8/8/2019 13_QUAN

1/17

LV 143.020, 143.021 ET, TM

PHYSIK

LV 138.029 MB, VT, WI-MB

PHYSIK FR INGENIEURE

13. QUANTENMECHANIK

WS 2010/11

Vortragende:N. GURKER, J. CUSTERS

Skriptum:H. EBEL, N. GURKER, M. MANTLER, J. WERNISCH

Dieses Dokument unterliegt dem Urheberrechtsgesetz.Vervielfltigungen, bersetzungen, Einspeicherung und Bearbeitung in elektronischen Medien sind nicht erlaubt.

8/8/2019 13_QUAN

2/17

Quantenmechanik

13. QUANTENMECHANIK

13.1. Einleitung

Die Quantenmechanik ist neben der Relativittstheorie die zweite neue und umfassende Theo-rie des 20.Jahrhunderts. Ihre Modellvorstellungen sind nach dem heutigen Stand der Er-kenntnis die allgemeingltige, naturwissenschaftliche (d.h. an Experimenten orientierte)Beschreibung des Naturgeschehens. Sowohl die Relativittstheorie als auch die Quantentheo-rie haben Naturphnomene zum Inhalt, die sich der direkten Wahrnehmung mit unseren Sin-nesorganen entziehen, wohl aber mit geeigneten experimentellen Methoden erfabar sind.

Relativittstheorie........hohe Geschwindigkeiten

Quantentheorie.............Mikrokosmos

So erzwangen beispielsweise neue experimentelle Befunde (MICHELSON und MORLEY)ein Aufgeben bestehender Axiome (Lnge, Masse und Zeit als absolute Gren, die allgemei-ne Gltigkeit der GALILEI-Transformation und die Annahme eines Lichtthers), da die dar-auf aufbauenden Erklrungsversuche zu unlsbaren Widersprchen hinsichtlich der aus demgenannten Experiment zu folgernden Konstanz der Vakuumlichtgeschwindigkeit fhrten.Dies ist jedoch nicht weiter berraschend, da die klassischen Theorien auf der direkten Beob-achtung unserer Umwelt beruhen, wie z.B. die im Abschnitt "Dynamik" behandelte NEW-TONsche Axiomatik. Sie baut aus neuer experimenteller Sicht auf einem eingeschrnktenErfahrungshorizont auf. Es ist nicht unbedingt zu erwarten, da die auf diesem Erfahrungs-horizont entwickelten Modellvorstellungen auf ursprnglich, also zum Zeitpunkt ihrer Erstel-

lung, nicht absehbare Erweiterungen des experimentellen Erfahrungsstandes anwendbar sind.Von einer neuen und umfassenderen Theorie ist zu fordern, da sie die Ergebnisse der bishe-rigen Experimente ebenso zu beschreiben gestattet, wie auch die der neu hinzugekommenen.Als konkretes Beispiel stellt sich in der speziellen Relativittstheorie die GALILEI-Transformation als ein Sonderfall der LORENTZ-Transformation dar. Oder anders ausge-drckt: Die neue und umfassendere Relativittstheorie gestattet es, Ergebnisse von Experi-menten im gesamten Geschwindigkeitsbereich richtig zu beschreiben, whrend die klassischeMechanik nur in einem Bereiche von Geschwindigkeiten anwendbar ist, der deutlich unter derVakuumlichtgeschwindigkeit liegt.

Eine zum MICHELSON-MORLEY-Experiment vergleichbare Situation stellte sich bei der

Erklrung des Dualismus, wie er etwa bei elektromagnetischer Strahlung - Photon oderLichtquant - bzw. Licht als Welle im Beugungsexperiment in Erscheinung tritt und auch imRahmen der Ausfhrungen zur Materiewelle errtert wurde. Die klassische Frage lautet indiesem Zusammenhang: Haben Licht und Elektronen entweder Teilchen- oder Wellencharak-ter? Unklar ist, wie sich das Beugungsphnomen im Teilchenbild erklren lt.

Eine weitere fundamentale Schwierigkeit ergab sich bei dem Versuch, die Linienspektrender Atome und die Stabilitt der Atome im klassischen Sinne (RUTHERFORD, BOHR) zuerklren. Nach der klassischen Elektrodynamik wirkt eine auf einer Kreisbahn umlaufendeelektrische Ladung wie ein schwingender Dipol, der eine elektromagnetische Welle abstrahlt.Die so in Verlust geratende Energie geht der Ladung verloren, wodurch die Ladung - das E-lektron - in den Atomkern strzen mte.

187

8/8/2019 13_QUAN

3/17

Wie sind im klassischen Bild diskrete Werte der kinetischen Energie der Elektronen bei ihremUmlauf um den Atomkern und der bergang eines Elektrons von einer Bahn in eine andereunter Aufnahme, bzw. Abgabe einer genau definierten Energie zu erklren?

Die fundamentale Konstante ist in der Relativittstheorie die Vakuumlichtgeschwindigkeit c0,

in der Quantentheorie das PLANCKsche Wirkungsquantum h.

Die Entwicklung der Quantentheorie ist, ausgehend von Schlsselerkenntnissen

M.PLANCK Quantisierung der StrahlungsenergieA.EINSTEIN korpuskulare Struktur des LichtesL. DE BROGLIE Wellencharakter der Materie

insbesondere mit den Namen E.SCHRDINGER, W.HEISENBERG, M.BORN, P.DIRAC,N.BOHR und W.PAULI verbunden. Die folgenden Ausfhrungen sind der Erweiterung derklassischen Mechanik auf Objekte des Mikrokosmos ( Quantenmechanik, oder prziser"nicht-relativistische Quantenmechanik") gewidmet. Die Quantentheorie umfat auerdemdie relativistische Quantenmechanik und die Quantenfeldtheorie.

13.2. Beugung eines Elektronenstrahls an einem Spalt

Abb.01q

Den Versuchsaufbau beschreibt die Abb.01q. Als Elektronenquelle EQ dient ein Glhfaden,wobei durch Variation des Heizstroms die Glhfadentemperatur und damit die Strke der E-lektronenemission geregelt werden kann. Zwischen der Elektronenquelle und der Lochanode

A ist eine Potentialdifferenz Uso angelegt, da jene Elektronen, die die Anodenffnung mitdem DurchmesserD durchsetzen, eine kinetische Energie eUaufweisen. Die sich in Richtungdes Pfeiles bewegenden Elektronen erreichen nach dem Durchlaufen einer Strecke L einen

Spalt der Breite d. Smtliche Elektronen, die den Spalt passieren, prallen auf der Detektorplat-te P auf. Es handelt sich dabei um einen ortsempfindlichen Elektronendetektor. Insgesamt

188

8/8/2019 13_QUAN

4/17

Quantenmechanik

sind, von unten beginnend, 101 Detektorkanle der Breite xm bereinander angeordnet. Da-mit wird der Ort der Detektion eines Elektrons durch die Kennzahl m des Kanals beschrieben.Ein Detektorelement m soll dabei die Eigenschaft aufweisen, alle im Bereich von xm auftref-fenden Elektronen zu sammeln und damit zu detektieren. Wird ein Elektron im untersten Ka-nal detektiert, so wird sein Auftreffort durch m=0 gekennzeichnet, hnlich in der Mitte durchm=50 und schlielich ganz oben durch m=100. Wurden etwa im Verlaufe eines Experimentsim Kanal 37 insgesamt 1598 Elektronen detektiert, so wird in der den Versuchsausgang be-schreibenden Verteilungsfunktion berx=37 ein Ordinatenwert von 1598 eingetragen.

Experiment 1

Die Einschaltdauer der Elektronenquelle ist sehr kurz. Die Intensitt der Elektronenquelle ist sehr hoch.

Es wird das in der Abb.02q dargestellte Versuchsergebnis erhalten.

Abb.02q

Man erkennt aus der hnlichkeit des Versuchsausganges mit den bereits behandelten Beu-gungsexperimenten mit Licht am optischen Spalt den Wellencharakter der Elektronen. Diesesin Abb.01q und Abb.02q vereinfacht dargestellte Experiment veranlate DAVISSON undGERMER zu folgender Schlufolgerung:

Materie hat WelleneigenschaftenMateriewelle

An dieses Ergebnis schliet sich die Frage an, ob der Wellencharakter der Elektronen nurdann in Erscheinung tritt, wenn eine Vielzahl von Elektronen gleichzeitig, also eine "Gesamt-heit" derselben vorhanden ist?

Experiment 2

Die Einschaltdauer der Elektronenquelle ist sehr lang. Die Intensitt der Elektronenquelle ist sehr gering. Weiters soll das Produkt aus der Versuchsdauer und der Intensitt der Elektronenquelle in

den beiden Experimenten denselben Wert besitzen.

189

8/8/2019 13_QUAN

5/17

Das Versuchsergebnis ist in Abb.03q wiedergegeben.

Abb.03q

Der Versuchsausgang ist mit dem des Experiments 1 identisch. Die sich daraus ergebendeSchlufolgerung lautet:

Welleneigenschaften hngen nicht mit einer Vielzahl von Elektronen zusammen, sondern sinddem einzelnen Elektron zuzuschreiben.

Frage: Wie kann man einem Teilchen, einem Elektron, Welleneigenschaften, d.h. ein ber denRaum verschmiertes Phnomen zuordnen?

Experiment 3

Eine kurze Einschaltdauer der Elektronenquelle. Eine geringe Intensitt der Elektronenquelle. Das Produkt aus der Einschaltdauer und der Intensitt der Elektronenquelle ist wesentlich

kleiner als jenes im Falle der Experimente 1 und 2.

Abb.04q zeigt das Versuchsergebnis.

Abb.04q

190

8/8/2019 13_QUAN

6/17

Quantenmechanik

Das aus Abb.04q zu erkennende Versuchsergebnis lt auf eine statistische Verteilungschlieen, deren Verlauf ber x eine hnlichkeit mit den vorangegangenen Beugungsbil-dern erkennen lt.

Der Wellencharakter tritt nur bei einer groen Anzahl von registrierten Elektronen deutlich

erkennbar in Erscheinung.

Um dieses Versuchsergebnis einwandfrei deuten zu knnen, mu das Produkt aus der Intensi-tt der Elektronenquelle und der Einschaltdauer noch weiter herabgesetzt werden.

Experimente 4, 5 bis n

Eine noch krzere Einschaltdauer der Elektronenquelle. Eine noch geringere Intensitt der Elektronenquelle. Das Produkt aus der Einschaltdauer und der Intensitt der Elektronenquelle wurde gegen-

ber dem Experiment 3 weiter verringert.

Typische Ergebnisse des Versuchsausganges sind aus den drei Teilbildern der Abb.05q zuersehen.

Abb.05q

Die bisher erhaltenen Verteilungsbilder lsen sich in Einzelereignisse auf, die ihrerseits kei-nen Rckschlu auf ein Beugungsphnomen ermglichen.

Das Auftreffen eines Elektrons in einem bestimmten Detektorbereich xm ist ein zuflligesEreignis. Es werden ganz offensichtlich nur "ganze" Elektronen detektiert - also Teilchen.

Bei den nun folgenden Experimenten (s.a. Abb.06q) werden noch die Parameter Spaltbreite,Position der Elektronenquelle und die kinetische Energie der Elektronen verndert. Die dem

Experiment A entsprechenden Versuchsbedingungen sind mit jenen der Experimente 1 und 2identisch. Im Falle des Experiments B wurde bei gleichbleibender Einschaltdauer und Inten-

191

8/8/2019 13_QUAN

7/17

sitt der Elektronenquelle die Breite ddes Spaltes vergrssert. Wie aus der Skizze zum Expe-riment C zu ersehen ist, wurde die Position der Elektronenquelle gegenber dem ExperimentA nach unten versetzt. Die Einschaltdauer und die Intensitt der Elektronenquelle und auchdie Spaltbreite stimmen mit dem Experiment A berein. Das Experiment D unterscheidetsich schlielich von den vorangegangenen durch die Wahl einer anderen Potentialdifferenz

zwischen der Elektronenquelle und der Lochanode. Die im Experiment D verwendete Be-schleunigungsspannung U ist grer als die in den bisher behandelten Experimenten. Dieanderen Einflugren entsprechen wieder dem Experiment A.

13.3. Diskussion der Versuchsergebnisse

Abb.06q

a) Die Vergrerung der Spaltbreite gibt Anla zu der von der Beugung am Spalt her zu er-wartenden Abnahme der Breite des Beugungsprofils.

b) Ein Vergleich von A mit C lehrt, da der Ort der Quelle erwartungsgem zu einer Ver-schiebung des Profils fhrt, jedoch keine deutlich erkennbare nderung der Kurvenformzur Folge hat.

c) Die Erhhung der Beschleunigungsspannung bewirkt eine Zunahme der kinetischen Ener-gie und des Impulses. Damit nimmt die Materiewellenlnge ab. Das Beugungsbild D spie-

gelt im Vergleich zu den vorangegangenen Beugungsbildern die Verhltnisse bei derBeugung mit einer kurzwelligeren Strahlung wider (vgl. auch B und D mit A und C).

192

8/8/2019 13_QUAN

8/17

8/8/2019 13_QUAN

9/17

13.5. Quantenmechanische Zustandsbeschreibung

Die quantenmechanische Zustandsbeschreibung erfolgt durch eine komplexe Wellenfunktion(

rr,t). Die Wahrscheinlichkeit dP dafr, das Mikroobjekt (z.B ein Elektron) zur Zeit t im

Volumen dVam Ort

r

r zu finden, errechnet sich unter Verwendung der konjugiert komplexenFunktion *( rr,t) zu

( ) ( ), * ,dP r t r t dV = r r

Gl.01q

Whrend in der klassischen Physik einem Mikroobjekt, ein eindeutig zu definierender Ortzugewiesen wird, lehrt das Ergebnis der vorangegangenen Versuche, da fr die Auffindungeines Mikroobjektes in einem bestimmten Volumen nur eine in Verbindung mit einer Wahr-scheinlichkeitswelle zu beschreibende Aufenthaltswahrscheinlichkeit angegeben werdenkann. Der Determinismus der klassischen Physik wird durch diese vergleichsweise wesent-lich abstraktere Zustandsbeschreibung zugunsten von Wahrscheinlichkeitsaussagen abgelst,die erst fr eine groe Anzahl von Beobachtungen "Bestimmtheit" erlangen. Aus Abb.07qist der Unterschied zwischen der klassischen und der quantenmechanischen Beschreibung vonBahn und Ort zu ersehen.

Abb.07q

13.6. SCHRDINGER-GleichungDie SCHRDINGER-Gleichung ermglicht es, die Wahrscheinlichkeitswelle fr gezielteAufgabenstellungen zu finden. Im vorliegenden Skriptum wird als Beispiel das Auftreten dis-kreter Energiezustnde im atomaren Bereich gezeigt. Zur Vereinfachung wird hier anstelleder komplexen Darstellung nur der Realteil bercksichtigt, eine eindimensionale Ausbreitunginx-Richtung angenommen und letztlich die Zeitabhngigkeit eliminiert.

( ), cosx

x t A t c

=

Gl.02q

Zu einem beliebigen Zeitpunkt tbetrgt die zweite Ableitung von nachx

194

8/8/2019 13_QUAN

10/17

Quantenmechanik

d

dx c

2

2

2

2

= Gl.03q

Der Quotient 2/c2 kann durch 42/2 ersetzt werden. Verwendet man nunmehr den Zusam-menhang zwischen dem Teilchenbild (Impulsp des Mikroobjekts) und dem Wellenbild (Wel-

lenlnge der Materiewelle), wie er durch die Beziehung=

h

pGl.04q

formuliert wird, so errechnet sich der obige Quotient zu

2

2

2 2

2

4

c

p

h= , Gl.05q

wobei im weiteren h/2durch ( sprich: h quer ) ersetzt wird. Die kinetische Energie desTeilchens mv

h2 /2 erhlt unter Verwendung des Impulsesp die Form

m

pEkin

=2

2

Gl.06q

undp2 in Gl.05q lt sich damit durch 2mEkin beschreiben. Schlielich ist noch der Energie-erhaltungssatz in der Form

E E E ges kin pot = + Gl.07qin die Herleitung einzubeziehen, wodurch sichp2 auch durch 2m(Eges-Epot) ausdrcken lt.

Wird nun dieser Ausdruck fr p2 in Gl.05q und weiter fr 2/c2 in die Gl.03q eingesetzt, soerhlt man nach Umformung die SCHRDINGER-Gleichung.

2 2

2

( )( ) ( )

2pot ges

d x E x E

m dx

+ =

hx Gl.08q

Zur Erinnerung:In der Herleitung der SCHRDINGER-Gleichung wurden1. der Energieerhaltungssatz,2. die bekannten Beziehungen fr die kinetische Energie und den Impuls,3. die in der speziellen Relativittstheorie entwickelte Gleichung fr die Materiewellenlnge4. die Gleichung einer Welle, sowie zur Vereinfachung5. anstelle einer komplexen Wellenfunktion nur deren Realteil verwendet,6. die Ausbreitung der Wahrscheinlichkeitswelle auf eine Dimension eingeschrnkt und7. die Zeitabhngigkeit unbercksichtigt gelassen.

Gl.08q beschreibt die zeitunabhngige SCHRDINGER-Gleichung.

Ein Elektron mge sich in einem Raum befinden, wobei die Bewegung des Elektrons auf dielineare Dimension 0 xa eingeschrnkt ist. Die Begrenzung in dieser Richtung wird durcheine unendlich hohe Potentialwand hergestellt; damit reicht die Gesamtenergie des Elektronsmit Sicherheit nicht aus diesen "Potentialkasten" zu verlassen. Im Inneren des Kastens sei diepotentielle Energie gleich null.

Abb.08q zeigt diese Modellvorstellung, wobei drei Bereiche unterschieden werden:RB1 -

8/8/2019 13_QUAN

11/17

2 2

2

( )( ) 0

2 gesd x

E xm dx

+ =

hGl.09q

Abb.08q

Ein Vergleich der Differentialgleichung fr die gedmpfte freie Schwingung mit derSCHRDINGER-Gleichung

2

2

2 2

2

( ) ( )( ) 0

( ) ( )0 (

2 ges

d x t dx t m k D x t

dt dt

d x d xE x

m dx dx

+ + =

+ + h

) 0=Gl.10q

ergibt die Mglichkeit, die Lsung in Analogie zur Differentialgleichung fr die freieSchwingung mit k=0, das ist die ungedmpfte Schwingung, anzuschreiben, wenn die Grenm, k,D,x und tsinngem durch 2h /2m, 0,Eges, undx ersetzt werden.

2

2. .( ) sin ges

m E x A x =

h Gl.11q

Die Wellenfunktion (x) gestattet es, die Wahrscheinlichkeit des Aufenthaltes des Elektronsinnerhalb von RB2 zu beschreiben. Die Welle (x,t) breitet sich, z.B. von der Mitte begin-nend aus, wird an der Berandung reflektiert, luft zur entgegengesetzten Berandung und wirddort wieder reflektiert.

Es bildet sich eine stehende Welle aus.

Bei der berlagerung von Wellen war die berlagerung gegenlufiger Wellen behandelt wor-den, wobei die Flle der Reflexion am festen und am losen Ende unterschieden wurden.Eserscheint naheliegend, fr die Reflexion an der Berandung des Potentialtopfes eine Reflexionam festen Ende anzunehmen. Es mu also (0)=(a)=0 gelten.Die Sinusfunktion verschwin-det fr Argumente nmit n=1,2,3,..., also die Menge der natrlichen Zahlen.

Die Bedingung (0) = (a) = 0 definiert die Aufgabenstellung an den Rndern des zu behan-delnden Raumbereiches RB2. Aus diesem Grunde wird die Bedingung als Randbedingungbezeichnet. Damit das Argument die Werte nanzunehmen vermag, mu die Bedingung

196

8/8/2019 13_QUAN

12/17

Quantenmechanik

a

nEm ges =2

2

hGl.12q

erfllt sein. Dies ist, da m und h konstant sind, nur fr diskrete Werte der GesamtenergieEges,n verwirklichbar. Es sind dies die Eigenwerte der Differentialgleichung Gl.09q.

2

222,

2 amnE nges

= h Gl.13q

Das in Gl.13q vorgestellte Ergebnis besagt, da in einem abgeschlossenen Raumbereich ( 0 xa ) nur bestimmte Energiewerte mglich sind.

Das Produkt der Wellenfunktion mit der konjugiert komplexen Funktion ist, wie bereitsgezeigt, gleich der Wahrscheinlichkeitsdichte fr den Aufenthalt des betrachteten Mikroob-

jektes. Es ist das auch das Quadrat des Betrages der Wellenfunktion. Fr das hier behandelteBeispiel lautet die Gleichung fr die Wahrscheinlichkeitsdichte n

2, wenn Gl.12q in die

Gl.11q eingesetzt wird. Die Gleichung fr die Wahrscheinlichkeitsdichte n2 des Aufent-

halts eines Elektrons in einem Potentialtopf ist2 2 2( ) sinn

n xx A

a

=

. Gl.14q

Da Gl.14q die Wahrscheinlichkeitsdichte beschreibt, mu das Integral derselben ber denBereich 0 xa den Wert 1 ergeben, da sich das Elektron an irgendeiner Stelle des Raumbe-reiches RB2 befinden mu.

12

2= Aa

Gl.15q

Gl.15q gestattet es somit, den ScheitelwertA der Wellenfunktion anzugeben.

Man bezeichnet die Bestimmung vonA als die Normierung der Wellenfunktion.

Nachdem nun auch die Normierung bercksichtigt wurde, lautet die endgltige Lsung frdie Wellenfunktion eines in einem Potentialtopf eingeschlossenen Elektrons

n xa

n x

a( ) sin=

2Gl.16q

197

8/8/2019 13_QUAN

13/17

Abb.09q

Abb.09q zeigt den Verlauf der Wahrscheinlichkeitsdichte berx fr n=1, 2 und 3. Daraus istzu ersehen, da, abhngig von dem jeweiligen Wert der Energie Eges,n, die Aufenthaltswahr-

scheinlichkeit des Elektrons auf bestimmte Teilgebiete von RB2 eingeschrnkt ist.

Die hier vorgestellten Betrachtungen zur Quantenmechanik sollen dazu beitragen, die bei derBehandlung des Mikrokosmos mit den Methoden der klassischen Physik zu erwartenden Pro-bleme besser zu verstehen. Sie gestatten1. eine Erklrung des Versuchsausganges der Beugung sowohl fr das Wellen- als auch fr

das Teilchenbild,2. ein Verstndnis fr das Auftreten diskreter Energiewerte in der Kombination Mikroobjekt-Mikrokosmos und

3. eine Vorstellung bezglich der von der klassischen Physik her unbeantwortbaren Fragebetreffend den Dualismus von Materie (Elektronen) durch die Verknpfung der beidenBegriffe "Mikroobjekt" und "Wellenfunktion".

4. Da sich die Energie eines Mikroobjektes nur in definierten Schritten ndern kann, vermagauch ein, an ein Atom gebundenes Elektron seine Energie nicht in kontinuierlicher Formabzugeben, wie dies bei einer klassischen Behandlung des Problems zu erwarten wre. DieLinienspektren von Atomen rhren von Elektronenbergngen in der Atomhlle her (IR,sichtbares Licht, UV und Rntgenstrahlung ). hnlich sind kurzwellige Linienspektren

(Rntgen- und Gammastrahlung) auf bergnge von einem Energiezustand des Atomkernsin einen anderen erklrbar.5. Der Ort eines Elektrons ist nicht lokalisierbar, da es sich als eine um den Atomkern ver-

schmierte elektrische Ladung darstellt. Die Wahrscheinlichkeit dafr, das Elektron an einerbestimmten Stelle des Atoms zu finden ist null. Einzig in schalenfrmigen Gebieten umden Atomkern nimmt die Wahrscheinlichkeitsdichte hnlich Abb.09q endliche Werte an.

Die beiden zuletzt behandelten berlegungen erklren die Stabilitt des Systems Atomkern- Hllelektronen.

198

8/8/2019 13_QUAN

14/17

Quantenmechanik

Beispiele

q01War im Experiment 3 das Beugungsphnomen noch erkennbar, so ist es in den Experimenten

4 bis n verschwunden. Ist es das tatschlich? Was mte bei den Experimenten 4 bis n ge-macht werden, um einen zu den Experimenten 1 und 2 vergleichbaren Versuchsausgang zuerhalten?

q02Zur Veranschaulichung der Ausfhrungen zu den Experimenten 1 bis n und A bis D mgeeine Computersimulation mit Hilfe eines Zufallszahlengenerators vorgenommen werden.

q03Welche Dimension haben die in den Abbn.02q bis 06q dargestellten Verteilungsfunktionen,wenn die Intensitt der Elektronenquelle in mA, die Einschaltdauer in s, die Breite der Detek-

torfelder xm in mm und das in den einzelnen Detektorfeldern gemessene Ergebnis in "An-zahl von Elektronen" ausgedrckt wird?

q04Um zu einem besseren Verstndnis fr die gemessenen Verteilungsbilder zu gelangen, mgefr angenommene Zahlenwerte von U(zB. 1V, 10V, 100V) die Spaltbreite dberechnet wer-den, damit die Verteilungsfunktion auf einem Schirm im Abstand s=10cm vom Spalt eineBreite von 0.1mm aufweist. Als Breite der Verteilungsfunktion sei dabei die aus der Beugungam Spalt errechenbare Distanz zwischen den ersten Nullstellen, die symmetrisch zum Kur-venmaximum liegen, verwendet.

q05Wie kann die Wahrscheinlichkeitswelle mathematisch formuliert werden? Es mgen dazu dievon der Entwicklung des Ausdruckes fr eine Welle verwendeten berlegungen herangezo-gen werden. Bei der Welle war die Intensitt direkt proportional zum Quadrat der Amplitude.Welche Bedeutung hat das Quadrat der Amplitude im Zusammenhang mit der Wahrschein-lichkeitswelle?

q06Schwingungen und Wellen werden in einer Zeigerdarstellung in der komplexen Zahlenebenebeschrieben. Wie lautet dann die Gleichung einer Schwingung bzw. einer Welle? Welche

Gre erhlt man, wenn eine komplexe Zahl mit ihrer konjugiert komplexen Zahl multipli-ziert wird? Welche Bedeutung hat das Produkt der Wahrscheinlichkeitswelle in der Darstel-lung in der komplexen Zahlenebene mit der konjugiert komplexen Funktion?

q07Der Durchmesser eines Atoms kann mit etwa 0.35nm angenommen werden. Ein Elektron, dasan ein Atom gebunden ist, mge aus dieser Sicht als, in einem Raumbereich der linearen Di-mension a=0,35nm befindlich, behandelt werden. Whlt man nunmehr k=1 aus, so lt sichaus Gl.13q eine EnergieEges,1 errechnen. Wie gro ist diese Energie? Wie gro istE1 im Falle

des Wasserstoffatoms? Welche Bedeutung hatEges,1 bezogen aufEkin undEpotdes Elektrons?

199

8/8/2019 13_QUAN

15/17

Lsungen zu den Beispielen

q01Es mte entweder die Versuchsdauer oder die Intensitt der Elektronenquelle ganz wesent-lich erhht werden.

q02Das folgende Bild zeigt die Zunahme der Signifikanz eines Versuchsergebnisses durch einesystematische Erhhung der Anzahl der gemessenen Ereignisse. Im Bereiche von 1 bis 64 istdie Verteilung noch nicht zu erkennen, um mit zunehmender Anzahl immer genauer be-schreibbar zu werden.

Abb.B_01q

q03Anzahl von Elektronen je mm.

q04

UUem

h

p

h 11022,1

2

9 =

==

U = 1V = 1,22 nm10V 0,385 nm100 V 0,122 nm

Beugung am Spalt:

= =dd

.sin sin

0005,01,021012

tan 4 === s

b

fr kleine Winkel ist tan sin

d= =

sin tan ,0 0005

Daraus errechnen sich die jeweils erforderlichen Spaltbreiten dU = 1V d= 2,44 m

10V 0,77 m100 V 0,244 m

200

8/8/2019 13_QUAN

16/17

Quantenmechanik

Abb.B_02q

q05Welle: periodisch in Ort (

rr,x) und Zeit (t)

TBeispiel: ebene Welle inx-Richtung:

=

===

=

x

T

t

Atx

c

T

c

xtAtx

2cos),(

/22

cos),(

A2 ist proportional zur Energiedichte der Welle im Falle einer elektromagnetischen oder einer

Schallwelle.Bei der Wahrscheinlichkeitswelle wird postuliert, da A2 hier proportional zur Wahrschein-lichkeitsdichte ist. Multipliziert man A2 mit dem Volumen dV, fr welches die Betrachtungangestellt wird, so erhlt man damit die Wahrscheinlichkeit dp dafr, ein Mikroobjekt, alsobeispielsweise ein Elektron, in diesem Volumen zu finden.

q06Komplexe Darstellung von Schwingung und Welle

=

cxtAtxtt cos=),(cos)(

komplexe Zahl 1 =+= jbjaz

EULERsche Gleichung (Beweis durch TAYLOR-

Reihenentwicklung)

( ) .sincos jeAjAz =+=

lZeitteiOrtsteil

),( tjcx

jc

xtj

eeAeAtx

==

konjugiert komplexe Zahl

201

8/8/2019 13_QUAN

17/17

2

*

*( , )

*

j

xj t

c

z A e

x t A e

A

=

=

=

(x,t) ... Wahrscheinlichkeitswelle ... Wahrscheinlichkeitsdichte

Abb.B_03q

q07Durchmesser eines Atoms a=0.35 nm

einfaches Atommodell(eindimensional; einfache Potentialform)

"Grundzustand": n=1Eges,1 = 4,91

.10-19 J = 3,1 eV

Eges,2 = 12,4 eV

H-Atom: Bindungsenergie des Grundzustandes ist 13,6 eV

Im Mikrokosmos erfolgt keine Unterscheidung (Aufteilung) inEkin undEpot daherEges

202