100412 207Fase.2 Colaborativo

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de ciencias agrícolas, pecuarias y del medio ambiente ECUACIONES DIFERENCIALES

ECUACIONES DIFERENCIALES

COLABORATIVO 2

PRESENTADO POR:

RODOLFO ORLANDO PEREZ PLAZAS CODIGO: 1075280772

LUCENA IBARRA PERDOMO

CODIGO NO. 26552421

FRANK STEVEN TRUJILLO CODIGO:

TUTOR: WILLIAM DE JESUS MONTOYA HENAO

GRUPO: 100412_207

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS AGRÍCOLAS, PECUARIAS Y DEL MEDIO AMBIENTE 2015


INTRODUCCION

Este trabajo se realizó con el fin de profundizar el manejo de las ecuaciones diferenciales ,

usando la estrategia de Aprendizaje Basado como experiencia pedagógica organizada para

consultar y solucionar problemas que se presentan en el mundo real, mediante los cuales se

pueda facilitar la comprensión de los nuevos conocimientos y el logro de aprendizajes

significativos. Además, porque se requiere saber que la participación en estas actividades

implica investigación, estudio autónomo, trabajo colaborativo y apoyo mutuo para facilitar el

desarrollo del proceso. Se desarrolló, porque se vio la necesidad de que nosotros los

estudiantes analicemos las temáticas abordadas y las relacionen de manera individual, con el

fin de que identifiquemos los temas a tratar a través de la realización y posterior consolidación

de conocimiento.


ANALISIS DEL PROBLEMA (Rodolfo Orlando Perez)

Base paracaidista de masa 100 Kg –incluye sus implementos- se deja caer de un avión que

vuela a una altura de 2000 m, cae bajo la influencia de la gravedad y de la resistencia continua,

Supongamos que la resistencia del aire es proporcional a la velocidad del paracaidista en cada

momento, con constante de proporcionalidad 30 N.s/m con el paracaídas cerrado, y 90 N.s/m

con el paracaídas abierto. Si el paracaídas se abre a los diez segundos del lanzamiento, hallar

el instante aproximado en el que el paracaidista llega al piso. ¿Cuál es su velocidad en ese

instante?

( )

∫

( )

∫ ( ) [ ( ) ] ∫ ( ) ( )

∫( ∫ ( ) ) ∫ ∫ ( ) ( )

∫ ( ) ∫ ∫ ( ) ( )

∫ ( ) ∫ ∫ ( ) ( )

( ) ∫ ( )

∫ ( ) ( )


∫

(

)

∫( ) ∫

∫

∫

(

)(

)

( )

(

)


ANALISIS DEL PROBLEMA (FRANK STIVEN TRUJILLO)

CASO 1:

Se aplicó mal la solución de la ecuación diferencial, pues la formula cuadrática está

bien solucionada.

√

Verdadera solución

( )

Derivada de la solución

( ) ( ) ( )

Cuando ( )

( ) ( )

( ) ( )

Cuando ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

Luego

Solución general:


( )

CASO 2:

Aquí el error radica desde la solución de la ecuación cuadrática pues la respuesta es

equivocada, mal calculado el determinante de esta.

√

La verdadera solución:

( )

Derivada de la solución:

( )

( )

Cuando ( )

( ) ( )

( )

Cuando ( )

( )

( )( ( ))

Luego

La solución general es:

( )


CASO 3:

Se calculó mal el determinante de la ecuación cuadrática lo cual genero el cambio de

todas las variables propuestas en la solución.

√

√

La solución:

( ) ( √ )

( √ )

La derivada de la solución:

( ) ( √ ) ( √ ) ( √ )

( √ )

Cuando ( )

( √ )( )

( √ )( )

Cuando ( )

( √ ) ( √ )

Luego de resolver el sistema de ecuaciones se obtiene



( ) ( √ ) ( √ )

En general los errores presentados en la solución radican en la mala aplicación de la

formula cuadrática para hallar las raíces de la ecuación característica, esto genero una

solución falsa para cada uno de los casos presentados del movimiento amortiguado.

ECUACIONES DIFERENCIALES

TRABAJO COLABORATIVO FASE 2

1. Indique cuáles de las siguientes ecuaciones son diferenciales lineales homogéneas con coeficientes constantes y cuáles son diferenciales lineales no homogéneas y resuélvalas.

SOLUCIÓN:

A.

Sacamos la ecuación característica

Factorizamos caso trinomio de la forma

( )( )

Igualamos a cero

Luego la ecuación solución es

Luego reemplazamos las condiciones iniciales en la solución


( )

( )

( )

Ecuación 1

Luego derivamos una vez la solución y reemplazamos la condición inicial

( )

( )

( )

Reemplazamos la ecuación 1

( )

Entonces el valor obtenido lo reemplazo en la ecuación 1.

Por lo tanto la ecuación general es

B.

Está asociada a la ecuación algebraica


( )

Luego ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

Así, ( )


) ( ) ( )

Es de la forma ( ) ( ) donde ( ) ( )

Por lo tanto es una E.D Lineal homogénea con coeficientes constantes.

Solución: Usamos la ecuación auxiliar:

( ) ( )

√( ) ( )( )

( )

√

√

√

Tiene dos raíces reales distintas:

√ √

Por lo tanto la solución general es:

( √ )

( √ )

( √ ) ( √ )

( √ ) ( √ )

Como ( ) ( )

( √ )( )

( √ )( )

( √ ) ( √ ) ( ) ( √ )

( √ )( )

( √ ) ( √ )

( √ ) ( √ )

De 1 y 2 se tiene el siguiente sistema

( √ ) ( √ )

( √ ) ( √ )( ) ( √ ) ( √ )

[ √ √ ] [ √ ]


√

√

√

Así la solución particular;

( √ )

( √ ) Remplazamos los valores de C1 Y C2

√

( √ )

√

( √ )

3. Resolver la siguiente ecuación diferencial por el método de variación de parámetros:

La ecuación característica

Cuya solución es

Sustituyendo por tenemos:

El sistema de ecuaciones resultantes

Multiplicando la primera ecuación por y la segunda ecuación por


Luego

Lo cual implica

Integrando resulta

∫( )

∫

Entonces reemplazamos

( ) ( )

( )


( )

4)

Primero resolvemos la E.D homogénea

( )( ) Tiene dos raíces reales diferentes

Por lo tanto

Ahora como


( )

Igualando coeficientes se tiene:

(

)

(

)

Luego la solución de la E.D es;

6) x2y’’+ xy’+y=0

Esta es una Cauchy – Euler Homogénea.

Donde,

El análisis de esta ecuación se realiza en el intervalo. (0 + ∞) Consideramos que es

una solución a la ecuación anterior.

( )

Así,

( )

( )


( )

( )

(Soluciones complejas)

Por lo tanto,

Y la solución es

( ) ( )


CONCLUSIONES

Teniendo en cuenta la temática que tratamos en esta actividad logramos con el objetivo

trazado en cual adquirimos importantes conocimientos que nos servirán de gran utilidad

durante nuestro proceso educativo en la que fortalecimos consigo las competencias

cognitivas, comunicativas y la capacidad de expresar con argumentos concretos y

representativos nuestras ideas de un determinado tema teniendo en cuenta los

instrumentos adecuados para dicho fin donde se represente de manera detallada y

precisa lo que se quiera dar a conocer o sustentar.


BIBLIOGRAFÍA

William J. M. (2014).Syllabus " ECUACIONES DIFERENCIALES". Universidad Nacional Abierta y a Distancia - UNAD.

Campos, B., Chiralt, C. (2011). Ecuaciones diferenciales. Departamento de Matemáticas Universidad Jaume I. Castellón de la Plana: Publicaciones de la Universitat Jaume I. Leer páginas 104 ISBN: 978-84-693-9777-0 Recuperado de: http://www.etnassoft.com/biblioteca/fundamentos-matematicos-de-la-ingenieria/

Universidad Nacional (2012). Ecuaciones diferenciales-Lineales, Recuperado de la siguiente página: http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001025/lecciones_html/cap01/c3.html

http://www.etnassoft.com/biblioteca/fundamentos-matematicos-de-la-ingenieria/

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001025/lecciones_html/cap01/c3.html

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