两个平面可能有哪些位置关系呢 ?现观察长方体 A-C1 的各个面的关系 :

图形表示

符号表示公共点

两平面相交两平面平行位置关系有一条公共直线没有公共点

// l

l

画两个相交平面的要点是：先画表示两个平面的平行四边形的相交两边，再画表示两个平面交线的线段

命题 1．如果两个平面平行，那么其中一个平面内的所有直线一定都和另一个平面平行．

命题 2．如果一个平面内的所有直线都和另一个平面平行，那么这两个平面平行．

1. 平面平行

平面平行的判定定理 : 如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面 ,那么这两个平面平行 .

ab

o

, , , // , // //a b a b o a b 例 1.如图 ,在长方体 A-C1 中 .求证 :面 AB1D1// 面 BDC1

A1

A B

B1

C

C1

D

D1

判断下列命题的正误：1 ．垂直于同一直线的两直线平行．2 ．分别在两个平行平面内的两条直线

都平行3 ．如果一个平面内的两条直线平行于

另一个平面，那么这两个平面平行4 ．如果一个平面内的任何一条直线都

平行于另一个平面，那么这两个平面平行

A B

CD

A1 B1

C1D1

证明：

BD B∥ 1D1

∩BD 面BDC1 ∩B1D1 面 BDC1

B1D1∥面 BDC1

同理：AB1∥面 BDC1

B1D1∩AB1=B1

面 AB1D1∥

面 BDC1

线∥线 线∥面 面∥面

例 1.如图 ,在长方体 A-C1

中 .

求证 :面 AB1D1// 面 BDC1

A B

CD

A1 B1

C1D1

证法 2 ：

AC BD⊥A1A⊥面ACA1C 在面 AC上的射影为 AC

A1C BD⊥

BD∩BC1=B

A1C BC⊥ 1同理 : A1C⊥面BDC1同理 :A1C⊥面 AB1D1

变形 1: 如图，在正方体

ABCD-A1B1C1D1 中，

E,F,G 分别为 A1D1, A1B1,

A1A 的中点

求证：面 EFG∥面 BDC

1

变形 2:若 O为 BD 上的点

求证： OC1 ∥面 EFG

O

面∥面

由上知

面 EFG∥面 BDC1 ∩OC1 面

BDC1

A B

CD

A1 B1

C1D1

EF

G

线∥面

OC1 ∥面 EFG

变形 3:如图 ,在正方体

ABCD-A1B1C1D1 中，

E,F,M,N 分别为 A1B1,

A1D1, B1C1, C1D1 的

中点A B

CD

A1 B1

C1D1

EF

N

M

求证：面 AEF∥面 BDMN

思考 :如果两个平面平行 ,那么 ;1. 一个平面内的一条直线是否平行于另一个平面 ?2. 分别在两平面内的两条直线的位置关系是 ____.两平行平面的性质定理 : 如果两个平行平面同时和第三个平面相交 ,那么它们的交线平行 .

a

b

//

//a a b

b

例 2.求证 :如果一条直线垂直于 两个平行平面中的一个 ,那么它 也垂直于另一个平面 .

A

B

l

l

a

// ,a a

,l l:证明 设为 内的任一条直线 则过的一个

,

. , // .

// .

l

a a l

l l l

平面 与 相交于又

a即

,l a 为 内任一条直线

判断下列命题是否正确？

1 、平行于同一直线的两平面平行

2 、垂直于同一直线的两平面平行

3 、与同一直线成等角的两平面平行

α

β

α

βθ

θα

β

θθ

4 、垂直于同一平面的两平面平行5 、若 α β,∥ 则平面 α 内任一直线 a β∥

6 、若 n α,m α,n β,m β∥ ∥ 则 α β∥∩ ∩

α

βn

m

γ

βα

定义 : 与两平行平面都垂直的直线叫做这两个平行平面的公垂线 .夹在两平行平面之间的公垂线段叫做两平行平面间的距离 .练习 :1. 判断下列命题是否正确 .说明理由 ;(1) 一平面内两条直线分别平行于另一个平面 ,则这两平面平行 ;(2) 一平面内无数条直线分别平行于另一个平面 ,则这两平面平行 ;(3) 平行于同一条直线的两个平面平行；(4) 过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行；(5) 过平面外一条直线必能作出与已知平面平行的平面。

: // , , , , , //

:

A C B D AB CD

AB CD

已知求证

2. 六棱柱的表面中 ,互相平行的面最多有多少对 ?

3. 如图 ,E,F,E1,F1, 分别 是长方体棱的中点 . 求证 :平面 ED1// 平面 BF1

A1

A B

B1

C

C1

D

D1

E

E1

F

F1

4. 求证 :夹在两平行平面间的平行线段相等 .

B

A C

D

复习回顾1. 在平面几何中 "角 "是怎样定义的？从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。或 : 一条射线绕其端点旋转而成的图形叫做角。

二面角

2. 在立体几何中 ," 异面直线所成的角 " 是怎样定义的？ 直线 a 、 b 是异面直线 , 经过空间任意一点 O, 分别引直线

a' //a, b'// b, 我们把相交直线 a' 和 b' 所成的锐角 （或直角）叫做异面直线所成的角。

3. 在立体几何中 ," 直线和平面所成的角 " 是怎样定义的？ 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角 , 叫

做这条直线和这个平面所成的角。

思考：异面直线所成的角、直线和平面所成的角与有什么共同的特征？

它们的共同特征都是将三维空间的角转化为二维空间的角 ,即平面角。

拦洪坝

水平

面

一个平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中的每一部分都叫做半平面。

一条直线上的一个点把这条直线分成两个部分，其中的每一部分都叫做射线。

Al

l

O

B

A

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。 这条直线叫做二面角的棱。这两个半平面叫做二面角的面。

平面角由射线 -- 点 -- 射线构成。二面角由半平面 -- 线 -- 半平面构成。

l

A

B

P

Q

二面角的表示

l 二面角 P l Q 二面角AB 二面角 P AB Q 二面角

l

二面角－ l －

二面角 C － AB － D

A

B

C

D

二面角的画法

C

EF

D

A B

角

图形

构成表示法

•O顶点

边

边

A

B

二面角从平面内一点出发的两条射线所

组成的图形 .

从空间一条直线出发的两个半平面所

组成的图形 .定义

射线 点 射线 半平面 棱 半平面

AOB 二面角 a 或 AB

a

棱

面

面

A B

以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。

平面角是直角的二面角叫做直二面角 .

二面角的度量

l

二面角的平面角的三个特征 :

1. 点在棱上 2. 线在面内 3. 与棱垂直二面角的大小的范围 : 0 180

O A

B

AO

B

C

D

l

二面角的平面角的作法：

1 、定义法

3 、垂面法

2 、三垂线定理法

P

A

B

O

练习：指出下列各图中的二面角的平面角：

B

A

C

D

A’

A

B’

C’

C

D’

D

B二面角 B--B’C--A　

A

D

B

C

l

二面角 --l--

OE

O

O

二面角 A--BC--D

D

, , , ,, .

A B l AC BDAC l BD l

A

OD

例 1 已知锐二面角－ l － ， A 为面内一点， A 到 的距离为 2 ，到 l 的距离为 4 ，求二面角 － l

－ 的大小。3

解：过 A 作 AO⊥ 于 O ，过 O 作 OD ⊥ l 于 D ，连 AD

则由三垂线定理得 AD ⊥ l

3∴AO=2 ， AD=4

∵ AO 为 A 到的距离 ， AD 为 A 到 l 的距离∴∠ADO 就是二面角 － l － 的平面角

∵sin∠ADO=

∴ ∠ADO=60°

∴二面角 － l － 的大小为 60 °

在 Rt △ADO 中，

4

32

2

3AO

AD

①

②

③

l

二面角的计算：

1 、找到或作出二面角的平面角

2 、证明 1 中的角就是所求的角

3 、计算出此角的大小

一“作”二“证”三“计算”

A B

D C

A1 B1

D1 C1

在正方体 AC1 中，求二面角 D1—AC—D的大小？

O

此法为三垂线找平面角

的方法

在正方体 AC1 中， E ， F 分别是 AB ，AD 的中点，求二面角 C1—EF—C 的大小？

E

F

A B

D C

A1 B1

D1 C1

过正方形 ABCD 的顶点 A 引 SA⊥底面 ABCD ，并使平面 SBC ， SCD 都与底面 ABCD 成 45 度角，求二面角 B—SC—D 的大小？

A

B C

D

S

O

E

A

B

C

A`

M

已知：如图⊿ ABC 的顶点 A 在平面 M 上的射影为点 A` ， ⊿ ABC 的面积是 S ， ⊿ A`BC 的面积是 S` ，设二面角 A-BC-A` 为

求证： COS = S` ÷ S

D

3. 两平面垂直平面垂直的判定定理 : 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线 ,那么这两平面垂直

l

l

平面垂直的性质定理 : 如果两个平面互相垂直 ,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 .

,

,

la

a a l

a

l

D

B

A

E

: , .

:

l B

AB

已知 为垂足求证

, ,

.

AB l AB

l AB

:分析 因为 所以要证 只需在 内找一条与 相交的直线垂直于

,

.

, .

, .

BC l ABC

l

AB BC

AB l AB

:证明 在平面 内作 则 是二面角 的平面角

A

B Cl

1 1 1 1

1.

(1) , // ;

(2) , ;

(3) // , // ,

判断下列命题是否正确

2. A C

A C CA B D DB

在正方体 中:求证 面 面

例 3.求证 :如果两个平面垂直 ,那么经过第一个平面内的一个点垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内。

: , , , .

:

P P a a

a

已知求证

P

bc a

b

P

a

c: .

, .

c P

b c b

证明 设 过点 在平面 内作 由平面垂直性质定理知

.经过一点有且只有一条直线与平面 垂直

, .a b a 与 重合即

在下列条件下，判断正三棱锥 P-ABC的顶点 P 在底面 ABC 内的射影位置在下列条件下，判断正三棱锥 P-ABC的顶点 P 在底面 ABC 内的射影位置

1 、三条侧棱相等2、侧棱与底面所成的角相等3、侧面与底面所成的角相等4、顶点 P到⊿ ABC 的三边距离相等5、三条侧棱两两垂直6、相对棱互相垂直7、三个侧面两两垂直

外心外心内心内心垂心垂心垂心

四面体 ABCD 中，面 ADC⊥面 BCD ，面 ABD ⊥面 BCD ，设 DE 是 BC 边上的高， 求证： 平面 ADE ⊥面 ABC

A

B

C E

D

面 ADC⊥ 面 BCD

面 ABD ⊥ 面 BCD

AD ⊥ 面 BCD

AD BC⊥DE BC⊥BC ⊥ 面 ADE

面 ABC ⊥ 面 ADE

①

②

③④

线面垂直面面垂直 线线垂直① ②

③④

44P 两个平面垂直的判定和性质两个平面垂直的判定定理

,.

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线那么这两个平面互相垂直

: , ,AB AB B AB 已知: 求证

C

D

B

A

E

: CD 证明 设

,B B B CD AB

AB AB CD ,B BE CD BE 过 作 且

AB AB BE

CD 二面角的平角是直角

. CD

两个平面垂直的性质定理,如果两个平面垂直 那么在一个平面内垂直于

,它们交线的直线: , , ,AB CD AB CD 已知: AB 求证

C

D

B

A

E

.垂直于另一个平面

: , , ,CD AB AB CD 证明

, ,B CD B BE CD 垂足 过 作

0, ,

90BE ABE CD

ABE

且 是直二面角 的平面角即

AB CD BE则直线 垂直平面 的两条相交直线 和

.AB 根据线面垂直判定定理有