ESCOLA SECUNDÁRIA DE SÁ DE MIRANDA 1ª Ficha de trabalho 12ºano turmas 5 e 6 Setembro de 2009

Fernanda Carvalhal 1

1. Considere as funções reais de variável real f e g definidas por

1.1. f x( ) =2+ log3

2x−1

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟ e

g x( ) = 2

1−3x−2

1.2. Determine o domínio de cada uma das funções. 1.3. Determine as coordenadas dos pontos de intersecção do gráfico de f com os eixos

coordenados. 1.4. Indique, justificando, o valor lógico da proposição

∀x1 ,x2∈Dg

,g x1( ) <g x2( )⇒ x1 < x2 .

1.5. Caracterize a função inversa de f, indicando o contradomínio de f. 1.6. Indique o domínio de bem como a sua expressão analítica. 1.7. Quais os valores de x que verificam a condição g x( ) ≤ −1.

2. No inicio de 2004 foram lançadas num lago 1000 trutas com um ano de idade. O numero de trutas vivas, N, decorridos n t anos, é dado por:

�

N t( ) = a × 0,9t ,t ≥ 0

2.1. Diga justificando, qual o valor de a.

2.2. Quando houver menos de 100 trutas no lago deverá proceder-se ao repovoamento. Em que ano se prevê que tal aconteça?

2.3. Qual a percentagem de redução anual do numero de trutas? 3. O valor V de um computador, em milhares de euros, decorridos t anos após a sua aquisição é dado por

V t( ) = k ×3−0,7t +0,2 , t≥0.

3.1. Um computador custou 1200 euros. Prove que, neste caso, k=1. 3.2. Quantos anos serão necessários para que o valor desse computador fique

reduzido a metade do preço de compra. 3.3. Construa o gráfico de V e diga, justificando, qual o valor do computador ao

fim de muito tempo.

4. Sabe-se que uma determinada substância se desintegra sendo a massa, em gramas, ao fim de t anos, dada por m t( ) = a × e−kt   , t ≥ 0 .

4.1. Sabe-se que a massa inicial de 2g está reduzida a metade ao fim de 6 meses. Determine a e k e verifique que m t( ) = 2−2t+1 .

4.2. Verifique que m t +1( ) −m t( ) é directamente proporcional a m(t)

5. A lei do equilíbrio térmico de Newton diz que a temperatura de um corpo num determinado instante depende da temperatura ambiente e da temperatura inicial deste. Observou-se a temperatura T de um corpo, decorridos t minutos após ele ser colocado num determinado ambiente e verificou-se que estas duas variáveis estavam relacionadas pelo modelo:

T t( ) =10+90×2−kt (T,temperatura em oC e, t, tempo, em minutos]

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Fernanda Carvalhal 2

5.1. Qual era a temperatura inicial do corpo? 5.2. Sabe-se que decorrida uma hora a temperatura do corpo será de

�

20oC. Prove que o valor de k é, nesta situação, aproximadamente 0,05.

5.3. Com o auxilio da calculadora gráfica conjecture um valor para a temperatura ambiente. Justifique a resposta apresentando os gráficos que considere pertinentes.

6. O numero máximo de horas, N, que um operário pode trabalhar, por dia, depende do nível de ruído no local de trabalho, d, em decibéis. Este numero é dado por

N d( ) = 13− 311d500 .

6.1. O nível de ruído produzido por um martelo pneumático em laboração é de aproximadamente 80 dB. Qual o numero máximo de horas que um operário poderá trabalhar com um martelo pneumático, por dia.

6.2. Uma empresa está impedida de trabalhar em turnos de 8 horas diárias pois o nível de ruído é demasiado alto. Para que valor deverá baixar o nível de ruído de modo a que possa laborar 8 horas por dia.

6.3. Escreva uma expressão que permita determinar o nível de ruído conhecido o numero de horas que é permitido trabalhar.

7. Foram depositados, no inicio de 2002, 1000 euros à taxa anual de 2% e com capitalização automática anual. 7.1. Qual o capital em Janeiro de 2003? 7.2. Qual será o capital decorridos n anos apos o depósito? 7.3. Quantos anos serão necessários para o capital duplicar?

8. A intensidade da luz, L, em cal.cm−2s−1 , varia com a profundidade de um determinado lugar, no oceano. Suponha que num determinado local a intensidade luminosa está relacionada com a profundidade, h, em metros, pela expressão L = 8 × 2,5−h ,h ≥ 0 . 8.1. Qual a intensidade da luz à superfície? 8.2. A que profundidade a intensidade da luz é inferior a 3 cal.cm−2s−1 ?

8.3. Determine o valor de x que verifica a condição L x + h( ) = 12L h( ) e interprete

o valor obtido no contexto do problema. 8.4. Encontre uma expressão que lhe permita determinar a profundidade

conhecida a intensidade da luz. 8.5. Utilize as potencialidades da sua calculadora para conjecturar o valor da

intensidade da luz em locais muito profundos. Explique como procedeu apresentando os gráficos que utilizou.

9. A população de águias reais de um parque natural segue um modelo de crescimento logístico. Assim, o numero de águias, N, decorridos t anos desde o inicio de 2000 é

dado por N t( ) = 5501+ 4e−0,1t

, t ≥ 0 .

9.1. Quantas águias existiam no inicio de 2000? 9.2. Qual a previsão do numero de águias no fim de 2009? 9.3. Sabe-se que a fase estacionaria deste crescimento é iniciada quando

decorreram ln 40,1

anos. Qual será o numero de águias nesta altura?

9.4. Ao fim de muito tempo o crescimento destas populações é muito pequeno havendo um supremo que nunca é atingido. Diga, justificando convenientemente, qual é este valor.

10. Para medir a magnitude de um sismo usa-se a escala aberta de Richter que a relaciona com a energia libertada. Sendo M a magnitude de um sismo e E a energia libertada, em Joules verifica-se que E = 105,2+1,4M .

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Fernanda Carvalhal 3

10.1. O terramoto de Dezembro de 2004, em Samatra foi um dos de maior magnitude de que há registo: teve uma magnitude de 9,1. Qual a quantidade de energia libertada?

10.2. Escreva uma expressão que lhe permita determinar a magnitude conhecida a energia libertada.

10.3. Qual a razão entre as energias libertadas por dois sismos cujas magnitudes diferem de 3 décimas.

11. A relação de Ehrenberg, lnP = ln2,4 + 0,0184h , relaciona o peso P, em kg, com a altura h, em centímetros, de rapazes com idade entre os 5 e os 13 anos. 11.1. O João pesa 35 kg. Segundo este modelo qual deverá ser a sua altura? 11.2. O Luís mede 1,5 metros e, segundo este modelo é considerado magro. Que

valores poderá ter o peso do Luis’ 11.3. Escreva uma expressão que permita determinar a altura em função do peso. 11.4. Determine o valor de x que verifica a condição h P + x( ) − h P( ) = 30 e

interprete o resultado obtido.

11.5. Prove que

�

P = 2,4× e0,0184h e verifique que P h + 20( )P h( ) é constante. Que

significa esta constante? 12. Seja un( ) uma progressão aritmética em que o quinto termo é

log4 24( ) e o oitavo

termo é log4 3( ) .

12.1. Prove que a razão da progressão é −

12

determine o primeiro termo.

12.2. Verifique que o termo geral da sucessão é un =

8 − n2

+ log4 3.

13. Sabe-se que vn( ) é uma progressão aritmética cuja razão é −

12

. Seja ainda wn( ) uma sucessão definida por w n = 2 × 9vn . Prove que wn( ) é uma progressão geométrica e determine a sua razão.

14. Seja un( ) uma progressão geométrica de termos positivos e de razão 4 e vn( ) a sucessão definida por vn = log8 un .

14.1. Prove que vn( ) é uma progressão aritmética de razão

23

.

14.2. Verifique que a soma dos n primeiros termos de vn( ) é dada, em função de

u1 por Sn = n × log8 u1 × 2n−1( ) .

15. Indique o conjunto dos números reais que são soluções da condição

x − 5( ) × log4 4 − x( ) ≥ 0 .

16. Caracterize a função inversa de cada uma das funções definidas por:

16.1. f x( ) = ex − 3

2 + ex+1

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16.2. g x( ) = 2 − log4 x

2 − log2 x

16.3. h x( ) = ln 1− ex( )

16.4. p x( ) = 2

1ln x−3

17. Suponha que o nível de som de um eco é 2/3 do nível do som original. Considere ainda que cada eco gera um outro eco.

17.1.Se cada eco resulta num outro eco, prove que ao fim de n ecos o nível de som é

dado por β = β0×

32

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

−n

, sendo β0o nível de som original.

17.2 Quantos ecos serão ouvidos a partir de um som de 120 dB, considerando que o ouvido humano só ouve sons de mais de 10 decibéis.

18. Se loga b = c , com a ∈+ \ 1{ } ,

b ∈+ \ 1{ } e c ∈ , o valor de loga a2b3 é

A) 3+ c2

B) 2 + c3

C) 1+ 2c3

D) 1+ 3c2

19. O conjunto solução da condição log2 x −1 > log2 x −1( ) é A) 1,+∞] [ B) 2,+∞] [ C) 0,1] [ D) 1,2] [

20. Seja h a função definida em + por h x( ) = ln ex

2. Qual das seguintes expressões

pode também definir h?

A) x2

B) x C) x4

D) x2

21. O domínio da função real de variável real definida por ln 1x− 2⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

é o conjunto

A) 0,2] [ B)

− ∪

12,+∞⎤

⎦⎥⎡⎣⎢ C)

− ∪ 2,+∞] [ D) 0, 12

⎤⎦⎥

⎡⎣⎢

22. Seja g a função definida por g x( ) = 2x−1 . Qual dos seguintes pontos pertence ao gráfico de g?

A) log2 4  , 16( ) B) log2 4  , 8( ) C) log2 4  , 2( ) D) log2 4  , 1( )

23. A acidez de uma substância é medida pelo valor do seu pH. O pH depende da concentração de hidrogênio, H+⎡⎣ ⎤⎦ , em moles/Litro. A relação entre acidez e concentração de hidrogênio é dada por

pH = log101H+⎡⎣ ⎤⎦

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ .

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Fernanda Carvalhal 5

23.1 Considera-se que uma substância é básica se o seu pH é maior que 7 e que é ácida se o pH é menor que 7. A concentração de hidrogênio no sangue arterial é de 3,9 ×10−8mol / L . Como classifica, quanto à acidez, o sangue arterial?

23.2 Escreva uma expressão que lhe permita determinar a concentração conhecido o pH de uma substância.

23.3 Qual a diferença entre o pH de duas substâncias das quais se sabe que a concentração de hidrogênio de uma delas é dez vezes superior à concentração da outra.

24 Um grupo de 20 ovelhas é solto para reprodução numa reserva do Colorado. Espera-se que com um controlo cuidadoso, o numero N de ovelhas apos t anos será dado

por N t( ) = A1+10 × e−0,83t

, t ≥ 0 .

24.1 Prove que A=220. 24.2 A população de ovelhas será capaz de manter-se sem supervisão

depois de atingido o numero de 80 ovinos. Por quantos anos o estado do Colorado deverá manter o controle sobre os ovinos?

24.3 O ambiente da área suporta quantos ovinos? (sugestão: examine o gráfico de N para valores grandes de t)

25 Considere o gráfico da função real de variável real f definida por f x( ) = ln x −1( ) e a recta vertical r de equação x = 5 . Seja A o ponto de intersecção de Ox com o gráfico de f. Sejam B e C os pontos de intersecção da recta r com Ox e com o gráfico de f. Prove que a área do triangulo ABC[ ] é igual a ln 8( ) .

26 Mostre que, ∀x ∈ , se verifica 3x+1 − 2 × 3x = 3x . 27 Caracterize a função inversa da função real de variável real h definida por

h x( ) = 12 − ex

.

28 Sejam a, b e c números reais tais que ab = c , sendo b ∈+  e a ∈+ \ 1{ } . Então

log a c é igual a A) b −1 B) 2b C) −b D) 1− b

29 Indique o conjunto dos números reais que são solução da condição 21−x ≥ log2 8

A) −∞, log223

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎤⎦⎥

⎤⎦⎥ B) −∞, log3

32

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎤⎦⎥

⎤⎦⎥

C) log223

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟,+∞⎡

⎣⎢⎡⎣⎢ D) log3

32

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟,+∞⎡

⎣⎢⎡⎣⎢

30 Sejam a e b números reais positivos tais que ln a = ln2 + lnb . Pode-se então concluir que

A) a2 = b B) a = b2

C) b = a2

D) a = b2

31 O domínio da função real de variável real definida por f x( ) = ln −x2 + 5x + 6( ) é: A) 2,3] [ B) −3,−2] [ C) −1,6] [ D) −6,1] [

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32 Seja g a função real de variável real definida por g x( ) = 1+ log2 x . Qual dos seguintes pontos pertence ao gráfico de g?

A) 4,3( ) B) 12,2⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

C) 4,1( ) D) 2,2( )

33 A relação Q = 12 × e−0,055t dá a massa Q, em gramas, de potássio radioactivo 42 que irá restar apos t horas de decaimento radioactivo.

33.1. Qual a quantidade inicial de potássio radioactivo? 33.2. Considera-se “meia-vida” de um elemento radioactivo o tempo necessário para a

sua massa se reduzir a metade da massa inicial. Qual a “meia-vida” do potássio?. Dê um valor aproximado em horas e minutos.

33.3. Suponha que pretende medir o tempo utilizando esta amostra de potássio 42. Qual a expressão que lhe permitirá determinar o tempo decorrido em função da massa de potássio restante?

34. Para medir o nível de som utiliza-se uma escala logarítmica, a escala de decibéis. O nível de som β , em dB, depende de intensidade do som, I em watt / m2 e de I0 = 10

−12watt / m2 que é a intensidade de referência, próxima do limiar da audição

humana. Esta escala é definida por β = 10 log10II0

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

.

34.1. Qual o nível de ruído de um som com a intensidade de 10−8watt / m2 ?

34.2. Em 1976 o grupo de rock the Who estabeleceu o recorde para a intensidade de som de um concerto. O nível de som foi da ordem dos 120 dB. Qual a intensidade do som emitido por este grupo de rock?

34.3. Os níveis de ruído de dois emissores diferem de 20 dB. Qual a razão entre a intensidade dos dois sons?

35. Considere o gráfico da função real de variável real f definida por f x( ) = 1+ lnx e as rectas verticais r e s de equações, respectivamente, x = 1 e x = 4 . Sejam A e B os pontos de intersecção da recta r com Ox e com o gráfico de f. Sejam D e C os pontos de intersecção da recta s com Ox e com o gráfico de f. Prove que a área do trapézio ABCD[ ] é igual a ln 8e3( ) .

36. Mostre que, ∀x ∈ , se verifica 2−x −12x+1

=12x+1

.

37. Caracterize a função inversa da função real de variável real h definida por

h x( ) = 12 − lnx