Upload
dirkkic
View
12
Download
3
Embed Size (px)
Citation preview
Ìèíèñòåðñòâî îáðàçîâàíèÿ è íàóêè Ðîññèéñêîé Ôåäåðàöèè
Ñàðàòîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò èì. Í.Ã.×åðíûøåâñêîãî
À.Â. Åðøîâ
ÊÀÒÅÃÎÐÈÈ È ÔÓÍÊÒÎÐÛ
Ó÷åáíîå ïîñîáèå
äëÿ ñòóäåíòîâ ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà
Ñàðàòîâ
ÎÎÎ Èçäàòåëüñêèé Öåíòð Íàóêà
2012
ÓÄÊ [512.581/.582+515.142](075.8)
ÁÁÊ 22.144ÿ73+22.152ÿ73
Å 80
Åðøîâ À.Â.
E 80 Êàòåãîðèè è ôóíêòîðû: Ó÷åáíîå ïîñîáèå. Ñàðàòîâ: ÎÎÎ Èçäà-
òåëüñêèé öåíòð Íàóêà, 2012. 88 ñ.
ISBN 978-5-9999-1223-7
Äàííîå èçäàíèå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ó÷åáíîå ïîñîáèå ïî òåîðèè êàòå-ãîðèé äëÿ ñòóäåíòîâ ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà. Îíî îõâà-òûâàåò òåìû: îïðåäåëåíèå è ïðèìåðû êàòåãîðèé, ñóììà è ïðîèçâåäåíèåâ êàòåãîðèè, óíèâåðñàëüíûå îáúåêòû, äóàëüíàÿ êàòåãîðèÿ, îïðåäåëåíèåè ïðèìåðû ôóíêòîðîâ. Êàæäîå ââîäèìîå ïîíÿòèå èëëþñòðèðóåòñÿ ìíî-ãî÷èñëåííûìè ïðèìåðàìè èç ðàçëè÷íûõ îáëàñòåé ìàòåìàòèêè.  òåêñòåñîäåðæèòñÿ áîëüøîå êîëè÷åñòâî çàäà÷, ðåøåíèå êîòîðûõ ñïîñîáñòâóåòàêòèâíîìó óñâîåíèþ ìàòåðèàëà. Ñðåäè ðàññìàòðèâàåìûõ ïðèìåðîâ ñó-ùåñòâåííîå ìåñòî îòâîäèòñÿ ïðèìåðàì èç òîïîëîãèè, ÷òî ïîçâîëÿåò ðå-êîìåíäîâàòü äàííîå ïîñîáèå äëÿ èñïîëüçîâàíèÿ â ó÷åáíîì ïðîöåññå ïðèïîäãîòîâêå ìàãèñòðîâ ïî ïðîôèëþ Ãåîìåòðèÿ è òîïîëîãèÿ.
Ðåêîìåíäóþò ê ïå÷àòè:
Äîêòîð ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê, ïðîôåññîð Ì.Â. Ëîñèê
Êàôåäðà ãåîìåòðèè Ñàðàòîâñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà èì.
Í.Ã. ×åðíûøåâñêîãî
Ðàáîòà èçäàíà â àâòîðñêîé ðåäàêöèè
ÓÄÊ [512.581/.582+515.142](075.8)
ÁÁÊ 22.144ÿ73+22.152ÿ73
ISBN 978-5-9999-1223-7 c⃝À.Â. Åðøîâ, 2012
Îãëàâëåíèå
1 Íà÷àëà òåîðèè êàòåãîðèé 9
1.1 Îïðåäåëåíèå êàòåãîðèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Ïåðâûå ïðèìåðû êàòåãîðèé . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Ñóììà è ïðîèçâåäåíèå â êàòåãîðèè . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4 Óíèâåðñàëüíûå îáúåêòû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.5 Äóàëüíàÿ êàòåãîðèÿ è ïðîèçâåäåíèå êàòåãîðèé . . . . . . . 54
2 Ôóíêòîðû 57
2.1 Îïðåäåëåíèå è ïåðâûå ïðèìåðû ôóíêòîðîâ . . . . . . . . . 57
2.2 Ïðèìåðû ôóíêòîðîâ èç òîïîëîãèè . . . . . . . . . . . . . . 67
2.3 Êîíòðàâàðèàíòíûå ôóíêòîðû . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3 Äîáàâëåíèÿ 79
3.1 Äîáàâëåíèå 1. Ñâîéñòâà êîìïàêòíî-îòêðûòîé òîïîëîãèè . 79
3.2 Äîáàâëåíèå 2. Ôóíäàìåíòàëüíàÿ ãðóïïà . . . . . . . . . . . 80
3
Ìàòåìàòèêà ýòî èñêóññòâî
íàçûâàòü ðàçíûå âåùè
îäíèì è òåì æå èìåíåì.
À. Ïóàíêàðå
Ââåäåíèå. Çà÷åì íóæíà òåîðèÿ êàòåãîðèé
Òåîðèÿ êàòåãîðèé (ñíà÷àëà êàê ÿçûê ôóíêòîðîâ è åñòåñòâåííûõ ïðåîá-
ðàçîâàíèé) âîçíèêëà â ñåðåäèíå ïðîøëîãî âåêà â ðàáîòàõ Ñ. Ýéëåíáåðãà
è Ñ. Ìàêëåéíà ïî àëãåáðàè÷åñêîé òîïîëîãèè. Ïîñòåïåííî èç àëãåáðàè÷å-
ñêîé òîïîëîãèè (âìåñòå ñ ìåòîäàìè ãîìîëîãè÷åñêîé àëãåáðû, ñ êîòîðîé
îíà èñòîðè÷åñêè òåñíî ñâÿçàíà) îíà ñòàëà ïðîíèêàòü â äðóãèå îáëàñòè
ìàòåìàòèêè (â ïåðâóþ î÷åðåäü â àëãåáðàè÷åñêóþ ãåîìåòðèþ (ãäå å¼ ïî-
òåíöèàë îñîáåííî ÿðêî áûë ïðîäåìîíñòðèðîâàí â ðàáîòàõ À. Ãðîòåí-
äèêà), â àëãåáðó, â ôóíêöèîíàëüíûé àíàëèç, à â ïîñëåäíåå âðåìÿ è â
Computer Science, ëîãèêó è äàæå â ôèçèêó (ñì. [1])).
Ïîëüçîâàòåëüñêàÿ òî÷êà çðåíèÿ íà òåîðèþ êàòåãîðèé ñîñòîèò â òîì,
÷òî îíà ÿâëÿåòñÿ ÿçûêîì ñîâðåìåííîé ìàòåìàòèêè, â ðÿäå îáëàñòåé îêà-
çàâøèìñÿ àäåêâàòíîé çàìåíîé ÿçûêó òåîðèè ìíîæåñòâ. Åãî ñïåöèôèêó
âûðàæàåò ñëåäóþùàÿ ôðàçà, âçÿòàÿ èç Äîáàâëåíèÿ ßçûê êàòåãîðèé
ê çàïèñêàì ëåêöèé Þ.È. Ìàíèíà [11]: ßçûê êàòåãîðèé âîïëîùàåò ñî-
öèîëîãè÷åñêèé ïîäõîä ê ìàòåìàòè÷åñêîìó îáúåêòó: ãðóïïà èëè ïðî-
ñòðàíñòâî ðàññìàòðèâàåòñÿ íå êàê ìíîæåñòâî ñ âíóòðåííå ïðèñóùåé åìó
ñòðóêòóðîé, íî êàê ÷ëåí ñîîáùåñòâà ñåáå ïîäîáíûõ.1
ßçûê êàòåãîðèé èãðàåò óíèôèöèðóþùóþ ðîëü â ñîâðåìåííîé ìàòå-
ìàòèêå, óñòàíàâëèâàÿ ãëóáîêèå è íåòðèâèàëüíûå ñâÿçè ìåæäó ðàçëè÷íû-
ìè å¼ îáëàñòÿìè. Áóäó÷è î÷åíü óäà÷íûì ÿçûêîì, òåîðèÿ êàòåãîðèé ïîç-
âîëÿåò ýêîíîìèòü ìûøëåíèå, ïîñêîëüêó óæå â ñàìîé åãî ãðàììàòèêå
çàêëþ÷åíû îáùåìàòåìàòè÷åñêèå ïàòòåðíû.2  êà÷åñòâå ïðèìåðà ìîæíî
1Çàìåòèì, ÷òî êàòåãîðíûå ñâîéñòâà îäíîãî è òîãî æå îáúåêòà çàâèñÿò îò òîãî, â êà÷åñòâå
ýëåìåíòà êàêîé ñîâîêóïíîñòè ìû åãî ðàññìàòðèâàåì. Íàïðèìåð, êàòåãîðíûå ñóììû äâóõ àáåëåâûõ
ãðóïï, ðàññìàòðèâàåìûõ êàê îáúåêòû êàòåãîðèè ãðóïï è êàê îáúåêòû å¼ ïîäêàòåãîðèè, ñîñòîÿùåé
èç àáåëåâûõ ãðóïï, íå èçîìîðôíû, ñì. §1.3.2pattern (àíãë.) ìîäåëü, øàáëîí, îáðàçåö.
4
ïðèâåñòè òîò ôàêò, ÷òî ìíîãèå âàæíûå ìàòåìàòè÷åñêèå êîíñòðóêöèè ÿâ-
ëÿþòñÿ ôóíêòîðàìè, è ïîýòîìó íå íóæíî êàæäûé ðàç îòäåëüíî çàïîìè-
íàòü òå èõ ñâîéñòâà, êîòîðûå âûðàæàþò ôóíêòîðèàëüíîñòü. Êðîìå òîãî,
îíà ïîçâîëÿåò äàòü îáùèå äîêàçàòåëüñòâà ñòàíäàðòíûì ôàêòàì (òàêèì
êàê ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü óíèâåðñàëüíîãî îáúåêòà), ïîìîãàåò
ðàçäåëÿòü îáùèå è ñïåöèôè÷åñêèå ÷åðòû ñîâîêóïíîñòåé ìàòåìàòè÷åñêèõ
îáúåêòîâ. Áîëåå òîãî, çà÷àñòóþ òåîðèÿ êàòåãîðèé ïîäñêàçûâàåò ïðàâèëü-
íóþ ïîñòàíîâêó çàäà÷, à òàêæå èäåþ èõ ðåøåíèÿ. Ïðîèëëþñòðèðóåì ýòî
íà ïðèìåðàõ.3
Ïðèìåð 1. Â ãåîìåòðèè è òîïîëîãèè âàæíóþ ðîëü èãðàþò ãðóïïû LG(ñâîáîäíûõ) ïåòåëü ãðóïï Ëè G, ñîñòîÿùèå èç ãëàäêèõ îòîáðàæåíèé
îêðóæíîñòè S1 â ãðóïïó Ëè G. ×òî ïðàâèëüíî ðàññìàòðèâàòü â êà÷å-
ñòâå àíàëîãà LG â ñëó÷àå êîíå÷íîé ãðóïïû G?
Êàòåãîðíûì àíàëîãîì îêðóæíîñòè ÿâëÿåòñÿ êàòåãîðèÿ Σ(Z), ñîñòî-ÿùàÿ èç åäèíñòâåííîãî îáúåêòà ∗ è ñ ìîðôèçìàìè ∗ → ∗, ïî îäíîìó äëÿêàæäîãî öåëîãî ÷èñëà, ïðè÷¼ì êîìïîçèöèÿ ìîðôèçìîâ îòâå÷àåò ñëîæå-
íèþ öåëûõ ÷èñåë.4 Àíàëîãè÷íî, çàìåíèì ãðóïïó G êàòåãîðèåé Σ(G),
ñîñòîÿùåé èç îäíîãî îáúåêòà ⋆ è ñ ìîðôèçìàìè ⋆ → ⋆, ïî îäíîìó äëÿ
êàæäîãî ýëåìåíòà g ∈ G, ïðè÷åì êîìïîçèöèÿ ìîðôèçìîâ îòâå÷àåò óìíî-
æåíèþ â ãðóïïå.
Ïóñòü ΛG := Hom(Σ(Z), Σ(G)) êàòåãîðèÿ ôóíêòîðîâ èç Σ(Z) âΣ(G) ñ åñòåñòâåííûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè â êà÷åñòâå ìîðôèçìîâ. Îêà-
çûâàåòñÿ, ÷òî êàòåãîðèÿ ΛG ÿâëÿåòñÿ ïðàâèëüíûì àíàëîãîì LG äëÿ
êîíå÷íîé ãðóïïû G, î ÷¼ì ãîâîðèò òîò ôàêò, ÷òî äëÿ öåëîãî ðÿäà êîí-
ñòðóêöèé è ðåçóëüòàòîâ î LG ìîæíî óêàçàòü ñîîòâåòñòâóþùèå àíàëîãè
äëÿ ΛG [14].
Êðîìå òîãî, ΛG ÿâëÿåòñÿ íà ñàìîì äåëå ãðóïïîèäîì. Òàê êàê êàæäûé
ôóíêòîð èç Σ(Z) â Σ(G) ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ ñâîèì çíà÷åíèåì íà
ìîðôèçìå 1 ∈ Z, êîòîðîå ìîæåò áûòü ïðîèçâîëüíûì ýëåìåíòîì ãðóïïû
G, îáúåêòû ΛG ìîæíî îòîæäåñòâèòü ñ ýëåìåíòàìè G. Òî÷íåå, ïóñòü
F1, F2 ∈ Hom(Σ(Z), Σ(G)) äâà ôóíêòîðà, F1(1) = g1, F2(1) = g2 ∈ G.3Ñëåäóþùèå 3 ïðèìåðà îðèåíòèðîâàíû íà äîñòàòî÷íî èñêóø¼ííîãî ÷èòàòåëÿ; ñòóäåíòó, êîòîðûé
âïåðâûå çíàêîìèòñÿ ñ òåîðèåé êàòåãîðèé, ìû ñîâåòóåì âîçâðàùàòüñÿ ê íèì ïî ìåðå ÷òåíèÿ äàííîãî
ïîñîáèÿ.4äåëî â òîì, ÷òî êëàññèôèöèðóþùåå ïðîñòðàíñòâî ýòîé êàòåãîðèè êàê ðàç åñòü îêðóæíîñòü.
5
Òîãäà ýëåìåíò h ∈ G òàêîé, ÷òî
⋆g1
//
h
⋆
h
⋆ g2// ⋆,
òî åñòü g2 = hg1h−1, îïðåäåëÿåò åñòåñòâåííîå ïðåîáðàçîâàíèå F1 ⇒ F2,
òî åñòü ìîðôèçì â ΛG. Äðóãèìè ñëîâàìè, ΛG åñòü ãðóïïîèä äåéñòâèÿ,
àññîöèèðîâàííûé ñ ïðèñîåäèíåííûì äåéñòâèåì ãðóïïû G íà ñåáå. Ýòîò
ôàêò èãðàåò âàæíóþ ðîëü â óêàçàííîé àíàëîãèè. Äàëüíåéøèå äåòàëè è
ññûëêó íà îðèãèíàëüíóþ ñòàòüþ, ãäå ðàññìîòðåí ýòîò ïðèìåð ñì. â [14].
Ïðèìåð 2. Ïî÷åìó ôóíäàìåíòàëüíàÿ ãðóïïà òîïîëîãè÷åñêîé ãðóïïû
êîììóòàòèâíà? Ó ýòîãî ôàêòà åñòü îáùåå è ïðè ýòîì ñîâåðøåííî ïðî-
çðà÷íîå êàòåãîðíîå äîêàçàòåëüñòâî. Äåëî â òîì, ÷òî ôóíêòîð, ñîõðàíÿþ-
ùèé êîíå÷íûå êàòåãîðíûå ïðîèçâåäåíèÿ (âêëþ÷àÿ ôèíàëüíûé îáúåêò)
ñîõðàíÿåò è ãðóïïîâûå îáúåêòû. Èçîìîðôèçì π1(X×Y ) ∼= π1(X)×π1(Y )
ëåãêî ïðîâåðÿåòñÿ. Òåïåðü òðåáóåìîå âûòåêàåò èç ëåãêî ïðîâåðÿåìîãî
(ñ ïîìîùüþ àðãóìåíòà Ýêìàíà-Õèëòîíà) ôàêòà, ÷òî ãðóïïîâûå îáúåê-
òû â êàòåãîðèè ãðóïï àáåëåâû ãðóïïû. Òàê êàê åñòåñòâåííàÿ îá-
ëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêòîðà ôóíäàìåíòàëüíîé ãðóïïû ãîìîòîïè÷å-
ñêàÿ êàòåãîðèÿ, òî óêàçàííûé ðåçóëüòàò òàêæå âåðåí äëÿ ãðóïïîâûõ
îáúåêòîâ â íåé, â ÷àñòíîñòè, äëÿ ïðîñòðàíñòâ ïåòåëü ΩX. Òàê êàê
π2(X) ∼= π1(ΩX), òî ìû ñðàçó ïîëó÷àåì êîììóòàòèâíîñòü ãîìîòîïè-
÷åñêèõ ãðóïï πq(X), q ≥ 2. Ïðèìåð 3. Îáùèé ìåòîä èññëåäîâàíèÿ îáúåêòîâ íåêîòîðîé ãåîìåò-
ðè÷åñêîé êàòåãîðèè (òîïîëîãè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâ è ò.ï.) ñîñòîèò â ïî-
ñòðîåíèè ôóíêòîðîâ â ïîäõîäÿùóþ àëãåáðàè÷åñêóþ êàòåãîðèþ (ãðóïï,
êîëåö è ò.ï.). Ïðèìåðû òàêèõ ôóíêòîðîâ ôóíäàìåíòàëüíàÿ ãðóïïà, ãî-
ìîëîãèè è êîãîìîëîãèè, K-òåîðèÿ è äðóãèå. Òàê êàê ôóíêòîð èçîìîðô-
íûå îáúåêòû ïåðåâîäèò â èçîìîðôíûå, òî, ñêàæåì, äëÿ äîêàçàòåëüñòâà
òîãî, ÷òî äâà òîïîëîãè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâà X è Y íå ãîìåîìîðôíû, äî-
ñòàòî÷íî ïðåäúÿâèòü òàêîé ôóíêòîð F , íàïðèìåð, â êàòåãîðèþ ãðóïï,
÷òî ãðóïïû F (X) è F (Y ) íå èçîìîðôíû. Ðàññìîòðèì ïðèìåð íåñêîëüêî
èíîãî ñîðòà êàòåãîðèþ ïëåòåíèé [6]. Ýòî ñòðîãàÿ òåíçîðíàÿ êàòå-
ãîðèÿ ñ åäèíè÷íûì îáúåêòîì ∅, ýíäîìîðôèçìàìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ
6
èçîòîïè÷åñêèå êëàññû îðèåíòèðîâàííûõ çàöåïëåíèé. Ñóùåñòâóåò ñèñòå-
ìàòè÷åñêèé ñïîñîá (îñíîâàííûé íà ïîíÿòèè îñíàù¼ííîé R-ìàòðèöû) íà-
õîæäåíèÿ ñòðîãèõ òåíçîðíûõ ôóíêòîðîâ èç êàòåãîðèè ïëåòåíèé â ñòðî-
ãóþ òåíçîðíóþ êàòåãîðèþ, ïîñòðîåííóþ èç òåíçîðíîé êàòåãîðèè êîíå÷-
íîìåðíûõ âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâ íàä ïîëåì k. Êàæäûé òàêîé ôóíêòîð
F äà¼ò èçîòîïè÷åñêèé èíâàðèàíò îðèåíòèðîâàííûõ çàöåïëåíèé ñî çíà-
÷åíèÿìè â ïîëå k. Äåéñòâèòåëüíî, âñÿêèé ñòðîãèé òåíçîðíûé ôóíêòîð
åäèíè÷íûé îáúåêò ïåðåâîäèò â åäèíè÷íûé îáúåêò (â íàøåì ñëó÷àå ∅ âïîëå k), à ýíäîìîðôèçìû åäèíè÷íîãî îáúåêòà (â íàøåì ñëó÷àå îðèåí-
òèðîâàííûå çàöåïëåíèÿ) â ýíäîìîðôèçìû åäèíè÷íîãî îáúåêòà (â íà-
øåì ñëó÷àå k-ëèíåéíûå ýíäîìîðôèçìû k, êîòîðûå ìîæíî îòîæäåñòâèòü
ñ ýëåìåíòàìè ïîëÿ k). Äàííàÿ ðàáîòà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïåðâóþ ÷àñòü ïîñîáèÿ íà÷àëüíîãî
óðîâíÿ ïî òåîðèè êàòåãîðèé äëÿ ñòóäåíòîâ ìàòåìàòè÷åñêèõ ñïåöèàëüíî-
ñòåé. Îíî ïðåñëåäóåò öåëü íà ïðèìåðàõ èç ðàçíûõ îáëàñòåé ìàòåìàòèêè
íàó÷èòü ÷èòàòåëÿ îñíîâàì ÿçûêà êàòåãîðèé è ôóíêòîðîâ (áåç åñòåñòâåí-
íûõ ïðåîáðàçîâàíèé, êîòîðûå áóäóò ðàññìîòðåíû âî âòîðîé ÷àñòè). Êàê
âñÿêèé ÿçûê, òåîðèþ êàòåãîðèé åñòåñòâåííî îñâàèâàòü íà ïðèìåðàõ, ïî-
ýòîìó îíè ñîñòàâëÿþò áîëüøóþ ÷àñòü òåêñòà. Íå îáÿçàòåëüíî ðàçáèðàòü
èõ âñå, íî íåêîòîðûé ìèíèìóì íåîáõîäèì äëÿ êàæäîãî ââîäèìîãî ïî-
íÿòèÿ. Ïðåäïîëàãàåòñÿ ÷òî ÷èòàòåëü ïðè çíàêîìñòâå ñ ïðèìåðàìè áó-
äåò îáðàùàòüñÿ ê ñïåöèàëüíîé ëèòåðàòóðå, òàê êàê â íåáîëüøîì ïîñî-
áèè íåâîçìîæíî çàìêíóòî èçëîæèòü âñþ ñîîòâåòñòâóþùóþ ìàòåìàòèêó.
Òàêæå âàæíàÿ ðîëü îòâîäèòñÿ ðåøåíèþ ïðèâåä¼ííûõ â òåêñòå çàäà÷.
Òåìàòèêà ïðèìåðîâ èìååò íåêîòîðûé óêëîí â òîïîëîãèþ, ïðè ýòîì
ìû ñòàðàåìñÿ îáúÿñíÿòü îñíîâíûå òîïîëîãè÷åñêèå ïîíÿòèÿ (òàêèå êàê
ôóíäàìåíòàëüíàÿ ãðóïïà), õîòÿ äëÿ áîëåå ãëóáîêîãî èõ ïîíèìàíèÿ ëó÷-
øå, êîíå÷íî, îáðàòèòüñÿ ê ñïåöèàëüíîé ëèòåðàòóðå.
Õî÷åòñÿ ïðåäóïðåäèòü, ÷òî àâòîðîì ñòàâèëàñü öåëü íà ïðèìåðàõ íà-
ó÷èòü ÷èòàòåëÿ ÿçûêó êàòåãîðèé, à íå ñîáñòâåííî òåîðèè êàòåãîðèé
êàê ðàçäåëó ìàòåìàòèêè ñî ñâîèìè ñîáñòâåííûìè ìåòîäàìè è ðåçóëüòà-
òàìè. Ïîýòîìó â äàííîì ïîñîáèè ïî÷òè íåò îáùèõ òåîðåòèêî-êàòåãîðíûõ
òåîðåì, çà êîòîðûìè ÷èòàòåëþ ñëåäóåò îáðàòèòüñÿ, íàïðèìåð, ê êíèãå
[10]. Ïî ìíåíèþ àâòîðà, ýòî äîëæåí áûòü óæå ñëåäóþùèé ýòàï èçó÷åíèÿ
7
òåîðèè êàòåãîðèé.
 ðÿäå êíèã ó÷åáíîãî õàðàêòåðà åñòü ââîäíûé ìàòåðèàë ïî òåîðèè
êàòåãîðèé, ñ êîòîðûì ïîëåçíî îçíàêîìèòüñÿ ïàðàëëåëüíî ñ èçó÷åíèåì
äàííîãî ïîñîáèÿ: ýòî § 20 â [18], §§ 13, 14 â [8] è ãëàâà 0 â êíèãå [16]. Èç
êíèã, öåëèêîì ïîñâÿùåííûõ òåîðèè êàòåãîðèé, ìîæíî ðåêîìåíäîâàòü
[10] (íàïèñàííóþ îäíèì èç ñîçäàòåëåé òåîðèè êàòåãîðèé), à òàêæå ãëàâó
II èç êíèãè [3]. Ñ òåíçîðíûìè êàòåãîðèÿìè è èõ ïðèìåíåíèåì ê ïîñòðî-
åíèþ ïîëèíîìèàëüíûõ èíâàðèàíòîâ óçëîâ (óïîìèíàâøèìñÿ â Ïðèìåðå
3 âûøå) ìîæíî ïîçíàêîìèòüñÿ ïî ÷àñòè 3 êíèãè [6]. Ìíîãî ó÷åáíèêîâ
ïî òåîðèè êàòåãîðèé åñòü íà àíãëèéñêîì ÿçûêå, ÷èòàòåëü, ïðè æåëàíèè,
ñìîæåò íàéòè èõ ñïèñîê â èíòåðíåòå. Â èíòåðíåòå òàêæå èìååòñÿ ðÿä
áëîãîâ, ãäå îáñóæäàþòñÿ ðàçëè÷íûå àñïåêòû òåîðèè êàòåãîðèé. Êàê èñ-
òî÷íèê ñâåäåíèé ïî ìàòåìàòèêå è òåîðèè êàòåãîðèé â ÷àñòíîñòè î÷åíü
ïîëåçíà Âèêèïåäèÿ, îñîáåííî å¼ àíãëîÿçû÷íàÿ âåðñèÿ.
Àâòîð âûðàæàåò ãëóáîêóþ áëàãîäàðíîñòü ïðîôåññîðó Ì.Â. Ëîñèêó
çà ïîëåçíûå çàìå÷àíèÿ.
8
Ãëàâà 1
Íà÷àëà òåîðèè êàòåãîðèé
1.1 Îïðåäåëåíèå êàòåãîðèè
Îïðåäåëåíèå 1. Êàòåãîðèÿ C ñîñòîèò èç ñëåäóþùåãî íàáîðà äàííûõ:
(i) êëàññà (èëè ìíîæåñòâà) Ob(C), ýëåìåíòû êîòîðîãî íàçûâàþòñÿ îáú-
åêòàìè êàòåãîðèè C,
(ii) íàáîðà ìíîæåñòâ HomC(X, Y ), ïî îäíîìó äëÿ êàæäîé óïîðÿäî÷åí-
íîé ïàðû îáúåêòîâ X, Y ∈ Ob(C), ýëåìåíòû êîòîðûõ íàçûâàþòñÿ
ìîðôèçìàìè èç X â Y è îáîçíà÷àþòñÿ f : X → Y èëè Xf→ Y ,
(iii) íàáîðà îòîáðàæåíèé
HomC(Y, Z)× HomC(X, Y )→ HomC(X, Z)
ïî îäíîìó äëÿ êàæäîé óïîðÿäî÷åííîé òðîéêè îáúåêòîâ X, Y, Z.
Ïàðå ìîðôèçìîâ f : X → Y è g : Y → Z òàêîå îòîáðàæåíèå ñòàâèò
â ñîîòâåòñòâèå ìîðôèçì èçX â Z, îáîçíà÷àåìûé gf è íàçûâàåìûéêîìïîçèöèåé ìîðôèçìîâ f è g.
Ýòè äàííûå äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü ñëåäóþùèì àêñèîìàì:
(a) ïî êàæäîìó ìîðôèçìó f îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþòñÿ òàêèå X, Y ∈Ob(C), ÷òî f ∈ HomC(X, Y ), èíûìè ñëîâàìè, ìíîæåñòâà
HomC(X, Y ) íå ïåðåñåêàþòñÿ;
(b) äëÿ êàæäîãî îáúåêòà X ∈ Ob(C) ñóùåñòâóåò òîæäåñòâåííûé ìîð-
ôèçì idX ∈ HomC(X, X), óäîâëåòâîðÿþùèé óñëîâèþ: äëÿ ëþáûõ
9
Y, Z ∈ Ob(C) è f ∈ HomC(Y, X), g ∈ HomC(X, Z) èìåþò ìåñòî
ðàâåíñòâà idX f = f, g idX = g;
(c) êîìïîçèöèÿ ìîðôèçìîâ àññîöèàòèâíà, ò.å. äëÿ ëþáûõ ÷åòûð¼õ îáú-
åêòîâ W, X, Y, Z ∈ Ob(C) è ìîðôèçìîâ f : W → X, g : X →Y, h : Y → Z êîìïîçèöèè (h g) f è h (g f) ñóòü îäèí è
òîò æå ìîðôèçì èç W â Z.
Çàìå÷àíèÿ. 1) Êàê ñëåäóåò èç ï. (i) ïðèâåäåííîãî îïðåäåëåíèÿ, îáú-
åêòû êàòåãîðèè â îáùåì ñëó÷àå íå îáðàçóþò ìíîæåñòâà, à òîëüêî êëàññ
(êàòåãîðèÿ, îáúåêòû êîòîðîé îáðàçóþò ìíîæåñòâî, íàçûâàåòñÿ ìàëîé).
Âî ìíîãèõ ñìûñëàõ îñíîâíûì ïðèìåðîì êàòåãîðèè ÿâëÿåòñÿ êàòåãîðèÿ
Set âñåõ ìíîæåñòâ è âñåõ îòîáðàæåíèé ìåæäó íèìè (ñì. ïðèìåð a)
â §1.2).Ñëåäóþùèé ïàðàäîêñ òåîðèè ìíîæåñòâ, îòêðûòûé Á. Ðàññåëîì, ïî-
êàçûâàåò, ÷òî, ïðèìåíÿÿ ñòàíäàðòíûå îïåðàöèè òåîðèè ìíîæåñòâ ê ìíî-
æåñòâó âñåõ ìíîæåñòâ, ìîæíî ïîëó÷èòü ïðîòèâîðå÷èå. À èìåííî, îïðå-
äåëèì U êàê ìíîæåñòâî âñåõ òàêèõ ìíîæåñòâ X, ÷òî X íå åñòü ýëåìåíò
X.  òàêîì ñëó÷àå U åñòü ýëåìåíò U òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà U íå
åñòü ýëåìåíò U .1
Ñ îòêðûòèåì ïàðàäîêñà Ðàññåëà ìàòåìàòèêàì ñòàëî ÿñíî, ÷òî ïðè-
äåòñÿ êàê-òî îãðàíè÷èòü èñïîëüçîâàíèå òåõ ñïîñîáîâ ðàññóæäåíèé, ïî-
ñðåäñòâîì êîòîðûõ îí áûë ïîëó÷åí. Äëÿ òîãî, ÷òîáû èçáåæàòü ïðîòè-
âîðå÷èé, áûëî ââåäåíî ïîíÿòèå êëàññà, áîëåå îáùåå, ÷åì ïîíÿòèå ìíî-
æåñòâà. Íàïðèìåð, âñå ìíîæåñòâà îáðàçóþò êëàññ, íå ÿâëÿþùèéñÿ ìíî-
1Ïîÿñíèì äàííûé ïàðàäîêñ ñëåäóþùèì ïðèìåðîì. Íàçîâ¼ì ìíîæåñòâî àíîìàëüíûì, åñëè îíî
ÿâëÿåòñÿ ñâîèì ýëåìåíòîì, è íîðìàëüíûì â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Íàïðèìåð, ðàññìîòðèì ìíîæå-
ñòâî âñåõ òðåóãîëüíèêîâ. Ñàìî ýòî ìíîæåñòâî òðåóãîëüíèêîì íå ÿâëÿåòñÿ, ïîýòîìó íå ÿâëÿåòñÿ
ñâîèì ñîáñòâåííûì ýëåìåíòîì. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, åñëè ìû âîçüì¼ì äîïîëíèòåëüíîå ìíîæåñòâî,
ñîäåðæàùåå âñ¼, ÷òî íå ÿâëÿåòñÿ òðåóãîëüíèêàìè, òî îíî ñàìî íå ÿâëÿåòñÿ òðåóãîëüíèêîì è çíà÷èò
ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì ýëåìåíòîì. Òàêèì îáðàçîì, îíî àíîìàëüíî.
Ðàññìîòðèì òåïåðü ìíîæåñòâî âñåõ íîðìàëüíûõ ìíîæåñòâ, U . Îêàçûâàåòñÿ, îïðåäåëèòü, ÿâëÿ-
åòñÿ ëè ñàìî U íîðìàëüíûì èëè àíîìàëüíûì ìíîæåñòâîì íåâîçìîæíî: åñëè U íîðìàëüíî, òî îíî
ÿâëÿåòñÿ ñâîèì ñîáñòâåííûì ýëåìåíòîì (ïîñêîëüêó U ñîäåðæèò âñå íîðìàëüíûå ìíîæåñòâà), ïî-
ýòîìó (ïî îïðåäåëåíèþ àíîìàëüíûõ ìíîæåñòâ) U àíîìàëüíî; ñ äðóãîé ñòîðîíû, åñëè U àíîìàëüíî,
òî ïî îïðåäåëåíèþ àíîìàëüíîãî ìíîæåñòâà U ÿâëÿåòñÿ ñâîèì ñîáñòâåííûì ýëåìåíòîì, à òàê êàê
ïî îïðåäåëåíèþ ýëåìåíòàìè U ÿâëÿþòñÿ â òî÷íîñòè íîðìàëüíûå ìíîæåñòâà, îíî òîæå ÿâëÿåòñÿ
íîðìàëüíûì. Ýòî ïðèâîäèò ê âûâîäó, ÷òî U íå ÿâëÿåòñÿ íè íîðìàëüíûì, íè àíîìàëüíûì; â ýòîì
è ñîñòîèò ïàðàäîêñ Ðàññåëà.
10
æåñòâîì, è ðÿä îáû÷íûõ îïåðàöèé íàä ìíîæåñòâàìè ñ íèì çàïðåùåíû.
Ïîýòîìó òàêîå íàèâíîå îïðåäåëåíèå êàòåãîðèè Set ñäåëàëî áû íåâîç-
ìîæíûìè ðÿä êàòåãîðíûõ êîíñòðóêöèé, î êîòîðûõ áóäåò èäòè ðå÷ü äà-
ëåå. Âûõîä èç ýòîé ñèòóàöèè ââåñòè óíèâåðñóì, áîëüøîå ìíîæåñòâî
ìíîæåñòâ, ñòàáèëüíîå îòíîñèòåëüíî âñåõ îïåðàöèé, êàêèå ìîãóò ïîíàäî-
áèòüñÿ, ïîñëå ÷åãî ðàññìàòðèâàòü ëèøü êàòåãîðèè, ïðèíàäëåæàùèå ýòî-
ìó óíèâåðñóìó. Âïðåäü ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî íåîáõîäèìîå îáîñíîâàíèå
ìîæåò áûòü ïðîâåäåíî, îòñûëàÿ çàèíòåðåñîâàííîãî ÷èòàòåëÿ çà ïîäðîá-
íîñòÿìè ê êíèãå [2]. Â îïðàâäàíèå íàøåãî ïîäõîäà ïðèâåäåì âûäåðæêó
èç óæå öèòèðîâàâøåéñÿ êíèæêè Þ.È. Ìàíèíà [11]: ... ïðè ñîâðåìåííîì
ñîñòîÿíèè îñíîâàíèé ìàòåìàòèêè è âîïðîñà î íåïðîòèâîðå÷èâîñòè àâòî-
ðó âñÿ ïðîáëåìà ïðåäñòàâëÿåòñÿ íåñêîëüêî àêàäåìè÷åñêîé. Íàøà ïîçè-
öèÿ áëèçêà ê òî÷êå çðåíèÿ ôèçèêà-ýêñïåðèìåíòàòîðà, íå ñêëîííîãî íè
ôåòèøèçèðîâàòü, íè ëîìàòü ñâîè ïðèáîðû, ïîêà îíè ïðèíîñÿò ðåçóëüòà-
òû.
2) Äëÿ êàæäîãî X ∈ Ob(C) òîæäåñòâåííûé ìîðôèçì idX îïðåäåëåí
îäíîçíà÷íî. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè idX , id′X äâà ìîðôèçìà óäîâëåòâî-
ðÿþùèõ ðàâåíñòâàì ïóíêòà (b), òî idX = idX id′X = id′X .
3) Èç (c) ëåãêî âûòåêàåò, ÷òî êîìïîçèöèÿ ïðîèçâîëüíîãî êîíå÷íî-
ãî ÷èñëà ìîðôèçìîâ, åñëè îíà îïðåäåëåíà, íå çàâèñèò îò ðàññòàíîâêè
ñêîáîê.
Çàäà÷à. Ïóñòü ó íàñ åñòü äâà îáúåêòà A, B è òðè ðàçíûõ ìîðôèçìà
f : A→ B, g, h : B → A, êîòîðûå ïîêàçàíû íà äèàãðàììå
Af
//B.
g
WW
h
Êðîìå òîãî, ïóñòü èìåþòñÿ òîæäåñòâåííûå ìîðôèçìû idA : A →A, idB : B → B (íå ïîêàçàííûå íà äèàãðàììå). Ïîêàæèòå, ÷òî ýòîò
íàáîð äàííûõ íå ìîæåò îòâå÷àòü íèêàêîé êàòåãîðèè ñ äâóìÿ îáúåê-
òàìè A, B.
Îïðåäåëåíèå 2. a) Ìîðôèçì f : X → Y â êàòåãîðèè C íàçûâàåòñÿ
èçîìîðôèçìîì, åñëè ñóùåñòâóåò òàêîé ìîðôèçì g : Y → X, ÷òî f g =idY , g f = idX .
11
b) Îáúåêòû X, Y ∈ Ob(C), ìåæäó êîòîðûìè ñóùåñòâóåò õîòÿ áû
îäèí èçîìîðôèçì, íàçûâàþòñÿ èçîìîðôíûìè.
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî îòíîøåíèå áûòü èçîìîðôíûì åñòü îòíîøåíèå
ýêâèâàëåíòíîñòè íà Ob(C). Ìîðôèçìû f : X → Y è g : Y → X ñî ñâîé-
ñòâàìè, óêàçàííûìè â ï. a) îïðåäåëåíèÿ âûøå, íàçûâàþòñÿ âçàèìíî îá-
ðàòíûìè. Êàæäûé èçîìîðôèçì f : X → Y îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò îá-
ðàòíûé ê íåìó èçîìîðôèçì: ïóñòü g, g′ äâà òàêèõ èçîìîðôèçìà, òîãäà
g = g idY = g (f g′) = (g f) g′ = idX g′ = g′.
Ïîìèìî èçîìîðôèçìà, âûäåëèì åù¼ äâà âàæíûõ òèïà ìîðôèçìîâ.
Îïðåäåëåíèå 3. Ìîðôèçì f : Y → Z â êàòåãîðèè C íàçûâàåòñÿ ìîíî-
ìîðôèçìîì, åñëè äëÿ ëþáûõ äâóõ ìîðôèçìîâ g1 : X → Y, g2 : X → Y
â C èç ðàâåíñòâà êîìïîçèöèé f g1 = f g2 âñåãäà ñëåäóåò ðàâåíñòâî
g1 = g2. Äðóãèìè ñëîâàìè, ìîíîìîðôèçìû ýòî òàêèå ìîðôèçìû, íà
êîòîðûå ìîæíî ñîêðàùàòü êîìïîçèöèþ ñëåâà. Ñîîòâåòñòâóþùàÿ äèà-
ãðàììà âûãëÿäèò òàê:
Xg1⇒g2
Yf→ Z. (1.1)
Ìîðôèçì f : X → Y â êàòåãîðèè C íàçûâàåòñÿ ýïèìîðôèçìîì, åñëèäëÿ ëþáûõ äâóõ ìîðôèçìîâ g1 : Y → Z, g2 : Y → Z â C èç ðàâåí-
ñòâà êîìïîçèöèé ìîðôèçìîâ g1 f = g2 f âñåãäà ñëåäóåò ðàâåíñòâî
g1 = g2. Äðóãèìè ñëîâàìè, ýïèìîðôèçìû ýòî òàêèå ìîðôèçìû, íà
êîòîðûå ìîæíî ñîêðàùàòü êîìïîçèöèþ ñïðàâà. Ñîîòâåòñòâóþùàÿ äèà-
ãðàììà âûãëÿäèò òàê:
Xf→ Y
g1⇒g2
Z. (1.2)
Îïðåäåëåíèå 4. Êàòåãîðèÿ C íàçûâàåòñÿ ïîäêàòåãîðèåé êàòåãîðèè D,åñëè
(a) Ob(C) ⊂ Ob(D);
(b) äëÿ ïðîèçâîëüíûõ X, Y ∈ Ob(C) èìååò ìåñòî âêëþ÷åíèå ìíîæåñòâìîðôèçìîâ HomC(X, Y ) ⊂ HomD(X, Y );
(c) êîìïîçèöèÿ ìîðôèçìîâ â C ñîâïàäàåò ñ èõ êîìïîçèöèåé êàê ìîð-
ôèçìîâ â D; äëÿ X ∈ Ob(C) òîæäåñòâåííûé ìîðôèçì idX â êàòå-
ãîðèè C ñîâïàäàåò ñ òîæäåñòâåííûì ìîðôèçìîì idX â êàòåãîðèè
D.
12
Îïðåäåëåíèå 5. Ïîäêàòåãîðèÿ C ⊂ D íàçûâàåòñÿ ïîëíîé, åñëè äëÿ ëþ-
áûõ X, Y ∈ Ob(C) èìååò ìåñòî íå ïðîñòî âêëþ÷åíèå (b), íî ñîâïàäåíèå
HomC(X, Y ) = HomD(X, Y )
ìíîæåñòâ ìîðôèçìîâ.
1.2 Ïåðâûå ïðèìåðû êàòåãîðèé
 ýòîì ðàçäåëå ìû ïîçíàêîìèìñÿ ñ ðàçëè÷íûìè ïðèìåðàìè êàòåãîðèé,
ñðåäè êîòîðûõ åñòü ôóíäàìåíòàëüíûå êàòåãîðèè, èçó÷åíèåì ñâîéñòâ
êîòîðûõ çàíèìàþòñÿ áîëüøèå ðàçäåëû àëãåáðû è ãåîìåòðèè (òàêîâû
ïðèìåðû b) i)).
a) Êàòåãîðèÿ ìíîæåñòâ. Âàæíåéøèì ïðèìåðîì êàòåãîðèè ÿâëÿåòñÿ
êàòåãîðèÿ âñåõ (òî÷íåå, ïðèíàäëåæàùèõ óíèâåðñóìó, ñì. Çàìå÷àíèå
1) â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå) ìíîæåñòâ è âñåõ îòîáðàæåíèé ìåæäó
íèìè, îáîçíà÷àåìàÿ Set . Òàêèì îáðàçîì, ýëåìåíòàìè Ob(Set) ÿâëÿþò-ñÿ ïðîèçâîëüíûå ìíîæåñòâà, à ìíîæåñòâî ìîðôèçìîâ HomSet(X, Y ) èç
îáúåêòà X â îáúåêò Y ñîñòîèò èç ïðîèçâîëüíûõ îòîáðàæåíèé ìíîæåñòâ
f : X → Y. Êîìïîçèöèÿ ìîðôèçìîâ â äàííîì ñëó÷àå ýòî îáû÷íàÿ
êîìïîçèöèÿ îòîáðàæåíèé ìíîæåñòâ, êîòîðàÿ, êàê õîðîøî èçâåñòíî, àñ-
ñîöèàòèâíà, ò.å. âûïîëíåíî óñëîâèå (c) Îïðåäåëåíèÿ 1. Ìîðôèçì idX
ýòî òîæäåñòâåííîå îòîáðàæåíèå X → X, ïðè êîòîðîì êàæäûé ýëåìåíò
x ∈ X ïåðåõîäèò â ñåáÿ.
Ïîêàæåì, ÷òî èçîìîðôèçìû â êàòåãîðèè Set ýòî â òî÷íîñòè
áèåêöèè ìíîæåñòâ. Ïóñòü f : X → Y è g : Y → X òàêèå îòîáðàæå-
íèÿ, ÷òî g f = idX , f g = idY . Òîãäà f èíúåêòèâíî. Äåéñòâèòåëüíî,
g(f(x1)) = x1, g(f(x2)) = x2, ïîýòîìó ïðè x1 = x2 èìååì f(x1) = f(x2).
Êðîìå òîãî, f ñþðúåêòèâíî. Äåéñòâèòåëüíî, ∀y ∈ Y ∃x ∈ X (à èìåííî
x = g(y)) òàêîé ÷òî f(x) = y. Òàêèì îáðàçîì, f èíúåêòèâíî è ñþðúåê-
òèâíî è çíà÷èò ÿâëÿåòñÿ áèåêöèåé.  ñèëó ñèììåòðèè óñëîâèé íà f è g
ìû òàêæå âèäèì, ÷òî g òîæå áèåêöèÿ. Îáðàòíî, åñëè f : X → Y
áèåêöèÿ, òî, ïîëîæèâ g = f−1, ìû ïîëó÷èì g f = idX , f g = idY .
Ïîêàæåì, ÷òî ìîðôèçì â Set ÿâëÿåòñÿ ìîíîìîðôèçìîì òîãäà è
òîëüêî òîãäà, êîãäà îí èíúåêòèâåí. Ïðåäïîëîæèì âíà÷àëå, ÷òî îòîá-
ðàæåíèå f : Y → Z â (1.1) èíúåêòèâíî. Åñëè f g1 = f g2, òî åñòü
13
f(g1(x)) = f(g2(x)) ∀x ∈ X, òî èç íàøåãî ïðåäïîëîæåíèÿ îòíîñèòåëüíî
f âûòåêàåò, ÷òî g1(x) = g2(x) ∀x ∈ X, òî åñòü g1 = g2, çíà÷èò f ìîíî-
ìîðôèçì. Îáðàòíî, åñëè îòîáðàæåíèå f : Y → Z â (1.1) íå èíúåêòèâíî,
òî ñóùåñòâóþò ýëåìåíòû y1, y2 ∈ Y, y1 = y2, è ïðè ýòîì f(y1) = f(y2).
Âîçüì¼ì â êà÷åñòâå X ïðîèçâîëüíîå îäíîýëåìåíòíîå ìíîæåñòâî, à â êà-
÷åñòâå gi : X → Y, i = 1, 2 òàêèå îòîáðàæåíèÿ, ÷òî gi(X) = yi, i = 1, 2.
Òîãäà ëåãêî âèäåòü, ÷òî f g1 = f g2, íî g1 = g2. Çíà÷èò, f íå ìîíî-
ìîðôèçì.
Çàäà÷à.Äîêàçàòü, ÷òî ìîðôèçì â Set ÿâëÿåòñÿ ýïèìîðôèçìîì òîãäà
è òîëüêî òîãäà, êîãäà îí ñþðúåêòèâåí.
Ñëåäóþùóþ ãðóïïó ïðèìåðîâ (b) h′)) îáðàçóþò êàòåãîðèè, îáúåê-
òàìè êîòîðûõ ÿâëÿþòñÿ ìíîæåñòâà ñ äîïîëíèòåëüíûìè ñòðóêòóðàìè, à
ìîðôèçìàìè îòîáðàæåíèÿ ìíîæåñòâ, ñîãëàñîâàííûå ñ ýòèìè ñòðóêòó-
ðàìè. Ýòî òàê íàçûâàåìûå êîíêðåòíûå êàòåãîðèè, òî÷íîå îïðåäåëåíèå
êîòîðûõ ìû äàäèì ïîñëå òîãî, êàê ââåä¼ì ïîíÿòèå ôóíêòîðà.
b) Êàòåãîðèÿ òîïîëîãè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâ. ×åðåç T op îáîçíà÷èì
êàòåãîðèþ, ÷üèìè îáúåêòàìè ÿâëÿþòñÿ âñå òîïîëîãè÷åñêèå ïðîñòðàí-
ñòâà, à ìîðôèçìàìè íåïðåðûâíûå îòîáðàæåíèÿ. Èçîìîðôèçìû â êà-
òåãîðèè T op ãîìåîìîðôèçìû òîïîëîãè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâ.
c) Êàòåãîðèÿ ãëàäêèõ ìíîãîîáðàçèé. ×åðåç Diff îáîçíà÷èì êàòåãî-
ðèþ, ÷üèìè îáúåêòàìè ÿâëÿþòñÿ ãëàäêèå ìíîãîîáðàçèÿ, à ìîðôèçìàìè
ãëàäêèå îòîáðàæåíèÿ. Èçîìîðôèçìû â Diff íàçûâàþòñÿ äèôôåîìîð-
ôèçìàìè.
d) Êàòåãîðèÿ ãðóïï. Ïóñòü Gr åñòü êàòåãîðèÿ, ÷üèìè îáúåêòàìè ÿâ-
ëÿþòñÿ âñå ãðóïïû, à ìîðôèçìàìè ãîìîìîðôèçìû ãðóïï. Èçîìîðôèç-
ìàìè â Gr ÿâëÿþòñÿ èçîìîðôèçìû ãðóïï.
e) Êàòåãîðèÿ àáåëåâûõ ãðóïï. Ïóñòü Ab êàòåãîðèÿ, îáúåêòàìè
êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ àáåëåâû (=êîììóòàòèâíûå) ãðóïïû, à ìîðôèçìàìè
ãîìîìîðôèçìû ãðóïï. Ýòî ïîëíàÿ ïîäêàòåãîðèÿ êàòåãîðèè Gr .f) Êàòåãîðèÿ êîëåö. ÏóñòüRing åñòü êàòåãîðèÿ, ÷üèìè îáúåêòàìè ÿâ-ëÿþòñÿ âñå êîëüöà (íå îáÿçàòåëüíî ñ åäèíèöåé), à â êà÷åñòâå ìîðôèçìîâ
ðàññìàòðèâàþòñÿ ãîìîìîðôèçìû êîëåö. Èçîìîðôèçìû â ýòîé êàòåãîðèè
â òî÷íîñòè èçîìîðôèçìû êîëåö.
g) Êàòåãîðèè àëãåáð. Â äàëüíåéøåì â ïðèìåðàõ ìû áóäåì ðàññìàòðè-
14
âàòü òàêæå ðàçëè÷íûå êàòåãîðèè àëãåáð. Åñëè íå îãîâîðåíî ïðîòèâíîå,
âñå ðàññìàòðèâàåìûå íèæå àëãåáðû ïðåäïîëàãàþòñÿ àññîöèàòèâíûìè
è ñ åäèíèöåé. Íàïðèìåð, ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü êàòåãîðèþ àññîöè-
àòèâíûõ àëãåáð ñ åäèíèöåé íàä ôèêñèðîâàííûì ïîëåì k, êàòåãîðèþ
êîììóòàòèâíûõ àññîöèàòèâíûõ àëãåáð ñ åäèíèöåé íàä ïîëåì k (çàìå-
òèì, ÷òî â êà÷åñòâå ìîðôèçìîâ k-àëãåáð ñ åäèíèöåé 1 ðàññìàòðèâàþòñÿ
òàêèå ãîìîìîðôèçìû k-àëãåáð, êîòîðûå îòîáðàæàþò 1 â 1). ×òîáû íå
ââîäèòü ñëîæíûõ îáîçíà÷åíèé, âñå ýòè êàòåãîðèè ìû áóäåì îáîçíà÷àòü
Algk, êàæäûé ðàç óêàçûâàÿ, êàêàÿ êîíêðåòíî êàòåãîðèÿ àëãåáð èìååòñÿâ âèäó (ïðè ýòîì ÷àñòî îïóñêàÿ òåðìèí àññîöèàòèâíûé). Òàêæå áó-
äåò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàòåãîðèÿ êîììóòàòèâíûõ àëãåáð ñ åäèíèöåé íàä
(êîììóòàòèâíûì) êîëüöîì R.  ÷àñòíîñòè, êàòåãîðèÿ êîììóòàòèâíûõ
Z-àëãåáð ñ åäèíèöåé áóäåò îáîçíà÷àòüñÿ ïðîñòî Alg (çàìåòèì, ÷òî îíà
ñîâïàäàåò ñ êàòåãîðèåé êîììóòàòèâíûõ êîëåö ñ åäèíèöåé).
h) Êàòåãîðèÿ âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâ íàä ïîëåì k. Ôèêñèðóåì
ïðîèçâîëüíîå ïîëå k è ÷åðåç Vectk îáîçíà÷èì êàòåãîðèþ, ÷üèìè îáúåê-
òàìè ÿâëÿþòñÿ âåêòîðíûå ïðîñòðàíñòâà íàä k, à ìîðôèçìàìè ëèíåé-
íûå îòîáðàæåíèÿ. Áîëåå îáùèì îáðàçîì, ïóñòü R êîëüöî ñ åäèíèöåé.
Òîãäà ìîæíî îïðåäåëèòü êàòåãîðèþ RMod , îáúåêòàìè êîòîðîé ÿâëÿþò-
ñÿ óíèòàðíûå ëåâûå R-ìîäóëè (íàïîìíèì, ÷òî R-ìîäóëü M íàçûâàåòñÿ
óíèòàðíûì, åñëè 1Rx = x ∀x ∈ M , çäåñü 1R åäèíèöà êîëüöà R),
à ìîðôèçìàìè ãîìîìîðôèçìû R-ìîäóëåé. (Çàìåòèì, ÷òî êàòåãîðèÿ
ZMod ñîâïàäàåò ñ êàòåãîðèåé Ab.) Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ êàòåãî-
ðèÿ ïðàâûõ R-ìîäóëåéModR.
h′) Êàòåãîðèÿ êîíå÷íîìåðíûõ âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâ íàä ïî-
ëåì k. Â Vectk âûäåëèì ïîëíóþ ïîäêàòåãîðèþ Vectfk , îáúåêòàìè êîòî-
ðîé ÿâëÿþòñÿ êîíå÷íîìåðíûå âåêòîðíûå ïðîñòðàíñòâà íàä k, (à ìîðôèç-
ìàìè ëèíåéíûå îòîáðàæåíèÿ êàê è â Vectk).×èòàòåëü ëåãêî ïðîäîëæèò óêàçàííûé ñïèñîê êàòåãîðèé (íàïðèìåð,
îïðåäåëèâ êàòåãîðèþ àëãåáð Ëè íàä ïîëåì k (ñ ìîðôèçìàìè ãîìî-
ìîðôèçìàìè àëãåáð Ëè), êàòåãîðèþ óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâ (ñ ìîíî-
òîííûìè îòîáðàæåíèÿìè â êà÷åñòâå ìîðôèçìîâ), êàòåãîðèè ìåòðè÷å-
ñêèõ ïðîñòðàíñòâ (èìååòñÿ ïî êðàéíåé ìåðå 3 ðàçóìíûõ ñïîñîáà çàäàòü
ìîðôèçìû ìåæäó ìåòðè÷åñêèìè ïðîñòðàíñòâàìè: êàê íåïðåðûâíûå, èëè
15
ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíûå, èëè ñæèìàþùèå îòîáðàæåíèÿ; ýòî ïðèâîäèò
ê òð¼ì ðàçíûì êàòåãîðèÿì, ñ ìåòðè÷åñêèìè ïðîñòðàíñòâàìè â êà÷åñòâå
îáúåêòîâ) è ò.ä.
Çàäà÷à. Ïîêàæèòå, ÷òî ìîðôèçì â Vectk ÿâëÿåòñÿ ìîíîìîðôèçìîì
òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îí èíúåêòèâåí. Àíàëîãè÷íî, ìîðôèçì â
Vectk ÿâëÿåòñÿ ýïèìîðôèçìîì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îí ñþðú-
åêòèâåí.2
Çàäà÷à.  ðàññìîòðåííûõ ïðèìåðàõ êàòåãîðèé èçîìîðôèçìû ÿâëÿþò-
ñÿ, â ÷àñòíîñòè, áèåêòèâíûìè îòîáðàæåíèÿìè.3 Äëÿ êàêèõ èç ýòèõ
ïðèìåðîâ âåðíî îáðàòíîå, òî åñòü âñÿêèé áèåêòèâíûé ìîðôèçì ÿâ-
ëÿåòñÿ èçîìîðôèçìîì?4 Óêàæèòå ïîäêàòåãîðèþ â T op, äëÿ êîòîðîé
ýòî òîæå âåðíî.
Ïðèâåä¼ì ïðèìåð êàòåãîðèè, ìîðôèçìû â êîòîðîé íå ÿâëÿþòñÿ
òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííûìè îòîáðàæåíèÿìè.
i) Ãîìîòîïè÷åñêàÿ êàòåãîðèÿ. Î÷åíü âàæíóþ ðîëü â ìàòåìàòèêå èã-
ðàåò ñëåäóþùàÿ ò.í. ãîìîòîïè÷åñêàÿ êàòåãîðèÿ hT op. Ïåðåä òåì êàê
äàòü å¼ îïðåäåëåíèå, íàïîìíèì, ÷òî äâà íåïðåðûâíûõ îòîáðàæåíèÿ
f, g : X → Y
èç òîïîëîãè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà X â òîïîëîãè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî Y
íàçûâàþòñÿ ãîìîòîïíûìè, åñëè ñóùåñòâóåò íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå
Φ: X × I → Y
(çäåñü I èíòåðâàë [0, 1] ñî ñòàíäàðòíîé òîïîëîãèåé, à íà X × I ðàñ-
ñìàòðèâàåòñÿ òîïîëîãèÿ ïðîèçâåäåíèÿ), òàêîå ÷òî
Φ |X×0= f, Φ |X×1= g,
2â òàê íàçûâàåìûõ êîíêðåòíûõ êàòåãîðèÿõ, îáúåêòàìè êîòîðûõ ÿâëÿþòñÿ ìíîæåñòâà, (âîîáùå
ãîâîðÿ) ñíàáæ¼ííûå íåêîòîðîé ñòðóêòóðîé, à ìîðôèçìû îòîáðàæåíèÿ ìíîæåñòâ, â åñòåñòâåííîì
ñìûñëå ñîãëàñîâàííûå ñ ýòîé ñòðóêòóðîé (ê êîòîðûì îòíîñÿòñÿ âñå ðàññìîòðåííûå âûøå ïðèìåðû
êàòåãîðèé), âñÿêèé èíúåêòèâíûé (êàê îòîáðàæåíèå ìíîæåñòâ) ìîðôèçì ÿâëÿåòñÿ ìîíîìîðôèçìîì,
à âñÿêèé ñþðúåêòèâíûé ìîðôèçì ýïèìîðôèçìîì. Îäíàêî îáðàòíîå, âîîáùå ãîâîðÿ, íåâåðíî:
ìîæíî ïðèâåñòè ïðèìåðû êîíêðåòíûõ êàòåãîðèé, â êîòîðûõ ìîíîìîðôèçìû íå îáÿçàòåëüíî èíúåê-
òèâíû, è ïðèìåðû, â êîòîðûõ ýïèìîðôèçìû íå îáÿçàòåëüíî ñþðúåêòèâíû (íàïðèìåð, åñòåñòâåííîå
âëîæåíèå Z→ Q, íå áóäó÷è ñþðúåêòèâíûì, ÿâëÿåòñÿ ýïèìîðôèçìîì â Ring).3Çàáåãàÿ âïåð¼ä, çàìåòèì, ÷òî ýòî îáùèé ôàêò äëÿ êîíêðåòíûõ êàòåãîðèé, âûòåêàþùèé èç
òîãî, ÷òî ëþáîé ôóíêòîð èçîìîðôèçì ïåðåâîäèò â èçîìîðôèçì.4Åñëè Âû óæå èçó÷àëè ôóíêöèîíàëüíûé àíàëèç, ïîäóìàéòå, â ÷¼ì ñîñòîèò êàòåãîðíûé ñìûñë
òåîðåìû Áàíàõà îá îáðàòíîì îïåðàòîðå?
16
ãäå ÷åðåç Φ |X×0 (ñîîòâ. Φ |X×1) îáîçíà÷åíî îãðàíè÷åíèå Φ íà X ×0 ⊂ X × I (ñîîòâ. íà X × 1)).
Ëåãêî ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî íà ìíîæåñòâå íåïðåðûâíûõ îòîáðàæåíèé
X → Y îòíîøåíèå áûòü ãîìîòîïíûìè ÿâëÿåòñÿ îòíîøåíèåì ýêâèâà-
ëåíòíîñòè, è, òàêèì îáðàçîì, ýòî ìíîæåñòâî ðàçáèâàåòñÿ íà íåïåðåñåêà-
þùèåñÿ êëàññû ýêâèâàëåíòíîñòè ãîìîòîïè÷åñêèå êëàññû îòîáðàæå-
íèé. Êëàññ îòîáðàæåíèÿ f áóäåì îáîçíà÷àòü [f ].
Îáúåêòû êàòåãîðèè hT op ýòî ïðîèçâîëüíûå òîïîëîãè÷åñêèå ïðî-
ñòðàíñòâà, ò.å. Ob(hT op) = Ob(T op) (ñì. ïðèìåð c)), ìîðôèçìû æå
îïðåäåëÿþòñÿ èíà÷å ÷åì â Ob(T op):
HomhT op(X, Y ) = ìíîæåñòâî ãîìîòîïè÷åñêèõ êëàññîâ
íåïðåðûâíûõ îòîáðàæåíèé èç X â Y .
Åñëè f1, g1 : X → Y ãîìîòîïíû è f2, g2 : Y → Z ãîìîòîïíû, òî èõ êîì-
ïîçèöèè f2 f1, g2 g1 : X → Z òàêæå ãîìîòîïíû, ïîýòîìó ðàâåíñòâî
[f2] [f1] := [f2 f1] êîððåêòíî îïðåäåëÿåò êîìïîçèöèþ ãîìîòîïè÷åñêèõ
êëàññîâ.
Çàäà÷à. Îïèøèòå â òåðìèíàõ îòîáðàæåíèé è ãîìîòîïèé óñëîâèå íà
íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå f : X → Y , ïðè âûïîëíåíèè êîòîðîãî åãî
êëàññ [f ] ÿâëÿåòñÿ èçîìîðôèçìîì â hT op.Ìíîæåñòâî ìîðôèçìîâ ìàëîé êàòåãîðèè ñ òî÷êè çðåíèÿ àëãåáðû ÿâ-
ëÿåòñÿ ìíîæåñòâîì ñ ÷àñòè÷íîé (òî åñòü íå âñþäó îïðåäåë¼ííîé) áèíàð-
íîé àññîöèàòèâíîé îïåðàöèåé.  ÷àñòíîñòè, ìîðôèçìû îäíîîáúåêòíîé
êàòåãîðèè îáðàçóþò ìîíîèä (òî åñòü ïîëóãðóïïó ñ åäèíèöåé; íàïîìíèì,
÷òî ïîëóãðóïïà ìíîæåñòâî ñ çàäàííîé íà í¼ì áèíàðíîé àññîöèàòèâ-
íîé îïåðàöèåé), à ïðè óñëîâèè, ÷òî êàæäûé ìîðôèçì èìååò îáðàòíûé
(òî åñòü ÿâëÿåòñÿ èçîìîðôèçìîì) ãðóïïó. Îáðàòíî, ïðîèçâîëüíûé ìî-
íîèä ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê êàòåãîðèþ ñ åäèíñòâåííûì îáúåêòîì x è
ìîðôèçìàìè x → x, îòâå÷àþùèìè ýëåìåíòàì ìîíîèäà, ïðè÷åì êîìïî-
çèöèè ìîðôèçìîâ îòâå÷àåò ïðîèçâåäåíèå ñîîòâåòñòâóþùèõ ýëåìåíòîâ;
òîãäà àññîöèàòèâíîñòü îïåðàöèè â ìîíîèäå îáåñïå÷èò âûïîëíåíèå óñëî-
âèÿ (c) â Îïðåäåëåíèè 1, à ñóùåñòâîâàíèå åäèíèöû ñóùåñòâîâàíèå
òîæäåñòâåííîãî ìîðôèçìà (ò.å. âûïîëíåíèå óñëîâèÿ (b) òàì æå).
17
Êàòåãîðèè (âîîáùå ãîâîðÿ, ñî ìíîãèìè îáúåêòàìè), â êîòîðûõ âñÿêèé
ìîðôèçì îáðàòèì (òî åñòü ÿâëÿåòñÿ èçîìîðôèçìîì), íàçûâàþòñÿ ãðóï-
ïîèäàìè. Ãðóïïîèäû ÿâëÿþòñÿ îáîáùåíèÿìè ãðóïï (ãðóïïà ãðóïïîèä
ñ îäíèì ýëåìåíòîì), à òàêæå äåéñòâèé ãðóïï è îòíîøåíèé ýêâèâàëåíò-
íîñòè, êàê ïîêàçûâàåò ñëåäóþùàÿ ïàðà ïðèìåðîâ.
j) Ãðóïïîèä äåéñòâèÿ. Ïóñòü X íåïóñòîå ìíîæåñòâî, íà êîòîðîì
äåéñòâóåò ãðóïïà G. Íàïîìíèì (ñì., íàïðèìåð, [7]), ÷òî ïîñëåäíåå îçíà-
÷àåò, ÷òî êàæäîé ïàðå (g, x) ∈ G × X ñîïîñòàâëåí ýëåìåíò gx ∈ X,
ïðè÷åì ïðåäïîëàãàþòñÿ âûïîëíåííûìè ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:
(1) (g2g1)x = g2(g1x) ∀g1, g2 ∈ G, x ∈ X è
(2) ex = x ∀x ∈ X, ãäå e åäèíè÷íûé ýëåìåíò ãðóïïû G.
Îïðåäåëèì òåïåðü êàòåãîðèþ C ñëåäóþùèì îáðàçîì:
Ob(C) = x | x ∈ X, HomC(x, x′) = g ∈ G | gx = x′.
Äðóãèìè ñëîâàìè, îáúåêòàìè C ÿâëÿþòñÿ ýëåìåíòû ìíîæåñòâàX, à ìîð-
ôèçìàìè ïàðû (g, x), g ∈ G, x ∈ X, ïðè÷åì (g, x) ∈ HomC(x, gx).5
Êîìïîçèöèÿ (g, x) è (g′, x′) îïðåäåëåíà òîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà
gx = x′, ïðè÷åì ïðè âûïîëíåíèè ýòîãî óñëîâèÿ
(g′, x′) (g, x) := (g′g, x) ∈ HomC(x, g′x′)
(ïîñìîòðèòå íà xg→ x′
g′→ x′′). Òîæäåñòâåííûé ìîðôèçì idx îïðåäåëÿ-
åòñÿ êàê ïàðà (e, x). ×èòàòåëü ëåãêî ïðîâåðèò, ÷òî àêñèîìû êàòåãîðèè
âûòåêàþò èç àêñèîì ãðóïïû è óñëîâèé (1), (2) â îïðåäåëåíèè äåéñòâèÿ,
à îáðàòèìîñòü ïðîèçâîëüíîãî ìîðôèçìà (g, x) èç ñîîòíîøåíèé
g−1(gx) = (g−1g)x = ex = x, g(g−1(gx)) = (gg−1)(gx) = e(gx) = gx.
k) Ãðóïïîèä, ñâÿçàííûé ñ îòíîøåíèåì ýêâèâàëåíòíîñòè. Ïóñòü
X íåêîòîðîå ìíîæåñòâî, íà êîòîðîì çàäàíî îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíî-
ñòè, êîòîðîå ìû áóäåì îáîçíà÷àòü ∼. Ðàññìîòðèì êàòåãîðèþ, îáúåêòà-
ìè êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ ýëåìåíòû ìíîæåñòâà X, è äëÿ ïðîèçâîëüíûõ äâóõ
5åñëè íå ïîíÿòíî, çà÷åì ðàññìàòðèâàòü ïàðû (g, x), âñïîìíèòå àêñèîìó (a) èç Îïðåäåëåíèÿ 1.
18
ýëåìåíòîâ x, y ∈ X ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé ìîðôèçì x → y åñëè è
òîëüêî åñëè x ∼ y.
l) Êàòåãîðèÿ îòíîøåíèé. Îïðåäåëèì êàòåãîðèþ Rel ñëåäóþùèì îá-
ðàçîì. Îáúåêòû Rel òàêèå æå êàê â Set ìíîæåñòâà (â äàííîì óíè-
âåðñóìå ñì. Çàìå÷àíèå 1) íà ñòð. 10), à ìîðôèçìû HomRel(X, Y )
îïðåäåëÿþòñÿ èíà÷å: ýòî ïîäìíîæåñòâà ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ X × Y .6
Êîìïîçèöèÿ φ : X → Y è ψ : Y → Z îïðåäåëÿåòñÿ òàê:
ψ φ = (x, z) ∈ X × Z | ∃y ∈ Y òàêîå ÷òî (x, y) ∈ φ, (y, z) ∈ ψ.
Òîæäåñòâåííûé ìîðôèçì idX çàäàåòñÿ äèàãîíàëüþ â ïðÿìîì ïðîèçâå-
äåíèè:
idX = (x, x) | x ∈ X ⊂ X ×X.
m) Êàòåãîðèÿ ïîäìíîæåñòâ äàííîãî ìíîæåñòâà. Ôèêñèðóåì ìíî-
æåñòâî S. Ðàññìîòðèì êàòåãîðèþ P(S), îáúåêòàìè êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ
ïîäìíîæåñòâà S, à ìîðôèçìàìè âëîæåíèÿ ïîäìíîæåñòâ. Ýòà êàòåãî-
ðèÿ èíòåðåñíà òåì, ÷òî â íåé åäèíñòâåííûìè èçîìîðôèçìàìè ÿâëÿþòñÿ
òîæäåñòâåííûå îòîáðàæåíèÿ. Çàìåòèì, ÷òî ýòîò ïðèìåð èìååò î÷åâèä-
íîå îáîáùåíèå: êàòåãîðèþ, ñâÿçàííóþ ñ ÷àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííûì ìíî-
æåñòâîì.
n) Êàòåãîðèÿ íàêðûòèé. Ïóñòü E è B äîñòàòî÷íî õîðîøèå ëè-
íåéíî ñâÿçíûå òîïîëîãè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà.7 Íåïðåðûâíîå îòîáðàæå-
íèå p : E → B íàçûâàåòñÿ íàêðûòèåì, åñëè îíî ñþðúåêòèâíî è äëÿ ëþ-
áîé òî÷êè b ∈ B ñóùåñòâóåò îòêðûòàÿ îêðåñòíîñòü V òàêàÿ, ÷òî êàæäàÿ
êîìïîíåíòà p−1(V ) îòêðûòà â E è îãðàíè÷åíèå p îïðåäåëÿåò å¼ ãîìåî-
ìîðôèçì ñ V .
Íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå g : E → E ′ ÿâëÿåòñÿ ìîðôèçìîì íàêðû-
6×òîáû ñâÿçàòü ââåäåííûå îïðåäåëåíèÿ ñ îáû÷íûì ïîíÿòèåì îòíîøåíèÿ íà ìíîæåñòâå, çàìåòèì
÷òî ñóùåñòâóåò âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó ïîäìíîæåñòâàìè S ⊂ X ×X è îòíîøå-
íèÿìè R íà ìíîæåñòâå X: ïî ïîäìíîæåñòâó S ⊂ X × X îïðåäåëÿåòñÿ îòíîøåíèå RS ñëåäóþùèì
îáðàçîì: xRSy ⇔ (x, y) ⊂ S è îáðàòíî, ïî îòíîøåíèþ îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòâåòñòâóþùåå ïîäìíîæå-
ñòâî.7ðàñøèôðîâêó ñëîâ äîñòàòî÷íî õîðîøèå ÷èòàòåëü íàéä¼ò, íàïðèìåð, â [12]. Ýòî, â ÷àñòíîñòè,
âñå ìíîãîîáðàçèÿ è êëåòî÷íûå ïðîñòðàíñòâà.
19
òèé p : E → B è p′ : E ′ → B ïðîñòðàíñòâà B åñëè äèàãðàììà
Eg
//
p@@
@@@@
@@E ′
p′~~
B
êîììóòàòèâíà.8
Íàêðûòèÿ ïðîñòðàíñòâà B îòíîñèòåëüíî òîëüêî ÷òî îïðåäåë¼ííûõ
ìîðôèçìîâ îáðàçóþò êàòåãîðèþ Cov(B) íàêðûòèé B.
È â çàêëþ÷åíèå ïðèâåä¼ì ïðèìåðû êîíñòðóèðîâàíèÿ íîâûõ êàòåãî-
ðèé èç çàäàííûõ.
o) Ôàêòîðêàòåãîðèÿ. Ïóñòü C íåêîòîðàÿ êàòåãîðèÿ. Îòíîøåíèå
êîíãðóýíòíîñòè R íà C ýòî çàäàíèå äëÿ êàæäîé ïàðû å¼ îáúåêòîâ
X, Y îòíîøåíèÿ ýêâèâàëåíòíîñòè RX,Y íà ìíîæåñòâå HomC(X, Y ), ïðè-
÷¼ì ýòè îòíîøåíèÿ äîëæíû áûòü ñîãëàñîâàíû ñ êîìïîçèöèåé ìîðôèç-
ìîâ. Ïîñëåäíåå îçíà÷àåò, ÷òî åñëè ìîðôèçìû f1, f2 : X → Y ýêâèâàëåíò-
íû â ñìûñëå îòíîøåíèÿ RX,Y , à ìîðôèçìû g1, g2 : Y → Z â ñìûñëå
îòíîøåíèÿ RY,Z , òî èõ êîìïîçèöèè g1f1 è g2f2 : X → Z ýêâèâàëåíòíû
â ñìûñëå îòíîøåíèÿ RX,Z .
Äëÿ äàííîãî îòíîøåíèÿ êîíãðóýíòíîñòè R íà C ìîæíî îïðåäåëèòü
òàê íàçûâàåìóþ ôàêòîðêàòåãîðèþ C/R êàê êàòåãîðèþ ñ òåìè æå îáúåê-
òàìè ÷òî è C, íî ñ êëàññàìè ýêâèâàëåíòíîñòè ìîðôèçìîâ èç C â êà÷åñòâåìîðôèçìîâ. Òî åñòü
HomC/R(X, Y ) = HomC(X, Y )/RX,Y .
Êîìïîçèöèÿ ìîðôèçìîâ â C/R êîððåêòíî îïðåäåëåíà, ïîñêîëüêó R
îòíîøåíèå êîíãðóýíòíîñòè.
Âûøå ìû óæå âèäåëè, ÷òî ìîíîèäû è ãðóïïû ìîãóò ðàññìàòðèâàòüñÿ
êàê êàòåãîðèè ñ åäèíñòâåííûì îáúåêòîì.  ýòîì ñëó÷àå ïîíÿòèå ôàê-
òîðêàòåãîðèè ñîâïàäàåò ñ ïîíÿòèÿìè ôàêòîðìîíîèäà è ôàêòîðãðóïïû.
8Â óêàçàííîé äèàãðàììå èç âåðøèíû E â âåðøèíó B ìîæíî ïîïàñòü äâèãàÿñü ëèáî ïî ñòðåë-
êå p, ëèáî ïî êîìïîçèöèè ñòðåëîê p′ g. Òåðìèí êîììóòàòèâíîñòü è îçíà÷àåò ñîâïàäåíèå äâóõ
âîçìîæíûõ ïóòåé, òî åñòü p = p′ g. Âîîáùå, â òåîðèè êàòåãîðèé êîììóòàòèâíàÿ äèàãðàììà ýòî
äèàãðàììà, ñîñòàâëåííàÿ èç îáúåêòîâ â êà÷åñòâå âåðøèí è ìîðôèçìîâ â êà÷åñòâå ñòðåëîê, ñîåäè-
íÿþùèõ âåðøèíû, òàêàÿ ÷òî âñå íàïðàâëåííûå ïóòè ñ îäèíàêîâûìè íà÷àëîì è êîíöîì ïðèâîäÿò ê
îäèíàêîâîìó ðåçóëüòàòó îòíîñèòåëüíî êîìïîçèöèè. Êîììóòàòèâíûå äèàãðàììû èãðàþò â òåîðèè
êàòåãîðèé ïðèìåðíî òàêóþ æå ðîëü, ÷òî è ðàâåíñòâà â àëãåáðå.
20
Äðóãèì ïðèìåðîì ôàêòîðêàòåãîðèè ÿâëÿåòñÿ ðàññìîòðåííàÿ â ïðèìåðå
i) ãîìîòîïè÷åñêàÿ êàòåãîðèÿ hT op (â êà÷åñòâå C íóæíî âçÿòü êàòåãî-
ðèþ òîïîëîãè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâ è íåïðåðûâíûõ îòîáðàæåíèé T op, à âêà÷åñòâå RX,Y îòíîøåíèå ãîìîòîïíîñòè íà ìíîæåñòâå íåïðåðûâíûõ
îòîáðàæåíèé X → Y ).
p) Êàòåãîðèÿ çàïÿòîé.9 Ïóñòü ñíîâà C íåêîòîðàÿ êàòåãîðèÿ. Ôèêñè-
ðóåì íåêîòîðûé îáúåêò S ∈ Ob(C) è ïîñòðîèì íîâóþ êàòåãîðèþ CS îáú-åêòîâ íàä S ñëåäóþùèì îáðàçîì. Îáúåêòû CS ýòî âñåâîçìîæíûå ïàðû
(X, φ), ãäå X ∈ Ob(C), φ ∈ HomC(X, S). Ìîðôèçì èç (X, φ) ∈ Ob(CS)â (Y, ψ) ∈ Ob(CS) ýòî ìîðôèçì f ∈ HomC(X, Y ) òàêîé ÷òî φ = ψ f,ò.å. äèàãðàììà
Xφ
f// Y
ψ~~
S
êîììóòàòèâíà. Ñ ýòîé êîíñòðóêöèåé ìû íåîäíîêðàòíî áóäåì âñòðå÷àòü-
ñÿ â äàëüíåéøåì. Èìååòñÿ òàêæå äóàëüíàÿ âåðñèÿ CS ýòîé êîíñòðóê-
öèè, êîãäà âìåñòî îáúåêòîâ (X, φ), φ ∈ HomC(X, S) ðàññìàòðèâàþòñÿ
îáúåêòû (X, φ), φ ∈ HomC(S, X).
q) Çàôèêñèðóåì ìíîæåñòâî S. Ïóñòü C êàòåãîðèÿ, îáúåêòàìè êîòî-
ðîé ÿâëÿþòñÿ ïðîèçâîëüíûå îòîáðàæåíèÿ f : S → G, ãäå G íåêîòîðàÿ
ãðóïïà (êîòîðàÿ â äàííîì ñëó÷àå ðàññìàòðèâàåòñÿ ïðîñòî êàê ìíîæå-
ñòâî). Îáîçíà÷èì òàêîé îáúåêò (G, f). Ìîðôèçì â C èç îáúåêòà (G, f)
â îáúåêò (H, g) ãîìîìîðôèçì ãðóïï φ : G→ H òàêîé, ÷òî äèàãðàììà
Sf
//
g
G
φ~~
H
êîììóòàòèâíà (òî åñòü g è êîìïîçèöèÿ φ f ñîâïàäàþò êàê îòîáðàæå-
íèÿ ìíîæåñòâ S → H). Ïîñòðîåííàÿ êàòåãîðèÿ íèæå áóäåò èñïîëüçîâàíà
äëÿ ôîðìóëèðîâêè óíèâåðñàëüíîãî ñâîéñòâà ñâîáîäíîé ãðóïïû, ïîðîæ-
äåííîé ìíîæåñòâîì S.
r) Çàôèêñèðóåì ïîëå k è íàáîð âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâ U1, . . . , Un íàä
ýòèì ïîëåì (äëÿ ïðîñòîòû ÷èòàòåëü ìîæåò âñå ïðîñòðàíñòâà ñ÷èòàòü êî-
íå÷íîìåðíûìè). Ðàññìîòðèì êàòåãîðèþ C, îáúåêòàìè êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ9íàçûâàåìàÿ ïî-àíãëèéñêè comma category.
21
ïàðû (V, f), ñîñòîÿùèå èç âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà V (íàä òåì æå ïî-
ëåì) è ïîëèëèíåéíîãî îòîáðàæåíèÿ f : U1 × . . .× Un → V . Ìîðôèçì èç
îáúåêòà (V, f) â îáúåêò (W, g) ïî îïðåäåëåíèþ ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå
φ : V → W, ïðåâðàùàþùåå äèàãðàììó
U1 × . . .× Unf
//
g
V
φwwppp
pppppp
ppppp
W
â êîììóòàòèâíóþ. Òî åñòü g è φ f ñîâïàäàþò êàê ïîëèëèíåéíûå îòîá-
ðàæåíèÿ U1× . . .×Un → W. Ïîñòðîåííàÿ êàòåãîðèÿ íèæå áóäåò èñïîëü-
çîâàíà äëÿ ôîðìóëèðîâêè óíèâåðñàëüíîãî ñâîéñòâà òåíçîðíîãî ïðîèçâå-
äåíèÿ âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâ U1, . . . , Un.
Äðóãèå ïîäîáíûå ïðèìåðû èñêóññòâåííî ïîñòðîåííûõ êàòåãîðèé
âñòðåòÿòñÿ â äàëüíåéøåì, â ÷àñòíîñòè, ïðè îáñóæäåíèè óíèâåðñàëüíûõ
îáúåêòîâ.
1.3 Ñóììà è ïðîèçâåäåíèå â êàòåãîðèè
Ïðèâåäåííûå âûøå îïðåäåëåíèÿ è ðàññìîòðåííûå ïðèìåðû ïîêàçûâàþò,
÷òî òåîðèþ êàòåãîðèé ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê íåêîòîðûé ìàòåìàòè-
÷åñêèé ÿçûê, êîòîðûé ïðèçâàí îïèñûâàòü íå ñòðóêòóðó îáúåêòîâ (êàê
ýòî äåëàåò ÿçûê òåîðèè ìíîæåñòâ), à èõ ñâÿçè (âûðàæàåìûå ïîñðåä-
ñòâîì ìîðôèçìîâ) ñ äðóãèìè îáúåêòàìè òîé æå êàòåãîðèè. Ïðîñòåéøåå
êîíêðåòíîå âûñêàçûâàíèå íà ýòîì ÿçûêå ñîñòîèò â òîì, ÷òî íåêîòîðàÿ
êîìïîçèöèÿ ìîðôèçìîâ ðàâíà íåêîòîðîé äðóãîé êîìïîçèöèè, ñêàæåì
g f = f ′ g′. Òàêîå òîæäåñòâî óäîáíî ïðåäñòàâëÿòü êàê ñîâïàäåíèå
äâóõ âîçìîæíûõ ïóòåé èç X â Z âäîëü ñòðåëîê â äèàãðàììå
Xf
//
g′
Yg
Uf ′
// Z.
Ïðî òàêóþ äèàãðàììó ãîâîðÿò, ÷òî îíà êîììóòàòèâíà (ìû óæå ïîëüçî-
âàëèñü ýòîé òåðìèíîëîãèåé â ïðèìåðàõ n), p), q), r) ïðåäûäóùåãî ïàðà-
ãðàôà).
22
Íèæå â ýòîì ïàðàãðàôå ìû ðàññìàòðèâàåì îïðåäåëåíèÿ ñóììû10 è
ïðîèçâåäåíèÿ îáúåêòîâ ïðîèçâîëüíîé êàòåãîðèè (íà ïðîñòåéøåì ïðèìå-
ðå äâóõ îáúåêòîâ). Ýòî äàñò íàì ïåðâûå ïðèìåðû êàòåãîðíûõ êîíñòðóê-
öèé.
 òåîðèè ìíîæåñòâ èçâåñòíà îïåðàöèÿ íåñâÿçíîãî îáúåäèíåíèÿ
X⨿Y äâóõ ïðîèçâîëüíûõ ìíîæåñòâ X è Y (êîòîðûå íå ïðåäïîëàãà-
þòñÿ ñîäåðæàùèìèñÿ â åäèíîì ìíîæåñòâå). Ïî íåêîòîðûì ñîîáðàæåíè-
ÿì, ñìûñë êîòîðûõ áóäåò ÿñåí èç äàëüíåéøåãî, îáîçíà÷èì X⨿Y ÷åðåç
X + Y è áóäåì íàçûâàòü ñóììîé ìíîæåñòâ X è Y . Äëÿ X + Y îïðåäå-
ëåíû êàíîíè÷åñêèå âëîæåíèÿ iX : X → X + Y è iY : Y → X + Y . Ïóñòü
òåïåðü Z ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî, â êîòîðîå çàäàíà ïàðà îòîáðàæå-
íèé u : X → Z, v : Y → Z. Òîãäà ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííî òàêîå
îòîáðàæåíèå h : X + Y → Z, ÷òî äèàãðàììà
XiX //
u$$H
HHHH
HHHH
H X + Y
h
YiYoo
vzzvvvvvvvvvv
Z
(1.3)
êîììóòàòèâíà (ò.å. h iX = u, h iY = v). Î÷åâèäíî, ÷òî òàêîå h
çàäàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
äëÿ ïðîèçâîëüíîãî t ∈ X⨿Y h(t) =
u(t), åñëè t ∈ X;
v(t), åñëè t ∈ Y .
Íàä ìíîæåñòâàìè åñòü òàêæå îïåðàöèÿ ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ, ñî-
ïîñòàâëÿþùàÿ ïàðå ìíîæåñòâ X, Y ìíîæåñòâî X × Y (ñîñòîÿùåå èç
ïàð (x, y), x ∈ X, y ∈ Y ). Äëÿ ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ X × Y îïðåäå-
ëåíû êàíîíè÷åñêèå ïðîåêöèè πX : X × Y → X, (x, y) 7→ x, πY : X ×Y → Y, (x, y) 7→ y. Ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå ìíîæåñòâ X × Y îáëàäà-
åò ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì: äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà Z è îòîáðàæåíèé
u : Z → X, v : Z → Y ñóùåñòâóåò è ïðèòîì òîëüêî îäíî îòîáðàæå-
íèå h : Z → X × Y, äåëàþùåå äèàãðàììó
X X × YπXooπY // Y
Z
h
OO
v
::vvvvvvvvvvu
ddHHHHHHHHHH(1.4)
10äðóãîå íàçâàíèå êàòåãîðíîé ñóììû êîïðîèçâåäåíèå, ïðè÷èíà òàêîãî íàçâàíèÿ ñòàíåò ÿñíà â
äàëüíåéøåì ïðè çíàêîìñòâå ñ ïîíÿòèåì äóàëüíîé êàòåãîðèè.
23
êîììóòàòèâíîé (ò.å. πXh = u, πY h = v). Î÷åâèäíî, ÷òî íà ýëåìåíòàõ
îòîáðàæåíèå h çàäàåòñÿ ñëåäóþùåé ôîðìóëîé: h(z) = (u(z), v(z)) ∀z ∈Z.
Ìû âèäèì, ÷òî îïðåäåëåíèÿ ñóììû è ïðîèçâåäåíèÿ ìíîæåñòâ ìîãóò
áûòü äàíû â ÷èñòî êàòåãîðíûõ òåðìèíàõ ñ ïîìîùüþ äèàãðàìì (1.3) è
(1.4), è ïîýòîìó îïðåäåëåíèÿ ñóììû è ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ îáúåêòîâ ïåðå-
íîñÿòñÿ íà ïðîèçâîëüíóþ êàòåãîðèþ C.11 Òàêèì îáðàçîì, ìû ïðèõîäèì
ê ñëåäóþùåìó îïðåäåëåíèþ.
Îïðåäåëåíèå 6. Ñóììîé îáúåêòîâ X, Y ∈ Ob(C) íàçûâàåòñÿ îáúåêò âC, îáîçíà÷àåìûé X + Y , çàäàííûé âìåñòå ñ ïàðîé ìîðôèçìîâ iX : X →X + Y, iY : Y → X + Y, äëÿ êîòîðîãî âûïîëíåíî ñëåäóþùåå óñëîâèå:
äëÿ ëþáîé òðîéêè, ñîñòîÿùåé èç îáúåêòà Z ∈ Ob(C) è ïàðû ìîðôèçìîâ
u : X → Z, v : Y → Z ñóùåñòâóåò è ïðèòîì åäèíñòâåííûé ìîðôèçì
h : X + Y → Z, äåëàþùèé äèàãðàììó (1.3) êîììóòàòèâíîé.
Ïðîèçâåäåíèå îïðåäåëÿåòñÿ àíàëîãè÷íî ñ èñïîëüçîâàíèåì äèàãðàì-
ìû (1.4).12
Òàêèì îáðàçîì, â êàòåãîðèè Set ñóììà è ïðîèçâåäåíèå ïðîèçâîëü-
íûõ äâóõ îáúåêòîâ ñóùåñòâóþò è ñîâïàäàþò ñîîòâåòñòâåííî ñ íåñâÿçíûì
îáúåäèíåíèåì è ïðÿìûì ïðîèçâåäåíèåì ìíîæåñòâ.
Ïðèìåðû. a) Ïîêàæåì, ÷òî â êàòåãîðèè T op òîïîëîãè÷åñêèõ ïðî-
ñòðàíñòâ è íåïðåðûâíûõ îòîáðàæåíèé (ñì. ïðèìåð b) èç §1.2) êàòå-
ãîðíûì ïðîèçâåäåíèåì ÿâëÿåòñÿ îáû÷íîå ïðîèçâåäåíèå òîïîëîãè÷åñêèõ
ïðîñòðàíñòâ. Èòàê, ïóñòü (X, OX), (Y, OY ) òîïîëîãè÷åñêèå ïðîñòðàí-
ñòâà ñ òîïîëîãèÿìè OX , OY ñîîòâåòñòâåííî. Íàïîìíèì [9], ÷òî èõ ïðî-
èçâåäåíèå åñòü ìíîæåñòâî X × Y ñ òîïîëîãèåé ïðîèçâåäåíèÿ OX×Y (å¼
áàçó îáðàçóþò âñå ïîäìíîæåñòâà âèäà U × V, U ∈ OX , V ∈ OY ). Âî-ïåðâûõ, ïîêàæåì ÷òî îòîáðàæåíèÿ πX : X × Y → X, πY : X × Y → Y
íåïðåðûâíû. Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ îòêðûòîãî U ⊂ X ïðîîáðàç π−1X (U) =
U × Y îòêðûò â òîïîëîãèè ïðîèçâåäåíèÿ íà X × Y, àíàëîãè÷íî äëÿ
πY : X × Y → Y . Äëÿ òîãî, ÷òîáû äîêàçàòü, ÷òî òîïîëîãè÷åñêîå ïðî-
ñòðàíñòâî (X × Y, OX×Y ) äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ êàòåãîðíûì ïðîèçâå-
11çàìåòèì, ÷òî äèàãðàììàìè (1.3) è (1.4) ñóììà è ïðîèçâåäåíèå îïðåäåëÿþòñÿ íå îäíîçíà÷íî, à
òîëüêî ñ òî÷íîñòüþ äî êàíîíè÷åñêîãî èçîìîðôèçìà ñì. êîíåö ýòîãî ïàðàãðàôà.12ñðàçó îòìåòèì, ÷òî ñóììà è ïðîèçâåäåíèå â ïðîèçâîëüíîé êàòåãîðèè ìîãóò íå ñóùåñòâîâàòü.
24
äåíèåì ïðîñòðàíñòâ (X, OX), (Y, OY ), äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü, ÷òî äëÿ
ïðîèçâîëüíîãî òîïîëîãè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà (Z, OZ) è ïàðû íåïðå-
ðûâíûõ îòîáðàæåíèé u : Z → X, v : Z → Y, îòîáðàæåíèå h : Z →X × Y, h(z) = (u(z), v(z)) ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíûì (åäèíñòâåííîñòü h
ñ òðåáóåìûìè ñâîéñòâàìè âûòåêàåò èç òîãî, ÷òî h åäèíñòâåííîå îòîá-
ðàæåíèå ìíîæåñòâ Z → X×Y òàêîå ÷òî πX h = u, πY h = v). Ëåãêî
ïðîâåðèòü, ÷òî h−1(U × V ) = u−1(U)∩ v−1(V ), òî åñòü îòêðûòî â Z äëÿ
îòêðûòûõ U ⊂ X, V ⊂ Y . Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ïðîîáðàç ëþáîãî îòêðû-
òîãî ìíîæåñòâà, ïðèíàäëåæàùåãî áàçå òîïîëîãèè íà X×Y, îòêðûò â Z,òî åñòü h äåéñòâèòåëüíî íåïðåðûâíî.
Ñóììîé â êàòåãîðèè T op ÿâëÿåòñÿ òàê íàçûâàåìàÿ íåñâÿçíàÿ ñóììà
òîïîëîãè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâ, îïðåäåëÿåìàÿ î÷åâèäíûì îáðàçîì.
a′) Ýòîò ïðèìåð íåáîëüøàÿ ìîäèôèêàöèÿ ïðåäûäóùåãî. Ðàññìîòðèì
ñëåäóþùèé âàðèàíò PT op êàòåãîðèè T op: îáúåêòû êàòåãîðèè PT op ýòî òîïîëîãè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà ñ îòìå÷åííîé òî÷êîé, òî åñòü ïàðû
(X, x0), ãäå x0 ∈ X. Ìîðôèçìû f ∈ HomPT op((X, x0), (Y, y0)) ýòî
òàêèå íåïðåðûâíûå îòîáðàæåíèÿ f : X → Y, ÷òî f(x0) = y0 (òî åñòü
îòîáðàæàþò îòìå÷åííóþ òî÷êó â îòìå÷åííóþ òî÷êó). Ëåãêî ïðîâåðèòü,
÷òî â ýòîé êàòåãîðèè ïðîèçâåäåíèå îáúåêòîâ (X, x0)× (Y, y0) ýòî ïà-
ðà (X × Y, (x0, y0)), à ñóììà (X, x0) + (Y, y0) ýòî òàê íàçûâàåìûé
áóêåò (X, x0) ∨ (Y, y0), òî åñòü îáû÷íîå íåñâÿçíîå îáúåäèíåíèå ñ îòîæ-
äåñòâëåííûìè îòìå÷åííûìè òî÷êàìè (ôîðìàëüíî, ôàêòîðïðîñòðàíñòâî
ïðîñòðàíñòâà X⨿Y ïî îòíîøåíèþ ýêâèâàëåíòíîñòè z ∼ w ⇔ ëèáî
z = w ëèáî z = x0, w = y0). Íàïðèìåð, áóêåò äâóõ îêðóæíîñòåé ýòî
âîñüìåðêà ∞.
b) Â êàòåãîðèè àáåëåâûõ ãðóïï Ab13 (ñì. ïðèìåð e) èç §1.2) ïðÿìàÿñóììà A⊕B îáëàäàåò è âëîæåíèÿìè
AiA→ A⊕B, a 7→ (a, 0), B
iB→ A⊕B, b 7→ (0, b),
è êàíîíè÷åñêèìè ïðîåêöèÿìè
A⊕B πA→ A, (a, b) 7→ a, A⊕B πB→ B, (a, b) 7→ b.
Ïîêàæåì, ÷òî (A ⊕ B, iA, iB) ñóììà îáúåêòîâ A è B â êàòåãî-
ðèè Ab. Ïóñòü C åù¼ îäíà àáåëåâà ãðóïïà, à u : A → C, v : B →13è äàæå ìîäóëåé íàä çàäàííûì êîëüöîì
25
C íåêîòîðûå ãîìîìîðôèçìû. Ïîïðîáóåì îïðåäåëèòü ãîìîìîðôèçì
w : A⊕B → C, ïðåâðàùàþùèé äèàãðàììó, àíàëîãè÷íóþ (1.3), â êîììó-
òàòèâíóþ. Èìååì:
w(a, b) = w((a, 0) + (0, b)) = w(a, 0) + w(0, b) =
w(iA(a)) + w(iB(b)) = u(a) + v(b).
Îòñþäà ìû âèäèì, ÷òî îïðåäåëèòü w(a, b) = u(a) + v(b) åäèíñòâåí-
íûé ñïîñîá îïðåäåëèòü ãîìîìîðôèçì w, ïðåâðàùàþùèé äèàãðàììó â
êîììóòàòèâíóþ. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, òàêîå w äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ ãî-
ìîìîðôèçìîì:
w((a1, b1) + (a2, b2)) = w(a1 + a2, b1 + b2) = u(a1 + a2) + v(b1 + b2) =
u(a1) + u(a2) + v(b1) + v(b2) = (u(a1) + v(b1)) + (u(a2) + v(b2)) =
w(a1, b1) + w(a2, b2).
Çàäà÷à. Ïîêàæèòå, ÷òî (A ⊕ B, πA, πB) ïðîèçâåäåíèå îáúåêòîâ
A è B â êàòåãîðèè Ab. (Óêàçàíèå: ïðîâåðèòü, ÷òî îòîáðàæåíèå
w : C → A ⊕ B, w(c) = (u(c), v(c)) åäèíñòâåííûé ãîìîìîðôèçì,
ïðåâðàùàþùèé äèàãðàììó, àíàëîãè÷íóþ (1.4), â êîììóòàòèâíóþ.)
Ìû âèäèì, ÷òî äëÿ A ⊕ B âûïîëíåíû óñëîâèÿ, îïèñûâàåìûå êàê
äèàãðàììîé (1.3), òàê è äèàãðàììîé (1.4). Òàêèì îáðàçîì, â êàòåãîðèè
Ab ñóììà è ïðîèçâåäåíèå îáúåêòîâ ñîâïàäàþò.
b′)  ñëó÷àå æå êàòåãîðèè âñåõ ãðóïï Gr (ñì. ïðèìåð d) èç §1.2) äå-ëî îáñòîèò ïî-äðóãîìó. Äëÿ ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ G × H îïðåäåëåíû
êàíîíè÷åñêèå ãîìîìîðôèçìû G × H → G è G × H → H, ïðè÷åì âû-
ïîëíåíû óñëîâèÿ, èçîáðàæåííûå äèàãðàììîé (1.4). Íî õîòÿ âëîæåíèÿ
f : G → G × H è g : H → G × H è îïðåäåëåíû, ñâîéñòâî, îïèñûâàå-
ìîå äèàãðàììîé (1.3), íå èìååò ìåñòà. ×òîáû ïîêàçàòü ýòî, äîñòàòî÷íî
âçÿòü â êà÷åñòâå K ãðóïïó, èìåþùóþ ïîäãðóïïû, èçîìîðôíûå G è H,
íî òàêèå, ÷òî èõ ýëåìåíòû ïîïàðíî íå êîììóòèðóþò (ìîæíî ïîêàçàòü,
÷òî òàêàÿ ãðóïïà ñóùåñòâóåò ïðè G = e, H = e ñì. íèæå), à çà u
è v èçîìîðôèçìû G è H ñ ýòèìè ïîäãðóïïàìè.
26
Òàê êàê â G×H ýëåìåíòû âèäà f(α), α ∈ G êîììóòèðóþò ñ ýëåìåí-
òàìè âèäà g(β), β ∈ H, òî íè ïðè êàêîì ãîìîìîðôèçìå h äèàãðàììà
Gf
//
u$$H
HHHH
HHHH
H G×Hh
Hg
oo
vzzvvvvvvvvvv
K
íå áóäåò êîììóòàòèâíîé. (Äåéñòâèòåëüíî, ïî óñëîâèþ ñóùåñòâóþò
α ∈ G, β ∈ H òàêèå ÷òî u(α)v(β)u(α)−1v(β)−1 = e. Îäíàêî
f(α)g(β)f(α)−1g(β)−1 = e â G × H, ïîýòîìó åñëè áû ñóùåñòâîâàë ãî-
ìîìîðôèçì h ñ òðåáóåìûìè ñâîéñòâàìè, òî ìû áû èìåëè
e = h(e) = h(f(α)g(β)f(α)−1g(β)−1) =
h(f(α))h(g(β))h(f(α))−1h(g(β))−1 = u(α)v(β)u(α)−1v(β)−1 = e
ïðîòèâîðå÷èå.)
Îäíàêî â êàòåãîðèè Gr ñóììà âñå æå ñóùåñòâóåò è åå êîíñòðóêöèÿ íà-çûâàåòñÿ ñâîáîäíûì ïðîèçâåäåíèåì ãðóïï G è H è îáîçíà÷àåòñÿ G ∗H.
Ýòî ãðóïïà, ïîðîæäåííàÿ äâóìÿ ïîäãðóïïàìè G′ è H ′, èçîìîðôíûìè
G è H, â êîòîðîé èõ ýëåìåíòû íå ñâÿçàíû íèêàêèìè ñîîòíîøåíèÿìè,
êðîìå âûïîëíÿþùèõñÿ â G′ è H ′ ïî îòäåëüíîñòè (ìîðôèçìû iG è iH
èçîìîðôíûå âëîæåíèÿ G→ G∗H, H → G∗H, ÷üè îáðàçû ñóòü G′ è H ′
ñîîòâåòñòâåííî).  ÷àñòíîñòè, ñâîáîäíîå ïðîèçâåäåíèå äâóõ ñâîáîäíûõ
öèêëè÷åñêèõ ãðóïï Z ýòî ñâîáîäíàÿ ãðóïïà F2 ñ äâóìÿ îáðàçóþùè-
ìè.14 Ò.ê. ãðóïïû Z⊕Z è Z∗Z = F2 íå èçîìîðôíû äðóã äðóãó (íàïðèìåð,
ïîñëåäíÿÿ ãðóïïà äàæå íå ÿâëÿåòñÿ àáåëåâîé), ìû âèäèì, ÷òî ïðîèçâå-
äåíèå äâóõ àáåëåâûõ ãðóïï çàâèñèò îò òîãî, ðàññìàòðèâàåì ëè ìû èõ
êàê îáúåêòû êàòåãîðèè àáåëåâûõ ãðóïï Ab èëè âñåõ ãðóïï Gr .Äëÿ ÷èòàòåëÿ, çíàêîìîãî ñ ïðåäñòàâëåíèåì ãðóïï îáðàçóþùèìè è ñî-
îòíîøåíèÿìè, ïðèâåä¼ì â êà÷åñòâå åù¼ îäíîãî ïðèìåðà ñâîáîäíîãî ïðî-
èçâåäåíèÿ êðàñèâîå îïèñàíèå ãðóïïû Z2 ∗Z3. Ïóñòü Γ òàê íàçûâàåìàÿ
ìîäóëÿðíàÿ ãðóïïà, ñîñòîÿùàÿ èç äðîáíî-ëèíåéíûõ ïðåîáðàçîâàíèé
z 7→ az + b
cz + d, a, b, c, d ∈ Z
14êîíñòðóêöèÿ ñâîáîäíîé ãðóïïû áóäåò äàíà â ñëåäóþùåì ïàðàãðàôå.
27
âåðõíåé êîìïëåêñíîé ïîëóïëîñêîñòè H = z | Im(z) > 0. Ëåãêî âèäåòü,÷òî
Γ ∼= SL2(Z)/±E,
ãäå SL2(Z) ãðóïïà öåëî÷èñëåííûõ 2 × 2-ìàòðèö ñ îïðåäåëèòåëåì
1. Ãðóïïà Γ ïîðîæäàåòñÿ äâóìÿ ïðåîáðàçîâàíèÿìè S, S(z) = −1/z è
T, T (z) = z+1, òî åñòü ëþáîé ýëåìåíò Γ ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí (íåîä-
íîçíà÷íî) â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ ñòåïåíåé S è T . ÏóñòüD ïîäìíîæåñòâî
â H, ñîñòîÿùåå èç òàêèõ òî÷åê z, ÷òî |z| ≥ 1 è |Re(z)| ≤ 1/2. Íà ðèñóíêå
íèæå ïîêàçàíû ïðåîáðàçîâàíèÿ îáëàñòè D (êîòîðàÿ çàøòðèõîâàíà) ïîä
äåéñòâèåì ýëåìåíòîâ
1, T, TS, ST−1S, ST−1, S, ST, STS, T−1S, T−1
ãðóïïû Γ (ρ = e2πi/3).
Îáðàçóþùèå S è T óäîâëåòâîðÿþò ñëåäóþùèì ñîîòíîøåíèÿì: S2 = e
è (ST )3 = e. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ýòî ïîëíîå ìíîæåñòâî ñîîòíîøå-
íèé; òàêèì îáðàçîì, ìîäóëÿðíàÿ ãðóïïà èìååò ñëåäóþùåå ïðåäñòàâëåíèå
îáðàçóþùèìè è ñîîòíîøåíèÿìè:
Γ ∼= ⟨S, T | S2 = e, (ST )3 = e⟩.
Èñïîëüçóÿ îáðàçóþùèå S è ST âìåñòî S è T , ìû ïîëó÷àåì, ÷òî ìîäóëÿð-
íàÿ ãðóïïà èçîìîðôíà ñâîáîäíîìó ïðîèçâåäåíèþ Z2 ∗ Z3 öèêëè÷åñêèõ
28
ãðóïï Z2 è Z3.  ÷àñòíîñòè, ìû âèäèì, ÷òî îíî èìååò ìàëî îáùåãî ñ
Z2 ⊕ Z3∼= Z6 êàòåãîðíîé ñóììîé ãðóïï Z2 è Z3 â êàòåãîðèè Ab.
c) Ðàçáåðåì åùå îäèí ïðèìåð. Ðàññìîòðèì êàòåãîðèþ êîììóòàòèâíûõ
àëãåáð ñ åäèíèöåé15 íàä çàäàííûì ïîëåì k16, ìîðôèçìàìè â êîòîðîé
ÿâëÿþòñÿ ãîìîìîðôèçìû àëãåáð íàä k, ïåðåâîäÿùèå åäèíèöó â åäèíè-
öó.17 Ïðÿìàÿ ñóììà A⊕B è åå êàíîíè÷åñêèå ïðîåêöèè πA : A⊕B → A
è πB : A ⊕ B → B îáëàäàþò ñâîéñòâàìè, îïèñûâàåìûìè äèàãðàììîé
(1.4). Äåéñòâèòåëüíî, ëåãêî âèäåòü, ÷òî äëÿ ïðîèçâîëüíîé óíèòàëüíîé
k-àëãåáðû C è óíèòàëüíûõ ãîìîìîðôèçìîâ u : C → A, v : C → B îòîá-
ðàæåíèå
h : C → A⊕B, h(c) = (u(c), v(c))
åäèíñòâåííûé óíèòàëüíûé ãîìîìîðôèçì, êîòîðûé äåëàåò äèàãðàììó,
àíàëîãè÷íóþ (1.4), êîììóòàòèâíîé.
Õîòÿ èìåþòñÿ åñòåñòâåííûå âëîæåíèÿ f : A → A ⊕ B, f(a) = (a, 0)
è g : B → A⊕B, g(b) = (0, b), íî îíè íå óíèòàëüíû, äà è âîîáùå àíàëîã
äèàãðàììû (1.3) ìåñòà íå èìååò: äåëî â òîì, ÷òî äëÿ ýëåìåíòîâ a ∈ A è
b ∈ B â A⊕ B âñåãäà f(a)g(b) = 0, íî ìîæåò ñóùåñòâîâàòü óíèòàëüíàÿ
àëãåáðà C, ñîäåðæàùåå óíèòàëüíûå ïîäàëãåáðû A′ è B′, èçîìîðôíûå
A è B, äëÿ êîòîðûõ a′b′ = 0 äëÿ íåêîòîðûõ a′ ∈ A′, b′ ∈ B′, è òîãäà
ãîìîìîðôèçìà h : A⊕B → C ñ íóæíûìè ñâîéñòâàìè íåò, åñëè â êà÷åñòâå
u âçÿòü êîìïîçèöèþ èçîìîðôèçìà A → A′ ñ âëîæåíèåì A′ → C, à â
êà÷åñòâå v êîìïîçèöèþ èçîìîðôèçìà B → B′ ñ âëîæåíèåì B′ → C.
Äåéñòâèòåëüíî, âûáåðåì a ∈ A è b ∈ B òàêèå ÷òî u(a) = a′, v(b) =
b′. Òîãäà, åñëè áû h ñ íóæíûìè ñâîéñòâàìè ñóùåñòâîâàëî, òî, ñ îäíîé
ñòîðîíû,
h(f(a)g(b)) = h(0) = 0,
à ñ äðóãîé
h(f(a)g(b)) = h(f(a))h(g(b)) = u(a)v(b) = a′b′ = 0
ïðîòèâîðå÷èå.
 êà÷åñòâå êîíêðåòíîãî ïðèìåðà ìîæíî âçÿòü A = B = k[t], C =
k[x, y] è ãîìîìîðôèçìû u : A→ C, v : B → C, îïðåäåëåííûå óñëîâèÿìè
15àëãåáðà ñ åäèíèöåé íàçûâàåòñÿ òàêæå óíèòàëüíîé àëãåáðîé.16âìåñòî ïîëÿ â äàííîì ïðèìåðå ìîæíî âçÿòü ïðîèçâîëüíîå êîììóòàòèâíîå êîëüöî.17òàêèå ãîìîìîðôèçìû íàçûâàåòñÿ òàêæå óíèòàëüíûìè.
29
u(t) = x, v(t) = y ñîîòâåòñòâåííî, óñòàíàâëèâàþùèå èçîìîðôèçìû k[t]
ñ ïîäàëãåáðàìè k[x] ⊂ k[x, y] è k[y] ⊂ k[x, y] ñîîòâåòñòâåííî.
Ðîëü ñóììû â ðàññìàòðèâàåìîé êàòåãîðèè èãðàåò òåíçîðíîå ïðîèç-
âåäåíèå A⊗kB àëãåáð íàä k âìåñòå ñ ìîðôèçìàìè
iA : A→ A⊗kB, iA(a) = a⊗ 1B è iB : B → A⊗
kB, iB(b) = 1A ⊗ b,
ãäå 1A è 1B åäèíèöû ñîîòâåòñòâåííî â àëãåáðàõ A è B. Íàïîìíèì, ÷òî
êàê âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå àëãåáð A⊗kB ÿâëÿ-
åòñÿ òåíçîðíûì ïðîèçâåäåíèåì ïîäñòèëàþùèõ âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâ
A è B, à óìíîæåíèå íà í¼ì çàäà¼òñÿ ôîðìóëîé
(a⊗ b)(a′ ⊗ b′) = aa′ ⊗ bb′, (1.5)
ãäå a, a′ ∈ A, b, b′ ∈ B. Åäèíèöåé â A⊗kB ÿâëÿåòñÿ 1A ⊗ 1B. Ââèäó (1.5)
èìååì ñîîòíîøåíèå:
iA(a)iB(b) = (a⊗1B)(1A⊗b) = a⊗b = (1A⊗b)(a⊗1B) = iB(b)iA(a). (1.6)
Çàäà÷à. Ïîêàæèòå, ÷òî òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå àëãåáð ìíîãî÷ëåíîâ
îò îäíîé ïåðåìåííîé k[t] è k[s] èçîìîðôíî àëãåáðå ìíîãî÷ëåíîâ îò äâóõ
ïåðåìåííûõ k[x, y].
Ïîêàæåì, ÷òî (A⊗kB, iA, iB) ÿâëÿåòñÿ êàòåãîðíîé ñóììîé A è B.
Ïóñòü f : A→ C è g : B → C óíèòàëüíûå ãîìîìîðôèçìû â êîììóòà-
òèâíóþ àëãåáðó C. Íàì íóæíî ïîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé
ãîìîìîðôèçì àëãåáð h : A⊗kB → C òàêîé ÷òî h iA = f è h iB = g.
Ñíà÷àëà h ìû îïðåäåëèì êàê îòîáðàæåíèå ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâ
A⊗kB → C, à ïîòîì äîêàæåì, ÷òî îí ÿâëÿåòñÿ ãîìîìîðôèçìîì àëãåáð.
Äëÿ ïåðâîé ÷àñòè íàì ïîíàäîáèòñÿ óíèâåðñàëüíîå ñâîéñòâî òåíçîðíîãî
ïðîèçâåäåíèÿ ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâ (ñì. ïðèìåð f) â ñëåäóþùåì ïàðà-
ãðàôå). À èìåííî, ñóùåñòâóåò óíèâåðñàëüíîå áèëèíåéíîå îòîáðàæåíèå
τ : A×B → A⊗kB, τ(a, b) = a⊗ b,
òî åñòü òàêîå áèëèíåéíîå îòîáðàæåíèå, ÷òî äëÿ ëþáîãî áèëèíåéíîãî
îòîáðàæåíèÿ λ : A × B → C â âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî C (íàä òåì æå
30
ïîëåì) ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå h : A⊗kB → C,
äåëàþùåå äèàãðàììóA×B τ //
λ
A⊗kB
hzzuuuuuuuuuu
C
êîììóòàòèâíîé. Â íàøåì ïðèìåðå áèëèíåéíîå îòîáðàæåíèå λ ìû îïðå-
äåëèì ñëåäóþùåé ôîðìóëîé: λ(a, b) = f(a)g(b) ∀a ∈ A, b ∈ B. Èç êîì-ìóòàòèâíîñòè äèàãðàììû ñëåäóåò, ÷òî h(a⊗ b) = h(τ(a, b)) = f(a)g(b).
Ñîãëàñíî (1.6), ãîìîìîðôèçì h ñ òðåáóåìûìè ñâîéñòâàìè (åñëè îí
ñóùåñòâóåò) äîëæåí èìåòü âèä
h(a⊗ b) = h(iA(a)iB(b)) = h(iA(a))h(iB(b)) = f(a)g(b),
÷òî ñîâïàäàåò ñ ôîðìóëîé âûøå. Îòñþäà ñëåäóåò óòâåðæäåíèå î åäèí-
ñòâåííîñòè. Òåïåðü íóæíî ïðîâåðèòü, ÷òî ïðåäûäóùàÿ ôîðìóëà äëÿ h
çàäà¼ò ãîìîìîðôèçì àëãåáð. Íà ðàçëîæèìûõ òåíçîðàõ a⊗ b èìååì:
h(a⊗ b)h(a′ ⊗ b′) = f(a)g(b)f(a′)g(b′) =
f(a)f(a′)g(b)g(b′) = f(aa′)g(bb′) = h(aa′ ⊗ bb′).
Òåïåðü ãîìîìîðôíîñòü h âûòåêàåò èç òîãî, ÷òî ëþáîé ýëåìåíò àëãåáðû
A ⊗ B ÿâëÿåòñÿ êîíå÷íîé ñóììîé ðàçëîæèìûõ òåíçîðîâ a ⊗ b. Ïîñòðî-åííîå îòîáðàæåíèå h ÷àñòî îáîçíà÷àåòñÿ f ⊗ g.d) È, íàêîíåö, ðàññìîòðèì ñóììó è ïðîèçâåäåíèå â êàòåãîðèè P(S),êîòîðàÿ ðàññìàòðèâàëàñü â ïðèìåðå m) íà ñòðàíèöå 19. Îêàçûâàåòñÿ, â
ýòîé êàòåãîðèè ïðîèçâåäåíèå äâóõ îáúåêòîâ, ò.å. ïîäìíîæåñòâX, Y ⊂ S,
åñòü ïåðåñå÷åíèå X ∩ Y ìíîæåñòâ X è Y êàê ïîäìíîæåñòâ â S, à ðîëü
êàíîíè÷åñêèõ ïðîåêöèé èãðàþò âëîæåíèÿ
πX : X ∩ Y → X, πY : X ∩ Y → Y
ïåðåñå÷åíèÿ â êà÷åñòâå ïîäìíîæåñòâà â X è â Y . Äàëåå, ñóììà X è Y
ýòî ïðîñòî îáúåäèíåíèå X ∪ Y ìíîæåñòâ X è Y êàê ïîäìíîæåñòâ â S, à
iX : X → X ∪ Y, iY : Y → X ∪ Y
31
êàíîíè÷åñêèå âëîæåíèÿ. ×èòàòåëþ ïðåäëàãàåòñÿ ïðîâåðèòü ñïðàâåä-
ëèâîñòü ýòèõ óòâåðæäåíèé ñàìîñòîÿòåëüíî.18
Çàäà÷à. Îïèñàòü ñóììó è ïðîèçâåäåíèå â êàòåãîðèè Vectfk (ïîäñêàçêà:ñóììà è ïðîèçâåäåíèå â ýòîé êàòåãîðèè ñîâïàäàþò).
Ïðåäëîæåíèå 7. Äëÿ ëþáûõ äâóõ îáúåêòîâ X, Y ïðîèçâîëüíîé êà-
òåãîðèè C èõ ñóììà X + Y, iX , iY è ïðîèçâåäåíèå X × Y, πX , πY (åñëè,
êîíå÷íî, îíè ñóùåñòâóþò), îïðåäåëåíû îäíîçíà÷íî ñ òî÷íîñòüþ äî êà-
íîíè÷åñêîãî èçîìîðôèçìà.19
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü, íàïðèìåð, (R, iX , iY ) è (S, i′X , i′Y ) ñóììû
îáúåêòîâ X è Y. Òîãäà ñóùåñòâóþò åäèíñòâåííûå ìîðôèçìû h : S →R, k : R→ S, äåëàþùèå êîììóòàòèâíîé äèàãðàììó
XiX //
i′X !!BBB
BBBB
B R
k
YiYoo
i′Y~~
S.
h
OO
Îòñþäà iX = h i′X , i′X = k iX , ò.å. iX = (h k) iX , è àíàëîãè÷íî
iY = (h k) iY . Ìû âèäèì, ÷òî h k äåëàåò ñëåäóþùóþ äèàãðàììó
XiX //
iX AA
AAAA
AAR
hk
YiYoo
iY~~~~~~~~
R
êîììóòàòèâíîé. Ýòà äèàãðàììà îñòàåòñÿ êîììóòàòèâíîé, åñëè â íåé çà-
ìåíèòü h k íà idR . Òåïåðü ïî ñâîéñòâó åäèíñòâåííîñòè îòîáðàæåíèÿ h
â äèàãðàììå (1.3) ìû ïîëó÷àåì, ÷òî h k = idR . Àíàëîãè÷íî äîêàçû-
âàåòñÿ, ÷òî k h = idS . Ìû ïîëó÷èëè, ÷òî äëÿ äâóõ ñóìì R, iX , iY è
S, i′X , i′Y îáúåêòîâ X è Y ñóùåñòâóþò òàêèå åäèíñòâåííûå èçîìîðôèç-
ìû îáúåêòîâ h : S → R è k : R → S, ÷òî iX = h i′X , iY = h i′Y è
i′X = k iX , i′Y = k iY . Ôðàçà ñóììà îáúåêòîâ êàòåãîðèè îïðåäåëåíà
îäíîçíà÷íî ñ òî÷íîñòüþ äî êàíîíè÷åñêîãî èçîìîðôèçìà êàê ðàç ýòî è
îçíà÷àåò. 18 óïîìÿíóòîì ïðèìåðå m) îòìå÷àëîñü, ÷òî ýòà êàòåãîðèÿ ÷àñòíûé ñëó÷àé êàòåãîðèè, ñâÿ-
çàííîé ñ ÷àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííûì ìíîæåñòâîì. Ïîäóìàéòå, ÷òî áóäåò ñóììîé è ïðîèçâåäåíèåì â
ýòîì áîëåå îáùåì ñëó÷àå.19ýòî óòâåðæäåíèå áóäåò ñëåäîâàòü òàêæå èç äîêàçàííîé â ñëåäóþùåì ïàðàãðàôå Òåîðåìû 9.
32
1.4 Óíèâåðñàëüíûå îáúåêòû
Îïðåäåëåíèå 8. Îáúåêò X êàòåãîðèè C íàçûâàåòñÿ íà÷àëüíûì (èëè
èíèöèàëüíûì), åñëè äëÿ âñÿêîãî Y ∈ Ob(C) ìíîæåñòâî HomC(X, Y )
ñîñòîèò ðîâíî èç îäíîãî ýëåìåíòà.
Îáúåêò X êàòåãîðèè C íàçûâàåòñÿ êîíå÷íûì (èëè ôèíàëüíûì), åñëè
äëÿ âñÿêîãî Y ∈ Ob(C) ìíîæåñòâî HomC(Y, X) ñîñòîèò ðîâíî èç îäíîãî
ýëåìåíòà.
Íà÷àëüíûé èëè êîíå÷íûé îáúåêò ìû áóäåì òàêæå íàçûâàòü îáùèì
òåðìèíîì óíèâåðñàëüíûé îáúåêò.
Íåôîðìàëüíî ãîâîðÿ, èç íà÷àëüíîãî îáúåêòà â ëþáîé îáúåêò êàòåãî-
ðèè èñõîäèò ðîâíî îäíà ñòðåëêà (ò.å. ìîðôèçì), àíàëîãè÷íî, èç ëþáîãî
îáúåêòà êàòåãîðèè â êîíå÷íûé âåäåò ðîâíî îäíà ñòðåëêà.
Òåîðåìà 9. Åñëè â êàòåãîðèè ñóùåñòâóåò íà÷àëüíûé (êîíå÷íûé) îáú-
åêò, òî îí åäèíñòâåí ñ òî÷íîñòüþ äî êàíîíè÷åñêîãî èçîìîðôèçìà.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðîâåä¼ì äîêàçàòåëüñòâî äëÿ íà÷àëüíûõ îáúåêòîâ,
äëÿ êîíå÷íûõ äîêàçàòåëüñòâî àíàëîãè÷íî. Ïóñòü X, Y äâà íà÷àëüíûõ
îáúåêòà â êàòåãîðèè C. Òîãäà ïî îïðåäåëåíèþ ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé
ìîðôèçì f : X → Y â HomC(X, Y ) è åäèíñòâåííûé ìîðôèçì g : Y → X
â HomC(Y, X). Èõ êîìïîçèöèÿ gf äîëæíà áûòü åäèíñòâåííûì ìîðôèç-
ìîì â HomC(X, X) è çíà÷èò (ïî àêñèîìå (b) èç Îïðåäåëåíèÿ 1) ñîâïà-
äàåò ñ idX , à f g åäèíñòâåííûì ìîðôèçìîì â HomC(Y, Y ), à çíà÷èò
ñîâïàäàåò ñ idY . Ýòî è îçíà÷àåò åäèíñòâåííîñòü íà÷àëüíîãî îáúåêòà ñ
òî÷íîñòüþ äî êàíîíè÷åñêîãî èçîìîðôèçìà. Çàäà÷à. Ïóñòü X íà÷àëüíûé îáúåêò êàòåãîðèè C, â êîòîðîé ñóùå-
ñòâóþò âñå ñóììû. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ïðîèçâîëüíîãî îáúåêòà Y èç
C ñóùåñòâóåò êàíîíè÷åñêèé èçîìîðôèçì X+Y ∼= Y . Òî æå ñ çàìåíîé
ñóììû íà ïðîèçâåäåíèå è íà÷àëüíîãî îáúåêòà íà êîíå÷íûé.
Çàäà÷à. Äëÿ X, Y ∈ Ob(C) ñóùåñòâóåò êàíîíè÷åñêèé èçîìîðôèçì
X + Y ∼= Y +X. Àíàëîãè÷íî, äëÿ X, Y, Z ∈ Ob(C) ñóùåñòâóåò êàíî-
íè÷åñêèé èçîìîðôèçì (X + Y ) + Z ∼= X + (Y + Z). Òî æå ñ çàìåíîé
ñóìì íà ïðîèçâåäåíèÿ (ïðè óñëîâèè ÷òî ïîñëåäíèå ñóùåñòâóþò).
Ïðèìåðû. a)  êàòåãîðèè Set íà÷àëüíûé è êîíå÷íûé îáúåêòû ñóùå-
ñòâóþò è ÿâëÿþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî ïóñòûì ìíîæåñòâîì ∅ è ìíîæåñòâîì
33
∗ (òî÷êîé), ñîñòîÿùèì èç îäíîãî ýëåìåíòà.  êàòåãîðèè ãðóïï íà÷àëü-
íûé è êîíå÷íûé îáúåêòû ñîâïàäàþò ñ ãðóïïîé, ñîñòîÿùåé èç îäíîãî
ýëåìåíòà. 20  êàòåãîðèè P(S) (ñì. ïðèìåð m)) íà ñòð. 19) íà÷àëüíûì
ÿâëÿåòñÿ ∅ ⊂ S, à êîíå÷íûì ñàìî ìíîæåñòâî S. Êàòåãîðèÿ CS, ðàñ-ñìîòðåííàÿ â ïðèìåðå p) íà ñòð. 21, èìååò êîíå÷íûé îáúåêò (S, idS), à
êàòåãîðèÿ CS (îïðåäåëåííàÿ òàì æå) íà÷àëüíûé îáúåêò (S, idS).
Çàäà÷à. Âûÿñíèòü, êîãäà ó êàòåãîðèè, ñâÿçàííîé ñ ÷àñòè÷íî óïîðÿ-
äî÷åííûì ìíîæåñòâîì, ñóùåñòâóþò íà÷àëüíûé è êîíå÷íûé îáúåêòû
è ÷òî ýòî çà îáúåêòû.
Ïîíÿòèå óíèâåðñàëüíîãî îáúåêòà ïîçâîëÿåò ñ åäèíîé òî÷êè çðåíèÿ
ðàññìîòðåòü ìíîãèå êîíñòðóêöèè, èçó÷àåìûå â ìàòåìàòèêå.  êà÷åñòâå
ïåðâîãî ïðèìåðà ìû ïðèâåäåì îïðåäåëåíèÿ ñóììû è ïðîèçâåäåíèÿ îáú-
åêòîâ ïðîèçâîëüíîé êàòåãîðèè (çàîäíî îáîáùèâ èõ ñî ñëó÷àÿ äâóõ îáú-
åêòîâ íà ñëó÷àé ïðîèçâîëüíûõ ñåìåéñòâ), èñïîëüçóþùèå ïîíÿòèå óíè-
âåðñàëüíîãî îáúåêòà.
b) Ñóììà è ïðîèçâåäåíèå. Â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå ìû ðàññìàòðè-
âàëè ñóììó è ïðîèçâåäåíèå äâóõ îáúåêòîâ. Îäíàêî îïðåäåëåíèå ñóììû
è ïðîèçâåäåíèÿ ìîæåò áûòü ðàñïðîñòðàíåíî íà ïðîèçâîëüíîå êîíå÷íîå
è äàæå áåñêîíå÷íîå ñåìåéñòâî îáúåêòîâ äàííîé êàòåãîðèè. Äàäèì ñîîò-
âåòñòâóþùèå îïðåäåëåíèÿ.
Ïóñòü Xαα∈A ñåìåéñòâî îáúåêòîâ êàòåãîðèè C. Ðàññìîòðèì
íîâóþ êàòåãîðèþ CA, îïðåäåëÿåìóþ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Îáúåêòà-
ìè CA ÿâëÿþòñÿ íàáîðû (Y, fαα∈A), ãäå Y ∈ Ob(C), à fα ∈HomC(Xα, Y ) ∀α ∈ A. Ìîðôèçìîì â CA èç îáúåêòà (Y, fαα∈A) â îáú-åêò (Z, gαα∈A) ïî îïðåäåëåíèþ ÿâëÿåòñÿ òàêîé ìîðôèçì h : Y → Z â
êàòåãîðèè C, ÷òî äëÿ ëþáîãî α ∈ A êîììóòàòèâíà äèàãðàììà
Xαfα
~~|||||||| gα
!!CCC
CCCC
C
Y h // Z.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â êàòåãîðèè CA ñóùåñòâóåò íà÷àëüíûé îáúåêò
(X, iαα∈A) (êàê óæå îòìå÷àëîñü, âñå òàêèå îáúåêòû êàíîíè÷åñêè èçî-
ìîðôíû). Òîãäà îáúåêò X íàçîâåì ñóììîé ñåìåéñòâà Xαα∈A, à ìîð-
ôèçì iα : Xα → X êàíîíè÷åñêèì âëîæåíèåì ñëàãàåìîãî Xα â ñóììó.
20îáúåêò, ÿâëÿþùèéñÿ îäíîâðåìåííî è íà÷àëüíûì è êîíå÷íûì, íàçûâàåòñÿ íóëåâûì.
34
Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ñóììà ïóñòîãî ñåìåéñòâà îáúåêòîâ êàòåãîðèè C íà÷àëüíûé îáúåêò â C.
Îïðåäåëåíèå ïðîèçâåäåíèÿ P ñåìåéñòâàXα è êàíîíè÷åñêèõ ïðîåêöèé
πα ∈ HomC(P, Xα) ïîëó÷àåòñÿ èç îïðåäåëåíèÿ ñóììû ñ ïîìîùüþ îáðà-
ùåíèÿ ñòðåëîê. Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ïðîèçâåäåíèå ïóñòîãî ñåìåéñòâà
îáúåêòîâ êàòåãîðèè C êîíå÷íûé îáúåêò â C.Ñóììà (ïðîèçâåäåíèå) îäíîãî îáúåêòà ñàì ýòîò îáúåêò (ñ òî÷íî-
ñòüþ äî êàíîíè÷åñêîãî èçîìîðôèçìà). Êðîìå òîãî, òàê êàê êîíñòðóêöèè
ñóììû (ïðîèçâåäåíèÿ) ìîæíî èòåðèðîâàòü, òî ìû ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå
óòâåðæäåíèå. Êàòåãîðèÿ èìååò êîíå÷íûå ñóììû, åñëè îïðåäåëåíû ñóì-
ìû ëþáûõ äâóõ å¼ îáúåêòîâ è â íåé ñóùåñòâóåò íà÷àëüíûé îáúåêò. Àíà-
ëîãè÷íî, êàòåãîðèÿ èìååò êîíå÷íûå ïðîèçâåäåíèÿ, åñëè äëÿ ëþáûõ äâóõ
îáúåêòîâ ñóùåñòâóåò èõ ïðîèçâåäåíèå è â íåé ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé îáú-
åêò.
Ïåðåõîä ê ñëó÷àþ áåñêîíå÷íûõ ñåìåéñòâ ÷àñòî òðåáóåò îñòîðîæíî-
ñòè: ñóììà èëè ïðîèçâåäåíèå ìîãóò ïåðåñòàòü ñóùåñòâîâàòü, èëè ñòàòü
ðàçëè÷íûìè, õîòÿ ñîâïàäàëè äëÿ êîíå÷íûõ ñåìåéñòâ (ïîñëåäíåå ïðîèñ-
õîäèò â êàòåãîðèÿõ Vectk è Ab ïîäóìàéòå ïî÷åìó). ×àñòî êîíñòðóê-
öèÿ ñóììû è ïðîèçâåäåíèÿ äëÿ áåñêîíå÷íûõ ñåìåéñòâ íå òàê î÷åâèäíà
êàê äëÿ êîíå÷íûõ ñì. íàïðèìåð îïðåäåëåíèå òèõîíîâñêîé òîïîëîãèè,
êîòîðàÿ äà¼ò êîíñòðóêöèþ ïðîèçâåäåíèÿ ïðîèçâîëüíîãî ñåìåéñòâà îáú-
åêòîâ â T op (à çíàìåíèòàÿ òåîðåìà Òèõîíîâà î êîìïàêòíîñòè ïðîèçâåäå-íèÿ ïðîèçâîëüíîãî ñåìåéñòâà êîìïàêòíûõ òîïîëîãè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâ
ñ òî÷êè çðåíèÿ òåîðèè êàòåãîðèé îçíà÷àåò ñóùåñòâîâàíèå ïðîèçâåäåíèÿ
ïðîèçâîëüíîãî ñåìåéñòâà íåïóñòûõ ïðîñòðàíñòâ â CT op êàòåãîðèè
êîìïàêòíûõ òîïîëîãè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâ è íåïðåðûâíûõ îòîáðàæåíèé).
c) Âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî, ïîðîæä¼ííîå ìíîæåñòâîì. Çàôèê-
ñèðóåì ïîëå ñêàëÿðîâ k è ìíîæåñòâî S. Ðàññìîòðèì êàòåãîðèþ C (çà-
âèñÿùóþ îò k è S), îáúåêòàìè êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ ïàðû (V, f), ãäå V
âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî íàä k, à f : S → V îòîáðàæåíèå S â ìíî-
æåñòâî ýëåìåíòîâ âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà V . Ìîðôèçì â C èç îáúåêòà(V, f) â îáúåêò (W, g) ýòî òàêîå ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå φ : V → W,
35
÷òî äèàãðàììà
Sf
//
g
V
φ~~||||||||
W
êîììóòàòèâíà. Íà÷àëüíûé îáúåêò äàííîé êàòåãîðèè (VS, iS) íàçîâ¼ì
âåêòîðíûì ïðîñòðàíñòâîì, ïîðîæä¼ííûì ìíîæåñòâîì S.
Ïîêàæåì, ÷òî òàêîé íà÷àëüíûé îáúåêò ñóùåñòâóåò, ïðåäúÿâèâ åãî
ÿâíóþ êîíñòðóêöèþ. Ðàññìîòðèì âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî V ′S, áàçèñîì
êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâî ñèìâîëîâ ess∈S (ïî îäíîìó ñèìâîëó es
äëÿ êàæäîãî ýëåìåíòà s ∈ S). Òî åñòü V ′S ñîñòîèò èç âñåõ ëèíåéíûõ
êîìáèíàöèé∑
s αses, αs ∈ k, â êîòîðûõ αs = 0 òîëüêî äëÿ êîíå÷íîãî
÷èñëà s. Îïðåäåëèì i′S : S → V ′S ôîðìóëîé i′S(s) = es.
Ïîêàæåì, ÷òî ïàðà (V ′S, i′S) ÿâëÿåòñÿ íà÷àëüíûì îáúåêòîì â êàòå-
ãîðèè C. Äëÿ ýòîãî íóæíî ïðîâåðèòü å¼ óíèâåðñàëüíîå ñâîéñòâî: äëÿ
ëþáîé ïàðû (W, g) ñóùåñòâóåò è ïðèòîì òîëüêî îäíî òàêîå ëèíåéíîå
îòîáðàæåíèå φ : V ′S → W, ÷òî äèàãðàììà
Si′S //
g
V ′S
φ~~
W
êîììóòàòèâíà.
Íà áàçèñíûõ ýëåìåíòàõ es îòîáðàæåíèå φ îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ
òðåáîâàíèåì êîììóòàòèâíîñòè äèàãðàììû:
φ(es) = φ(i′S(s)) = g(s).
Ñ áàçèñíûõ ýëåìåíòîâ íà ïðîèçâîëüíûå v ∈ V ′S îòîáðàæåíèå φ ïðîäîë-
æàåòñÿ ïî óñëîâèþ ëèíåéíîñòè: äëÿ v =∑
s αses
φ(v) = φ(∑s
αses) =∑s
αsφ(es) =∑s
αsg(s).
Êîððåêòíîñòü îïðåäåëåíèÿ φ ñëåäóåò èç ëèíåéíîé íåçàâèñèìîñòè áàçèñ-
íûõ âåêòîðîâ es: êàæäûé âåêòîð v ∈ V ′S îäíîçíà÷íî ïðåäñòàâëÿåòñÿ â
âèäå v =∑
s αses. Åäèíñòâåííîñòü φ ñëåäóåò èç ïîëíîòû ñèñòåìû áàçèñ-
íûõ âåêòîðîâ: ëþáîé âåêòîð v ∈ V ′S ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå v =∑
s αses.
Ëèíåéíîñòü òàê îïðåäåë¼ííîãî îòîáðàæåíèÿ φ ëåãêî ïðîâåðÿåòñÿ.
36
Òàêèì îáðàçîì, ïî Òåîðåìå 9 î åäèíñòâåííîñòè óíèâåðñàëüíîãî îáú-
åêòà, (V ′S, i′S)∼= (VS, iS).
Ñäåëàåì ñëåäóþùåå ïðîñòîå íî âàæíîå çàìå÷àíèå. Åñëè áû âåêòîðû
es âûøå áûëè áû ëèíåéíî çàâèñèìûìè, òî îòîáðàæåíèå φ áûëî áû êîð-
ðåêòíî îïðåäåëåíî òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè áû èç âñÿêîãî ñîîòíîøåíèÿ∑s βses = 0 ñëåäîâàëî áû ñîîòíîøåíèå
∑s βsg(s) = 0 ìåæäó ñîîòâåò-
ñòâóþùèìè âåêòîðàìè g(s) ∈ W (òî åñòü φ ñóùåñòâîâàëî áû íå äëÿ âñåõ
g : S → W ). Ñ äðóãîé ñòîðîíû, åñëè áû ñèñòåìà âåêòîðîâ ess∈S íå áû-ëà áû ïîëíà (òî åñòü íå ïîðîæäàëà áû âñå ïðîñòðàíñòâî V ′S), òî φ áûëî
áû îïðåäåëåíî óñëîâèåì êîììóòàòèâíîñòè äèàãðàììû íåîäíîçíà÷íî.
d) Ñâîáîäíàÿ ãðóïïà. Íà÷àëüíûé îáúåêò â êàòåãîðèè, îïðåäåë¼ííîé
â ïðèìåðå q) íà ñòð. 21, íàçûâàåòñÿ ñâîáîäíîé ãðóïïîé, (ñâîáîäíî) ïî-
ðîæä¼ííîé ìíîæåñòâîì S. Îáîçíà÷èì ñîîòâåòñòâóþùóþ óíèâåðñàëü-
íóþ ïàðó ÷åðåç (FS, iS). Òàêèì îáðàçîì, îòîáðàæåíèå iS : S → FS îá-
ëàäàåò ñëåäóþùèì óíèâåðñàëüíûì ñâîéñòâîì: äëÿ ëþáîãî îòîáðàæåíèÿ
g : S → G â ìíîæåñòâî ýëåìåíòîâ ãðóïïû G ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé
ãîìîìîðôèçì ãðóïï φ : FS → G òàêîé, ÷òî äèàãðàììà
SiS //
g
FS
φ~~
G
(1.7)
êîììóòàòèâíà.
Ìîæíî äàòü ñëåäóþùóþ êîíñòðóêöèþ ãðóïïû FS. Íàðÿäó ñ ìíîæå-
ñòâîì S ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî S−1, ñîñòîÿùåå èç ñèìâîëîâ, îáîçíà÷à-
åìûõ s−1, ïî îäíîìó äëÿ êàæäîãî ýëåìåíòà s ∈ S. Ïóñòü T = S ∪ S−1.Íàçîâ¼ì ñëîâîì â àëôàâèòå S ïðîèçâîëüíóþ êîíå÷íóþ ïîñëåäîâàòåëü-
íîñòü ýëåìåíòîâ èç T . Íàïðèìåð, åñëè S = s1, . . . , sn êîíå÷íîå
ìíîæåñòâî, òî T = s1, s−11 , . . . , sn, s−1n , è ñëîâîì â àëôàâèòå S áó-
äåò ïðîèçâîëüíàÿ êîíå÷íàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñèìâîëîâ si è s−1j , íà-
ïèñàííàÿ â ïðîèçâîëüíîì ïîðÿäêå, íàïðèìåð s1s2s2s−11 s3 (ïðè n ≥ 3).
Äîïóñêàåòñÿ è ïóñòîå ñëîâî e, â êîòîðîå, ïî îïðåäåëåíèþ, íå âõîäèò íè
îäèí èç ñèìâîëîâ s èëè s−1. Ñëîâî íàçûâàåòñÿ ïðèâåä¼ííûì, åñëè â íåì
íèãäå ðÿäîì íå ñòîÿò ñèìâîëû s è s−1. Ïðîèçâåäåíèåì ñëîâ A è B íàçû-
âàåòñÿ ñëîâî, êîòîðîå ïîëó÷àåòñÿ, åñëè çàïèñàòü B ñëåäîì çà A è çàòåì
âûáðàñûâàòü âñå ñòîÿùèå ðÿäîì ïàðû âèäà s è s−1, ïîêà íå ïîëó÷èòñÿ
37
ïðèâåä¼ííîå ñëîâî (ìîæåò áûòü, ïóñòîå). Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ìíîæåñòâî
ïðèâåä¼ííûõ ñëîâ ñ ýòîé îïåðàöèåé óìíîæåíèÿ îáðàçóåò ãðóïïó: íàïðè-
ìåð, îáðàòíûì ê âûïèñàííîìó âûøå ñëîâó áóäåò s−13 s1s−12 s−12 s−11 , à ðîëü
åäèíè÷íîãî ýëåìåíòà èãðàåò ïóñòîå ñëîâî e. Ïîëó÷åííóþ ãðóïïó ïðè-
âåä¼ííûõ ñëîâ â àëôàâèòå S ñ îïåðàöèåé ïðîèçâåäåíèÿ îáîçíà÷èì F ′S.
Åñòü î÷åâèäíîå îòîáðàæåíèå i′S : S → F ′S, ãäå i′S(s) åñòü îäíîáóêâåííîå
ñëîâî s.
Ïîêàæåì, ÷òî ïàðà (F ′S, i′S) îáëàäàåò îïèñàííûì âûøå óíèâåðñàëü-
íûì ñâîéñòâîì, âûðàæàåìûì äèàãðàììîé (1.7). Íàì íóæíî äëÿ ïðî-
èçâîëüíîãî îòîáðàæåíèÿ g : S → G ïîñòðîèòü ãîìîìîðôèçì ãðóïï
φ : F ′S → G, ïðåâðàùàþùèé äèàãðàììó (1.7) (ñ (F ′S, i′S) âìåñòî (FS, iS))
â êîììóòàòèâíóþ. Òðåáîâàíèå êîììóòàòèâíîñòè äèàãðàììû îäíîçíà÷-
íî îïðåäåëÿåò çíà÷åíèÿ φ(s) = g(s) íà ñâîáîäíûõ îáðàçóþùèõ s ∈ S
(òî÷íåå, íà ñîîòâåòñòâóþùèõ îäíîáóêâåííûõ ñëîâàõ). Òåïåðü φ íà îñòàâ-
øèåñÿ ñëîâà îäíîçíà÷íî ïðîäîëæàåòñÿ ïî ãîìîìîðôíîñòè.  ÷àñòíîñòè,
ïóñòîå ñëîâî ïðè ýòîì ïåðåõîäèò â åäèíèöó â G è φ(s−1) = φ(s)−1. Êîð-
ðåêòíîñòü òàê îïðåäåë¼ííîãî îòîáðàæåíèÿ ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî êàæäûé
ýëåìåíò F ′S îäíîçíà÷íî ïðåäñòàâëÿåòñÿ ïðèâåä¼ííûì ñëîâîì â àëôàâèòå
S (ïî-ñóùåñòâó, ÿâëÿåòñÿ ïðèâåä¼ííûì ñëîâîì).21
 ñèëó òîëüêî ÷òî äîêàçàííîãî óíèâåðñàëüíîãî ñâîéñòâà, ïî Òåîðå-
ìå 9 ìû ìîæåì ïîñòðîåííóþ ãðóïïó (F ′S, i′S) îòîæäåñòâèòü ñ (FS, iS). Â
÷àñòíîñòè, äëÿ S = s1, . . . , sn ãðóïïà FS íàçûâàåòñÿ ñâîáîäíîé ãðóï-
ïîé ñ n îáðàçóþùèìè è îáîçíà÷àåòñÿ Fn (çàìåòèì, ÷òî F1∼= Z). Äëÿ ÷è-
òàòåëåé, çíàêîìûõ ñ ïîíÿòèåì ôóíäàìåíòàëüíîé ãðóïïû, îòìåòèì, ÷òî
Fn ìîæåò áûòü ðåàëèçîâàíà êàê ôóíäàìåíòàëüíàÿ ãðóïïà ïëîñêîñòè ñ
n âûêîëîòûìè òî÷êàìè.22 Çàìåòèì, ÷òî FS1
⨿S2∼= FS1
∗ FS2(ñð. ïðèìåð
b′) èç §1.3).23
21ïîäóìàéòå, ïî÷åìó ýòî äîêàçàòåëüñòâî íå ïðîõîäèò äëÿ íåñâîáîäíûõ ãðóïï, ìåæäó îáðàçóþùè-
ìè êîòîðûõ åñòü ñîîòíîøåíèÿ. Äëÿ ýòîãî ïîëåçíî èñïîëüçîâàòü àíàëîãèþ ñ âåêòîðíûì ïðîñòðàí-
ñòâîì, ïîðîæä¼ííûì ìíîæåñòâîì, ðàññìîòðåííûì â ïðåäûäóùåì ïðèìåðå. Àíàëîãîì ëèíåéíîãî
áàçèñà äëÿ ãðóïïû F ′S ÿâëÿåòñÿ å¼ ïîðîæäàþùåå ìíîæåñòâî S. Çàìåòèì, ÷òî âåêòîðíîå ïðîñòðàí-
ñòâî âñåãäà ñâîáîäíî, ïîñêîëüêó âñåãäà îáëàäàåò áàçèñîì.22×èòàòåëü, çíàêîìûé ñ òåîðåìîé Çåéôåðòà-âàí Êàìïåíà, ìîæåò ïîïûòàòüñÿ óñòàíîâèòü ñâÿçü
âûøåèçëîæåííîãî ñ ïðèìåðîì a′) èç §1.3. Ìû âåðíåìñÿ ê âûÿñíåíèþ êàòåãîðíîãî ñìûñëà ýòîé
òåîðåìû ïîñëå òîãî, êàê ïîçíàêîìèìñÿ ñ ïîíÿòèåì ôóíêòîðà.23çàìåòèì, ÷òî çà ýòèì ñêðûâàåòñÿ îáùèé ôàêò î ñîïðÿæ¼ííûõ ôóíêòîðàõ: ëåâûå ñîïðÿæ¼ííûå
êîììóòèðóþò ñ êîïðåäåëàìè (â òî âðåìÿ êàê ïðàâûå ñîïðÿæ¼ííûå ñ ïðåäåëàìè).
38
Èíòóèòèâíî, ãðóïïó FS ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê íàèáîëüøóþ
ãðóïïó, ïîðîæä¼ííóþ ìíîæåñòâîì S. Òî, ÷òî îíà íàèáîëüøàÿ, ñâÿçàíî
ñ òåì, ÷òî ëþáîå îòîáðàæåíèå S → G â ïðîèçâîëüíóþ ãðóïïó G ÷åðåç
íå¼ ïðîïóñêàåòñÿ (=ôàêòîðèçóåòñÿ). Òî, ÷òî FS ïîðîæäàåòñÿ S, ñâÿçàíî
ñ åäèíñòâåííîñòüþ òàêîé ôàêòîðèçàöèè.
Ðîëü ñâîáîäíûõ ãðóïï ñâÿçàíà ñ òåì, ÷òî ëþáàÿ ãðóïïà èçîìîðôíà
ôàêòîðãðóïïå íåêîòîðîé ñâîáîäíîé ãðóïïû.
Àíàëîãè÷íî ìîæíî ðàññìîòðåòü ñâîáîäíóþ àáåëåâó ãðóïïó, ïîðîæ-
ä¼ííóþ ìíîæåñòâîì S. Ýòî ïðåäëàãàåòñÿ ñäåëàòü ÷èòàòåëþ ñàìîñòîÿ-
òåëüíî.
e) Ñâîáîäíàÿ àëãåáðà. Ïóñòü S íåêîòîðîå ìíîæåñòâî. ×åðåç C îáî-çíà÷èì êàòåãîðèþ, îáúåêòàìè êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ ïàðû (A, f), ñîñòîÿ-
ùèå èç àññîöèàòèâíîé óíèòàëüíîé àëãåáðû A ∈ Algk è îòîáðàæåíèÿ
f : S → A èç S â ìíîæåñòâî ýëåìåíòîâ A (àëãåáðó è ìíîæåñòâî å¼ ýëå-
ìåíòîâ ìû îáîçíà÷àåì îäíèì è òåì æå ñèìâîëîì A). Ìîðôèçì â C èç
(A, f) ∈ Ob(C) â (B, g) ∈ Ob(C) ãîìîìîðôèçì óíèòàëüíûõ àëãåáð
h : A→ B òàêîé ÷òî äèàãðàììà
Sf
//
g
A
h~~~~~~~~
B
êîììóòàòèâíà (çàìåòèì, ÷òî â äèàãðàììå h îáîçíà÷àåò îòîáðàæåíèå
ïîäñòèëàþùèõ ìíîæåñòâ24 àëãåáð A è B). Íà÷àëüíûé îáúåêò â òà-
êîé êàòåãîðèè C íàçûâàåòñÿ ñâîáîäíîé k-àëãåáðîé, ïîðîæä¼ííîé ìíî-
æåñòâîì S.
Êîíñòðóêöèÿ ñâîáîäíîé àëãåáðû íàïîìèíàåò êîíñòðóêöèþ ñâîáîäíîé
ãðóïïû. Ïóñòü kS âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî, áàçèñ â êîòîðîì îáðà-
çóþò âñå ñëîâà si1 . . . sip â àëôàâèòå S, âêëþ÷àÿ ïóñòîå ñëîâî ∅. Ïðîèç-âåäåíèå ñëîâ
(si1 . . . sip)(sip+1. . . sin) = si1 . . . sipsip+1
. . . sin
ïî ëèíåéíîñòè ïðîäîëæàåòñÿ äî àññîöèàòèâíîãî óìíîæåíèÿ â kS. Åäè-íèöåé kS ÿâëÿåòñÿ ïóñòîå ñëîâî: 1 = ∅. Êðîìå òîãî, ìû èìååì î÷å-
âèäíîå âëîæåíèå iS : S → kS.24ñìûñë ýòîãî çàìå÷àíèÿ ïðîÿñíèòñÿ íèæå, ïîñëå çíàêîìñòâà ñ çàáûâàþùèìè ôóíêòîðàìè.
39
Ïîêàæåì, ÷òî ïàðà (kS, iS) îáëàäàåò òðåáóåìûì óíèâåðñàëüíûì
ñâîéñòâîì. Ïóñòü äàíî îòîáðàæåíèå f : S → A â k-àëãåáðóA. Íàì íóæíî
îïðåäåëèòü ãîìîìîðôèçì àëãåáð f : kS → A, äåëàþùèé äèàãðàììó
SiS //
f
kS
f||yyyyyyyy
A
êîììóòàòèâíîé. Ïîëîæèì f(∅) = 1A, ãäå 1A åäèíèöà àëãåáðû A, à äëÿ
íåïóñòîãî ñëîâà si1 . . . sip ïîëàãàåì f(si1 . . . sip) = f(si1) . . . f(sip). Ëåãêî
âèäåòü, ÷òî ïðîäîëæàÿ f ñ áàçèñà ïî ëèíåéíîñòè íà âñþ àëãåáðó kS,ìû ïîëó÷àåì òðåáóåìûé ãîìîìîðôèçì. Åäèíñòâåííîñòü ñëåäóåò èç òîãî,
÷òî f îïðåäåëåíî íà ñëîâàõ â àëôàâèòå S òðåáîâàíèåì óíèòàëüíîñòè è
êîììóòàòèâíîñòè äèàãðàììû îäíîçíà÷íî.
Ðîëü ñâîáîäíûõ àëãåáð ñâÿçàíà ñ òåì, ÷òî ëþáàÿ àëãåáðà ÿâëÿåòñÿ
ôàêòîðàëãåáðîé íåêîòîðîé ñâîáîäíîé àëãåáðû.
Çàìåòèì, ÷òî kS ìîæíî òàêæå ðàññìàòðèâàòü êàê ìîíîèäàëüíóþ
àëãåáðó ñâîáîäíîãî ìîíîèäà, ïîðîæä¼ííîãî ìíîæåñòâîì S (÷èòàòåëþ
ïðåäëàãàåòñÿ ðàñøèôðîâàòü ýòî ïîñëå èçó÷åíèÿ ïðèìåðà ãðóïïîâàÿ àë-
ãåáðà íèæå).
Ó ïîíÿòèÿ ñâîáîäíîé àëãåáðû åñòü ñïåöèàëèçàöèÿ k[S] íà ñëó÷àé
êîììóòàòèâíûõ àëãåáð. Îíà ïîëó÷àåòñÿ, åñëè â êà÷åñòâå êàòåãîðèè Algkâçÿòü êàòåãîðèþ êîììóòàòèâíûõ óíèòàëüíûõ k-àëãåáð.
Çàäà÷à. Ïóñòü S = s1, . . . , sn êîíå÷íîå ìíîæåñòâî èç n ýëåìåí-
òîâ. Òîãäà k[S] ∼= k[s1, . . . , sn] àëãåáðà ìíîãî÷ëåíîâ îò n ïåðåìåííûõ.
f) Òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå. Íà÷àëüíûé îáúåêò â êàòåãîðèè, îïðåäå-
ë¼ííîé â ïðèìåðå r) íà ñòð. 21 íàçûâàåòñÿ òåíçîðíûì ïðîèçâåäåíèåì
âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâ U1, . . . , Un. Ðàçâåðí¼ì åãî îïðåäåëåíèå. Ïóñòü
k ïîëå è U1, . . . , Un ôèêñèðîâàííûé íàáîð âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâ
íàä k. Ðàññìîòðèì êàòåãîðèþ, îáúåêòàìè êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ âñåâîçìîæ-
íûå ïàðû (V, f), ñîñòîÿùèå èç âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà V è ïîëèëèíåé-
íîãî îòîáðàæåíèÿ f : U1 × . . . × Un → V . Ìîðôèçì èç îáúåêòà (V, f) â
îáúåêò (W, g) ýòî òàêîå ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå φ : V → W, äëÿ êîòî-
40
ðîãî äèàãðàììà
U1 × . . .× Unf
//
g
V
φwwppp
pppppp
ppppp
W
êîììóòàòèâíà. Íà÷àëüíûé îáúåêò â ýòîé êàòåãîðèè íàçûâàåòñÿ òåíçîð-
íûì ïðîèçâåäåíèåì âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâ U1, . . . , Un è îáîçíà÷àåòñÿ
(U1 ⊗ . . .⊗ Un, τ). Ïîëèëèíåéíîå îòîáðàæåíèå
τ : U1 × . . .× Un → U1 ⊗ . . .⊗ Un
íàçûâàåòñÿ óíèâåðñàëüíûì ïîëèëèíåéíûì îòîáðàæåíèåì. Óíèâåðñàëü-
íîå ñâîéñòâî ïàðû (U1 ⊗ . . . ⊗ Un, τ) îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ ïðîèçâîëüíîãî
k-âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà V è ïîëèëèíåéíîãî îòîáðàæåíèÿ f : U1×. . .×Un → V ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå φ : U1 ⊗ . . . ⊗Un → V òàêîå, ÷òî äèàãðàììà
U1 × . . .× Un τ //
f
U1 ⊗ . . .⊗ Unφ
uukkkkkkkk
kkkkkkkk
kk
V
êîììóòàòèâíà.
Òàê êàê êîíñòðóêöèÿ òåíçîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ îáû÷íî ïðèâîäèòñÿ â
ñòàíäàðòíûõ êóðñàõ ëèíåéíîé àëãåáðû (ñì., íàïðèìåð, [8]), ìû íå áóäåì
å¼ èçëàãàòü çäåñü.
Îïðåäåëåíèå è êîíñòðóêöèÿ òåíçîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðíûõ
ïðîñòðàíñòâ íåïîñðåäñòâåííî îáîáùàåòñÿ íà ñëó÷àé ìîäóëåé íàä êîì-
ìóòàòèâíûì êîëüöîì.
g) Òåíçîðíàÿ àëãåáðà. Ðàññìîòðèì â êà÷åñòâå åùå îäíîãî ïðèìåðà
òåíçîðíóþ àëãåáðó ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà. Ïóñòü k íåêîòîðîå ïîëå;
çàôèêñèðóåì âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî V íàä k. Ðàññìîòðèì êàòåãîðèþ C,îáúåêòàìè êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ ïàðû (A, φ), ñòîñòîÿùèå èç àññîöèàòèâíîé
àëãåáðû A ñ åäèíèöåé íàä ïîëåì k è ëèíåéíîãî îòîáðàæåíèÿ φ : V →A. Ìîðôèçì èç îáúåêòà (A, φ) â îáúåêò (B, ψ) ýòî ãîìîìîðôèçì k-
àëãåáð ñ åäèíèöåé χ : A→ B, äåëàþùèé äèàãðàììó
V
ψ
φ//A
χ~~~~~~~~
B
41
êîììóòàòèâíîé.
Ïóñòü T (V ) òåíçîðíàÿ àëãåáðà ïðîñòðàíñòâà V, à iV : V → T (V )
êàíîíè÷åñêîå ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå (âëîæåíèå V â êà÷åñòâå T 1(V ) ⊂T (V ) â åñòåñòâåííîé ãðàäóèðîâêå òåíçîðíîé àëãåáðû). Òîãäà ëåãêî ïðî-
âåðèòü, ÷òî ïàðà (T (V ), iV ) íà÷àëüíûé îáúåêò â òîëüêî ÷òî îïðåäå-
ëåííîé êàòåãîðèè.
Âàðèàíò ïîñëåäíåãî ïðèìåðà: â êà÷åñòâå îáúåêòîâ êàòåãîðèè C ðàñ-ñìàòðèâàþòñÿ ëèíåéíûå îòîáðàæåíèÿ ôèêñèðîâàííîãî ïðîñòðàíñòâà V
íå â ïðîèçâîëüíûå àññîöèàòèâíûå, à òîëüêî â êîììóòàòèâíûå àññîöèà-
òèâíûå àëãåáðû A. Òîãäà â ñîîòâåòñòâóþùåé êàòåãîðèè íà÷àëüíûì îáú-
åêòîì áóäåò iV : V → S(V ), ãäå S(V ) ñèììåòðè÷åñêàÿ àëãåáðà ëèíåé-
íîãî ïðîñòðàíñòâà V , à iV êàíîíè÷åñêîå ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå. Ñì.
ïîäðîáíîñòè íàïðèìåð â [6].
Çàäà÷à. Ïóñòü I ìíîæåñòâî èíäåêñîâ, íóìåðóþùèõ áàçèñ â ïðî-
ñòðàíñòâå V . Äîêàæèòå ÷òî òåíçîðíàÿ àëãåáðà T (V ) èçîìîðôíà ñâî-
áîäíîé àëãåáðå kI. Òî æå äëÿ àëãåáð S(V ) è k[I].
h) Ôàêòîðìíîæåñòâî è ôàêòîðïðîñòðàíñòâî. Íàïîìíèì, ÷òî ôàê-
òîðìíîæåñòâîì ìíîæåñòâà X, íà êîòîðîì çàäàíî îòíîøåíèå ýêâèâà-
ëåíòíîñòè α, íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî X/α êëàññîâ ýêâèâàëåíòíîñòè óêà-
çàííîãî îòíîøåíèÿ. Çàìåòèì, ÷òî ìû èìååì òàêæå êàíîíè÷åñêóþ ïðî-
åêöèþ πα : X → X/α, ñîïîñòàâëÿþùóþ êàæäîìó ýëåìåíòó x ∈ X åãî
êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè.
×òîáû îïèñàòü óíèâåðñàëüíîå ñâîéñòâî ôàêòîðìíîæåñòâà, ðàññìîò-
ðèì ñëåäóþùóþ êàòåãîðèþ C, ïîñòðîåííóþ ïî ìíîæåñòâó X è îòíî-
øåíèþ α. Îáúåêòîì C áóäåì ñ÷èòàòü ïàðó (Y, φ), ãäå Y íåêîòî-
ðîå ìíîæåñòâî à φ : X → Y îòîáðàæåíèå, îáëàäàþùåå ñâîéñòâîì
xαy ⇒ φ(x) = φ(y) (ò.å. ïîñòîÿííîå íà êëàññàõ ýêâèâàëåíòíîñòè îòíî-
øåíèÿ α). Ìîðôèçìîì â êàòåãîðèè C èç îáúåêòà (Y, φ) â îáúåêò (Z, ψ)
íàçîâåì òàêîå îòîáðàæåíèå χ : Y → Z, äëÿ êîòîðîãî äèàãðàììà
X
ψ
φ// Y
χ~~
Z
(1.8)
êîììóòàòèâíà. Òîãäà ëåãêî ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî ïàðà (X/α, πα) íà÷àëü-
íûé îáúåêò â êàòåãîðèè C.
42
Èìååòñÿ òàêæå ìîäèôèêàöèÿ ïîñëåäíåãî ïðèìåðà íà ñëó÷àé, êîãäà
X òîïîëîãè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî. À èìåííî, ââåäåì íà X/α ôàêòîð-
òîïîëîãèþ îòíîñèòåëüíî ïðîåêöèè πα : X → X/α, ò.å. ñèëüíåéøóþ òî-
ïîëîãèþ, â êîòîðîé êàíîíè÷åñêàÿ ïðîåêöèÿ πα íåïðåðûâíà. Îïðåäåëèì
êàòåãîðèþ Ctop ñëåäóþùèì îáðàçîì. Îáúåêòîì Ctop áóäåì ñ÷èòàòü ïàðó
(Y, φ), ñîñòîÿùóþ èç òîïîëîãè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà Y è íåïðåðûâíîãî
îòîáðàæåíèÿ φ : X → Y , îáëàäàþùåãî ñâîéñòâîì xαy ⇒ φ(x) = φ(y).
Ìîðôèçìîì â êàòåãîðèè Ctop èç îáúåêòà (Y, φ) â îáúåêò (Z, ψ) íàçîâåì
òàêîå íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå χ : Y → Z, äëÿ êîòîðîãî äèàãðàììà
(1.8) êîììóòàòèâíà. Òîãäà ëåãêî ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî êàíîíè÷åñêàÿ ïàðà
(X/α, πα) íà÷àëüíûé îáúåêò â êàòåãîðèè Ctop. ñëåäóþùèõ ïðèìåðàõ ìû, êàê ïðàâèëî, íå áóäåì ÿâíî îïèñûâàòü
êàòåãîðèè, â êîòîðûõ ðàññìàòðèâàåìûå êîíñòðóêöèè äàþò óíèâåðñàëü-
íûå îáúåêòû. ×èòàòåëþ ïðåäëàãàåòñÿ ñäåëàòü ýòî ñàìîñòîÿòåëüíî.
i) Ôàêòîðãðóïïà, ôàêòîðêîëüöî, ôàêòîðàëãåáðà. Åñòü òàêæå àë-
ãåáðàè÷åñêèå âåðñèè ïîíÿòèÿ ôàêòîðîáúåêòà. Ñ íîðìàëüíîé ïîäãðóïïîé
â ãðóïïå è ñ (äâóñòîðîííèì â íåêîììóòàòèâíîì ñëó÷àå) èäåàëîì â êîëü-
öå ñâÿçàíû îòíîøåíèÿ ýêâèâàëåíòíîñòè, ñîãëàñîâàííûå ñ îïåðàöèÿìè.
Ðàçáåð¼ì ýòî áîëåå ïîäðîáíî.
Ïóñòü G ãðóïïà è H ⊂ G å¼ íîðìàëüíàÿ ïîäãðóïïà; òàêèì îá-
ðàçîì, îïðåäåëåíà ôàêòîðãðóïïà G/H, çàäàííàÿ âìåñòå ñ êàíîíè÷åñêèì
ãîìîìîðôèçìîì π : G → G/H. Ïàðà (G/H, π) îáëàäàåò ñëåäóþùèì
óíèâåðñàëüíûì ñâîéñòâîì: äëÿ ëþáîãî ãîìîìîðôèçìà ãðóïï φ : G→ K
òàêîãî ÷òî H ⊂ kerφ ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé ãîìîìîðôèçì ãðóïï
ψ : G/H → K òàêîé ÷òî ψ π = φ, òî åñòü äèàãðàììà
G π //
φ
G/H
ψ||yyyyyyyy
K
êîììóòàòèâíà. Äàííîå óíèâåðñàëüíîå ñâîéñòâî ÷àñòî îêàçûâàåòñÿ ïî-
ëåçíûì ïðè ïîñòðîåíèè ãîìîìîðôèçìîâ ãðóïï.
Çàäà÷à. Äîêàçàòü ñôîðìóëèðîâàííîå óíèâåðñàëüíîå ñâîéñòâî ôàêòîð-
ãðóïïû.
Ïóñòü R êîëüöî è I ⊂ R åãî äâóñòîðîííèé èäåàë; òàêèì îá-
ðàçîì, îïðåäåëåíî ôàêòîðêîëüöî R/I, çàäàííîå âìåñòå ñ êàíîíè÷åñêèì
43
ãîìîìîðôèçìîì π : R→ R/I. Ïàðà (R/I, π) îáëàäàåò ñëåäóþùèì óíè-
âåðñàëüíûì ñâîéñòâîì: äëÿ ëþáîãî ãîìîìîðôèçìà êîëåö φ : R → S
òàêîãî ÷òî I ⊂ kerφ ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé ãîìîìîðôèçì êîëåö
ψ : R/I → S òàêîé ÷òî ψ π = φ, òî åñòü äèàãðàììà
R π //
φ
R/I
ψ
S
êîììóòàòèâíà. Äàííîå óíèâåðñàëüíîå ñâîéñòâî ÷àñòî îêàçûâàåòñÿ ïî-
ëåçíûì ïðè ïîñòðîåíèè ãîìîìîðôèçìîâ êîëåö.
Çàäà÷à. Äîêàçàòü ñôîðìóëèðîâàííîå óíèâåðñàëüíîå ñâîéñòâî ôàêòîð-
êîëüöà.
Çàäà÷à. Ñôîðìóëèðîâàòü è äîêàçàòü óíèâåðñàëüíûå ñâîéñòâà ôàê-
òîðïðîñòðàíñòâà (ôàêòîðìîäóëÿ) è ôàêòîðàëãåáðû.
j) Àëãåáðà Êëèôôîðäà. Àëãåáðû Êëèôôîðäà âîçíèêàþò êàê ðåøå-
íèå ñëåäóþùåé çàäà÷è. Ïóñòü k ïîëå è V âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî
íàä k, ñíàáæ¼ííîå êâàäðàòè÷íîé ôîðìîé Q. Ïóñòü C àññîöèàòèâíàÿ
óíèòàëüíàÿ àëãåáðà íàä k è j : V → C òàêîå ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå
ïîäñòèëàþùèõ âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâ, ÷òî j(v)2 = Q(v) · 1C ∀v ∈ V(1C åäèíèöà â àëãåáðå C). Äðóãèìè ñëîâàìè, êâàäðàòû âñåõ ýëåìåíòîâ
âèäà j(v), v ∈ V ÿâëÿþòñÿ ñêàëÿðàìè â C, òî åñòü êðàòíûìè åäèíè÷-
íîãî ýëåìåíòà 1C (ñ êîýôôèöèåíòîì Q(v)). Ìû õîòèì íàéòè ïàðó (C, j),
êîòîðàÿ óäîâëåòâîðÿëà áû ñëåäóþùåìó óíèâåðñàëüíîìó ñâîéñòâó. Äëÿ
ëþáîé àññîöèàòèâíîé óíèòàëüíîé k-àëãåáðû A è ïðîèçâîëüíîãî ëèíåé-
íîãî îòîáðàæåíèÿ φ : V → A ïîäñòèëàþùèõ âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâ òà-
êîãî, ÷òî φ(v)2 = Q(v) ·1A ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåí ãîìîìîðôèçì àëãåáð
ψ : C → A, ïðåâðàùàþùèé äèàãðàììó
Vj
//
φ
C
ψ~~~~~~~~~~
A
â êîììóòàòèâóþ.
Àëãåáðà C(V, Q), ÿâëÿþùàÿñÿ ðåøåíèåì ñôîðìóëèðîâàííîé çàäà÷è
ñóùåñòâóåò, è íàçûâàåòñÿ àëãåáðîé Êëèôôîðäà. Èäåÿ å¼ êîíñòðóêöèè îñ-
íîâàíà íà óíèâåðñàëüíîì ñâîéñòâå òåíçîðíîé àëãåáðû (ñì. îäèí èç ïðè-
ìåðîâ âûøå). À èìåííî, äëÿ ëþáîãî ëèíåéíîãî îòîáðàæåíèÿ φ : V → A
44
ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé ãîìîìîðôèçì àëãåáð ϑ : T (V ) → A, äåëàþ-
ùèé äèàãðàììó
ViV //
φ
T (V )
ϑ||yyyyyyyyy
A
êîììóòàòèâíîé.
 ñèëó óñëîâèÿ φ(v)2 = Q(v) · 1A è êîììóòàòèâíîñòè äèàãðàììû,
ãîìîìîðôèçì ϑ âñå ýëåìåíòû âèäà
v ⊗ v −Q(v) · 1T (V ) ∈ T (V ), v ∈ V
ïåðåâîäèò â 0, à çíà÷èò äâóñòîðîííèé èäåàë I(Q) ⊂ T (V ), ïîðîæä¼í-
íûé ýëåìåíòàìè óêàçàííîãî âèäà, ëåæèò â ÿäðå ãîìîìîðôèçìà ϑ. Çíà-
÷èò, åñëè ìû ïîëîæèì B := T (V )/I(Q), òî ïî óíèâåðñàëüíîìó ñâîé-
ñòâó ôàêòîðàëãåáðû ãîìîìîðôèçì ϑ ïðîïóñêàåòñÿ (=ôàêòîðèçóåòñÿ)
÷åðåç ãîìîìîðôèçì ψ : B → A. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, åñëè ìû ïîëîæèì
j := π iV : V → B, ãäå π : T (V ) → T (V )/I(Q) êàíîíè÷åñêàÿ ïðîåê-
öèÿ, òî j(v)2 = Q(v) ·1B. Îòñþäà ëåãêî âèäåòü, ÷òî ïàðà (B, j) îáëàäàåòòðåáóåìûì óíèâåðñàëüíûì ñâîéñòâîì, òî åñòü B = C(V, Q). Çàìåòèì,
÷òî åäèíñòâåííîñòü ãîìîìîðôèçìà ψ ñëåäóåò èç åäèíñòâåííîñòè ϑ.
Ïîäðîáíîñòè ñì., íàïðèìåð, â [5], ñ. 153-155 èëè â [13], ëåêöèÿ 13.
Çàìåòèì, ÷òî íåñìîòðÿ íà êàæóùååñÿ àáñòðàêòíûì îïðåäåëåíèå, àë-
ãåáðû Êëèôôîðäà íàøëè ïðèìåíåíèå íå òîëüêî â ìàòåìàòèêå (òåîðèÿ
ãðóïï Ëè, ðèìàíîâà ãåîìåòðèÿ è K-òåîðèÿ), íî è â ôèçèêå, â óðàâíåíèè
Äèðàêà, îïèñûâàþùåì ðåëÿòèâèñòñêèé ýëåêòðîí. Êðîìå òîãî, ÷àñòíûì
ñëó÷àåì (ïðè Q = 0) àëãåáðû Êëèôôîðäà ÿâëÿåòñÿ âíåøíÿÿ àëãåáðà
âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà.
Çàäà÷à. Ñôîðìóëèðóéòå óíèâåðñàëüíîå ñâîéñòâî âíåøíåé àëãåáðû.
k) Óíèâåðñàëüíàÿ îá¼ðòûâàþùàÿ àëãåáðà. Èç ïðîèçâîëüíîé àñ-
ñîöèàòèâíîé óíèòàëüíîé k-àëãåáðû A ìîæíî ñêîíñòðóèðîâàòü àëãåáðó
Ëè, åñëè äëÿ ïðîèçâîëüíûõ ýëåìåíòîâ a, b ∈ A îïðåäåëèòü èõ ñêîáêó
Ëè [a, b] ôîðìóëîé [a, b] = ab−ba (çäåñü ab ïðîèçâåäåíèå ýëåìåíòîâ â
ñìûñëå àññîöèàòèâíîãî óìíîæåíèÿ â A). Ñîîòâåòñòâóþùóþ àëãåáðó Ëè
îáîçíà÷èì AL. Áîëåå òîãî, óíèòàëüíûé ãîìîìîðôèçì àññîöèàòèâíûõ àë-
45
ãåáð φ : A→ B èíäóöèðóåò ãîìîìîðôèçì àëãåáð Ëè φL : AL → BL.25
Óíèâåðñàëüíîé îá¼ðòûâàþùåé àëãåáðîé àëãåáðû Ëè L íàä ïîëåì k
íàçûâàåòñÿ ïàðà (U(L), iL), ñîñòîÿùàÿ èç àññîöèàòèâíîé óíèòàëüíîé àë-
ãåáðû U(L) íàä k è ãîìîìîðôèçìà àëãåáð Ëè iL : L → U(L)L, îáëà-
äàþùàÿ ñëåäóþùèì óíèâåðñàëüíûì ñâîéñòâîì. Äëÿ ëþáîé àññîöèàòèâ-
íîé óíèòàëüíîé àëãåáðû A íàä k è ëþáîãî ãîìîìîðôèçìà àëãåáð Ëè
φ : L→ AL ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé ãîìîìîðôèçì óíèòàëüíûõ àññîöè-
àòèâíûõ àëãåáð ψ : U(L)→ A òàêîé, ÷òî ψL i = φ, òî åñòü äèàãðàììà
LiL //
φ
U(L)L
ψLwwwwwwwww
AL
êîììóòàòèâíà.
Ñóùåñòâîâàíèå óíèâåðñàëüíîé îá¼ðòûâàþùåé àëãåáðû äîêàçûâàåòñÿ
å¼ ïðÿìîé êîíñòðóêöèåé. Èìåííî, ïóñòü T (L) òåíçîðíàÿ àëãåáðà ïîä-
ëåæàùåãî âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà àëãåáðû Ëè L. Ïóñòü I(L) ⊂ T (L)
äâóñòîðîííèé èäåàë, ïîðîæä¼ííûé âñåìè ýëåìåíòàìè âèäà
a⊗ b− b⊗ a− [a, b], a, b ∈ L.
Ïîëîæèì iL := π i, ãäå i : L → T (L) åñòåñòâåííîå âëîæåíèå à
π : T (L) → T (L)/I(L) êàíîíè÷åñêàÿ ïðîåêöèÿ. Òîãäà ëåãêî âèäåòü,
÷òî iL : L → U(L)L ãîìîìîðôèçì àëãåáð Ëè. Òðåáóåìîå óíèâåðñàëü-
íîå ñâîéñòâî ïàðû (U(L), iL) ñëåäóåò òåïåðü èç óíèâåðñàëüíûõ ñâîéñòâ
òåíçîðíîé àëãåáðû T (L) è ôàêòîðàëãåáðû.
Ïîäðîáíîñòè ñì., íàïðèìåð, â [13], ëåêöèÿ 5.
l) Êîëüöî ÷àñòíûõ. Ïðèìåðû óíèâåðñàëüíûõ îáúåêòîâ äîñòàâëÿþò
íàì òàêæå êîëüöà ÷àñòíûõ. Ñîîòâåòñòâóþùóþ êîíñòðóêöèþ ìû ðàçáå-
ðåì â î÷åíü ÷àñòíîì ñëó÷àå. À èìåííî, ïóñòü A öåëîñòíîå êîëüöî
(íàïîìíèì, ÷òî öåëîñòíîå êîëüöî ýòî êîììóòàòèâíîå àññîöèàòèâíîå
êîëüöî ñ åäèíèöåé è áåç äåëèòåëåé íóëÿ). Íàïîìíèì òàêæå, ÷òî äëÿ öå-
ëîñòíîãî êîëüöà îïðåäåëåíî ïîëå ÷àñòíûõ Quot(A), èíà÷å íàçûâàåìîå
ïîëåì ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé (äëÿ A = Z ýòî ïîëå Q, à äëÿ êîëüöà
25íèæå ìû óçíàåì, ÷òî òåì ñàìûì ìû îïðåäåëèëè ôóíêòîð èç êàòåãîðèè àññîöèàòèâíûõ óíè-
òàëüíûõ àëãåáð Algk â êàòåãîðèþ àëãåáð Ëè Liek.
46
ìíîãî÷ëåíîâ A = k[X] ïîëå ðàöèîíàëüíûõ ôóíêöèé k(X)). Îíî ñî-
ñòîèò èç êëàññîâ ýêâèâàëåíòíîñòè âûðàæåíèé a/b, ãäå a, b ∈ A, b = 0
îòíîñèòåëüíî ñëåäóþùåãî îòíîøåíèÿ ýêâèâàëåíòíîñòè:
(a/b ∼ a′/b′)⇔ (b′a− ba′ = 0).
Ñëîæåíèå è óìíîæåíèå â Quot(A) îïðåäåëÿþòñÿ ïî îáû÷íûì ôîðìóëàì
äëÿ äðîáåé:
a/b+ a′/b′ = (b′a+ ba′)/bb′, (a/b) · (a′/b′) = (aa′/bb′).
Çàìåòèì, ÷òî ïîëå ÷àñòíûõ Quot(A) îïðåäåëåíî âìåñòå ñ êàíîíè÷åñêèì
âëîæåíèåì jA : A→ Quot(A), a 7→ a/1.
Ðàññìîòðèì òåïåðü êàòåãîðèþ, îáúåêòàìè êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ ïàðû
(K, f), ãäå K íåêîòîðîå ïîëå, à f : A→ K âëîæåíèå A â K â êà÷å-
ñòâå ïîäêîëüöà. Ìîðôèçì èç (K, f) â (L, g) ýòî òàêîé ãîìîìîðôèçì
(ò.å. âëîæåíèå) ïîëåé φ : K → L, ÷òî äèàãðàììà
Ag
f//K
φ~~~~~~~~~~
L
êîììóòàòèâíà. Òîãäà ïàðà (Quot(A), jA) ÿâëÿåòñÿ íà÷àëüíûì îáúåêòîì
â äàííîé êàòåãîðèè.
m) Àáåëèàíèçàöèÿ. Ïóñòü G ïðîèçâîëüíàÿ ãðóïïà, G′ å¼ êîììó-
òàíò. Íàïîìíèì, ÷òî êîììóòàíò ãðóïïû G ïîäãðóïïà, ïîðîæä¼ííàÿ
âñåìè êîììóòàòîðàìè
[g1, g2] := g1g2g−11 g−12 , g1, g2 ∈ G.
Êîììóòàíò òðèâèàëåí òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ãðóïïà G àáåëåâà.
Î÷åâèäíî, ÷òî åñëè φ : G→ H ãîìîìîðôèçì ãðóïï, òî φ(G′) ⊂ H ′,
à åñëè φ(G) = H, òî φ(G′) = H ′.  ÷àñòíîñòè, êîììóòàíò èíâàðèàíòåí
îòíîñèòåëüíî âñåõ âíóòðåííèõ àâòîìîðôèçìîâ ãðóïïû, òî åñòü ÿâëÿåòñÿ
íîðìàëüíîé ïîäãðóïïîé. Çíà÷èò, îïðåäåëåíà ôàêòîðãðóïïà G/G′, íàçû-
âàåìàÿ àáåëèàíèçàöèåé ãðóïïû G è îáîçíà÷àåìàÿ Gab.
Çàäà÷à. Äîêàæèòå, ÷òî ïàðà (Gab, α), ãäå α : G → Gab êàíîíè-
÷åñêàÿ ïðîåêöèÿ íà ôàêòîðãðóïïó, îáëàäàåò ñëåäóþùèì óíèâåðñàëü-
47
íûì ñâîéñòâîì: äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ãîìîìîðôèçìà φ : G → A â àáå-
ëåâó ãðóïïó A ñóùåñòâóåò è ïðèòîì åäèíñòâåííûé ãîìîìîðôèçì
ψ : Gab → A òàêîé, ÷òî ψ α = φ, òî åñòü äèàãðàììà
G α //
φ
Gab
ψ
A
êîììóòàòèâíà.
n) Ãðóïïîâàÿ àëãåáðà. Ãðóïïîâîé àëãåáðîé ãðóïïû G íàä ïîëåì k
íàçûâàåòñÿ àëãåáðà, îáîçíà÷àåìàÿ k[G], áàçèñíûå ýëåìåíòû (êàê âåê-
òîðíîãî ïðîñòðàíñòâà íàä k) êîòîðîé çàíóìåðîâàíû ýëåìåíòàìè ãðóïïû
G, ïðè÷¼ì ïðîèçâåäåíèå áàçèñíûõ ýëåìåíòîâ ñ íîìåðàìè g1, g2 ∈ G åñòü
áàçèñíûé ýëåìåíò ñ íîìåðîì g1g2.
Îáû÷íî áàçèñíûå ýëåìåíòû k[G] îáîçíà÷àþòñÿ òåì æå ñèìâîëîì ÷òî
è ýëåìåíòû ãðóïïû G. Ïðè òàêîì ñîãëàøåíèè ïðîèçâîëüíûé ýëåìåíò
k[G] îäíîçíà÷íî ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå
a =∑g∈G
agg (ag ∈ k, ag = 0 òîëüêî äëÿ êîíå÷íîãî ÷èñëà ýëåìåíòîâ g ∈ G).
(1.9)
Èç àññîöèàòèâíîñòè óìíîæåíèÿ ýëåìåíòîâ â ãðóïïå G âûòåêàåò àññîöè-
àòèâíîñòü óìíîæåíèÿ â àëãåáðå k[G]. Ìîæíî åùå áîëåå óïðîñòèòü îáî-
çíà÷åíèÿ, åñëè ýëåìåíò (1.9) ãðóïïîâîé àëãåáðû k[G] ðàññìàòðèâàòü êàê
ôóíêöèþ a : G → k, a(g) := ag ñ êîíå÷íûì íîñèòåëåì.  ýòèõ îáîçíà-
÷åíèÿõ ïðîèçâåäåíèå a ∗ b äâóõ ýëåìåíòîâ a, b ∈ k[G] èìååò ñëåäóþùèéâèä:
(a ∗ b)(g) =∑h∈G
a(h)b(h−1g)
è íàçûâàåòñÿ ñâ¼ðòêîéôóíêöèé a è b íà ãðóïïåG. Çàìåòèì, ÷òî äåëüòà-
ôóíêöèÿ δe â åäèíèöå e ∈ G (òî åñòü δe(e) = 1 è δe(g) = 0 ïðè g = e)
èãðàåò ðîëü åäèíèöû àëãåáðû k[G].
Äëÿ A ∈ Ob(Algk) îòîáðàæåíèå φ : G → A íàçîâ¼ì ìóëüòèïëèêà-
òèâíûì, åñëè
φ(g1g2) = φ(g1)φ(g2) ∀g1, g2 ∈ G.
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ýòî òî æå, ÷òî êîìïîçèöèÿ ãîìîìîðôèçìà ãðóïï
48
G→ A×, ãäå A× ìóëüòèïëèêàòèâíàÿ ãðóïïà àëãåáðû A26, ñ êàíîíè-
÷åñêèì âëîæåíèåì A× → A.
Òîãäà ïàðà (k[G], α), ãäå α : G → k[G] êàíîíè÷åñêîå ìóëüòèïëè-
êàòèâíîå îòîáðàæåíèå, îäíîçíà÷íî ñ òî÷íîñòüþ äî èçîìîðôèçìà (êàê,
âïðî÷åì, ëþáîé óíèâåðñàëüíûé îáúåêò) õàðàêòåðèçóåòñÿ ñëåäóþùèì
óíèâåðñàëüíûì ñâîéñòâîì: äëÿ ëþáîãî ìóëüòèïëèêòèâíîãî îòîáðàæåíèÿ
φ : G → A ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé ãîìîìîðôèçì àëãåáð ψ : k[G] → A
òàêîé, ÷òî ψ α = φ, èëè, áîëåå íàãëÿäíî, òàêîé, ÷òî äèàãðàììà
G α //
φ
k[G]
ψ
A
êîììóòàòèâíà.
Îòìåòèì, ÷òî ïîíÿòèå ãðóïïîâîé àëãåáðû äîïóñêàåò ïîëåçíûå îáîá-
ùåíèÿ: âî-ïåðâûõ, ãðóïïó ìîæíî çàìåíèòü ìîíîèäîì è òîãäà ïîëó÷àåòñÿ
ìîíîèäàëüíàÿ àëãåáðà27, âî-âòîðûõ, âìåñòî ïîëåé ìîæíî ðàññìàòðèâàòü
êîëüöà, è òîãäà ìû ïîëó÷èì ïîíÿòèå ãðóïïîâîãî êîëüöà.
o) Ñèììåòðèçàöèÿ êîììóòàòèâíîãî ìîíîèäà. Íàïîìíèì, ÷òî ìî-
íîèäîì íàçûâàåòñÿ ïîëóãðóïïà ñ åäèíèöåé, íî, â îòëè÷èå îò ãðóïïû, â
í¼ì, âîîáùå ãîâîðÿ, íå äëÿ âñÿêîãî ýëåìåíòà åñòü îáðàòíûé. Ìîíîèäû
îáðàçóþò êàòåãîðèþ, ìîðôèçìàìè â êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ ãîìîìîðôèçìû
ìîíîèäîâ (çàìåòèì, ÷òî, â îòëè÷èå îò ãðóïï, äëÿ îòîáðàæåíèÿ ìîíîè-
äîâ f : M → N èç óñëîâèÿ f(xy) = f(x)f(y) ∀x, y ∈ M íå ñëåäóåò
÷òî f åäèíè÷íûé ýëåìåíò ïåðåâîäèò â åäèíè÷íûé, ýòî óñëîâèå íóæíî
íàêëàäûâàòü äîïîëíèòåëüíî).
Ïî îïðåäåëåíèþ, ñèììåòðèçàöèÿ êîììóòàòèâíîãî ìîíîèäà M ýòî
ïàðà (S(M), αM) ñîñòîÿùàÿ èç àáåëåâîé ãðóïïû S(M) è ãîìîìîðôèçìà
ïîäñòèëàþùèõ ìîíîèäîâ αM : M → S(M), òàêàÿ, ÷òî âûïîëíåíî ñëå-
äóþùåå óíèâåðñàëüíîå ñâîéñòâî: äëÿ ïðîèçâîëüíîé àáåëåâîé ãðóïïû A
è ïðîèçâîëüíîãî ãîìîìîðôèçìà ïîäñòèëàþùèõ ìîíîèäîâ f : M → A
ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåí ãîìîìîðôèçì ãðóïï f : S(M) → A òàêîé, ÷òî
26íàïîìíèì, ÷òî ìóëüòèïëèêàòèâíîé ãðóïïîé àññîöèàòèâíîé óíèòàëüíîé àëãåáðû A íàçûâàåòñÿ
ãðóïïà îáðàòèìûõ îòíîñèòåëüíî óìíîæåíèÿ ýëåìåíòîâ àëãåáðû A ñ îïåðàöèåé óìíîæåíèÿ.27ïîñ÷èòàéòå ìîíîèäàëüíóþ àëãåáðó äëÿ ìîíîèäà íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ñ 0.
49
äèàãðàììà
MαM //
f
S(M)
fwwwwwwwww
Aêîììóòàòèâíà.
×èòàòåëü ëåãêî ïðîâåðèò, ÷òî, íàïðèìåð, äëÿ ìîíîèäà íåîòðèöàòåëü-
íûõ öåëûõ ÷èñåë ïî ñëîæåíèþ ñèììåòðèçàöèåé áóäåò àääèòèâíàÿ ãðóïïà
öåëûõ ÷èñåë, à äëÿ ìîíîèäà íàòóðàëüíûõ ÷èñåë (áåç íóëÿ) îòíîñèòåëü-
íî óìíîæåíèÿ ìóëüòèïëèêàòèâíàÿ ãðóïïà ïîëîæèòåëüíûõ ðàöèîíàëü-
íûõ ÷èñåë.
×òîáû ïîêàçàòü, ÷òî ñèììåòðèçàöèÿ ñóùåñòâóåò, íóæíî äàòü å¼ êîí-
ñòðóêöèþ, è ïðîâåðèòü äëÿ íå¼ âûïîëíåíèå óíèâåðñàëüíîãî ñâîéñòâà.
Ïðîñòåéøèé ïóòü ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû îïðåäåëèòü S(M) êàê ôàêòîð-
ãðóïïó ñâîáîäíîé àáåëåâîé ãðóïïû F(M), ïîðîæä¼ííîé âñåìè ñèìâîëà-
ìè [m], m ∈ M , ïî ïîäãðóïïå, ïîðîæä¼ííîé ëèíåéíûìè êîìáèíàöèÿìè
âèäà [m + n] − [m] − [n] ∈ F(M) (ãäå ñóììà m + n áåð¼òñÿ â ìîíîè-
äå M), è ïîëîæèòü αM(m) ðàâíûì êëàññó ýëåìåíòà [m]. Óíèâåðñàëüíîå
ñâîéñòâî ïîñòðîåííîé ïàðû (S(M), αM) òîãäà ñëåäóåò èç óíèâåðñàëüíûõ
ñâîéñòâ ñâîáîäíîé àáåëåâîé ãðóïïû è ôàêòîðãðóïïû. Ïîäðîáíîñòè ñì.,
íàïðèìåð, â [5].
p) Ïîïîëíåíèå ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà. Ïóñòü (X, d) ìåò-
ðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî. Åãî ïîïîëíåíèåì íàçûâàåòñÿ ïàðà ((X, d), iX),
ñîñòîÿùàÿ èç ïîëíîãî ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà (X, d) è èçîìåòðèè28
iX : (X, d) → (X, d), îáëàäàþùàÿ ñëåäóþùèì óíèâåðñàëüíûì ñâîé-
ñòâîì: äëÿ ëþáîãî ïîëíîãî ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà (Y, ρ) è ïðîèç-
âîëüíîé èçîìåòðèè φ : (X, d)→ (Y, ρ) ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ èçîìåò-
ðèÿ ψ : (X, d)→ (Y, ρ), äåëàþùàÿ äèàãðàììó
XiX //
φ
X
ψ~~~~~~~~~~
Y
êîììóòàòèâíîé. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ýòî îïðåäåëåíèå ïîïîëíåíèÿ ÷åðåç
óíèâåðñàëüíîå ñâîéñòâî ýêâèâàëåíòíî îáû÷íîìó îïðåäåëåíèþ, òàê êàê
28íàïîìíèì, ÷òî îòîáðàæåíèå ìåòðè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâ φ : (X, d)→ (Y, ρ) íàçûâåòñÿ èçîìåòðè-
åé, åñëè ρ(φ(x1), φ(x2)) = d(x1, x2) ∀x1, x2 ∈ X.
50
óñëîâèå óíèâåðñàëüíîñòè ýêâèâàëåíòíî òîìó, ÷òî iX(X) ïëîòíî â X.
Ïîäðîáíîñòè ñì., íàïðèìåð, â [16].
q) Êîìïàêòèôèêàöèÿ Ñòîóíà-×åõà. Ïóñòü X òîïîëîãè÷åñêîå
ïðîñòðàíñòâî. Ïàðà (βX, iX), ñîñòîÿùàÿ èç êîìïàêòíîãî õàóñäîðôî-
âà ïðîñòðàíñòâà βX è íåïðåðûâíîãî îòîáðàæåíèÿ iX : X → βX íà-
çûâàåòñÿ êîìïàêòèôèêàöèåé Ñòîóíà-×åõà, åñëè îíà îáëàäàåò ñëåäóþ-
ùèì óíèâåðñàëüíûì ñâîéñòâîì: äëÿ ëþáîãî íåïðåðûâíîãî îòîáðàæåíèÿ
f : X → K â êîìïàêòíîå õàóñäîðôîâî ïðîñòðàíñòâî K ñóùåñòâóåò ïðè-
÷¼ì åäèíñòâåííîå íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå βf : βX → K òàêîå, ÷òî
äèàãðàììà
XiX //
f
βX
βf
Kêîììóòàòèâíà.
Äðóãèìè ñëîâàìè, êîìïàêòèôèêàöèÿ Ñòîóíà-×åõà äà¼ò óíèâåðñàëü-
íîå îòîáðàæåíèå èç X â êîìïàêòíîå õàóñäîðôîâî ïðîñòðàíñòâî βX. Òî
åñòü βX íàèáîëüøåå êîìïàêòíîå õàóñäîðôîâî ïðîñòðàíñòâî, ïî-
ðîæä¼ííîå X â òîì ñìûñëå ÷òî ëþáûå íåïðåðûâíûå îòîáðàæåíèÿ èç
X â êîìïàêòíûå õàóñäîðôîâû ïðîñòðàíñòâà ôàêòîðèçóþòñÿ ÷åðåç βX
(åäèíñòâåííûì îáðàçîì).
Çàìåòèì, ÷òî äàæå äëÿ òàêèõ ïðîñòûõ íåêîìïàêòíûõ ïðîñòðàíñòâ
êàê äèñêðåòíîå ïðîñòðàíñòâî N ýòà êîìïàêòèôèêàöèÿ ìîæåò áûòü î÷åíü
ñëîæíîé (â ÷àñòíîñòè, βN èìååò ìîùíîñòü 2ℵ, ãäå ℵ ìîùíîñòü êîíòè-
íóóìà).
r) Ñâîáîäíàÿ ìàãìà. Âîò åùå îäèí ïðèìåð. Ðàññìîòðèì êàòåãîðèþ
M, îáúåêòàìè êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ ò.í. ìàãìû, ò.å. âñåâîçìîæíûå ïàðû
(Y, ·), ãäå Y ìíîæåñòâî, à · áèíàðíàÿ îïåðàöèÿ íà íåì (íèêàêè-
ìè äîïîëíèòåëüíûìè ñâîéñòâàìè âðîäå àññîöèàòèâíîñòè, êîììóòàòèâ-
íîñòè è ò.ï., âîîáùå ãîâîðÿ, íå îáëàäàþùàÿ).  êà÷åñòâå ìîðôèçìîâ
f : (Y, ·)→ (Z, ) ðàññìàòðèâàþòñÿ îòîáðàæåíèÿ ìíîæåñòâ, ñîãëàñîâàí-íûå ñ îïåðàöèÿìè, ò.å. òàêèå ÷òî f(a ·b) = f(a)f(b) ∀a, b ∈ Y. Çàìåòèì,÷òî çàäàíèå áèíàðíîé îïåðàöèè íà ìíîæåñòâå Y ýêâèâàëåíòíî çàäàíèþ
îòîáðàæåíèÿ µ : Y × Y → Y .
ÏóñòüX ìíîæåñòâî. Ìû õîòèì ïîñòðîèòü ñâîáîäíóþ ìàãìó íàäX,
òî åñòü ïàðó ((M(X), ⋆), iX), ãäå (M(X), ⋆) ìàãìà, à iX : X →M(X)
51
âëîæåíèå ìíîæåñòâ, òàêóþ ÷òî äëÿ ëþáîé ìàãìû Y è ïðîèçâîëüíîãî
îòîáðàæåíèÿ ìíîæåñòâ φ : X → Y ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé ìîðôèçì
ìàãì ψ : M(X)→ Y òàêîé, ÷òî äèàãðàììà
XiX //
φ
M(X)
ψwwwwwwwww
Y
êîììóòàòèâíà.
Çàìåòèì, ÷òî ò.ê. îïåðàöèÿ µ â îáùåì ñëó÷àå íå ÿâëÿåòñÿ àññîöèà-
òèâíîé, ðåçóëüòàò åå âûïîëíåíèÿ áóäåò çàâèñåòü îò ðàññòàíîâêè ñêîáîê.
Ðàññòàâèòü ñêîáêè â ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èç n ýëåìåíòîâ ìîæíî çàäàâ
ïëàíàðíîå áèíàðíîå êîðíåâîå äåðåâî ñ n ëèñòüÿìè. Íàïðèìåð, äåðåâó ñ
5 ëèñòüÿìè
@@
@@
@@
AAA
a b c d e
(1.10)
ñîîòâåòñòâóåò ñëåäóþùàÿ ðàññòàíîâêà ñêîáîê (çäåñü è íèæå ìû îïóñêà-
åì òî÷êè, îáîçíà÷àþùèå îïåðàöèþ): ((ab)c)(de); ÷èòàòåëü ëåãêî âûâåäåò
îáùåå ïðàâèëî ñàìîñòîÿòåëüíî. Îáîçíà÷èì ìíîæåñòâî ïëàíàðíûõ áè-
íàðíûõ êîðíåâûõ äåðåâüåâ ñ n ëèñòüÿìè ÷åðåç Jn (ìîùíîñòè ìíîæåñòâ
Jn îáðàçóþò çíàìåíèòóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü Êàòàëàíà). Èç ñêàçàííî-
ãî âûøå ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ìàãìû (Y, ·) êàæäîå äåðåâî T ∈ Jn çàäàåò
îòîáðàæåíèå µT : Yn → Y (íàïðèìåð, äëÿ äåðåâà T íà äèàãðàììå (1.10)
èìååì: µT (y1, y2, y3, y4, y5) = ((y1y2)y3)(y4y5)). Ýòî îòîáðàæåíèå ìîæíî
çàïèñàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïóñòü l(T ) ÷èñëî ëèñòüåâ êîðíåâîãî
äåðåâà T. Ââåäåì îáîçíà÷åíèå
M(Y ) :=⨿T
T × Y l(T ).
Òîãäà ìàãìà (Y, ·) èíäóöèðóåò îòîáðàæåíèå µ : M(Y )→ Y, ïåðåâîäÿùåå
52
(T ; y1, . . . , yl(T )) â µT (y1, . . . , yl(T )).29
Ïóñòü òåïåðü X ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî (íå îáÿçàòåëüíî ìàãìà).
Ðàññìîòðèì
M(X) :=⨿T
T ×X l(T ).
Çàìåòèì, ÷òî íà ìíîæåñòâå M(X) åñòü óìíîæåíèå ⋆, èíäóöèðîâàííîå
ïðîèçâåäåíèåì äåðåâüåâ (T ′, T ′′) 7→ T ′ ∗ T ′′:
@@
@@
@
a b c
*
@@
@@@
d e
=
@@
@@
@@
AAA
a b c d e
,
ïðè÷åì, î÷åâèäíî, l(T ′ ∗ T ′′) = l(T ′) + l(T ′′). Áîëåå ïîäðîáíî,
(T ′; x′1, . . . , x′l(T ′)) ⋆ (T
′′; x′′1, . . . , x′′l(T ′′)) = (T ′ ∗ T ′′;x1, . . . , xl(T ′)+l(T ′′)),
ãäå xi = x′i ïðè 1 ≤ i ≤ l(T ′) è xl(T ′)+j = x′′j ïðè 1 ≤ j ≤ l(T ′′). Òàêèì
îáðàçîì, (M(X), ⋆) ìàãìà.
Âëîæåíèå iX : X ⊂ M(X) óñòðîåíî ñëåäóþùèì îáðàçîì: ìíîæåñòâî
J1 ñîñòîèò èç îäíîãî äåðåâà τ ; ýëåìåíòó x ∈ X ñîïîñòàâëÿåòñÿ ýëåìåíò
(τ, x) ∈M(X)). Îòîáðàæåíèå ψ, çàäàåòñÿ ñëåäóþùåé ôîðìóëîé:
ψ(T ; x1, . . . , xl(T )) = µT (φ(x1), . . . , φ(xl(T ))).
Ïðîâåðèòü óíèâåðñàëüíîå ñâîéñòâî ïîñòðîåííîé ïàðû ((M(X), ⋆), iX)
ïðåäëàãàåòñÿ ÷èòàòåëþ ñàìîñòîÿòåëüíî (ñì. [4]).
Íèæå (îñîáåííî â ãëàâå î ñîïðÿæ¼ííûõ ôóíêòîðàõ âî âòîðîé ÷àñòè
ïîñîáèÿ) ìû âñòðåòèìñÿ ñ äðóãèìè ïðèìåðàìè óíèâåðñàëüíûõ îáúåêòîâ
(à íà ðàññìîòðåííûå ïðèìåðû ïîñìîòðèì ñ íîâîé òî÷êè çðåíèÿ).
29÷èòàòåëü, çíàêîìûé ñ îïåðàäàìè, óçíàåò â ýòîì ïðèìåð àëãåáðû íàä îïåðàäîé.
53
1.5 Äóàëüíàÿ êàòåãîðèÿ è ïðîèçâåäåíèå êà-
òåãîðèé
Âíèìàòåëüíûé ÷èòàòåëü ìîã îáðàòèòü âíèìàíèå, ÷òî ðÿä ââåä¼ííûõ âû-
øå ïîíÿòèé (ìîíîìîðôèçìà è ýïèìîðôèçìà, íà÷àëüíîãî è êîíå÷íîãî
îáúåêòà, êàòåãîðíûõ ñóììû è ïðîèçâåäåíèÿ) âñòðå÷àëèñü ïàðàìè, ïðè-
÷¼ì ìîæíî çàìåòèòü, ÷òî ÷ëåíû ïàðû ìåíÿþòñÿ ìåñòàìè ïðè ôîðìàëü-
íîì èçìåíåíèè íàïðàâëåíèÿ âñåõ ñòðåëîê â äèàãðàììàõ, ñ ïîìîùüþ êî-
òîðûõ îíè îïðåäåëÿþòñÿ. Íàïðèìåð, ïðè èçìåíåíèè íàïðàâëåíèé ñòðå-
ëîê äèàãðàììû èç îïðåäåëåíèÿ ñóììû (1.3) è ïðîèçâåäåíèÿ (1.4) ìå-
íÿþòñÿ ìåñòàìè. Òî æå ìîæíî ñêàçàòü ïðî äèàãðàììû (1.1) è (1.2) èç
îïðåäåëåíèé ìîíî- è ýïèìîðôèçìà. Ýòè íàáëþäåíèÿ ìîæíî ôîðìàëèçî-
âàòü ïðè ïîìîùè ïîíÿòèÿ òàê íàçûâàåìîé äâîéñòâåííîé, èëè äóàëüíîé
êàòåãîðèè.
Îïðåäåëåíèå 10. Ïóñòü C ïðîèçâîëüíàÿ êàòåãîðèÿ. Îïðåäåëèì äó-
àëüíóþ êàòåãîðèþ C ñëåäóþùèì îáðàçîì: Ob(C) = Ob(C) (íî äëÿ îáú-åêòà X ∈ Ob(C) òîò æå ñàìûé îáúåêò â äâîéñòâåííîé êàòåãîðèè áóäåì
èíîãäà îáîçíà÷àòü ÷åðåç X); HomC(X, Y ) = HomC(Y, X) (ìîðôèçìó
φ : Y → X â êàòåãîðèè C îòâå÷àåò ìîðôèçì φ : X → Y â êàòåãîðèè
C). Êðîìå òîãî, ïðåäïîëàãàþòñÿ âûïîëíåííûìè ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:
1) (φ ψ) = ψ φ, ò.å. êîììóòàòèâíîìó òðåóãîëüíèêó
Zψ
//
φψ
Y
φ~~
X
â êàòåãîðèè C îòâå÷àåò êîììóòàòèâíûé òðåóãîëüíèê
Z Yψ
oo
X
ψφ=(φψ)OO
φ
>>
â êàòåãîðèè C;
2) (idX) = idX.
54
Íåôîðìàëüíî ãîâîðÿ, äâîéñòâåííàÿ êàòåãîðèÿ C ïîëó÷àåòñÿ èç Côîðìàëüíîé çàìåíîé íàïðàâëåíèÿ âñåõ ñòðåëîê íà ïðîòèâîïîëîæíîå.
Î÷åâèäíî, (C) = C.Ïðèìåð. Âûøå ìû óæå îòìå÷àëè, ÷òî ãðóïïó G ìîæíî ðàññìàòðèâàòü
êàê êàòåãîðèþ ñ îäíèì îáúåêòîì, êàæäûé ìîðôèçì â êîòîðîé îáðàòèì.
Äëÿ ïðîèçâîëüíîé ãðóïïû G ìîæíî îïðåäåëèòü òàê íàçûâàåìóþ ïðî-
òèâîïîëîæíóþ (opposite ïî-àíãëèéñêè) ãðóïïó G, ìíîæåñòâî ýëåìåí-
òîâ êîòîðîé ñîâïàäàåò ñ ìíîæåñòâîì ýëåìåíòîâ ãðóïïû G, à óìíîæåíèå
îïðåäåëÿåòñÿ êàê g1∗g2 := g2·g1, ãäå · îáîçíà÷àåò óìíîæåíèå â èñõîäíîéãðóïïå G. Ñîïîñòàâëåíèå g 7→ g−1 îïðåäåëÿåò èçîìîðôèçì ãðóïïû G ñ
ïðîòèâîïîëîæíîé G. Çàìåòèì â ñâÿçè ñ ýòèì, ÷òî íå âñÿêàÿ êàòåãîðèÿ
èçîìîðôíà30 ñâîåé äóàëüíîé.
Çàäà÷à. Îïèøèòå êàòåãîðèþ, äóàëüíóþ êàòåãîðèè, ñâÿçàííîé ñ ÷à-
ñòè÷íî óïîðÿäî÷åííûì ìíîæåñòâîì (ñì. ïðèìåð m) èç §1.2).Ëþáîå îáùåêàòåãîðíîå ïîíÿòèå èëè óòâåðæäåíèå, åñëè åãî ïðèìå-
íèòü ê êàòåãîðèè C, äàåò â êàòåãîðèè C äâîéñòâåííîå ïîíÿòèå èëè
óòâåðæäåíèå, ïîëó÷àþùååñÿ èç èñõîäíîãî îáðàùåíèåì ñòðåëîê. Íàïðè-
ìåð, ëåãêî âèäåòü, ÷òî åñëè X ∈ Ob(C) íà÷àëüíûé (êîíå÷íûé) îáúåêò
â êàòåãîðèè C, òî X ∈ Ob(C) êîíå÷íûé (ñîîòâ. íà÷àëüíûé) îáúåêò
â êàòåãîðèè C. Äàëåå, åñëè X + Y ñóììà îáúåêòîâ X, Y â êàòåãî-
ðèè C, òî (X + Y ) ïðîèçâåäåíèå îáúåêòîâ X, Y â êàòåãîðèè C, èíàîáîðîò.31 Ïîñëåäíåå ëåãêî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî îáðàùåíèå ñòðåëîê â
äèàãðàììå äëÿ ñóììû (1.3) äàåò äèàãðàììó äëÿ ïðîèçâåäåíèÿ (1.4), è
íàîáîðîò. Àíàëîãè÷íî, ìîíîìîðôèçì (ñîîòâ. ýïèìîðôèçì) â êàòåãîðèè
C â äóàëüíîé êàòåãîðèè C ïåðåõîäèò â ýïèìîðôèçì (ñîîòâ. ìîíîìîð-
ôèçì).
Ðàññìîòðèì åùå îäèí ïðîñòîé ïðèìåð êîíñòðóèðîâàíèÿ íîâîé êà-
òåãîðèè èç çàäàííûõ ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå êàòåãîðèé, ÿâëÿþùååñÿ
àíàëîãîì îïåðàöèè äåêàðòîâà ïðîèçâåäåíèÿ ìíîæåñòâ. À èìåííî, ïóñòü
C, C ′ äâå êàòåãîðèè. Ïîëîæèì
Ob(C × C ′) = Ob(C)×Ob(C ′),30ìîðôèçìû ìåæäó êàòåãîðèÿìè íàçûâàþòñÿ ôóíêòîðàìè, èõ ìû îïðåäåëèì íèæå.31â ìàòåìàòèêå íàçâàíèå äâîéñòâåííîãî ïîíÿòèÿ ÷àñòî îáðàçóåòñÿ ñ ïîìîùüþ ïðèñòàâêè êî.
Íàïðèìåð, ãîìîëîãèè êîãîìîëîãèè è ò.ï. Ïîýòîìó êàòåãîðíóþ ñóììó â ñîâðåìåííîé ëèòåðàòóðå
÷àñòî íàçûâàþò êîïðîèçâåäåíèåì.
55
HomC×C′((X, X′), (Y, Y ′)) = HomC(X, Y )× HomC′(X
′, Y ′),
(φ, φ′) (ψ, ψ′) = (φ ψ, φ′ ψ′), id(X,X ′) = (idX , idX ′).
Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî C ×C ′ ÿâëÿåòñÿ êàòåãîðèåé. Äàííóþ êîíñòðóê-
öèþ î÷åâèäíûì îáðàçîì ìîæíî îáîáùèòü íà ëþáîå êîíå÷íîå ñåìåéñòâî
êàòåãîðèé. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî (C × C ′) = C × C ′.
56
Ãëàâà 2
Ôóíêòîðû
2.1 Îïðåäåëåíèå è ïåðâûå ïðèìåðû ôóíê-
òîðîâ
Îïðåäåëåíèå 11. Ôóíêòîð èç êàòåãîðèè C ñî çíà÷åíèÿìè â êàòåãîðèèD (îáîçíà÷åíèå: F : C → D) ñîñòîèò èç ñëåäóþùèõ äàííûõ:
a) îòîáðàæåíèÿ Ob(C)→ Ob(D), X 7→ F (X);
b) äëÿ êàæäîé óïîðÿäî÷åííîé ïàðû îáúåêòîâ X, Y ∈ Ob(C) îòîáðà-æåíèÿ ìíîæåñòâ
HomC(X, Y )→ HomD(F (X), F (Y )),
f : X → Y 7→ F (f) : F (X)→ F (Y ),
ïðè÷åì
(i) ôóíêòîð ñîõðàíÿåò òîæäåñòâåííûå ìîðôèçìû: F (idX) = idF (X), è
(ii) ôóíêòîð ñîõðàíÿåò êîìïîçèöèþ ìîðôèçìîâ: äëÿ ëþáûõ X, Y, Z ∈Ob(C) è f ∈ HomC(X, Y ), g ∈ HomC(Y, Z) èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî
F (g f) = F (g) F (f).
Çàìåòèì, ÷òî òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííàÿ êîìïîçèöèÿ ôóíêòîðîâ C F→D G→ E åñòü ôóíêòîð C GF→ E . Èìååòñÿ òàêæå î÷åâèäíûé òîæäåñòâåí-
57
íûé ôóíêòîð idC . Ýòî ïîçâîëÿåò ðàññìàòðèâàòü ëþáîå ìíîæåñòâî êàòå-
ãîðèé êàê êàòåãîðèþ ñ ôóíêòîðàìè â êà÷åñòâå ìîðôèçìîâ.1
 ÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà êàòåãîðèè C è D èìåþò ïî îäíîìó îáúåêòó,
è òàêèì îáðàçîì (êàê ìû óæå çíàåì), ïî-ñóùåñòâó, ÿâëÿþòñÿ ìîíîèäà-
ìè, ôóíêòîð ìåæäó íèìè òî æå ñàìîå, ÷òî ãîìîìîðôèçì ìîíîèäîâ.
Èç îïðåäåëåíèÿ ëåãêî âèäåòü, ÷òî ôóíêòîðû èçîìîðôèçìû ïåðåâîäÿò â
èçîìîðôèçìû (ïîäîáíî òîìó êàê ãîìîìîðôèçìû ìîíîèäîâ îáðàòèìûå
ýëåìåíòû ïåðåâîäÿò â îáðàòèìûå). Â òî æå âðåìÿ ôóíêòîðû íå îáÿçàíû
ñîõðàíÿòü äðóãèå èçâåñòíûå íàì òèïû ìîðôèçìîâ ìîíî- è ýïèìîð-
ôèçìû (ïðèâåäèòå ñîîòâåòñòâóþùèå ïðèìåðû).
Çàäà÷à. Ïóñòü C è D êàòåãîðèè, ñâÿçàííûå ñ ÷àñòè÷íî óïîðÿäî÷åí-
íûìè ìíîæåñòâàìè (ñì. ïðèìåð m) íà ñòð. 19). Îïèøèòå ôóíêòî-
ðû èç C â D â òåðìèíàõ îòîáðàæåíèé ÷àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííûõ ìíî-
æåñòâ.
Çàäà÷à. Íàïîìíèì, ÷òî êàòåãîðèÿ C ñ åäèíñòâåííûì îáúåêòîì, â
êîòîðîé âñÿêèé ìîðôèçì ÿâëÿåòñÿ îáðàòèìûì, ïî-ñóùåñòâó, ïðîñòî
ãðóïïà. 1) ×òî òàêîå ñ ýòîé òî÷êè çðåíèÿ ôóíêòîð C → Vect? Ôóíê-òîð C → Set? 2) Ïîïðîáóéòå ïðåäëîæèòü îïðåäåëåíèå ëèíåéíîãî ïðåä-
ñòàâëåíèÿ ãðóïïîèäà. Äåéñòâèÿ ãðóïïîèäà.
Ïðèìåðû. a) Ôóíêòîðû çàáûâàíèÿ. Áîëüøîé êëàññ òðèâèàëüíûõ
ïðèìåðîâ ôóíêòîðîâ ïîëó÷àåòñÿ òàê: íóæíî ïåðåñòàòü ó÷èòûâàòü îäíó
èëè íåñêîëüêî ñòðóêòóð, èìåþùèõñÿ íà îáúåêòàõ èñõîäíîé êàòåãîðèè.
Òàê ïîëó÷àþòñÿ ôóíêòîðû ìíîæåñòâî ýëåìåíòîâ:
T op, Diff , Gr , Ab, Vectk, Algk → Set ,
à òàêæå ôóíêòîðû
Diff → T op, PT op → T op, RMod → Ab, Algk → Vectk è ò.ä.
 ïåðâîì èç ïîñëåäíåé ãðóïïû ïðèìåðîâ ìû çàáûâàåì äèôôåðåíöèðó-
åìóþ ñòðóêòóðó, ò.å. ðàññìàòðèâàåì äèôôåðåíöèðóåìîå ìíîãîîáðàçèå
ïðîñòî êàê òîïîëîãè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî (çàìåòèì, ÷òî ãëàäêîå îòîáðà-
1çàìåòèì, ÷òî ýòà êàòåãîðèÿ èìååò åù¼ äîïîëíèòåëüíóþ ñòðóêòóðó â íåé îïðåäåëåíû ìîð-
ôèçìû ìåæäó ìîðôèçìàìè (íàçûâàåìûå ôóíêòîðíûìè ìîðôèçìàìè èëè åñòåñòâåííûìè ïðåîá-
ðàçîâàíèÿìè), ÷òî ïðåâðàùàåò å¼ â ò.í. 2-êàòåãîðèþ.
58
æåíèå íåïðåðûâíî!), âî âòîðîì çàáûâàåì îòìå÷åííóþ òî÷êó, â òðå-
òüåì çàáûâàåì ïðî óìíîæåíèå ýëåìåíòîâ ìîäóëÿ M ∈ Ob(RMod) íà
ýëåìåíòû êîëüöà, êðîìå óìíîæåíèÿ íà êðàòíûå åäèíè÷íîãî ýëåìåíòà
n1R, n ∈ Z, ÷òî äàåò íà ìíîæåñòâå ýëåìåíòîâ M ñòðóêòóðó Z-ìîäóëÿ,ò.å. àáåëåâîé ãðóïïû, â ÷åòâ¼ðòîì àññîöèàòèâíîé àëãåáðå ñ åäèíè-
öåé íàä ôèêñèðîâàííûì ïîëåì k ìû ñîïîñòàâëÿåì å¼ ïîäñòèëàþùåå
âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî (òî åñòü çàáûâàåì ïðî óìíîæåíèå). ×èòàòåëü,
íàâåðíîå, ñìîæåò ïðèâåñòè íåìàëî äðóãèõ àíàëîãè÷íûõ ïðèìåðîâ çàáû-
âàþùèõ ôóíêòîðîâ.
b) Ôóíêòîðû ñâîáîäû. Ïîíÿòèå ôóíêòîðîâ ñâîáîäû ìû ôîðìàëèçóåì
â êîíöå ýòîãî ïàðàãðàôà, à ïîêà ðàññìîòðèì êîíêðåòíûå èõ ïðèìåðû.
Íà ñòðàíèöå 37 â ïðèìåðå d) ìû îïðåäåëèëè ïîíÿòèå ãðóïïû, ñâîáîä-
íî ïîðîæä¼ííîé ìíîæåñòâîì S. Ïîêàæåì, ÷òî ñîïîñòàâëåíèå S 7→ FS
(îïðåäåë¼ííîå íà îáúåêòàõ) ïðîäîëæàåòñÿ äî ôóíêòîðà F : Set → Gr(ò.å. ïðîäîëæàåòñÿ íà ìîðôèçìû).
Ïóñòü ψ : S → S ′ íåêîòîðûé ìîðôèçì â êàòåãîðèè Set , iS : S →FS, iS′ : S ′ → FS′ ñîîòâåòñòâóþùèå óíèâåðñàëüíûå îòîáðàæåíèÿ. Ïðè-
ìåíÿÿ óíèâåðñàëüíîå ñâîéñòâî ñâîáîäíîé ãðóïïû (FS, iS), âûðàæåííîå
äèàãðàììîé (1.7), ê îòîáðàæåíèþ i′S ψ : S → FS′, ïîëó÷àåì ÷òî ñó-
ùåñòâóåò, è ïðèòîì åäèíñòâåííûé ãîìîìîðôèçì ãðóïï φ : FS → FS′,
ïðåâðàùàþùèé äèàãðàììó (ñð. äèàãðàììó (1.7))
SiS //
iS′ψ
FS
φ
FS′
â êîììóòàòèâíóþ. Îïðåäåëèì ôóíêòîð F íà ìîðôèçìå ψ : S → S ′ êàê
F (ψ) := φ : FS → FS′. Ïî îïðåäåëåíèþ, F (ψ) åäèíñòâåííûé ãîìîìîð-
ôèçì ãðóïï, êîòîðûé äåëàåò äèàãðàììó
Sψ
//
iS
S ′
iS′
FS F (ψ)// FS′
(2.1)
êîììóòàòèâíîé.
Ïðîâåðèì, ÷òî òåì ñàìûì ìû äåéñòâèòåëüíî îïðåäåëèëè íåêîòî-
ðûé ôóíêòîð F : Set → Gr . Åñëè ψ = idS (â ÷àñòíîñòè, òîãäà S ′ =
59
S, FS′ = FS), òî iS′ ψ = iS è φ = idFSäåëàåò ñîîòâåòñòâóþùóþ äèà-
ãðàììó (2.1) êîììóòàòèâíîé. Â ñèëó åäèíñòâåííîñòè òàêîãî φ èìååì
F (idS) = idFS. Ïðîâåðèì òåïåðü ñîîòíîøåíèå F (χ ψ) = F (χ) F (ψ)
äëÿ ψ : S → S ′, χ : S ′ → S ′′. Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì ñëåäóþùèå êîììó-
òàòèâíûå äèàãðàììû:
Sψ
//
iS
S ′χ
//
i′S
S ′′
iS′′
Sχψ
//
iS
S ′′
i′′S
FSF (ψ)
// FS′F (χ)
// FS′′ è FSF (χψ)
// FS′′.
Èç êîììóòàòèâíîñòè ïåðâîé äèàãðàììû ñëåäóåò, ÷òî åñëè çàìåíèòü íèæ-
íþþ ñòðåëêó â ïðàâîé äèàãðàììå (ò.å. F (χψ)) íà F (χ)F (ψ), òî ïðàâàÿäèàãðàììà îñòàíåòñÿ êîììóòàòèâíîé. Â ñèëó åäèíñòâåííîñòè òàêîãî ãî-
ìîìîðôèçìà F (χ ψ) = F (χ) F (ψ).Çàìåòèì, ÷òî äîêàçàòåëüñòâî òîãî, ÷òî F ÿâëÿåòñÿ ôóíêòîðîì, îñ-
íîâàíî òîëüêî íà óíèâåðñàëüíîì ñâîéñòâå ñâîáîäíîé ãðóïïû. Àíàëîãè÷-
íî ñòðîÿòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèå ôóíêòîðû Set → Ab, Set → Vectk è
Set → AlgkÄðóãîé ïðèìåð ôóíêòîðà ñâîáîäû äà¼ò ñâîáîäíàÿ ìàãìà (ñì. ïðèìåð
r) èç §1.4): ñîïîñòàâëåíèå X 7→ (M(X), ⋆) ïðîäîëæàåòñÿ äî ôóíêòîðà
F : Set →M â êàòåãîðèþ ìàãìM.
È, íàêîíåö, ðàññìîòðèì åù¼ îäèí ïðèìåð ôóíêòîðà ñâîáîäû, íà ïåð-
âûé âçãëÿä, íåïîõîæèé íà ïðåäûäóùèå. Îïðåäåëèì ôóíêòîð F : Set →T op, êîòîðûé ìíîæåñòâó S ñîïîñòàâëÿåò òîïîëîãè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî
F (S), ÿâëÿþùååñÿ ìíîæåñòâîì S ñ äèñêðåòíîé òîïîëîãèåé (âñå ïîäìíî-
æåñòâà îòêðûòû).
Çàäà÷à. Ïðîâåðèòü, ÷òî ñîïîñòàâëåíèå S 7→ F (S) ïðîäîëæàåòñÿ äî
ôóíêòîðà F : Set → T op.c) Òåíçîðíûå ñòåïåíè. Òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå r âåêòîðíûõ ïðî-
ñòðàíñòâ íàä ïîëåì k (ñì. ïðèìåð f) â §1.4) îïðåäåëÿåò ôóíêòîð
Vectk × . . .× Vectk︸ ︷︷ ︸r ñîìíîæèòåëåé
→ Vectk. Ñ ïîìîùüþ íåãî ìîæíî îïðåäåëèòü ôóíê-
òîð T r : Vectk → Vectk r-é òåíçîðíîé ñòåïåíè, êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ êîìïî-çèöèåé äèàãîíàëüíîãî ôóíêòîðà Vectk → Vectk × . . .× Vectk︸ ︷︷ ︸
r ñîìíîæèòåëåé
è ôóíêòî-
ðà òåíçîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ.
60
Áîëåå ïîäðîáíî, ïóñòü V âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî íàä ïîëåì k.
Íàïîìíèì (ñì. ïðèìåð f) â §1.4), ÷òî ñóùåñòâóåò óíèâåðñàëüíîå ïîëè-
ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå
V × . . .× V︸ ︷︷ ︸r ñîìíîæèòåëåé
τ→ V ⊗ . . .⊗ V︸ ︷︷ ︸r ñîìíîæèòåëåé
=: T r(V )
â T r(V ) r-þ òåíçîðíóþ ñòåïåíü. Ïîêàæåì, ÷òî ñîïîñòàâëåíèå V 7→T r(V ) ïðîäîëæàåòñÿ äî ôóíêòîðà T r : Vectk → Vectk. Äðóãèìè ñëîâàìè,íàì íóæíî ïðîäîëæèòü T r íà ìîðôèçìû: âñåì ëèíåéíûì îòîáðàæåíèÿì
f : V → W íàì íóæíî ôóíêòîðèàëüíî ñîïîñòàâèòü ñîîòâåòñòâóþùèå
ëèíåéíûå îòîáðàæåíèÿ T r(f) : T r(V )→ T r(W ). Äëÿ ýòîãî ìû ñíîâà âîñ-
ïîëüçóåìñÿ óíèâåðñàëüíûì ñâîéñòâîì ïàðû (T r(V ), τ), ïðèìåí¼ííîìó ê
ïîëèëèíåéíîìó îòîáðàæåíèþ τW (f × . . .× f) : V × . . .× V → T r(W ):
V × . . .× V τV //
f×...×f
T r(V )
T r(f)
W × . . .×W τW // T r(W ),
÷òî îïðåäåëÿåò èñêîìîå îòîáðàæåíèå T r(f). Çàìåòèì, ÷òî èç êîììóòà-
òèâíîñòè äèàãðàììû ñëåäóåò, ÷òî T r(f)(v1⊗. . .⊗vr) = f(v1)⊗. . .⊗f(vr)äëÿ ëþáîãî ðàçëîæèìîãî òåíçîðà v1⊗. . .⊗vr, ÷òî ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåò
ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå T r(f) (ïîñêîëüêó ðàçëîæèìûå òåíçîðû ñîäåðæàò
áàçèñ). Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî, îïðåäåëèâ óêàçàííûì ñïîñîáîì T r íà îáú-
åêòàõ è ìîðôèçìàõ, ìû äåéñòâèòåëüíî ïîëó÷èëè ôóíêòîð èç Vectk â
ñåáÿ.
Ìîæíî òàêæå ïîêàçàòü, ÷òî ñîïîñòàâëåíèå V 7→ T (V ) âåêòîðíîìó
ïðîñòðàíñòâó åãî òåíçîðíîé àëãåáðû (ñì. ïðèìåð g) â §1.4) ïðîäîëæà-åòñÿ äî ôóíêòîðà Vectk → Algk â êàòåãîðèþ àññîöèàòèâíûõ àëãåáð ñ
åäèíèöåé íàä ïîëåì k.
d) Ôàêòîðìíîæåñòâî è ò.ï. Ðàññìîòðèì êàòåãîðèþ C, îáúåêòàìè êî-òîðîé ÿâëÿþòñÿ ïàðû (X, α), ñîñòîÿùèå èç ìíîæåñòâà X è îòíîøåíèÿ
ýêâèâàëåíòíîñòè α íà í¼ì. Ìîðôèçì (X, α)→ (Y, β) ýòî òàêîå îòîá-
ðàæåíèå ìíîæåñòâ f : X → Y , ÷òî èç xαx′ ñëåäóåò f(x)βf(x′) äëÿ ëþáûõ
x, x′ ∈ X.Çàäà÷à. Äîêàæèòå, ÷òî ñîïîñòàâëåíèå (X, α) 7→ X/α ïàðå (X, α) ñî-
îòâåòñòâóþùåãî ôàêòîðìíîæåñòâà X/α ïðîäîëæàåòñÿ äî ôóíêòîðà
61
C → Set . Àíàëîãè÷íî ñëó÷àþ ôàêòîðìíîæåñòâ ðàññìîòðèòå ôàêòîð-
ïðîñòðàíñòâà è ôàêòîðãðóïïû (ñì. ïðèìåðû h), i) èç §1.4).e) Àëãåáðû Êëèôôîðäà. Àëãåáðà Êëèôôîðäà (ñì. ïðèìåð j) èç § 1.4)ôóíêòîðèàëüíî çàâèñèò îò ïàðû (V, Q). Áîëåå òî÷íî, åñëè f : V → V ′
òàêîå ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå k-âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâ, ÷òî Q′(f(v)) =
Q(v), ãäå Q (ñîîòâåòñòâåííî Q′) êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà íà V (ñîîòâåò-
ñòâåííî íà V ′), òî f èíäóöèðóåò ãîìîìîðôèçì àëãåáð C(f) : C(V, Q)→C(V ′, Q′) è èìåþò ìåñòî òîæäåñòâà C(g f) = C(g) C(f), C(idV ) =idC(V ) .
Òàêèì îáðàçîì, àëãåáðà Êëèôôîðäà îïðåäåëÿåò ôóíêòîð èç êà-
òåãîðèè C, îáúåêòàìè êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ ïàðû (V, Q), à ìîðôèçìû
(V, Q) → (V ′, Q′) ëèíåéíûå îòîáðàæåíèÿ f : V → V ′, òàêèå ÷òî
Q′(f(v)) = Q(v), â êàòåãîðèþ Algk.2
f) Óíèâåðñàëüíàÿ îá¼ðòûâàþùàÿ àëãåáðà. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî
óíèâåðñàëüíàÿ îá¼ðòûâàþùàÿ àëãåáðà (ñì. ïðèìåð k) èç §1.4) îïðåäåëÿ-åò ôóíêòîð Liek → Algk èç êàòåãîðèè àëãåáð Ëè Liek íàä k â êàòåãîðèþàññîöèàòèâíûõ óíèòàëüíûõ àëãåáð Algk íàä òåì æå ñàìûì ïîëåì.
g) Ïîëå ÷àñòíûõ. Ïóñòü C êàòåãîðèÿ, îáúåêòàìè êîòîðîé ÿâëÿ-
þòñÿ öåëîñòíûå êîëüöà, à ìîðôèçìàìè èíúåêòèâíûå ãîìîìîðôèç-
ìû êîëåö.3 Ïóñòü D êàòåãîðèÿ âñåõ ïîëåé è êîëüöåâûõ ãîìîìîðôèç-
ìîâ (íàïîìíèì, ÷òî ïðîèçâîëüíûé ãîìîìîðôèçì ïîëåé ÿâëÿåòñÿ âëî-
æåíèåì). Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ñîïîñòàâëåíèå ïðîèçâîëüíîìó öåëîñò-
íîìó êîëüöó A ∈ Ob(C) åãî ïîëÿ ÷àñòíûõ Quot(A) ∈ D (ñì. ïðè-
ìåð l) èç §1.4) ìîæåò áûòü ïðîäîëæåíî äî ôóíêòîðà Q: C → D. Äåé-ñòâèòåëüíî, ýòî ëåãêî âûòåêàåò èç òîãî, ÷òî äëÿ ëþáîãî ìîíîìîðôèçìà
φ : A → B öåëîñòíûõ êîëåö ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåí ãîìîìîðôèçì ïî-
ëåé Q(φ) : Quot(A) → Quot(B), îãðàíè÷åíèå êîòîðîãî íà ïîäêîëüöà
A ⊂ Quot(A), B ⊂ Quot(B) ñîâïàäàåò ñ φ, ÷òî, â ñâîþ î÷åðåäü, ñëåäóåò
2Çàìåòèì, ÷òî, áîëåå òî÷íî, àëãåáðà Êëèôôîðäà ôóíêòîð â êàòåãîðèþ Z/2-ãðàäóèðîâàííûõàññîöèàòèâíûõ óíèòàëüíûõ k-àëãåáð (Z/2-ãðàäóèðîâàííûå àëãåáðû èíà÷å íàçûâàþòñÿ ñóïåðàëãåá-
ðàìè). Ýòî âàæíî, â ÷àñòíîñòè, ïðè ðàññìîòðåíèè òåíçîðíûõ ïðîèçâåäåíèé: íàïðèìåð, àëãåáðà
Êëèôôîðäà C(V ⊕ V ′, Q ⊕ Q′) åñòåñòâåííî èçîìîðôíà C(V, Q)⊗C(V ′, Q′), ãäå ⊗ îáîçíà÷àåò òåí-
çîðíîå ïðîèçâåäåíèå â êàòåãîðèè Z/2-ãðàäóèðîâàííûõ àëãåáð, ñì. [5].3÷èòàòåëþ ïðåäëàãàåòñÿ äîêàçàòü, ÷òî â äàííîé êàòåãîðèè èíúåêòèâíûå ãîìîìîðôèçìû ñîâïà-
äàþò ñ ìîíîìîðôèçìàìè (óêàçàíèå: èñïîëüçîâàòü òî, ÷òî Z ñâîáîäíûé îáúåêò ñ îäíîé îáðàçóþ-
ùåé).
62
èç óíèâåðñàëüíîãî ñâîéñòâà.
h) Àáåëèàíèçàöèÿ. Ñîïîñòàâëåíèå G 7→ Gab (ñì. ïðèìåð m) èç §1.4)ïðîäîëæàåòñÿ äî ôóíêòîðà F : Gr → Ab. Äëÿ ýòîãî, â ÷àñòíîñòè, íóæ-
íî îïðåäåëèòü åãî íà ìîðôèçìàõ, òî åñòü äëÿ ëþáîãî ãîìîìîðôèçìà
ãðóïï φ : G → H íóæíî çàäàòü ñîîòâåòñòâóþùèé ãîìîìîðôèçì àáåëå-
âûõ ãðóïï F (φ) : Gab → Hab è ïðîâåðèòü âûïîëíåíèå óñëîâèé èç îïðå-
äåëåíèÿ ôóíêòîðà.
Çàäà÷à. Èñïîëüçóÿ óíèâåðñàëüíîå ñâîéñòâî àáåëèàíèçàöèè, çàäàéòå F
íà ìîðôèçìàõ è äîêàæèòå, ÷òî äåéñòâèòåëüíî ïîëó÷àåòñÿ ôóíêòîð
F : Gr → Ab.i) Ìóëüòèïëèêàòèâíàÿ ãðóïïà. Ïóñòü A ∈ Ob(Algk) àññîöèàòèâ-
íàÿ óíèòàëüíàÿ àëãåáðà íàä ïîëåì k, A× å¼ ìóëüòèïëèêàòèâíàÿ
ãðóïïà (òî åñòü ãðóïïà îáðàòèìûõ îòíîñèòåëüíî óìíîæåíèÿ ýëåìåíòîâ
A). Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ñîïîñòàâëåíèå A 7→ A× ïðîäîëæàåòñÿ äî ôóíê-
òîðà Algk → Gr . Äåéñòâèòåëüíî, íåòðóäíî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî ïðè
ãîìîìîðôèçìå àëãåáð A→ B îáðàòèìûå ýëåìåíòû èç A îòîáðàæàþòñÿ
â îáðàòèìûå ýëåìåíòû â B, òî åñòü ëþáîé òàêîé ãîìîìîðôèçì èíäóöè-
ðóåò ãîìîìîðôèçì ìóëüòèïëèêàòèâíûõ ãðóïï A× → B×.
j) Ãðóïïîâàÿ àëãåáðà. Ãðóïïîâàÿ àëãåáðà (ñì. ïðèìåð n) èç §1.4) îïðå-äåëÿåò ôóíêòîð Gr → Algk.k) Ñèììåòðèçàöèÿ êîììóòàòèâíîãî ìîíîèäà. Ñèììåòðèçàöèÿ
êîììóòàòèâíîãî ìîíîèäà (ñì. ïðèìåð o) èç §1.4) îïðåäåëÿåò ôóíê-
òîð S : Mon → Ab, ãäå Mon êàòåãîðèÿ êîììóòàòèâíûõ ìîíîè-
äîâ. Íàïîìíèì, ÷òî ñèììåòðèçàöèÿ ìîíîèäà M ýòî ïàðà, ñîñòîÿùàÿ
èç àáåëåâîé ãðóïïû S(M) è ãîìîìîðôèçìà ïîäñòèëàþùèõ ìîíîèäîâ
αM : M → S(M), äëÿ êîòîðîé âûïîëíåíî ñîîòâåòñòâóþùåå óíèâåðñàëü-
íîå ñâîéñòâî.
Ãðóïïà S(M) ôóíêòîðèàëüíî çàâèñèò îò M â ñëåäóþùåì ñìûñ-
ëå: åñëè φ : M → N ãîìîìîðôèçì ìîíîèäîâ, òî óíèâåðñàëüíîå
ñâîéñòâî ïîçâîëÿåò íàì îïðåäåëèòü åäèíñòâåííûé ãîìîìîðôèçì ãðóïï
S(φ) : S(M)→ S(N), êîòîðûé ïðåâðàùàåò äèàãðàììó
Mφ
//
αM
N
αN
S(M)S(φ)
// S(N)
63
â êîììóòàòèâíóþ (íóæíî ïðîñòî ïðèìåíèòü óíèâåðñàëüíîå ñâîéñòâî ê
ãîìîìîðôèçìó αN φ : M → S(N)). Êðîìå òîãî, S(ψ φ) = S(ψ) S(φ)è S(idM) = idS(M) . Òàêèì îáðàçîì, S äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ ôóíêòî-
ðîì èç êàòåãîðèè êîììóòàòèâíûõ ìîíîèäîâMon â êàòåãîðèþ àáåëåâûõ
ãðóïï Ab.l) Ïîïîëíåíèå ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà. Ïîïîëíåíèå ìåòðè÷å-
ñêîãî ïðîñòðàíñòâà (ñì. ïðèìåð p) èç §1.4) îïðåäåëÿåò ôóíêòîðMet →Commet èç êàòåãîðèè ìåòðè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâ Met (ñ èçîìåòðèÿìè
â êà÷åñòâå ìîðôèçìîâ) â êàòåãîðèþ ïîëíûõ ìåòðè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâ
Commet (ñ òåìè æå ìîðôèçìàìè).
m) Êîìïàêòèôèêàöèÿ Ñòîóíà-×åõà. Êîìïàêòèôèêàöèÿ Ñòîóíà-
×åõà (ñì. ïðèìåð q) èç §1.4) îïðåäåëÿåò ôóíêòîð β : T op → CHaus èç
êàòåãîðèè òîïîëîãè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâ T op â êàòåãîðèþ êîìïàêòíûõ
õàóñäîðôîâûõ ïðîñòðàíñòâ CHaus (ñ íåïðåðûâíûìè îòîáðàæåíèÿìè â
êà÷åñòâå ìîðôèçìîâ).
n) Ïðîåêöèÿ íà ôàêòîðêàòåãîðèþ. Íàïîìíèì, ÷òî â ïðèìåðå o)
íà ñòð. 20 ïî äàííîé êàòåãîðèè C è ïî îòíîøåíèþ êîíãðóýíòíîñòè íà
íåé R áûëà ïîñòðîåíà ôàêòîðêàòåãîðèÿ C/R. Ñóùåñòâóåò êàíîíè÷åñêèéôóíêòîð F : C → C/R, òîæäåñòâåííûé íà îáúåêòàõ è ñîïîñòàâëÿþùèé
ìîðôèçìó èç C åãî êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè. Â äåéñòâèòåëüíîñòè, ìû óæå
èñïîëüçîâàëè ôóíêòîð F : T op → hT op òàêîãî òèïà â äèàãðàììå (2.4).
o) Ôóíêòîðû ìîðôèçìîâ. Last but not least, ðàññìîòðèì åù¼ îäèí
âàæíûé êëàññ ôóíêòîðîâ. Ïóñòü C íåêîòîðàÿ êàòåãîðèÿ è X ∈ Ob(C) å¼ îáúåêò. Ñîâåðøåííî îñîáóþ ðîëü èãðàþò ôóíêòîðû h′X : C → Set ,îïðåäåëÿåìûå ñëåäóþùèì îáðàçîì:
h′X(Y ) = HomC(X, Y ),
h′X(f)(φ) = f φ ∈ HomC(X, Y′), ãäå φ ∈ HomC(X, Y ), f : Y → Y ′.
Èíûìè ñëîâàìè, îáúåêòó Y ∈ Ob(C) îí ñîïîñòàâëÿåò ìíîæåñòâî
HomC(X, Y ) ∈ Ob(Set), à ìîðôèçìó f ∈ HomC(Y, Y′) îòîáðàæåíèå
ìíîæåñòâ h′X(f) : HomC(X, Y ) → HomC(X, Y′), êîòîðîå ñòàâèò â ñîîò-
âåòñòâèå ìîðôèçìó φ ∈ HomC(X, Y ) êîìïîçèöèþ f φ ∈ HomC(X, Y′).
Íåñëîæíàÿ ïðîâåðêà òîãî, ÷òî h′X äåéñòâèòåëüíî ôóíêòîð, îñòàâ-
ëÿåòñÿ ÷èòàòåëþ.
64
Îïðåäåëåíèå 12. Ôóíêòîð F : C → D íàçûâàåòñÿ ñòðîãèì, åñëè äëÿ
ëþáûõ X, Y ∈ Ob(C) îòîáðàæåíèå
F : HomC(X, Y )→ HomD(F (X), F (Y ))
ÿâëÿåòñÿ âëîæåíèåì ìíîæåñòâ, è ïîëíûì, åñëè îíî ÿâëÿåòñÿ ñþðúåêòèâ-
íûì.
Íàïðèìåð, âëîæåíèå ïîëíîé ïîäêàòåãîðèè C → D ÿâëÿåòñÿ ñòðîãèì
è ïîëíûì ôóíêòîðîì. Îáðàòíî, ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî âñÿêèé ñòðîãèé è
ïîëíûé ôóíêòîð ïîëó÷àåòñÿ òàêèì îáðàçîì. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, çàáû-
âàþùèé ôóíêòîð F èç êàòåãîðèè Ab â êàòåãîðèþ Set ÿâëÿåòñÿ ñòðî-
ãèì íî íå ïîëíûì. Ñòðîãèì îí ÿâëÿåòñÿ ïîòîìó, ÷òî äâà ãîìîìîðôèçìà
ãðóïï ðàâíû, åñëè îíè ñîâïàäàþò êàê îòîáðàæåíèÿ ìíîæåñòâ. Íåïîëíî-
òà ôóíêòîðà F âûòåêàåò èç òîãî, ÷òî íå âñÿêîå îòîáðàæåíèå ìíîæåñòâ
ýëåìåíòîâ ãðóïï ïðîèñõîäèò èç íåêîòîðîãî ãîìîìîðôèçìà. Íàïðèìåð,
åñëè Z2 åñòü ãðóïïà èç äâóõ ýëåìåíòîâ, òî ïóñòü F (Z2) = 0, 1 ìíîæå-
ñòâî èç äâóõ ýëåìåíòîâ, è îòîáðàæåíèå èç 0, 1 â ñåáÿ, îòîáðàæàþùåå0 â 1, à 1 â 0, íå ïðèíàäëåæèò îáðàçó F , ïîñêîëüêó ëþáîé ãîìîìîðôèçì
ãðóïï ñîõðàíÿåò åäèíèöó. Òî æå âåðíî è äëÿ çàáûâàþùèõ ôóíêòîðîâ èç
êàòåãîðèé òîïîëîãè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâ T op, âñåõ ãðóïï Gr , êîëåöRing ,â êàòåãîðèþ Set .
Îïðåäåëåíèå 13. Êîíêðåòíîé êàòåãîðèåé íàçûâàåòñÿ ïàðà (C, U), ñî-ñòîÿùàÿ èç êàòåãîðèè C è ñòðîãîãî ôóíêòîðà U : C → Set .
Ìíîãèå ðàññìîòðåííûå íàìè êàòåãîðèè (òàêèå êàê T op, Diff , Gr ,Ab, Ring , Algk, Vectk) ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê êîíêðåòíûå, âçÿâ â
êà÷åñòâå U ñîîòâåòñòâóþùèé çàáûâàþùèé ôóíêòîð â Set .4
Çàäà÷à. Ïóñòü (C, U) êîíêðåòíàÿ êàòåãîðèÿ, φ ìîðôèçì â C.Òîãäà åñëè U(φ) èíúåêòèâíîå îòîáðàæåíèå, òî φ ìîíîìîðôèçì,
à åñëè U(φ) ñþðúåêòèâíîå îòîáðàæåíèå, òî φ ýïèìîðôèçì.
Òàê êàê ôóíêòîðû èçîìîðôèçìû ïåðåâîäÿò â èçîìîðôèçìû, òî åñëè
φ èçîìîðôèçì â êîíêðåòíîé êàòåãîðèè (C, U), òî U(φ) áèåêöèÿ. Îá-
ðàòíîå âåðíî íå âñåãäà. Êîíêðåòíàÿ êàòåãîðèÿ (C, U) íàçûâàåòñÿ óðàâíî-4Çàìåòèì, ÷òî íå âñå êàòåãîðèè ÿâëÿþòñÿ êîíêðåòíûìè: â ÷àñòíîñòè, ïðèìåðîì íåêîíêðåòíîé
êàòåãîðèè ÿâëÿåòñÿ ãîìîòîïè÷åñêàÿ êàòåãîðèÿ.
65
âåøåííîé, åñëè äëÿ ëþáîãî å¼ ìîðôèçìà φ èç òîãî, ÷òî U(φ) áèåêöèÿ,
ñëåäóåò, ÷òî φ èçîìîðôèçì.
Íàïðèìåð, êîíêðåòíàÿ êàòåãîðèÿ (T op, U) íå ÿâëÿåòñÿ óðàâíîâå-
øåííîé, à å¼ ïîëíàÿ ïîäêàòåãîðèÿ (CHT op, U) ÿâëÿåòñÿ (ïî òåîðåìå
Ï.Ñ. Àëåêñàíäðîâà). Ïî òåîðåìå Áàíàõà îá îáðàòíîì îïåðàòîðå óðàâíî-
âåøåííîé ÿâëÿåòñÿ òàêæå êàòåãîðèÿ áàíàõîâûõ ïðîñòðàíñòâ ñ îãðàíè-
÷åííûìè îïåðàòîðàìè â êà÷åñòâå ìîðôèçìîâ.
Çàäà÷à. ßâëÿåòñÿ ëè óðàâíîâåøåííîé êàòåãîðèÿ ãëàäêèõ ìíîãîîáðà-
çèé?
Ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êàòåãîðíóþ ôîðìàëèçà-
öèþ ïîíÿòèÿ áàçèñà. Íàïðèìåð, â ñëó÷àå âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâ áàçèñ
ìîæåò áûòü îõàðàêòåðèçîâàí ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì: åñëè S òàêîå ïîä-
ìíîæåñòâî âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà V , ÷òî ëþáîå îòîáðàæåíèå S → W
â âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâîW (íàä òåì æå ïîëåì) ïðîäîëæàåòñÿ äî åäèí-
ñòâåííîãî ëèíåéíîãî îòîáðàæåíèÿ V → W , òî S áàçèñ â V .
Îïðåäåëåíèå 14. Ïóñòü (C, U) êîíêðåòíàÿ êàòåãîðèÿ, X îáúåêò
â C. Ïîäìíîæåñòâî S ⊂ U(X) íàçûâàåòñÿ áàçèñîì îáúåêòà X, åñëè äëÿ
ëþáûõ Y ∈ Ob(C) è îòîáðàæåíèÿ φ : S → U(Y ) ñóùåñòâóåò åäèíñòâåí-
íûé ìîðôèçì ψ : X → Y â êàòåãîðèè C òàêîé, ÷òî äèàãðàììà
S i //
φ
U(X)
U(ψ)zzuuuuuuuuu
U(Y ),
â êîòîðîé i åñòåñòâåííîå âëîæåíèå ïîäìíîæåñòâà S, êîììóòàòèâíà.
Îáúåêò â C, îáëàäàþùèé áàçèñîì, íàçûâàåòñÿ ñâîáîäíûì.
Çàäà÷à. Óêàæèòå ñâîáîäíûå îáúåêòû (âìåñòå ñ áàçèñàìè) â êàòåãî-
ðèÿõ Vectk, Gr , Ab, Algk, T op.
Îïðåäåëåíèå 15. Ôóíêòîð F : Set → C, ãäå (C, U) êîíêðåòíàÿ êàòå-
ãîðèÿ, íàçûâàåòñÿ ôóíêòîðîì ñâîáîäû, åñëè êàæäîìó îáúåêòó S ∈ Setîí ñîïîñòàâëÿåò ñâîáîäíûé îáúåêò F (S) ñ áàçèñîì S, à êàæäîìó îòîá-
ðàæåíèþ φ : S → T åäèíñòâåííûé ìîðôèçì F (φ) : F (S) → F (T ),
66
ïðåâðàùàþùèé äèàãðàììó
UF (S)UF (φ)
// UF (T )
S
iS
OO
φ// T
iT
OO
(2.2)
â êàòåãîðèè Set , â êîòîðîé iS, iT åñòåñòâåííûå âëîæåíèÿ, â êîììóòà-
òèâíóþ.
Çàäà÷à. Äîêàæèòå, ÷òî ôóíêòîð ñâîáîäû êîððåêòíî îïðåäåë¼í, åñëè
äëÿ âñÿêîãî ìíîæåñòâà S ñóùåñòâóåò (õîòÿ áû îäèí) îáúåêò â C ñ
áàçèñîì S. Óêàçàíèå: ïîêàæèòå, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå ðàññìîòðåííûé â
îïðåäåëåíèè ìîðôèçì F (φ) ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåí.
Ïîäîáíî ÷àñòè÷íî çàáûâàþùèì ôóíêòîðàì, ðàññìîòðåííûì â ïðè-
ìåðå a) âûøå, ñóùåñòâóþò òàê íàçûâàåìûå ôóíêòîðû îòíîñèòåëüíîé
ñâîáîäû, äåéñòâóþùèå â îáðàòíîì íàïðàâëåíèè. Íàïðèìåð, ÷àñòè÷íî çà-
áûâàþùåìó ôóíêòîðó Algk → Vectk ñîîòâåòñòâóåò ôóíêòîð òåíçîðíàÿ
àëãåáðà âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà Vectk → Algk (ñì. êîíåö ïðèìåðà c)
âûøå). Îêàçûâàåòñÿ, çàáûâàþùèå ôóíêòîðû è ôóíêòîðû ñâîáîäû òåñíî
ñâÿçàíû, äëÿ îïèñàíèÿ ýòîé ñâÿçè òðåáóåòñÿ ïîíÿòèå ñîïðÿæ¼ííîé ïàðû
ôóíêòîðîâ.
2.2 Ïðèìåðû ôóíêòîðîâ èç òîïîëîãèè
a) Êîìïîíåíòû ëèíåéíîé ñâÿçíîñòè. Ïóñòü X òîïîëîãè÷åñêîå
ïðîñòðàíñòâî. Ðàññìîòðèì íà X ñëåäóþùåå îòíîøåíèå ∼, ïîëàãàÿ, ÷òîx ∼ y â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, êîãäà ñóùåñòâóåò ïóòü èç x â y
íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå f : I → X èíòåðâàëà I = [0, 1] â ïðîñòðàí-
ñòâî X òàêîå, ÷òî f(0) = x, f(1) = y (â ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî òî÷êè x
è y ìîæíî ñîåäèíèòü ïóò¼ì f). Î÷åâèäíî, ÷òî ∼ ÿâëÿåòñÿ îòíîøåíèåì
ýêâèâàëåíòíîñòè. Ìíîæåñòâî êëàññîâ ýêâèâàëåíòíîñòè îáîçíà÷èì ÷åðåç
π0(X). Ýëåìåíòû ìíîæåñòâà π0(X) íàçûâàþòñÿ êîìïîíåíòàìè ëèíåé-
íîé ñâÿçíîñòè èëè 0-êîìïîíåíòàìè ïðîñòðàíñòâà X.5
5òîïîëîãè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî X íàçûâàåòñÿ ëèíåéíî ñâÿçíûì, åñëè ìíîæåñòâî π0(X) ñîñòîèò
íå áîëåå ÷åì èç îäíîãî ýëåìåíòà.
67
Ïóñòü φ : X → Y ïðîèçâîëüíîå íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå. Òîãäà
φ ïåðåâîäèò 0-êîìïîíåíòû ïðîñòðàíñòâà X â 0-êîìïîíåíòû ïðîñòðàí-
ñòâà Y (äåéñòâèòåëüíî, åñëè ïóòü f ñîåäèíÿåò òî÷êè x è y â X, òî ïóòü
φ f : I → Y ñîåäèíÿåò òî÷êè φ(x) è φ(y) â Y ) è, ñëåäîâàòåëüíî, îïðå-
äåëÿåò îòîáðàæåíèå π0(φ) : π0(X) → π0(Y ). Íåìåäëåííî ïðîâåðÿåòñÿ,
÷òî π0(idX) = idπ0(X) è ÷òî π0(ψ φ) = π0(ψ) π0(φ) äëÿ íåïðåðûâíîãî
îòîáðàæåíèÿ ψ : Y → Z. Òàêèì îáðàçîì, π0 ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ôóíêòîð
T op → Set .Ìîæíî äàòü íåñêîëüêî äðóãîå îïèñàíèå ôóíêòîðà π0(X). Îáîçíà÷èì
÷åðåç ∗ ïðîñòðàíñòâî, ñîñòîÿùåå ðîâíî èç îäíîé òî÷êè. Ìû óòâåðæäàåì,
÷òî ñóùåñòâóåò åñòåñòâåííàÿ áèåêöèÿ
HomhT op(∗, X)↔ π0(X), (2.3)
çàäàâàåìàÿ ïðàâèëîì [φ] 7→ 0-êîìïîíåíòà òî÷êè φ(∗), ãäå [φ] ∈HomhT op(∗, X) ãîìîòîïè÷åñêèé êëàññ îòîáðàæåíèÿ φ.6 Äëÿ äîêà-
çàòåëüñòâà çàìåòèì, ÷òî ñóùåñòâóåò âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå
ìåæäó îòîáðàæåíèÿìè φ : ∗ → X è òî÷êàìè ïðîñòðàíñòâà X, çàäàâàå-
ìîå ôîðìóëîé φ 7→ φ(∗). Îòîáðàæåíèÿ φ è ψ èç ∗ â X ãîìîòîïíû òîãäà
è òîëüêî òîãäà, êîãäà φ(∗) è ψ(∗) ëåæàò â îäíîé è òîé æå êîìïîíåíòå
ëèíåéíîé ñâÿçíîñòè ïðîñòðàíñòâà X.
Ìíîæåñòâî HomhT op(∗, X) ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé îò X: íåïðåðûâ-
íîå îòîáðàæåíèå X → Y èíäóöèðóåò îòîáðàæåíèå ìíîæåñòâ
HomhT op(∗, X) → HomhT op(∗, Y ), ÷òî îïðåäåëÿåò ñîîòâåòñòâóþùèé
ôóíêòîð íà ìîðôèçìàõ.
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ãîìîòîïíûå îòîáðàæåíèÿ X → Y èíäóöèðóþò
îäèíàêîâûå îòîáðàæåíèÿ ìíîæåñòâ π0(X) → π0(Y ), ò.å. π0 îïðåäåëÿåò
òàêæå ôóíêòîð πh0 : hT op → Set .Ñâÿçü ìåæäó ôóíêòîðàìè π0 è π
h0 ìîæíî îïèñàòü ñëåäóþùèì îáðà-
çîì. Âî-ïåðâûõ, îïðåäåëèì ôóíêòîð F : T op → hT op, êîòîðûé òîæ-
äåñòâåí íà îáúåêòàõ è äëÿ ïðîèçâîëüíîãî íåïðåðûâíîãî îòîáðàæåíèÿ
φ : X → Y ïóñòü F (φ) = [φ] ãîìîòîïè÷åñêèé êëàññ φ (ñì. ïðèìåð n)
â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå). Òîãäà ñîîòíîøåíèå ìåæäó ôóíêòîðàìè π0 è
6íàïîìíèì, ÷òî ìîðôèçìû â ãîìîòîïè÷åñêîé êàòåãîðèè hT op ãîìîòîïè÷åñêèå êëàññû íåïðå-
ðûâíûõ îòîáðàæåíèé.
68
πh0 èëëþñòðèðóåòñÿ äèàãðàììîé
T opπ0
$$HHH
HHHH
HH
F
hT opπh0
// Set .(2.4)
 ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî ôóíêòîð π0 ïðîïóñêàåòñÿ (èëè ôàêòîðèçóåò-
ñÿ) ÷åðåç ôóíêòîð πh0 : hT op → Set , èëè åù¼ ÷òî ôóíêòîð π0 ÿâëÿåòñÿ
ãîìîòîïè÷åñêè èíâàðèàíòíûì, èëè, êîðîòêî, ãîìîòîïè÷åñêèì.
Çàäà÷à. Ïîäóìàéòå, êàêèì óíèâåðñàëüíûì ñâîéñòâîì îáëàäàåò îòîá-
ðàæåíèå X → π0(X) äëÿ äîñòàòî÷íî õîðîøèõ7 ïðîñòðàíñòâ.
Çàäà÷à. Äîêàæèòå, ÷òî ôóíêòîð π0 êàòåãîðíîå ïðîèçâåäåíèå ïåðåâî-
äèò â êàòåãîðíîå ïðîèçâåäåíèå, òî åñòü π0(X × Y ) ∼= π0(X) × π0(Y ).
À êàê îáñòîÿò äåëà ñ ñóììîé?
Íàïîìíèì, ÷òî â ïðèìåðå a′) â §1.3 ìû îïðåäåëèëè ìîäèôèêàöèþ
PT op êàòåãîðèè T op êàòåãîðèþ ïðîñòðàíñòâ ñ îòìå÷åííûìè òî÷-
êàìè. Îïðåäåëèì ñîîòâåòñòâóþùóþ ìîäèôèêàöèþ hPT op ãîìîòîïè-
÷åñêîé êàòåãîðèè hT op, ðàññìàòðèâàåìûå ãîìîòîïèè â êîòîðîé îáÿ-
çàíû ñîõðàíÿòü îòìå÷åííûå òî÷êè. Äðóãèìè ñëîâàìè, äâà ìîðôèçìà
φ, ψ : (X, x0)→ (Y, y0) â PT op 8 îïðåäåëÿþò îäèí è òîò æå ìîðôèçì â
hPT op, åñëè ñóùåñòâóåò òàêîå íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå Φ: X×I → Y,
÷òî
Φ|X×0 = φ, Φ|X×1 = ψ è Φ|x0×I = ω0,
ãäå ω0 ïîñòîÿííûé ïóòü ω0 : I → Y, ω0(t) = y0 ∀t ∈ I.Òåïåðü ìû õîòèì îïðåäåëèòü ñîîòâåòñòâóþùóþ ìîäèôèêàöèþ ôóíê-
òîðà π0 íà êàòåãîðèþ PT op, êîòîðûé îáîçíà÷èì òåì æå ñèìâîëîì π0
(òàê êàê âñåãäà èç êîíòåêñòà ÿñíî, êàêàÿ âåðñèÿ (ñ îòìå÷åííûìè òî÷-
êàìè èëè áåç íèõ) ôóíêòîðà π0 ðàññìàòðèâàåòñÿ). Íàø íîâûé ôóíêòîð
áóäåò ïðèíèìàòü çíà÷åíèÿ íå â îáû÷íîé êàòåãîðèè ìíîæåñòâ Set , àâ êàòåãîðèè ïóíêòèðîâàííûõ ìíîæåñòâ PSet ìíîæåñòâ ñ îòìå÷åí-
íûì ýëåìåíòîì (è ñ îòîáðàæåíèÿìè, ñîõðàíÿþùèìè îòìå÷åííûé ýëå-
ìåíò, â êà÷åñòâå ìîðôèçìîâ).  êà÷åñòâå îòìå÷åííîãî ýëåìåíòà ìíîæå-
ñòâà π0(X, x0) áåð¼òñÿ, åñòåñòâåííî, êîìïîíåíòà ñâÿçíîñòè îòìå÷åííîé
7ëîêàëüíî ëèíåéíî ñâÿçíûõ.8íàïîìíèì, ÷òî ýòî òàêèå íåïðåðûâíûå îòîáðàæåíèÿ φ, ψ : X → Y ÷òî φ(x0) = y0 = ψ(x0).
69
òî÷êè x0. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî òåì ñàìûì ìû äåéñòâèòåëüíî ïîëó÷àåì ãî-
ìîòîïè÷åñêè èíâàðèàíòíûé ôóíêòîð π0 : PT op → PSet .×òîáû ïîëó÷èòü àíàëîã áèåêöèè (2.3) âìåñòî îäíîòî÷å÷íîãî ïðî-
ñòðàíñòâà ∗ âîçüì¼ì 0-ìåðíóþ ñôåðó S0, êîòîðàÿ ñîñòîèò èç äâóõ òî-
÷åê9, îäíó èç êîòîðûõ (ñêàæåì, 1) ìû âîçüì¼ì â êà÷åñòâå îòìå÷åííîé è
îáîçíà÷èì ÷åðåç s0. Òîãäà èìååì åñòåñòâåííóþ áèåêöèþ
HomhPT op((S0, s0), (X, x0))↔ π0(X, x0) (2.5)
(ñð. (2.3)).
b) Ïðîñòðàíñòâà ïóòåé è ïåòåëü. Ïóñòü X è Y òîïîëîãè-
÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà, à XY îáîçíà÷àåò ïðîñòðàíñòâî âñåõ íåïðåðûâ-
íûõ îòîáðàæåíèé f : Y → X, íàäåëÿåìîå êîìïàêòíî-îòêðûòîé òîïî-
ëîãèåé. Êîìïàêòíî-îòêðûòàÿ òîïîëîãèÿ íà XY îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþ-
ùèì îáðàçîì: åå ïðåäáàçà îòêðûòûõ ìíîæåñòâ îáðàçîâàíà ìíîæåñòâàìè
M(K, U) := f ∈ XY | f(K) ⊂ U, ãäå K ïðîáåãàåò êîìïàêòíûå ïîä-
ìíîæåñòâà â Y , à U îòêðûòûå ïîäìíîæåñòâà â X. Òàêèì îáðàçîì,
áàçà òîïîëîãèè äëÿ XY ñîñòîèò èç ìíîæåñòâ îòîáðàæåíèé, ïåðåâîäÿ-
ùèõ êîíå÷íîå ÷èñëî êîìïàêòíûõ ïîäìíîæåñòâ Ki ⊂ Y â ñîîòâåòñòâó-
þùèå îòêðûòûå ïîäìíîæåñòâà Ui ⊂ X. Íåêîòîðûå âàæíûå ñâîéñòâà
êîìïàêòíî-îòêðûòîé òîïîëîãèè ñôîðìóëèðîâàíû â Äîáàâëåíèè 1.
Ïóñòü òåïåðü X ïðîñòðàíñòâî ñ îòìå÷åííîé òî÷êîé x0. Îïðåäå-
ëèì ïðîñòðàíñòâî ïóòåé PX ïðîñòðàíñòâà X ñ îòìå÷åííîé òî÷êîé
x0 ∈ X êàê ïîäïðîñòðàíñòâî â XI , ñîñòîÿùåå èç âñåõ íåïðåðûâíûõ
îòîáðàæåíèé f : I → X èíòåðâàëà I = [0, 1] â X òàêèõ, ÷òî f(0) = x0
(ò.å. ïóòü ýòî ìîðôèçì (I, 0) → (X, x0) â êàòåãîðèè PT op, ãäå0 ∈ I ðàññìàòðèâàåòñÿ â êà÷åñòâå îòìå÷åííîé òî÷êè). Òàêèì îáðà-
çîì, PX òàêæå íàäåëÿåòñÿ êîìïàêòíî-îòêðûòîé òîïîëîãèåé.  êà÷å-
ñòâå îòìå÷åííîé òî÷êè â PX ðàññìîòðèì ïîñòîÿííûé ïóòü ω0 : I → X,
îòîáðàæàþùèé âåñü îòðåçîê I â îòìå÷åííóþ òî÷êó x0. Òàê êàê ëþ-
áîå îòîáðàæåíèå φ ∈ HomPT op((X, x0), (Y, y0)) âìåñòå ñ ëþáûì ïóòåì
f : (I, 0) → (X, x0) îïðåäåëÿþò ïóòü φ f : (I, 0) → (Y, y0), òî φ îïðå-
9n-ìåðíàÿ ñôåðà åäèíè÷íîãî ðàäèóñà ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå
Rn+1 çàäà¼òñÿ óðàâíåíèåì x21+x22+. . .+x
2n+1 = 1, ïîýòîìó 0-ìåðíàÿ ñôåðà S0 ìíîæåñòâî ðåøåíèé
óðàâíåíèÿ x2 = 1, òî åñòü äâå òî÷êè x = ±1.
70
äåëÿåò íåêîòîðîå îòîáðàæåíèå
Pφ : (PX, ω0)→ (PY, ω′0), Pφ(f) = φ f
(ãäå ω′0 ïîñòîÿííûé ïóòü â y0), êîòîðîå, ëåãêî ïðîâåðèòü, íåïðåðûâ-
íî. Îòñþäà ëåãêî âûâåñòè, ÷òî P : (X, x0) 7→ (PX, ω0) ôóíêòîð èç
êàòåãîðèè PT op â ñåáÿ.
Îïðåäåëèì òàêæå ïîäïðîñòðàíñòâî ΩX â PX, ñîñòîÿùåå èç òàêèõ
îòîáðàæåíèé f : I → X, ÷òî f(0) = f(1) = x0 (èëè, ýêâèâàëåíòíî, ïðî-
ñòðàíñòâî îòîáðàæåíèé f : (S1, s0) → (X, x0) â êàòåãîðèè PT op, ãäå(S1, s0) îêðóæíîñòü ñ îòìå÷åííîé òî÷êîé), íàäåëåííîå êîìïàêòíî-
îòêðûòîé òîïîëîãèåé. Ýòî ïðîñòðàíñòâî íàçûâàåòñÿ ïðîñòðàíñòâîì ïå-
òåëü è òîæå îïðåäåëÿåò ôóíêòîð Ω: (X, x0) 7→ (ΩX, ω0) èç êàòåãîðèè
PT op â ñåáÿ.
Ôóíêòîðû P è Ω åñòåñòâåííî ïåðåíîñÿòñÿ â ãîìîòîïè÷åñêóþ êàòåãî-
ðèþ hPT op.Ïðîñòðàíñòâà ïåòåëü ΩX îáëàäàþò ðÿäîì ñïåöèàëüíûõ ñâîéñòâ, â
÷àñòíîñòè, îíè ñíàáæåíû íåêîòîðûì çàìå÷àòåëüíûì íåïðåðûâíûì îòîá-
ðàæåíèåì µ : ΩX × ΩX → ΩX, îïðåäåëÿåìûì ñëåäóþùèì îáðàçîì:
µ(g, f) = g · f, ãäå · îïðåäåë¼ííàÿ â Äîáàâëåíèè 2 êîìïîçèöèÿ ïó-
òåé. Íàïîìíèì, ÷òî g · f ïåòëÿ, îïðåäåëÿåìàÿ ïðàâèëîì
(g · f)(s) =
f(2s), åñëè 0 ≤ s ≤ 1/2;
g(2s− 1), åñëè 1/2 ≤ s ≤ 1.
Ëåììà 16. Îòîáðàæåíèå µ íåïðåðûâíî.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèå m : ΩX × ΩX × I → X, çà-
äàííîå ôîðìóëîé m(g, f, s) = (g · f)(s). Ïóñòü m1 îãðàíè÷åíèå m
íà ΩX × ΩX × [0, 1/2], à m2 íà ΩX × ΩX × [1/2, 1]. Íåïðåðûâ-
íîñòü îòîáðàæåíèé m1(g, f, s) = f(2s) è m2(g, f, s) = g(2s − 1) ëåãêî
âûâåñòè èç ï. a) Òåîðåìû 18 â Äîáàâëåíèè 1, à òàê êàê îíè ñîãëàñî-
âàíû íà ïåðåñå÷åíèè ΩX × ΩX × 1/2, òî ýòî äà¼ò íåïðåðûâíîñòü
m. Òåïåðü ïðèìåíåíèå ïóíêòà b) Òåîðåìû 18 âëå÷¼ò íåïðåðûâíîñòü
m : ΩX ×ΩX → XI , m(g, f)(s) = m(g, f, s) = (g · f)(s). Ëåãêî âèäåòü,÷òî îáðàç m ïîïàäàåò â ïîäïðîñòðàíñòâî ΩX ⊂ XI , ñîîòâåòñòâóþùåå
îòîáðàæåíèå â ΩX è åñòü µ, êîòîðîå, òàêèì îáðàçîì, íåïðåðûâíî.
71
c) Ôóíäàìåíòàëüíàÿ ãðóïïà è ãîìîòîïè÷åñêèå ãðóïïû. Ìû óæå
îòìå÷àëè, ÷òî êîìïîçèöèÿ ôóíêòîðîâ ÿâëÿåòñÿ ôóíêòîðîì. Ðàññìîò-
ðèì êîìïîçèöèþ π0Ω, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ãîìîòîïè÷åñêè èíâàðèàíòíûìôóíêòîðîì PT op → PSet . Çàìå÷àòåëüíûì ôàêòîì ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî å¼
ìîæíî ðàññìàòðèâàòü íå òîëüêî êàê ôóíêòîð â êàòåãîðèþ ïóíêòèðîâàí-
íûõ ìíîæåñòâ PSet , íî è â êàòåãîðèþ ãðóïï Gr , òî åñòü ïóíêòèðîâàííûåìíîæåñòâà π0(ΩX, ω0) èìåþò åñòåñòâåííóþ ãðóïïîâóþ ñòðóêòóðó. Ó ýòî-
ãî ôàêòà åñòü êðàñèâîå êàòåãîðíîå äîêàçàòåëüñòâî, à ìû ëèøü çàìåòèì,
÷òî ãðóïïîâàÿ îïåðàöèÿ íà êîìïîíåíòàõ ëèíåéíîé ñâÿçíîñòè ïðîñòðàí-
ñòâà ïåòåëü ΩX áóäåò ïðîèñõîäèòü èç ïîñòðîåííîãî âûøå óìíîæåíèÿ
µ. Ôóíêòîð π0 Ω: PT op → Gr íàçûâàåòñÿ ôóíäàìåíòàëüíîé ãðóïïîé
è îáîçíà÷àåòñÿ π1.
×èòàòåëü, âîçìîæíî, çíàêîì ñîâñåì ñ äðóãèì îïðåäåëåíèåì
ôóíäàìåíòàëüíîé ãðóïïû ïðîñòðàíñòâà X ñ îòìå÷åííîé òî÷êîé
x0, êîòîðîå ìû ïðèâåëè â Äîáàâëåíèè 2, à èìåííî êàê ãðóï-
ïû HomhPT op((S1, s0), (X, x0)) ãîìîòîïè÷åñêèõ êëàññîâ îòîáðàæåíèé
îêðóæíîñòè ñ îòìå÷åííîé òî÷êîé (èëè êàê ãðóïïû êëàññîâ ýêâèâàëåíò-
íîñòè ïåòåëü, ÷òî òî æå ñàìîå). Äîêàæåì ýêâèâàëåíòíîñòü ýòèõ äâóõ
îïðåäåëåíèé.
Ââèäó (2.5) íóæíî äîêàçàòü ñóùåñòâîâàíèå åñòåñòâåííîé ïî X áèåê-
öèè10
HomhPT op((S0, s0), (ΩX, ω0))↔ HomhPT op((S
1, s0), (X, x0)). (2.6)
Âî-ïåðâûõ, çàìåòèì, ÷òî åñòü âçàèìíî-îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæ-
äó íåïðåðûâíûìè îòîáðàæåíèÿìè (S0, s0) → (ΩX, ω0) è íåïðåðûâ-
íûìè îòîáðàæåíèÿìè (S1, s0) → (X, x0) (äåéñòâèòåëüíî, îòîáðàæåíèå
(S0, s0) → (ΩX, ω0) ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ òî÷êîé â ΩX, òî åñòü
ïåòë¼é â X, â êîòîðóþ ïåðåõîäèò òî÷êà −1 ∈ S0, òàê êàê îòìå÷åí-
íàÿ òî÷êà 1 ∈ S0 ïî îïðåäåëåíèþ ìîðôèçìîâ â PT op îáÿçàíà ïå-
ðåéòè â ω0). Ïîýòîìó äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî îòíîøåíèå ãîìîòîïíî-
ñòè íà ýòèõ äâóõ ìíîæåñòâàõ îòîáðàæåíèé ñîâïàäàåò. Äëÿ äâóõ ïå-
òåëü f, g : S1 → X, f(s0) = g(s0) = x0 ãîìîòîïèÿ ýòî îòîáðàæåíèå
10ôàêòè÷åñêè, íà êàòåãîðíîì ÿçûêå, ìû õîòèì äîêàçàòü èçîìîðôèçì óêàçàííûõ ôóíêòîðîâ.
72
H : S1 × I → X òàêîå ÷òî
H|S1×0 = f, H|S1×1 = g è H(s0 × I) = x0. (2.7)
Íàïîìíèì, ÷òî ñîãëàñíî ï. b) Òåîðåìû 18 èç Äîáàâëåíèÿ 1, îòîáðàæå-
íèå H : S1 × I → X íåïðåðûâíî òîãäà è òîëüêî òîãäà êîãäà îòîáðàæå-
íèå H : I → XS1
, H(t)(s) = H(s, t) íåïðåðûâíî. Çàìåòèì, ÷òî â ñèëó
ïîñëåäíåãî óñëîâèÿ â (2.7) H(t)(s0) = x0 ∀t ∈ I, ïîýòîìó îáðàç îòîáðà-
æåíèÿ H ÿâëÿåòñÿ ïóò¼ì â ïîäïðîñòðàíñòâå ΩX ⊂ XS1
. Îòîáðàæåíèå
H êàê ðàç çàäà¼ò ïóòü ìîæäó òî÷êàìè â ΩX, ñîîòâåòñòâóþùèìè ïåòëÿì
f è g, òî åñòü ñîîòâåòñòâóþùóþ ãîìîòîïèþ îòîáðàæåíèé S0 → ΩX, ýòî
çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî áèåêöèè (2.6).
Ôóíêòîð ïåòåëü Ω äåéñòâóåò èç êàòåãîðèè PT op â ñåáÿ, ïîýòîìó åãî
ìîæíî èòåðèðîâàòü.  îáùåì ñëó÷àå îáîçíà÷èì êîìïîçèöèþ Ω . . . Ω(n ðàç) ÷åðåç Ωn è îïðåäåëèì ôóíêòîð πn(X, x0) := π0(Ω
nX, ω0) (ãäå
ω0 îòìå÷åííàÿ òî÷êà â ΩnX), êîòîðûé íàçîâ¼ì n-é ãîìîòîïè÷åñêîé
ãðóïïîé. Ýòî îïðåäåëÿåò ñåìåéñòâî ãîìîòîïè÷åñêè èíâàðèàíòíûõ ôóíê-
òîðîâ äëÿ âñåõ n ∈ N, ïðè÷¼ì π0 ÿâëÿåòñÿ ôóíêòîðîì PT op → PSet ,π1 ôóíêòîðîì PT op → Gr , à ïðè n ≥ 2 πn ÿâëÿþòñÿ ôóíêòîðàìè
PT op → Ab ñî çíà÷åíèÿìè â êàòåãîðèè àáåëåâûõ ãðóïï. Ýòîò ôàêò
èìååò íåïîñðåäñòâåííûé êàòåãîðíûé ñìûñë. Òàê êàê ãðóïïà ýòî ìíî-
æåñòâî ñ äîïîëíèòåëüíîé ñòðóêòóðîé, òî ýòî äåëàåò äàííûå ôóíêòîðû
ñóùåñòâåííî áîëåå èíôîðìàòèâíûìè. Ñ íèìè ìîæíî ãëóáæå ïîçíàêî-
ìèòüñÿ ïî êíèãàì [12], [17] èëè [15].
Êñòàòè, èç ñîâïàäåíèÿ ΩnX = Ω(Ωn−1X) ñëåäóþò ðàâåíñòâà
π0(ΩnX, ω0) = π1(Ω
n−1X, ω0) = . . . = πn(X, x0). (2.8)
Êðîìå òîãî, áèåêöèÿ (2.6) ìîæåò áûòü îáîáùåíà íà ñëó÷àé ãîìîòî-
ïè÷åñêèõ ãðóïï πn äëÿ âñåõ n ≥ 0 ñëåäóþùèì îáðàçîì:
HomhPT op((Sn, s0), (X, x0))↔ πn(X, x0), (2.9)
(çäåñü Sn n-ìåðíàÿ ñôåðà ñ áàçèñíîé òî÷êîé s0). Ýòîò îáùèé ðåçóëüòàò
òàêæå ìîæåò áûòü ïîëó÷åí èç ï. b) Òåîðåìû 18 (ñ èñïîëüçîâàíèåì åùå
îäíîãî òîïîëîãè÷åñêîãî ôóíêòîðà íàäñòðîéêè), ñì. [17].
73
d) Ôóíäàìåíòàëüíûé ãðóïïîèä. Ôóíäàìåíòàëüíûé ãðóïïîèä Π(X)
òîïîëîãè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà X êàòåãîðèÿ, îáúåêòàìè êîòîðîé ÿâ-
ëÿþòñÿ òî÷êè ïðîñòðàíñòâà X, à ìîðôèçìàìè x→ y êëàññû ýêâèâà-
ëåíòíîñòè ïóòåé èç x â y (ñì. Äîáàâëåíèå 2). Òàêèì îáðàçîì, ìíîæåñòâî
ýíäîìîðôèçìîâ11 îáúåêòà x åñòü â òî÷íîñòè ôóíäàìåíòàëüíàÿ ãðóïïà
π1(X, x). Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî Π ÿâëÿåòñÿ ôóíêòîðîì èç êàòåãîðèè òî-
ïîëîãè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâ T op â êàòåãîðèþ ãðóïïîèäîâ GP .
e) Ãîìîëîãèè. Äðóãèì âàæíûì ïðèìåðîì ôóíêòîðà èç T op (ïðè÷¼ì
ãîìîòîïè÷åñêè-èíâàðèàíòíîãî) ÿâëÿåòñÿ ôóíêòîð ñèíãóëÿðíûõ ãîìîëî-
ãèé, ñì., íàïðèìåð [17], [12].
2.3 Êîíòðàâàðèàíòíûå ôóíêòîðû
Ôóíêòîðû F : C → D, êîòîðûå ìû ðàññìàòðèâàëè äî ñèõ ïîð, íàçûâàþò-
ñÿ êîâàðèàíòíûìè ôóíêòîðàìè. Ñóùåñòâóþò (è èãðàþò âàæíóþ ðîëü!)
òàêæå êîíòðàâàðèàíòíûå ôóíêòîðû, îáðàùàþùèå ñòðåëêè.
Îïðåäåëåíèå 17. Êîíòðàâàðèàíòíûé ôóíêòîð èç êàòåãîðèè C ñî çíà-÷åíèÿìè â êàòåãîðèè D (îáîçíà÷åíèå: F : C → D) ñîñòîèò èç ñëåäóþùèõäàííûõ:
a) îòîáðàæåíèÿ Ob(C)→ Ob(D), X 7→ F (X);
b) äëÿ êàæäîé óïîðÿäî÷åííîé ïàðû îáúåêòîâ X, Y ∈ Ob(C) îòîáðà-æåíèÿ
HomC(X, Y )→ HomD(F (Y ), F (X)),
f : X → Y 7→ F (f) : F (Y )→ F (X),
ïðè÷åì F (idX) = idF (X) è äëÿ ëþáûõ X, Y, Z ∈ Ob(C) è f ∈HomC(X, Y ), g ∈ HomD(Y, Z) èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî F (g f) =
F (f) F (g).
Ò.å. ìîðôèçìó f : X → Y â êàòåãîðèè C êîíòðàâàðèàíòíûé ôóíê-
òîð F ñîïîñòàâëÿåò ìîðôèçì F (f) : F (Y ) → F (X) â êàòåãîðèè D è
11íàïîìíèì, ÷òî ýíäîìîðôèçì îáúåêòà åãî ìîðôèçì íà ñåáÿ.
74
ñîîòâåòñòâåííî êîìïîçèöèè Xf→ Y
g→ Z â C êîìïîçèöèþ F (X)F (f)←−
F (Y )F (g)←− F (Z) â D.
Ñ ïîìîùüþ ïîíÿòèÿ äâîéñòâåííîé êàòåãîðèè îïðåäåëåíèå êîíòðàâà-
ðèàíòíîãî ôóíêòîðà ìîæíî ñâåñòè ê îïðåäåëåíèþ îáû÷íîãî (êîâàðè-
àíòíîãî). Áîëåå òî÷íî, ðàññìîòðèì îáðàùàþùèé êîíòðàâàðèàíòíûé
ôóíêòîð Rev : C → C (ãäå C äóàëüíàÿ êàòåãîðèÿ), êîòîðûé òîæäå-
ñòâåí íà îáúåêòàõ è îáðàùàåò íàïðàâëåíèå ìîðôèçìîâ, ò.å. Rev(f ) = f .
Òîãäà êîíòðàâàðèàíòíûé ôóíêòîð F : C → D îïðåäåëÿåò êîâàðèàíòíûé
ôóíêòîð G = F Rev : C → D (çäåñü F Rev êîìïîçèöèÿ ôóíêòîðîâ).
Çàäà÷à. Ïîñòðîèòü êîíòðàâàðèàíòíûé ôóíêòîð èç êàòåãîðèè ïîä-
ìíîæåñòâ äàííîãî ìíîæåñòâà P(S) (ñì. ïðèìåð m) íà ñòð. 19) â
ñåáÿ.
Ïðèìåðû. a) Ïóñòü k ïîëå, S ∈ Ob(C) ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî,
F (S) (ïîêà) ìíîæåñòâî âñåõ ôóíêöèé íà S ñî çíà÷åíèÿìè â k, èëè,
÷òî òî æå ñàìîå, îòîáðàæåíèé èç S â k. Êàê îáû÷íî, åñëè f : S → k
òàêàÿ ôóíêöèÿ, ÷åðåç f(s) îáîçíà÷àåòñÿ çíà÷åíèå f íà ýëåìåíòå s ∈ S.Ñëîæåíèå è óìíîæåíèå ôóíêöèé íà ñêàëÿð îïðåäåëÿþòñÿ ïîòî÷å÷íî:
(f + g)(s) = f(s) + g(s) äëÿ âñåõ s ∈ S,
(af)(s) = a(f(s)) äëÿ âñåõ a ∈ k, s ∈ S.
Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî F (S) ñ ââåäåííûìè îïåðàöèÿìè ñëîæåíèÿ è
óìíîæåíèÿ íà ñêàëÿð åñòü âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî íàä k. Åñëè S =
1, . . . , n, òî F (S) ìîæíî îòîæäåñòâèòü ñ kn12: ôóíêöèè f ñòàâèòñÿ
â ñîîòâåòñòâèå âåêòîð âñåõ åå çíà÷åíèé f(1), . . . , f(n). Îêàçûâàåòñÿ,÷òî ñîïîñòàâëåíèå S 7→ F (S) ìîæåò áûòü ïðîäîëæåíî äî ôóíêòîðà
F : Set → Vectk (ò.å. ñóùåñòâóåò ôóíêòîð, ñîâïàäàþùèé ñ S 7→ F (S) íà
îáúåêòàõ; íà ìîðôèçìàõ îí îïðåäåëÿåòñÿ â ñëåäóþùåì ïðåäëîæåíèè).
Ýòîò ôóíêòîð ÿâëÿåòñÿ êîíòðàâàðèàíòíûì: ìîðôèçìó φ : S → T â Setîí ñòàâèò â ñîîòâåòñòâèå ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå F (φ) : F (T ) → F (S),
÷àùå îáîçíà÷àåìîå φ∗, è íàçûâàåìîå îáðàòíûì îáðàçîì íà ôóíêöèÿõ:
φ∗(f) = f φ, ãäå φ : S → T, f : T → k.
12Çàìåòèì, ÷òî è â îáùåì ñëó÷àå F (X) ∼=∏
x∈X k.
75
Çàäà÷à. Ïðîâåðèòü, ÷òî ìû äåéñòâèòåëüíî ïîñòðîèëè ôóíêòîð.
Çàäà÷à. a) Ïîêàæèòå, ÷òî F (X⨿Y ) ∼= F (X) ⊕ F (Y ). (Óêàçàíèå:
X⨿Y êàòåãîðíàÿ ñóììà â Set , ïîýòîìó ôóíêöèÿ X
⨿Y → k
òî æå, ÷òî ïàðà ôóíêöèé f : X → k, g : Y → k).
b) Êàê ìîæíî îïèñàòü ôóíêöèè íà X × Y ÷åðåç ôóíêöèè íà X è
íà Y (íàïðèìåð, åñëè X è Y êîíå÷íûå ìíîæåñòâà)?
Äàëåå, ìîæíî çàìåòèòü, ÷òî ôóíêöèè ñî çíà÷åíèåì â ïîëå ìîæíî íå
òîëüêî ïîòî÷å÷íî ñêëàäûâàòü, íî è ïåðåìíîæàòü: (fg)(s) = f(s)g(s).
Ïðè ýòîì F (S) ñòàíîâèòñÿ êîììóòàòèâíîé àññîöèàòèâíîé k-àëãåáðîé ñ
åäèíèöåé (ðîëü êîòîðîé èãðàåò ïîñòîÿííàÿ ôóíêöèÿ, â êàæäîé òî÷êå
ïðèíèìàþùàÿ çíà÷åíèå, ðàâíîå 1 ∈ k) è S 7→ F (S) ïðîäîëæàåòñÿ äî
êîíòðàâàðèàíòíîãî ôóíêòîðà Set → Algk.b) Íåêîòîðûé âàðèàíò ïîñëåäíåãî ïðèìåðà ïîëó÷èòñÿ, åñëè S = T åñòü
òîïîëîãè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî, à k òîïîëîãè÷åñêîå ïîëå (ò.å. ïîëå, íà
ìíîæåñòâå ýëåìåíòîâ êîòîðîãî çàäàíà òîïîëîãèÿ, îòíîñèòåëüíî êîòîðîé
îïåðàöèè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ íåïðåðûâíû, íàïðèìåð R èëè C), èâ êà÷åñòâå F (T ) ðàññìàòðèâàåòñÿ ïðîñòðàíñòâî íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé
f : T → k. Äåéñòâèå ôóíêòîðà F íà ìîðôèçì φ ∈ HomT op(T′, T ) îïðå-
äåëÿåòñÿ ïî òîé æå ôîðìóëå, êàê è â ñëó÷àå ìíîæåñòâ:
F (φ)(f) = φ∗(f) = f φ ∀f ∈ F (T )
(òàê êàê φ : T ′ → T íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå, òî îáðàòíûé îáðàç
íà ôóíêöèÿõ φ∗ ïåðåâîäèò íåïðåðûâíûå ôóíêöèè íà T â íåïðåðûâíûå
ôóíêöèè íà T ′).
c) Ôóíêòîð äâîéñòâåííîñòè: Vectk → Vectk, íà îáúåêòàõ çàäàâàåìûé
ôîðìóëîé V 7→ V ∗ := L(V, k), ãäå L(V, k) äâîéñòâåííîå ïðîñòðàí-
ñòâî, ñîñòîÿùåå èç ëèíåéíûõ ôóíêöèîíàëîâ (=ëèíåéíûõ ôîðì) íà V
(íàçûâàåìîå òàêæå ñîïðÿæåííûì ñ V ïðîñòðàíñòâîì), à íà ìîðôèçìàõ
φ : V → W ôîðìóëîé φ 7→ φ∗, ãäå φ∗ : W ∗ → V ∗ äâîéñòâåííîå ê φ
îòîáðàæåíèå (íàïîìíèì, äâîéñòâåííîå ê φ îòîáðàæåíèå ïðîèçâîëüíîìó
f ∈ W ∗ ñîïîñòàâëÿåò ôóíêöèîíàë φ∗(f) ∈ V ∗, îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿå-
ìûé ôîðìóëîé φ∗(f)(v) = f(φ(v)) ∀v ∈ V ).Çàäà÷à. Ïðîâåðèòü, ÷òî ýòî äåéñòâèòåëüíî îïðåäåëÿåò ôóíêòîð
Vectk → Vectk.
76
d) Ïóñòü LCAb êàòåãîðèÿ, îáúåêòàìè êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ ëîêàëüíî-
êîìïàêòíûå (òîïîëîãè÷åñêèå) àáåëåâû ãðóïïû, à ìîðôèçìàìè
íåïðåðûâíûå ãîìîìîðôèçìû òàêèõ ãðóïï. Õàðàêòåðîì ãðóïïû G ∈Ob(LCAb) íàçûâàþò å¼ ìîðôèçì (=íåïðåðûâíûé ãîìîìîðôèçì) â ãðóï-
ïó U(1).13 Ìíîæåñòâî âñåõ õàðàêòåðîâ ãðóïïû G òðàäèöèîííî îáîçíà-
÷àåòñÿ G è ñàìî ÿâëÿåòñÿ àáåëåâîé ãðóïïîé îòíîñèòåëüíî ïîòî÷å÷íîãî
óìíîæåíèÿ. Íàäåëèì G óæå ðàññìîòðåííîé ðàíåå êîìïàêòíî-îòêðûòîé
òîïîëîãèåé, êîòîðàÿ â äàííîì ñëó÷àå èìååò ñëåäóþùåå ïðîñòîå îïèñà-
íèå. ż ïðåäáàçó îáðàçóþò ìíîæåñòâà âèäà
M(K; t, ε) := χ ∈ G | |χ(g)− t| < ε
äëÿ âñåâîçìîæíûõ íàáîðîâ, ñîñòîÿùèõ èç êîìïàêòíîãî ïîäìíîæåñòâà
K ⊂ G, òî÷êè t ∈ U(1) è ÷èñëà ε > 0. Òîãäà ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî
ãðóïïà G òàêæå ëîêàëüíî êîìïàêòíà, è ñîïîñòàâëåíèå G 7→ G ïðîäîë-
æàåòñÿ äî êîíòðàâàðèàíòíîãî ôóíêòîðà èç êàòåãîðèè LCAb â ñåáÿ. Íà
ìîðôèçìàõ îí îïðåäåë¼í î÷åâèäíûì îáðàçîì: íåïðåðûâíîìó ãîìîìîð-
ôèçìó f : G→ H îí ñòàâèò â ñîîòâåòñòâèå íåïðåðûâíûé ãîìîìîðôèçì
ãðóïï õàðàêòåðîâ f : H → G, ãäå f(χ)(g) = χ(f(g)) äëÿ ïðîèçâîëüíûõ
χ ∈ H è g ∈ G.e) Îïðåäåëèì íåêîòîðûé àíàëîã T op(T ) êàòåãîðèè P(S), ðàññìàòðèâà-åìîé â ïðèìåðå m) íà ñòð. 19 â ñëó÷àå, êîãäà S = T òîïîëîãè÷åñêîå
ïðîñòðàíñòâî. À èìåííî, îáúåêòû T op(T ) ïðîèçâîëüíûå îòêðûòûå
ïîäìíîæåñòâà U ⊂ T , à ìîðôèçìû âëîæåíèÿ îòêðûòûõ ïîäìíîæåñòâ
V ⊂ U. Òîãäà êîíòðàâàðèàíòíûé ôóíêòîð F : T op(T )→ Ab (èëè Ringèëè Gr , . . .) íàçûâàåòñÿ ïðåäïó÷êîì àáåëåâûõ ãðóïï íà T (èëè êîëåö, èëè
ãðóïï, . . .). Èç îïðåäåëåíèÿ ôóíêòîðà ñëåäóåò, ÷òî äàííîìó âëîæåíèþ
V ⊂ U (ò.å. ìîðôèçìó â T op(T )) ïðåäïó÷îê F ñîïîñòàâëÿåò ãîìîìîð-
ôèçì F (V ⊂ U) : F (U) → F (V ), êîòîðûé íàçûâàåòñÿ ãîìîìîðôèçìîì
îãðàíè÷åíèÿ. Îí ÷àñòî îáîçíà÷àåòñÿ ρFU, V . Çàìåòèì, ÷òî èç îïðåäåëåíèÿ
ôóíêòîðà ñëåäóåò, ÷òî òîæäåñòâåííîìó ìîðôèçìó U ⊂ U â êàòåãîðèè
T op(T ) îòâå÷àåò òîæäåñòâåííûé ìîðôèçì ρFU,U = idF (U) â êàòåãîðèè
Ab, à äëÿ îòêðûòûõ ìíîæåñòâ W ⊂ V ⊂ U èìååì: ρFU,W = ρFV,W ρFU, V .13íàïîìíèì, ÷òî ÷åðåç U(1) îáîçíà÷àåòñÿ ìóëüòèïëèêàòèâíàÿ ãðóïïà êîìïëåêñíûõ ÷èñåë ïî ìî-
äóëþ ðàâíûõ åäèíèöå.
77
Ðàññìîòðèì ñëåäóþùèé ïðèìåð ïðåäïó÷êà êîëåö. Ôèêñèðóåì òîïî-
ëîãè÷åñêîå ïîëå k (íàïðèìåð, k = R èëè C) è îïðåäåëèì ïðåäïó-
÷îê F ñëåäóþùèì îáðàçîì: F (U) åñòü êîëüöî íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé
f : U → k, ãäå ãîìîìîðôèçìû îãðàíè÷åíèÿ ρFU, V íàñòîÿùèå îãðàíè÷å-
íèÿ ôóíêöèé ñ U íà V.
Çàìåòèì, ÷òî ýòîò ïðèìåð ïðåäïó÷êà îáëàäàåò ðÿäîì äîïîëíèòåëü-
íûõ õîðîøèõ ñâîéñòâ, êîòîðûì óäîâëåòâîðÿþò ò.í. ïó÷êè.
f) Îäíèì èç âàæíåéøèõ ãîìîòîïè÷åñêè-èíâàðèàíòíûõ êîíòðàâàðèàíò-
íûõ ôóíêòîðîâ, èçó÷àåìûõ â àëãåáðàè÷åñêîé òîïîëîãèè, ÿâëÿåòñÿ ôóíê-
òîð ñèíãóëÿðíûõ êîãîìîëîãèé, î êîòîðîì ìîæíî ïðî÷èòàòü â ðåêîìåí-
äóåìûõ êíèãàõ ïî òîïîëîãèè.
g) Íàïîìíèì, ÷òî âûøå â ïðèìåðå o) íà ñòð. 64 ìû îïðåäåëèëè ôóíêòîð
h′X : C → Set êàê ôóíêöèþ Y 7→ HomC(X, Y ) îò âòîðîãî àðãóìåíòà.
Àíàëîãè÷íî, HomC(Y, X) êàê ôóíêöèÿ îò ïåðâîãî àðãóìåíòà åñòü êîí-
òðàâàðèàíòíûé ôóíêòîð hX : C → Set , êîòîðûé îáúåêòó Y ∈ Ob(C)ñòàâèò â ñîîòâåòñòâèå ìíîæåñòâî hX(Y ) = HomC(Y, X), è ìîðôèçìó
f : Y ′ → Y â C ìîðôèçì
hX(f) : HomC(Y, X)→ HomC(Y′, X)
â êàòåãîðèè Set , îòîáðàæàþùèé ïðîèçâîëüíûé ìîðôèçì φ ∈HomC(Y, X) â êîìïîçèöèþ hX(f)(φ) = φ f ∈ HomC(Y
′, X).
h) Ôóíêòîð HomC åñòåñòâåííî ðàññìàòðèâàòü êàê çàâèñÿùèé îäíîâðå-
ìåííî îò äâóõ àðãóìåíòîâ (òàêèå ôóíêòîðû íàçûâàþòñÿ áèôóíêòîðà-
ìè). Åãî òàêæå ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê îáû÷íûé ôóíêòîð íà ïðîèç-
âåäåíèè êàòåãîðèé (ñì. §1.5): HomC : C × C → Set .
78
Ãëàâà 3
Äîáàâëåíèÿ
3.1 Äîáàâëåíèå 1. Ñâîéñòâà êîìïàêòíî-
îòêðûòîé òîïîëîãèè
Òåîðåìà 18. Åñëè ïðîñòðàíñòâî Y ëîêàëüíî êîìïàêòíî, òî
a) îòîáðàæåíèå âû÷èñëåíèÿ1 e : XY × Y → X, çàäàâàåìîå ôîðìóëîé
e(f, y) = f(y), íåïðåðûâíî;
b) íåïðåðûâíîñòü îòîáðàæåíèÿ f : Y × Z → X ðàâíîñèëüíà
íåïðåðûâíîñòè îòîáðàæåíèÿ f : Z → XY , çàäàííîãî ôîðìóëîé
f(z)(y) = f(y, z).
Äîêàçàòåëüñòâî. a) Äëÿ ïðîèçâîëüíîé òî÷êè (f, y) ∈ XY × Y ïóñòü
U ⊂ X ïðîèçâîëüíàÿ îòêðûòàÿ îêðåñòíîñòü òî÷êè f(y). Òàê êàê
f : Y → X íåïðåðûâíî, à Y ëîêàëüíî êîìïàêòíî, òî ó òî÷êè y ∈ Yíàéäåòñÿ òàêàÿ êîìïàêòíàÿ îêðåñòíîñòü K ⊂ Y , ÷òî f(K) ⊂ U. Íà-
ïîìíèì, ÷òî ÷åðåç M(K, U) := g ∈ XY | g(K) ⊂ U ìû îáîçíà÷àåì
ìíîæåñòâà, îáðàçóþùèå ïðåäáàçó êîìïàêòíî-îòêðûòîé òîïîëîãèè â XY .
Òîãäà M(K, U)×K îêðåñòíîñòü òî÷êè (f, y), îáðàç êîòîðîé îòíîñè-
òåëüíî îòîáðàæåíèÿ e ñîäåðæèòñÿ â U , îòêóäà ñëåäóåò íåïðåðûâíîñòü e
â (f, y). Â ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè (f, y) îòîáðàæåíèå e íåïðåðûâíî.
b) Âî-ïåðâûõ, ïóñòü f íåïðåðûâíî. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà íåïðåðûâ-
íîñòè f äîñòàòî÷íî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî ìíîæåñòâî f−1(M(K, U)) =
1íàçûâàåìîå ïî-àíãëèéñêè evaluation map.
79
z ∈ Z | f(K × z) ⊂ U îòêðûòî â Z. Äëÿ ýòîãî äëÿ ïðîèçâîëü-
íîé òî÷êè z ∈ f−1(M(K, U)) íóæíî íàéòè îòêðûòóþ îêðåñòíîñòü, ñî-
äåðæàùóþñÿ â f−1(M(K, U)). Èç âêëþ÷åíèÿ K × z ⊂ f−1(U), îïðå-
äåëåíèÿ òîïîëîãèè ïðîèçâåäåíèÿ è êîìïàêòíîñòè K × z ëåãêî ñëå-
äóåò ñóùåñòâîâàíèå îòêðûòûõ ìíîæåñòâ V ⊂ Y, W ⊂ Z òàêèõ ÷òî
K × z ⊂ V ×W ⊂ f−1(U). Òîãäà W èñêîìàÿ îêðåñòíîñòü òî÷êè z
â f−1(M(K, U)).
Îáðàòíî, ïðåäïîëîæèì ÷òî íåïðåðûâíî f . Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî êîì-
ïîçèöèÿ
Y × Z idY ×f−→ Y ×XY e→ X
ñîâïàäàåò ñ f . Òîãäà f íåïðåðûâíî êàê êîìïîçèöèÿ íåïðåðûâíûõ îòîá-
ðàæåíèé (ïåðâîå èç êîòîðûõ íåïðåðûâíî ïî ïðåäïîëîæåíèþ, à âòîðîå
ïî äîêàçàííîìó â ïóíêòå a).
Òåîðåìà 19. (Ýêñïîíåíöèàëüíûé çàêîí) Åñëè ïðîñòðàíñòâî Y ëî-
êàëüíî êîìïàêòíî è õàóñäîðôîâî, à Z õàóñäîðôîâî, òî îòîáðàæåíèå
XY×Z → (XY )Z , f 7→ f , ÿâëÿåòñÿ ãîìåîìîðôèçìîì.
Èäåÿ äîêàçàòåëüñòâà ïîñëåäíåé òåîðåìû çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òîáû
äîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâà âèäà M(A×B, U), ãäå A è B ïðîáåãàþò êîì-
ïàêòíûå ïîäìíîæåñòâà â Y è Z ñîîòâåòñòâåííî, à U îòêðûòûå âX, îá-
ðàçóþò ïðåäáàçó êîìïàêòíî-îòêðûòîé òîïîëîãèè â XY×Z , à ìíîæåñòâà
âèäà M(B, M(A, U)) â (XY )Z . Òàê êàê ïðè áèåêöèè XY×Z → (XY )Z
ìíîæåñòâà M(A×B, U) ïåðåõîäÿò â M(B, M(A, U)), òî îòñþäà áóäåò
âûòåêàòü òðåáóåìîå. Ïîäðîáíîñòè ñì., íàïðèìåð, â [17].
3.2 Äîáàâëåíèå 2. Ôóíäàìåíòàëüíàÿ ãðóïïà
Ñëåäóÿ [12], ïîñòðîèì åùå îäèí ãîìîòîïè÷åñêè-èíâàðèàíòíûé ôóíêòîð
π1 : PT op → Gr , íàçûâàåìûé ôóíäàìåíòàëüíîé ãðóïïîé.
Ïóñòü X òîïîëîãè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî. Äâà ïóòè f, g : I → X èç x
â y (x, y ∈ X) íàçîâ¼ì ýêâèâàëåíòíûìè (îáîçíà÷åíèå: f ≃ g), åñëè îíè
ãîìîòîïíû êàê ïóòè èç x â y. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñóùåñòâóåò ãîìîòîïèÿ
h : I × I → X òàêàÿ, ÷òî
h(s, 0) = f(s), h(s, 1) = g(s), h(0, t) = x è h(1, t) = y
80
äëÿ âñåõ s, t ∈ I.2 Êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè ïóòè f îáîçíà÷èì ÷åðåç [f ].
Ïóòü f íàçûâàåòñÿ ïåòë¼é, åñëè f(0) = f(1) (òî åñòü x = y). Ïóñòü
π1(X, x) ìíîæåñòâî êëàññîâ ýêâèâàëåíòíîñòè ïåòåëü ñ íà÷àëîì è êîí-
öîì â x ∈ X.
Êîìïîçèöèÿ g · f ïóòåé f : x → y è g : y → z ïóòü, ïîëó÷åííûé
ïðîõîæäåíèåì ñíà÷àëà f , à çàòåì g ñ óäâîåííîé ñêîðîñòüþ:
(g · f)(s) =
f(2s), åñëè 0 ≤ s ≤ 1/2;
g(2s− 1), åñëè 1/2 ≤ s ≤ 1.
Îïðåäåëèì ïóòü f−1, îáðàòíûé ê f , êàê f−1(s) = f(1− s). Ïóñòü cx îáî-çíà÷àåò ïîñòîÿííóþ ïåòëþ â x: cx(s) = x∀s ∈ I. Íåòðóäíî ïðîâåðèòü,
÷òî îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè íà ïóòÿõ ñîãëàñîâàíî ñ èõ êîìïîçèöè-
åé, ÷òî ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü îïåðàöèþ íà êëàññàõ: ïðîèçâåäåíèå [g][f ]
êëàññîâ [g] è [f ] ïî îïðåäåëåíèþ åñòü êëàññ [g · f ]. Áîëåå òîãî, îïåðà-öèÿ ïðîèçâåäåíèÿ íà êëàññàõ îêàçûâàåòñÿ àññîöèàòèâíîé è óíèòàëüíîé
(ïîñëåäíåå îçíà÷àåò, ÷òî ó íå¼ åñòü åäèíè÷íûé ýëåìåíò).
Áîëåå ïîäðîáíî, ïóñòü íàì äàíû ïóòè
f : x→ y, g : y → z è h : z → w.
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî àññîöèàòèâíîñòü [h]([g][f ]) = ([h][g])[f ] îçíà÷àåò, ÷òî
h · (g · f) ≃ (h · g) · f . Ýòè äâå ïåòëè ñîâïàäàþò êàê ïîäìíîæåñòâà
òî÷åê â X, íî îòëè÷àþòñÿ ïàðàìåòðèçàöèÿìè: â ñëó÷àå h · (g · f) ïåòëÿf ïðîáåãàåòñÿ çà 1/4, çàòåì g çà 1/4 è íàêîíåö h çà 1/2 îñòàâøåãîñÿ
âðåìåíè, â òî âðåìÿ êàê äëÿ (h · g) · f ïåòëÿ f ïðîáåãàåòñÿ çà 1/2,
çàòåì g çà 1/4 è íàêîíåö h çà 1/4 âðåìåíè. Ãîìîòîïèþ H : I × I → X
ìåæäó óêàçàííûìè ïóòÿìè ìîæíî âûïèñàòü ÿâíî, ïîëüçóÿñü ñëåäóþùåé
êàðòèíêîé:
f g h
f g h
cx cw
(3.1)
2Ïðîâåðüòå, ÷òî ýòî äåéñòâèòåëüíî îïðåäåëÿåò îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè íà ïóòÿõ èç x â y.
81
Íà íåé íèæíÿÿ ñòîðîíà êâàäðàòà îòâå÷àåò ïóòè h · (g · f), à âåðõíÿÿ
(h·g)·f è, òàêèì îáðàçîì, ãîìîòîïèÿ ïðîèñõîäèò ñíèçó ââåðõ. Íàêëîííûå
îòðåçêè îòâå÷àþò ïîñòîÿííûì ïóòÿì cy è cz. Òåïåðü ÿñíî êàê âûïèñàòü
ãîìîòîïèþ:
H(s, t) =
f( 4s
t+1), åñëè 0 ≤ s ≤ t+14 ;
g(4s− t− 1)), åñëè t+14 ≤ s ≤ t+2
4 ;
h(4s−t−22−t ), åñëè t+24 ≤ s ≤ 1.
Óñëîâèÿ ïðàâîé è ëåâîé åäèíèöû [f ][cx] = [f ], [cy][f ] = [f ] ñëåäóþò
èç ãîìîòîïèé f ·cx ≃ f, cy ·f ≃ f . Óêàçàííûå ãîìîòîïèè ëåãêî âûïèñàòü
ïî ñëåäóþùèì êàðòèíêàì:
AAAAA
f
cx f
cx cy
f
f cy
cx cy
(3.2)
Âòîðàÿ ãîìîòîïèÿ íàïðèìåð âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì:
H(s, t) =
f( 2st+1), åñëè 0 ≤ s ≤ t+1
2 ;
y, åñëè t+12 ≤ s ≤ 1.
Áîëåå òîãî, [f−1 · f ] = [cx] è [f · f−1] = [cy]. Äëÿ ïåðâîé ìû èìååì
ñëåäóþùóþ êàðòèíêó:
······························ft cf(t) f−1t
AA
AAAAAAA
f f−1
cx
cx cx
(3.3)
Íà íåé ft = f |[0, t] è f−1t = f−1|[1−t, 1]. Ñîîòâåòñòâóþùàÿ ÿâíàÿ ôîðìóëà
òàêàÿ:
H(s, t) =
f(2s), åñëè 0 ≤ s ≤ t/2;
f(t), åñëè t/2 ≤ s ≤ 1− t/2;f(2− 2s), åñëè 1− t/2 ≤ s ≤ 1.
82
Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîêàçàëè, ÷òî π1(X, x) ãðóïïà ñ åäèíè÷íûì
ýëåìåíòîì e = [cx] è îáðàòíûì [f ]−1 = [f−1]. Îíà è íàçûâàåòñÿ ôóíäà-
ìåíòàëüíîé ãðóïïîé ïðîñòðàíñòâà X.
Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî ìîðôèçì φ : (X, x0) → (Y, y0) â êàòåãîðèè
PT op èíäóöèðóåò ãîìîìîðôèçì ãðóïï π1(φ) : π1(X, x0) → π1(Y, y0),
îòêóäà íåòðóäíî âûâåñòè, ÷òî π1 äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ ôóíêòîðîì
PT op → Gr .Çàìåòèì, ÷òî îòîáðàæåíèå f : I → X, f(0) = x0 = f(1) ïî-
ñóùåñòâó, òî æå ñàìîå ÷òî è îòîáðàæåíèå f : (S1, s0)→ (X, x0), ïîýòîìó
ýêâèâàëåíòíûì îáðàçîì ôóíäàìåíòàëüíóþ ãðóïïó ìîæíî áûëî áû îïðå-
äåëèòü ñ ïîìîùüþ îòîáðàæåíèé îêðóæíîñòè ñ îòìå÷åííîé òî÷êîé.
Çàäà÷à. Äîêàæèòå, ÷òî π1(X × Y, (x0, y0)) ∼= π1(X, x0) × π1(Y, y0),
òî åñòü, äðóãèìè ñëîâàìè, ôóíêòîð π1 ïåðåâîäèò ïðîèçâåäåíèå â êà-
òåãîðèè PT op â ïðîèçâåäåíèå â êàòåãîðèè Gr .Çàäà÷à. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ìíîãîîáðàçèé X è Y èìååò ìåñòî èçî-
ìîðôèçì
π1((X, x0) ∨ (Y, y0)) ∼= π1(X, x0) ∗ π1(Y, y0),
òî åñòü, äðóãèìè ñëîâàìè, ôóíêòîð π1 ïåðåâîäèò ñóììó â êàòåãîðèè
ïóíêòèðîâàííûõ ìíîãîîáðàçèé â ñóììó â êàòåãîðèè Gr .3
3Çàìåòèì, ÷òî óòâåðæäåíèå ýòîé çàäà÷è ÷àñòíûé ñëó÷àé òåîðåìû Çåéôåðòà-âàí Êàìïåíà
(äëÿ òîãî, ÷òîáû ñôîðìóëèðîâàòü ïîñëåäíþþ â êàòåãîðèíûõ òåðìèíàõ, íóæíî îáîáùåíèå ïîíÿòèÿ
êàòåãîðíîé ñóììû ïîíÿòèå êîïðåäåëà). Äëÿ îáùèõ ïðîñòðàíñòâ èç PT op îíî íåâåðíî íóæíî
óñëîâèå ëîêàëüíîé ñòÿãèâàåìîñòè.
83
Ëèòåðàòóðà
[1] John C. Baez, Mike Stay Physics, Topology,
Logic and Computation: A Rosetta Stone.
http://math.ucr.edu/home/baez/rosetta.pdf
[2] È. Áóêóð, À. Äåëÿíó Ââåäåíèå â òåîðèþ êàòåãîðèé è ôóíêòîðîâ.
Ì.: Ìèð, 1972.
[3] Ñ.È. Ãåëüôàíä, Þ.È. Ìàíèí Ìåòîäû ãîìîëîãè÷åñêîé àëãåáðû.
Ââåäåíèå â òåîðèþ êîãîìîëîãèé è ïðîèçâîäíûå êàòåãîðèè. Ì.:
Íàóêà, 1988.
[4] Ï. Êàðòüå Êîìáèíàòîðèêà äåðåâüåâ. ×òî òàêîå îïå-
ðàäà? (Ëåêöèè íà ñòóäåí÷åñêèõ ÷òåíèÿõ â ÍÌÓ).
http://www.mccme.ru/ium/stcht.html
[5] Ì. Êàðóáè K-òåîðèÿ. Ââåäåíèå. Ì.: Ìèð, 1981.
[6] Ê. Êàññåëü Êâàíòîâûå ãðóïïû. Ì.: Ôàçèñ, 1999.
[7] À.È. Êîñòðèêèí Ââåäåíèå â àëãåáðó. ×àñòü III. Îñíîâíûå ñòðóê-
òóðû àëãåáðû. Ì.: Ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëèòåðàòóðà, 2000.
[8] À.È. Êîñòðèêèí, Þ.È. Ìàíèí Ëèíåéíàÿ àëãåáðà è ãåîìåòðèÿ.
Ì.: Íàóêà, 1986.
[9] Ì.Â. Ëîñèê Òîïîëîãèÿ. Èçä-âî Ñàðàòîâñêîãî óíèâåðñèòåòà,
1986.
[10] Ñ. Ìàêëåéí Êàòåãîðèè äëÿ ðàáîòàþùåãî ìàòåìàòèêà. Ì.: ÔÈÇ-
ÌÀÒËÈÒ, 2004.
84
[11] Þ.È. Ìàíèí Ëåêöèè ïî àëãåáðàè÷åñêîé ãåîìåòðèè. ×àñòü 1. Àô-
ôèííûå ñõåìû. Èçä-âî Ìîñêîâñêîãî óíèâåðñèòåòà, 1970.
[12] J.P. May A Concise Course in Algebraic Topology.
www.math.uchicago.edu/ may/CONCISE/ConciseRevised.pdf
[13] Ì.Ì. Ïîñòíèêîâ Ëåêöèè ïî ãåîìåòðèè. Ñåìåñòð 5. Ãðóïïû è àë-
ãåáðû Ëè. Ì.: Íàóêà, 1982.
[14] Urs Schreiber The Baby Version of Freed-Hopkins-Teleman.
http://golem.ph.utexas.edu/category/2006/11/the_baby_version_of_
freedhopki.html
[15] Ð.Ì. Ñâèòöåð Àëãåáðàè÷åñêàÿ òîïîëîãèÿ ãîìîòîïèè è ãîìîëî-
ãèè. Ì.: Íàóêà, 1985.
[16] À.ß. Õåëåìñêèé Ëåêöèè ïî ôóíêöèîíàëüíîìó àíàëèçó. Ì.:
ÌÖÍÌÎ, 2004.
[17] À. Õàò÷åð Àëãåáðàè÷åñêàÿ òîïîëîãèÿ. Ì.: ÌÖÍÌÎ, 2011
(â èíòåðíåòå êíèãà íà àíãëèéñêîì ÿçûêå äîñòóïíà ïî àäðåñó:
http://www.math.cornell.edu/ hatcher/AT/ATpage.html)
[18] È.Ð. Øàôàðåâè÷ Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ àëãåáðû. Èæåâñê: Èæåâ-
ñêàÿ ðåñïóáëèêàíñêàÿ òèïîãðàôèÿ, 1999 (Ïåðâîå èçäàíèå: Îñíîâ-
íûå ïîíÿòèÿ àëãåáðû, Ñîâðåìåííûå ïðîáëåìû ìàòåìàòèêè. Ôóíäà-
ìåíòàëüíûå íàïðàâëåíèÿ. Ò.11. (Èòîãè íàóêè è òåõíèêè, ÂÈÍÈÒÈ),
1986).
85
Ó÷åáíîå èçäàíèå
Åðøîâ Àíäðåé Âëàäèìèðîâè÷
ÊÀÒÅÃÎÐÈÈ È ÔÓÍÊÒÎÐÛ
Ó÷åáíîå ïîñîáèå
äëÿ ñòóäåíòîâ ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà
Ïîäïèñàíî â ïå÷àòü 30.03.2012. Ôîðìàò 60×84 1/16. Áóìàãà îôñåòíàÿ.Ãàðíèòóðà Times New Roman. Ïå÷àòü RISO. Îáú¼ì 5,5 ïå÷. ë.
Òèðàæ 100 ýêç. Çàêàç 135.
ÎÎÎ Èçäàòåëüñêèé Öåíòð Íàóêà410600, ã. Ñàðàòîâ, óë. Ïóãà÷¼âñêàÿ, 117, îô. 50
Îòïå÷àòàíî ñ ãîòîâîãî îðèãèíàë-ìàêåòàÖåíòð ïîëèãðàôè÷åñêèõ è êîïèðîâàëüíûõ óñëóã
Ïðåäïðèíèìàòåëü Ñåðìàí Þ.Á. Ñâèäåòåëüñòâî 3117410600, Ñàðàòîâ, óë. Ìîñêîâñêàÿ, ä. 152, îôèñ 19, òåë. 26-18-19, 51-16-28