10413303

Ciencia Ergo SumISSN: [email protected] Autnoma del Estado de MxicoMxico

Cervantes-Cota, Jorge L.; Rodrguez-Meza, M. A.La teora de la relatividad: ayer y hoy

Ciencia Ergo Sum, vol. 13, nm. 3, noviembre-febrero, 2006, pp. 253-264Universidad Autnoma del Estado de Mxico

Toluca, Mxico

Disponible en: http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=10413303

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253C I E N C I A e r g o s u m , V o l . 1 3- 3 , n o v i e m b r e 2 0 0 6- f e b r e r o 2 0 0 7

LA FSICA A CIEN AOS DE EINSTEIN

Recepcin: 6 de enero de 2006Aceptacin: 24 de febrero de 2006

La teora de la relatividad: ayer y hoyJorge L. Cervantes-Cota* y M.A. Rodrguez-Meza*

Resumen. Explicamos los dos postulados dela teora de la relatividad especial, poniendonfasis en los conocimientos cientficoshistricos detrs de las ideas que emple eljoven Albert Einstein en 1905. El papel decientficos como Maxwell, Michelson, Voigt,Lorentz, Fitzgerald, entre otros, es dilucidado.Tambin explicamos la geometra del nuevoespacio-tiempo que emana de la teora, ascomo las consecuencias en la medicin delespacio, tiempo y masas de observadores enmovimiento relativo. Finalmente, sedescriben algunas de las aplicaciones que hatenido y tiene una de las teoras ms sencillasy probadas de la historia de la ciencia: larelatividad especial.Palabras clave: Albert Einstein, relatividadespecial, espacio-tiempo, dilatacin deltiempo, contraccin de la longitud, masarelativista, reactores, estrellas, munes,sistemas de posicionamiento global.

The Theory of Special Relativity: Yesterdayand TodayAbstract. We explain the two postulates ofthe theory of special relativity, puttingemphasis on the historical scientificknowledge behind the ideas that the youngAlbert Einstein in 1905 used. The role ofscientists such as Maxwell, Michelson, Voigt,Lorentz, Fitzgerald, among others, isexplained. Also we explain the geometry ofthe new space-time that emanates from thetheory, as well as the consequences for themeasurement of space, time and mass byobservers in relative movement. Finally, someof the old and new applications are describedof one of the simplest and most proventheories in the history of science: special

relativity.Key words: special relativity, space-time, timedilation, length contraction, relativistic mass,reactors, stars, muons, global positioningsystems.

Introduccin

En este artculo contaremos una historia que emana de dosde los cinco trabajos que el joven Albert Einstein publicen 1905. Empezaremos con el artculo famoso intituladoSobre la electrodinmica de los cuerpos en movimiento, olo que es lo mismo, su teora de relatividad especial, que fueenviada para su publicacin el 30 de junio de 1905 (Einstein,

1905a). Despus explicaremos la famosa frmula de con-versin de masa en energa, E = mc2, la cual apareci publi-cada el 21 de noviembre de 1905 (Einstein,1905b).

A finales del siglo XIX y principios del XX las preocupacionesde los cientficos estaban enfocadas al desarrollo de la Fsicams que pensar en una nueva formulacin de las leyes de lanaturaleza. Haba algunos problemas de entendimiento de lanaturaleza, pero el sentir general era que ya se tena resuelto lo

* Departamento de Fsica, Instituto Nacional deInvestigaciones Nucleares. Apdo. postal 18-1027,Mxico, D. F. C.P. 11801.www.astro.inin.mx.

CIENCIA ergo sum, Vol. 13-3, noviembre 2006-febrero 2007. Universidad Autnoma del Estado de Mxico, Toluca, Mxico. Pp. 253-264.

254 CERVANTES-COTA, J. L. Y M.A. RODRGUEZ-MEZA LA TEORA DE LA RELATIVIDAD...

NMERO ESPECIAL

fundamental en fsica terica. Haba trabajo en el desarrollo yla precisin de las mediciones, pero aparentemente no habanecesidad de formular nuevas teoras. Sin embargo, s habaalgunos resultados que inquietaban a los cientficos. Entre ellosestaba la medicin de la velocidad de la Tierra con respecto alter lumnico, pero los intentos de medicin parecan indicarque no exista tal movimiento relativo.

Haba otro elemento que al parecer slo inquietabaa pocos, y era el hecho de que las nuevas leyes del electro-magnetismo, resumidas y completadas por el trabajo deJames Clark Maxwell, tenan forma matemtica diferentepara diferentes estados de movimiento. Es decir, las leyesno permanecan invariantes ante transformaciones de mo-vimiento relativo. Esto era curioso, ya que las leyes detransformacin de la relatividad de Galileo s dejabaninvariante a las leyes de la mecnica de Newton: las leyesde las fuerzas eran las mismas para observadores en mo-vimiento o en reposo absoluto, pero las leyes electromag-nticas resultaban no serlo. Sin embargo, en 1887 elcristalgrafo Woldemar Voigt demostr, en su trabajober das Doppler'sche Princip (Voigt, 1887), que la ecua-cin de onda que describe los fenmenos ondulatorios,permanece sin cambios cuando se considera en un siste-ma en reposo respecto del ter o en movimiento relativo.En ambos sistemas de referencia la ecuacin de onda esla misma, es decir, permanece invariante; para lograrloVoigt utiliz unas transformaciones diferentes a las deGalileo. En ese mismo trabajo, Voigt tambin postul lainvarianza de la velocidad de la luz.

Ambos elementos, el fracaso de la medicin de la veloci-dad de la Tierra respecto del ter y la invariancia de lasleyes de la Fsica en sistemas galileanos de movimiento, fue-ron de primera importancia en el pensamiento del jovenEinstein, all en la vieja Zrich a principios del siglo pasado.Adentrmonos a escudriar estos conceptos para estar encondiciones de entender la teora de la relatividad especial ysus consecuencias.

1. Qu es la relatividad?

La relatividad especial es una teora para la descripcin delos eventos que suceden en la naturaleza, es decir, cual-quier fenmeno que se pueda describir mediante observa-dores. La teora fue formulada de manera muy sencilla, yaque consiste solamente en dos postulados:

1) La velocidad de la luz es una constante, independiente-mente del sistema de referencia desde el cual se mida.

2) La leyes de la Fsica son las mismas invariantes paralos diferentes observadores inerciales.

As de sencillo como parece, sus consecuencias resultansutiles y extraas e tiles en la ciencia y la tecnologa delsiglo XX y XXI.

Analicemos por separado cada uno de estos postulados.

1.1. Primer postuladoVeamos cules son las bases del primer postulado. El origen einterpretacin de la luz ha tenido varias etapas en la historia dela ciencia; ms an, en la Biblia hay varias referencias a fen-menos luminosos. Hay tambin referencias aos ms tarde enla Grecia antigua. La escuela atomista, con Lepucio en el 450a.C., consideraba que los cuerpos eran focos que desprendanimgenes, las cuales eran captadas por los ojos, y de stospasaban al alma que las interpretaba. Por otro lado, la escuelacontraria de los pitagricos consideraba que los focos emiso-res no eran los objetos, sino los ojos. Sostenan que el ojo pal-paba los objetos mediante una fuerza invisible a modo de ten-tculo, y al explorar los objetos determinaba sus dimensiones ycolor. Entre estas y otras ideas se debata el entendimiento delos fenmenos luminosos hasta que mucho tiempo despus sedieron las primeras ideas para medir la velocidad de la luz.Galileo Galilei (1564-1642) intent medirla, pero lo nico quelogr fue concluir que la luz viajaba ms rpido que el sonido.Tiempo despus, en 1670, el astrnomo Dans Olaf Roemerdio un salto cualitativo. Midi por primera vez la velocidad dela luz, y para ello utiliz los eclipses de las lunas de Jpiter.Entonces, aun cuando no se tena clara su naturaleza, s estabaclaro que la velocidad de su propagacin era del orden de los300,000 kilmetros por segundo. La velocidad era finita y noinfinita, como algunos sospechaban.

Poco tiempo despus, hacia finales del siglo XVII, vendrala teora corpuscular de Isaac Newton, quien en 1704 pu-blic su libro ptica, donde explicaba su teora con tododetalle. Por otro lado, Christian Huygens plante la alterna-tiva en 1678 con su modelo ondulatorio de la luz, en el cualla propagacin era mecnica, semejante a la del sonido. Deesta manera, la luz necesitaba un medio material para supropagacin. Cul modelo era el bueno? El debate prosi-gui unos aos hasta que Thomas Young (1773-1829) rea-liz su famoso experimento de la doble rejilla y demostr

La relatividad especial es una teora para la

descripcin de los eventos que suceden en la

naturaleza, es decir, cualquier fenmeno que se

pueda describir mediante observadores.



que la luz exhiba el fenmeno de interferencia, es decir,posea propiedades ondulatorias.

Tiempo ms adelante, a mediados del siglo XIX, los fran-ceses Hippolyte Fizeau y Len Foucault lograron medir,con experimentos realizados en la Tierra, la velocidad de laluz, calculada en 295,680 km/seg, la cual es cercana a suvalor actual de 299,792.458 km/seg, y es denotada por laletra c, (Hecht, 2000).1

Los trabajos de Coulomb, Oersted, Ampre, Biot, Savart,Faraday, Ohm, Henry, Gauss, entre otros, realizados a fi-nales del siglo XVIII y sobre todo durante el XIX, se vieronculminados con la teora completa del electromagnetismoclsico, formulada con gran belleza matemtica por el fsi-co escocs James Clark Maxwell (1831-1879). Su trabajoqued explicado en su tratado de 1873 intitulado Electrici-dad y Magnetismo, donde se muestran por primera vez loque hoy en da conocemos como las Ecuaciones de Maxwell.

Para completar el trabajo de sus antecesores, Maxwellintrodujo un trmino, llamado corriente de desplazamiento,en la Ley de Ampre. Con este nuevo ingrediente, Maxwelllogr deducir la ecuacin de onda para los campos electro-magnticos. La velocidad de propagacin dependa del me-dio en cuestin, y para el vaco o para el aire, correspon-da a la medida por Fizeau. As, las ondas electromagnticaseran simplemente luz; y esto fue lo que observ HeinrichHertz (1857-1894) en sus experimentos, comprobando aslos resultados de Maxwell.

Una vez determinada la velocidad de la luz, faltaba en-tonces averiguar las caractersticas del medio elstico en elcual se propagaba. Tendra que ser un medio que est entodos lados y muy ligero para que no obstruyera el movi-miento de los cuerpos, pero a su vez con suficiente sustanciapara poder trasmitir los rayos luminosos. A este medio se lellam ter. Albert Michelson, nacido en Prusia y despus ra-dicado en Estados Unidos de Norteamrica, fue el designa-do por los dioses para medir tan etrea sustancia. La historiacuenta que en noviembre de 1877, durante la preparacinde una demostracin del mtodo de Foucault para medir lavelocidad de la luz, se dio cuenta que podra colimar mejor elhaz de luz, y as lograr aumentar la sensibilidad del experi-mento. Despus de este hecho, nunca dej de pensar enmejorar el dispositivo. Un par de aos ms tarde se mud aBerln, donde estuvo trabajando en el laboratorio del profe-sor alemn Hermann von Helmholtz (1821-1894). Curiosa-mente Helmholtz no hizo grandes contribuciones al electro-magnetismo, pero influy en las ideas de Michelson y ade-ms fue maestro de Hertz. En Berln, Michelson invent unaparato experimental llamado interfermetro, el cual es undispositivo de espejos que separa a la luz en dos direcciones

opuestas. Los rayos viajan y regresan, y despus se juntan enun punto, donde se produce el fenmeno de la interferencia,que consiste en la suma y resta de las amplitudes de las on-das: las zonas donde se suman, aumentan la intensidad de lamisma; y en la parte restada, disminuye. El fenmeno netose observa entonces en forma de franjas brillantes y oscu-ras de luz, y nos habla del desfasamiento de los dos hacesde luz, debido a su diferente tiempo de viaje (ver figura 1).En la figura se supone que el viento del ter viaja haciala derecha con respecto al interfermetro, o bien el inter-fermetro viaja a la izquierda con respecto al ter. El expe-rimento consiste en emitir un haz de luz del foco (f) haciael primer semi-espejo (a), el cual divide la luz en direccionesperpendiculares (b y d), donde se encuentran espejos quehacen que la luz regrese al punto de desviacin inicial, don-de sucede el fenmeno de interferencia.

Con el interfermetro Michelson inici los trabajos demedicin de la velocidad de la luz respecto del ter. l es-peraba que la luz de su interfermetro, situado en la Tierra,dependiera del movimiento de la Tierra respecto del espa-cio sideral, donde el ter estara en reposo. Se esperabaobservar interferencia debido al supuesto movimiento dela luz perpendicular al ter, con la trayectoria f-a-b-a, encontraste con el movimiento supuesto ms lento de la tra-yectoria paralelo (f-a-d-a) al ter. Se construye el dispositivotal que D! = D?, pero hay una diferencia en los tiempos dellegada de las ondas perpendicular y paralela debido a quela onda paralela es arrastrada por el ter. Esto provocara elfenmeno de la interferencia de las ondas. Pero los experi-mentos mostraron algo inesperado: el resultado fue nulo;no se encontr la interferencia esperada. Michelson mejo-r el experimento, pero solamente apareca una interferenciamuy pequea, asociada a la incertidumbre experimental.

1. El lector interesado puede consultar en Hecht (2000) una breve historia de la luz.

Figura 1. Interfermetro de Michelson y Morley.


NMERO ESPECIAL

El inters de Michelson aument al conocer una cartaque el famoso profesor Maxwell haba enviado poco antesde su muerte, en 1879, a la Oficina Nutica Naval Almanac,donde tambin colaboraba, y en la cual Maxwell explicabaque era muy difcil que midiendo la velocidad de la luz en laTierra se pudiera saber el movimiento de nuestro planetaen el ter; ello por la resolucin del experimento. Esto signi-fic un gran reto para Michelson, por lo que intent medir-lo una vez ms, ahora en compaa de su amigo qumicoEdward Morley. Ellos realizaron una versin mejorada delexperimento en 1887. Para su desgracia, no encontraron lafamosa interferencia; Michelson se desilusion con los re-sultados experimentales negativos. Sin embargo, ellos logra-ron medir una velocidad de propagacin de la luz; a saber,midieron 299,85360 km/seg. Michelson fue el primernorteamericano en ganar el premio Nobel de Fsica en 1907por sus intentos fallidos!

Pero como en todo resultado experimental, siempre apare-ce una nueva interpretacin terica que lo justifica, en estecaso no fue la excepcin. El irlands George F. FitzGeraldpublic en 1889 un pequeo artculo en la revista Science. Enl daba una alternativa estrambtica para explicar los resulta-dos fallidos de Michelson. Propona que el ter podra existirsi el brazo del interfermetro paralelo a la corriente del terse contraa en una cantidad suficiente para que se produjerael resultado nulo. Es decir, se necesita que la diferencia detiempos en el movimiento paralelo (D!) y en el movimientoperpendicular (D?) en relacin con la corriente de ter, fue-se nulo. Esto lo llev a concluir que:

(1)2

|| || 1 .vt t D Dc = =

Es decir, es ms corta la trayectoria de la luz a lo largodel brazo paralelo que a lo largo del perpendicular a lacorriente del ter. As se explicara que las ondas llegan almismo tiempo, razn por la cual no se observa la inter-ferencia. Sin embargo, repeticiones posteriores del experi-mento con diferente orientacin del dispositivo con res-pecto al supuesto ter, llevaron a los cientficos a concluirque la luz no necesita un medio elstico para propagarse:se puede transmitir sin la presencia de un medio, es decir,en el vaco, y siempre con la misma velocidad medida enlos experimentos.

La desdicha acompa su vida cientfica. Quizs por eso,FitzGerald tambin fue aficionado a otras aventuras. En lafoto 1 lo vemos intentando una de ellas, quiz ms retado-ra que la de las matemticas: volar uno de los aeroplanosprototipos de la poca.

FitzGerald muri a la edad de 49 aos, vctima de un malestomacal complicado. Desafortunadamente tambinMaxwell muri relativamente joven, a los 48 aos, mien-tras que Hertz a los 36 aos. Por otro lado, Hendrik AntoonLorentz public en 1895 resultados muy similares a los deFitzGerald, pero aos despus. Aparentemente Lorentz nosaba de los resultados de FitzGerald, aun cuando se habanpublicado en la prestigiosa revista Science. Cuando Lorentzse enter de esto le envi cartas de reconocimiento aFitzGerald. La reaccin de FitzGerald es curiosa, pues leresponde a Lorentz lo siguiente: [] envi un artculo aScience pero no saba si lo haban publicado []. Estoy con-tento que Ud. est de acuerdo conmigo porque aqu todosse burlan de m. A partir de entonces, Lorentz le dio elcrdito a FitzGerald, pero, ironas de la vida, FitzGeraldpens que la teora haba sido publicada primero porLorentz. Hoy en da, el efecto de contraccin de distanciases conocido como contraccin de Lorentz-FitzGerald(Brown, 2003).

Los resultados de Michelson, aunque negativos para loque l esperaba, ayudaron a entender la naturaleza de lapropagacin de la luz. Este es un claro ejemplo de queresultados negativos en ciencia no necesariamente son ma-los para el desarrollo posterior. As, en la construccin desu teora, Einstein elev a carcter de postulado la constan-cia de la velocidad de la luz. El espritu de Voigt rondaba ensu mente pero sin saberlo!

1.2. Segundo postuladoEn las tertulias de la Academia Olimpia, Einstein y sus dosbuenos amigos Habicht y Solovine seguramente analiza-ron los resultados fallidos de la bsqueda del ter; aunqueeste punto ha generado algo de controversia. Tambin, essabido que analizaron las ideas de Ernst Mach, plasmadasen su libro La ciencia de la mecnica de 1883 (Mach, 1960).Estos dos elementos llevaron a Einstein a formular el se-gundo postulado de su teora. l mismo lo menciona en lapgina 891 de su artculo original (Einstein, 1905 a): los

Foto 1. George F. FitzGerald (1851-1901) [...] y sus intentos por volar.



intentos fallidos de medir el movimiento de la Tierra respec-to del medio de la luz [el ter] nos lleva a la sospecha de queel concepto de reposo absoluto no corresponde a las propie-dades de los eventos fsicos, ni en la mecnica ni en la elec-trodinmica [], y contina diciendo que ms bien las leyesde la mecnica y de la electrodinmica debern ser vlidaspara todos los observadores con diferentes sistemas de coor-denadas, llamados inerciales. Es decir, sistemas de coordena-das en movimiento relativo a cualquier otro con velocidadconstante. Este principio de invarianza de la mecnica y laelectrodinmica es llamado principio de la relatividad.

Para analizar esto consideremos dos observadores, esdecir, personas provistas de relojes y cintas de medicin,uno en un sistema de referencia O, y otro en un sistemacon movimiento relativo a ste con velocidad vx, que llama-mos O, segn la figura 2.

Las transformaciones de Galileo que relacionan los siste-mas de referencia en movimiento relativo (O y O) entreestos observadores estn dadas por,

tttxx x == ',v' (2)

La primera ecuacin nos indica cmo es el desplazamien-to relativo entre observadores en movimiento. Es de espe-rar que si un observador en el sistema O mide la distanciade un evento, por ejemplo, dada en x = 100 metros, el otroen O con una velocidad relativa, digamos de v = 3 metros/seg, medir 100 metros menos la distancia que ya avanz enun tiempo dado, digamos t = 5 seg. As, O medir x vxt= 100 metros 3 (metros/seg) 5(seg) = 85 metros. Lasdistancias (x y x") del evento son distintas para los diferentesobservadores inerciales, como es de esperarse.

La segunda ecuacin en (2) nos indica que el tiempo esuna cantidad absoluta, es igual mida quien lo mida, en cual-quier estado de movimiento relativo a velocidad constante.Este hecho parece ser sensato si apelamos a nuestra expe-riencia en la vida cotidiana. El tiempo de los relojes es igualpara todos, si los sincronizamos, obviamente.

Estas transformaciones tienen una propiedad curiosa: de-jan invariantes las leyes de la mecnica dadas por la Segundaley de Newton, pero no dejan invariantes las leyes delelectromagnetismo de Maxwell. Es decir, si un observadorhace experimentos con un sistema fsico que est en movi-miento respecto a l, tal observador llegar a la conclusinde que las leyes de Newton en el reposo tambin son vlidasen movimiento, pero que las leyes de Maxwell s cambian ytendran otra forma matemtica en movimiento. Entonces,el principio de la relatividad pareca no estar de acuerdo deltodo con la relatividad de Galileo: el principio de relatividadde Einstein nos indica que todas las leyes deben serinvariantes, no slo algunas! Por lo tanto, la validez de estenuevo principio necesitaba, o bien cambiar las leyes delelectromagnetismo de Maxwell, o bien cambiar las leyes deNewton. Esto ltimo pareca difcil ya que la experiencia ha-ba confirmado estas leyes mecnicas durante alrededor dedos siglos! Haba, sin embargo, una posibilidad ms, y eraque la definicin de observador inercial segn Galileo, dadopor la ecuacin (2), estuviera mal. Como veremos, Einsteinrespet a Maxwell, de quien tena una muy alta estima cien-tfica, y se atrevi a cambiar las ideas de Galileo y Newton,siendo un muchacho de slo 26 aos! en 1905.

Las transformaciones que s dejan invariantes a las leyesde Maxwell ya eran conocidas antes de 1905, las llamadastransformaciones de Lorentz, dadas por

== 2

v'),v('c

xtttxx xx (3)

Con el factor dado por:

.v1

12

=

cx

(4)

Hay dos cambios fundamentales en estas ecuaciones encomparacin con las ecuaciones (2): a) La presencia del fac-tor , el cual es siempre un nmero mayor que la unidad, >1; y b) la modificacin de la frmula del tiempo. Segn estanueva relatividad, el tiempo propio de cada observador avanzaal mismo ritmo, pero cuando se comparan los tiempos de losdiferentes observadores en movimiento relativo resultan serdiferentes aun cuando los sincronicemos!

Es importante mencionar que las nuevas leyes de transfor-macin dependen de la razn de velocidades vx/c, la cualpara velocidades normales de la vida cotidiana es muy pe-quea. Por ejemplo, si un avin viaja a 1 000 km/hora queequivale a 0.3 km/segundo tendr un factor de velocida-

Figura 2. Sistemas de coordenadas en movimiento inercial relativo.


NMERO ESPECIAL

des de slo 0.000001, y un factor que slo difiere de launidad en la decimotercera cifra decimal despus del pun-to, es decir, = 1.0000000000005. La correccin relativistaes muy pequea. De esta forma, las transformaciones deLorentz son iguales a las de Galileo en el lmite de bajasvelocidades,

v1.x

c



formaciones de Lorentz, dadas por la ecuacin (3) Es de-cir, el intervalo no cambia su forma en un sistema de refe-rencia o en el otro. Esto matemticamente implica que:

g120g120g120g120 dddxdxdxdxdd ===

,,

'' (5)

y esto es vlido para todo vector arbitrario x, que describecualquier evento del espacio-tiempo.

Veamos ahora cmo es la evolucin en esta geometra.Una coleccin de puntos o de eventos vinculados a unobjeto nos indican su evolucin en el espacio-tiempo.A esta evolucin grfica se le llama lnea de mundo. Si con-sideramos el movimiento de la luz, vemos que, de hecho,la luz viaja por una lnea de mundo tal que dxdx = 0.La magnitud de los vectores que describen a la luz esnula. Esta constriccin, impuesta por el primer postuladode la teora, delimita las regiones de posible conexin cau-sal que atiende a una relacin causa-efecto entre doseventos cualquiera, lo cual se ilustra en la figura 4, llama-da cono de luz.

Si un observador se encuentra en el origen del diagra-ma espacio-tiempo (t = 0, x= 0), se podr conectar coneventos del futuro y del pasado slo dentro de la regindel cono de luz, zona gris. Es decir, el observador concoordenadas (0, 0), por un lado, podr explicar su existen-cia con base en un pasado delimitado dentro del conode luz inferior y; por otro, podr construir su futuro conbase en eventos que sucedan dentro del cono de luz su-perior. Este observador no puede conectarse con las re-giones que estn fuera del cono de luz, ya que estn cau-salmente desconectadas de l, es decir, de su realidad. Lainformacin viaja, por lo ms rpido, a la velocidad de laluz c, la cual delimita la regin causa-efecto de los even-

tos. El vector gris oscuro indica un evento que evolucionaen su lnea de mundo, desde el origen hasta la punta delvector, a velocidad constante; el vector blanco indica unalnea de mundo curva, la cual indica eventos acelerados. Deesta manera, todos los eventos vinculados por una rela-cin causa-efecto estn localizados dentro del cono de luz.

3. Consecuencias de la teora

Algunas de las consecuencias ms relevantes de la teora derelatividad especial son: la dilatacin del tiempo, la contrac-cin de la longitud y el aumento de la masa inercial con lavelocidad. Veamos.

3.1. Dilatacin del tiempoPara ilustrar este efecto emplearemos un poco de lge-bra, pero el lector no se debe asustar, son pasos muyelementales. Supongamos que tenemos dos observado-res, uno en O y otro en O, en movimiento relativo unorespecto del otro. La ecuacin (5) nos dice que los even-tos medidos en O etiquetados por (ct, x1, x2, x3) y losmedidos en O etiquetados por (ct, x1, x2, x3) estnrelacionados por

23

22

21

2223

22

21

22 '''' dxdxdxdtcdxdxdxdtc +++=+++ (6)

ya que el intervalo es invariante. Ahora bien, pensemos queel observador en O solamente quiere medir el transcurrirde las manecillas de su reloj, t, llamado tiempo propio ydenotado por , es decir, t = . Entonces, para esteobservador, que est en reposo con respecto a O, es vli-do que dx12 = dx22 = dx32 = 0. Por otro lado, el observadoren O, mide que el observador en movimiento se muevecon una velocidad dx1/dt = vx y adems como no hay mo-vimiento en los otros ejes, se tiene que dx22 = dx32 = 0. As,la ecuacin (6) se transforma en

2222 ')/v1( dtcdt x = ,

y despejando y escribindolo en trminos del tiempo pro-pio, tenemos que

22

22

/v1 ct

x

= ,

es decir, en trminos de la ecuacin (4), los intervalos detiempo se relacionan por:

=t , (7)

Figura 4. El cono de luz y su regin de conexin causal para un evento en el origen

de coordenadas del espacio-tiempo. La lnea recta con pendiente de 45 grados,

correspondiente a c = 1, muestra la lnea de mundo limtrofe de la luz.


NMERO ESPECIAL

y dado que > 1 el tiempo medido por el observador enO, t es mayor que el tiempo propio, , medido desde elobservador en O. A este fenmeno se le llama la dilatacindel tiempo. Simblicamente, este efecto se podra represen-tar en un diagrama de espacio-tiempo, como lo muestra lafigura 5, donde las lneas verticales representan los tiemposmedidos por el observador en O.

Si intercambiamos el papel de los observadores, es decir, siahora el observador en O mide el tiempo del observador enO, obtendremos la misma frmula, ecuacin (7), pero ahoraintercambiamos los tiempos, t: en este caso se observarque el tiempo de O se dilata; ahora, en la figura 5 se invier-ten los papeles. Es decir, ambos observadores veran que elreloj del otro corre ms lento. Sin embargo, al compararlos,esto no puede suceder: alguno de los dos deber tener razn.Esta dicotoma es la esencia de la paradoja de los gemelos,segn la cual uno de los gemelos, digamos A, se encuentraen la Tierra en reposo, y el otro, digamos B, sale del planetaen una nave espacial a una velocidad cercana a la velocidadde la luz y viaja durante algunos aos (ver figura 6). Duran-te el viaje de ida ambos gemelos se comunican medianterayos de luz y observan que el otro es ms joven; el tiempodel otro avanza ms lento; es decir, ven que los latidos delcorazn del otro son ms lentos, y por ende, el tiempo deenvejecimiento del otro es ms lento. La paradoja consisteen ver quin tiene la razn ya que los dos creen lo mismo.Obviamente slo uno debe tener razn. Al regreso del viajese podr comprobar. Una vez hecho el experimento, el re-sultado correcto es que al regresar B, ambos se comparan yresulta que B es ms joven. Este efecto es explicado por elhecho que el observador B, al cambiar la direccin parapoder regresar a la Tierra, sufre un periodo de desacele-racin, eso rompe la simetra de los observadores: B sufreuna desaceleracin, y deja de estar en un sistema de refe-rencia inercial, violando el segundo postulado de la teora.Al final, entonces, B ser el que llegue ms joven. Por ejem-plo, si B viaja seis aos, medido con respecto a su propioreloj su tiempo propio y viaja a una velocidad de 0.666 c

con respecto a la Tierra, entonces cuando B regrese verque su hermano gemelo ahora tiene 8 aos ms, y l sola-mente tendr 6 aos ms. Entonces, A ser 2 aos msviejo que B. Este efecto es real y podra sucedernos si expe-rimentramos velocidades cercanas a c.

3.2. Contraccin de la longitudAnlogamente a la dilatacin de tiempo, se puede deduciruna expresin para la medicin de la longitud en ambossistemas de referencia. Si el observador en el sistema Omide una longitud, digamos x1 x2 = L0, la cual est enreposo con respecto a l, entonces el observador en O,medir, al tiempo t1 = t2 , la cantidad x1 x2 = L, dada atravs de la ecuacin (6), es:

01LL = (8)

y dado que 1 < 1, la longitud original L0, se ve ms chicadesde O, que mide la longitud L. A este fenmeno se le llamacontraccin de la longitud. Simblicamente, la contraccin de lalongitud se podra representar en un diagrama euclidiano comolo muestra la figura 7, donde las figuras representan los ta-maos medidos por el observador en O.

Ntese que esta ecuacin es la misma que (1), conL = Dk, L0 = D?, que haba obtenido FitzGerald para lograruna interferencia nula, es decir, para cancelar el efecto delarrastre de la luz en el supuesto ter. FitzGerald supuso queel brazo del interfermetro paralelo al movimiento del terse contraa. Segn Einstein, sin embargo, no hay ter y portanto no hay movimiento relativo del ter con el interfer-metro, es decir, la luz siempre viaja con velocidad c, y poresta razn los tiempos de viaje de la luz en el interfermetrodeben de ser iguales; no debera de haber interferencia al-guna. As, Einstein explic exitosamente este experimento.De cualquier manera, debido a que las frmulas son las mis-mas, aunque la interpretacin diferente, en honor a los tra-

Figura 6. El gemelo B sale de la Tierra a una velocidad de 0.666 c, y viaja durante seis

aos, tres de ida y tres de regreso. Al regresar, su hermano A, que se qued en la Tierra,

es mayor que l dos aos. El que viaja es ms joven y est feliz, y el que se queda se

amarga y est enojado.

Figura 5. Ilustracin simblica del tiempo propio cuando es medido por el observador

en el sistema de referencia O.



bajos de los cientficos de Lorentz y FitzGerald, la ecua-cin (8) es conocida como la contraccin Lorentz-FitzGerald, como se mencion arriba.

Estos dos ltimos resultados muestran que las distanciasen movimiento se acortan y los tiempos en movimiento sealargan. Esto es lo extrao de la nueva concepcin del es-pacio-tiempo segn la teora especial de la relatividad. Vere-mos ahora otro efecto.

3.3. Masa relativistaAhora analicemos qu pasa con las masas vistas desde O yO. Midamos la masa de un objeto montados en el sistemaO y denotemos a esta masa como masa en reposo, m0, ya quedesde O la masa se encuentra en reposo. Cul es la masa,m, que medir el observador en O? El observador O veque la masa en O se mueve a su derecha. La respuesta queda la mecnica relativista es:

0mm = . (9)

Esto es, la masa en movimiento se observa mayor a laque permanece en reposo, ya que recordemos que > 1.Ello significa que su inercia es mayor cuando est en movi-miento, es decir, los objetos vistos en movimiento presen-tan mayor oposicin a acelerarse. A la cantidad m se lellama masa relativista, y su inercia al movimiento depende dela velocidad a travs de .

En resumen, vemos que las frmulas (7)-(9) dependendel factor , el cual nos marca la velocidad lmite de loscuerpos masivos, que es precisamente la velocidad c. Cual-quier objeto material, con una masa en reposo asociada, nopuede viajar a una velocidad mayor o igual a c, de lo contra-rio nos encontraramos con cantidades infinitas para su tiem-po, longitud y masa. La velocidad c es el lmite dictado porlos postulados de la relatividad, hecho que ha sido exitosamentecomprobado experimentalmente a lo largo del siglo XX.

Los efectos de la dilatacin del tiempo, contraccin de lalongitud y efecto de la masa inercial relativista no son slo

una curiosidad terica, sino efectos reales, y se observancotidianamente. Por ejemplo, en los aceleradores de part-culas elementales, como el de CERN en Ginebra, Suiza, o enel FNAL, en Batavia, IL, USA. En estos dispositivos las part-culas alcanzan velocidades relativistas cercanas a la velo-cidad de la luz y los efectos arriba mencionados se obser-van y le dan sentido a las mediciones. En la figura 8, iz-quierda, se muestra el acelerador de LHC de CERN que tiene27 kilmetros de longitud, y que en un futuro cercano ao 2007 estar en marcha. A la derecha se muestra unacolisin tpica en el detector DELPHI de CERN, donde se mues-tran las trayectorias relativistas de protones y neutrones,llamados genricamente hadrones. La masa relativista y lavida media de partculas relativistas se calculan usando lasecuaciones arriba mencionadas.

4. Nueva mecnica

Como vimos, en la mecnica relativista se obtienen cantida-des que relacionan los conceptos de espacio, tiempo y masa,entre diferentes observadores de una manera diferente a lade la mecnica newtoniana. Asimismo, los conceptos de mo-mento (p) y fuerza (f) relativistas estn dados por:

mm == 0 ,

=

dd ,

la cual representa la generalizacin de la Segunda ley deNewton. Aqu es el tiempo propio de cada observador.Como mencionamos, la nueva mecnica se reduce a la me-cnica conocida de Newton en el lmite de bajas velocida-des, es decir, cuando

v 1, 1,xc


NMERO ESPECIAL

Alternativamente, en el lmite hipottico al hacer la velo-cidad de la luz infinita, c , es decir, propagacin inme-diata de la luz, obtendremos la dinmica newtoniana: lastransformaciones de Lorentz, ecuaciones (3), se conviertenen las de Galileo, ecuaciones (2).

Por otro lado, Einstein y sus amigos de la AcademiaOlimpia siempre comentaban los resultados de sus inves-tigaciones, pero por razones de trabajo, eventualmente setuvieron que separar y su relacin continu a distancia, demanera epistolar. As, en septiembre de 1905, Einstein leescribe a Habicht El principio de la relatividad, en com-binacin con las ecuaciones de Maxwell, requiere que lamasa sea una medida directa de la energa contenida enun cuerpo; la luz transporta masa. Con esto, Einsteinestaba descubriendo la relacin entre la masa inercial deun cuerpo y su energa:

220 mccmE == (10)

Esta famosa frmula de la energa apareci publicadael 21 de noviembre de 1905 (Einstein, 1905b), como unaextensin natural de su trabajo original de relatividad, pu-blicado unos meses atrs. Sin embargo, Einstein parecano estar totalmente seguro de la misma, ya que le comen-ta a Habicht ms adelante en la misma carta que El ar-gumento es divertido y atractivo; pero por lo que s, todopodra ser una broma del Seor que me est manejando asu antojo. Despus, obviamente, se convencera cabal-mente de la misma.

La frmula E = mc2 es posiblemente la ecuacin cientfi-ca ms conocida por el pblico en general. Esta ecuacinno slo tuvo enormes efectos en el desarrollo de la ciencia,sino tambin revolucion a la humanidad en muy diversosaspectos. Veamos algunas de sus consecuencias.

5. Aplicaciones de la Relatividad Especial

Existen diversas aplicaciones de la teora de la relatividadespecial. Empezaremos con las relacionadas a la frmula

E = mc2.

5.1. Estrellas, reactores nucleares y la bomba atmicaExisten razones histricas que son difciles de olvidar en rela-cin con una de las aplicaciones de la ecuacin E = mc2. Nosreferimos a la conversin de materia nuclear en energa, lacual sucede cuando explota una bomba atmica. Una de lasrazones por la que se pens que era posible hacer este tipode bombas fue porque la teora de evolucin estelar haba

sido exitosa, precisamente aplicando la frmula de conver-sin de materia a energa. La descripcin fsica correcta ladio el famoso astrnomo escocs Sir Arthur Eddington(Eddington, 1988), quien explic cmo las estrellas se man-tienen brillando tantos miles de millones de aos gracias a laconversin de materia en energa radiante, en los procesosde fusin nuclear. Los detalles tcnicos de la teora de lasreacciones nucleares aplicadas a una estrella se pueden con-sultar en (Klapp y Corona-Galindo, 1995).

As entonces, si existan reacciones nucleares en el centrode las estrellas se pens que sera posible hacerlas aqu en laTierra. Lamentablemente esta aplicacin ha amenazado yamenaza la paz mundial. Einstein, al descubrir esta frmu-la, nunca imagin el grave peligro que despus significara.Posteriormente, Einstein mismo enarbol campaas en fa-vor del desarme mundial y por la paz de las naciones.

Despus de la guerra se lograron desarrollar reactoresnucleares para generacin de energa elctrica. As, la fa-mosa frmula de Einstein se usa da con da en la produc-cin de parte de la energa elctrica para nuestros hogares(ver figura 9).

La diferencia principal entre una estrella y los reactoresnucleares que operan hoy en da es que en las estrellas, paragenerar energa, se transforman elementos ligeros en mspesados fusin, mientras que en los reactores nucleareslas reacciones descomponen elementos pesados en ms li-geros fisin.

El problema ms serio de los reactores actuales es quedel quemado nuclear se generan elementos altamenteradiactivos con vida media muy larga, y hasta el momentono se ha encontrado una solucin satisfactoria para estosdesechos nucleares. Actualmente, estos desechos se alma-cenan, y si se hace de manera adecuada no hay ningnproblema, pero tendrn que estar ah por generaciones ygeneraciones. Alternativamente, desde hace algunos aosse han estado desarrollando los llamados reactores de fu-sin, en los cuales los quemados nucleares son muy simi-lares a los que ocurren en las estrellas y cuyos desechos

Figura 9. Explosin tipo hongo de una bomba nuclear e instalacin elctrica

tpica con uso de un reactor nuclear.



no representan una amenaza radiactiva tan seria. stossern los reactores del futuro.

Los reactores nucleares podran ser mucho ms comunesde lo que imaginamos. Existe evidencia de que en Oklo, en lacuenca de Franceville, Gabn, frica, hace aproximadamen-te 2000 millones de aos operaron reactores nucleares natu-rales de fisin (ver Bulbulian et al., 2005). Esto se sospechaya que en este lugar se encuentran yacimientos de Uranio, yen alguno de ellos existe una deficiencia cuantitativa del Ura-nio 235, que no puede ser explicada de otra manera.

5.2. Los munesExiste una aplicacin que confirma la dilatacin del tiem-po, la cual es utilizando las partculas elementales llamadasmunes. Sucede que en la atmsfera de la Tierra chocanrayos csmicos, a una altura de aproximadamente 10 kmsobre la superficie terrestre. De los choques se producenlos munes, que son detectados en la superficie de la Tie-rra. Por otro lado, de los experimentos realizados en losaceleradores de partculas se sabe que la vida media tiempo de vida tpico del mun en reposo es de slo dosmillonsimas de segundo. As es que movindose comomximo a la velocidad de la luz, el mun podra recorrera lo largo de su vida slo 0.66 km. Entonces, cmo lehace el mun para llegar desde la atmsfera alta hasta lasuperficie de la Tierra? Lo que ocurre es que al moversea una velocidad cercana a la de la luz, conforme a la teo-ra de relatividad especial, su tiempo transcurre ms lenta-mente cuando se mide desde un reloj en la superficie de laTierra; es decir, la vida media en reposo se alarga dilata, segn la ecuacin (7), permitindole recorrer una distan-cia mayor a los 10 km. Esto le permite ser detectado en lasuperficie de la Tierra.

5.3. Estndar de medicinMencionaremos que tambin existen otras aplicaciones dealta tecnologa vinculadas al hecho de que la velocidad de laluz es constante. Con esto se define el estndar internacio-nal del metro, como la distancia en que viaja la luz duranteun 299,792,458-avo de segundo. De aqu se desprendenmltiples aplicaciones en la medicin de distancias de altaprecisin. Por ejemplo, veamos lo siguiente.

5.4. Sistemas de posicionamiento globalOtra aplicacin de la relatividad especial son los sistemasde posicionamiento global GPS Global Positioning System,en ingls utilizado en todos los sistemas de localizacinterrestre (ver figura 10). El sistema consiste en una cons-telacin de 24 satlites, 21 satlites primarios y 3 de reser-

va, que orbitan la Tierra dando una vuelta cada 12 horas.Las seales de estos satlites proporcionan una posicintridi- mensional de alta precisin, de forma permanente yen cualquier lugar del mundo. Esta seal es decodificadapor el receptor GPS, la cual es transformada en latitud,longitud y altitud. En la prctica, esto define rumbos yrutas martimas o terrestres y velocidad de vehculos enmovimiento como barcos, aviones o automviles, entreotros datos. Estos satlites, que controlan el posiciona-miento de objetos en la Tierra, viajan a una velocidad dealrededor de 4 kilmetros por segundo, medidos desde lasuperficie de la Tierra. As es que los relojes que poseendichos satlites sufren una dilatacin del tiempo. As, a lolargo de un da se acumula un efecto de 7.7 micro segun-dos (7.7106 seg), lo que corresponde a una distancia(d = ct) de 2.3 kilmetros. Este es el factor de error diariosi no se aplicara la teora de relatividad especial. Obvia-mente se aplica y se corrige este efecto.

Cabe mencionar que debido a la presencia de la masa dela Tierra, los relojes tambin cambian su ritmo. Este nuevoefecto es tambin tomado en cuenta para el sistema deposicionamiento global. El efecto se estudia en el contextode la teora de relatividad general. Esta teora, creemos,representa la construccin intelectual ms importante deEinstein. Su versin final se public en 1915, diez aosdespus de la poca del joven Einstein que describimos eneste artculo. La explicacin de la teora es extensa y no ladetallaremos aqu, sino solamente mencionaremos un parde ancdotas sobre ella. Cuentan que alguna vez el famosoastrnomo Eddington fue entrevistado por un periodista,que le coment que se saba que la teora de relatividadgeneral tena fama de ser tan compleja que solamente trespersonas la entendan, y que entre ellos estaba l. A lo queEddington le respondi: tres personas? y quin es eltercero?implicando que slo Einstein y l la entendan.Tambin se cuenta que en cierta ocasin Einstein halag alactor Charles Chaplin dicindole: Lo que he admirado siem-pre de usted es que su arte es universal; todo el mundo le

Figura 10. La red de satlites artificiales del sistema GPS y un receptor personal.


NMERO ESPECIAL

Brown, H. R. (2003). Michelson, FitzGerald and Lorentz.

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Rodrguez-Meza (2005). Las mejores historias del

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Eddington, A. S. (1988). The Internal Constitution of

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comprende y le admira. A esto, Chaplin le respondi: Losuyo es mucho ms digno de respeto; todo el mundo leadmira y prcticamente nadie le comprende. As termina-mos este artculo pero no sin antes mencionar que una ver-sin ms extendida de este artculo, as como muchos otrosdetalles de la vida del joven Einstein se encuentran en ellibro Las mejores historias del joven Einstein (Cervantes-Cota et al., 2005).

Finale

Einstein muri el 18 de abril de 1955 en Princeton, NuevaJersey, dejndonos un gran legado cientfico y potencial tec-nolgico, as como enseanzas diversas en el proceder tico

de los cientficos. A continuacin damos algunas citas queEinstein mencion a lo largo de su vida:. La realidad es una ilusin [] pero una muy persistente.. El eterno misterio del mundo es [] su comprensibili-dad.. La nica cosa de valor real es [] la intuicin.. Todo en el mundo debe ser hecho lo ms simple posi-ble [] pero no demasiado simple!. Algunas veces uno paga muy caro por cosas [] de lascuales no se obtiene nada.. No podemos resolver los problemas [...] usando la mis-ma manera de pensar con la cual los creamos.. La nica cosa que interfiere con mi aprendizaje es []mi educacin.

Bibliografa

Documents

10413303