Upload
dita-bendol-dewi
View
194
Download
8
Embed Size (px)
DESCRIPTION
mekanika
Citation preview
KINEMATIKA DALAM SISTEM
KOORDINAT YANG BERBEDA
SISTEM KOORDINAT YANG BERBEDA
Untuk menggambarkan posisi dan gerak sebuah
objek atau titik dalam ruang, tentunya diperlukan
sebuah sistem koordinat. Beberapa sistem
koordinat yang biasa digunakan adalaha koordinat
rektangular (kartesian), koordinat polar, koordinat
silinder dan koordinat bola.
KOORDINAT REKTANGULAR (KARTESIAN)
Koordinat kartesian merupakan koordinat dua atau
tiga dimensi yang terdiri dari sumbu-sumbu yang
saling berpotongan di titik O.
Koordinat Kartesian dari titik P
dalam dua dimensi
Posisi titik P digambarkan oleh koordinat (x,y) yang
didapatkan dari proyeksi titik P terhadap sumbu X
dan Y, sehingga OA = x dan OB = y.
Gambar berikutnya merupakan koordinat kartesian
tiga dimensi,
KOORDINAT REKTANGULAR (KARTESIAN)
KOORDINAT REKTANGULAR (KARTESIAN)
Koordinat kartesian dari
titik P dalam tiga dimensi
Posisi titik P digambarkan oleh
Koordinat (x,y,z). Dari titik P di-
tarik garis tegak lurus terhadap
sumbu Z, sehingga OC = z dan garis
PM tegak lurus bidang XY. Dari M
ditarik garis tegak lurus terhadap
sumbu X dan Y sehingga OA = x
dan OB = y , dengan demikian
KOORDINAT POLAR
Sistem koordinat kartesian sangat cocok digunakan untuk menggambarkan gerakan objek dalam garis lurus. Koordinat kartesian tersebut, tidak selamanya dapat digunakan ketika gerakan objek berupa kurva seperti gerak melingkar. Untuk gerak seperti itu perlu digunakan sistem koordinat lain yang sesuai.
Pemilihan sistem koordinat yang tepat, akan membuat penyelesaian masalah-masalah dalam gerak menjadi lebih sederhana. Sebagai contoh gerak melingkar pada sebuah bidang sangat tepat digambarkan dengan koordinat polar.
KOORDINAT POLAR
Koordinat polar (r,θ) dari titik
P dalam dua dimensi
Berdasarkan gambar di samping,
koordinat kartesian titik P pada
bidang XY adalah (x,y). Titik P
terletak pada jarak r dari titik asal O.
Garis OP membentuk sudut θ
terhadap sumbu X. Sehingga dapat
diterima apabila posisi P diwakili
oleh koordinat (r, θ) yang disebut
koordinat polar. Hubungan antara
(x,y) dan (r, θ) adalah
Kita juga dapat menyatakan r dan θ dalam x dan y melalui cara yang sederhana, yaitu melalui kuadrat dan penjumlahan, sehingga diperoleh
Dari persamaan sebelumnya, diperoleh
Dengan
KOORDINAT POLAR
Dengan demikian, dalam sistem koordinat dua
dimensi (x,y) atau (r,θ) dapat mewakili posisi
sebuah titik dalam sebuah bidang. Nilai r mulai dari
0 sampai ∞, sedangkan nilai θ mulai dari 0 sampai
2 radians.
Perbandingan antara sistem koordinat kartesian
dengan polar diperlihatkan pada gambar berikut
KOORDINAT POLAR
KOORDINAT SILINDER Mari kita bayangkan titik P terletak pada jarak r dari
titik pusat O. Titik P dapat digambarkan dalam
koordinat kartesian (x,y,z) atau koordinat silinder
(ρ, ,z), seperti gambar di bawah ini
Koordinat silinder titik P
dalam ruang
Dalam koordinat silinder (x,y,z) dinyatakan dalam
Sedangkan hubungan kebalikannya dinyatakan
dengan
KOORDINAT SILINDER
Kita bayangkan kembali sebuah titik P yang berada
pada jarak r dari titik pusat O, seperti terlihat pada
gambar berikut
KOORDINAT POLAR BOLA
Koordinat polar bola dari
titik P dalam ruang
Koordinat kartesian dari titik P adalah (x,y,z),
sementara dalam koordinat polar bola (r,θ, ).
Untuk menemukan hubungan antara dua koordinat
tersebut, kita nyatakan OP = r menjadi dua
komponen PM dan OM
selanjutnya OM dinyatakan dalam dua komponen
OA dan OB, sehingga
KOORDINAT POLAR BOLA
Sehingga didapatkan hubungan
Hubungan kebalikannya didapatkan sebagai berikut
KOORDINAT POLAR BOLA
KINEMATIKA DALAM KOORDINAT KARTESIAN
Seperti yang telah kita ketahui, dalam kinematika
dipelajari gerak tanpa memperhatikan gaya yang
menyebabkannya. Sehingga pada bab ini kita
hanya meninjau posisi, kecepatan, dan percepatan
dalam dua dan tiga dimensi.
Posisi partikel dalam bidang XY dapat digambarkan
dalam koordinat (x,y), atau dapat digambarkan
dalam bentuk vektor posisi r = (x,y). Gerak titik P
pada bidang XY dapat digambarkan dengan
menyatakan y sebagai fungsi x atau sebaliknya.
KINEMATIKA DALAM KOORDINAT KARTESIAN
Atau akan lebih baik menyatakan persamaan tersebut dalam
bentuk relasi antara x dan y, misalnya
Sebagai contoh partikel bergerak dalam bentuk lingkaran dapat
digambarkan dengan persamaan
Dengan a adalah jari-jari lingkaran.
Cara yang biasa dipakai untuk merepresentasikan
jejak partikel adalah dalam bentuk bagian dari
parameter misalnya s, sehingga
Secara umum, jika partikel bergerak dalam bidang
XY gerakannya digambarkan oleh
KINEMATIKA DALAM KOORDINAT KARTESIAN
Dengan waktu t merupakan parameter dalam hal
ini. Kita dapat menulis vektor posisi r, dalam bentuk
unit vektor
Kecepatan dan percepatan partikel dan komponen-
komponennya adalah
KINEMATIKA DALAM KOORDINAT KARTESIAN
Gerak tiga dimensinya dinyatakan oleh
KINEMATIKA DALAM KOORDINAT KARTESIAN
KINEMATIKA DALAM KOORDINAT POLAR
Dalam banyak situasi, lebih cocok menggunakan
koordinat polar (r,θ) daripada koordinat kartesian
(x,y) untuk menggambarkan gerak sebuah partikel.
Hubungan antara dua koordinat tersebut adalah
Hubungan kebalikannya
Jarak r diukur dari titik pusat O sedangkan θ dari
sumbu x berlawanan arah jarum jam vektor satuan
î dan ĵ dalam koordinat kartesian ditunjukkan oleh
gambar. Sekarang kita definisikan dua vektor
satuan dalam koordinat polar, yang saling tegak
lurus satu sama lain yaitu rˆ yang menunjukkan titik
P dalam arah pertambahan sepanjang r dan θˆ
dalam arah pertambahan θ.
KINEMATIKA DALAM KOORDINAT POLAR
KINEMATIKA DALAM KOORDINAT POLAR
Vektor satuan rˆ dan θˆ dalam koordinat polar
Vektor satuan rˆ dan θˆ dengan vektor satuan î dan
ĵ dihubungkan dengan sebuah relasi
KINEMATIKA DALAM KOORDINAT POLAR
Hubungan antara vektor
satuan (rˆ,θˆ) dan (î,ĵ)
Kita diferensialkan persamaan tadi terhadap θ
Sehingga kita peroleh
KINEMATIKA DALAM KOORDINAT POLAR
KINEMATIKA DALAM KOORDINAT POLAR
Kecepatan v
Karena
Kita dapat menulis
Sehingga
Kita dapat mengidentifikasi
vr adalah komponen kecepatan sepanjang rˆ, yang
disebut kecepatan radial sedangkan vθ adalah
komponen kecepatan sepanjang θˆ yang disebut
kecepatan angular .
KINEMATIKA DALAM KOORDINAT POLAR
Percepatan partikel dinyatakan oleh
Sehingga
Terdapat dua komponen percepatan yaitu radial
dan angular
KINEMATIKA DALAM KOORDINAT POLAR
KINEMATIKA DALAM KOORDINAT POLAR