Upload
manaek-lumban-gaol
View
228
Download
8
Embed Size (px)
Citation preview
LIMIT FUNGSILIMIT FUNGSI
MANOGAR PURBA, S.Pd
12.1. PEENGERTIAN LIMIT FUNGSI ALJABAR
A. Defenisi Limit fungsiPerhatikan gambar di bawah ini
Df = {x | x Î R, x ¹ 2}
jika dicari nilai fungsi untuk x = 2,
Dari tabel di atas dapat disimpulkan bahwa untuk x mendekati 2 baik dari kiri maupun dari kanan, nilai fungsi tersebut makin mendekati 4, dan dari sini dikatakan bahwa limit f(x) untuk x mendekati 2 sama dengan 4
Hal.: 2 Isi dengan Judul Halaman Terkait
0 2-2
2
4
2
42
x
xxF
taktentubentukadalahF0
0
22
422
2
Tabel nilai – nilai fungsi untuk x dekat dengan 2
X F(x)
1,90 3,9
1,99 3,99
1,999 3,999
2 . . . ?
2,001 4,001
2,01 4,01
2.1 4,1
PENGERTIAN LIMIT FUNGSI
Secara matematika , dituliskan sebagai berikut.
Hal.: 3 Isi dengan Judul Halaman Terkait
42
4lim
2
2
x
xx
Dari uraian ini timbullah pengertian limit secara intuisi, sehingga :
Pengertian limit fungsi secara intuitif : , mengandung arti
bahwa jika x mendekati { x } maka nilai
LxFax
lim
LmendekatixF
Secara umum, limit fungsi didefenisikan sebagai berikut
axsetiapuntukLxFsehingga
sedemikianberpadananyangterdapat
yakecibetapapundiberikanyangsetiapuntuk
bahwaadalahLxFLimDikatakanax
0
0
ln0
LIMIT FUNGSI ALJABAR
I. Limit fungsi aljabar jika variabelnya mendekati nilai tertentu diselesaikan dengan Langkat-langkah sebagai berikutA. Substitusi langsungB. Faktorisasi.C. Mengalikan dengan bilangan sekawan.
Hal.: 4 Isi dengan Judul Halaman Terkait
PERHITUNGAN LIMIT FUNGSI ALJABAR
A. Cara substitusi langgsungContoh 1:Hitunglah : Penyelesaian
Kerjakan soal derikut ini
Hal.: 5 Isi dengan Judul Halaman Terkait
13lim2
xx
51612313lim2
xx
1
1lim.4
2
2lim.3
110lim.2
4lim,1
2
2
2
2
1
2
2
x
x
x
x
x
xx
x
x
x
x
PERHITUNGAN LIMIT FUNGSI ALJABAR
B. Cara FatorisasiJika dengan cara substitusi langsung
Maka perhitungan limit fungsi dilakukan dengan memfaktorkanContoh : 2Hitunglah :
Hal.: 6 Isi dengan Judul Halaman Terkait
taktentubentukag
afdiperoleh
xg
xfax 0
0lim
3
6lim
2
3
x
xxx
523
2lim3
23lim
3
6lim
33
2
3
x
x
xx
x
xx
nPeyelesaia
xxx
PERHITUNGAN LIMIT FUNGSI ALJABAR
Contoh 2Hitunglah :
Contoh 3Hitunglah
Hal.: 7 Isi dengan Judul Halaman Terkait
1
1lim
3
x
xx
2
11lim
1
)1)(1(lim
1
1lim
1
11
xx
x
xx
x
x
anPenyelesai
x
xx
xx
xxx
2
3
0
2lim
12
2
)20(
)20(
)2(
)2(lim
)2(
)2(lim
2lim
22
0
2
02
3
0
x
x
xx
xx
xx
xx
anPenyelesai
x
xx
PERHITUNGAN LIMIT FUNGSI ALJABAR
Hitunglah nilai limit fungsi yang berikut ini
Hal.: 8 Isi dengan Judul Halaman Terkait
xxx
xxxx
xx
xx
xx
xx
x
x
x
x
x
82
4lim..4
2lim..3
lim..2
2
4lim.1
3
234
0
2
3
0
20
2
2
PERHITUNGAN LIMIT FUNGSI ALJABAR
c. Mengalikan dengan bentuk sekawan.Contoh 4Hitunglah nilai Penyelesaian :
Hal.: 9 Isi dengan Judul Halaman Terkait
47
9lim
2
2
3
x
xx
8416
473
47lim
9
479lim
167
479lim
47
47
47
9lim
47
9lim
2
2
3
2
22
3
2
22
3
2
2
2
2
32
2
3
x
x
xx
x
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
PERHITUNGAN LIMIT FUNGSI ALJABAR
Contoh 5Hitunglah :
Penyelesaian :
Hal.: 10 Isi dengan Judul Halaman Terkait
x
xxx
44lim
0
2
122
1
0404
2
44
2lim
44
2lim
44
44lim
44
4444lim
44lim
0
00
00
xx
xxx
x
xxx
xxxx
xx
x
xx
x
xx
x
xx
xx
PERHITUNGAN LIMIT FUNGSI ALJABAR
Hitunglah nilai limit fungsi yang berikut ini
Hal.: 11 Isi dengan Judul Halaman Terkait
x
xxxx
x
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
2
1413lim.4
22lim.3
53
4lim.2
23
1lim.1
22
0
0
2
2
2
21
PERHITUNGAN LIMIT FUNGSI ALJABAR
II. Limit fungsi aljabar jika variabelnya mendekati tak berhingga maka diselesaikan dengan :A. Mebagi dengan pangkat tertinggiB. Mengalikan dengan faktor lawan
Hal.: 12 Isi dengan Judul Halaman Terkait
PERHITUNGAN LIMIT FUNGSI ALJABAR
A. Limit fungsi aljabar dengan variabel menuju tak berhingga
Apabila suatu limit fungsi aljabar dengan variabel menuju tak
berhingga , dengan bentuk : maka untuk
menyelesaikannya dapat kita lakukan dengan membagi pembilang
dan penyabut dengan variabel pangkat tertinggi ,perhahtikan
contoh berikut ini.
contoh 6
Tentukanlah nilai dari
Penyelesaian :
Hal.: 13 Isi dengan Judul Halaman Terkait
xgxf
x lim
x
xx
4
5lim
2
0
4
00
0114
51
lim4
5
lim4
5lim
2
2
22
22
2
2
xx
x
x
x
x
xx
x
x
xxxx
PERHITUNGAN LIMIT FUNGSI ALJABAR
Contoh 7Tentukan nilai dari
Penyelesaian:
Hal.: 14 Isi dengan Judul Halaman Terkait
4x
9 - x - 1 - x lim
22
x
4
12
4
0102
4
91
12
lim
4
912
lim
4
912
lim
x4x
9 - x -
1 - 2x
lim4x
9 - x - 1 - 2x lim
22
x
22
2
22
2
x
2
2
2
2
x
22
x
22
x
xx
xxx
xxx
xx
xx
xx
PERHITUNGAN LIMIT FUNGSI ALJABAR
B. Limit dungsi aljabar dengan variabel menuju tak berhingga
Apabila suatu limit fungsi aljabar dengan variabel menuju tak
berhingga , dengan bentuk : maka untuk
menyelesaikannya dapat kita lakukan dengan cara mengali
dengan bentuk lawan,perhahtikan contoh berikut ini.
Adapun bentuk bentuk lawan dimaksud adalah:
Contoh 8
Hal.: 15 Isi dengan Judul Halaman Terkait
xgxfx
lim
5 6x 9x 7 8x 9x limit dari nilaiTentukan 22
~x
xgxf
xgxfadalahlawannybentukxgxf
xgxf
xgxfadalahlawannybentukxgxf
.2
.1
PERHITUNGAN LIMIT FUNGSI ALJABAR
Penyelesaian :
Hal.: 16 Isi dengan Judul Halaman Terkait
5 6x 9x 7 8x 9x
5 6x 9x 7 8x 9x.5 6x 9x 7 8x 9x limit
22
2222
~x
5 6x 9x 7 8x 9x limit 22
~x
5 6x 9x 7 8x 9x
5) 6x (9x 7) 8x (9x limit
22
22
~x
5 6x 9x 7 8x 9x
12 14x - limit
22~x
222
2
222
2~x
x5
x6x
x
9x
x7
x8x
x
9xx
12
x14x-
limit
22
~x
x5
x6
9 x7
x8
9
x12
14- limit
0 0 9 0 0 9
0 14-
3 3
14-
6
14-
3
7-
Soal latihan1. Tentukan nilai limit fungsi berikut ini.
Hal.: 17 Isi dengan Judul Halaman Terkait
PERHITUNGAN LIMIT FUNGSI ALJABAR
1312lim.
243lim.
12lim.
22
22
xxxxc
xxxxb
xxa
x
x
x
12.2.1.Fungsi Trigonometri Yang Variabelnya Mendekati Suatu Sudut tertentu
Jika dalam dengan f(x) merupakan fungsi
trigonometri , maka limit fungsi ini dinamakan limit fungsi
trigonometriUntuk mengerjakan limit fungsi trigonometri yang
variabelnya mendekati suatu sudut tertenru dalam beberapa hal dia mempunyai kemiripan dengan perhitungan limit fungsi aljabar .
Jika dengan substitusi langsung diperoleh bentuk tak tentu maka kita harus upayakan cara-cara lain ,yakni menyederhanakan dengan menggunakan rumus- rumus atau identitas trigono metritrigonometri yang sebelumnya telah kita pelajari.Adapun bentuk – bentu limit fungsi trigonometri misalnya:
Hal.: 18 Isi dengan Judul Halaman Terkait
12.2. LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI
xfx lim
x
xc
x
xbxa
xxx
3tanlim.
2sinlim.3coslim.
Contoh 9Tentukanlah nilai
Penyelesaian :
=
=
=
=
Hal.: 19 Isi dengan Judul Halaman Terkait
12.2. LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI
π)3cos(4x
sinxlimit
090x
π)3cos(4x
sinxlimit
090x
)1803cos(4.90
90sin 00
0
0180 3cos
1
1)3(
1
3
1
Contoh 10Tentukanlah nilai
Penyelesaian :
=
=
=
=
sin2x1
cosxsinx limit
045x
sin2x1
cosxsinx limit
045x 0
00
sin2.451
cos45sin45
11
222
1
2
1
2
2
22
1
Contoh 11.Tentukanlah nilai
Penyelasaian :
= =
Karena dengan mensubstitusi langsung diperoleh bentuk tak tentu, maka terlebih dahulu fungsinya disederhanakan dengan menggunakan identitas trigonometri.
= =
= =
=
=
Hal.: 20 Isi dengan Judul Halaman Terkait
12.2. LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI
tgx1
cosxsinx limit
045x
tgx1
cosxsinx limit
045x
x
x
cos
sin1
xcos-xsin limit
045x
0
00
tg451
cos45sin45
0
0
11
222
1
2
1
tgx1
cosxsinx limit
045x
xcos
xsin
xcos
xcosxcosxsin
limit045x
cosx
xsin-xcoscosxsinx
limit045x
xx
xxx
x cossin
coscossinlim
045
)(coslim)cos(lim00 4545
xxxx
22
145cos 0
12.2.2 Rumus – rumus limit fungsi trigonometri
Hal.: 21 Isi dengan Judul Halaman Terkait
12.2. LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI
1tan
lim.
1tan
lim.
1sin
lim.
1sin
lim.
0
0
0
0
x
xa
x
xa
x
xb
x
xa
x
x
x
x
Contoh 12Tentukan nilai
Penyelesaian :
=
= = 5(1)
= 5
x
5xsin limit
0x
x
5xsin limit
0x
5
5.
x
5xsin limit
0x
.5x
5xsin limit5
0x
Tentukan nilai limit fungsi trigonometri berikut ini.
Hal.: 22 Isi dengan Judul Halaman Terkait
12.2. LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI
3x tg
xlimit1.
0x
20x x
2x cos1limit2.
sin x
2xsin limit3.
0x
x.sin x
xcos1limit4.
2
0x
5xsin
3x 2tglimit5.
0x
2
2
0x x
xcos1limit6.
xcos1
xx.tglimit7.
20x
12.3. TEOREMA LIMIT
12.3. Teorema limit Dalam pembahasan limit fungsi di atas sebenarnya kita telah menggunakan beberapa teorema limit fungsi yang berikut ini akan dibahas lebih lanjut.
1. Jika f(x), maka konstanta bilangan riel.
2. Jika
3. Limit jumlah beberapa fungsi
4. Limit selisih beberapa fungsi
5. Jika k konstanta maka
6. Limit perkalian beberapa fungsi
7. Limit pebagian beberapa fungsi dengan
catatan
Hal.: 23 Isi dengan Judul Halaman Terkait
kkxfax
,lim
adank
axfmakaxxfax
lim
xgxfxgxfaxaxax
limlimlim
xgxfxgxfaxaxax
limlimlim
xfkxfkaxax
limlim
xgxfxgxfaxaxax
limlimlim
xgxf
xg
xf
ax
ax
ax
lim
limlim
0lim
xgax
8. Limit fungsi pangkat n sama dengan pangkat n dari limit fungsi itu dituliskan sebagai berikut :
9. Limit akar ke n dari sebuah fungsi : dengan catatan
Selanjutnya perhatikan pembahasan soal berikut iniContoh13
Penyelesaian :
Hal.: 24 Isi dengan Judul Halaman Terkait
12.3. TEOREMA LIMIT
nax
n
axxfxf
limlim
nax
n
axxfxf
limlim
genapnuntukoxfax
lim
43lim2
xHitunglahx
4lim3lim43lim222
xxx
xx
Teorema 4
4limlim322
xx
x
Teorema 5
2
423
Teorema 1 dan2
Contoh 14
Hitunglah
Penyelesaian : =
=
=
= =
=
Hal.: 25 Isi dengan Judul Halaman Terkait
PEMBAHASAN SOAL MENGGUNAKAN TEOREMA LIMIT
x
xx
5lim
2
2
x
xx
5lim
2
2
Teorema 7
2
5lim 2
2
x
x
Teorema 9
x
x
x
x
2
2
2
lim
5lim
Teorema 2
2
5limlim2
2
2
xx
x
Teorema 3
2
5limlim2
2
2 xx
x
Teorema 8
2
52 2
Teorema 8
2
3
Contoh 15Jika diketahui
Hitunglah
Penyelesaian :
Hal.: 26 Isi dengan Judul Halaman Terkait
243lim3lim22
xgdanxfxx
52
2lim xgxfx
52
2lim xgxfx
52
2
2
5
2
2
2
limlim
limlim
xgxf
xgxf
xx
xx
27
39
2433 52
Teorema 6
Teorema 8 dan 9
PEMBAHASAN SOAL MENGGUNAKAN TEOREMA LIMIT
Contoh 16Hitunglah nilai dari
Penyelesaian :
Hal.: 27 Isi dengan Judul Halaman Terkait
x
xx 3sin
4tanlim
0
1
113
43sin
3lim
4
4tanlim
3
43sin
3lim
4
4tan
3
4lim
3sin
3
4
4tan
3
4lim
43
34
3sin
4tanlim
3sin
4tanlim
00
00
0
0
0
x
x
x
xx
x
x
xx
x
x
xx
x
x
xx
x
xx
xx
x
x
x
Teorema 5 dan 6
Teorema 6
EMBAHASAN SOAL MENGGUNAKAN TEOREMA LIMIT
Contoh 17Hitunglah
=
=
=
=
= =
Hal.: 28 Isi dengan Judul Halaman Terkait
TEOREMA LIMIT
20
12coslim
x
xx
20
12coslim
x
xx
2
2
0
1sin21lim
x
xx
2
2
0
sin2lim
x
xx
2
2
0
sinlim2
x
xx
2
0
sinlim2
x
xx
2
0
sinlim2
x
xx
Teorema 5
Teorema 8
212 2
Soal latihan Gunakan teorema limit untuk menyelesaikan soal – soal berikut ini
Hal.: 29 Isi dengan Judul Halaman Terkait
2
134
5
2
2
23
2
2
0
444lim.5
2
74lim.4
92
4lim.3
421lim.2
43lim.1
xx
xx
x
x
xx
x
x
x
x
x
x
5
33
0
0
0
4lim.
lim.
:
1lim2lim.44sin
6tanlim.3
tan
5sinlim.2
2sin
3sinlim.1
xgxfb
xgxfa
hTentukanla
xgdanxfJikax
xx
xx
x
ax
ax
axax
x
x
x
SOAL LATIHAN MENGGUNAKAN TEOREMA LIMIT
12.4. KONTINUITAS DAN DISKONTINUITAS
Pengertian tentang kontinuitas dan diskontinuitas suatu fungsiPerhatikan gambar berikut
Hal.: 30 Isi dengan Judul Halaman Terkait
x = a
X
Y
0
x = a
X
Y
Gambar 12.2 Gambar 12.3
Pada gambar 12.2 fungsi diskontinu ( tak sinambung)
maka adatidakxfax
lim
Pada gambar 12.3 fungsi juga diskontinu ( tak sinambung ) sebab
walaupun ada tetapi afxfax
lim
axdi
axdi xf
axlim
KONTINUITAS DAN DISKONTINUITAS
Pengertian tentang kontinuitas dan diskontinuitas suatu fungsiPerhatikan gambar berikut
Hal.: 31 Isi dengan Judul Halaman Terkait
x = a
X
Y
0Gambar 12.4
Pada gambar 12.3 fungsi kontinu ( sinambung ) sebab afxfax
limaxdi Defenisi :Misalkan fungsi f tertentu dalam suatu interval yang mengandung nilai , Maka fungsi f diskontinu jika dan hanya jika
aaxdi
afxfax
lim
Syarat yang harus dipenuhi agar sebuah fungsi f kontinu di di
Yakni :
Hal.: 32 Isi dengan Judul Halaman Terkait
SYARAT KONTINU SUATU FUNGSI
ax
afxf
adaharusxf
fdomaindalamaadaharusaf
ax
ax
lim.3
lim.2
.1
Contoh 18Periksa apakahPenyelesaian :
Dari (1) dan (2) Jelas bahwa
Karena ketiga syarat kontinuitas di penuhi maka
Hal.: 33 Isi dengan Judul Halaman Terkait
PEMBAHASAN SOAL KONTINUITAS SUATU FUNGSI
adaxfxxxfxxx 1
22
11lim...22112limlim.2
1lim31
fxfx
122 xdikontinuxxxf
122 xdikontinuxxxf
adaff 1...22111.1 2
Contoh 18Apakah kontinu di x = 2
Penyelesaian :
Karena tak tentu maka diskontinu di x= =2 Contoh 19
Apakah
Hal.: 34 Isi dengan Judul Halaman Terkait
PEMBAHASAN SOAL KONTINUITAS SUATU FUNGSI
2
42
x
xxf
tentutakf ........0
0
22
422.1
2
2f 2
42
x
xxf
13
1.1
13
xuntuk
xuntukx
xxf
Penyelesaian :1. F(1) = 3
Hal.: 35 Isi dengan Judul Halaman Terkait
PEMBAHASAN SOAL KONTINUITAS SUATU FUNGSI
3
111
1lim
1
11lim
1
1limlim.2
2
2
1
2
1
3
11
xx
x
xxx
x
xxf
x
x
xx
1lim.31
fxfx
Pa kesimpulan anda
Soal evaluasi akhir bab
Kerjakan soal berikut ini
Hal.: 36 Isi dengan Judul Halaman Terkait
4lim.1 2
2
xx
x
2
4lim.2
2
2
x
xx
1
1lim.33
x
x
x
x
xx
4
5lim,5
2
47
9lim.4
2
2
3
x
xx
4x
9 - x - 1 - x lim6.
22
x
π)3cos(4x
sinxlimit.7
090x
x.sin x
xcos1limit8.
2
0x
xgxfhTentukanla
xgdanxfJika
ax
axax
33lim:
1lim2lim.9
22
4.10
2
xdi
kotinux
xxffungsiApakah
Hal.: 37 Isi dengan Judul Halaman Terkait
SEKIAN