Embed Size (px)
Citation preview
1
Zadatak 081 (Vedrana, maturantica) Je li funkcija f(x) = cos (sin x) – sin (cos x) parna ili neparna?
Rješenje 081 Ponovimo!
Funkciju y = f(x) definiranu u simetričnom području – a ≤ x ≤ a nazivamo:
• parnom, ako je f(– x) = f(x)
• neparnom, ako je f(– x) = – f(x).
• Funkcija f(x) = sin x je neparna:
sin (– x) = – sin x
• Funkcija f(x) = cos x je parna:
cos(– x) = cos x.
Umjesto x uvrstimo – x u jednadžbu:
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )cos sin sin cos cos sin sin cosf x x x f x x x− = − − − ⇒ − = − − ⇒
( ) ( ) ( ) ( ) ( )cos sin sin cos .f x x f x fx x⇒ − = − ⇒ − =
Funkcija je parna.
Vježba 081 Je li funkcija f(x) = cos (sin x) – cos (cos x) parna ili neparna?
Rezultat: Parna je.
Zadatak 082 (Maturanti, TUPŠ)
( ) ( ) ( )1
Ako je 3 2 , koliko je 1 ?x
f x f x f x−
= ⋅ + −
Rješenje 082 Ponovimo!
,1
.n m n m
a a a a a+
⋅ = =
( ) ( )( )1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 3 2x x x x x x
f x f x+ − − + − − − −
+ − = ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ =
( )1 1 1 1 1
3 2 2 3 2 6 2 3 2 3 2 .x x x x x
f x− − − − −
= ⋅ ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ = ⋅ =
Vježba 082
( ) ( ) ( )1
Ako je 3 2 , koliko je 1 ?x
f x f x f x−
= ⋅ + +
Rezultat: ( )3 .f x⋅
Zadatak 083 (Rogi, VTŠ) Odredi inverznu funkciju funkcije ( ) log 4 log .
2 2f x x x= −
Rješenje 083 Ponovimo!
1log log log l, og log log log, , .
mxn m nna a x x x n x x yn a a a a a aa n y
= = ⋅ = ⋅ − =
,1
l .g ,oc n n m n m
a c b a a a a anb a
− += ⇔ = = ⋅ =
Najprije transformiramo zadanu funkciju uporabom svojstava logaritma:
( ) ( ) ( )log 4 log log 4 log log 4 2 log2 2 1 2 22
22
f x x x f x x x f x x x= − ⇒ = − ⇒ = − ⋅ ⇒
( ) ( ) ( )4 42
log 4 log log log .2 2 2 22
xf x x x f x f x
xx
⋅⇒ = − ⇒ = ⇒ =
2
Sada tražimo inverznu funkciju:
( )( )
4 4 4log log l
pišemo zamijenimog
2
i
2
o
2f x y x
x x
y x
y f x y x y
= ⇒ ⇒ = ⇒ ⇒ = ⇒
= ↔
[ ]log računa4 4
2 o 2m 2 / 4c
a c b y yb
x x xy
y y= ⇔ ⇒ ⇒ = ⇒ ⇒ = ⇒ ⋅ = ⇒
⋅
( )( )
p4 2 2 21išemo
14 2 2 2 2 2 .
2
x x x xy y y y
y f xf xx
− − − −−⇒ = ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⇒ ⇒ =
− =
Vježba 083
Odredi inverznu funkciju funkcije ( )2
2 .x
f x−
=
Rezultat: ( )41 log .
2f x
x
−=
Zadatak 084 (Rogi, VTŠ)
Odredi inverznu funkciju funkcije ( )3
.1 3
x
f x x=+
Rješenje 084 Ponovimo!
log .c
a c b ab
= ⇔ =
Tražimo inverznu funkciju:
( )( )
3 3 3pišemo zamijenimo
1 3 1 3 3
i
1
x x y
f x y xx xy x
y f x y x y
= ⇒ ⇒ = ⇒ ⇒ = ⇒ + + = + ↔
[ ] ( ) ( )3
1 3 3 3 3 3 31 3
računamo / 1 3
yy y y y y y
x x x x x xy
y y⇒ ⇒ = ⇒ ⋅ + = ⇒ + ⋅ = ⇒ = −+ ⋅⋅ ⇒+
( )izlučimo 3 3 1 31
logxy yy c
a c b ab
x xx
⇒ ⇒ = ⋅ − ⇒ = ⇒ ⇒ −=
=
⇔
( )( )1log lo
pišeg
m.
3 31 1
o
1y f x
x xy f x
x x
−⇒ = ⇒ ⇒ =
− − −
=
Vježba 084
Odredi inverznu funkciju funkcije ( ) log .3 1
xf x
x=
−
Rezultat: ( )31 .
1 3
x
f x x−
=+
Zadatak 085 (Ivan, maturant) Odredi sve realne brojeve a i b za koje je funkcija f(x) = a · sin x + b · cos x parna.
Rješenje 085 Ponovimo!
Funkciju y = f(x) definiranu u simetričnom području – a ≤ x ≤ a nazivamo:
• parnom, ako je f(– x) = f(x)
• neparnom, ako je f(– x) = – f(x).
• Funkcija f(x) = sin x je neparna:
sin (– x) = – sin x
• Funkcija f(x) = cos x je parna:
3
cos(– x) = cos x.
Umjesto x uvrstimo – x u jednadžbu pa dobijemo:
( ) ( ) ( ) ( )sin cos sin cos sin cos sin cosf x f x a x b x a x b x a x b x a x b x− = ⇒ ⋅ − + ⋅ − = ⋅ + ⋅ ⇒ − ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ ⇒
sin sin sin sin sicos n sin 0cosa x a x a x a x a x a xb x b x⇒ − ⋅ = ⋅ ⇒ − ⋅ = ⋅+ ⇒ − ⋅ −⋅ + ⋅ =⋅ ⇒
( )/:2 sin si 0.20 na x a x−⇒ − ⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ =
Budući da sin x može imati vrijednosti izmeñu – 1 i 1, nužno mora biti a = 0. Dakle, zadana funkcija je
parna ako je:
• a = 0
• b bilo koji realan broj.
Vježba 085 Odredi sve realne brojeve a i b za koje je funkcija f(x) = a · sin x + b · cos x neparna.
Rezultat: Funkcija je neparna ako je a bilo koji realan broj, b = 0.
Zadatak 086 (Ksenija, srednja škola) Odredi temeljni period funkcije f(x) = sin 4x + sin 6x.
Rješenje 086 Ponovimo!
Funkcija f je periodična s periodom P (P ≠ 0), ako za svaki x vrijedi: Ako je funkcija f definirana u
jednoj od točaka x, x + P, onda je definirana u obje te točke i vrijedi
f(x + P) = f(x).
Broj P zove se period funkcije f. Najmanji pozitivni period funkcije f (ako postoji) zove se temeljni period funkcije f.
Ako za funkciju :f D Rf
→ postoji P > 0 takav da je
f(x + P) = f(x),
za svaki ,x Df
∈ tada funkciju f nazivamo periodična funkcija. Pozitivni brojevi P za koje vrijedi
f(x + P) = f(x) nazivaju se periodi funkcije f. Ako postoji najmanji takav pozitivan broj P, tada se taj P
naziva temeljni period. Trigonometrijske funkcije su periodične. Temeljni period za sinus je 2π. Ako
je P temeljni period funkcije y = f(x), tada je
, 0P
aa
>
temeljni period funkcije y = f(a · x).
Ako su P1 i P2 periodi dviju funkcija, te
1
2
,P m
QP n
= ∈
onda je
1 2P n P m P= ⋅ = ⋅
period zbroja tih funkcija.
Funkcija f(x) = sin x ima temeljni period 2π pa period funkcije f(x) = sin 4x iznosi
( )
( )
sin 2
.24i
1 1 24s n
f x x P
f x x P P
π
π π
= ⇒ = ⋅ ⋅
= ⇒ = ⇒ =
Funkcija f(x) = sin x ima temeljni period 2π pa period funkcije f(x) = sin 6x iznosi
( )
( )
sin 2
.26i
2 2 36s n
f x x P
f x x P P
π
π π
= ⇒ = ⋅⋅
= ⇒ = ⇒ =
4
Period zadane funkcije iznosi:
31 2 1 2 1 2 3 ili .1 22
2 2 23 3
22
33
P
P P PP P P
P P P
P
πππ
π
π
ππ
π
= ⋅ =
= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⋅ = ⋅ ⇒
= ⋅ =
Vježba 086 Odredi temeljni period funkcije f(x) = sin 4x + sin 8x.
Rezultat: .2
π
Zadatak 087 (Ivana, maturantica)
Odredi područje definicije (domenu) funkcije zadane formulom: ( ) ( )ln sin .f x x=
Rješenje 087 Ponovimo!
( ) ( ) ( ) ( )ln1 0 ln ln sin 1, , .f x g x f x g x x= ≥ ⇒ ≥ ≤
( ) ( ) ( ) ( )ln sin ln sin 0 ln sin ln1 sin 1 sin 1f x x x x xx = ⇒ ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≤≥ ⇒ ⇒
sin 1 2 ,2
x x k k Zπ
π⇒ = ⇒ = + ⋅ ⋅ ∈
Domena funkcije iznosi:
( ) 2 , .2
D f k k Zπ
π
= + ⋅ ⋅ ∈
Vježba 087
Odredi područje definicije (domenu) funkcije zadane formulom: ( ) ( )ln cos .f x x=
Rezultat: ( ) { }2 , .D f k k Zπ= ⋅ ⋅ ∈
Zadatak 088 (Ante, gimnazija)
Koji osnovni period ima funkcija ( ) ( )cos 3 2 5 sin ?2 4
xf x x
π = ⋅ − + ⋅ −
Rješenje 088 Ponovimo!
Funkcija f je periodična s periodom P (P ≠ 0), ako za svaki x vrijedi: Ako je funkcija f definirana u
jednoj od točaka x, x + P, onda je definirana u obje te točke i vrijedi
f(x + P) = f(x).
Broj P zove se period funkcije f. Najmanji pozitivni period funkcije f (ako postoji) zove se temeljni period funkcije f.
Ako za funkciju :f D Rf
→ postoji P > 0 takav da je
f(x + P) = f(x),
za svaki ,x Df
∈ tada funkciju f nazivamo periodična funkcija. Pozitivni brojevi P za koje vrijedi
f(x + P) = f(x) nazivaju se periodi funkcije f. Ako postoji najmanji takav pozitivan broj P, tada se taj P
naziva temeljni period. Trigonometrijske funkcije su periodične. Temeljni period za sinus je 2π. Ako
je P temeljni period funkcije y = f(x), tada je
, 0P
aa
>
temeljni period funkcije y = f(a · x).
Ako su P1 i P2 periodi dviju funkcija, te
5
1
2
,P m
QP n
= ∈
onda je
1 2P n P m P= ⋅ = ⋅
period zbroja tih funkcija.
Funkcija f(x) = cos x ima temeljni period 2π pa period funkcije
( ) ( ) ( )2
cos 3 2 cos1 1 3
3f x x f x x
= ⋅ − ⇒ = ⋅ −
iznosi
( )
( )
cos 2
.2 2cos
13 33
1
f x x P
f x x P
π
π
= ⇒ = ⋅ ⋅
= ⋅ − ⇒ =
Funkcija f(x) = sin x ima temeljni period 2π pa period funkcije
( ) ( )sin sin2 22
1
24 2
xf x f x x
π π = − ⇒ = ⋅ −
iznosi
( )
( )
sin 2
2 .si1
2n 4
2 2 12
2
f x x P
f x x P
π
π ππ
= ⇒ = ⋅ ⋅ = ⋅ − ⇒ = = ⋅
Period zadane funkcije iznosi:
242 2
2 13 31 1 1 1 6 1 ili .1 244 12 6
2 2 2 2 41 4
63
11
P
P P P PP P P
P P P P
P
πππ
ππ
π
π
π
⋅ = ⋅ = ⋅⋅ ⋅
= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⋅ = ⋅ ⇒
⋅⋅ ⋅= ⋅ = ⋅
Vježba 088
Koji osnovni period ima funkcija ( ) ( )cos 3 5 7 sin ?2 4
xf x x
π = ⋅ − + ⋅ −
Rezultat: 4 · π.
Zadatak 089 (Matea, gimnazija) Neka je f(x) = x2 – 2, h(x) = 1 – x, te neka vrijedi jednadžba ( )( ) ( )( ) 2,h g x g f x+ =� � za
neku funkciju g. Ako je g(1) = 5, koliko je g(–1)?
Rješenje 089 Ponovimo!
Za kompoziciju funkcija f i g vrijedi:
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ), .f g x f g x g f x g f x= =� �
Postavimo jednadžbu:
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )
( )2
1
22
2h
h g x g f x h g x gx
f xx
f x x
= −
= −
+ = ⇒ + = ⇒ ⇒
� �
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 21 2 2 2 2 1 2 1g x g x g x g x g x g x⇒ − + − = ⇒ − + − = − ⇒ − + − = ⇒
6
( ) ( )2
2 1.g x g x⇒ − − =
Budući da je g(1) = 5, slijedi:
( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
22 1 2
1 2 1 1 1 2 5 1 1 5 1 1 6.
1 5 1
g x g xg g g g g
g x
− − =⇒ − − = ⇒ − − = ⇒ − − = ⇒ − =
= ⇒ =
Vježba 089 Neka je f(x) = x
2 – 2, h(x) = 1 – x, te neka vrijedi jednadžba ( )( ) ( )( ) 2,h g x g f x+ =� � za
neku funkciju g. Ako je g(3) = 5, koliko je g(7)?
Rezultat: 6.
Zadatak 090 (Sanja, gimnazija)
Zadana je funkcija ( )1
.1
xf x
x
−=
+ Odredi a, b, c i d tako da vrijedi ( )( ) ,f g x x= ako je
( ) .a x b
g xc x d
⋅ +=
⋅ +
Rješenje 090 Ponovimo!
, .1
a
a nb nc c
b
= =
Domena funkcije ( )1
1
xf x
x
−=
+ iznosi:
( ) { }1 0 1 \ 1 .x x D f R+ ≠ ⇒ ≠ − ⇒ = −
Pretpostavimo da postoji funkcija g(x) traženih osobina. Tada bi vrijedilo:
( )( )( )
( )
( )
( )
11
11
a x b c x da x b
g x c x d c x df g x x x x xa x b a x b c x dg x
c x d c x d
⋅ + − ⋅ +⋅ +−
− ⋅ + ⋅ += ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒⋅ + ⋅ + + ⋅ ++
+⋅ + ⋅ +
a x b c x d a x b c x d
a x b c x dc x d x x xa x b c x d a x b c x d a x b
c x d
c x d
c x d
c x d
⋅
⋅ + − ⋅ − ⋅ + − ⋅ −
⋅ + − ⋅ −⋅ +⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒⋅ + + ⋅ + ⋅ + + ⋅
+
⋅
+ ⋅ + + ⋅ +
⋅ ++
( ) ( )
( ) ( ).
a c x b da x c x b dx x
a x c x b d a c x b d
− ⋅ + −⋅ − ⋅ + −⇒ = ⇒ =
⋅ + ⋅ + + + ⋅ + +
Da bi lijeva strana jednakosti bila jednaka desnoj mora biti:
metoda sup
11
00 2 1 2 1
0 2 1
rotnih / : 2
koeficijenata / : 22 10
11
a ca c
a ca c a a
b d b bb d
b db d
− =− =
+ =+ = ⋅ = ⋅ =
⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒− = ⋅ = ⋅ =
− =+
=+ =
7
( )
1 1 1 1 1, 0 0
2 2 2 2 2.
1 1 1 1 1, 0 0
2 2 2/ 1
2 2
a a a c c c c
b b b d d d d
= = + = + = = − = −
⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒
= = − = − = − = − =⋅ −
Rješenje sustava daje funkciju g:
( )( ) ( )
( )
( )
1 1 1 1 1 1 1, , , 1
2 2 2 2 2 2 21 1 1
12 2 2
a b c d x x
g x g xa x b
x xg xc x d
= = = − = ⋅ + ⋅ +
⇒ = ⇒ = ⇒⋅ +
− ⋅ + ⋅ − +=⋅ +
( )( )
( )( ) ( )
11 1
, 1.1 1
1
1
21
2
xx x
g x g x g x xx x
x
⋅ ++ +
⇒ = ⇒ = ⇒ = ≠− + −
⋅ − +
Vježba 090
Zadana je funkcija ( )1
.1
xf x
x
−=
+ Odredi a, b, c i d tako da vrijedi ( )( )
1,f g x
x= ako je
( ) .a x b
g xc x d
⋅ +=
⋅ +
Rezultat: ( )1
.1
xg x
x
+=
−
Zadatak 091 (Mala, maturantica gimnazije) Odredi funkciju f koja zadovoljava danu jednakost: ( ) ( )5 6 12.f x f x x+ ⋅ − = ⋅ +
Rješenje 091 Ako u danu jednakost umjesto x stavimo – x, dobije se:
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
5 6 125 6 12
f x f x xf x f x x
x x
+ ⋅ − = ⋅ +⇒ − + ⋅ − − = ⋅ − + ⇒
→ −
( ) ( ) ( ) ( )5 6 12 5 6 12.f x f x x f x f x x⇒ − + ⋅ = − ⋅ + ⇒ ⋅ + − = − ⋅ +
Rješavamo sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice f(x) i f(– x):
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
metoda suprotnih
koeficijenat
5 6 12 5 6 12
5 6 12 5 6 12a / 5
f x f x x f x f x x
f x f x x f x f x x
+ ⋅ − = ⋅ + + ⋅ − = ⋅ +⇒ ⇒ ⇒
⋅ + − = − ⋅ + ⋅ + − = − ⋅ −⋅ +
( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
5 6 12 3624 36 48 2
2425 5 30 60/ : 24
f x f x xf x x f x x
f x f x x
+ ⋅ − = ⋅ +⇒ ⇒ − ⋅ = ⋅ − ⇒ = − ⋅ + ⇒
− ⋅ − ⋅ − = ⋅−
−
( ) tražena funkcij2.2
a3
f x x⇒ = − ⋅ +
Vježba 091 Odredi funkciju f koja zadovoljava danu jednakost: ( ) ( )2 2 3.f x f x x+ ⋅ − = − ⋅ +
Rezultat: ( ) 2 1.f x x= ⋅ +
Zadatak 092 (Mala, maturantica gimnazije)
Odredi funkciju f koja zadovoljava danu jednakost: ( )1
2 3f x f xx
+ ⋅ = ⋅
8
Rješenje 092
Ako u danu jednakost umjesto x stavimo 1
x, dobije se:
( )( )
12 3
1 1 1 1 32 3 2
11
f x f xx
f f f f xx x x x
xxx
+ ⋅ = ⋅
⇒ + ⋅ = ⋅ ⇒ + ⋅ =
→
( )1 3
2 f x fx x
⇒ ⋅ + =
Rješavamo sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice ( )1
i :f x fx
( )
( )
( )
( ) ( )
metoda suprotnih
koeficijenata
1 12 3 2 3
1 3 1/
32 22
f x f x f x f xx x
f x f f x fx x x x
+ ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅
⇒ ⇒ ⇒
⋅ + = ⋅ + = ⋅ −
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
12 3
6 2 23 3 ./ :
1 64 2
3
f x f xx
f x x f x x f x xx x x
f x fx x
+ ⋅ = ⋅
⇒ ⇒ − ⋅ = ⋅ − ⇒ = − + ⇒ = −
− ⋅ − ⋅ = −
−
Vježba 092
Odredi funkciju f koja zadovoljava danu jednakost: ( )1 3
2 f x fx x
⋅ + =
Rezultat: ( )2
.f x xx
= −
Zadatak 093 (Vlado, maturant)
Izračunati f(7) ako je f(x2 – 2 · x + 8) = 4 · x
2 + 2 · x + 1.
Rješenje 093 Ponovimo!
( )2 2 2
2 .a b a a b b− = − ⋅ ⋅ +
Budući da računamo f(7), stavimo da je x2 – 2 · x + 8 = 7 i riješimo kvadratnu jednadžbu.
( )22 2 2
2 8 7 2 8 7 /0 2 1 0 1 0 1 0 1.x x x x x x x x x− ⋅ + = ⇒ − ⋅ + − = ⇒ − ⋅ + = ⇒ − = ⇒ − = ⇒ =
Sada je:
( )( ) ( )
12
7 4 1 2 1 1 7 4 1 2 1 12 22 8 4 2 1
x
f ff x x x x
=
⇒ = ⋅ + ⋅ + ⇒ = ⋅ + ⋅ + ⇒− ⋅ + = ⋅ + ⋅ +
( ) ( )7 4 2 1 7 7.f f⇒ = + + ⇒ =
Vježba 093 Izračunati f(9) ako je f(x2 – 2 · x + 10) = 4 · x2 + 2 · x + 1.
Rezultat: 7.
9
Zadatak 094 (Megy, studentica)
Neka je R skup realnih brojeva. Funkcije f i g definirane su na sljedeći način:
( ) ( )2 2) : , sin cos , ) : , 1.a f R R f x x x b g R R g x→ = + → =
Jesu li funkcije f i g jednake?
Rješenje 094 Ponovimo!
Osnovni trigonometrijski identitet: 2 2
sin cos 1.x x+ =
Neka su A i B dva neprazna skupa. Ako je svakom elementu x A∈ pridružen točno jedan element
y B∈ kažemo da je definirana, zadana funkcija sa skupa A u skup B i označavamo ovako
.:f A B→
Skup A zove se domena, područje definicije ili ulazni skup. Skup B zove se kodomena, područje
vrijednosti funkcije ili izlazni skup.
Ako je funkcija f elementu x pridružila element y pišemo y = f(x).
Jednakost funkcija
Za funkcije
: , :f A B g C D→ →
kažemo da su jednake i pišemo f = g, ako su ispunjena tri uvjeta:
1) imaju jednake domene: A = C,
2) imaju jednake kodomene: B = D,
3) f(x) = g(x) za svaki .x R∈
Uočimo da je jednakost funkcija primjer relacije ekvivalencije jer je refleksivna, simetrična i
tranzitivna:
refleksivnost: f f=
simetričnost: f g g f= ⇒ =
tranzitivnost: i .f g g h f h= = ⇒ =
Funkcije f i g jednake su jer:
1) imaju jednake domene , R = R
2) imaju jednake kodomene , R = R
3) ( ) ( ) 2 2za svaki , sin cos 1 je trigonometrijski ident .itetf x g x x R x x= ∈ + =
Vježba 094 Neka je R skup realnih brojeva. Funkcije f i g definirane su na sljedeći način:
( ) ( )4
1 2) : , , ) : , 1.
21
xa f R R f x b g R R g x x
x
−→ = → = −
+
Jesu li funkcije f i g jednake?
Rezultat: Funkcije su jednake.
Zadatak 095 (Marin, tehnička škola)
Zadana je funkcija ( )22
2 .2
f x x
x
= ⋅ + Dokažite da je za sve x ≠ 0 zadovoljena relacija
( )1
.f x fx
=
Rješenje 095 Ponovimo!
.
n na a
nb b
=
10
( ) ( )( )
22 222 22 22 2 22
21 1 21 1 2
1 122 222 2 21
1 22
f x x f x xf x xx x
x
fff xxx x x x x
xx
= ⋅ += ⋅ +
= ⋅ +
⇒ ⇒ ⇒= ⋅ += ⋅ +
= ⋅ + ⋅
( )
( )
222
21
.1 22
22
f x x
xf x f
xf x
x x
= ⋅ +
⇒ ⇒ =
= ⋅ +
Vježba 095
Zadana je funkcija ( )23
2 .3
f x x
x
= ⋅ + Dokažite da je za sve x ≠ 0 zadovoljena relacija
( )1
.f x fx
=
Rezultat: Dokaz analogan.
Zadatak 096 (Nena, gimnazija)
Odredite koje su sljedeće funkcije parne, koje neparne, a koje nisu ni parne ni neparne:
( ) ( ) ( )4 2 3
2 2) , ) , ) 4 5.
2 21 3
x x x xa f x b f x c f x x x
x x
+ + −= = = − ⋅ +
+ +
Rješenje 096 Ponovimo!
Funkcija : ,f a a R− → je parna, ako vrijedi
( ) ( ) za svako , .x ax f x af ∈ −− =
Graf parne funkcije je simetričan u odnosu na y – os.
y
xO
Funkcija : ,f a a R− → je neparna, ako vrijedi
( ) ( ) za svako , .x ax f x af ∈ −− = −
Graf neparne funkcije je simetričan u odnosu na ishodište koordinatnog sustava.
y
xO
11
a) Da bismo ispitali je li funkcija ( )4 2
2
21
x xf x
x
+ +=
+
parna, neparna ili ni jedno, ni drugo,
računamo njezinu vrijednost za – x pa slijedi:
( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )
( ) ( )4 2 4 2 4 2
2 2 2.
2 2 21 11
x x x x x xf x f x f x f x f x
x xx
f x
− + − + + + + +− = ⇒ − = ⇒ − = ⇒ − =
+ +− + �����
Funkcija je parna.
b) Da bismo ispitali je li funkcija ( )3
21
x xf x
x
−=
+
parna, neparna ili ni jedno, ni drugo, računamo
njezinu vrijednost za – x pa slijedi:
( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )( )
33 3 3
2 2 2 21 1 11
x xx x x x x xf x f x f x f x
x x xx
− −− − − − + −
− = ⇒ − = ⇒ − = ⇒ − = − ⇒+ + +− +
( )
( )
( ) ( )3
.2
1
f x
x xf x f x f x
x
−⇒ − = − ⇒ − = −
+���
Funkcija je neparna.
c) Da bismo ispitali je li funkcija ( )2
4 5f x x x= − ⋅ + parna, neparna ili ni jedno, ni drugo,
računamo njezinu vrijednost za – x pa slijedi:
( ) ( ) ( ) ( )2 2
4 5 4 5.f x x x f x x x− = − − ⋅ − + ⇒ − = + ⋅ +
Funkcija nije niti parna, niti neparna jer f(– x) nije jednako niti f(x), niti – f(x).
Vježba 096 Odredite koje su sljedeće funkcije parne, koje neparne, a koje nisu ni parne ni neparne:
( ) ( ) ( )6 4 5 3
3 2) , ) , ) 3 2.
4 22 2
x x x xa f x b f x c f x x x
x x
+ + −= = = − ⋅ +
+ +
Rezultat: a) parna b) neparna c) ni parna, ni neparna.
Zadatak 097 (Nena, gimnazija)
Dokažite da je zbroj parnih funkcija parna funkcija.
Rješenje 097 Neka su f i g parne funkcije.
( ) ( ) ( ) ( ), .f x f x g x g x− = − =
Zbroj funkcija f i g neka je funkcija h, tj.
( ) ( ) ( ).h x f x g x= +
Dokažimo da je funkcija h takoñer parna.
Računamo njezinu vrijednost za – x pa slijedi:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )funkcije i
su parneh x f x g x h x f x
fg x
g− = − + − ⇒ ⇒ − = + ⇒
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) .
h x
h x f x g x h x h x⇒ − = + ⇒ − =�����
12
Time je dokazano da je funkcija h kao zbroj parnih funkcija f i g takoñer parna funkcija.
Vježba 097 Dokažite da je zbroj neparnih funkcija neparna funkcija.
Rezultat: Dokaz analogan.
Zadatak 097 (Nena, gimnazija)
Dokažite da je funkcija f(x) = 2 · x + 6 strogo rastuća funkcija.
Rješenje 097 Ponovimo!
( ) ( )Funkcija : je na ako vrijedi , , .1 2
strogo rastuća1 2 1 2
x x ff D R D x x D x f x< ⇒ <→ ∈
Takoñer slijedi:
( ) ( )1 2 2.
1f x f x x x< ⇒ <
f(x1)
f(x2)
< x
y
f(x1) < f(x2)
O x1 x2
Dokazujemo da je funkcija f(x) = 2 · x + 6 strogo rastuća:
( ) ( )nejednadžbi
/ 6pribrojimo
2 6 2 6 2 6 2 61 2 1 2 16 2
f x f x x x x x −−
< ⇒ ⋅ + < ⋅ + ⇒ ⇒ ⋅ + < ⋅ + ⇒
2 6 6 2 6 6 2 2 2 21 2 2
61 2
6 6 61
x x x x x x+⇒ ⋅ + − < ⋅ + − +− ⇒ ⋅ < ⋅ ⇒ ⋅ < ⋅− ⇒
/2 2 .1 2 1 2
: 2x x x x⇒ ⋅ < ⋅ ⇒ <
Funkcija je strogo rastuća.
Vježba 097 Dokažite da je funkcija f(x) = 2 · x + 8 strogo rastuća funkcija.
Rezultat: Dokaz analogan.
Zadatak 098 (Ante, student)
Dokažite da je funkcija f(x) = x2 za – ∞ < x < 0 strogo padajuća.
Rješenje 098 Ponovimo!
( ) ( )0 0
, .2 2
0 ili0 0
a aa b a b a b a b
b b
> <− = − ⋅ + ⋅ > ⇒
> <
( ) ( )Funkcija : je na ako vrijestrogo pad di , ,ajuća1 2
.11 2 2
f D R D x f x f x xx D x> ⇒ <→ ∈
13
f(x1) > f(x2)
y
x<
f(x2)
f(x1)
O x1 x2
Dokazujemo da je funkcija f(x) = x2 strogo padajuća na intervalu , 0 .− ∞
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 20 0.
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2f x f x x x x x x x x x> ⇒ > ⇒ − > ⇒ − ⋅ + >
Budući da je funkcija f(x) = x2 definirana na intervalu , 0− ∞ , brojevi x1 i x2 su negativni pa je
njihov zbroj x1 + x2 takoñer negativan broj,
x1 + x2 < 0.
Da bi umnožak
( ) ( )1 2 1 2x x x x− ⋅ +
bio pozitivan, tj. da vrijedi
( ) ( ) 01 2 1 2
x x x x− ⋅ + >
mora biti
0 .1 2 1 2
x x x x− < ⇒ <
y
xO
Znači
( ) ( )1 2 1 2f x f x x x> ⇒ <
pa je funkcija f(x) = x2 strogo padajuća na intervalu , 0 .− ∞
Vježba 098 Dokažite da je funkcija f(x) = x
2 za 0 < x < ∞ strogo rastuća.
Rezultat: Dokaz analogan.
14
Zadatak 099 (Nina, gimnazija)
Za realni broja a definiramo preslikavanja : i :f R R g R Ra a→ → sa fa(x) = x + a,
ga(x) = a · x. Koliko ima brojeva a za koje vrijedi da je
.f g g fa a a a=� �
Rješenje 099 Ponovimo!
0 0 ili 0 il .i 0x y x y x y⋅ = ⇔ = = = =
Neka su S, S1 i S2 neprazni skupovi i : , :1 1 2
f S S g S S→ → funkcije zadane na S, odnosno na S1
sa vrijednostima u S1, odnosno u S2. Tada je sa
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ,h x g f x h x g f x x S= ⇒ = ∀ ∈�
zadana funkcija :2
h S S→ koja se zove kompozicija ili složena funkcija, funkcija f i g.
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( )
,, f x x a g x a xf x x a g x a x a aa a
f g g f f g x g f xa a a a a a a a
= + = ⋅= + = ⋅⇒ ⇒
= =
� � � �
( ) ( )
( )( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )
, ,f x x a g x a x f x x a g x a xa a a a
f g x g f x g x a a f xa a a a a a
= + = ⋅ = + = ⋅⇒ ⇒ ⇒
= + = ⋅
( )2 2 2
a x a a x a a x a a x a a a aa aa x x⇒ ⋅ + = ⋅ + ⇒ ⋅ + = ⋅ + ⇒ + = + ⇒ =⋅ ⋅ ⇒
( )002 2 1
0 1 0 .1 0 1
2
aaa a a a a a
a a
==⇒ = ⇒ − = ⇒ ⋅ − = ⇒ ⇒
− = =
Postoje dva broja a za koje vrijedi da je
.f g g fa a a a=� �
Vježba 099 Definiramo preslikavanja : i :f R R g R R→ → sa f(x) = x, g(x) = – x. Uvjeri se da vrijedi
.f g g f=� �
Rezultat: Jednakost vrijedi.
Zadatak 100 (Kate, studentica)
Je li funkcija ( )1
ln1
xf x
x
+=
− parna ili neparna?
Rješenje 100 Ponovimo!
1
ln ln, .a b n
a n ab a
−
= = ⋅
Funkciju y = f(x) definiranu u simetričnom području – a ≤ x ≤ a nazivamo:
• parnom, ako je f(– x) = f(x)
• neparnom, ako je f(– x) = – f(x).
Umjesto x uvrstimo – x u jednadžbu:
( )( )
( )( ) ( ) ( )
11 1 1 1
ln ln ln 1 ln1 1 1 1
x x x xf x f x f x f x
x x x x
−+ − − + +
− = ⇒ − = ⇒ − = ⇒ − = − ⋅ ⇒ − − + − −
( ) ( )
( )
( ) ( )1 1
ln ln .1 1
x xf x f x f x
f x
f xx x
+ + ⇒ − = − ⇒ − = − ⇒
− − − =
−
���������
15
Funkcija je neparna.
Vježba 100
Je li funkcija ( )1
ln1
xf x
x
−=
+ parna ili neparna?
Rezultat: Neparna je.
