Univerzitet u Novom SaduTehnički fakultet „Mihajlo Pupin“Zrenjanin

KINEMATIKA FLUIDA

- seminarski rad -

Predmet: Hidraulika i pneumatika

Profesor: Prof. dr Živoslav AdamovićAsistent: Ivan Palinkaš

Student: Filip LatinovićBroj indeksa: NGSmer: Industrijsko inženjerstvo u eksploataciji nafte i gasa

Zrenjanin, 2016. godina

1

2

SADRŽAJ

SADRŽAJ...................................................................................................................................................0

1. UVOD...................................................................................................................................................1

2. KINEMATIKA FLUIDA............................................................................................................................2

2.1 KRETANJE FLUIDA........................................................................................................................2

2.2 VRSTE STACIONARNOG KRETANJA..............................................................................................2

2.3 STRUJNICA I EMISIONA LINIJA.....................................................................................................4

2.4 JEDNAČINA KONTINUITETA.........................................................................................................5

2.5 BERNULIJEVA JEDNAČINA KRETANJA FLUIDA..............................................................................6

2.5.1 Bernulijeva jednačina za protok idealne tečnosti................................................................6

2.5.2 Bernulijeva jednačina za protok stvarnog fluida..................................................................8

ZAKLJUČAK...............................................................................................................................................9

LITERATURA...............................................................................................................................................10

1. UVOD

U fizici, dinamika fluida je oblast mehanike fluida koja se bavi protokom fluida. Ona je prirodna nauka fluida (tečnosti i gasova) u kretanju. Ona ima više podoblasti, kao što su aerodinamika (studija vazduha i drugih gasova u kretanju) i hidrodinamika (studija tečnosti u kretanju). Dinamika fluida ima širok opseg primena, uključujući proračun sila i momenata na avionu, utvrđivanje brzine protoka mase nafte kroz cevovod, predviđanje vremenskih prilika, razumevanje nebula u međuzvezdanom prostoru, kao i modelovanje detonacija fisionog oružja. Neki od njenih principa se čak koriste i u saobraćajnom inženjerstvu, pri čemu se saobraćaj tretira kao kontinualno polje.

U mehanici čvrstih tela izučava se kretanje celog tela u odnosu na referentni sistem. Kod pomeranja fluida delovi fluida se kreću jedni u odnosu na druge.1

1 https://sh.wikipedia.org/wiki/Dinamika_fluida

1

2. KINEMATIKA FLUIDA

2.1 KRETANJE FLUIDA

Kretanje fluida može imati dva vida:

- stacionarno (ustaljeno kretanje),- nestacionarno kretanje.

Vrsta kretanja tečnosti kod kojeg se veličine vrzina, pritisaka i visina tj. dubina u odreenoj tačkine menjaju sa vremenom naziva se stacionarno (ustaljeno) kretanje. Ukoliko bi svaka čestica tečnosti koja prolazi kroz istu tačku, na primer kroz tačku 1, u raznim vremenskim momentima imala različitu brzinu v11, a pritisak p1, kretanje tečnosti bi bilo vremenski neujednačeno, a njegov bi matematički izraz bio :

v=f 1(x , y , z , t) (1)

p= f 2(x , y , z ,t) (2)

To znači da su veličine vrzina i pritisaka na ma kom mestu putanje „s“ zavisne od vremena u kojem se pojavljuju. Ova vrsta kretanja zbog toga je i nazvana nestacionarno kretanje.

2.2 VRSTE STACIONARNOG KRETANJA

U praksi postoje dva vida stacionarnog kretanja :

- stacionarno ravnomerno kretanje (slika 1 ), i- stacionarno neravnomerno kretanje (slika 2)

Slika 1. Ravnomerno stacionirano kretanje fluida

2

Slika 2. Neravnomerno stacionirano kretanje fluida

Ravnomerno stacionarno kretanje je vid stacionarnog kretanja fluida kod koga su sve karakteristične veličine kretanja – brzina, pritisak i dubina na svakom mestu i u svakom momentu jedake po celoj dužini toka. U slučaju ravnomernog kretanja tečnosti mora biti zadovoljen uslov prema kome je :

vI− I=v2−2=v=const (3)

p I−I=P II− II=p=const (4)

h I−I=h II−II=h=const (5)

Neravnomerno stacionarno kretanje tečnosti je vid stacionarnog kretanja kod koga su kao na pri proticanju tečnosti kroz konusni naglavak cevi, karakteristične veličine kretanja v, p i h na različitm mesta, iz čega sledi da ove veličine nisu const.

Nezavisno od dosadašnjih podela fluida, mogu se navesti još dva karakteristična vvida kretanja :

- kretanje u otvorenim tokovima- kretanje u cevima

Kretanje u otvorenim tokovima je vid kretanja pri kom tečnost obrazuje svoju slboodnu površinu čije se čestice takođe kreću. To se kretanje obično ostvaruje u otvorenim kanalima, ali se može ostvairti i u cevima ukoliko one pri kretanju nisu u potpunosti ispunjene tečnošću.

Kretanje u cevima se ostvaruje kada se tečnost kreće kroz cev ili zatvoreni kanal, koji pritom nisu u potpunosti njome ispunjeni. Urzok kretanja je razlika pritisaka koja se pojavljuje kao rezultat razlike u visine tečnosti u raznim poprečnim presecima, kao na primer kod vodotornja u odnosu na

3

cevni razvod. Urzok kretanja može biti i pritisak koji se pojavljuje kao rezultat dejstva spoljašnjih urzočnika, npr pritisak koji ostvaruje pumpa.

2.3STRUJNICA I EMISIONA LINIJA

Strujnica je linija koja se odnosi na određeni vremenski trenutak, a u svakoj tački ima tangentu u pravcu brzine u toj tački – bitna karakteristika strujnica je istovremenost. Obe linije – i trajektorija, i strujnica, imaju tangente u pravcu brzine, ali se kod trajektorije tangente odnose na brzine istog delića u različitim vremenskim trenucima, dok se kod strujnica odnose na istovremene brzine različitih delića (slika 3). Jednačina strujnica se može napisati u optem obliku :

dx1v1

=dx2v2

=dx3v3

(6)

I to važi za t = const , gde je t trenutak na koji se odnosi strujnica, a nejn prolazak kroz zahtevanu tačku se podešava odgovarajućim graničnim uslovima.

Slika 3. Prikaz strujnice i trajektorije

Zamislimo da se tačka zamišljenje strujnice nalazi unutar jedne zatvorene kružnice, beskonačne male površine ΔA. Provucimo kroz sve tačke ove povrine i njenog obima odgovarajuće strujnice, i dobićemo „snop strujnica“ koje sačinjavaju elementarno strujno vlakno. Skup niza elementarnih strujnih vlakana sačinjava strujnu cev, a skup strujnih cevi sačinjava ukupan strujni tok tečnosti.

Na osnovu izloženog, mogu se izvesti sledeći zaključci o elementarnim strujnim vlaknima :

- tokom vremena oblik strujnog vlakna je nepromenljiv, pošto se ne menja ni oblik pojedinih strujnica od kojih je elementarno strujno vlakno sastavljeno;

- površina omotača strujnog vlakna je sastavljena od perifernih strujnica, ponaša se tako kao da sprečava prelazak čestica tečnosti iz susednih strujnih vlakana u svoju unutrašnjost, i

- kao posledica beskonačno malog poprečnog preeka elementarnog strujnog vlakna, brzina svih čestica koje prolaze kroz taj poprečni presek je jednaka.

4

2.4JEDNAČINA KONTINUITETA

Jedna od osnovnih jednačina hidraulike je jednačina kontinuiteta, koja nam matematički potvrđuje sledeće stvari :

- protok tečnosti u jednom strujnom toku na svakom mestu na celoj dužini toka je isti - ukoliko nema gubitaka, dovoda ili dovoda tečnosti sa strane

- strujni tok je neprekidan – kontinualan, što znači da u unutrašnjosti toka tečnosti nema praznina ili prekida, kao ni zgušnjavanja, koji su nemogući ako posmatramo idealno nestišljivu tečnost.

Da bismo došli do ovih zaključka, uradimo mentalni ogled.Neka kroz deo cevovoda (slika 4) protične neka količina tečnosti. Neka ulazni protok bude Q 1 a izlazni Q2.

Analizirajmo tri pretpostavke :

1. Q1 > Q2 u ovom slučaju bi priticalo stalno više tečnosti nego što bi isticalo iz cevi, i moralo bi doći do nagomilavanja tečnosti između preseka I-I i II-II. Kako je tečnost praktično nestišljiva, a cevovod od krutog materijala, ova pretpostavka je neodrživa.

2. Q1 < Q2 u ovom slučaju, iz cevovoda bi trebalo da ističe više tečnosti nego što u cevovod utiče. To bi moralo da znači da negde postoji prekid strujnog toka tečnosti, što znači da strujni tok ne bi bio kontinualan, i prema tome je neodrživa pretpostavka da bi se stavlno stvarao višak tečnosti koja bi trebalo da isteče iz cevovoda.

3. Q1 = Q2 = const jedina realna pretpostavka, koja za premisu uzima da je strujni tok neprekidan, kontinuiran po celoj dužini toka. Da bismo ovo dokazali, razmotrimo šta se događa u eksperimentalnom strujnom vlaknu pri proticanju tečnosti (slika 5) :

Slika 4. Kontinuitet strujnog toka

Za vreme Δt, kroz poprečni presek I-I površine ΔA1 vrzinom v1 protiče zapremina tečnosti :

ΔQ1=∆ A1v1∆t (7).

Za isto to vreme, kroz poprečne preseke II-II i III-III, površina AΔ 2 i AΔ 3, brzina v2 i v3, proticaće iste zapremina QΔ 2 i QΔ 3, odnosno :

5

∆Q2=∆ A2 v2∆ t ;∆Q3=∆ A3 v3∆ t (8,9)

na osnovu čega prizilazi

∆Q1=∆Q2=∆Q3=const (10),

ili zamenom početnih vrednosti u dati obrazac :

∆ A1∆ v2∆t=∆ A2∆v2∆ t=∆ A3∆ v3∆ t=const (11)

Praktična primena jednačine kontinuiteta se nalazi u tome da se u bilo kojem momentu u cevovodu može izračunati brzina protoka, koja iz prethodnih formula glasi :

v= constA (12)

Slika 5. Prikaz kontinuiteta strujnog toka

2.5BERNULIJEVA JEDNAČINA KRETANJA FLUIDA

Bernulijeva jednačina je jedna od osnovnih matematičkih definicija, u delu fizike, koja se zove dinamika fluida. Opisuje Bernulijev princip, odnosno definiše međusobnu vezu između pritiska ili potencijalne energije fluida i njegove brzine ili njegove kinetičke energije, u strujnoj cevi (strujnom polju). Bernulijev princip je dobio ime po dansko-švajcarskom naučniku Danijelu Bernuliju, koji je opisao ovaj princip u svojoj knjizi „Hidrodinamica“ 1738. godine. Bernulijeva jednačina služi upravo za opisivanje ovog principa i izračunavanje parametara vezanih za protok fluida..2

2 https://sr.wikipedia.org/wiki/Бернулијева_једначина

6

2.5.1 Bernulijeva jednačina za protok idealne tečnostiNeka se struna cev idealne tečnosti sužava u pravcu toka (slika 6). Na presecima S1 i S2 uočavamo da se tečnost brže kreće u užem delu cevi, kroz presek S2 kretati ubrzano. Ovo ubrzanje je izazvano delovanjem neke sile koja potiče od tečnosti iz šireg dela strujne cevi. Očigledno je da se ta sila može javiti samo suled razlike pritisaka u različitim delvoima tečnosti. Ovi pritiskci su za odgovarajuće poprečne preseke p1 i p2.

Slika 6. Prikaz zamišljenog cevovoda

Uzimajući u obzir zakon kontinuiteta, izdvojićemo neku masu tečnosti Δm koja protiče kroz preseke S1 i S2 za vreme Δt, na visinama h1 i h2 na kojima se preseci nalaze, a energiju mase tečnosti obeležiti sa E1 i E2, dobićemo promenu energije, a koja je jednaka radu spoljašnjih sila koje pomeraju tečnost:

∆ E=E1−E2=A (13)

Kako su:

E1,2=12mv1,2

2 +mgh1,2 (14),

a rad spoljašnjih sila:

A=( p1−p2 )V (15),

7

uvršćavanjem i sređivanjem jednačina dolazimo do

12ρ v1

2+ρg h1+ p1=12mv2

2+ ρg h2+ p2 (16),

a kako ova jednakost važi za bilo koji presek cevi, možemo slobodno napisati

12ρ v2+ρgh+ p=const . (17),

što se rečima može iskazati na sledeći način:„ Zbir dinamičkog (hidrodinamičkog), visinskog (hidrostatičkog) i statičkog pritiska pri stacionarnom proticanju idealnog fluida duž strujne cevi ostaje stalan.“

2.5.2 Bernulijeva jednačina za protok stvarnog fluida

Viskoznost tečnosti je uzrok nastanka otpora kretanju tečnosti, a poznato je da za savlađivanje otpora pri kretanju mora potrošiti jedan određeni deo energije.

Uzmimo da se na slici 6 umesto idealnog fluida nalazi realan fluid. Zbog pojave otpora trenja, kao posledice viskoznosti tečnosti, ukupna energija koja postoji u preseku S1 neće biti jednaka ukupnoj energiji u poprečnom preseku S2, kao pri kretanju idealne tečnosti. Ukupna energija u preseku S2

biće manja za veličinu energije koja je bila potrebna da se savlada otpor trenja. Ako tu energiju označimo sa hg , i izrazimo je u visini stuba tečnosti, tada dobijamo da je ta visina jednaka razlici kupunih energija u presecima S1 i S2, odnosno :

hg=(h1+ p1γ +v12

2g )−(h2+ p2γ +v22

2 g ) (18),

ili kada napišemo u malo drugačijem obliku :

h1+p1γ

+v12

2g=h2+hg+

p2γ

+v22

2g(19)

koji odgovara obliku Bernulijeve jednačine, ali sada za kretanje stvarne tečnosti kroz elementarno strujno vlakno.

8

ZAKLJUČAK

U fizici, dinamika fluida je oblast mehanike fluida koja se bavi protokom fluida. Ona je prirodna nauka fluida (tečnosti i gasova) u kretanju. Ona ima više podoblasti, kao što su aerodinamika (studija vazduha i drugih gasova u kretanju) i hidrodinamika (studija tečnosti u kretanju). Kretanje fluida može imati dva vida:

- stacionarno (ustaljeno kretanje),- nestacionarno kretanje.

Vrsta kretanja tečnosti kod kojeg se veličine vrzina, pritisaka i visina tj. dubina u odreenoj tačkine menjaju sa vremenom naziva se stacionarno (ustaljeno) kretanje. U praksi postoje dva vida stacionarnog kretanja :

- stacionarno ravnomerno kretanje- stacionarno neravnomerno kretanje

Ravnomerno stacionarno kretanje je vid stacionarnog kretanja fluida kod koga su sve karakteristične

veličine kretanja – brzina, pritisak i dubina na svakom mestu i u svakom momentu jedake po celoj dužini toka.

Neravnomerno stacionarno kretanje tečnosti je vid stacionarnog kretanja kod koga su kao na pri proticanju tečnosti kroz konusni naglavak cevi, karakteristične veličine kretanja v, p i h na različitm mesta, iz čega sledi da ove veličine nisu const.

Jedna od osnovnih jednačina hidraulike je jednačina kontinuiteta, koja nam matematički potvrđuje sledeće stvari :

- protok tečnosti u jednom strujnom toku na svakom mestu na celoj dužini toka je isti - ukoliko nema gubitaka, dovoda ili dovoda tečnosti sa strane

- strujni tok je neprekidan – kontinualan, što znači da u unutrašnjosti toka tečnosti nema praznina ili prekida, kao ni zgušnjavanja, koji su nemogući ako posmatramo idealno nestišljivu tečnost.

Bernulijeva jednačina je jedna od osnovnih matematičkih definicija, u delu fizike, koja se zove dinamika fluida. Opisuje Bernulijev princip, odnosno definiše međusobnu vezu između pritiska ili potencijalne energije fluida i njegove brzine ili njegove kinetičke energije, u strujnoj cevi (strujnom polju). Bernulijev princip je dobio ime po dansko-švajcarskom naučniku Danijelu Bernuliju, koji je opisao ovaj princip u svojoj knjizi „Hidrodinamica“ 1738. godine. Bernulijeva jednačina služi upravo za opisivanje ovog principa i izračunavanje parametara vezanih za protok fluida.

9

LITERATURA

1. Sajfert, V; Fizika fluida; Univerzitet u Novom Sadu, TF „M. Pupin“ Zrenjanin, 20142. Adamović, Živoslav; Hidraulika i pneumatika, Institut GOŠA, Beograd, 20093. http://www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/airplane/bern.html4. http://www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/airplane/bernnew.html5. http://www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/airplane/dynpress.html

10