UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

ECUACIONES DIFERENCIALES FASE 3- UNIDAD 3

PRESENTADO POR: YAMILE SERRANO ARO CDIGO: 37544661

OSCAR MAURICIO MELO CDIGO 80.452.627 MARTHA LILIANA IDROBO CDIGO 1061748588

DIEGO FERNANDO MUOZ ARANA CDIGO: 72.226.591

GRUPO: 100412_4

TUTOR: MARCELA ALEJANDRA PRADO

ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA

INTRODUCCION

Con el desarrollo del presente trabajo colaborativo estaremos dejando en

evidencia los conocimientos adquiridos durante el estudio de la unidad numero 3

del curso de ecuaciones diferenciales mediante la solucin de problemas

propuestos en la gua de trabajo; adems nos ayuda a adquirir destrezas y

habilidades inter personales para lograr un trabajo con un alto desempeo en

equipo.

Conscientes de la importancia de las ecuaciones diferenciales donde se brinda una formacin sobre los modelos matemticos de ecuaciones y sus soluciones aplicadas en las diferentes disciplinas del saber cmo la ingeniera, la fsica, y la ciencia entre otras, en la presente actividad se pretende demostrar la aplicacin del estudio de las ecuaciones diferenciales de orden superior, estudio de series y funciones especiales, mediante la resolucin de series de Taylor, Estudiadas en la unidad tres del curso Ecuaciones diferenciales

Adems se busca la interaccin grupal para compartir conocimientos, aclarar dudas y dar solucin a los problemas propuestos en la gua de trabajo colaborativo

OBJETIVOS

Aprender la parte teora y prctica del estudio de series y funciones especiales para la solucin de problemas en forma gil, para lograr los objetivos propuestos en esta unidad.

Presentar la evidencia de los conocimientos adquiridos en la unidad 3 del curso ecuaciones diferenciales con la resolucin de ejercicios de series de potencias especiales, funciones especiales y series matemticas. aplicando la tcnica de series de Taylor.

Implementar competencias que permitan comprender y utilizar las diferentes tcnicas analticas y cualitativas para resolver ecuaciones diferenciales en sistemas simples y predecir su comportamiento con el fin de ser aplicados en nuestro desempeo profesional.

DESARROLLO DEL TRABAJO

Temtica: ecuaciones diferenciales y solucin por series de potencias

1. Resolver el problema de valor inicial a travs del mtodo de series de Taylor:

=

2, 0 = 1

Replanteamos la ecuacin (1)

x = 1 + 2

0

Aplicamos mtodo de Taylor

Calculamos las derivadas sucesivas evalundolas en x = 0

(x) = 2x2 0 = 0

x = 4x2 2 2 0 = 2

x = 8x3 + 12x 2 0 = 0

x = 16x4 48x2 + 12 2 0 = 12

Notamos que 0 = (0) 0 = 1 y 0 = 0

Reemplazamos

x = 1 + x 3

3+

5

10 2

Suponiendo que la ecuacin (1) tiene una solucin en series de potencias

x =

=0

3

Entonces cuando x = 0 en la ecuacin (3) imponiendo la condicin inicial

obtenemos:

u 0 = 1 = 0

Diferenciando la ecuacin (3) se obtiene:

x =

=1

1 = + 1 +1

=1

4

=

!

=0

= 1 2

!

=0

(5)

Reemplazamos (4) y (5) en (1) tenemos:

x =

=1

1 = 1 2

!

=0

En forma equivalente

1 + 22 + 332 + 44

3 + 554 + . = 1 x2

4

2+

6

6

Igualando los coeficientes de potencias iguales

1 = 1, 2 = 0, 3 = 1

3, 4 = 0 5

1

10, 6 = 0, ..

En general, se tiene 2 = 0

21 = 1 21

2 1 1 ! = 1,2,3,

De acuerdo con lo anterior, se tiene que la solucin en series de potencias viene

dada por

x = 1 + 1 2+1

(2 + 1)!

=0

.

2. Revisar la convergencia de las siguientes series

a)

!

=1

La serie diverge segn el criterio del lmite como se puede ver en la grfica:

!

=1

=

c)

( + 1)( + 2)( + 3)

=1

La prueba de la relacin no es apropiada para este caso, es necesario emplear el criterio de comparacin bajo el cual la serie si tiene convergencia:

La frmula de la suma parcial para esta serie que converge es:

Adicionalmente es posible verificar esta condicin grficamente:

Se observa que es con el aumento de n el valor obtenido de la serie tiende a converger en un valor, en este caso .

D)

1 12

1

nn

La serie converge a un valor irracional (1.5289):

1

(2 + 1) 1.5289

=1

La forma de hallar esta valor y verificar la convergencia de la serie es empleando el mtodo grfico, ya que de lo contrario la solucin es demasiado complicada. Por medio del mtodo grafico se obtiene que:

E)

1 !

1

n n La serie converge empleando la prueba de la relacin, en este caso esta se complementa con el mtodo grafico para evaluar el lmite de convergencia de la serie n el infinito. En este orden de ideas se llega a que:

Adicionalmente es posible determinas el valor de convergencia de la serie como:

1

(!) 1.71828

=1

O tambin puede expresarse de una forma ms precisa como:

1

(!)= 1

=1

3. Hallar la solucin general de la siguiente ecuacin como una serie de potencial alrededor del punto x=0.

+ 2 = 0

La expansin empleando series de taylor para esta ecuacin diferencial en el punto x=0 surge de combinar las siguientes series:

La serie de taylor en x=0 para el trmino y est dado por:

Para el caso del trmino 2xy se tiene que:

Con esto es posible entonces acoplar las dos series, de este proceso se puede

despejar la solucin de la ecuacin diferencial que en este caso corresponde a:

En la forma de serie queda como:

De donde es posible deducir que:

4. Resolver por series la ecuacin diferencial

+ 1 + 2 = 0 = 1 0 = 1

Para solucionar esta ecuacin diferencial se puede hacer uso de la serie de taylor para y como:

Adicionalmente para ( + 1) se tiene que:

Mientras que para el trmino 2:

Es posible tambin hacer uso de las series de taylor para y empleadas en el punto

anterior para dar solucin al caos actual.

Con estas series y su respectivo acoplamiento es posible entonces hallar la

solucin a la ecuacin diferencial de forma aproximada como:

Para facilitar las cosas es posible reacomodar los trminos de la ecuacin

diferencial antes de darle solucin de la siguiente manera:

La forma extendida de la ecuacin diferencial es:

Finalmente es posible llegar a la solucin que es de la forma:

Donde segn las condiciones de frontera se tendran un sistema como el siguiente

que es linealmente dependiente, esto quiere decir que se tienen infinitas

soluciones:

1 = 1 + 2

1 =1

2+

2

2

5. Solucin en forma de serie de potencias en torno a un punto ordinario

La hiptesis

=

=0

(2 + 1) 1 2 +

=2

1

=0

=1

= 1 +

=2

1 2 +

=0

=1

=2

= 2 20 0

0 + 63 + 1 1 + 1

=2

+ 1 2 +

=2

=2

=

x2y+ xy+y=0

EN:

1 =

=2

1 = 2

=

=

=2

=

=2

Entonces:

= 2 2 0 + 63 + 1 + + 2 + 1 +2 +

=2

= 2 2 0 + 63 + + 1 1 + + 2 + 1 +2 = 0

=2

Entonces:

2 2 0 = 0 2 =02

3 = 0

+ 1 1 + + 2 + 1 +2 = 0

+2 =1

+ 2 = 2,3,4, ,,

LUEGO

4 = 1

42 =

1

2.40 =

1

22. 2!

5 = 2

53 = 0

6 = 3

64 =

3

2.4 .60 =

1. 3

23 . 3!0

7 = 4

75 = 0

8 = 5

86 =

3 . 5

2.4 .6 .8 0 =

1 . 3 . 5

24. 4!0

9 = 6

97 = 0

10 = 7

108 =

3 . 5 . 7

2 . 4 . 6 . 8. 10 0 =

1 . 3 . 5. 7

24. 4!0

De lo anterior se tiene que:

= 0 + 1 + 2 2 + 3

3 + 4 4 + 5

5 + ..

= 1 + 0 1 +12

2

1

22 2!4 +

1 . 3

23 3!6

1 . 3 . 5

24 4!8 +

1 . 3 . 5 . 7

25 5!10 +

Luego la solucin sera:

1 = 0 1 +12

2+ 1 1

1 . 3. 5 (2 3)

2!2

=2

; < 1

PROBLEMA PLANTEADO

Se lanza un cuerpo de masa m hacia arriba de la tierra con velocidad inicial v0. Suponiendo que no hay resistencia del aire, pero tomando en cuenta la variacin del campo gravitacional con la altura, encontrar la menor velocidad inicial v0 que necesita el cuerpo para que no regrese a la tierra. Esta velocidad inicial v0 se le llama velocidad de escape. (Ver figura 1.)

figura 1.

SOLUCIN

La energa mecnica de un objeto en rbita es: =1

22

En donde

v = velocidad orbita

g= gravedad

M = masa de la tierra,

m = masa del objeto

R = radio de la tierra

El objeto se mantiene en rbita mientras su energa mecnica es negativa.

=

2

+ 2

donde el signo indica que la direccion de la fuerza es hacia el centro de la tierra.

La velocidad crtica para que escape de la influencia de la gravedad se alcanza

cuando la energa mecnica sea nula. No tiene energa para regresar,

eventualmente, a la Tierra.

Cancelando m, y resolviendo la ecuacin diferencial resultante y poniendo como

condiciones iniciales, en t = 0, x = 0 y v = v0,

Se llega a que: 2 = 02 2 +

22

+ 0

Por lo tanto 02 2

De donde deducimos la expresin de la velocidad de escapees:

= 2 = (2 9.80 2 6,37 106) = 11.174.

= .

PROBLEMA PROPUESTO

Calcular la intensidad que circula por el circuito esquematizado en la figura adjunta

con la condicin I = 0, para t = 0 y suponiendo que la fuerza electromotriz es

constante.

Puesto que tenemos un circuito con resistencia y autoinduccin, su ecuacin

diferencial ser de la forma:

RI+LdIdt=E(t)

Tenemos una ecuacin diferencial que no es diferencial exacta, por lo que para resolverla hemos de obtener previamente el factor integrante:

(t)=1P0expP1P0dt=1LexpRLdt=1LeRt/L

A partir de ah podemos obtener la solucin general mediante:

I(t)=1P0expR(t)dt+CP0=eRt/L1LeRt/LE(t)dt+CeRt/L Si E(t) es constante, la ecuacin se integra fcilmente, ya que se tiene:

I(t)=EReRt/LRLeRt/Ldt+CeRt/L=ER+CeRt/L Y siendo I = 0 para t = 0

0=ER+C C=ER I(t)=ER(1eRt/L)

CONCLUSION

Para finalizar, gracias a este trabajo nos permite comprender los anlisis de las

ecuaciones diferenciales, lineales homogneas con coeficientes constantes y

diferenciales lineales no homogneas, ecuacin diferencial por el mtodo de

variacin de parmetros, ecuaciones diferenciales por el mtodo de coeficientes

indeterminados, soluciones linealmente independientes de la ecuacin diferencial

y sus aplicaciones los cuales se ven reflejadas en ejemplos de nuestro diario vivir.

BIBLIOGRAFIA

Campos, B., Chiralt, C. (2011). Ecuaciones diferenciales. Departamento de Matemticas Universidad Jaume I. Castelln de la Plana: Publicacions de la Universitat Jaume I.Leer pginas 115 a 118 ISBN: 978-84-693-9777-0 Recuperado de: http://www.etnassoft.com/biblioteca/fundamentos-matematicos-de-la-ingenieria/ Cuartas, R., (2011). Mdulo 4: ecuaciones diferenciales de orden superior. [Videos]. Disponible en http://aula.tareasplus.com/Roberto-Cuartas/ECUACIONES-DIFERENCIALES Escobar, J. (2004). Ecuaciones diferenciales con aplicaciones en maple. Leer pginas 81 a 100. Texto completo en http://matematicas.udea.edu.co/~jescobar/ Zill, D. Cullen, M. (2009). Ecuaciones Diferenciales con Problemas de Valores en la Frontera. Sptima Edicin, Mxico, Cengage Learning. Leer pginas 117 a 174