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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

ECUACIONES DIFERENCIALES

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ACTIVIDAD COLABORATIVA MOMENTO 2

PRESENTADO POR:

LUKDARY ABRIL RUEDA CÓDIGO: 1.091.653.080

MARITZA ANDREA FUENTES CASTELLANO CODIGO:

KAREN ANDREA JARDÍN CASTRO CÓDIGO: 1036936410

CARLOS ARTURO MORA CODIGO:

PRESENTADO A: LIC.DIEGO FRANCISCO MARTÍNEZ

GRUPO: 216

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIAESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA

Abril 14 2016

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INTRODUCCION

El estudio de series y funciones especiales para la solución de ecuaciones diferenciales es un tema

necesario y que todo estudiante debe realizar para resolver este tipo de ecuaciones clasificadas

en lineales, de orden dos o superior con coeficientes constantes buscando la solución que se pueda

expresar explícita o implícitamente en términos de las funciones elementales llevando a un proceso

complejo, en donde las series y funciones especiales se constituyen como un factor muy

importante en el desarrollo de este tipo de ecuaciones basado en métodos, gráficos, numéricos y

en especial las series de potencias y las series de Taylor y maclaurin. Con la adquisición de estos

conocimientos el estudiante contara con una herramienta valiosa a la hora de trabajar con este tipo

de ecuaciones buscando de forma más efectiva y mejor orientada la solución y aplicación del

conocimiento obtenido en diferentes áreas relacionadas con este tema. En el desarrollo del curso,

el estudiante tiene la oportunidad de encontrar las definiciones de los temas tratados, así mismos

encontraremos ejemplos prácticos por cada tema a tratar como también ejercicios para resolver.

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DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD INDIVIDUAL

Temática: ecuaciones diferenciales de orden superior

Indique cuáles de las siguientes ecuaciones son diferenciales lineales homogéneas concoeficientes constantes y cuáles son diferenciales lineales no homogéneas y resuélvalas.

A. ′′ + ′ = = , ´ = Nombre estudiante que realiza elejercicio:

Lukdary abril Rueda

PROPOSICION ENUNCIADO OEXPRESION MATEMATICA

RAZON O EXPLICACION

′′+2

′

8

=0

ó

ℎé + 2 m 8 = 0 m + 4 m 2 = 0 Comenzamos de la ecuación auxiliar:

= 4 y = 2 Las raíces de la ecuación auxiliar son

y = +

y = −

+

Como son raíces reales y distintas, entonces

y = −∗ + ∗ = 0, da que + =0, Por lo tanto sonopuestos.

Ahora, aplicando las condiciones iniciales a lasolución general de la ecuación. Primero,

́= 4Ce− + 2Ce 0 = 4C + 2C = 1 A partir de la derivada:

C + 2C =0 y4C + 2 = 1 Ahora, resolviendo algebraicamente

= ⁄ = ⁄ se tiene que:

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y = 0 − 14 − la solución del problema de valor inicial es:

.′′ + ′ = = , ´ = Respuesta

Nombre estudiante que realiza elejercicio:

CARLOS ARTURO MORA

PROPOSICION ENUNCIADO OEXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZON O EXPLICACION

′′ + 2′ = 0 Solución: Retomemos la ecuación original2 + 2 1 = 0

1 ( + 1)2 = 0

Ecuación característica

1 = 2 = 1 = 1 + 2

Tiene dos raíces complejas repetidas:

= 11 + 22 Luego la solución general es:

= 11 + 22 Es una ecuación diferencial lineal homogénea con coeficienteconstante

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D.′′ + ′ + = = ,′ = Respuesta


Lukdary Abril


RAZON O EXPLICACION

3 +14+58 = 0 =≫

= ± √ 42

Solución: Retomemos la ecuación originalcon la formula

= 14± 14 435823 =

14± √ 1966966 = 14± √ 500

6 =14±10√ 5

6 27 ± 5√ 5

6 = 7 ± 5√ 5

3

=≫ −±√ − , −−√ − ,

Damos inicio a la Solución

= 5√ 53 + 5√ 53

= 5√ 53 + 5√ 5

3

Por tanto la solución general de la ecuación

diferencial es:

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. ′′ ′ + = = , ′ = Respuesta


Maritza Andrea Fuentes Castellanos


RAZON O EXPLICACION

4 + 4 = 0 2 2 = 0 = 2 = 2

= + 1 = +

′ = 2 + 2 1 = 2 + 2

+ =12 2 + 2 = 1

2 2 = 2

2 + 2 = 1 0 = 1

Es inconsistente para esas condiciones iniciales.

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2. Demostrar que3

X y3

x ; son soluciones linealmente independientes de la

siguiente ecuación diferencial: 0642 y

dx

dy x y x en el intervalo:

x

Respuesta

Nombre estudiante que realiza el ejercicio: Lukdary Abril RuedaPROPOSICION ENUNCIADO OEXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZON O EXPLICACION

xy 4xy + 6 y = 0 wy, y = y yy y = [

x |x|3x 3|x|]

Lo primero que debemos corroborar, es elWronskiano para el par de soluciones dadas, y1 y y2:

w = 3 x

|x|

3x

|x| Por lo tanto:

El cual es diferente de cero, para todo valornegativo de x, por lo cual podemos concluirque en el intervalo ∞ < x < ∞,

D =4 D = 4 Por tanto las raíces son:Son linealmente independientes para todo xmenor que cero, pero son linealmentedependientes para todo x mayor que cero.Do otro modo:

x6Cx + 6 C|x|4x3Cx + 3C|x|+6Cx + C|x| = 0 Remplazando tenemos:

6Cx + 6Cx|x| 12Cx 12Cx|x|+ 6Cx + 6C|x| = 0 Factorizando.

6Cx|x| 12Cx|x| + 6C|x| ≠ 0 Simplificando:

Podemos concluir de igual forma que para cualquier valor negativo de x, la ecuación es diferentede cero, dado el exponente del valor absoluto.

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3. Resolver la siguiente ecuación diferencial por el método de variación de parámetros:

+ = Respuesta

Nombre estudiante que realiza elejercicio: Maritza Andrea Fuentes Castellanos


RAZON O EXPLICACION

+ = 0 + 1 = 0

= 1

, = ±√ 1

= ± 1

Solución complementaria de la ED homogéneaasociada

= ± = 0 ± 1

Teniendo en cuenta la forma

= cos+ sin = cos1+ sin1

= cos+ sin

Por lo anterior, es una solución compleja y la

ecuación complementaria será de la forma:

= ′ ′ = [cos sincos cos]

= 1

Calculamos Wronskiano, teniendo como base:

=cos =sin ℎ=sec

= [ 0 ℎ ] = [0 sin

sec cos]=tansec

Encontramos y

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= [ 0′ ℎ] = [cos 0

cos sec ]= s e c

′ = = tansec1 ′ = =

sec1

= ∫ t a n s e c = s e c +

= ∫ s e c = l n s e c + t a n +

= + =seccos

+lnsec+tansin =1+lnsec+tansin

Con esto, encontramos la solución particular:

= + = 1 + l nsecx+tanx sinx +C c o s x + C sinx

= 1 + 2 + | + | ∗ + 1

Solución general

4 Resolver la siguiente ecuación diferencial por el método de coeficientes

indeterminados

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5. + + = + Respuesta


KAREN ANDREA JARDIM CASTRO

PROPOSICION ENUNCIADO O

EXPRESIÓN MATEMÁTICA RAZON O EXPLICACION

= + La solución de esta ecuación está dada por:

+ 3 + 2 = 0 + 3 + 2 = 0 + 2 + 1 = 0 Primero debemos hallar :

= 2

= 1

Las soluciones son:

= + La solución es:

= − + − Entonces:

= 3 + 1 = +

=

= 0

Ahora debemos hallar :

+ 3 + 2 = 3 + 1 0 + 3 + 2 + = 3 + 1 0 + 3 + 2 + 2 = 3 + 1 2 + 3 + 2 = 3 + 1 2 + 3 + 2 = 3 + 1

Reemplazando:

2 = 3 = 3

2

3 + 2 = 1

Se tiene que:

3 32 + 2 = 1 92 + 2 = 1 2 = 1 92

Reemplazando A:

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2 = 72 = 74

= +

= 32 74 Entonces:

= 32 74 = +

= + + 32 74

La solución es:

6. Encontrar un operador diferencial que anule a

. + 3 .3 22 1 . Respuesta


Lukdary Abril

PROPOSICION ENUNCIADO O

EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZON O EXPLICACION

. + 3 . 2 1 . Solución:

. . .:

= 1 = 2 Por lo tanto el operador diferencial que anula la ecuación es: 1 = 0

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6. Resolver la siguiente ecuación diferencial:′′ + ′ + = Respuesta

Nombre estudiante que realiza elejercicio: Lukdary abril


RAZON O EXPLICACION

= dydt

= 2

dydt

: = : =

− yd dydt + −

dydt + y = 0

Reemplazando en la ecuación diferencial:

y

d dy

dt+ dy

dt+ y = 0 Simplificamos

= + 1 = 0 1 = ; 2 = Es una ecuación diferencial homogénea decoeficientes constantes, por lo tantoEl polinomio característico es:

= c o s + ; = = + Luego la solución general es:

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DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD COLABORATIVA

Primera Actividad

Una masa que pesa 4 lb, estira un resorte 3 pulgadas al llegar al reposo en equilibrio y se le aplica una

velocidad de √2 pies/seg dirigida hacia abajo. Despreciando todas las fuerzas de amortiguación o externas

que puedan estar presentes, determine la ecuación de movimiento de la masa junto con su amplitud,

periodo y frecuencia natural. Cuánto tiempo transcurre desde que se suelta la masa hasta que pasa por la

posición de equilibrio?

PROPOSICION ENUNCIADO OEXPRESION MATEMATICA

RAZON O EXPLICACION

La ecuación diferencial del movimiento libre noamortiguado es:

1) + = 0

+ = 0

Como vamos a emplear el sistema técnicode unidades inglesas, las medidasempleadas en pulgadas se deben pasar a pies.

3 = 1 4 Como 1=12, entonces:

= ; 4 = 32 /

= 432 = 18

Ya que hay que convertir las unidades de peso, que están en libras, en unidades de

masa.

= = 4 = pie4 = 14 →=16/

También según la ley de Hooke,

+

161/8 =→

+ 1 2 8 = 0

Por lo tanto la ecuación diferencial setransforma.

Ahora, como el contrapeso parte de laposición de equilibrio, el desplazamiento y la

velocidad iniciales son (0)=0, ′0=√2donde el signo es positivo porque la masa

recibe una velocidad inicial en dirección

positiva o hacia abajo.

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=1+28√2+28√2

′=8√218√2+8√228√2

Entonces, 2=128, o sea, =8√2, de modoque la solución general d la ecuación

diferencial es:

0=0,′0=√2 Al aplicar las condiciones inicialesSe obtiene 1 = 0 , 2 = 1 / 8 Así, laecuación del movimiento es:=

8√2

Por lo tanto, la amplitud = 1 8⁄ EL periodo =/=/√=/√ →=√/ y lafrecuencia natural = /2 = 8√2/2 → = 4√2/.

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Segunda Actividad

EJERCICIO Y SOLUCIÓN

PLANTEADA

OBSERVACIONES, ANEXOS,

MODIFICACIONES A LA SOLUCIÓN

PLANTEADA

Enunciado:

Enunciado: El movimiento de un sistema masa-resorte

con amortiguación está regido por la ecuación

diferencial:

0252

2

xdt

dxb

dt

xd

En donde, 1)0( x , 0)0(' x . Encuentre laecuación del movimiento para los siguientes casos:

Caso 1 : Movimiento su amortiguado: 6b .Caso 2 : Movimiento críticamente amortiguado: 10b .

Caso 3 : Movimiento sobre amortiguado: 14b .

Instrucción para los enunciados, hice de color rojo, negro y azul.

Lo que está de color negro son, los enunciados y ecuaciones

que considere Correctas.

Lo que está de color rojo, son las ecuaciones que considere

erróneas.

Lo que está de color azul, son las correcciones y

procedimientos anexos.

Solución:

Caso 1: 6b La ecuación característica es:

0252 b , cuyas raíces son

i432

10066 2

Solución:

Caso 1: =6 La ecuación característica es: + + = + b m + 2 5 = 0Cuyas raíces son

6 ± √ 62 4 ∗ 1 ∗ 2 5 22 =

6 ± √ 62 10022

= 3 ± 4 i La ecuación de movimiento tiene la forma:

t eC t seneC t x t t 3cos3)( 424

1

)3cos3(3)(' 21

4

1 t C t senC et x t

)33cos(4 213 t senC t C e t

La ecuación de movimiento tiene la forma:

La ecuación de movimiento tiene la forma:xt = C1e 4tsin3t+C2e 4tcos3t|xt = C1e 3tcos4t+C2e 3tsin4t=314+24x′t = 31e 4tC1sin3t+C2cos3t+4e 3tC1cos3+ C2sin3txt =3e 3t(C1cos4t+C2sin4t) + e

3t(4C1sin4t+4C2cos4t)

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Para 1)0( x y 0)0(' x , se tiene el sistema:

11 C ,

21 430 C C Por tanto: 1

1 C y

4

32 C

Finalmente, la ecuación de movimiento tiene la forma:

)3cos4

33()( 4 t t senet x t

Para x0 = 1 , x ′0 = 0, se tiene el sistema: 1 = C1, 0 = 3 C1 + 4C2. Por tanto: C1 = 1 , C2 = 3

4⁄


xt = e 4tsin3t+ 34 cos3t

xt = e 3tcos4t+ 34 sin4t Caso 2: 10b La ecuación característica es:

0252 b , cuyas raíces son

52

1001010 2

La ecuación de movimiento tiene la forma:t t t et C C teC eC t x 5

21

5

2

5

1 )()(

t t et C C eC t x

5

21

5

2 )(5)('


11 C ,

12 50 C C

Por tanto: 11 C y 5

2 C


)51()( 5 t et x t

Caso 2: =10 La ecuación característica es:

λ 2 + b λ + 2 5 = 0 m2 + b m + 2 5 = 0Cuyas raíces son−±√−

= 5 =5 −±√ 2− =-5La ecuación de movimiento tiene la forma:xt = C1e5t + C2te5t = C1 + C2te5txt = C1e 5t + C2te 5t = C1 + C2te 5 txt = C2e5t 5(C1 + C2t)e5t(=55(1+2)+5(2) 0=1 ′0=0, : 1

= 1 , 0 = 2 5 1 . : 1 = 1 2 = 5Finalmente, la ecuación de movimiento tiene la forma:

= 1 + 5 = −1+5 Caso 3: 14b La ecuación característica es:

a. 0252 b ,

cuyas raíces son

2472

1001414 2

La ecuación de movimiento tiene la forma:t t eC eC t x )247(

2

)247(

1)(

t t eC eC t x )247(2

)247(

1 )247()247()('


Caso 3: =14 La ecuación característica es:λ 2 + b λ + 2 5 = 0 | m2 + b m + 2 5 = 0

cuyas raíces son

2472

1001414 2

La ecuación de movimiento tiene la forma:t t eC eC t x )247(

2

)247(

1)(

t t eC eC t x )247(2

)247(

1 )247()247()('


211 C C )247()247(0 21 C C

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211 C C

)247()247(0 21 C C

Por tanto:

48

247241

C y

48

247242

C


t t eet x )247()247(

48

24724

48

24724)(

Entonces.

C1(7 √ 24)+ C2(7 √ 2 4 ) = ( 7 √ 24)

C17+√24+C2 7 √24= 02(2√ 2 4 ) = ( 7 √ 24)

C2 = 7 √242√24 ∗2√ 242√ 24 =

14√242√24∗√242√24

= −√ = −√

Ahora se remplaza C2 para hallar C1.Así:C1 + C2 = 1

C1 + 247√2448 = 1

C1 = 1 2 4 7√ 2448 =4824+7√24

48 24+7√24

48

Por tanto:

: 1 = 24+7√2448 2 =247√24

48 , ó :Finalmente, la ecuación de movimiento tiene

la forma: t t eet x )247()247(

48

24724

48

24724)(

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CONCLUSIONES

Se utilizaron los métodos explicados en el módulo y en diferentes bibliografías para solucionar

ecuaciones diferenciales homogéneas de segundo orden y orden superior.

Se identificaron ecuaciones diferenciales no homogéneas por el método de coeficientes

indeterminados y de variación de parámetros.

Se revisaron los procedimientos aplicados en el desarrollo de problemas empleando la modelación

de ecuaciones diferenciales.

El desarrollo de la actividad generó espacios para la aplicación de los conocimientos adquiridos en

el transcurso de la Unidad 2 de Ecuaciones Diferenciales; de igual manera, permitió aclarar

dificultades y falencias presentadas mediante la consulta de ayudas didácticas alternas al módulo.

Las ecuaciones diferenciales constituyen uno de los más poderosos instrumentos teóricos para la

interpretación y modelación de fenómenos científicos y técnicos de la mayor variedad, a saber,

aquellos que contienen dinámicas, que expresan evolución, transformación o cambio en términos

de algún conjunto de parámetros. Son, por eso, de especial importancia práctica y teórica para los

ingenieros de cualquier rama. Se realizaron aportes individuales y aportes para la actividad

colaborativa, donde se realizó el desarrollo de las ecuaciones diferenciales y problema planteado.

Se plantea las soluciones a los ejercicios descritos en la guía para tal fin

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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

García, A. (2014). Ecuaciones diferenciales. Larousse - Grupo Editorial Patria. 68-91. Recuperado

de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?docID=11017467

Alonso, A., Álvarez, J. Calzada, J. (2008). Ecuaciones diferenciales ordinarias: ejercicios y problemas resueltos.

Delta Publicaciones. 131-202. Recuperado de:

http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/id/10876923

López, M., & Acero, I. (2007). Ecuaciones diferenciales: teoría y problemas (2a. ed.). España:Editorial Tébar. 59-93. Recuperado

de:http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action?docID=10505343
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