→ (3 λ

2+14 λ+58 ) e λx=0

3 λ2+14 λ+58=0→ λ=

−14±√ 196−696

2 (3 ) =

−14±10 i √ 5

6 =

−7

3 ±

5

3 i√ 5

y=c1 e(−73+53

i√ 5) x+c2 e(−73−5

3i√ 5) x

y=e

−7

3 x {c

1[cos ( 53 √ 5 x )+isin (53 √ 5 x )]+c2[cos( 53 √ 5 x)−isin( 53 √ 5 x )]}

y (1 )=c1+c2=0,

E. y ´ ´ −4 y ´ +4 y=0

Donde %16A1) %G16A1

.l polinomio caracter>stico es:

?< 4 @ 4 A 0ʎ ʎ

< 6? A 0ʎ

ʎ₁ A ? A ʎ

7a soluci(n es de la forma3

B A C₁ е2 X

@ C₂ E е2 X

Calculemos aora C₁ % C₂3

B 16 A C₁ е2(1)

@ C₂ 16 е2(1)

A 1

?+C₁@?+C₂ A 1 ①

,usquemos F A C₁ е2 x

@ C₂E е2 x

@₂ е2 x

B 16AC₁ е2(1)

@C₂ 16 е2(1)

@C₂ е2(1)

A 1

C₁ е2

@C₂ е2

@C₂ е2

A 1



C₁ е2

@#C₂ е2

A 1 ②

Tenemos el sistema3

C₁ е2

@C₂ е2

A 1 ①

C₁ е2

@#C₂ е2

A 1 ②

Multiplicando ① por <6 % umando con ②) queda3

−2C ₁е2−2C ₂е ²=−2

2C ₁е2+3C ₂е ²=1

C ₂е2=−1

C₂ A < е

−2

&ora3 C₁? @ е−2

6 ? A 1

C₁?<1 A 1

C₁ A1+1

е ²

C₁

A е

−2

9inalmente3

F A е−2

+ е2 x

@ < е−2

6 E е2 x

F A е2 x−2

< E е2 x−2

2. Resuelva el problema de valor inicial:

2 y' ' +3 y

' −2 y=14 x2−4 x−11

!"#=", y'

!"#="



$. a. Resolver la si%uien&e ecuaci'n di(erencial por el m)&odo de variaci'n de par*me&ros:

y' ' + y=sec

2 x

. Resolver la si%uien&e ecuaci'n di(erencial por el m)&odo de coe(icien&es inde&erminados:

y'' +3 y

' +2 y=3 x+1

7a ecuaci(n au8iliar ser>a3

m2+3m+2=0

7a soluci(n de la ecuaci(n cuadr'tica es3

(m+1)(m+2)=0

Jor lo tanto las ra>ces son3

m1=−1; m2=−2

Notamos que3

h( y)3 x+1

Jor lo tanto3

Y p= Ax+B

Deri$amos dos $eces Y p

Y p= Ax+B

Y ' p= A

Y ' ' p=0

Reempla:ando en 1) tenemos3

0+3 A+2 ( Ax+B )=3 x+1



3 A+2 Ax+2B=3 x+1

2 Ax+ (3 A+2B )=3 x+1

De aqu>

2 A=3

de donde

A=3

2

De donde 3 A+2B=1

Reempla:amos A por3

2

olucionamos de donde B=−7

4

Reempla:amos los $alores de A % B

Y p= Ax+B

Obteniendo3

Y p=3

2 x+(−7

4 )

Y p=3

2 x−

7

4

Y c=c1 e−2 x+c2 e

− x

Jor lo tanto la soluci(n de la ecuaci(n diferencial dad por y= yc+ y p

Y c=c1 e

−2 x

+c2 e

− x

+

3

2 x−

7

4

. De&ermine un operador di(erencial -ue anule a:

a. x+ xe

b. e senx−e cosx



. Resolver la si%uien&e ecuaci'n di(erencial:

x2 y

' ' + x y' + y=0

7a transformamos a una ecuaci(n diferencial omo*2nea de coeficiente constante mediante la

sustituci(n+

x=et ⇒ t =ln x

¿ dy

dx=e

−t dy

dt ;

d2 y

d t 2

¿e−2t d

2 y

d t

2 −

dy

dt

Reempla:ando

¿e2t ∗e

−2 t (d2

y

d t 2−

dy

dt )+et ∗e

−t dy

dt + y=0

implificamos

d2 y

d t 2 −

dy

dt +

dy

dt + y=0

.cuaci(n diferencial omo*2nea de coeficiente constante

d2 y

d t 2 + y=0

Jolinomio

p(m )m2+1=0

⇒m1=i ; m2=−i

istema) soluci(n cos t sin t % soluci(n al ejemplo



y=c1cos ( t )+c2 sen (t ) ;dendet =ln x

y=c1cos ( ln x )+c

2sen ( ln x )

Una masa que pesa 4 lb) estira un resorte # pul*adas al lle*ar al reposo en equilibrio % se le aplica una

$elocidad de K piesLse* diri*ida acia abajo+ Despreciando todas las fuer:as de amorti*uaci(n o

e8ternas que puedan estar presentes) determine la ecuaci(n de mo$imiento de la masa junto con su

amplitud) periodo % frecuencia natural+ Cu'nto tiempo transcurre desde que se suelta la masa asta que

pasa por la posici(n de equilibrio



umatoria de fuer:as3

.cuaci(n 1 f −f h=0

.cuaci(n le% de Neton6 f =ma

.cuaci(n # le% de Hooe6 f h=−kx

ustitu%endo la ecuaci(n % ecuaci(n # en la ecuaci(n 1+

ma−(−kx )=0

Despreciamos todas las fuer:as de amorti*uaci(n o e8ternas que puedan estar presentes+

d2 x

d t 2 =a

m d

2 x

d t 2 +kx=0

d2 x

d t 2 +

k

m x=0 ;donde w

2= k

m

d2 x

d t 2 +w

2 x=0

d2+w

2=0



d2=w

2

d1 ,d 2=±iw

7a soluci(n es3

x(t )= Acos wt +Bsin wt

abemos que3

w=2f y!"ew=√ k

m

I*ualando tenemos3

2f = k m

Jara el resorte3

f =1

2 √ k

m

.l periodo de oscilaci(n del resorte es3

1

# =

1

2 √

k

m

# = 2

√ k

m

= 2

√ k

√ m

=

2

1

√ k

√ m

.ntonces3

# =2 √ m

√ k =2 √ m

k

7a soluci(n es3

x(t )= Acos wt +Bsin wt



Cuando el sistema est' en equilibrio x(0)=0 en el momento en que se le aplica una fuer:a) se tiene

una $elocidad inicial de $(0)=√ 2 pies /se%

0= Acos(0)+B sin(0)

.ntonces3

A=0

Deri$ando x(t )

d x(t )

dt =$(t )=− Awsin wt +Bwcos wt

√ 2=− Aw sin(0)+Bwcos(0)

√ 2=Bw

.ntonces3

B=√ 2

w = √ 2

√ k

m

B=√ 2m

√ k =√ 2m

k

7a soluci(n ser'3

x(t )=√2m

k sinwt

Tambi2n3

x(t )=√2m

k sin√ k

m t

k .s la constante de elasticidad del resorte+



ituaci(n % soluci(n planteada3

.nunciado3 .l mo$imiento de un sistema masa-resorte con amorti*uaci(n est' re*ido por la ecuaci(n

diferencial3

0P

=++ xdt dxb

dt xd

.n donde)160 = x

)060Q = x

+ .ncuentre la ecuaci(n del mo$imiento para los si*uientes casos3

Caso 13 Mo$imiento subamorti*uado35=b

+

Caso 23 Mo$imiento cr>ticamente amorti*uado310=b

+

Caso 33 Mo$imiento sobreamorti*uado3 14=b

+

Solución:

Caso 1:

5=b

7a ecuaci(n caracter>stica es3

Como son ra>ces complejas conju*adas se usa3

x (t )=c1 e&t cos t +c2 e

&t sin t

0P =++ λ λ b

) cu%as ra>ces son

i4#

10055

±−=

−±−

7a ecuaci(n de mo$imiento tiene la forma3

t eC t seneC t x t t #cos#6 4

4

1

−−+=

++−= − 6#cos##6Q 1

4

1 t C t senC et x t



6##cos4 1

#t senC t C e

t +−

−

Jara160 = x

%060Q = x

) se tiene el sistema31

1 C = )

14#0 C C +−=

Jor tanto31

1 =C

%

4#

=C

Con las condiciones iniciales se debe reempla:ar en la ecuaci(n % su deri$ada para allar la soluci(n+

9inalmente) la ecuaci(n de mo$imiento tiene la forma3

6#cos4

##6 4

t t senet x t

+= −

Caso 2:

10=b


Como es ra>ces i*uales se usa3

x (t )=c1 e λ1 t +c2t e

λ1 t

0P =++ λ λ b

) cu%as ra>ces son

P

1001010

=−±−


t t t et C C teC eC t x

P

1

P

P

166 +=+=

t t et C C eC t xP

1P

6P6Q +−=

Jara160 = x

%060Q = x


1 C =

)1

P0 C C −=

Jor tanto31

1 =C

%P

=C

9inalmente) la ecuaci(n de mo$imiento tiene la forma36P16 Pt et x

t

+=

Caso 3:

14=b


Como es de ra>ces diferentes se usa3

x1(t )=e

λ 1 t y x2

(t )=e λ2 t



a+0P =++ λ λ b

) cu%as ra>ces son

4"

1001414

±−=−±−


t t eC eC t x

64"

64"

16 −−+−

+=

t t

eC eC t x64"

64"

164"64"6Q −−+− −−++−=

Jara160 = x

%060Q = x


11 C C +=

64"64"0 1 −−++−= C C

Jor tanto34=

4"41

+=C

%4=

4"4

−=C

t t eet x

64"64"

4=

4"4

4=

4"46

+−−−

−+

+=

CONC7UION.

Con los aportes de los diferentes inte*rantes del *rupo colaborati$o se lo*r( la construcci(n de este

producto) adquiriendo las destre:as en resol$er ecuaciones diferenciales lineales omo*2neas % no

omo*2neas con coeficientes constantes) desarrollando tambi2n por el m2todo de $ariaci(n de

par'metros as> como el m2todo de coeficientes indeterminados encontr'ndose en capacidad de asociar

9inalmente) la ecuaci(n de mo$imiento tiene la forma3



problemas de la $ida cotidiana como el ejercicio de una masa % un resorte con una $elocidad

determinada) % la $erificaci(n de todo lo que ocurre con un amorti*uador en los estados

subamorti*uado) cr>ticamente amorti*uado % sobreamorti*uado aplicando lo $isto en la unidad +

R.9.R.NCI& ,I,7IOSR&9IC&

SOM. N) Ricardo+ 016+ .cuaciones Diferenciales+ Jalmira3 UN&D+ 9R&NU.T ,) -osep+ 01#6+ .cuaciones Diferenciales Ordinarias % en Diferencias 9initas+

.spaVa3 UN.D<Tortosa+

J7&TT) Otto+ 1W"46+ .cuaciones Diferenciales Ordinarias+ .ditorial Re$ert23 ,arcelona+

ttps3LL+%outube+comLatc$Aq/dX4&Y=9*

ttps3LL+%outube+comLatc$AMta"M4!UM

ttps3LL+%outube+comLatc$ATiMp%H&DM

ttps3LL+%outube+comLatc$AONOD$&ZtU

https://www.youtube.com/watch?v=qVdK4AwX8Fg

https://www.youtube.com/watch?v=MQwta7M4_UM

https://www.youtube.com/watch?v=TwiMpQyHADM

https://www.youtube.com/watch?v=OZNODvAwYtU

https://www.youtube.com/watch?v=MQwta7M4_UM

https://www.youtube.com/watch?v=TwiMpQyHADM

https://www.youtube.com/watch?v=OZNODvAwYtU

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