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http://slidepdf.com/reader/full/1pdf55cf882755034664618de160 1/200

r o b l e m a sd e G e o m e t r í a

y cómo resolverlosPor: Ernesto Quispe Rodríguez

Luis Ubaldo Cab al le ro

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C o le c c ió n R a c s o J X

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Primera edición en españolCopyright © 2000 por RACSO Editores

Prohibida la reproducción total o pare I de esta obra por cualquier método de pu blicau >n y/o almacenamiende información, tanto del textn como de logotipos y/o ilustraciones sin autorización escrita del autor y los editoreCaso omiso se procederá a denunciar al infractor a la 1NDECOPI de acuerdo a la Ley N° 13714 y al artículo N° 22

del Código Penal vigente.

Printed in Peru - Impreso en HeruImprenta MAQUETI E.I.R.L. - Jr. Carlos Arretu 1319 - Lima 1

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SERIE DE LIBROS YC O M P E N D I O S

CIENTIFICOS

COLECCION RACSO

PROBLEMAS DE GEOMETRIAY COMO RESOÖ/ERLCS

1 ^ E D I C I O N

COLABORADORES:

Lic. Héctor Ortíz Becerra UNILic. Javier Reynaga Alarcón. UNILic. Juan C. Sandoval Peña UNIIng. James Monge Jurado UNCPIng. Manuel Inga de la Cruz UNPRGIng. Carlos Carbonell Romero UNPRGLic. Roberto Choquehuayta M. UNSA

RACSO EDITORES LIMA

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Título Original de la obra:Problemas de Geometría y cómo resolverlos© 2000, por RACSO EDITORES

Primera ediciónPublicada por RACSO EDITORES - ABRIL 2000

Supervisión general:Ing. Martín Casado Márquez (UNI)Profesor de la Facultad de Ingeniería Mecánica de la Universidad Nacional de Ingeniería

Revisión de estilo: Dr. Carlos Chávez Vega

Revisión Técnica: Javier Reynaga Alarcón Luis Vallejos Velásquez

Composición, Diagramación e Ilustraciones:

Compañía Editorial. RACSO EDITORES

Supervisión de la edición: Miguel Angel Díaz lorenzo

Compañía Editorial: RACSO EDITORES Dirigida por: Félix Aucallanchi Velásquez

Primera edición en españolCopyright © 2000 por RACSO EDITORES

Los derechos autorales de ésta obra son de propiedad de Racso Editores. Hecho el depósito legal en la DireccDerechos de Autor de INDECO PI, y amparado a la Ley N° 13714 y al Código Penal (Artículo 221).

Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier método de publicación y/o almacenamieninformación, tanto del texto como de logotipos y/o ilustraciones sin autorización escrita del autor y los editores.omiso se procederá a denunciar al infractor a la INDECOPI de acuerdo a la Ley N° 13714 y el artículo N° 2código penal vigente.

Pnnted in Perú - Impreso en Perú

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PRÓLOGO

Resulta importante reconocer las veces en que nuestros trabajos tienen un enorme signi

ficado en nuestra vida profesional, uno de ellos es, qué duda cat>e, e1 culm inar un libro y más aúncuando nos corresponde presentarlo. Por tanto es esta una excelente oportunidad para datestimonio de nuestra dedicación ofreciendo a quienes nos leen, un trabajo académico de muchaimportancia para quienes forman parte de aquel inmenso número de estudiantes que confiesantener un especial interés por aprender los secretos de una ciencia tan interesante y útil como laGeometría.

Por centurias una de las dedicaciones favoritas de los matemáticos ha sido la Geometríasus demostraciones y sus aplicaciones. A todo estudiante de secundaria en todos los tiemposle ha sido imposible poder encontrar en una sola obra toda la información teórica > así mismouna enorme cantidad de ejercicios de fácil acceso para su solución. Al iniciar este trabajo laeditorial nos propuso el reto de elaborar un texto con tales características, es decir, a lcanzar esueño dorado.

En principio, debemos reconocer que la tarea de selección tanto de los fundamentosteóricos como de las aplicaciones prácticas, fue ardua y prolongada. Muchas cosas han quedado en el tintero, entre ellas algunas demostraciones y también problemas, que las postergamocon la ilusión de verlas publicadas en un trabajo posterior y más especializado.

El presente texto ha sido elaborado pensando especialmente en los modelos de problemasque son en la actualidad los considerados en los exámenes de ingreso, por ello hemos establecido una gran relación entre la parte teórica expuesta y los ejercicios resueltos. Esto servirá paraque el lector p'ieJa recorrer un capítulo completo sin la engorrosa necesidad de memorizar odemostrar teoremas o algunas propiedades particulares.

Publicar un texto de esta envergadura en las actuales circunstancias, de abundante información y de contenidos cambiantes, provocó en nosotros una ambición tanto en el número detenias a desarrollar como el de aplicaciones a mostrar. Tal vez por esta razón, inicialmente pensamos que nuetro trabajo sería muy tedioso de leer, sin embargo al iniciar su lectura, el investigador se sentirá animado Je continuarla por que notará de nuestra parte un sutil “ablandamientode la parte axiomática del curso. Esto nos demuestra una vez más, que no existe una materia que pudiera considerarse imposible de aprender, pues todo depende de la voluntad que demuestrenno solo el estudiante sino también la sencillez del material didáctico que se emplee.

Hemos tratado de incluir en esta obra todos los artificios, métodos y procedimientos engeneral que hemos logrado conocer, aplicar y dominar durante nuestros años dedicados a la

docencia pre universitaria. Se apreciará en muchos casos que nuestra voluntad ae pedagogosserá insuficiente para los logros posteriores como es el dominar un tema para pasar al siguientesi de parte del lector existe una notable deficiencia en el dominio de las materias básicas de uncurso de Geometría Elemental.

Esperamos que nuestro trabajo pueda contribuir a mejorar el nivel académico de los estudiantes de nuestro país, en especial de aquellos que aspiran a lograr un ingreso a las instituciones educativas de prestigio, que son finalmente las más exigentes en sus exámenes de admisión

Los autores.

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PROLOGO DEL EDITOR

Como en cada oportunidad en que me toca el inmenso honor de presentar un trabanuevo, producido con muchísimo profesionalismo, esta es una muy especial, tanto po> características de la obra, como por el volumen que ella posee. Es que se trata de un trabajo qse inició con mucha anterioridad y se dejó de hacer por las divergencias en los enfoques de iautores con el editor, las mismas que se superaron con el diálogo tan paciente con este servid

Debo agradecer a los autores que tuvieron a bien ser persuadidos por la filosofía nuestra casa editorial, la que tiene poi propósito elaborar una colección de textos con caracterticas especiales cuyo plato fuerte es la resolución de una variada y rica cantidad de ejercicresueltos y propuestos. Nos es muy grato verlo culminado, y es un texto que estoy segumarcará un hito entre la enonne producción nacional de textos de ciencias.

Luego de revisar los más exigentes prospectos de admisión y apreciar los exámenes ingreso , nos propusimos elaborar un libro que reuniese las características de los de la mismcolección, pero esta vez había que hacerlo sin tener muchas referencias de otros con similacaracterísticas, pues es cierto, la mayor abundancia de trabajos en relación a cuestiones Geometría se da en fascículos o bibliografía incompleta, tal vez por que los autores nacionareconocen que hacer un libro completo de esta materia es una tarea muy ardua y por que decirlo muy ambiciosa, la que muchas veces choca con nuestras posibilidades de tiempo pordedicación que ella demanda. Nosotros nos la propusimos, y estamos orgullosos de presentaya terminada.

Nuestra misión de revisar el material antes de su publicación se volvió muchas vecimpertinente, pues sin damos cuenta nos veíamos contagiados de seleccionar lo mejor p an

publicación , sin embargo la tolerancia y el buen ánimo de los autores nos hicieron ver muchos casos las bondades de su trabajo y los horizontes de su estrategia. Celebro que todestas circunstancias se hallan superado para dar paso a una obra verdaderamente completa su concepción y estoy plenamente convencido que calará entre los lectores más exigentes.

Acerca de los autores debo decir que se trata de prestigiados profesionales que llevmucho» años de ejercicio docente y también como cuajados autores de libros y compendioscalidad probadas. Es una garantía que ellos elaboraran una obra como la que nos habíam

propuesto, nos entendieron y se pusieron a trabajar en este proyecto desde hace aproximadmente tres años, la tarea se ve culminada ahora y estamos segaros que formará parte de

bibliografía obligada de todos los estudiantes de esta materia.

Es nuestro propósito poner en vuestras manos, libros de excelente calidad y de gran niv

tanto por la didáctica que estas transmiten, así como por la amplitud de los contenidos, Nuescolección se ve ahora incrementada con un trabajo que contribuirá en la formación de nuevmentes cien tíficas, ahora en un momento en que nuestro país reclama de sus hombres y mujesus mejores cualidades, debiendo recordar y/o hacer saber que los años noventa han sideclarados como la "década del cerebro", por ende la riqueza de un país será en este nuevo sila que provenga del conocimiento.

Esperamos alcanzar el mismo éxito que tuvieron nuestras publicaciones anteriores y esremos atentos a te Jas las observaciones y sugerencias que nos hagan llegar nuestros lector

El Edit

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AL PROFESOH

El texto Problemas de Geometría y cómo resolverlos, es un trabajo que el profesor podráemplear como complemento de sus sesiones teó rica s, pues en ella se encontrará un abundantematerial de aplicaciones como los ejercicios de aplicación directa y los de mayor nivel dedificultad en la sección denominada Miscelánea.

Todos estos ejercicios han sido serenamente se leccionados, pues es fácil ser seducidos por aquellos problemas de gran dificultad y prolongadas resoluciones, sin embargo los quese encuentran aquí publicados son a nuestro juicio los mas adecuados por serformativos y p orque responden a las actuales tendencias en los exámenes de ingreso .

Usted podrá apreciar que las secciones teóricas se exponen de manera que cada temaha quedado dividido en varias par tes con la fina lidad de insertar al fin a l de cada una de ellas

, un determinado grupo de problemas denominados "Ejercicios ríe aplicación". Esto se hahecho as í por que consideramos que la prolongada exposición de la teoría resulta agotadora

para un estudiante ávido de ver las aplicaciones correspondientes, quién al hacerlo sentiráque lo recientemente expuesto es de fácil retención y uso.

Estamos convencidos que la secuencia de los Ítems es el mismo que se emplea en lamayoría de institucioners educativas de nuestro país, muy especialmente en los centros de

preparación preuniversitaria. Por ello creemos que este material puede ser utilizadoindependientemente del lugar de preparación así como de la especialidad a ¡a que se va a

postular.

En cuanto se refiere a los problemas resueltos de mayor nivel de dificu ltad , debemosindicar que éstos se encuentran expuestos en la sección denominada "Miscelánea ", allí los

problemas se han ubicado tanto por el orden de la teoría como por su nivel de dificultad. Asimismo en cada resolución se hace referencia a los resúmenes teóricos , nombrándose la propiedad y/o el item al cual pertenece la propiedad a emplear.

Es importante destacar que uno de los principales obstáculos a los que nos solemosenfrentar los docentes de Geometría es a la variada aplicación que se puede encontrar en cadatema, por ello con la fina lidad de abarcar el mayor número de problemas tipos, hemos creídoconveniente resolver dichos ejercicios del modo mas breve posible sin omitir las rigurosidadesque demanda una solución matemáticamente convincente y correcta posible.

El grupo de problemas propuestos se ha dividido en tres niveles de dificu ltad , lo cuaes un estilo propio de esta casa edito ria l, empezando con los de nivel 1 que son siempre los massenc illos, pasando luego a los de nivel 2 que son de mayor dificultad y finalm ente los de nive

3 que a nuestro juicio demandaran del estudiante una mayor dedicación y tiempo.

Todos los esfuerzos que hagamos para que nuestros alumnos puedan encarar con éxitosus pruebas nos harán merecedores de sus halagos y gratitudes, es este el fin que nos mueve asuperarnos cada día mas, para estar a la altura de las nuevas exigencias y mirar con esperanzalos nuevos retos de la enseñanza actual.

Atentamente:

Los Autores

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AL ESTUDIANTE

Resulta interesante observar que uno de los cursos de mayor aceptación p or parte de la mayoría de los postulantes es Geometría, tal vez por que ustedes tienden a relacionar rápidamente lo visto en el colegio con lo que observan en los Centros de Preparación Preuniversitaria, aunque también no es menos cierto afirmar que este inicial apego se va diluyendo a medida que van tocando temas nuncc antes vistos por ustedes.

Debemos recomendarles que así como puede parecer fá c l la primera parte del c urso, lo son también los últimos, todo consiste en no perder la ilación de los temas iniciales en los que se sugiere ser atentos y no dejarse llevar poi la opinión casi general ds que aquello es fácil,

pues como en toda ciencia, lo difícil se presenta cuando empezamos a relacionar temas, es decir, cuando los ejercicios se resuelven empleando propiedades anteriormente vistas.

El desarrollo de problemas en Geometría demanda del estudiante una visión especial de cada caso, pues en mas de una ocasión se comprobará que las resoluciones obedecen a un

determinado patrón de procedimientos, los que solo con la práctica se vuelven rutinarios. Es menester de cada alumno estar siempre predispuestos a resolver primero cada ejercicio que aquí se presenta resuelto, pues debes saber que las resoluciones aquí mostradas son nuestras, es decir son la manera como nosotros hemos considerado resolverlas, sin embaí go , tú tienes tu form a de verlas cosas que no tiene porq ué coincidir con la nuestra, por lo demás solo debemos estar de acuerdo en que tu solucion y la nuestra deben ser las mismas.

El texto "Problemas de Geometría y cómo resolverlos" se pone a tu disposición, con la finalidad de satisfacer tus requerimientos con respecto al curso. El resumen teórico que se expone en el inicio de cada capítulo no debe ser necesariamente memorizado, debes dejar es 'n al ejercicio continuo, para lo cual se han presentado una gran variedad de problem as resueltos

y propuestos que han sido cuidadosamente ordenados teniendo en cuenta el nivel de dificultad que presentan cada uno de ellos; esto te permitirá tener un amplio dominio del capítulo tratado.

Recomendamos al estuaiant, para un mejor manejo de l texto, seguir las siguientes normas:

1°) Repasar atentamente el resumen teórico del capitulo a tratar.

2°) Repasarlos ejercicios y problemas resueltos, observando en cada uno de ellos, la aplicación de su resumen teórico.

3°) Intentar por tu propia cuenta los ejercicios y problemas resueltos y luego comparar tus pasos con aciertos y/o desaciertos con la resolución que presentamos pare cada problema.

4°) Entrenarse con los ejercicios y problemas propuestos y consultar con tu profesor sobre tus dificultades y nuevos métodos.

Finalmente esperando que "Problemas de Razonamiento Matemático y cómo resolverlos " logren en t í una mayor capacidad de raciocinio, no me queda mas que desearte éxitos en tu meta trazada.

Atentamente :

Las Autores

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ÍNDICE GENERAL

Página

CAP. 1.- Número de Puntos de Intersección (N .P .I. ) .................................................... 11CAP. 2.- Segmentos de R ec ta ............................................................................................... 39CAP. 3.- Á ng ulos .................................................................................................................... 67CAP. 4.- Triángulos I ............................................................................................................. 99CAP. 5 .- Triángulos I I ............................................................................................................ 139 —CAP. 6.- Polígonos................................................................................................................. 181CAP 7.- C uad riláteros ........................................................................................................... 213

CAP 8.- Circunferencia I .....................................................................................................

259CAP. 9.- Circunferencia I I .................................................................................................... 301CAP. 10.- Puntos Notables ..................................................................................................... 343CAP. 11.- Proporcionalidad .................................................................................................... 375CAP. 12.- Semejanza de Triángulos .......................................................................................409CAP. 13.- Relaciones Métricas en Triángulos Rec tángu los .......................................... 443CAP. 14.- Relaciones Métricas en Triángulos Ob licuán gu los ...................................... 477CAP. 15.- Relaciones Métricas en la Circunfe renc ia I ................................................... 507CAP. 16.- Relaciones Métricas en la Circunfe rencia I I .................................................. 537CAP. 17.- Polígonos Regulares: Potencia y Eje Radical ................................................. 571

CAP. 18.- Áreas de Regiones Triangu lares ......................................................................... 607CAP. 19.- Relación entre las Áreas de dos Triángulos..................................................... 655CAP. 20.- Áreas de Regiones Cuadrangulares .................................................................... 691CAP. 21.- Áreas de Regiones Po ligo na les ........................................................................... 731CAP. 22.- Áreas de Regiones C ircular es ............................................................................... 767CAP. 23.- Geom etría del Espacio: Rectas y P lan os ............................................................. 807 CAP. 24.- Ángulos Po lied ros .................................................................................................. 843CAP. 25.- Poliedros R eg ulares ................................................................................................ 877CAP. 26.-Sólidos Poliédricos................................................................................................... 911CAP. 27.- Cilindro y Co no ........................................................................................................ 947CAP. 28.- Sólidos Tru nc ados .................................................................................................. 983CAP. 29.- La Esfera y sus Pa rtes ..............................................................................................1017CAP. 30.- Superficies y Sólidos de Revolución ....................................................................1051

Claves de Respuestas ................................................................................................................1087

Bibliografía ....................................................................................................................................1090

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SÍMBOLOS

| 1 ; 2 ; 3 ( c onj. co n elem en to s 1, 2 y 3 si y solo si

N conj. de los números natura les: 0; 1; 2; 3; ... / tal que

N* conj. de los números na turales s in cero: 1; 2; 3 ;. .. = igualZ conj. de los núm eros enteros:...; -2: -I; 0; 1; 3í desigual, distinto

z + conj. de los números enteros positivos 3 idéntico

Z- conj. de los números enteros negativos = aproxi madamente

Q conj. de los números racionales 2n número par (n * 0)

0 ' conj de los números irracionales 2n + 1 número impar (n 6 Z)

& conj. de los números reales 2xi - 1 número impar (n e N)

tf+ conj. de los núm eros reales positivosOC proporcional a

w valor absoluto de a conj. de los números reales negativos

conj. de los números complejosa > b a es mayor que b

ca < b

símbolo que representa a -J - la es menor que b

ia ^ b a es may or o igual que b

( ) O 0 conjunto nulo o vacíoa < b a es menor o igual que b

6 pertenece a ... a » b a es m ucho mayor que b

e no pertenece a ... a « b a es mucho m enor que b

A c B A es subconjunto de B a < c equivalente

3 existeA y

í no existeV o

3! existe un único / (*> función de x

* no existe un único / - ' M función inversa de x

V para todo n! factorial de n = n .(n l).(n 2).

no para todo sen x seno del número x

Z suma, o, sumatoria eos x coseno del número x

(*;>) un par ordenado de números tg * tangente del número x

d (A B) distancia entre los puntos A y B Ctg A cotangente del número x

—>O . . im plica, lu ego , p or lo tanto sec x seca nte del número x

es equivalente a, implica en ambos sentidos CSC Jt cosecante del número x

=> entonces Km límite

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Intersectar es producir uno o más puntos comunes entre dos figuras geométricas, sinembargo cuando éstas son rectas, curvas cerrad as o figuras poligonales, se generan un de terminado númeio de puntos comunes llamados puntos de intersección.

Una adecuada disposición de figuras geométricas puede producir un máximo núm erode puntos de intersección . Será nuestra tarea atender todas aquellas situaciones en las quese presenten dichos casos.

Los problemas que se desarrollaran en este capítulo son aquellos en los que generalmente se buscará en contrar un Número de Puntos de In tersección Máximo (N.P.I.máx), paraun conjunto definido de figuras geométricas.

Para el estudio del presente capítulo, utilizaremos las siguientes fórmulas :

1.1 FÓRMULAS PKINCLEA LI S

A) PARA "n" RECTAS SECANTES.-

Contabilizando los puntos de intersección entredos rectas, se tendrá que para V rectas el máximonúmero de puntos de intersección estará dado p o r:

N.P.I. =n ( n - 1 )

... (1.1)

Ejemplo : Hallar el N.P.I.máx de cuatro rectas secantes.

Resolución :

En el gráfico mostrado se ilustra el caso de n = 4 rectas secantes, las chales se han dispuestode m odo que el número de puntos de corte sea máximo, contabilizándose 6 :

N.P.I. . = 6máx

Si aplicamos la relación (1.1) tendremos para n = 4 rectas secantes :

_ 4^4-1} _ N.P.I. . =máx

Este resultado nos permite comprobar la veracidad de la relación daaa

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12 Problemas de Geometría y cómo resolverlos Ernesto Qulsp

B) PARA "n" CIRCUNFERENCIAS SECANTES.-

En este caso los puntos se obtienen inteisec-tando las circunferencias de dos en dos, de es te modo para "n" de ellas el máximo número d e puntos de intersección estará dado po r:

N .P .I . . = n (n -1)max '

Fig.

Ejemplo : Hallar el N.P.l . de 3 circunferencias secantesJ r max

Resolución.-

En el gráfico puede observar que el N.P.l. máx =6 .

A continuación, aplicamos la relación ( 1 2 ), para n — 3 circunferencias secantes, en dontendremos que :

N.P.l „ * = 3 (3 -1 ) N.RI . = 6máx

Resultado que nos permite confirmar la veracidad de la ralación d a d a .

C) PARA "n" TRIÁNGULOS SECANTES.-

Dos triángulos tienen com o máximo 6 puntos deintersección, y "n" triángulos tiene un máximo núm ero

de puntos de intersección que está dado por

N.F.I.n fa= 3 n (n . l ) .. .(1.3)

Ejemplo: Hallar el N.P.l . de 3 triángulos secantes .* r max 3

Resoiución.-

En el cráfico mostrado se pu ede observar que el N.RI. . =18° r ^ max

Ahora si aplicamos la relación (1.3) para n = 3 triángulos secantes, tendremos

N.P.l = 3.3 (3-1) N.P.l . = 18max

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Luis Ubaldo C Numero de Puntos de ¡nteisección (N.P.I.) 13

fc)6 K c i a o s o t u r L k í H ' i o n ' ( i ; P A i . r t ' i

1.- Hallar el máximo núm ero de punto s de intersección de 16 rectas s ecantes.

Resolución.-

Para calcular el máximo número de puntos de intersección de"n" rectas secantes se utiliza la relación ( 1 .1 ):

n ( n - l ) NPI . = ---- ~— puntos

Luego para nuestro p roblema se trata de : n = 16 rectas secan tes, de este modo el máximo núm ero de puntos de intersección, se obtendrá a s í:

NPU , = 16 °96 ' U = 120 puntos

2.- Si se retira una recta de n rectas s ecantes, el máxim o n úm ero de punto s d e intersección d ism inuir á en 14. Hallar “n". _ , * _ p _ l r , í- l ' T '

Resoiución.-

Para W rectas, el máximo número de puntos d e intersección estará dado por la relación (1.1):P P - M í -Y ) — r . J r l .

Nprr = n (n - l )/2

NPImáx = (n - 1 ) (n - 2)/2

Pero si se retira una (1) de es tas rectas, entonces em pleando la misma relación diremos que elmáximo número de intersecciones, está dado a s í: ^ -1 „

e*.QPP-2& = -? 0

De acuerdo con la condición del prob lema se debe verificar que :2 , n p - n — 4 3

NPImáx ' NPImáx = 14 f j ^

n ( n - 1) ( n - 1) ( n - 2) _ 2 ' 2

Efectuando las operaciones indicadas : (n -1 ) (n - n + 2) = 28

De do nd e: 2 (n -1 ) = 28 => n -1 = 14

n = 15

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14 Problema.rde Geometría y cómo resolverlos Ernesto Quispe

3.- Hallar el número de rectas secantes, tal que al aumentar una de ellas, el máximnúmero de puntos de intersección se dupl ica.

y . n p -1 ~ x ' T Resolución.-

Según el dato del problema, al aumentar una recta el máximo número de puntos de interseción se duplica, esto quiere decirque si n es el número de rectas, tendremos :

(n- 1) (n + 1 - 1) _ 0 n ( n - 1)2 2

Efectuando : n (n + 1) = 2 n (n -1)

Lu ego: n + 1 = 2n - 2 => n = 3

4.- Hallar el número de rectas que se in tersectan entre si, sabiend o q ue s i se quitara unel número de pun tos de intersección d isminu irá en 4.

Resolución.-Sea "n" el núm ero de rectas que se intersectan entre si, luego de la relación (1.1) tendremos

( n - 1) ( n - 1- 1) _ n ( n - 1) .2 2

Efectuando : (n 1) (n - 2) = n (n -1 ) - 8

De donde : n -1 = 4 => n = 5

5.- El máximo número de pun tos de intersección más el número de vért ices de “n" tr iángulo s qu e se intersectan entr e si es 588. Hallar n.

Resolucion.-

E1 máximo número de puntos de intersección en que se in tersectan ”n" triángulos se obtienutilizando la relación (1.3) :

NPI = 3n (n -1 )max J

Puesto que el núm ero de vértices de "n" triángulos es 3 n, según el dato del p roblema plantemos la siguiente ecuación :

3 n ( n - l ) + 3 n = 588

Efectuando: n 2- n + n = 196 (196=142)

Luego : n2 = 142

n = 14

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Luis Ubaldo C. Número de Puntos de Intersección (N.P.I.) 15

J fc& P JÇ C J AJ

D) PARA "n" POLIGONOS CONVEXOS DE "L" LADOS

Al observar la relación (1.3) encontramus que en ésta se presenta el coeficiente 3 querepresenta al número de lados del po.iyono. Por lo tanto cuando dicho número sea L, tend rem os:

N.P.I. . = L n (n - 1 )m ax ... (1.4)

Donde : n = número de polígonos secantes

L = número de lados

Ejemplo : Hallar el N.P.I maxde 2 polígonos de 6 lados.

Resolución.-

Er. el gráhco mostrado observamos que hay 12 puntos de interseción. Si a continuación em

pleamos la relación (1.4), tendremos : N R 1-máx = 6 - 2 t 2 - n N.P.I . = 12max

E) PARA "n" ELIPSES SECANTES

Si observamos la intersección de dos elipses comprobarem os que el número de puntosde intersección es el doble del que se presenta entre dos circunferencias, por lo tanto y en base a la relación ( 1 .2), tendremos que :

N.P.I.roíj[= 2 n ( n - l ) ... (1 .5)

Donde : n = núm ero de elipses secantes.

Ejemplo: Hallar el N.P.I mij de 3 elipses secantes

Resolución.-

E1 gráfico muestra que hay 12 puntos, luego en la relación (1.5)

N.P.I. . =2 .3 (3 -1 ) => N.P.I . =12mav '

F) PARA "n” CUADRILATEROS NO CONVEXOS SECANTES

Al observar la interseccción de dos cuadriláterosno convexo s, comprobam os que estos lo hacen hastaen 8 puntos com o m áxim o, luego paran figuras comoéstas se tendrá que :

N. P. 1 .^ = 8 n ( n - 1) .. .( 1 .6)

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16 Problemas de Geometría y cómo resolverlos Ernesto Quispe R

Ejemplo : Hallar el N.PImáxde 2 cuadriláteros convexos no secantes

Resolución.-

Como se puede observar, en el gráfico dado hay 16 puntos. Si empleam os la relación (1 6) paran = 4 , tendremos que :

N.PI . = 8 - 2 ( 2 - 1 ) => N.P.I = 16max v itm:

SUGERENCIAS.

Es frecuente encontrar problemas en los que los puntos de intersección lo producenvarios conjuntos distintos de figuras geométricas.

Rectas + Circunferencias + Triángulos

En estos casos se recom ienda proceder a encontrar los puntos de intersección por pare jas y por separado , para luego proceder a una adición en tre todas las obtenidas

6.- Hallar el máximo nú mero de pu nto s d e intersecció n d e 8

Resolución.-

Sabemos que con "n" polígonos convexos de "L" lados cadauno, se intersectan como máximo, en un número de puntos

que viene dada por la relación (1.4):

N P. r max = L n (« -1) puntos

Por tratarse de cuadriláteros, entonces :L = 4 , y por se r ocholas figuras que se intersectan, se tiene que : n = 8.

Luego el número máximo de puntos de in tersección de 8 cuadriláteros será:

N. P. I.máx =4 (8) (8 1) = 224 pu nto s

7.- El máximo núm ero de puntos de intersección d e un gru po de circunferencias secanteses igual al décuplo del número de circunferencias. Calcular el máximo número depuntos de intersección entre igual número de icoságo nos conv exos secantes.

Resolución.-

cuadriláteros.

Empleando la fórmula 1.2 se tiene : NPI = n (n -1) , donde n = Nc de circunferencias

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Luis Ubaldo C. Numero de Puncos de Intersección (N.P.I.) 17

Igualando: 1On = n (n -1)

=> n = 11

Nos piden el NPI . en tre 11 incógnitas secantes para ello recurrimos a la fórmula 1.4r max °

Donde : L = 20 (núm ero de lados del icoságono) y n = 11

Luego: NPI . = 20 .11 (11 -1 )3 max

NPI . = 2 200max

8.- Calcular el máximo número de puntos de intersección de 10 rectas secantes, 15paralelas y 20 c ircunferencias secantes.

Resolución.-

En primer lugar, hallaremos el máximo número de puntos de intersección de ca da conjunto defiguras iguales o sem ejantes A continuación calcu laremos el máximo núm ero de puntos deintersección de la combinación de cada dos de estos conjuntos y finalmente sumarem os estosresultados, obten iéndose así el máximo número de puntos de intersección de todas las figurasdad as. Veamos:

a) Entre las 10 rectas secantes se encontrará el máximo número de puntos de intersecciónaplicando la relación ( 1 .1 ), es de cir :

NPI ——i*—— = 45 puntos => NPI . = 45 puntosmax max

b) Entre las 15 rectas paralelas no existe intersección alguna , luego el número de puntos de

intersección se considera igual a Ceio (0).

c) Entre las 20 circunferencias se sabe que el máximo número de puntos de intersección vienedada por la relación ( 1 2 ), donde n = 20, es de cir :

NPImáx = (20-1) = 380 puntos => NPlmax = 380 puntos

A continuación nos corresponde efectuar las combinaciones entre estos grupos, tomados dedos en dos. Veamos :

1ro.- Entre (a) y (£>) , el número máximo de interseciones viene dado por el siguiente producto

1 • 10 ■15 = 150 puntos A A /j| _

Número de rectas oaralelas.

Número de rectas secantes

Número de puntos entre una recta y una paralela.

NPI . = 150puntosmax r

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2d". Entre (£>) y (c) el número de intersecciones está dado por el siguiente produc to :

2 15 • 20 = 600 puntos.^ A i

I _________ Número de circunferencias

---------------- Número de rectas paralelas

Número de puntos en tre una paralela y una circunferencia

=> NPI . = 600 puntosmax r

3ro.- Entre (a) y (c)el número de intersecciones lo da el siguiente producto :

2 • 10 ■20 = 400 puntos.A A

18 Problema„ de Geometría y cómo resolverlos Ernesto Qulspe R

t Número de c ircunferencias

Número d e rectas secan tes

Número de puntos entre una recta secante y una circunferencia

=> NPlmáx = 400 puntos

Finalmente, para obtener el máximo número de puntos de intersección de todas ellas, debemos efectuar la suma de los resultados obtenidos en los pasos anteriores :

N = 45 + 0 + 380 + 150 + 600 + 400

N = 1 575

9.- Si a un grupo de cuadri láteros se le qu itan 4 enton ces el N.P.I. máximo dism inuye e288 pun tos, pero s i se le agregan 4, el N.P.I. máximo au men tará e n :

Resolución.-

Sea "n" el número de cuadriláteros no convexos, luogo en base a la relación 1.6 tendrem os que NHmAx = 8n (n - 1) (l.l.f) al quitar 4 cuadriláteros no convexos quedarán (n - 4) los cuales

producirán : 8 (n - 4) (n - 5) puntos

Luego : 8n (n - 1) - 8 (n - 4) (n - 5) = 288

n2 - n - (n2 - 9 n + 20) = 368n - 20 = 36 => n = 7

El N.P.l.máx para los 7 cuadriláteros no convexos es : 8 ■7 (7 -1 ) = 336

Y el N.P.I. . para 11 cuadriláteros no convexos es : 8 11(11.1) = 880max r

El aum ento de puntos de puntos de intersección será : 880 - 336 = 544

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10.- Hallar el máximo nú mero de punt os d e intersección entre 5 octógon os y 6 decágonosconvexos.

Resolución.-

a) Para los 5 octogonos secantes aplicaremos la relación 1.6 la cual perm ite determinar:

8 ■5 (5 - 1) = 1G0 puntos

b) Para los 6 decágonos secantes aplicaremos la relación 1.6 la cual permite determinar:

10 ■6 (6 - 1) = 300 puntos

Luego intersectando los octogonos con los de cá go no s, tendrem os :

2 ■8 • 5 ■6 = 480 puntos.

La suma total nos dará el máxim o número de puntos de intersección de todas ellas, es decir

N = 160 + 300 + 480

N = 940

11.- Se tienen "n " dodecágon os secantes co n la c aracterística de t ener el mism o n úm erode puntos de intersección máximo que 8 nonágonos. Hal lar el valor de “n".

Resoluclón.-

Del enunciado podemos extrar los siguientes datos :

Dodecágonos: L = 12 , n = ?

Nonágonos : L = 9 , n = 8

A partir de la relación (1.4) se puede establecer que :

12 . n ( n -1 ) = 9 - 8 (8-1)

n2-n = 42

n2 - n - 42 = 0

" y 7

n / ^ + 6

Resulviendo encontramos que : n = 7

Luis ubaldo C. Numero de Putuos de Intersección (N.P.I.) 19

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1 3 PROPD5D C O M Pl^M EN T^R ^S

1”) El mínimo número de puntos de intersección (N.P.I. . ) en tre "n" rectas secantes es 1y esto ocu-

min J

rre cuando las rectas son concurrentes tal como se

muestra en el gráfico adjunto.

N.P.I. . = 1vnin (1.7)

2d*) El m ínimo núm ero de puntos de intersección

(N.P. I ) entre "n" circunferencias secantes es 2,min *tal como se muestra en el gráfico adjunto.

N.P.I. t = 2mín ...(1.8)

t i g . 1.8

3r*) El N.P. I. que se produce al intersectar un polígono convexo de "m" lados, con otro polígono convexo de "n" lados (m < n ), es 2m. Esto se explica porque en cada uno de losm lados ex isten dos (2)

puntos de intersección, luego :

N.P.I. = 2m ...(1.9)

4U) El N.P.I.máx entre un polígono convexo de "n" lados y una circunferencia o elipse, es 2n. Estoes así dado que en cada uno de los n lados existen dos (2) puntos de intersección.

N.P.Lm4x = 2n .. .( 1 . 10 )

n lados

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Luis l ibaldo C. Numero de Puntos de Intersección (N.P.I..) 21

5ta) Si se agregan "m"rectas secantes a un grupo de "n tedas secantes.se puede probar que el N.P.I. aumentará e n :max

¿NP.I. = y (m - l )+ m n ...(1.11)

6,a) Si se quitan "m" rectas secantes a un grupo de "n" rectas secantes, entonces el N.PLdisminuirá, de tal forma que el nuevo N.P.I. esta rá dado p o r:

A N . P . I . = m n - y í m + l ) ...(1.12)

7™) El máximo núm ero de rectas que cJpLjrminan "rt" puntos en los que no hay tres (3)colineales, de forma tal que cada f tc ta pase solo por 2 puntos, esu. aado p o r:

# rectas = ^ . ..(1.13)

8™) El máximo número de triángulos que se pueden determinar con "n" puntos o rectas, en losque jio hay 3 puntos colineales, ni rectas concurrentes, está dado por :

# tr iángulos = ~ (1.14)O

9™) El número de partes en que qu eda dividido el plano por "n” rectas s ecantes en los que nohay 3 rectas concurrentes, está dado por :

# partes = y (n + l ) + l . (1.15)

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22 Problemas de Geometría y cómo resolverlos Ernesto Qulspe

cjeRuciós oe Aplicación rare)

12.- Si se retiran 3 elipses de un grup o qu e se están intersectando, el N.P.I. máxim o disminuen 96. Determinar cual sería la disminución de punto s s i se trataran de rectas secante

Resolución.-Para hallar el NPlmáj( entre lasn elipses secantes emplearemos la fórmula 1.5 .

Luego: NPlmáx = 2n (n -1 ) :

Al retirarse 3 elipses, quedarán (n - 3) ; las que producen :

Nplmáx = 2tn - * é t n - 4 )

La disminución de puntos se obtiene por la diferencia : 2/7 (n -1) - 2 (n - 3) (n - 4) = 96

De donde : 2n2 - 2n - 2n2 + 14n - 24 = 96Resolviendo : n = 10

Para hallar la disminución de puntos al tratarse de rectas sec antes em pleamos la fórmula :

m (m + 1)m n g C1-12)

. 3(3 + n)Donde : m = 3 yn = 10 , reem plazando : 3(10) ---- = 3 0 - 6

Disminución de puntos = 24

13.-Hallar el máximo n úm ero de pu nto s de intersección entre 4 circun ferencias secanty 6 cuadriláteros no convexos secantes.

Resolución.-

a) 4 circunferencias secantes se intersectan en :

4 (4 - 1) = 12 puntos, (relación 1.2)

b) 6 cuadriláteros no convexos secantes se intersectan en :

8 •6 (6 - 1) = 240 puntos (relaciór 1.6)

Luego (a) y (b) : 8 - 4 • 6 = 192 puntos

Finalmente la sum a nos dará el máximo núm ero de puntos de intersección entre todas ellas,decir:

N = 12 + 240 + 192

N = 444

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Luis Uhu'do C. Número de Puntos de Intersección (N.P.I.) 23

Observación : La fórmula general, para calcular el máximo núm ero de puntos de intersecciónentre "n" cuadriláteros no convexos seca.ites s e rá :

N = 8n ( n - 1)

14.-El número de punto s de intersección máxim o que prod ucen un grupo de pentadecágo-nos secantes (inclu yend o su s vértices) es 6 000. ¿Cuántos pen i ¡decágon os h ay en

dicho grupo?

Resolueión.-

Recorriendo a la fórmula l .4

Se tiene NPI . = L n ( n - l ) ; L = 15max 1

Luego NPImáx = 15n(n -1)

Como hay que incluii sus vértices y teniendo en cue nta que cada pen tadecágono posee 15vértices, se tiene :

# de vértices = 15n

Luego : 15n (n -1 ) + 15n = 6 000

Factorizando: 15n (n - 1 + 1) = 6 000

Por consiguiente : 15n2 = 6 000

n — 20

15.- Se tienen "n" tr iángu los secantes. Si se quitan 3 tr iángulos, el num ero máxim o de

pun tos de intersección , dism inuy e en 54. Hallar el valor de "n".

Resolución.-

Si a "n” triángulos secantes se quitan 3 triángulos, entonces queoarían (n - 3) triángulos.

De acuerdo con la relación ( l .3), el máximo núm ero de puntos de intersección de estos será-

3 (n - 3) (n - 3 - 1) puntos

Sf-gún las condiciones del problema se tiene que : 3 (n - 3) (n - 4) = 3n (n -1) - 54

De aonüe : 3n2 - 21

n + 36 = 3

n2 -

3n - 54 => 18

n = 90

Simplificando: n = 5

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24 Problemas de Geometría v cómo resolverlos Ernesto Quispe

. 'A

1.- Hallar el mínimo número de pun tos de intersección entre 3 rectas y 1 circun ferenci(las rectas deben ser secantes a la circunferencia).

Resolución.-Tres rectas secantes determinan tres puntos de intersección y si porellas hacem os pasar una sola circunferencia lograremos que el núm erode puntos de intersecciones sea mínimo, tal como lo muestra el gráfico:

En consecuencia, el mínimo núm ero de puntos de intersección entre 3rectas secantes y una circunferencia es de 3 puntos. ^

NPI = 3m ax

2.- Calcular el máxim o núm ero de puntos de intersección entre 3 circunferencias, 4 paralelas y 6 rectas s ecantes.

Resolución.-

a) 3 circunferencias se in tersectan en :

b) 4 rectas paralelas en :

c) 6 rectas secantes se intersectan en :

Intersectando las circunferencias con las paralelas:

intersectando las paralelas con las secantes :

Intersectando las circunferencias con las secantes :

Luedo el máximo núm ero de puntos de intersección estará dado p o r:

N = 6 + 0 + 15 + 24 + 24 + 36

En co nsecuenc ia: N = 105 pu nto s

3 (3 - 1) = 6 puntos

= 0 puntos.

6 (6 - 1 )/2 = 15 puntos.

2 ■3 - 4 = 24 puntos

1 4 ■6 = 24 puntos

2 ■3 - 6 = 36 puntos

3.- Se tiene dos circunferencias concéntricas y 12 rectas paralelas. Hallar el máxim

número de puntos de intersección.Resolucion.-

En el gráfico observamos que una recta y dos circunferenciasconcéntricas determinan 4 puntos de intersección :

.-. 1recta y 2 circunferencias concéntricas < > 4 puntos de intersección

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Luis Ubntío C. Número de Puntos de Intersección (N.P.I.) 2

Esto significa que con dos rectas paralelas tendremos: 2 x 4 puntos; con tres (3) rectas paralela3 x 4 pu nto s,. . . . etc. Este breve análisis nos permite concluir que 12 rectas paralelas y docircunferencias concéntricas, dete rm inarán:

12 x 4 = 48 pun tos de intersección

4.-¿Cuál es ei máximo nu mero de rectas que pasan p or 50 pun tos sabiendo que no h ay

de el los al ineados y que cada recta debe pasar p or dos de estos puntos ?

Resolución

Con fines didácticos te muestro a continuación sucesivos poder deducir una reglade formación entre ellas :

Para 3 puntos, 3 rectas hará 4 puntos , 6 rectas Para 5 puntos , 10 rectas

Luego, para 50 puntos no alineados, el máximo número de rectas que pasan por ellas serobtenido respetando la condición de que éstas no pasen por 3 puntos alineados, lo que equvale a decir que d ebemos hacer combinaciones de 50 puntos tomados de 2 en 2. No cabe d udque esto am erita la utilización del núm ero combinatorio, es decir:

„50 _ 50! 50 _ 50 ■49 • 48!2 2! (5 0-2 )! =» 2 — 2(48)!

*¡0C 2 = 1 225 recta s

5.- Hallar el máxim o núm ero de pu nto s de intersecc ión entr e 30 tr iángulos s ecantes y rectas secantes.

Resolución.-

a) Los 30 triángulos secantes generan : 3 • 30 • (30 - 1) = 2 610 puntos

b) Las 18 rectas secantes p roducen : 18(1 8-1 )/2 = 153 puntos

Intersectando los triángulos con las re c ta s: 2 - 30 -1 8 = 1 080

De este modo el máximo número de puntos de intersección viene dado a s í:

N = 2610 + 153 + 1 080

conjuntos de puntos y rectas par

N = 3 843

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26 Problemas de Geometría y cómo resolverlos Ernesto Quispe

6.- Calcular el máximo núm ero de pu ntos de intersección de 3 circu nferencias s ecanty 1 triángu lo equilátero.

Resolución.-

a) 3 circunferencias secantes se intersectan en: 3 (3 - l) = 6 puntos.

b) I triángulo equilátero por ser único genera : 0 puntos

Intersectindo las circunferencias con el triángulo : 6 • 3 ■1 = 18 puntos

Finalmente el máximo número de puntos de intersección entre ellas se rá :

N = 6 + 0 + 18 =» N = 24 punto s

7.- En un plano se dibujan "n " rectas, si d e este grup o de rectas 5 fuesen paralelas y el resrectas secantes entre si, el máximo núm ero de pu nto s d e intersección s ería 45. Hallar

Resolución.-

a) De acuerdo con la relación (1.1), se sabe que (n - 5) rectas secan tes 3e intersectan en:

(n - 5) (n - 6)/2 puntos.

b) 5 rectas paralelas de intersección en : 0 puntos.

Intersectando las paralelas con las secantes : 1 ■(n - 5) ■(5) puntos

Finalmente tendremos : ——— —— + 0 + 5 (n - 5) = 45

Efectuando las operaciones ind icadas: n2 -n -110 = 0

n "U ' ( n - 1 l)(n + 10) = Un +10

n = 1 1

8.- Hallar el núm ero de punto s de intersección entre 10 circ unferenc ias con céntric as yrectas que pasan p or el centro común.

Resolución.-

En el gráfico observamos que el máximo núm ero de puntos de intersección de 10 circunferencias concéntricas y 20 rectas concurrentes en elcentro común, estará dada por la siguiente expresión :

2-10-20+ 1= 401

^ Las rectas concurrentes determinan este único punto

---------- Número de rectas concurren tes

----------- Número de circunferencias concéntricas.

---------- Número de puntos de intersección de una circunfe re nca y una secante

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NPI= 401

9.- 7 rectas secantes, 8 circu nferencias y 9 tr iángulos s e intersectan com o máxim o, en:

Resolución.-

b) Por la relación (1.2) 8 circunferencias secantes se intersectan en : 8 (8 - 1) = 56 puntos

c) Por la relación (1.3) 9 triángulos secantes se intersec tan en : 3 (9) (9 - 1) = 216 puntos

La suma nos dará el máximo número de puntos de intersección entre todas ellas, es de c ir:

10.- Si al máximo número de puntos de intersección entre "m" rectas secantes se leaumenta 16 punto s, el resultado equ ivale al número de rectas elevado al cuadrado yaumentado en uno. Determinar el máxim o núm ero de pun tos d e intersección d e " m hexágonos secantes:

Resolución.-

........................

. m ( m - 1)Según la relación (1.1) sabemos que m rectas se intersectan en -------- — puntos

Por condición del problem a: m —— + 16 = m 2 + 1

Resolviendo : m (m -1) + 30 = 0

De donde : m 2 + m - 30 = 0

a) Por la relación (1.1)7 rectas secantes se intersectan en : 7 (7 -1 )/2 =2 1 puntos

Intersectando rectas con circunferencias se obtienen: 2 ■7 • 8 = 112 puntos

6 • 8 - 9 = 432 puntosIntersectando circunferencias con triángulos se obtienen :

Intersectando rectas con triángulos se obtienen : 2 • 7 • 9 = 126 puntos

N = 21 + 56 + 216 + 112 + 432 + 126

N = 963 punto s

m +6=* (m -5 )(m + 6) = 0

m -5

Luego el NPImáx de m hexágonos estará dado por la relación (1.4) :

6/7, (m -1) = 6 -5 (5-1) = 120

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Problemas de Geometría y cómo resolverlos Ernesto Qulspe R

11.- Calcular el mínimo núm ero de pu nto s d e intersección entre 3 rectas p aralelas y rectas secantes.

Rei olucion.-

Si ubicamos convenientem ente las rectas secantes sobrelas rectas paralelas como el que muestra el gráfico adjunto,obtendremos el menor número de puntos de corte, luego :

NPI . . = 10mínimo

12.- En un plano se tienen n rectas secantes; al d up licar el núm ero de el las el máximonúmero de punto s de intersección aument a en 145. Calcular el núm ero de rectas.

Resolución.

Sabemos que si se duplica el número de rectas se obtendrán 2n rectas.Luego aplicando lrelación ( l. l) se tendrá

2n ( 2 n - l ) N.RI. . =máx = n (2n - 1 )

Entonces : N.P.I. . = n (2n -1)mav ' /

A continuación el aumento de puntos se obtiene mediante la siguiente diferencia :

n (2n - 1) -n = 145

Efectuando operaciones:

Transponiendo té rm inos:

2n (2n -1 ) - n (n -1 ) = 290

3n2 - n - 290 = 0

3n 29

10(3n + 29)(n-1 0) = 0

n = 10

13.- Si a un con jun to d e "n " rectas secantes se le quitan 4 rectas. su N PI máx. dism inuyen 90, pero si se agregan 4 rectas al conju nto, el núm ero de pun tos de intersecciómáximo aumentaría e n :

Resolución. -

"n" rectas rectas secan tes determinan un :

(n - 4) rectas secantes determinan un :

NPI , =máx

NPI . =max

n ( n - 1)

( n - 4) ( n - 5)

La disminución de puntos se obtiene por la diferencia entre (1) y (2) :

n (n-1) ( n - 4 ) ( n - 5 ) =

( 1)

(2)

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Efectuando laas operaciones indic adas : n - n - n' ^ 9n - 20 = 180

De donde al resolver la ecuación , se obtiene : n = 25

25 (25-1)Dt este modo encontram os que : NP1 . = -------~------ = 300

max 2

29 (29-1)Al agregar 4 rectas se tenarán 29, lu<sgo : NFIrr|áx = -------^------ = 406

Luego el NPImáx aumen tará en : 406 - 300 = 106

14.- Si a un número de elipses secantes se ie aumenta cuatro, el número de puntos deintersección se incrementa en 184. Calcular cuántas elipses confo rman d icho g ri p o

Resolueión.-

Según la relación (1.5) n elipses secantes determinan u n : NPImáx = 2n(n -1)

Por la misma razón (n + 4) elipses secantes determ inan : NPImáx = 2 (n + 4) (n + 3)El incremento del NPIm4x se obtiene por la diferencia: 2(n + 4) (n + 3) - 2n (n -1) = 184

Resolviendo : n2 + 7n + 12 - n2 + n = 92

n = 10

15.- Si a un co njun to de k rectas secantes se le agrega un a recta, el máxim o n úm ero depunto s de intersección aum enta en un quinto d el total. Calcular el máxim o núm ero dpun tos de intersección.

Resolución.-fc+1 rectas h rectas k rectas

Por condición del problem a se tiene que : NPImax = NPImax + A NPImaj¡

fc+1 rectas k rectas

n t C = f n p C

fe+1 rectas k rectas

Sustituyendo cada término por la relación (1.1): (^ + Okft + 0 ~ i] = ^ H.k - 1)2 s 2

=> k (* + 1) = | k (* -1 )

Simplificando "k" y efectuando o pera cion es: 6(ft -1) = 5 (ft + 1)

Finalmente al despe jar obtenemos : k = 11

11(12)Luego hallamos el NP1 . a partir de la relación (1.1): NPI . = — -— ° m ax r v ' max 9

NPI . = 66máx

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16.- En la figu ra se tienen "n " rectas concurrentes y 2n el ip ses . Si el número total de pun tos de intersección es 21n + 12 ; calcular el valor de "n

Resolución.'

De acuerdo con lo expuesto en el item 1.3 sabem os que n rectas concu rrentes se ¡ntersectanen 1 punto .

Asimismo podemos reconocer .según el gráfico ad junto, que n elipses secan tes dispuestas en forma deeslabones determ inan :

2 (n - 1 ) puntos

Además cada recta al interceptar a cad a elipse en 2 puntos, nos permite deducir que cad a rectadetermine : 2 (2n) = 4n puntos sobre todas las elipses

De este modo es fácil predecir que conn

rectas se obtend rán : ín .n

= 4n2

puntos.Luego el NP1 máx será : 1 + 2 (n + 1) + 2(n - 1) + 4n 2 = 21n + 12

Efectuando operaciones : 4n2 -t-4n - 3 = 21/7 + 12

Transponiendo términos : 4n2 -17n-15 = 0

Factorizando :

De donde :

4/7

n X+3

-5

n = 5

(4/7 + 3)(n - 5) = 0

17.- Si 3 un grup o de t r iángulos secantes se le agregan 4, entonces el máximo núm ero depun tos de intersección se le tr ipl ica. ¿ Cuántos tr iángulo s con form an dich o grupo ?

Resolución.-

Según la relación (1.3) los "n” tr in gulos, pro ducirá n: NPImáx = 3/7 (n -1 ) ....(*)

Si se agregan 4 triángulos: 3 (n + 4) (n + 4 -1 ) = 3 (n + 4) (n + 3) puntos

Según el problem a esta última cantidad resulta ser el triple de (*).

Luego por condición del problema :Efectuando operaciones obtenemos:

Resolviendo:

3 (n + 4) (n + 3) = 3 [3/7 (n - 1)1n2 - 5n - 6 = 0

V ’ 32

n = 6

(4/7 + 3)(n - 5) = 0

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18.- Calcular el num ero de pu nto s de intersecció n máximo entre 8 rectas secantes, 8circunferencias secantes y 8 tr iáng ulos s ecantes.

Resolución.-

En el esquema adjunto se muestra la forma como se están inter-sectando las figuras . Primeramente calculamos los puntos que deter

minan solo las figuras de la misma especie, luego los puntos producidos por las figuras tomados de 2 en 2.

I ° Por la relación 1.1 las 8 rectas tienen un máximo de puntos de intersección d e :

NPI™, = — o ° = 28 puntos

2o Por la relación 1.2 las 8 circunferencias se intersectan en :

NPI,

3o Por la relación 1.3 los 8 T riángulos:

4o Intersectando las rectas con las circunferencias:

5o Intersectando las rectas con los triángulos :

6o Intersectando las circunferencias con los triángulos; (6) • 8 •8 = 384 puntos

Los números ubicados entre paréntesis er. los pasos 4o, 5o y 6o, representan el NPI máj¡ entre unafigura de cada clase ,para lo cual hemos recurrido al item 1.10. De este modo se tendrá q u e :

N = 28 + 56 + 168 + 128 + 128 + 384

= 8 (8 - 1 ) = 5 6 puntos

NPlmáx = 3 -8 (8 -1 ) = 168 puntos

(2) • 8 •8 = 128 puntos

(2) • 8 •8 = 128 puntos

Finalmente sumamos las cantidades parciales : NPI . = 892max

19.- Calcu lar la N.P.I. m áxim o entr e 10 cu adrilátero s co nv exos s ecantes, 12 hexág on ossecantes y 6 circ unf erencias secantes.

Resolución.-

I ° Por la relación 1.4 pa ra los cuadrilá teros :

2o Por la relación 1.3 para los hexágonos :

3o Por la relación 1.2 para las circunferencias :

4o Intersectando los cuadrados y los hex ágon os :

5o Intersectando los cuadrados y las circunfe rencias:

6o Intersectando los hexágonos y las circunferencias (12)- 12 -6 = 864

Finalmente : NPI , = 3486max

NPI = 4.1 0(10-1 ) =360

NPI = 6.12 (12-1) = 792

NPI = G(6 -1) = 30

(8)-10-12 = 960

(8) 10-6 = 480

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NPI = 8 - 5(5 - 1 ) = 160

NPI = 2 6(6 - 1 ) = 60

NPI = 7 (7- ,)1 2 = 21

NPI = (8) ■5 ■6 ==240

NPI = (4) •5■ 7 ==140

NPI = (2) - 6 7 ==84

NPI . = 705máx

20.- Calcular la N.P.I. máxi mo en tre 5 cuadrilátero s n o co nv exos s ecantes, 6 elipses scantes y 7 rectas secantes.

Resolución.-

Io Intersectando los 5 cuadriláteros :

2o Intersectando las 6 elipses :

3o Intersectando las 7 rectas secantes :

4o Intersectando los cuadriláteros con las elipses :

5o Intersectando los cuadriláteros con las rectas :

6o Intersectando las elipses con las rec ta s:

21.- En un mism o plano, un n úmero igual de rectas s ecantes y circ unferencias secantese intersectan determinando un N.P.I. máximo igual a 117. Calcular el número dfiguras geom étricas que s e intersectan.

Resolución.-

Sea x el número de rectas, ento ncesx también será núm ero de circunferencias. Para obteneel NPIniij,entre ellas se deberán hacer 3 tipos de intesecciones :

Io Entre lasx rectas: N Pl= X ^* ^

2o Entre las jr circunferencias : NPI = x (x -1)

3o Entre lasx rectas y x circunferencias : NPI= (2) (jr) (x) = 2x2

Luego por condición : ^---- + x (x - 1) + 2x* =117

OEfectuando operaciones : x(x-1) + 2X2 =117

Despejando se obtiene : 7x2- 3x - 234 = 0

7x n. *f+3S 1 x X - 6 j =* (7* + 39)(* " 6) = °

x = 6

Finalmente el número de figuras geométricas será : 2(6) = 12

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22.- Se dan "m" r ectas co planares d e las cu ales "n" son paralelas. Calc ular NPImáx que pueden pro du cir al intersectarse estas rectas.

Resoluclón.-

Si n rectas son paralelas, entonces (m - n ) serán secan tes luego nuestro problema se reduce acalcular el NPImáji que producen n rectas paralelas y k n -n ) rectas secantes.

Io La intersección de las paralelas pro duce: NPI = 0

2o La intersección de las rectas secan te s: NPI = ^ —n ^

3o La intersección ae las rectas paralelas y las secantes : NPI = (1) (n) (m - rí)

(m - n ) ( m - n - 1) , .Finalmente : NPI . = ------------- »--------- + n ( m - n )

max 2

Npi = ' nlSJL _± J2máx 2

23.- Calcu lare! N.P.I. máximo en tre "n" c ircunferencias co ncéntricas y "n" rectas secantes de las cuales “m" pasan po r el centro d e las circun ferencias.

Rpsolucion.-

Es fácil reconoce r que s im iecta¿> son concurrentes en tonces de lasn rectas secantes dadas .existen (n-m ) rectas que son secantes perono concurrentes. Para ello el gráfico adjunto nos da una idea de lasintersecciones establecidas A continuación estab leceremos 6 tiposde intersecciones entre estas figuras :

1° Entre las n circu nferencias: NPI = 0

2o Entre las m rectas concurrentes (R.C) : NPI = 1

3o Entre las (n - m ) rectas no conc urren tes : NPI = ———^

4CEntre las n circunferencias y m R.C: NPI =

5° Entre las n circunferencias y ( n - m } rectas: NPI = (2).n (n - rri)

6o Entre la s m P C y ( n -m ) rectas : NPI = (1 ).m (n - rri)

Luego : NPImáx = 1 + ~ ———— + 2 mn + 2 n(_n - m) + m ( n -m )

NPI f r i - l ) - m ( m - l )máx 2

( n - m - 1)

24.- Si a un conju nto de rectas secantes se le agregase u na cantid ad igu al de rectas, s u número m áximo d e puntos de intersec ción aumentará en 330. Calcular el número de rectas d el conjunto.

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Resolución.-

Sea "n" el número de rectas dado; si a éste le agregamos la misma cantidad, es decir "n"entonces por condición del problema se tendrá que :

2n rectas n rectas

M f j Z o = + 330

Efectuando operaciones : 3n2 - n - 660 = 0

V 15 1 => (n-15)(3n +44) = 03 n / X + 4 4 J

En consecuenc ia el número de rectas se rá : n = 15

25.- Determin ar el NPImit¡ entre m rectas secantes s i k de ellas s on co ncu rrentes.

Resolución.-

Se trata de calcular el NPI . entre (m - k ) rectas secantes y k rectas concurrentes.max v J J

Io Entre las k rectas concurrentes (R.C .): NPI = 1

2o Entre las (m - k) rectas sec antes : NPI = ^ ^ —- ——

3o Entre las 'k" R.C. y ( m - k ) rectas secantes : NPI =(1) k (m - k) = k (m - k)

Luego : NPI ^

^ —- ——+ k ( m - k )

í m - k ) C m + k - l }max 2

26.- Calcular el mínimo núm ero de pu nto s de intersección entr e "n" rectas secantes “n" circunferencias secantes.

ReíQlycion.-

Para ob tener el NPImln, debem os hac er que las "n" circunferencias

se intersecten en los mismos puntos, los que como sabemosserán como mínimo dos. Sean estos puntos A y B,ahora dichos puntos serán a su vez pertenecientes a una de lasn rectas dadasy si la condicion es que el número de puntos de intersección seael mínimo posible , entonces las (n - 1 ) rectas restantes las haremos pasar por uno de dichos punto s, por ejemplo A , tal como seindica en el gráfico adjunto. Luego los puntos de intersecciónestarían distribuidos a s í:

Io n circunferencia : NPI = 2t

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2o n re ctas : NPI = 1 (A)

3o n circunferencias y n re cta s: NPI = (1) (n -1 ) n

NPU . = " (n - 1) + 2

27.- Hallar el máximo núm ero de punto s de cor te en la f igura m ostrada. Si hay "n " circuí ;■ferencias concéntricas y otras "n" circu nferencias m enores form ando un a argolla.

Resoluclón.-

1° El número de puntos de corte entre las “n" circunferencias que forman la argolla se obtiene as í :

2o Una circunferencia de la argolla corta en dos puntos en a una de las concéntricas.Entonces “n ” circunferencias de la argolla cortan a las “n ” concéntricas en :

NPI = 2Ji .n = 2 n2

Luego : NPImáx = 2 n + 2 n2

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36 Problemas de Geometría y cómo resolverlos Ernesto Gkiispe R

P«OBL€MAS PR0PU6ST0S

1.- Hallar el máximo númeiu de puntos de intersección para 2 triángulos, 6 circunferencias y10 rectas si conocemos que todas las figuras

tienen 1 pi.nto común.A) 139 B) 143 C) 156 D)161 E)179

2.- Hallar el máximo número de puntos de intersección de 10 cuadriláteros convexos secantes y 20 circunferencias que no se intersectanentre si.

A) 1960 B) 1940 C) 1950

D) 1830 E) 1770

3.- Se tiene "n" triángulos y n cuadriláterosconvexos Si al máximo número de puntos deintersección de los triángulos se aumenta elnúmero total de los lados de los triángulos,más el máximo numero de puntos de intersección de los cuadriláteros, más el número totalde los ángulos de los cuadriláteros se obtiene1008. Hallar "n".

A) 12 B) 18 Q 24 D)36 E)48

4.- ¿Con cuántos triángulos deben intersectar-se 8 circunferencias para que el máximo número de intersección te a 806?

A) 10 B)20 C)30 D)40 E)50

5.- Calcular el máximo número de puntos deínlerseccióii de 10 triángulos con 6 circunferencias secantes.

A) 900 B)930 C)940 D)960 E)980

6.- Calcular el máximo número de puntos deintersección de 100 circunferencias con 100cuadriláteros como se muestra en la figura.

A) 80198 B) 80140 C) 70130

7.- Calcular el máximo número de puntos deintersección de .8 rectas secantes con 11 paralelas y con 6 circunferencias secantes.

A) 370 B)371 C)372 D)373 E)374

8.- Si el máximo número de puntos de intersección de "N" polígonos de 5 lado:; más el número de vértices es 500. Calcular N.

A) 5 B) 10 Q 12 D) 18 E)30

9.- Calcular el número total de puntos de intersección de 100 circunferencias con 100 cuadriláteros tal como los mostramos.

A) 746 B)750 C)784 D)794 E)840

10.- Cuántas rectas se intersectan sabiendoque si se quitan 4. el número de puntos disminuye en 54.

A) 15 B) 20 C)25 D) 30 F

11.- Hallar el máximo número de puntos de intersección entre 5 elipses y 11 cuadriláterosno convexos.

A) 1360 B )1260 C)1460

D)1560 E)960

12.- Si a un conjunto de rectas secantes, se leagreda una cantidad igual de rectas, su número máximo de puntos de intersección aum en

taría en 330 Calcular cuántas rectas tiene elconjunto.

A) 10 B)25 C) 15 D) 12 E)18

13.- Calcular el máximo número de puntos deintersección de 10 rectas paralelas, 12 rectassecantes y 16 circunferencias.

A )1130 B)3006 C )1240

D) 90170 E)8030 D) 1314 E) 10 17

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Luis Ubaldo C Número de Puntos de Intersección (N.P.I.) 37

14.- Se tienen "n" circunferencias secantes.Si se quitan 2 circunferencias, el número máximo de puntos de intersección disminuye en30. Hallar«.

A) 9 B) 8 C)6 D) 10 E)12

15.- Calcular el máximo número de puntos deintersección que producen 2 polígonos convexos: Uno de 2 y otro de 2 lados (n > 1)

A) 2n+1 B)2n"‘ C )2 n" D)2n+2 E,22+n

16.- En un plano se dibujan ¡f" elipser. secantes y 2k cuadniáteros cóncavos secantes. Siel máximo número de puntos de intersecciónes 182í Hallar A'.

A) 4 B)6 C)9 D)5 E)8

17.- En un plano el máximo número de puntosde intersección entre n elipces secantes, n triángulos secantes, y n cuadriláteros secartes es 339n. Hallar«.

A) 12 B) 14 C) 16 D) 18 E)26

18.- Si a un conjunto de "n" recias secantesse le quita 4 rectas, su máximo número de punto? de intersección disminuirá en 90, pero sise agregan 4 rectas al conjunto el máximo nú

mero de puntos de intersección aumentaría en:A) 90 B)96 Q 100 D)106 E)108

19.- En un plano se dibujan "n" rectas secantes, si el máximo número de puntos de intersección que determinaron (n - 4) rectas secantes es 6«. Hallar el máximo número de puntosde intersección entre n triángulos secantes.

A) 2 960 B) 1960 0 3 9 6 0

D;3660 E) 1140

20 - Hallar el máximo número de puntos de intersección entre "n" circunferencias, "2n" rectas secantes, y "n" triángulos al intersectarsetodas esta figuras entre si.

A)5n (4n - 1) B)4n (5/2- l) C)5n(4n + 1)

D) 4« (5/2+ 1) E) n (6/2 + 2)

21.- Calcular el N.P.I. máx entre 10 rectas secantes, 10 circunferencias secantes y lOelipcessecantes.

A )100 B )1005 C )1015

D )1115 E) 1111

22.- El N PI. entre 8 triángulos secantes y n cuadriláteros no convexos secantes, incluyendo los vértices es 560. Hallar n.

A )4 B)6 C)8 D) 10 E)12

23 - Detemr'nese el máximo número de circunferencias que se pueden forman con 10 puntos coplanares, donde no hay 3 alineados.

A) 90 B) 100 Q 110 D; 120 E)130

24.- Calcular cuántos pentágonos convexosse pueden determinar con 10 puntos, dondeno hay 3 alineados.

A) 152 B) 176 C)202 D)222 E)211

25.- ¿En cuántas partes queda dividido el plano por 20 rectas secantes donde no hay 3 rectas concurrentes?

A) 200 B)201 C)209 D)210 E)211

26.- Calcular el N.P.I. máx entre 12 rectascoplanares de las cuales son paralelas.

A) 50 B)51 C)52 D)53 E)54

27.- Calcular el N.P.I.Ináx entre 20 circunferencias concéntricas y 20 rectas secantes de lascuales 10 pasan por el centro de la circunferencia.

A) 946 B)947 C)948 D)949 E)950

28.- Hallar el N.P.I. máx entre 15 rectas secantes si 8 de ellas son concurrentes.

A) 74 B)75 C)76 D)77 E)78

29.- Calcular el N.P.I. mín de 7 rectas secantesy 8 circunferencias secantes.

A) 43 B)44 C)45 D)46 E)47

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38 Problemas de Geometría y cómo resolverlos Ernesto Qu!spe

30.- Del gráfico adjunto calcular el número de puntos de intersección si hay 30 triángulos y15 cuadrados.

A) 146 B) 147 C) 148 D)149 E)150

31.- Calcular el máximo número de circunferencias que pueden determinar 20 reatas secantes, donde no hay 3concurrentes

A) 1140 B) 1260 C) 1310

D) 410 E) 1520

32.- Si a un grupo de rectas secantes se le

agregan "k" entonces el N.P.I. máx aumentaraen "A" si a este mismo grupo se le disminuye"k" rectas secantes, entonces el N.P.I. disminuye en "D". Calcu lar: A - D

A ) k + 1 B ) k ( k - l ) C) — 2+ -1*

Dj*2-1 E)*2

33.- Hallar el N.P.I. máx entre "n" rectas secan

tes, ^ rectas concurrentes y y recias pai alelas.

A ) | ( 3 n - I ) + 1 D ) ^ ( 5 / i - l ) + l

B ) ¿ ( 2n+ 1) + 1 E ) (5n + 1) + 1

C ) | ( n + l) + 2

34.- Calcular el N .P .I .^ entre 3 rectas secan

tes, 3 circunferencias secantes, 3 triángulossecantes, 3 elipces secantes y 3 cuadriláterosno convexos secantes.

A) 527 B)537 C)547 D)557 Ep 67

35.-SÍ elN P.I. máx entrek polígonos de (k + 2) lados y (k + 2) polígonos de k lados cada unoes 8064 puntos Calcular k

36.- Se toman "ni" puntos sobre una circunfrencia y "k” puntos sobre otra circunferencinterior a la primera. Si el máximo número rectas determinadas al unir todos los punttomados es 4(m + k). Calcular el número tode triángulos que se podrán forman con dchos puntos.

A, 97 B)84 C)80 D)70 E)6

37.- En un mismo plano circunferencias y triágulos se están intersectando, se sabe que NPI máx disminuye en 96 s«i se retiran a la vezde éstas figuras de las cuales 3 no s polígonos y se sabe además que si se alimetan igual cantidad de figuras retiradas de cuales 3 no son circunferencias entonces N.P.I. máx aumenta en 234, calcular el N.P.I. m

A) 99 B) 102 C)122 D)130 E)1338.- Hallar el N.P.I. que existen en la figuadjunta asumiendo que hay n pentágonos ycircunferencias concéntricas.

A) 2n(n - 1)

B )n(n + 1)

C) 2n(n + 1 )

D) 3n(n+ 1)

E)4n(n +1)

39 - Calcular el máximo número de puntosintersección de 10 rectas secantes, 15 paralas y 20 circunferencias secantes.

A) 1675 B )1775 C )1875

D) 1975 E )1575

40,- En la siguiente figura se tienen "n" cudriláteros, "n" circunferencias y "n" rec paralelas, si el numero total de puntos de tersección es (61/2 + 9). Hallar«

/ V W W T V ^| o Mi o n o ■ r > i

A) 6 B) 8 C)10 D) 12 E)14 A) 40 B)30 C)20 D)15 E)1

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2.1 UNEARECT¿*

B

2.1 A) NOTACION :

AB ; se lee "rerta AB ", ó ,L

que se lee "rectaL"

2.1B) CARACTERISTICAS :

- Dos puntos determ inan una recta .

- Toda recta contiene infinitos puntos .

- Una recta es ilimitada en extensión .

- Todos los puntos de una recta siguen una mism a dirección.

2.1 RATOPorción de línea recta limitada en un extremo e ilimitada por el otro.

O Ao o ^

2.2A) NOTACIÓN : —>OA; se lee "rayo OA”

2.2B) CARACTERÍSTICAS :

- Se origina a partir de un punto (O) llamado origen.

- Es limitada en extensión

- Todos sus puntos siguen una misma dirección.

OBSERVACIÓN :

La figura formada por todos los puntos del rayo OA sin el punto "O" se llama semirecta OA y se —>

denota así OA.

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2.3 SEGMENTO D E RECTA

Porción de línea recta limitada por ambos extremos.

A BO— ....... - ■. - —r

2.3A) NOTACIÓN :

AB, se lee "segmento de recta AB ”.

2.3B) CARACTERÍSTICAS :

- Es una porción limitada de una recta.

- Los extremos de AB son los puntos A y B .

- La medida de AB es un núm ero real y positivo representado a s í : m AB ó AB .

2 .4 U I'L íK A t’J 1 »JVt S»CUTW SL UMJtiI> T U S C O L J N ^ M jEL

Ubiquemos en una recta 3 puntos A, B y C en forma consecutiva . determinándosentonces 2 segmentos consecutivos AB y BC, con lo cual quedan estab lecidos tres segmetos : AB, BC y AC, tal como se muestra en la Figura. Si a continuación utilizamos las medidde cada uno de estos segm entos , se podrán establecer las siguientes relaciones :

a) ADICIÓN : AC =* AB = BC => x = a + b ... (*)

D) SUSTRACCIÓN: A B = A C - B C => a = x - b

BC = AC - AB =» b = x - a

Donde : AC = x , AB = a a BC = b

Observaciones:

a) Si en una recta se consideran "n" puntos consecutivos, el número de segmentos (N) quedan determinados por dichos puntos, est á dado por la siguiente relación :

N = (2 .1)

b) La relación de Adición se puede generalizar a s í : Tomemos "n" puntos consecutivos A,, A j Ap en una misma recta, entonces se verificará la siguiente relación :

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Luis Ubaldo C Segmentos de Recta

A este resaltado se conoce com o la "recia de la cadena" ó el Teorema de Charles . Debemnotar que los segmentos considerados son consecutivos

ACc) Se establece que B es el punto medio de AC, Si y solo si : AB = BC = . (2.3

Cu a t Ek j v a a k j v í ÓISi iCA4o-

2o 3o

A B C D

Los puntos colineales y consecutivos A, B, C y D forman una cuate rna armónica si y sosi se cu m ple :

AB AD /-o 4-»BC CD

Observación:

Si consideramos los segm entos determinados (en el gráfico mostrado) de izquierda a derechentonces AB es el 1ro ; BC el 2do, CD el 3ro y AD el 4*° , luego la relación anterior se podexpresar también co m o:

2° ~ 30 ... (2.5)

Z S PROPIEDADES jOE L A CUATERNA ARMÓNICA

Sabiendo aue A, B, C y D forman una cuaterna armónica se cum plen las siguientes propdades :

B

a) AB > BC

2 1 1 b) Relación de Desc artes :

c) Relación do Newton . Si "O" es el punto medio de AC en ton ces :

(OC)2 = OB. OD

d) Silos segmento determinados por la cuaterna armónica verifica la siguiente relación :

AD . .gQ n ydonde n ^ u n+1AC ~ AB ' ADn + 1

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42 Problemas de Geometría y como resolverlos Ernesto Quispe R

z ' i m ic c ió n A u r e a d e u n s e g m e n t o

El segmento AP del gráfico adjunto se dice que es la secc ión áurea del segm ento AB, sy sólo sí se verifican las siguientes re lac ion es :

- AP> PB

- (AP)2 = AB . PB

B

2A PROPIEDADES DE LA SECCIÓN AUREA

Siendo AP la sección áu rea d e AB, se cumplen las siguientes propiedades :

'I un ABa) AP >

b) AB = AP

c) AP = AB

(J 5 + 1)2

(V5-1)

d) PB , es la sección áurea de AP

(>/5+l)e) AP = PB

0 Número Áureo : V5+1

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Luis Ubaldo C. Segmentos de Recta 43

1.-Sobre una línea recta se consideran los pun tos col ineales y con secutivos A, B, C, y D; taque AC =1 9 y BD = 23. Hallar la lot ig i tud d el segm ento que une los pu ntos medios de

A B y C D . P

Resolución.-

O O ;i i |

Primero ubicam os los puntos dados sobre la línea rec- ¡ 19ta, luego los datos en el mismo gráfico y lo qu e nos A M B piden para tener mayor visualidad. m — i— »—

Así, en el gráfico, sr pide hal lar: MN = a + b + c ... (a)

Datos: 2a + c = 19 ... (1)

También: 2b + c = 23 ... (2J

Sumando (1) y (2 j : 2a + 2b + 2c = 42 => a + b + c = 21Luepo reemplazando en ( a ) : MN = 21 u

N —(-

23

2 - Sobre una línea recte se consideran los pantos col ineales y cons ecutivos A, B C y D

siendo C pun to medio de BD ; y A D = 12. Hall ar CD.

Resolución

CB 2Por condición ^ = — esto se puede descomponer a sí : CB = 2x y CA = 3x

Entonces AB = x, todo esto colocamos en elgráfico luego observamos que :

x + 2x + 2x = 12

Ahora: 5x = 12 =»

2x

C —

Como: CD = 2x

x = 2,4

CD = 4,8

12

D- t— 2x

3.- Sobre una l ínea recta se toman los punto s col ineales M ,N ,P y Q ; 1uege los pun tos A y

B puntos medios de MP y NQ respectivamente, s i : MN = 5 y PQ =11. Hal lar AB.

Resolucion.-

Del gráfico: jf = o + l l - í » ...(1)

... (2)

Sumando (1) y (2) :

Ahora :

x = a + 11 -b

x = 5 + b -a

2x= 5 + 11

2 x = 16

x = 8

M

A —T-

11

B

N P-x —

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4.- Sobre una línea recta se consideran los punto s co l ineales y con secut ivos A, B, C ytal qu e :

AC + 2 DC + B D = 28 y A B = DC. Hal lar AD.

Resolución.-

Por dato : AC + 2 DC . + BD = 28, nos piden hallar AD

Según la condición del problem a colocamos en el gráfico letras minúsculas, luego reemplazmos en el dato:

o

(a + n ) + 2 (q) + (n + a) —28 ^-<—•—

Sumando: 4a + 2n = 28 -J—

Simplificando: 2a + n = 14

Luego : AD = 2a + n = 14

AD = 14

5 .-Sobre una línea recta se consideran los pu ntos colineales y consecutivos A, B y C, tal qu e

^ § = f y 2 AB + 3 BC = A C + 96. Hallar AB.

Resolución.-

Si ^ ^ = a este pu ede ser : AB = 2a y BC = 3a ^ ® ^

Colocamos estos valores en el gráfico. 2a ¡ 3a

Luego en el dato reem plazamos : 2 (2a) + 3 (3a) = (2a + 3a) + 96Efectuando : 13a = 5a + 96

Donde : 8a = 96 => a = 12

En con sec uenc ia: Alt = 24

6.- Sj b r e una línea recta se cons ideran los pun tos colin eales y co ns ecutiv os A, B, C, D

y F. Hallar AF, s i : DE = AB ; A D = | A F y A C + BD + CE + D F = 35.

Resolución.-Dato: AC + BD + CE + DF 35

o a c A B C D E FCondición: AB = DE y AD ■= ~ * * * *

Se pide hallar AF, el dato agrupamos convenien tem ente :

(AC + CE) = (BD + DF) = 35 ; AC + CE = AE y BD + CE = AE y BD + DF = BF

También : AE = AD + DE (Ver gráfico)

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Luis Ubaldo C Segmentos de Recta 45

Entonces : (AD + DE) + BF = 35i

Pero : DE = AB

Luego : AD + AB + BF = 35J.

Reemplazando: ^ AF + AF = 35

Efectuando ÂF = 35

AF = 25

7.- Sobre una línea recta se con sid eran los p un tos con secu tivo s A, B, C, D, E tal que Fsea punto m edio de ÁB y H punto medio de D E. Si : AB = BC, CD - DE y AB + DE = 40Hallar FH.

Resolución.-' q j a i 2a 1 2b i b ! ¿>J_

Dato: AB + DE = 40, nos piden hallar FH ”l I i I ! „F H

Del gráfico en el d a to : 2a + 25 = 40 — ■)— * --------- 1 * H— *A B C D E

=> a + b = 20

Luego : FH = a + 2a + 2b + b

Entonces : FH = 3 ( a + 5)

^~2u

FH = 60

8.- A, B, C y D son p untos col ineales y consecut ivos. SI M es el punto m edio de A D, y severifica que : AB + CD = 10 m y BM - MC = 2m; calc ular CD.

Res plucion.

B M C D-o o í -----------U JC---

Por dato del pro ble m a: AM = MD => AB + BM = M C + x ... (1)Por dato, podem os deducir que : AB = 10 - CD =* AB = 10 - x ... (2)

Reemplazando (2) en (1) y transponiendo MC al primer miem bro: 10 -x + BM- MC = x

Sustituyendo lo indicado por el dato, tendremos : 10 + 2 = 2x

Efectuando, obtenemos : x = 6m

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9.- Sobre un recta se tom an los pu nto s co ns ecutivo s A, B, C, luego se toman los pu ntomedios M y N de AB y MC respectivamente. Hallar MB + NC en fun ción de AN.

Resolución.-

Sea:

Del gráfico:Luego :

Donde :

Pero:

k = AB + NC - AM

AB = 2a ; NC = b y AM = ak = 2 a + b - a = a + b

k = a + b

AN = a + b A —V—

k = AN

M-v-

!>*■ a o-

B-v-

N

10. -A ,B y C son puntos co l ineales y consecut ivos. Sobre AB se ub ican los puntos P y Q

y sobre BC se ubica el punto medio M de modo qu e :A P=B M, QB = - ■ , A B = 7 y PC = Hallar: OP.

ResoluHv/n.-

2a 2a 2a

B M

Hacemos:

Además :

Del grá fico:

De otro lado:

Reemplazando:

Luego

QB = a

PQ =jr

AC = 2a + 8 = 7 + 4a

AB = AP h PQ + QB

7 = 2a + x + a

BM = MC = AP = 2a

a =

x = 5 5

11.- Dado los pu nto s c olineales y c ons ecuti vos P, A, B, C y D tal q u e : 7PD = 5PC + 2PB,

5AC + 2AB = 14; calc u lar: AD.

Resolución.-

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Inculcaremos nuestra resolución con la ex pr es ión: 7PD = 5PC + 2PB

Y del gráfico: 7 (PA + AD) = 5 (PA + AC) + 2 (PA + ABj

Efectuando las operaciones in dicad as: 7AD = 5 AC + 2AB ...(*)

Pero por condición se sabe que : 5AC + 2AB = 14

Reemplazando en (*) : 7AD = 14AD = 2

12.- Sobre una semirecta O X, s e tom an los pu ntos A, B y C consecutivam ente•, de modoque los puntos A y B d isten d el origen 0 : a y b metros respectivamente. Hallar llongitu d de OC, s i : 2 (AC + B C) = 3 AB.

Resolución.-

Hagam os: OC = x

En el dato : 2 (5 - a + x - b + x - ti) = 3 (b - a)

Luego : i x -2a -2b —3b -3a

En consecu encia: Ax = 5b - a

5 b - ax = — .—

-=H

O A B C j— o >j< b - a - * r * - x - b ^ i

!■* b »i

13.- En una recta se consid eran los pu nto s co nsecu tivos A, B, P y C de mo do que P es e

punto medio se BC. Si (A B f + ( A c f = 40. Hal lar (A P f + (B P f .

Resoluclón.-

Hacem os: AB = 2b y AC = 2aI—26-4- — a - b — -+-— a - b — H

Luego: BP = PC = a - b A ___ B __________ P ________

Por dato del prob lem a: AB2 + AC2 = 40

Reemplazando: 4b? + 4a 2 = 40 =» a2 + b2 = 10

Nos piden : AP2 + BP2 = (a + ti)2 + (a - ti)2AP2 + BP2 = a2 + b2 + 2ab + a2 +b2 - 2ab

Finalmente : AP2 + BP2 = 2 (a 2 + b 2 )10

AP2 + BP2 = 20

2a

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14.-En una línea recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, Dd e m odo que AB + CD =2

Calcular la medida del segmento cuy os extremos son los pun tos medios de AC y B

Resolución.-

Sean P y Q los puntos medios de AC y BD.

Luego: AP = PC = o a BQ = QD = b h 5----- b -------------- b — H

Del d a to : AB + CD = 20 ... (a ) A B h _X _11 C D

Q- c i -

Pero : AB = a - BP = a - (b -x )

CD = o - QC = b - ( a - x)

Sustituyendo en ( a ) : a b + x + b - a + x = 20

Donde : 2x = 20

x = 10

15.- Sobre una línea recta se ub ican lo s pu nto s c olin eales y con secuti vo s A, B, C, D, E ySi A C + BD + CE + DF = 9 1 y B E = 5/8 AF. Hal lar AF.

Resolución. -

Del dato : AC + BD + CE + DF = 91

Pero: DF = DE + EF

Entonces : AC + BD + CE + DE + EF

Luego: (AC + CE + EF) + (BD + DE) = 91B C D

AF BE

AF + BE = 91

Y aque : BE = | a F8

Se tiene : AF + ^ AF = 91

lÂFEn co nsecue nc ia: gg- =9 1 =» 13AF = 91(8)

AF= 56

1 6 A, B, C, D y E son pun tos có lmeles y consecut ivos. Si AE = 5 BD, AD = 5 CD y DE =Hal lar : BC.

Resolución.-

Hacemos : BD = o y CD = b =» AE = 5a a AD = 5b

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Del gráfico ob tenem os : k s -------------------------5a -

K a —x = a -b ( 1 )

También : 5 - 5a-5b .... (2)

De (2) : 1 = a - b - (3)

De (1) y (3) : x = 1

A B C D E

—b — H

-K --------

5b----------------

SH

17.- Sobre una línea ~cta se cons ideran los pu nt os con secu tivo s A, B, C y D. Si M es

punto medio de AD ; s i AB + CD =1 0 y BM - MC = 2. Hal lar CD .

Resolución.-

Si: AB = o , MC = b y C D = x q + b + 2 b x

Por da to : a + x = 10 ¡ M |

Despejando: a = 10 -x ...( 1) B *”

También : BM = 2 + MC => BM = 2 + b a b + 2 b

Luego: AM = MD => a + b + 2 = b + x

Siniplificando: a = x - 2 ... (2)

De (1) y (2): * - 2 = 1 0 - * => 2* =12

x = 6 u

18.- Sobre una l ínea recta se consideran los pun tos c ol ineales y consecut ivos A ,B ,C y D ta l que : A B . CD = A D . BC

Si además: AB + AD = 2 A B . AD

Hal lar ■ A C

Resolución.-

Dado el siguiente esqu em a :B

Nos dicen q u e : AB CD = AD . BC ... (1)

Asimismo se sabe que : AR -y AD = 2 . AB . AD ., 12)

no fo'i - AB AD _ „ _ L . 1 _ 9( ) ' AB.AD AB.AD AB AD

Del gráfico : BC = AC - AB

CD = AD- AC

Reemplazando en (1) : AB (AD - AC) = AD (AC - AB)

Efectuando : AB . AD - AB . AC = AD . AC - AB . AD

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Luego : 2 . AB . AD = AC (AB + AD)

2 1 1En consecuencia : —— = —— + ——

AC AB AD2

Com parando: = 2AC

AC = 1

19.- Sobre una línea recta se consideran los p un tos con secutivo s A, B, C, D, E y FBE

sabiendo q u e: AB = EF= — . Hallar BE, si además : A C + BC + CE + DF =24 .

Resolución.-

A B C D E F 0--------o--------- o---------o---------o-------o--

Dalo: AC + BD + CE + DF = 24

BECondición : AB = EF = —

Del dato : AC + CE + BD + DF = 24

Se escribe com o : AB + BE + BE + EF =24

Agrupando: AB + 2 . BE + EF = 24

Reemplazando: ^ + 2 . BE + = 24O ó

Efectuando : 2 BE + 6 BE = 3 . 24

Luego : 8 . BE = 3 . 8.3

BE = 9

20.- Sobre una línea recta se consid eran los pun tos co nsecu tivos A, B, C y D ; siendo " Mpunto medio de B D ; A B . CD = A D . BC y 9 (AD - BM) = 2 . A D. AB. Hal lar AC.

Resolución.-

Dato: 9 (AD - BM) = 2 . AD . ABBD/2 BD/2

Condición: AB . CD = AD . BC !-----------------!-------------M

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Luis U ta ld c C. Segmentos de Recta 5

En el paréntesis : 9 (2 . AD - BD) = 4 . AD . AB ; BD = AD - AB

Reemplazando: 9 (2 . AD - AD + AB) = 4 . AD . AB

n a . AB AB _ 4G: AD.AB AD.AB “ 9

Simplificando: ^ ^

AB ADPero si los puntos A, B, C y D son armónicos entonces resulta la proporción armónica delos cual se obtiene la relación siguiente :

1 + _ L _AB AD " AC

A esto se le llama Relación de Descartes, en honor al geóm etra Francés René Descartes.

4 2En consecuencia obtenemos por comparación — =

AC = 4,5

21.- Sobre una línea recta se con sideran los pun tns c olin eales y cons ecutivos A, B, M y Ctal que M es pu nto medi o de BC. Siend o: A M2 + BM2 =1 7. Hallar AB 2 + A C2.

Resolución.-

Dato: AM2 + BM2 = 17 •<- ? ------ - ----------? >M

Nos piden h allar. AB2 + AC2 = ? ' AC-AB ' AC-AB

Donde: AM = AB + BM 2 2

Del gráfico reemplazamos en el datu : £ AB + ^ g ^ B] + 2 = 17

Resolviendo (AB + AC) + (AC—AB) - \ - j sabem os que : (AC-AB)2 = (AB- AC)24

Luego : (AB + AC)2+ (AB - AC)2 = 68

Efectuando: 2AB2 + 2AC2 = 68

AB2 + AC2 = 34

22.- Sobre una I ea recta se consideran los pun tos con secut ivos P, A, B ,C y D; tal qu e

7 PC = 2 PD + 5 PB y 2 A D + 5 AB = 7

Hallar AC.

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>-

Resolución.-

Datos: 7 . PC = 2 . PD + 5 . PB ...(1 )

2 . AD + 5 . AB = 7 ... (2)

Nos piden hallar AC.

Del gráfico : AD = PD - PA < A B C D

También : AB = PB - PA

Reemplazando en (2): 2 (PD - PA) + 5 (PB - PA) = 7

Multiplicando: 2 . PD - 2 . PA + 5 . PB - 5 . PA = 7

Luego : 2 . PD + 5 . PB = 7 + 7 . PA ... (3)

Reemplazando (1) en (3) : 7 . PC = 7 + 7 . PA

Simplificando: PC = PA + 1 => PC - PA = 1

Pero : AC = PC - PA

AC = 1

23.- Sobre u na línea recta ¿>e cons ideran los puntos co l ineales y consecut ivos A , B ,C

D; t al que A B .CD = BC . AD. Hal la r A C , S i : § § ~ r = 4.

Resolución.-

Dato: BC. CD = 4 (CD - BC) ... (1)

Condición: AB . CD = BC. AD

Nos piden hallar AC.

Del gráfico : AB = AC - BC

AD = AC + CD

Reemplazando en la condic ión: CD (AC - BC) = BC (AC + CD)

Multiplicando: CD . AC - CD . BC = BC . AC + BC . CD

Donde : AC (CD - BC) = 2 . BC . CD

A B C D• • -•— • > -

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24.- Sobre una línea recta se co nsid eran los punt os coli neaies y c on sec uti vo s: A, B, C, D, Ey F, tal q ue :

A C + BD + CE + DF = 40 y 5 B E = 3 A F . Hal lar AF.

Resolución.-

Dato! AC + BD + (LE + DF = 40

Condición: 5.B E = 3.A F A B C D E F

Se escribe co m o : BE = | . AF

Del dato : (AC + CE) + (BD + DF) = 40 ; AC + CE = AE y BD + DF = BF

También : AE = AB + BE (Ver gráfico)

Entonces : AB + BE + BF = 40

Agrupando : + (AB + BF) = 40

iA5Reemplazando : + AF = 40

Efectuando : — = 40

AF = 25

25.- Dado el segmento AB y un punt o M, interior a el. Demos trar que si el produc to AM. MB, es máximo entonces M es el pun to medio de AB .

Resolución.-Dato : AB = a y AM =x, luego bastarádemostrar q u e :

M B

Sea : k = AM . MB ; pero : AM = x y MB = a - x

Luego k = x (a - x) = - (x2 - ax ) => k = ~

Q¿ QObservamos que com o es constan te el valor de k depende de x - y para que éste seamáximo enton ces :

x - f = 0

l.q q.d

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26.- Sobre una l ínea recta se consideran los pun tos co rneales y c onsecutivos A, B ,C ,D

E; tal que :A C = BD; B C = i DE y j , AB + LE = 36. Hal lar AE.

Resolución.-

Luego de hacer el gráfico, según las condiciones del problema, reemplazamos sus valoresegún en el dato :

| (a - b) + 3b = 36-+ a f-

Efectuando: 3a - 3b + 66 = 72A B C D E

■l-Donde : 3 (a + 6) = 72 H——— j - -f-¡—I------ r —i —o*r a - b \ b a - b 3o

En conse cue nc ia: a + b = 24 -♦------a ------ ^

Luego : AE = a + a - b + 3b =» AE = 2 (a + b)

AE = 48

27. Sobre una l ínea recta se consideran los pu nto s col ineales y consecutivos A, B , C y

tal que A B . CD = n . B C . AD ; además se cu m ple : ~ ^ Hallar n.

Resolución.-

Condición: AB . CD = n . BC . AD .. .(1)

Nos piden "n" en: ^ ^ ¿ ...(2) A B

Del grá fico: CD = AD - AC y BC = AC - AB

Reemplazando en (1) : AB (AD - AC) = n (AC - AB) . AD

Multiplicando: AB . AD - AB . AC = n . AC . AD - n . AB . AD

Factorizando: AB . AD (1 + n ) = AC (n . AD + AB)

Lueeo • -1- +- n = n . AD . + AB _ es° ‘ AC AB . AD AB . AD

Y simplificando de esto resulta : ... (3)

De (2) y (3):7 1+ n

AC AC

En conse cue ncia: 1 + n = 7

n = 6

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28.- Sobre una l inea recta se cons ideran los pun tos co lineales y co nsecutiv os A, B y C

cuyos puntos medios de A B y BC son M y N respect ivamente. Si A C = 32, hal lar el

valor del segmento que t iene po r extremos los puntos m edios de AN y MC.

Resolución.-

Del gráfico : x + n - b = m --------n ------- i

, x i

\--------n —

=» x = m + b -n ... (1) i r ia o b i b

También : n = x + m -a A M B —♦------- 1-------1-.----------1 N C — •—>=» x = n + a -m ... (2)

Sum and o(1 )y (2) : 2x = a + b ...(3)

Peio por d a to : AC = 32 = 2a + 2b

Reemplazando (4) en (3) : 2x = 16

x = 8

mP4- m

a + b = 16 ... (4)

29.- Sobre un a línea recta se consid eran los pun tos c onsecutivo s A, B ,C y D. Se sabe que

AB = 30 y CD = 10, adem ás se toman los puntos m ed ios de AB y CD que son P y O

respectivamente. Hallar la longitu d del segmento que t iene po i extremos los pun tos

medios de p e y BQ

Resolución.-

Del gráfico: x= /7 7+ C N ...(1)

x = n + MB ... (2)

Pero. CN = b - n + MB = a - m

Reemplazando y sum ando (1) y (2):

2x = m + n + b -n +a - m

Donde : 2x = a + b

También sabemos q u e : 2a = 30 => a = 15

26 = 10 =» 6 = 5

Luego: 2x = 15 + 5

En consecuencia : 2* = 20 =» jc = 10

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56 Problemas de Geometría y cómo resolverlos Ernesto Qulspe R

30.- Dados los puntos A, B, C, D y E son p unto s co lineales y co nsecutivo s d e modo que AB > BC y BD > DE. Se sabe que A B y BD s on sec ciones áu reas de AC y B E res pec

O _ fet ivamente. Si BC = 2C D y A E = — — ; calcu lar AC.

Resolución.-

2a

A B C D E

Hagamos CD = a => BC = 2a

Ya que AB es la sección áu rea de AC .en tonces BC será también la sección áure a de BE, de

(i/5+l)ello se tend rá que : BD = DE-----^ —

Es decir : AB= a (J 5+\ )

Análogamente com o BD es la sección áu rea de BE, tendremos : BD = DE ^

=> 3 a = DE , de do nd e: DE = -— (1/5 - 1)

Del gráf ico: AE= AB +BD + DE

3 ^ = 0 (y 5 + l) + 3a + ( i / 5 - l )

J J 3- V 5De donde : a =

5(i/5 + 1)Como: x = a(i/5 + l) + 2 a = a ( 3 + i/5)

Lms° *= | ^ i (3+'ra)

i/5- lx =

31.-A, B, C y D son puntos colineales y consecutivos tal qu e: AB.CD = AD .B C; A B . BC = x AD. CD = y . Calcu lar BD.

Resolución.-1 ,

De la 1ra expresión : ^ o— - ó. o-BC CD A B C D

Setiene: a^CD = íT-BC

TT

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Efectuando : AB . a - AB . BC = AD . a - AD . CD

Reem plazan do: AB .a - x = AD.a - y

De donde : y - x = (AD - AB) a

Pero : AD - AB = a

Luego : y - x = a2

a = J y - x

32.- En una línea recta se co nsid eran los pun tos c ons ecuti vo s A, B, C y D de tal manera

que: AB = 2C D; BC2 = A B . CD y ^ ~~¡3D = 5 ' (' a,cu,ar AC-

Resolución.-

Por d a to :

Además:

Como:

De donde:

_ L J I BD-CD _ iCD ‘ BD “ 5 ^ CD.BD “ 5

BC 1 BC 1 1CD.BD 5 CD ’ BD 5

Y de (*) : ^ ■ BÍ) = 5 => 5AB = BC BD

Com o: BD =BC + CD => 5AB = BC (BC + CD)

Luego : 5AB = BC2 + BC ■ , ya que : CD =

AR AR Reemplazando: 5AB = AB • + ^C *~2~

Factorizando: 5AB = (AB + BC)

, r AB+ BC ACSimplificando : 5= ---- ^— =

AC = 10

a b e33.- Los puntos A ,B ,C y D forman una cuaterna armónica. S i : ; hal lar :

a + b + c.

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Resolución.-A __________ B _______ C _______ D

AB ADSi A, B, C y D forman una cuaterna arm ónica en tonces : = q j

Pero: BC = AC - AB y CD = AD - AC

AR ADReemplazando: Xt>-AB = Ap_ Á C ^ AB . AD - AB . AC = AD . AC - AD . AB

Agrupando y factor izando : 2 AB AD = AC (AD + AB)

„ . . J2 ______ 1_ 1 j í ____ a bDe do nde . AC ~ AB AD ’ pero 'AC " AB AD

Comprobando: c = 2 ; a = 1 y 6 = 1 a + b + c = 4

34.- Sobre una recta se toman los punto s cons ecut ivos A, B , C y D. Si A C . CD = A B . Bind icar la relación cor recta.

Resolución.-

Por condición del problema AC . CD = AB . BD

Pero : AC = AB + BC ^ g q D

También: BD = BC + CD

Luego : (AB + BC) CD = AB (BC + CD)

AB. CD + BC . CD = AB. BC + AB. CD

BC . CD = AB . BC

Simplificando: CD = AB

35.- En una línea recta se con sideran los pu ntos colin eales y con secutivo s A, M, O y R

tal que : A M . A R = 3 M O . O R , y : = ~ q . Calc u lar : ^ .

58 Problemas de Geometría y cómo reso lverlos Ernesto Quispe

Resolución.-

A M O R - o ----------------------------o------------o------------o -

Del dato : AM . AR = 3 MO . OR

Reemplazam os: AR = AO + OR y MO = AO - AM

Luego : AM (AO + OR) = 3 (AO - AM) OR

AM . AO + AM . OR = 3 AO . OR - 3AM . OR => 4 AM . OR - AM . AO

AM . AO = 3 AO . OR - 4 AM , OR

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Dividiendo por : AM . AO . OR

AM.AO _ 3 AO. OR 4AM.OR AM.AO.OR AM.AO.OR * AM.AO.OR"

Simplificando :

Por dato :

Comprobando (1) y (2) :

.(1)

... ( 2)

1 3 4OR AM AO

a _ _b c

OR AM ' AO

0 = 1

b = 3c =4

a _ 1b + c 7

36.- P, O, R y S son puntos colineales ubicados en forma consecutiva. Si PR es med

propo rcional entre PS y OS. Hal lar M s i :

M =7(RS) (PR)+ (PQ) (P R )-(Q S ) (RS)

(RS) (PR)

Resolución.-

h-

Ph

Pero PR es media proporcional entre PS y QSb2 = a.c

CPR) = PS . QS o lo que es lo mismo :

Nos p id en :

Reemplazando:

Luego :

Entonces:

7(RS) (PR) + (PQ) (PR )-(Q S) (RS) PQ.PR-QS.RSM = f D C Ì = 7 +

M = 7 +

(RS)(PR)

(o -c ) ( f r) -( c ) ( a - b ) ( a - b ) b

= 7 +

RS.PR

a b - b c - a c + b c( a - b ) b

M = 7 + = 7 + a b ~ b

M = 7 +

(a - b ) b

b ( a - b )

( a -b ) b

( a - b ) b

= 7 + 1

; ya que : b2 = ac

M = 8

37.- Sobre una l ínea recta se consideran los puntos consecut ivos A ,B ,C y D d e modo qu A B . C D = B C . A D y 5 ( 2 . A B + BD) = A B . AD. Hal lar AC.

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Resolución.-

Condición : AB . CD = BC AD ... (Cuaterna armónica)

Dato : 5 (2 . AB + BD) = AB . AD

Nos piden hallar: AC A ______ B C D

Del grá nco: BD = AD - AB

Reemplazamos en el dato : 5 (2 . AB + AD - AB) = AB . AD

5(AB + AD) = AB. AD ...(1)

Del gránco también : BC = AC - AB y CD = AD - AC

Reemplazamos estas dos últimas en la condición : . AB (AD - AC) = AD (AC - AB)

Multiplicando: AB. AD - AB . AC = AD . AC -AD . ABDonde : 2 . AB . AD = AC (AB + AD)

2 (AB+AD)LueS ° : J é = AB -AD • " í2)

D=( l)yC2): | = ¿

AC = 10

38.- En una l inea recta se consideran los pu ntos cons ecut ivos A, B ,C y D que forman uncuaterna armón ica. Si se cum ple qu e :

_2k± 1 ___ 1 1 J 2 A D.B C ~ BC + A D k + 2

Hallar AC, sabiendo que la medida A C y k son n úmeros primos.

Resolución.-

A B C D

AB ADPor condición del problem a: (Cuaterna armónica) ... (*)

Del gráfico se observa que : AB = AC - BC y CD = AD - AC

Entonces al reem plazar en (*) : = a Í>-A(J

=> AD . AC - AC2 - AD . BC + BC . AC = AD . BC

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Ubicamos los sum andos convenientem ente y factorizamos AC:

(AC)2 = AC (AD + BC) - 2AD . BC

Dividiendo ambos miem bros p o r: AC. BC . AD

c . ^ * A C ____ L , _L_ 2Se tendrá . AD.BC “ BC AD ' AC

Comparando esta expresión con el da to : - ^ 2

Se tiene : AC = 2k + \ = k + 2 => k = 1

AC = 3

39.- En una recta se cons ideran los pu nto s A 1, A¿, A3 ,.... A^ en fo rm a consecutiva dmo do qu e se determinan (3n - 201) segm entos c ons ecutivos los cu ales tienen su

medidas relacionadas p o r :

A , A2 = — ( A2 A J = — (Ag A J =.... = (An f A J

S i : A „ A „ = 9 790 m ; ca lcu lar A , A23 67 * 1 n

Resolución.-

Hagamos : A, = a => A3 = 2a ; Ag A4 = 3a ; An , An = (n -1) a

V(n-l)a*iA, Aa Aj A^................ A ^ ................A67 A„_,----- A„

Nos p iden: Aj An = a + 2a + 3a + .... + {n -1) a => Aj An = ^ n [n - 1) ... (1)

Por d a to : A^ Afi7 = 9 790

^1 ^67 " ^23 = ®

Para hallar: A! Ag? y A, A23 em pleamos la fórmula ... (1)

Luego : ~ (67) (66) - f (23) (22) = 9 790 => a = 5 ... (2)

Por d a to : 3n - 201 = n -1 => n = 100 ... (3)

Reemplazando (2) y (3) en (1) : Aj An = ^ . 100 (100 -1) => Aj An = 250 (99)

A, A = 24750I n

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40.- En una linea recta se co nsid eran en form a con secu tiva los pun tos A, B, C, D, E , F . .y as í indef in idamente de modo q ue AB = 1CT1; BC = 2. T£T2 ; CD = 3 .1(T3 ; DE = 4 .10T4

EF = 5.1 Ors y as í suc esivamente. Hallar el límit e de la su ma de m edidas de esto ssegmentos.

Resol ución.-

10' 2.10’2 3.10J 4.10 5.10'A B C D E F

Sea "S" la sum a de pedida, lueg o: 5 = 7^ + + -%■ +' 103 10410 10

Multiplicamos por 10 a a /m :

Descomponemos convenientemente :

1 0 5= 1 +

1 0 5 = 1 + + - + - ^ + .10 10 j o 3

Uo2 102 ijo3 ío-5;

Agrupando:

M -

El primer sumando es : — L - = y el segundo sumando es "S".1 - — y1 10

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Luis Ubaido C Segmentos de Recta 63

PROBL€MaS PROPUESTOS

1.- Sobre una línea recta se consideran ios puntos consecutivos M,N, P, Q tal que :

PQ = 3 NP y 3 MN + MQ = 4. Hallar la longituddel segmento MP.

A) 1 B) 1,5 C)2 D)2,5 E)0,5

2.- Sobre una línea recta se consideran los puntos consec utivos A B y C y luego se ubican los puntos meJíos M y F de AB y MCrespectivamente Hallar la longitud de AF. SiAB + FC - AM = 2\/5

A)5 B)V5 C) 2yÍ5 D) 10 E)5

3.- Sobre una línea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C, D y luego setoman M y F puntos medios de A3 y CD res pectivamente. Hallar ME si: AC = 18 y BD = 34

A) 21 B)23 C)26 D)28 E)32

4.- Sobre una línea recta se consideran los pun tos consecutivos A, B, C, D tal que :CD = 4 AC y BD - 4 AB = 20. Hallar BC.

A) 1 B)2 C)3 D)4 E)5

5.- Sobre una línea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, F, C tal que B es el punto meaio de AC Calcular el valor numérico de la siguiente expresión : (AF - FC)/BF.

A) 1 B)2 C)3 D)4 E)5

6.- Sobre una línea recta se consideran lo» puntos consecutivos A, B, D y luego se toman My N ountos medios de AB y BD respectivamente. Hallar FN, siendo F el punto medio deMD y AB = 12

7.- Sobre una línea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C ; de forma que Q es

el punto medio de AC.

Hallar BQ. si:B C -A B = 6

A) 1 E)2,5 C) 2 D) 3 E)6

8.- Sobre una línea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C y D tal que: BC = CDy A C . BC = 20. H allar: ÁD¿ - AB2

A) 50 B)60 C)70 D)75 E)80

9.- Sobre una línea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C y D tal que se cum ple. AB . B D = A C . CD y AB = 8 Hallar CD.

A) 4 B)6 C)7 D)8 E) 12

10.- Sobre una línea recta se consideran los pun tos consecutivos A, B, C y D tal que :DC = 2.AB ; AB - a y BD = b. h allar AC.

A) a - b B>a + b C )b -a

D) -Jab E) (a + b)/2

11.- Sobre una línea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C, D, E y F tal que:

AC + BD +C E +D F = 91 y BE = | a F.

Hallar AF

A) 56 B)54 C)52 D)48 E)36

12.- Sobre una línea recta se consideran los pun tos consecu tivos A, B, C y D tal que :AB + CD =1 2, luego se ubican M y N que sonlos puntos medios de AC y BD respectivamente. Hallar MN.

A) 1 B)2 C)3 D)4 E)5 A) 2 B)4 C)ó D)8 E) 10

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64 Problemas de Geometría y como resolverlos Ernesto Quispe R

13.- Sobre una línea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C, D y E; calcular lalongitud del segmento que une los puntos medios de AB y DE, si: CE= 8 ; BD= 12yA C= 10

A) 5 B)10 C)12 D) 15 E) 18

14.- Sobre una ln.ea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C y D. Si M esun punto medio de AD y AB + CD - 10 yBM -MC = 2. Hallar CD.

A) 3 B)6 C)8 D)9 E)12

15.- Sobre una linea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C y D; tal que :AC + BD = 5 (AB + CD) y AD - 12. Hallar BC.

A) 8 B) 10 C) 12 D) 14 E)16

16.- Sobre una línea recta se consideran los puntos consecutivos A. B , C y luego se toman los puntos medios M y N de AB y BCrespectivamente, tal que : 3.MN = 2.MC. Hallar AC, si: A B-B N = 8.

A) 24 B)26 C)28 D)30 E)32

17.- Sobre una línea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C y D tal que :

AC + BD = 1: AB =a y CD Hallar B C

A ) a + b B)2 -Jab C)(a+b )/2

D) J a b E) N.A.

18.- Sobre una línea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C y D.

S i: wi.AB.BD = n . C D . AC.Hallar 'V , en la siguiente expresión :

n m _ x BD ' AC _ BC

A ) n - m B ) m - n C ) m + n

D) Jm n E)2 jm rt

19.- Sobre una línea recta se consideian los puntos consecutivos A, B, C y D; tal que CD = 2.BC Hallar AC, siendo:

AB + AD - BC = 16

A) 6 B)7 C)8 D)9 E)12

20.- Sobre una línea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C, D y E; tal queBC = 2.AB ; CE = 4.BC y "C" es punto mediode A D . Hallar AD. siendo: AE = 33

A) 14 B) 16 C)18 D)2() E)26

21.- Dados los puntos colineales y consecutivos A, B. C y D; se sabe que AB + CD = A;hallar la n.edida del segmento cuyos extremosson los puntos medios de AC y BD.

A) k B ) | C ) | D ) | E j |

22.- Los puntos A, B, C y D son colineales yconsecutivos de modo que : AB.CD = k

AD.BC y : ^ (k es primo)

Calcular: k.

A ) 1 B)2 C)3 D)5 E;7

23 - Los puntos A, B, C y D son colineales yconsecutivos forman una cuaterna armónica

a _ b _ d SI • AC _ BC DC

Calcular : a + b + d .

A ) 2 B)3 C;4 D)5 E)6

24.- A, B, C y D sun puntos colineales y consecutivos. Si AC es la media proporcional entre AD y BD.

Calcular el valor de C, s i : C = 2 | - ij

A) 0,5 B) 1 C)y¡2 D)yÍ3 E)2

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25.- En una recta se consideran los puntos consecutivos P, Q, R y S los cuales forman unacuaterna armónica.

Si • QR = y PS - — RS

Calcular : PR.A) 5 B) 6

PQ

C) 7 D) 8 E) 9

26.- En una recta se ubican en forma consecutiva los puntos A, B, C y D de modo que :

AB.CD = KBC.AD y ¿ 5 + ^

Calcular K

A) 1,5

D) 2,5

B) 1,55

E) 1,66

K 2 - !AC

C) 2

27.- Sobre una línea recta se consideran los puntos A, B, C y D en forma consecutiva demodo que formen una cuaterna armónica; so

bre AB, BC y AD, se ubican sus puntos medios P, Q y R respectivamente.

Calcular: - £ £

A) 1 B) 2/5 C) 2 D) 3/2 E) 3

28.- Se tienen los puntos consecutivos A, B,

C y D tal que AB = 2CD ; BC2 = AB.CD

1 + - LCD BD

Calcular : AB.

A) 7 B) 6

1V2

C) 5 D) 4 E) 3

29.- A, C, M y B son puntos colineales yconsecutivos Si AC = CB , AM.AB = 8 y _ 1 ______ 2 12MB AM ' AC '

Calcular: MB.

A) 4 B) 2 C) J 2 D) 6 E)2yÍ2

30.- Sobre una recta XX' se ubican en formaconsecutiva los puntos : A ,, A2, A3, A4..... Ande modo que : A( An= 1 800 y A, A3 + A2 A4 +A .A . + .... A , A = 3 000. Calcular la medida

3 5 n-2 n

del segmento que tiene por extremos los puntos medios de los segmentos A, An , y A2 An

A) 200 B)300 C)400

D)500 E)600

31.- Sobre una recta se ubican los puntos con-AB BC

secutivos A, B, C y D de modo que =

y 36 CD = 5AB ; si BC = 8 . Hallar A D

A) 120 B)85 C) 100 D)90 E)110

32.- Los puntos P, Q, R, S y T están sobreuna recta en forma consecutiva; PR = 20 y

PQ = = RS = . Hallar PT

A)34 B)32 C)35 D)38 E) 40

33.- Dados los puntos colineales y consecutivos A, B, C, D, E, F, G, H, I, J.

S i:B I = p - - C H = ^ p .7 4

Y:AD+BE+CF+DG + DG+EH+H+GJ=63.Hallar AJ.

A) 20 B)25 C) 28 D)30 E)32

34.- En una recta se tienen los puntos consecutivos A, B, C y D ; si AB . AD = 3 B C . CD y

¿ + = } S ' Ha"ar:a+ íi+ 1 '

A) 6 B)7 C)8 D)9 E)10

35.- Dados los puntos colineales y consecutivos A, B, C y D se sabe qu e: AC = 8 y BD = 4.Calcular BC, si adem ás:

2 (AC) (CD) + (AB) (BD) = 4 (BC) (BC).

A) 1,75 B)2 C)2,5 D)3 E)3^5

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66 Problemas de Geometría y cómo resolverlos Ernesto Quispe R.

36.- Dados los puntos colineales y consecutivos A, B, C y D se sabe que :

„ AB _ BC2 A D = 3 CD y

2BC AC

= 1

Hallar CD.

A) 5 B)4 C)3 D)2 E)1

37.- En una línea recta se consideran los puntos colineales y consecutivos A, B, C y D demodo que :

(2x - 3) AB . CD = A D . BC

3.V+ 2 _ 3 x - 14 5 z - 13y AC A B ADHallar jc, v , z .

A) 1; 2; 3 B )4 ;3 ;2 C )5 ;2 ;4

D) 3; 4; 5 E )4 ;6 ;8

38.- Sobre una linea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C y D de modoque forman una cuaterna armónica

b c dSi.

a

AC + CD BD + AB

Hallar: a + b +c + d

A) 6 B)3 C)2 D)5 E)8

39.- Sobre una línea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C; de manera queAB - BC =12 . Hallar la longitud del segmentoque tiene por extremos el punto B y el puntomedio del segmento que se forma al unir los puntos medios de AB y BC.

A) 3 B)2 C)4 D)7 Ej8

40.- Sobre una recta se toman los puntos consecutivos S, I, O. N siendo O, punto medio de IN .

Simplificar: K =(SI)2 +(SN)2

(SO)2+(IO)2

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E ) 5

41.- Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B. C, D y E. Además “M” esjrnn-to medio de AD y “N” punto medio de BE Sesabe además que : MC = NC.Hallar MC, s i : AB + DE = 24.

A) 2 B)4 C)6 D)8 E) 1242.- Se dan los puntos consecutivos A, B, C yD sobre una recta, de modo que :

AC2=AD.BD

AB BDCD ' AC

Calcular:

A) 4 Bj 3 C)2 D) 1 E)(\5

43.- Se dan los puntos consecutivos A, B, C,D, E , , de modo que :

A B = ¿ ,B C = |,C D = , D E = |, E F = | . . .

Calcular la suma límite de x donde :

x - AB + BC + CD + DE + .........

A) 0,5 B) 1 C) 1,5 D) 2 E)2.5

44.- Sobre una recta se toman los puntos con

secutivos O, A, B, M de modo que :MA + MB = 1,5 AB.

Hallar OM en función de OA y OB

A)

B)

C)

4 OB + 2 OA

3 OB - 2 OA

5 OB - OA

D)3 OB - OA

E)5 OB + OA

45.- Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A. B, C, D, E y F, si “D” es puntomedio de C E , AC = CE y BD = DF. Ca lcula r:

E =

A) 1 B)2

nB2 + BE"

AC2 + EF2

C)3 D)4 E)5

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> 7 ^

.* ■ V ✓ i;«*

- -» . » «J É I ¿ ^ g

a ¡

Angulo es la reunión de doj rayos de origen común y no coíineales. En la figura adjunta se observa larepresentación gráfica de un ángulo y sus elemen tos.

NOTACIONES:

4- AOB , ó , 4 - AÓ B se lee : "ángulo AOB"m 4- AOB se lee : Medida del ángulo AOB.

CARACTERÍSTICAS : —> —>

- Simbólicamente se representa p o r : 4 . AOB = OA uOB- Su med ida es un núm ero real y positivo com prendido entre 0 y 180° es decir :

0 < m 4- AOB < 180

3 2 EQUIVALENCIAS

Io < > oO1 ... (3 .1) , V < > 60” ... (3.2) a Io < > 3600" ... (3.3

3 .3 t ’L ^SLtllJAC íCX N

A) SEGUN SU MEDIDA.

Al) Ángulo Agudo.- (Fig. 3.2a)Es aquel ángulo cuya med ida es m enor que 90; es d ec ir :

A2) Ángulo Recto.- (Fig. 3.2a)

Es aquel ángulo cuya medida es igual a 90; es dec ir :A3)Ángulo Obtuso.- [Fig. 3.2a)

Es aquel ángulo cuya medida es mayor que 90; es decir :

0 < a < 90 ... (3.4

a = 90 ... (3.5

90 < a < 180 ... (3.6

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68 Problemas de Geometría v cómo resolverlos Ernesto Qu sp e

B) DE ACUERDO A SU POSICIÓN Y CARACTERÍSTICAS.

Bl) Angulos Com plementarios.-

Son dos ángulos cuyas medidas suman 90°. Si losángulos mostrados son complementarios, entonces:

a + 6 = 90 ... (3.7)Observación: A la medida del complemento de unángulo lo denotaremos p o r: C a ; verificándose que:

Ca = 90 - a ... (3.8) (0 < a < 90)

B2) Angulos Sup lementarios.-

Son dos ángulos cuyas medidas sum an 180°. Ya quelos ángulos mostrados son suplementarios se cum

ple que:& + 9 = 180 ...(3.9)

Observación: A la medida del suplem entario de unángulo lo denotaremos p o r \5 a ; cumpliéndose que:

Sa = 180 - a ... (3.10) (0 < a < 180)

B3) Angulos Adyacentes.-

Son dos ángulos de vértices común y lado común,

ademas están situados a uno y otro semiplano de terminados por el lado común. En la figura adjun talos ángulos AOB y BOC son ángulos adyacentes, ad emás considerando las medidas asum idas se verifican las siguientes relac ion es:

C, = Adición : G = a + PC2 = Sustracc ión: P = 0 - cx y cx = 0 - P

B4) Angulos Consecutivos.-

Son tres o más ángulos de vértice común que de

dos en dos son adyacentes tal como los ángulosAOB, BOC, COD y DOE mostrados en la figura ad junta.

Observaciones :

1) Los ángulos consecutivos que en conjunto com pletan un semiplano tienen medidas que verilean larelación

a + P + Y + 6 + 0 = 180 ...(3.11)

/ G°

Fíg. í

f íg. 3

V

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Luis Ubaldo C. Angulos 6

2) Los ángulos consecutivos situados alrededo r de un punto (completando el plano) tienen sus medidasque cumplen la relación :

a + 0 + P + y + 0 = 180 ... (3.12)

3.4 COMPLEMWTO Y SUPLEMuNTU DE Uto ANGULO

DEFINICION:

Complemento de : a = Ca = 90 - a ; (a < 90°)

Suplemento de a : SQ = 180 - a ; (ot < 180°)

A) Angulos Adyace nte s:

Son 2 ángulos tales como : AOB y BOC.Se cumplen las siguientes relaciones:

ADICIÓN : 0 = a + P

SUSTRACCION : P = 0 - a

B) 4is Adyacentes Suplem enta rios : Son 2 ángulosadyacentes cuyas medidas sum an 180°, tales comoAOB y BOC.

a + 0 = 180° ... (3.13)

C) 4-s Opuestos por el Vértice : Son ángulos determinados al intersectarse 2 rectas.

a = 0 ... (3.14)

D) Las bisectrices de dos ángulos adyacentes suplementarios forman un ángulo de 90°

m 4- POQ = 90° ...(3.15)

A O C

Fig. 3.1

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70 Problemas de Geometria y cónto resolverlos Ernesto Quispe R

6J6RCIC10S o e APLICACIÓN ( l Ta PART6 J

1.- Hallar el CCC....C¡g ; s i hay 50 veces c om plem ento (C -» Complemento).

Resolvicipn--CCC...C

5050 veces

Ya que 50 veces es par, entonces por propiedad : CCC.. . C50 = 50°

2.- Hallar el SSS....SW0; si h ay 1001 veces su plem ento (S -» Suplemento).

Resolución.-

555. ..S.100

1001 veces

Ya que 1001 veces es impar, entonces por propiedad : 555... 5 ino = 180° -100°

SSS...S100 = 80°

3.~ En el gráfico calc ul ar la m 4 - AOB .

Resolución -

En el gráfico, por ángulos adyacen tes suplem entarios, tenemos :

2k + 3A> + 20 + 3k -2.0= 180

Donde: 8fc=180

Ahora:* 2

Nos piden : m 4 - AOB = 6/?

4.- En la figura, hallar "x" .

- ( f )m 4 - AOB

m 4 - AOB = 135°

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Resolución.-

Por ángulos adyacentes suplementarios, tenem os : 2 a + 20= 180

En consec uen cia:

Ahora:

De la expresión (1) y (2) :

a + 0 = 90

x = a + 0

* = 90°

...(1)

- (2)

5.- En el gráfico, hallar la m £ AOC, si :

m 4 AOB + m 4 AOD = 56°

Resolución.-

Del gráfico : m 4 - AOC = m 4 - AOB + m 4 - BOC

Entonces : m 4 AOB = m 4 AOC - m 4 BOC

Reemplazando: m 4 AOB = x - a

Por da to : m 4 - AOB + m 4 AOD = 56

i i

Reemplazando: x - a + x + a = 5 6

Luego: <

£ ) mI I

¿ 5

* = 28°

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72 Problemas Je Geometría y cómo resolverlos Ernesto Quispe R

3.6 ^GUU>SIOl^1LUK jiSBORIX>SRErT^mRALELASr UNA TRA '5VEK¿».4 L

A) Angulos Alternos : Son de igual medida.

Al. Altemos internos

& = P

Fig. 3.Í3

a = PB) Angulos C orre spon die nte s : Son de igual medida.

Bl Correspondientes obtusos B2. Correspondientes agudos

Fig. 3.14

Fig. 3.15

a = p

C) Angulos Conjuga dos : Son suplementarios

a = P

Fig. 3.17

a + (5 = 18u ...(3 .16)

Fig. 3.18

a + P = 180 ...(3.17)

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Luis Ubaldo C Angulos 73

3,7 AW GUI 0S D E I AD O S PAPA LELOS

3,8 ANGULOS DE IADOS PERPFVDJCUI AKJEiS

a)

»

b)

n \ n W* / ‘ 1 ---- c=-

' ’1Gi = 0 | |a = e | la + e = 180° |

3.9 PROPIEDADES ESPECIALES

Fig. 3.20

A) Si el vértice del 4- AOB se sitúa entre las paralelas a y b , luego su m edida estará ex presada p o r:

x = a + P ... (3.18)

B) Teorem a de Ss»*-rus : Para toda poligonacuyos extremob pe rtenecen a las paralelasa y b se verifica la re lac ión:

a + 0 + p = P + e ... (3.19)

T

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74 Problemas de Geometría y cómo resolverlos Ernesto Q u j p e P.

C) Del conjunto de ángulos mo strados en la

Fig. 3.23 se verifica la relación, s i : OA / / PQ,entonces:

cc + P + 0 + e + co = 180° ... (3.20)

D) Si a y b son dos rectas tales que : a // b, enton ces se dice que los ángulos que ellosdeterminan miden 0 y 180. (Fig. 3.24)

Ftg. 3.24

E) Siendo C el com plem ento de un ángulo, se cum plen las siguientes relaciones :

- CCC . . . C a = a a - CCC . . . Ca = 90 - a

# par # impar

F) Siendo S el suplemento de un ángulo; se cum plen las siguientes relaciones :

- s s s s . . . s e = e a - s s s s . .. se = iso-e# par # par

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ed u cíao s De apucacióri ( 2 da part€ j

6.- Si : L1//L ¡¡ y a + p = 225, hallar " x".

Re-snküCiun.-

En el gráfico por propiedad : x = 180 - a + 180 - P

Luego: x = 360 - (a + P) ... (1)

Dato: a + P = 225 ... (2)

Reemplazando (2) en (1) : x = 360 -225

x = 135°

- v

7.- En la figur a L 1//L ¡¡, hall ar "P".

Resol uc.ón.-

Por el teorema de Sarrus : 20 + p + 10 = 60 + 50En consecuencia : p + 30 = 110

8.- Si : L1 f /L 2, calc ular '10

P = 80

Resolución.-

Por el vértice "C se trazu L3 // AB .

0 = 130°

Luego por ángulos correspondientes : ____

G- 50 = 80

.Lj

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76 Problemas de Geometría y cómo resolverlos Ernesto Qulspe R.

9 - S i: L 1//L ¡¡ y a / / b , calcu lar "(f

Resolución.-

En el gráfico : 60 + 70 + <]) = 180 ... (4-s Suplementarios)

Entonces : 0 = 180 -130

<(>= 50°

10.- Se t ienen los ángulos con secutivos AÓ B, BO C, C O D y D O A que son proporcio nales

a los núm eros 2, 4 y 8 respectivamente. Hallar el men or ángulo que forman lasbisectr ices del pr imer y úl t imo ángulo.

Resolucion.-

Del gráfico:

Ahora:

Entonces :

Luego

x = a + G ... (I)

AÓB BÓC _ CÓD _ DÓA2 = 3 5 8

AOB = 2k . BOC = 3A:, COD = 5/?,DÓA = 8fc

AÓB+BÓC+CÓD+DÓA =18*

En cons ecu enc ia:

Ahora.

También :

360 = 18A=> ¿ = 20

a OB = 2 (20) =» AOB = 40 ; pero AOB = 2a =» a = 20

DÓA = 8 (20) =» DÓA = 160 ; pero DÓA = 26 => 0 = 80

x = 100°

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Luis Ubaldo C. Angu los 77

1.- Se tienen los áng ulos cons ecutivos AOB, B OC y COD. Se trazan las bisectrices O M y

2.- El suplemento d el comp lemento de la medida de un ángulo, es ig ual al doble del complemento de la medida de dicho ángulo. Calcular el complemento d e la mitad de lamedida de dicho ángulo.

Resolución.-

Seax la medida del ánguio, según los datos del problema planteamos la ecua ción : SCx = 2Cx

Entonces : 1tí0o - (90° -x) —2 (y0 - x)

Resolviendo : 90° + x = 180° - 2x

Don de: 3jf = 90° => x = 30°

—) ■—) —) ■—) —)3.- Los rayos OA , OE, OC . OD y OE s e encu entran ubicados en un mi si 'o plano, de modo

que la bisectriz OX del ángulo AOB es p erpendicu lar a la bisec triz OD ael ángulo BOE

Si m £ X O E = 160s, calcu lar la medida del ángulo BOD.

ON de ios ángulos AOB y COD respectivamente. Hallar la medida del ángulo AOCsabiendo q u e: m 4 - MON = 90e y m 4L BOD = 82°.

Resolución . -

Del gráfico :

*x = a + 82 °-2 0 + 6 = 90° => a -G = 8° ... (1)

*■jf = 2 a + 82° -2 6 => a - 0 = ^ - 4 1 ° ...(2)

De (1) en (2), tenemos : 8o = ^ -41°Entonces :

x = 98° D

Pero nos piden

Luego :

= 75°

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78 Problemas de Geometría y cómo resolverlos Err,estúQulspeR

Rpsnlurión.-

Dd gráfico: « + 20 = 160° . . ( i )

También se sabe que : a = 90° - 0 (2)

Reempl izando (2) en (1): 90° -0 + 2 0 = 160°

Luego nos q u ed a: 0 = 160°-90°

e = 70°

4.- Se tienen los ángulos c ons ecutivo s AOB, B OC y COD; tal que

m 4-BOD - 3.m4LAOB = 60° a mJ LCOD = 3.m4LAOC.

Hall ar: m¿LbOC.

Resolución.-

Sabem os por dato que : m^lCOD = 3./r?4lAOC = 3 a

También:

Del gráfico:

De do nd e:

En consecu encia:

m4L BOD - 3sn ¿AOR = 60°

(x + 3a) - 3 (a - x) = 60°

jf + 3 a -3 a + 3jf = 60°

4x= 60°

x = 15°

5.- La tercera parte de la m itad del com plement o d el suplemento de la medida de un ángulo excede en 8° a los tres quintos del complemento de la mitad de la medida demism o ángulo Hallar la medida de dicho ángulo.

Resolución.-

Seax la medida del ángulo.

Por dato ten em os :

Resolviendo, nos queda:

^ \ (90 - (180 -a-)] - | [gü“ - f ] = 8°

Cx-90) (540 - 3*)10

= 8°

x = 165°

6.- Hallar el complemento de la diferencia de las medidas de dos ángulos tales que lamedida del prim ero excede en 60g al com plemento de la medida d el segun do y la medidadel segundo ángulo sea igual a la mitad d el suplemento de la medida del prim er ángulo

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Resoludón.-

Sean a y 6 las medidas de los ángulos.

Se pide : x = 90° - (a - 0)

Sabemos que :a - (90° - 6) = C0° => a + 6 = 150° ... (1 )

Tam bién: 6 = y (180° - a) => a + 20= 180° ... (2)Restando (2) y (1) : 0 = 30°

En (1) : a = 120°

Finalmente : x = 90° - (120° - 30°) *

x = 0°

7 - La suma de las medidas de dos ángulos es 80ey el com plemento de la medida del pr imero es el doble del segundo. Hallar la diferencia de las medidas d e dicho s ángulos.

Resolución.-

Sean "a" y "0" las medidas de los ángulos; se pide hal la r: a - 0

Por condición del problem a ¿.abemos que : a + 0 = 80° ... (1)

También se sabe que : 90° - a = 20

Entonces : a + 20 = 90° ... (2)

Restando (2) y (1) : 0 = 1 0 °

En (1) : a =70 °

En con secuenc ia: a - 0 = 60°

8.- Si a la medida de un áng ulo le dism inuim os su cuarta parte más q ue la m itad que sucom plemento, resulta un tercio de la diferencia entre el com plemento y el suplem entode la medida del mism o ángulo. Hallar dicho ángulo.

Resolución.-

Se ax la medida del ángulo pedido.

Por condición del problem a : x - + ( 9 0 - jr)] = ^ [(9 0-x ) - (180-*)]

De donde : x - ^ + y - 45 = - 30

Luego nos qu ed a: 5x = 1 5 x 4

x = 1 2 °

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9 . -S i m / /n ; c a lcu la r: x .

Resolución.-

En el gráfico observamos que a / /b. Luego* se mueve a otro ángulo com o vem os en la figura :

En ese ángu lo: x = 62° + 24°

* = 86°

10.-S i m / / n ; ca lcu lar : x .

Resolución.-

Recordemos la propiedad :

Si m i l n se cumple : a + 6 + c + </ = a + P + G

Según esta propiedad, para nuestro problema tenemos :

6 2 - a + a + e + 6 0 ° + a - x = e 2 + a + e

x = 60°

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11- Si m //n ; calcu lar x 9.

Resolucion.-

En el gráfico se cumple

x + 180-2a = 180

Donde: x = 2a

~n

12.- Un tercio d e la diferencia entre el suplement o y el su plemento de un áng ulo es igu al al doble de su com plemento Calcular su medida.

Resolución.-

Sea "a" la medida del ángulo en tonces la diferencia entre el suplemento y el comp lemento dea es : (180 - a) - (90 - a ) = 180 - a - 90 + a = 90

Un tercio de esta diferencia será : ^ (90) = 30°

Según el problem a, este último reultado es igual a : 2(90 - a)

Luego : 30 = 2(90 - a)

En co nsecu en cia : 15 = 90 - a

a = 75°

13.- La suma de las m edidas del suplemento y c om plemento de un ángulo es igu al a "n"veces la medida del com plemento de dich o ángulo. Calcular su medida, s i ésta es la menor de todas las posib les (ne Z*) .

Resolución.-

Sca "0" la medida del ángulo, entonces complemento de : 0 = 90 - 0

Suplemento de : 0 = 180 - 0

Según el problem a: (180 - 0) + (90 - 0) = n(90 - 0)

Entonces : 270 - 20 = 90 n - n Q( n - 3)Despejando©: 0 = 90

De (*) : n - 2 > 0 => n > 2

Si: n —3 => 0 =0° (no es posible ya qu e 0o < 0 < 90°)

Si: n = 4 => G =45°

n - 2 . . . (*)

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82 Problemas de Geometría v cómo resolverlos Ernesto Quispe R

14.- En la figura a - P = * ; calcular x .

Resolucimi.-

Del gráfico¿abem os que : jf+ P = 60 -x + a

De donde : 2x - a + P = 60

Entonces : 2x - (a - P) = 60

Reemplazando: 2x - = 60

x = 36

15.- En la f igur a: a/ /b ; c alcu lar: x .

Resolución.-

Prolongamos CB y ED hasta intersectarse en O, luego :

a = 9u x

Empleando el teorem a de Sarrus para la poligonal ADOE

60 + a = 90 + 45

Reemplazando: 60 + 90 - x = 90 + 45

x = 15

16.- De gráfico mos trado determ inar el v alor entero ríe " x" cuando "y" tome su m áximo valor entero.

T

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Resolución.-

Del gráfico{2y -x ) + (a + y) + (x y) = 180=> 2y + x —180 ... (1)

Pero: x - y > 0 (definición de < )=> y < x ... (2)

Donde reemplazando tenem os : y < 180 - 2y

Luego : 3y < 180 => y < 60°

El mayor valor entero de "y" será : 59°

Sustituyendo en (1) : 2(59) + x = 180

x = 62

17.- Se consideran los ángu los adyacentes AOB, BOC y COD de modo que la m edida delángulo COD es el doble de la medida del ángu lo AOB.

Calcular la medida del ángu lo BOD si el ángulo A OE mide 1° siendo OE bisec triz del

ángulo BOC.

Resolución.-

Del dalo

En el gráfico :

Entonces .

También :

m 4 COD = 2m 4 - AOB

m 4 CÒD = 2 (1 - a)

m 4 - COD = 2 - 2 a

jr = a + a + 2- 2 - a

x = 2°

—)18.-En una línea recta XX' se ubica el punto O, p o r dicho p un to se trazan los rayos O A , OB,

OC y OD en un mismo semiplano de modo que m < A OC = m < BOD = 90°

Adem ás m < AOB + m < COD = 20° Cal cu lar la m < BOC.

Resolución.-

Sea AÓ B = a => CÓ D = a, ya que :x + a = 90 ... (*)

Dato: m 4 AO B + m 4 COD = 20°

Reemplazando: a + a = 20°

Entonces : a = 10o

En (*) : x + 10° = 90° x = 80°

w

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19.- En el gr áfico L 1// L 2 . Calcular 6 .

Resolución.-

Del gráfico. 60° + 20 + 30 = 180°

Entonces: 5 0 + 6 0 = 180°

Luego sabemos que : 5 0 = 1 2 0 °

G= 24°

20.- La m edida de un áng ulo es 0° Si la diferencia entre los 5/6 del suplem ento de 0 y el com plemento de 6/2 excede en Q/15 el doble d el com plem ento d e 0. Hallar el suplemento d el com plemento de 6.

Resolución.-

Planteamos la ecuación : j Jjj (180°-0)J - j^90° - j - 2 (90 - 0) =

Luego :

Homogenizando:

Luego:

En co nse cu encia:

Nos piden SC?5:

— - 5-° - 90 + | - 180 + 2 0 = ô ¿ lo

90 0-5 9 , 30 ]266 6 + 6 15

900+100 JB6 ‘ 15

4500 + 500-20 =8100

= 270°

=> 0 = 75

= 180-(90-75) = 185^

21.- Se tienen los ángu los c on secu tivo s AOB. BOC, y COD. Se trazan las bisec trices; O M

y ON de los ángulos AOC y BOD. Hal lar m 4- MON ,s i m 4 - AOB + m 4L COD = 186'

Resolución.-

Por dato tenemos que : m 4 - AOB + m 4 - COD =186 ... (1)

Pero en el gráfico: m 4 AOB= a + x - 0 ... (2)

También : m 4 COD= 0 + x - a ... (3)

Lueô (2) y (3) en (1) ■ a + x - 0 + 0 + x - a = 186°

De donde: 2x = 186° .-. jr = 93°

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22 .-Se t ienen los ángu los consecu t ivos AOB y BOC (m 4 AOB < m 4 BOC) ta l que:

m 4 AOB + 2.m 4- BO C = 148B. Se traza el rayo OE bis ectriz del ángu lo AOB y OP

bis ectriz del ángu lo EOC. Hallar la medida d el ángu lo EOP.

Resolución.-

Tenemcs como d at o : m 4 AOB + 2.m 4 - BOC - 148° ... (*)Según el gráfico : m 4 AOB = 2a ...(1)

También se sabe que : m 4 BOC = 26 - a ... (2)

Reemplazando en (*) : (2a) + 2(26 - a) = 148°

De d o n d e: 2a + 46 - 2a = 148°

6 = 37°

_ _ _ _ _ — ^ ^ ^23.- Se tienen los ángu los co ns ecutiv os AOB, BOC y COD tal que OP, OO, OR y OS son

las bisectric es de los ángu los AOB, COD, AOC y BOD respectivamente.

Si m 4 POQ + m 4- ROS = 144° calcular m 4 AOD.

Resolución.-

Tenemos por da to : m ¿ P O Q + m 4- ROS = 144°

Del gráfico: m 4- POQ = to - a + to + 6 ...(1)

También sabemos q u e . m 4 ROS = 0 + 2 a - to - (2)De igual m an era: m 4- ROS =co + 26-0 .. (3)

Sum ando (2) y (3) : 2 .m 4- ROS = 2a + 29

De do nd e: m 4- ROS = a + 6 - ( 4 )

Reemplazando (1) y (4 ): (to - a + to + 6) + (a + 6) = 144°

Sumando: 2(6 + tü)= 144°

m 4 - AOD = 144°

24.- Se t ienen los ángulos c onsecutiv os AOB y BOC tal qu e: m 4 - AOB - m 4 - BOC = 56B —> —> —)

Los rayos ON, ON, OP bisecan a los ángulos AOB, B OC y MON respectivamente

Hal lar m 4L POB.

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86 Problemas de Geometria y cómo resolverlos Ernesto Quispe R.

Resolución.-

Delgráfico: j r= c o -0 ...(1)

También: x = a - co ... (2)

Sum ando (2) y (1) : 2x = a - 6 ...(3)

Pero por dato nos dan : m 4 AOB - m 4 - BOC = 56°Reemplazando: 2a - 20 = 56° => a - G= 28° ... (4)

Reemplazando (4) en (3): 2x = 28°

x = 14°

25.-Se tienen los angujas coi.secuiivo s POA. AOQ, QOB, BOR y ROS; tal que: m 4 POS = 1809,

m 4 BOR ~ 48b, m 4 ROS = m 4 AO P y el ángulo POQ es m enor que el ángulo QOS. — ^

Hallar la m 4 AOQ; sabiendo además que los rayos O A y OB son las b isec tr ices POQ

y QOS respectivamente.

Resolución.-

Nos dicen q u e :

Entonces :

Dato :

Del gráfico :

También:

De (1) y (2) restando m .a .m .:

m 4 QOS > m 4 POQ = 180°

m 4 AOQ = m 4IROS = x

m 4 BOR = 48°

* + 6 = 90° ...(1)

6 -* = 48° ...(2)

2x = 90° - 4o°

2x = 42° jc = 21‘

26.' Se t ienen los ángulos ccnsecut ivos A 03, BOC y COD; tal que :m 4 A OC -m 4 BOD= 109 —> —

y m 4 MON = 100B; siendo lo s rayos OM y ON las bis ectr ices d e los ángu los A OB y

COD respectiv amente. Hal lar la m 4 AOC,

Resolución.-

Por dalo tenem os :Del grafico :

También :

m 4 AOC-m 4 BOD = 10° ... (1)m 4 AOC = 2a + to... (2)

m 4 BOD = co + 20 ... (3)

Reemplazando (2) y (3) en (1) :2cc + co - (co + 26) = 10o

De donde : 2a - 2fl = 10o

Simplificando: cc - 0 = 5o ... (4)

M

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También por d a to : a + co + 6 = 100° ... (5)

Sumando las dos últimas ecuaciones (4) y (5):2a + co = 105°

Pero del gráfico : x = 2a + co

En con secue ncia: x = 105°

27.-Se tienen los ángulos c onsecutivos AOB, BOC, COD, DOE y EOF; tal qu e: m 4 A OF = 180°

m 4- B OD = 90By m 4- AOB = 3.m 4- DOE. Hallar la m 4- BOC, sabiend o además q ue—> —>

los rayos OE y OD son las bisectrices de los ángu los DOF y COF respectivamente.

Resolución.-

Luego de dibujar la figura según las condiciones del p roblema, pasamos a establecer las ecu acio ne s:

36+ 90°+ 26 = 180°

Luego : 50 = 90° => 0 = 18°

x + 20 = 90°

Reemplazando: x + 2 (18°) = 90° => x = 90°-36°

x = 54°

28.- Si m / / n ; calcular ae+ b B+ cB. Siendo 0 = 5ü-

Resolución.-

Por ángulos de lados paralelos movemos 20 al trazar la re c ta " I ” paralela a AB.

Luego : 20 + 20 = 180° + co => co = 40-18O° ... fl)

Ahora por propiedad o+£> + c + co = 0 + 0Reemplazando (1) en (2) : o + b + c + 40 - 180° = 20

Entonces : a + b + c = 180° - 20

Pero: 0 = 50°

En conse cuen cia : a + b + c = 80°

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88 Problemas de Geometría y cómo revolverlos Ernesto Quispe R.

—-) > —)29.- Alred edor de un p un to "O" se trazan en forma consecut iva los rayos J A , OB, OC,

—) — —yOD, OE y OF de mod o que cualquiera de estos rayo s es bisectriz del áng ulo foi mado

po r los rayos anterior y pos terior a esta bisectr iz. Calcular la m edida del ángu loformado po r las bisectr ices d e los ángulo s EOD y BOC.

Resolución.-

Ya que cualquier rayo es bisectriz de los otros dos rayos más próximos entonces los 6 ángulos determinados al rededor del punto O’ serán congruentes.

Sea ”6" la medida de estos ángulos.

60 = 360 => 6 = 60Luego :

Nos piden :x 2 + 0 + 2 - 2

x = 120°

{ y ^ y

30.-En la f igura: L1 / / L2;a / / b y m // n . Calcu

lar : x + y.

Resolucion.-

Por propiedad

De donde :

3a = m < A + a

m < A = a

aPor ángulos alternos : m < T = m < A =-2

Por Sarrus para la poligonal MATLSK se tiene :

x + ^ + 6 = ^ + L ü + 180-y

=> x + y = 180 + (w - 6) ...(1)

En ípleando i iuevarm nte Sarrus para la poligonal OBLS:

1 8 0 + l v = 180- a + 0 =j w - G = | ...(2)

Sustituyendo (2) en (1) ax + y = 180+ ^

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Luis I /baldo C Angulos 89

31.- En la f igura, hallai el men or v alor entero expresado en grado s sexagesim ales que puede tomar x.

Résolut ión.-

Del gráfico: 2x -y + y + x + y = 180 =>

De donde : y = 180 - 3 jc

Pero sabernos que : 2x - y > 0

Luego : ? x > y

Reemplazando : 2x > 180 - 3x

Entonces : 5x > 180 => x > 36

jc = 37°

3 * + y = 180

32 - Se t razan los ángulos adyacentes AOB, BOC, COD. Si m e AOB = m < COD = bBy

m < AOD = a-. Cal cu lar la m ed ida del án gu lo formad o p n r las b isec tr ices de los ányülos A OC y BOD.

Res< lucion -

Del gráfico : QÔ C + b =

También : BÔ P + b =

g -b2

a - b

QOC =

BÔP =

a - 3 b2

a - 3 b

Luego : BO Q — • + x

r. i j a - b a - 3 b .

Reemplazando : — —

= —-— + x

Entonces :

En consecuencia : x =

Ca - b ) ( a - 3 b)2 " 2

0 - 6 - 0 + 3 6 x = b

H3 - Se consideran lo s áng ulo s adyacentessu plemen tarios AOB y B OC se trazan las —> —> ----

bisect r ices OP y O Y de los ángulo s AOB y BOC, luego se t raza OZ, b isect r iz de l

< POY, si m < AOB - m < BOC = 60B. Hal lar la m ed ida d el < BOZ.

Resolución.-

Del gráfico por propiedad : a + 6 = 90 ... (1)

Dato: m < AOB - rn < BOC = 60

Reem plazando: 2a - 20 = 60

De donde : ct - 0 = 30 ... (2)

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90 Problemas de Geometria y cómo resolverlos Emosto Quispe R

Sumando (.1) y (2) m.a.m. : 2 a = \ 2 0

=> a = 60 ; 6 = 30

Del gráfico : x + 0 = 45

x = 15°

34.- Seana. y(L I p s medidas de dos ángulo s. Si los 7? del suplemento del complemento deP P

los ^ de la di ferencia entre el sup lemento d el suplemento de a y el com plemento del

comp lemento de p es igu al a los — del sup lemento del com plemento de los de la

di ferencia entre el complemento del complemento de a y el suplemento del suple

mento de p, l u e g o :

Resolucion.-

Exprescmos simbólicamente el enunciado del p roblema :

^ j s c |^ S S a -rc p | ¡ = P S c | j (CCcc - SSP)j

Operando se tiene : ^ | l8 0 - 9 0 + ^ ( .a- P ) j | = ^ |l 8 0 —90 p ^ J }

Simplificando :

Entonces :

De donde :

Finalmente :

90+P2

JL

a

= £

a

a90 + - p - - a

90 + a - P = 9 o ( ! ) + a - p

90(l)-90©a = p

35.- En la f igura adjun ta se muestran una l inea po lig on al formada po r n segmentos los cuales forman ángulos entre

si y también con las paralelas L 1y L Si los ángu los formados t ienen sus medidas que determinan una progresión aritmética decreciente de razón “r". Calcu lar la medida del mayor ángulo a.

Resoluclón.-

Del gráfico deducimos que como hay "n" segmentos que conforman la línea poligonal, entonces habrán ¡( «T i) ángulo donde :

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Luis 'Jha ldo C. Angulos

El penúltimo < : a - (n - 1) r

Y el último < : a - n r

PorSairus:

a + a - 2 r + + a - n r = a - r + a - 3 r +... a - (n - l)r

a + ^ - 2 r | 1+ 2 + ... +

De d o n d e:

Ahora:

Luego:

a.K i IíH = . r y

a = f (n + 2) = - i n _

^ rn r , c\ \ rn« = 4- (n + 2) - —

^ - r ( 1 + 3 + 5 +. ..+ n -1)a-(n-l)r¡i 'cL-nr

a = rn

36.-En la f igura mostrada: m / / n ; a / / b y m ffn .

Calcular: x + y.

Resolución.-

Del gráfico : 2tp = 90 + 2a

Entonces : 2$ - 2a = 90

Luego : <]>- a = 45

También en ia poligonal ABC : j t + ( ] > + 9 0 - a = 1 8 0

Ordenando:

Reemplazando

x + < j ) -a +9 0 =1 8 0

x + 135 =18 0

x = 45

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37.- En la figura L 1 / / y y + p = 260°

Calcular x.

Resolución.-

Er. el gráfico por Sarrus: x = 3a + 30

Luego : ^ = a + tí

También: < P = luO

Por consiguente en la poligonal PQBR :

< B = 80También en la poligonal ABCD, ten em os :

80 = x + a+6

Reemplazando : 80 = x + -

Finalmente : 4* = 240

x = 60

38.- Se tienen los ángulos cons ecutivos A OB, B OC y COD; tal q u e:

m 4 - POQ + m 4 - ROS = 140e,

—> —> —> —>

siendo los rayos OP, OQ, OR y OS las bisectrices de los ángu los AOB, COD, A OC

BOD respectivamente. Hallar la : m 41 AOD.

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Luis Ubalclo C. Angulos

Resolución.-

Por dato tenemo s :

m 4. POQ +m4LROS = 140°

Del gráfico: m 4 - POQ = a + 2w + 0

También : m 4 - ROS = o + 0 - (a + o - 2 a)Reemplazando en el da to :

(a + 2w +0) + [o = 0 - (a + o - 2a)] = 140°

De donde : 2a + 20 + 2w = 140°

Pero la m 4 AOD : 2a + 20 + 2w = 140°

m 4 AOD = 140°

39.-Se tienen los ángulos adyacentes AOB, BOC y COD de mo do que O A y OD son ray —> —> —>

opuestos, además la m < BO C = 1209. Se trazan los rayos O X , O Y , OP y OR bise

tnt.es de los ángulos AOC, BOD, BO Y y XOC respectivamente. Calcular la m < PO

■tesoiucior..-

Sean m < AOB = 2a y m < COD = 20

Luego : 2a ■+■120 + 20 = 180 =» a + 0 = 30°

—>Va que : OX es bisectriz del < AOC

=> m < AOX = m < XOC = 60 + a —>OY es bisectriz del < BOD

=> m < BOY = m < YOD = 60 + 0 —►OP es bisectriz, del < BOY

=> m < BOP = m < POY = 30 + |

OR es bisectriz del < XOC => m < XOR = m < ROC = 30 + ^

Del gráfico observam os que : 2a + 30 + ^ + 0 + 30 + ^ + 20 = 180

+ 60 + | (a + 0) = 180 => $ = 120 - 1 (30)

$ = 120 - 1(3 0)

O

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40.- En la fi gu ra L j / / L2 , si a + $ + <¡>+ y = 140° ca lcu lar : x .

Resolución.-

a + p+ $A 4

¿i

En la poligonal ABC :

Dato:

Reemplazando en (*)

j f + a + p + (¡)+Y = 180 ... (*)

a + P + (])+Y = 140

x + 140 = '.80

x = 40

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PftOtíltMAS PROPUESTOS

1.- La diferencia entre las medidas de los ángulos consecutivos AOB y BOC es 30°. Hallar

—)la medida del ángulo que forman el rayo OB yla bisectriz del ángulo AOC.

A) 5o B )l(f C) 12° D) 15° E) 18°

2.- Se tienen los ángulos consecutivos AOB

y BOC (m AOB > BOCm). Hallar la medida delángulo que forman las bisectrices de los ángulos AOB y AOC. Si m 4- BOC = 40°.

A) 5o B) 7,5° C) 10° D) 15° E)20°3.- Se tienen los ángulos consecutivos ABC,

CBD y DBE, siendo BD la bisectriz del ángulo

CBE Calcular la med.da del ángulo ABD si lasuma de los ángulos ABC y ABE es 62°.

A) 27° B)29° C)31° D)35° E)38°

4.- Se tienen los ángulos con'.scuu vos \OB,BOCy COD, tal que la mjfL AOC = m 4- BOD - 7(f.

Calcular la medida del ángulo que forman las bisectrices de los ángulos AOB y COD.

A) 35° B)40° C)45° D)50° E)70°

5.- La suma del complemento de la medida deun ángulo, con el suplemento de la medida deotro ángulo es 140°. Calcular el suplemento dela suma de las medidas de ambos ángulos.

A) ÍCP B)20° C) 3(f D)40° E)50°

6.- Si a uno de dos ángulos suplementarios se'e disminuye 35° para agregarse al otro; dacomo resultado que el segundo es 8 veces loque queda de) pr.mero. Hallar la diferencia deestos ángulos suplementanos.

A) 7(f B)65° C)60° D)55° E)5(f

7.- í>i el complemento del suplemento del su plemento del complemento de un ángulo mide

15°. Hallar el suplemento del complemento, delcomplemento del suplemento de dicho ángulo.

A) 7,5° B)9° C).'0° D) 12° E)15°

8.- Se tienen los ángjlos consecutivos AOB, —> —> —>

BOC y COD, siendo OM, ON y OL las bisectrices de los ángulos AOB, COD > MONrecpectivamente. Hallar la mea.aa ael ánguloCOL. Si m 4IMOC - m <¡CNOD = 83°

A) 4 Io 30'D)37°

B)40°E)53°

C)38° 30'

9.- Si m//« y allb ; calcular jt®.

A) 3 Io

B)32°

Q33°

D)34°

E)35°

10,- Si ml/n y 0o es la medida de un ánguloagudo y mayor de 50°. Calcular el máximo valor entero de x°.

A) 109°

B) 112°

C)116°

D) 118°

E)12(f

11.- La diferencia de las mecada de dos ángulos consecutivos AOB y BOC es 60°.

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96 Problemas de Geometria y cómo resolverlos Ernesto Quispe R

calcular r°

calcular .«0

Calcular la ni 4IDOB. Si OD es bisectriz del

ángulo AOC.

A) ÍCP B)20p C)3 (f D)40° E)50°

12.- Dados ios ángulos consecutivos DOA,

AOb y BOC; de manera que el ángulo DOBmide 8(f, se trazan las bisecti ices ON y OM de

los ángulos DOA y BOC respecti vamente. Calculai lam 4IDOM. Si el ángulo BOC mide 60°.

A) 100° B) 110° 0)120*

D) 130° E) 140°

13.- De qué ángulo debe restarse los 2/3 de sucomplemento para obtener 52°.

A) 25° B) 38° C)72° D)54° E)67,2°

14.- De qué ángulo se debe restar la quinceava pane del mple de su complemento para obtener 6o.

A) 15° B,J2° Q 2 (f D)3(f E)45°

15.- S¡ C —» complemento: calcular "n" en :

2C +C2C +C2C2C =160°n n n

A)5° B)8° C ) iœ D) 12° E) 15°

16.- El triple de la diferencia entre el suplemento de.Xe y el complemento de jt° es igual aldoble del suplemento del complemento deldoble de jt”.

A) 90° B)45° C) 3(f

D)60° E) 22° 30'

17.- Si allb\ calcular el complemento de 0o.

A) 4(1°

B.5CF

C)7(f

D)2ü°

E)60P

18.- S i rnlln ;

A) 60°

6)70*

C )8(f

D)90°

E )100°

19.- Si mlln ;

A) 90° B)60° C )45° h a

D)90°-a E)72°

20.- La suma de las medidas de los ángulos es140°; y el duplo del complemento del prir >

es igual al triple del complemento del complemento del suplemento de su ángulo doble êlsegundo. Hallar la medida de dichos ángulos.

A) J0CT y 40° D )60 °y80°

B) 90° y 50° E) N.A

C) 70° y 70°

21.- Sea "a" la ned.da de un ángulo si la di

ferencie entre los ^ del suplemento de a y el

complemento de la mitad de la medida oe di

cho ángulo excede en al doble del com plemento de a . Calcular el complemente delsuplemento de a.

A) 140° B ) 145° C) 148°

D) 165° E) 170°

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LuisUbaldoC Ángulos 97

22.- Se considera los ángulos adyacentesAOB, BOC y COD. Calcular la medida del ángulo que ibrman las bisectrices de los ángulosAODy BOC,si: m < AOB -m < COB = 0.

A)0 B ) | C ) | D ) | E ) | e

23.- Se consideran los ángulos adyacentes

AOB y BOC, si se trazan las bisectrices O N ,

OM, OF y OH ,d e los ángulos AOB, BOC , yMOF respectivamente. Calcular lan» < BOH,sim < BOC -m AOB =40°

A) 5o B) 7,5° C ) l( f D) 12° 30 ' E)20°

24.- Si a la med.aa de un ángulo le disminuimos su cuarta parto más que la mitad que sucomplemento, resulta un tercio de la diferenciaentre el complemento y el suplemento del mismo ángulo. Calcular la medida de dicho ángulo.

A) 12° B) 14° C)16° D) 18° E)2CT

25.- Calcular el complemento de la semidi-ferencia de las medidas de dos ángulos talesque la medida del primero excede en 60° al com

plemento de la medida del segundo y la medida del segundo sea igua1a la mitad cel suplemento de la medida del primer ángulo.

A) 30° B)37° C)45° D)60° E)75°

26.- Se consideran los ángulos adyacentesAOB BOC y COD, se trazan las bisectrices

OX, OY, OZ de los ángulos AOB, COD y

XO Yrespectivam ente.Calcularlas < AOB,si m < XOC +m < XOD - 4 m < BOZ = 80°.

A )8(f B)60° C)40° D) 5(f E)2 (f

27.- Se tienen los ángulos consecutivos AO By BO C de tal manera que :

m < AOB +m < BOC = 300° —> —>

Se trazan los rayos OP y OQ bisectrices de los

ángulos AO B y BO C respectivamente; luego > -* A

OR y OS bisectrices de los ángulos AOQ y

CÓP. Calcular la medida del ángulo ROS.

A) 60° B)65° C) 75° D ,8 (f E)105°

28.- Al rededor de un punto O se trazan losrayos O A, OB, OD y OE, de modo que las medidas de los ángulos AOB BOC. COD y DOE

—)sean proporcionales a 1, 3,4, y 5. Si OD es la prolongación de la bisectriz del <AOB. Calcular la medida del ángulo que forma dicha bisectriz con el rayo OE.

A) 12° B)60° C)48° D) 120° E) 72°

29.- Hallar jc, si £ , / / £ 2 .A )137°

Bj 138° 30'

Q 140°

D) 141° 30'

E) 141°

—> -—>

30.- En la figura OA // M N , calc ulara

A) 15°

BjlS°

C)20°

D)24°

E)27°

31.- Calcular la medida del mayor de tres ángulos que están en la relación de 3, 5 y 7, sa

biendo que el complemento de la suma de lasmedidas oe los ángulos es 15o.

A >48° B}25° C)3 (f D)35° E)45°

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32.- Si a la medida de un ángulo se le aumentase el cuadrado de la medida de su complemento se obtendrá 180°. Hallar la medida de dichoángulo.

A) 100° B',99° C)8(f D)60° E) N. A.

33.- En la figura mostrada: hallar«/ 4ICO M si

m 4- BOC -m 4- AOC = 24°. ÜM bisectriz del¿ A O B .

A) 12°

B,18°

C)20°

D)24°E)N.A

34.- Si al suplemenio de la medida de un ángulo le disminuimos 30° menos que el doble de lamedida de su complemento, esto es igual a 3/11de la medida de su suplemento. Hallar la medida de dicho ángulo.

A) 10° B) 15° C)30° D)40° E1N.A.

35.- Si el complemento del suplemento del su plemento del complemento de un ángulo mide10o Hallar el suplemento del complemento delcomplemento del suplemento de dicho ángulo.

A) 5o B)2Cf C)36“ D )8(f E)10°

36.-S i : JSl| / / i l 2 y /l¡¿4 ; hall ar. jt.

37.- Sean los ángulos adyacentes suplementarios AOB y BOC; se trazan los rayos OM y

ON bisectrices de los ángulos AOB y BOC; —> —>

además se trazan los rayos OP y OQ con lacondición : 2 m 4- AOP =m 4- POM y

2 m 4- COQ =m 4L QOMCalcular la medida del ángulo que forman las bisectrices de los ángulos MON y POQ. S i :m4L AOB m 4 . BOC = 72°

A) 8o B)10P C) 12° D) 14° E)16°

38.- Hallar r ; si : £ , / / £ ,

A) 60°

B)75°

C )105°

D) 135°

E)N, A

39.- S i: ^ // ; hallar t.

A) 100“

B) 120°

C) 130°

D) 140°

E)15CP

40 . -S i :£ , / /£> .

Hallar*; si : a + b + c + d - 122°

A) 4 Io B)51° C)60f D)61 E) N.A.

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4.1 DEFINICIÓN

Es la reunión de 3 segm entos determinados por 3 puntos no colineales

NOTACIÓN:

A ABC; se lee "triángulo ABC"

CARACTERÍSTICAS :

- Posee tres lados, tres vértices , 3 4- interiores y 6 4-S exteriores.

- Simbólicamente : A ABC = A B u BC uA C

- Perímetro : 2p —AB + BC + AC

La Región triangular es la reunión del triángulo con todos sus puntos interiores.

4 inteiicu

F¡8 4.1

4 .2 TEOREMAS FUNDAM ENXUJSS

TEOREMA 1.

La sum a de las medidas de sus 3 ángulos interiores es 180°.

En el gráfico, podem os observar que :

<x + P + 0 = 1 8 0 ...(4.1)

TEORFMA 2.

La medida de un ángulo exterior ($) es igual ala suma de 2 ángulos interiores (a) y (3) no adyacentes a él.

Es decir

(4.2)

Fig. 4.3

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100 Problemas de Geometría y cómo resolverlos En,esto Quispe A

TEOREMA 3

Un lado está com prendido entre la cum a y la diferenció de los otros lados

A este teorema se le llama "Teorema de la Desigualdad tnangular"

Entonces: a - c 0 <=> a > c (4.4)

Observación:

La suma de tres ángulos exteriores de un triángulo es360°.

Entonces:

e , + e 2 + e 3 = 36(T ... (4.5)Fig. 4 .6

4 3 CLASIFICACION DE LOS TRIANGULOS A) SEGUN SUS ANGULOS

a) AACUTÁNGULO:

Es aquel que tiene tres ángulos agudos, o sea menores de 90°.

Así:

a <90°

P<90°

G<90°

b) A OBTUSÁNGLILO :

Es aquel triángulo que tiene un ángulo obtuso y dosángulos agudos.

Así tenemos :

0>9O° —> obtuso

a <90°

P<90°agudos

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Luis Ubaldo C. Triángulos I 101

c) A RECTÁNGULO:

Es aquel triángulo que tiene un ángulo recto y dosángulos agudos.

Así:a + 6 = 90” ... (4.6)

Fig. 4.9B. SEGÚN SUS LADOS.

d) A ESCALENO:

Es aquel triángulo que tiene sus tres lado:, diferentesy sus tres ángulos interiores diferentes.

Fig.AAQ

e) A ISÓSCELES:

Es aquel triángulo que tiene dos lados congruentesy los ángulos que se oponen a dichos lados son tam

bién congruentes.180 —fi

Del gráfico ¿ a + 0 = 180° => a = -— ^—

=> a = 90° - | a < 90° ... (4.7)Fig. 4.11

0 A EQUILATERO :

Es aquel tnangulo que tiene sus tres lados congruentes y sus tres ángulos interiores que miden 60° cadauno.

Cateto

0

"1 “ NCateto

Fig. 4.12

g) OBSERVACIÓN :Si en el A ABC mostrado se cumple que :

AB = BC y

m4LB = 60°

A ABC, es Equilátero

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102 Problemas de Geometría y como resolverlos Ernesto Qulspe R.

€}€R c k * o s oe apuración Mr* PAR.t!

1.- En un triángulo ABC, se to man lo s pun tos mente, tal q u e: A M = MP y PN = NC. Hallar

Resolución.-Aplicando el Teorema 1del ítem (4.2) tenemos :

a + |3 + 70° = 180° => a + P = 110° ....

Del gráfico también : x + a + P = 180°

7 l0°"

x = 70°

2.- Las medidas de los ángulos interno s de un t r iángulo son pro por cion ales a los nú me

ros 2, 3 y 4 Calcular la medida del sup lemento d el com plemento d el ángulo in termedio d el triángulo.

Resolución,

Aplicando el Teorema 1 del item (4.2)

26 + 36 + 46 = 180°

96 = 180°

0 = 20°

Nos pidekf Sc3e = Sc^, = S3ü = 150°

Sc6lr = 150°

3.- Calcular la medida del m ayor ángulo de un tr iángulo, en el c ual la medida d el mayor,ngu¡o es el duplo de la medida del m enor y la medida del tercer ángu lo excede a la

del menor ángulo en 16°

Resolución.-


6 + 20 + 6 + 16° = 180°

46 = 164°

6 = 41°

Nos piden : < mayor = 26 = 82°

< mayor = 82°

4.- En un triangulo ABC, A C = BC, sobre A C se toma el pu nto “ E", t ai q u e: AB = BE = EC.Hallar la m < ACB.

M, P y N sobre A B, AC y BC rsspentiva-la m < MP N, s i m m < EBA = x

Por el Teorema 1 del item (A 2)

2x + 2x + x = 180°

5* = 180°

x = 36°

5.- En un tr iángulo PBR {PB = BR), se prolongan B P y P fí hasta los pun tos C y A

respectivamente, tal que AB = BC. Hallar m < PCA s i m < RBC = 00°

Resolución.-

A ABC isósceles : m < A = m < C = x + Q

A APC por el Teorema 2 del item (4.2)

m < BPC = * + 0 + * = 2jf + 0

También en el A BRC por el mismo Teorema

m < BRP = 30° + 0

Como A PBR isósceles : m < BPR = m < BRP

2x + 0 = 30 + 0=> 2x = 30

x = 15°

6.- En un t r iángulo isósc e les AB C (AB = BC) se toman los pun tos E y F, sobre A B yB C respect ivam ente, tal que el t r iángulo CEF es equi látero. Hal lar la m < FEB, sim < A CE = 0

Resolución.-

Como A EFC es equilá tero :

m < EFC = m < FEC = m < FCE = 60°

Además A ABC, isósceles : m < A = m - r C = 60° + G

Luego A AEC por el Teorema 2 del item (4.2):

60° + x = 60° + 0 + 0

x = 2Q

B

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7.- Dos lados de un tr iángulo escaleno m iden 5 y 7 m, enteros imp ares qu e puede tom ar el tercer lado.

Resolución.-

Por el Teorema 3 del ítem (4.2)

T enem os: 7 - 5 < x < 5 + 7Luego : 2 < * < 12

E ntonces: * = 3 . 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 1 0 , 1 1

Por. lato A ABC es escaleno, entonces los valores que puede

* = 3 , 4 , 6 , 8 , 9 , 1 0 , 1 1 /. X * = 5 1m

8.- En un t riángu lo ABC, se sabe q ue AC + B C = 11, exterio r y relativo a AB se tom a epun to “P" tal que : PA = 4 y PB = 5. Calcular la diferencia entre el mayor y el meno r

valor entero que tom a PC.Reso lución . -


A CAP : a - 4 < * < a + 4 . . . I

A OBP : b - 5 < * < b + 5 ... II

Sumando I y II: (a + b ) - 9 < 2x < (o + b ) -1- 9

Por dato : a + b = 11

Reemplazando : 11 - 9 < 2x < 11 + 92 < x < 1 0

x . = 9máx

x t - x . —6mAx mín

* = 3irun

B

S.- En un triángulo AB C, en la región exterio r y relativa a A C se ubica el pu nto “P ”. Calcular til valor entero de AP. Sabiendo que la recta perpend icu lar a AC trazada po r C intersecaa A P ; además AC toma su m áximo valor entero, AB = 3 m, BC = 6m y PC = 2m.

Rqsolur’on -

A ABC por el Teorema 3 del item (4.2):6 - 3 < AC < 6 + 3 => 3 < AC < 9

Por dato : AC es máximo => AC = 8

Aíiora A ACP por el Teorema 3 del item (4.2)

8 - 2 < x < 8 + 2 => 6 < * < 1 0 ...I

Del gráfico podemos dam os cuen ta que x > 8 ... II

De I y II x = 9 m

B

calcu lar la suma de los valores

tom ar* será :

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Luis Ubaldo C.

a) Mediana : BM

Fig. 4.15c) Bisectriz: BD y BE. Las bisectrices interiores concurren en el punto (I), llamado mcentro

Observación :

Para el triángulo ABC "E" es uno de sus 3 excentrosy éste es relativo al lado BC.

Entonces el excentro es el punto de intersecciónde Jo s bisectrices exteriores con un a bisectriz interior. -------- •'

Triángulos I 105

uriS XOTAJBiJESLas pieJianas t oncurren en eJbariceruro "G"

Propieaaü ■ a G = 2GN

Fig. 4.17

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106 Problemas de Geometría v como resolverlos Ernesto Qulspe R

e) Cev ian a: BP y BQ

3 ceviands culesquiera que se intersecten determ inan el cevencen tro (TI

füj.4.20

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¿ j f c K U U U i ¿rt i A r i H u u u n (2-

10.- El segmento de recta que un vértice de un tr iángulo en el punto medio d e su lado opuesto se l lam a:

A ) Med iat r iz B) B isec tr iz C) Med ian a D) A ltu ra E) Cevian a

Resolución.-

Aplicamos el caso "a" del punto 4.4 y nos Jam os cuenta que dicho segmento se llama mediana.RPTA. C

11.- En la figura, BM es mediana, si

hal lar o G ; BM = 24.

Resolución.

Si : BM es med iana => BG =

Luego sea : GM = a => BG =

Ahora : BM = 24 =>2a + a =

Por consiguiente : a =

Reemplazando (2) en (1) : BG =

BG =

12.- Las tres alturas de un tr iángulo, concu rren en un punt o l lamado : .

A ) Bar icen tro B) Ex cen tro C) Or tocen tro D) Circuncen tro E) In cen tro

Resoluc ión,-

El ortocentro, es el punto de intersección o punto de concurrencia de tres alturas dal triángulo.RPTA. C

13.- En un triángulo o btus ángulo , el ortoc entro se encuen tra en :

A ) Un pun to in ter io r del t r ián gu lo D) Un vér tice del trián guloB) Un punto exter ior del t r iangulo EJ N.A.

C) El pun to m edio de un lado d el tr iángulo

Resolución.-

En un triángulo obtusángulo el ortocentro se encuentra e n un punto exterior del triángulo.RPTA. B

"G" es el baricentro,

2 GM

2o .. (1)

24

8 (2)

2(8)

16

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14.- ¿Cuál de las sigu ientes afirm acion es es falsa?

A ) En un triángulo rec tángulo, el ortocen tro se hal la en el vér tice del ángulo recto.

B) El pun to de intersección d e las b isectrices int eriores d e un t r iángulo se l lama incentro

C) Las mediatrices conc urren en el pu nto l lamado excentro.

D) Una bisectriz interior con dos bisectric es exteriores co ncu rren en el excentro.

E) El pun to de intersección de tres cevianas se l lama cevencentro.

Resolución.-

El circuncentro es el punto de concu rrencia de tres mediatrices . RPTA. C

15.- De las sigu ientes afirm acion es, d iga Ud. cu ál es la verd adera :

A ) En un triángulo rec tángulo, las med iat rices se encuen tran en el punto med io de lahipotenusa.

B) En un tr iángulo rectángulo, las mediatrices se encuentr an en el pu nto medio de un ode sus catetos.

C) En un tr iangulo acutangulo, las mediatrices se encuentran en un punto exterior atriángulo.

D) En un tr iángulo obtus ángulo, las mediatrices se encuentran en un pun to interior atriángulo.

E) Sólo B y Cs on correctas.

Resolución.-

Las mediatrices en un triángulo rectángulo se encuen tran en el punto m edio de su h ipotenusa

RPTA. A

16.- En un tr iangulo rectángulo de hipotenusa igual a 10cm, hallar la distancia deortocentro al circuncentro.

Resolución.-

Según lo estudiado anteriormente el ortocentro se encuentra en "B" y el circuncentro en "M"entonces:

Propiedad que estudiaremos más adelante

— AC ~ BEntonces: BM = ~ Ortocentro -

Ahora BM es la distancia pedida, entonces :

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17.- El pun to de inters ecció n de tres cev ianas de un triángu lo, tam bién se le l lama :

A ) Gr av icen tro B) Centro de Grav ed ad C) Pu nto A fer en te

D) Punto de Menelao E) Pun to Cevlano.

Resolución.-

En honor al gran matemático Ceva, el punto de concurrenc ia de tres cevianas. tam bién se le

llama punto ceviano. RPTA. E

18.- En la siguiente figura, hallar "x".

Resc'uc.on. ■

Dei grá fico:

También:

Luego:

Reemplazando (2) en (1):

* = a + 0 ... (1)

2a + 20 = 180°

a + 0 = 90° ... (2)

x = 90°

19.- En un triángulo los án gu los A, B y C miden 60°, 40° y 80° respectivam ente, hallar el ángulo que forma las b isectr ices de ¡os ángulos A y C.

Resolución.-Fn el triángulo AIC :

En consecuencia

B* + 30 + 40 = 180°

* = 180-70

* = 1 1 0

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4.5 PROPIEDADES

a) En un triángulo, el ángulo formado por las bisectricesinteriores de dos ángulos, se puede calcular con la siguiente relación (Fig. 4.21a):

b) En todo triángulo, el ángulo formado por una bisectrizinterior y una exterior, está dado por la siguiente relación(Fig 4.21b):

c) En todo triángulo, el ángulo formado por dos bisectricesexteriores, está dado por la siguiente relación (Fig. 4.21 c):

x = 90° + a

a jc =

* = 90° - ^

... (4.8)

... (4.9)

... (4.10)

d) En un triángulo, el ángulo formado por una altura y una bisectriz trazadas desd e un mismo vértice, está dado por lasiguiente relac ión :

e) En la siguiente figura si BD es bisectriz la medida del

ángulo "x" es tá dado por la siguiente relación :f) En la siguiente figura (cuadrilátero cóncavo), el ánguloconvexo exterior, está dado por la siguiente relación :

Fig. 4.2

... (4.11

■x = 90° | | ... (4 .12

x = a + p + 0 ... (4.13

Fig. 4.2

g) En la siguiente figura, el ángulo V está dado p or lasiguiente relación .

h) En la siguiente figura, el ángulo V está dado por lasiguiente rela ción:

f a + e l= b n - (4-i4

= ( ^ ) - (4 .1 5

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Luis Ubaldo C Triángulos I 111

i) En la sigu iente figura, el ángulo "x" está dado por lasiguiente relación: * = 45" - £ ... (4.16)

4

j) Si m 4 - EBC = aTambién : Si/r, 4I ABF = aLuego : AB = AF

AB = BE = ECBF = BC

Fig. 4.23

k) Eii la siguiente figura, si BD es bisectriz y m -*»1A = 2 m 4IC,

entonces el lado BC, está dado por la siguiente relación :

1) En la siguiente figura, ¿i BE es bisectriz y m 4 - A = 2m 4IC,entonces el lado BC, está dado por la siguiente relación :

BC = Ab + AD ... (4.17)

BC = AE - AB ... (4.18)

m) En el triángulo rectángulo mostrado, BH es altura y BE bisectriz del 4- HBC , entonces secumple lo sigu iente :

AB = AL (4.19)

n) En el triángulo rectánguloBH es altura, BD y BE son

bisectrices d e Iob ángulo sABH y HBC respectivamente , en tonces se cum

ple lo sig u ien te :

DE = AB + BC - AC

... (4.20)

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ei€RCIC!OS O f -VUCACIÓh (3ra Í'£\RT€)

20.- Según el gráfico dado calcu lar “x ”

Resolucicn.-

Por propiedad de ángulos de lados perpendiculares :

m < B = m < P - x

A QPR por el Teorema “a” del ¡tem (4.5)

2x = 90°+ j

^ = 90°

x = 60°

21.- En el triáng ulo AB C; m < B = 100°.

Hallar x

Resolución.-

En el A ABC por el Teorema “a" del item (4.5)

100°m < ADC = 90° + ~ -

m < APC = 140°

Poi propiedad de ángulos de lados perpendiculares :

x + 140° = 180°

* = 40°

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Luis Ubaldo C. Triángulos / 113

22.- Hallar " x" de la figura

Resolución.-

Haciendo los trazos indicados y aplicando el Teorema “b”del item (4.5)

A ABC tenemos m < P = 20°

Luego A APC tenemos : m e * =1 0°

* = 10°

23.- Del gráf ico calcu lar “x ”

Resoluclón.-

Haciendo los trazos indicados :A ABC por el Teorema “a” del item (4.5).

m < BPC = 90 + = 130°

Luego A BPC por e I Teorema “c” del item (4.5)

nn 130°m < x = 90 — —

x = 35°

24.- Del gráf ico c alcular “x"

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B

Resolución.-

Por la propiedad “b” del item 4.5, tenemos :

m < P = x

También :

4x + 4x + x = 180°

9x = 180°

x = 20°

\ x ¡

25.- Del la f igura calcu lar “x ”

Resolución.-

Haciendo los trazos indicados se forma el A RST, aplicando elTeorema “c” del item (4.5)

70° = 90 - f

5 = 40°

Por propiedad de ángulos de lados perpendiculares :

x = 40°

,S

26.- De la f igura mostrada calcu lar el valor de “x "

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Resolución.-

Aplicando el Teorema “b” del ítem (4.5), hacem oslos trazos indicados en el A ABC.

m < R =

m < B 40°= 20 °

2 2

Ahora en el A TCR, aplicando el Teorema anterior :

m < R m < x =

17? < X = 1 0 o

20°

2

27.- En la f igura mostrada, hallar la medida del

ángulo “x"

Resol ucion.-

Por la propiedad “b” del item 4.5 tenem os que :m < APB = 20°

Por ángulos de lados perpendiculares :

x = 2 0°

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11b Problemas de Geometría i cómo resolverlos Ernesto Qulspe R

M i s c e l á n e a

1.- En la figura, si A E = E F ; c alcular x9

Resolución.-

En el A ABC, por el teorema del ángulo exterior :

(Ji = m 4 A + 40° => m 4 - A = 0 - 40°

Pero dado que el A AEF es isósceles, tendremos :m 4 - A = m 4 AFE = 0 - 40°

Luego en el A FBC, también por el teorema delángulo exterior tenemos : <J>- 40° + x —<¡>+ 40°

x = 80c

2.- En la figur a; c alcu lar xe.

=■ *

2 0 - t - Z . b W i B O- p a j a r o .o

Kesolución.-

Recordemos la propiedad : y = ^ ^

Al aplicar esta propiedad en nuestro problema, observamos que:

24o = i2 _±-£ ^ a +¿, = 48° ... (I)

Finalmente en el AABC : x + 2 (a 4- b ) = 180° ... (2)

Reemplazando (1) en (2) : x + 2 (48°) = 180°

En co nse cue nc ia: x = 180° - 96

x = 8 4°

i

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3.- Calcular: x + y + z , en el gráf ico sig uien te:

Y - 2 6 ^ ' l v

Z = 1 3 0

(: v v f 7 . = IB O o ' '

Resolución.- ^ '

Del gráfico, por el teorema del ángulo exte rio r:

x = a + 0 —(1)

También : y = 2 a + 2 0 ...(2)

De igual m an er a: z = 180° - (3 a + 3 0) ... (3)

Sumando (1), (2) y (3) : x + y + z = 3a + 30 + 180° - 3a - 30

jc + y + z = 1 8 0 °

4.- Calcular x s ; s i : a + 0 = 124°

Luis Ubaldo C. Triángulos / 117

+ 8 + 1 ' V

&

‘ f . -

Resolución.-

En el AMBH : x + n = 90°

Multiplicando por 2 miem bro a m iem bro: 2x+ 2n = 180°

Transponiendo términos, tendrem os q u e :

2n = 180o- 2x ... (1 )

En el A ABC : 2n + a + 0 =180°

Despejando el término 2n, tendremos :

2n = 180° - (a + 0) ...(2 )

Igualando (1) y (2): 180° - 2x = 180° - (a + 0)

Eliminando 180° y despejando encon tramos qu e : x = a j ^

124°Reemplazando el dato : x = *-x -

jc = 6 2 °

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5.- Calcular x, en la sigu iente figura.

-V © + <j)

Resoluclón.-

Del gráfico, en el triángulo CDE (4 - exterior)

x = <J>+ 170° - 0 ...(1)

También en el triángulo ABC :

x = 0 + 160° - 0 ... (2 )

Súmanlo miembro a miembro (1) y (2) :

2a. = 330

x = 165°

6.- En la figura, calc ular x c ,s i : a + b = 220 ' , y,CN = NM .

Resolución.-

En el A ABC, sabemos por teoría que :

o + 6 + 20 = 360°

Por dato, tendremos : 220° + 20 = 360°

Ahora : 20 = 360° - 220° =» 20 = 140°

0 = 70°

Entonces en el vértice C, se ten drá q ue :

a = 10°

Finalmente en el A MCQ : x = a + a + 0

Reemplazando : x = 40" + 40° + 70° x = ISO0

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7.- Calcular x, en el gráfic o m ostrado .

Luís Uboldo C.

fcMf*"c a

Triángulos l 119

8.- En la f igura, se sabe q u e: B C //D E , además AD = DE, y: m - n = 36°; c a lcu lar a .

Resolución.-

Recordemos la siguiente propiedad :

x = 9 0 ° -^

Para nuestro problem a : 80° = 90° - ^

Donde : | = 90° - 80° => f = ,0 °

x = 20°

Resol ución.-

Si BC // DE, entonces la m 4 D = m 4- ACB = a

En el A ABC: m = 3jc + a ... (1)En el A AED : n = 2x + a ... (2)

Restando (1) y (2) miem bro a miembro : m - n = x

Del dato se sabe que : 36° = x

a = 36°

9.- Del gráf ico se pid e calcular x.

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Resolución.-

En el triángulo somb reado :

3x + 3x = 180° + o => u = &x - 180°

En el cuadrilátero no convexo ABCD, se tiene :

(d = 3 (180° - 4x )De (1) y (2) : 6* -180° = 3 (180°) - 12x

Donde : 18x = 720

x = 40°

10.- En la f igura, calcular "x" s i : A M = MC

( 0

(2)

i - n j

lOO-

Resolución.-

E1 triángulo rectángulo PMC es isósceles : PM = MC

En el fcí>. AHC, trazamos la mediana HM, en to nces :

HM = AM = MC

También:

Entonces:

En el A HMC (< exterior) :

=>

El triángulo PMH es isósceles :

m < HAC = 55°

m < AHM = 55°

m < AMH = 70°

m < PMH = 20°

HM = PM

x = 80°

B

11.- Una recta perp end icu lar a la bas e AC de un triáng ulo i só sceles AB C, intersecta en M

a AB y en N a la pro long ación de CB . Si A M = a y NC = b. Ha lla r: BC.

Resolución.-

En el b. AHM: 6 + a = 90°

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Luis Ubaldo C. Triàrgulos 1 121

En el b. NHC : m < HNC = 90 - 6 = a

Luego el triángulo NBM resulta ser isósceles.

Entonces : BN = BM

Pero: BN = b - x y BM = x - a

De donde : b -x = x - a

a + bx = — 2 —

12 - En la f igura: L1//L 2. Calcular el men or valor entero

de x, si el ángulo A BC es agudo.

Resoluclón.-

Prolongamos BA hasta cortar L,, en P, lu ego:

17? < CBP = 177 < APQ (< alternos)

En el A APQ; E es excentro, luego ;

x = 90 - ^ ^ - (Propiedad)

De donde : m 45°

13.- En un tr iángulo A B C : m < A = 3 0g y m < B = 120e. Sob re la pro lon gació n d e AB se

ubica el punto "P" y sobre AC se ubica el punto "p", tal qu e: AB = BP = QC. Hal lar la

m < PQC.

Resolución.-

En el A ABC : AB = BC y m < C = 30°

El A PBC es equilátero, entonces .PC = BP = BC y m < BCP = 60°

En el A QCP, que es rectángulo isósceles :

QC = PC

x = 45°

El menor valor entero de x es 46°

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14.- Hallar " x" en el gr áfic o :

Resolución.-

En la figura ABCD, empleamos la propiedad 3.5 g :a+ 0 . „

x = — => a + fa = 2x

m < AED = m ~ ~ (3.5 b)

Para el ú APD, E es excentro, lueg o:

=>

zEn el A APD :

Ahora:

Luego:

2a + 20 + 2x = 180

2 (a + G)+ 2x = 180

2 (2.x) + 2x = 180

2x =177 < P

x = 30°

15 ■En la figura, AB = BC, y e l triángu lo PQR es equil átero. Hallar x, si: a + $ = 142.

Resolución.-

En el triángulo isósceles ABC : m < A = m < C ... (1)En el A PAQ : i 7 7 < A = a + 1 2 0 - x (ángulo exterior)

EnelAQCR: m < C = 120 - p + x (ángulo exterior)

Reemplazandoe.i (1) a + 120- x = 120 - P + x

a + P = 2x

= a + P _ 142 X 2 2

G = 71

1 6 -En la f igura DC = 12, h al lar el v alor entero de

B

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Luis Ubnldo C. Triángulos I 123

Resolución.-

En el A DBC trazam os la cev'.ana BE, demodo que la m 4 EBC = G. Entonces :BE = EC = AB x.

Luego el A DBE es también isósceles :DE = DE = 12-x .

Ahora por el teorem a de la desigualdadtíiangular en el A DBE:

0 < x < 1 2 - x + 1 2 - jc =>

Lueg o: 3* < 24 =>

B

x < 24 - 2x

x < 8 ... (1)

En el A ABD y de acuerdo con la magnitud de los ángulos opuestos, se tiene que : AB > BD , esd^cir: x > 12-x

Don de : 12 < 2x => 6 < x (2)

De (1) y (2) tenemos : 6 < x <8

En consecuencia, el único valor entero que adopta x es : x = 7

17.- En la f igura ; nallar BC , s i : AB = 6 y MC = 2.

Resoluclón.-

A partir del A ABC prolonguemos el lado BA y construyamos el triángulo isósceles NBC, en el cual : BN = BC = x.

Ahora centremos nuestra atención en el A NAM, donde :

m 4- ANM = 17? 4 BCM = P , y , m 4 BAM = a + PEntonces : m 4 AMN = a

Luego este triángulo NAM es isósceles NA = NM = 2.

En consecuen cia x = 6 + 2

* = 8

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124 Problemas de Geometría y cómo resolverlos Ernesti >Qulspe R.

18.- Calcu lar x , en la figura mo strada.

Resolución.-

En el iABD, se traza la cev iana BE, de m odoque : m 4IEBD = 15

Este trazo nos permite reconocer que el AEBD,es isósceles. Asimismo podemos reconocerque el 4 - AEB es un ángulo exterior cuya medida viene dau a po r: 1774Í AEB = 15 + 15 = 30

Este resultado permite ej«tabecer que el AABEes también isósceles, por ello atii marer.ios qu e :

AB = BE = ED

Esta última conclusión nos permite asegurar que, el AECD es equilátero EC = CD = ED

Observando el vértice B, podem os descubrir que : m 4 - BEC = 90

Luego el triángulo BEC es rectángulo isósceles (recto en E), en el cual: x + 15° = 45°

x = 3U°

19.- En el &AB C,se sabe qu e B E y D F son las bis ectrices de los ángulos AB C y A DC respectivamente.

Si además .¿AEB =¿DFC = 72n, c al c u la r: x.

Resolución.-

Elaboremos un gráfico en el que se indiquen los ángulosiguales que se generan deb ido a las bisectrices BE y DF,asimismo prolongemos dichas bisectrices hasta que logren intersectarse en el punto H, con lo cual se habrá

construido el AEFH.Por dato podemos establecer que :

m 4 FEH= m 4 EFH = 72u

A continuación podemos calcular la medida del 4 EHF:

72° + 72° + m 4 EFH = 180°

Luego : m 4 FFH = 36°

fi

H

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Luis tib aldo C. Triángulos I 125

Recordemos la siguiente propiedad :

Rara nuestro problema en el triángulo ABD :

x = ^ x 2

36°= |

* = 72°

20.- Dos lados de un triángulo miden 8 y 14 m . Hallar el mínimo valor entero de la mediana relativa al t ercer lado.

Resolución.-

A partir del A ABC, prolongamos las mediana BMhasta D, tal que BM= MD. De este modo y por unasimple inspección, habrem os provocado que el cu adrilátero ABCD sea un romboide.

En el A BCD por el teorem a de la desigualdad trian

gular tenem os: 14-8 < 2x < 14 + 8

Efectuando, tendrem os : 6 < 2x < 22

Dividiendo por 2 : 3 < x < 11

Los valores enteros de x serán : x = {4 ; 5 ; 1 0 }

Luego el mínimo de estos valores enteros es :

21.- Si AD = DC = B C; cal cular x , en la f igura :

Resolución.-

El triángulo DBC es equilátero : BC = CD = BD

El triángulo ABD es isósceles AD = BD

Luego en el vértice B, se tendrá que :

* + 35° + 60° = 180°

En consecuenc ia x = 180° - 95°

x = 85°

B

x = 4mín

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126 Problemas de Geometría y cóm o resolverlos Ernesto Qulspe R.

22.- El ángulo C de un triángulo AB C mide 36° Se traza la cevia,,a B F de modo A F= BC y BF = FC. Calcular la m < A.

Resolución.-

Trazamos BL de modo que : m < BLC = 72°

Luego los ti ¡ángulos BLF y BLC resu ltan se risósceles con lo cual se tiene :

BL = BF = a y BC = CL = b

Del gráfico deduc imos que :

AL = a

En el triánrulo isósceles ALB :

x + x = 72

x = 36°

23.- En la figura adjun ta se tiene AE = 6 y B C = 9. Calc ular : CD.

B

Resolución.-

En el A ABD: 36 + a = 180

Trazamos BT de m odo que : m < BTA = 6 + a ,luego:

BT = BA = 6

En el A BTD : m < TBD = 6

Con lo cual se tiene : BT = TD = 6

En el A TCB, los ángulos T y B son congruentes dedonde :

6 + x = 9

x = 3

A D

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Luis tibaldo C. Triángulos I 127

24.- Calcu lar "x" , s i :A F = B F + BC. B

Resolución. -

En el A FBD : m < F = 2 m < C = 48°

Trazamos la ceviana BE, de mo do qu e : m < BEF = 24°

Luego : BE = BC = £>;BF = E F = a ; E A = E B = £ >

En el triángulo isósceles AEB : 2x = 24

x = 12

25.- Se t iene un tr iángulo A B C , ta l que : AB = 5 ; m 4-BA C = 4 m 4-BCA . Calcular e l máximo valor entero d e BC.

Resolución.-

En el triángulo ABC, se traza la ceviana BF,de modo que la m 4 - FBC = m 4L C = a.

Entonces: BF = FC = a

Luego trazamos BE, de m odo qu e :m 4 EBF = 2 a => BE = EF = AB = 5

En el A EBF isósceles : a < 10

En el A ABF : 5 < a

De (1)y (2) : 5 < a < 1 0

Valores enteros de a = {6; 7; 8; 9}

El máximo valor de a , = 9max

Finalmente en el AFBC isósceles :

Reemplazando:

Luego :

(1)

(2)

x < a . + a .máx max

x < 9 + 9

jc < 18

<c . . entero =17 °max

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26.- En un tr iángulo isósceles A B C(A B = BC) se ubica exteriormente y relat ivo al lado B C el punto D de modo que A C = AD; m 4 -A DC = 80°y m 4_ BCD =15". Calcular la m 4. BAD.

Resolución.-

En el triángulo isósceles ADC :

17? 4_ ACD = 80° => m 4- ACB = 65°

Luego : m 4 DAC = 20°.

Finalmente en el triángulo isósceles ABC :

x + 20° = 65°

x = 45°

27.- Calcu lara; s i : AB = BC + CD

B

Resolución.-

Trazamos BT con la condició n:

177 < BTA = 2a,

Luego : AB = BT = a + b

En el triángulo isósceles BTD :

BT = TD = a + b => CT = a

En el triángulo isósceles BCT: m <

Luego : 3a + 2a = 90 - a =»

CBT = 2a

6a = 90

a = 15°

28.- En la f igura : AD = B D = B C ; c alcularQ A B

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Luis Lucido C Triángulos I 129

Resolución.-

En el A ABC, po r < exterior :

17? < BAC = 40

En el A ADB: m ABD = 50

En el triángulo isósceles DBC:m DCB = 80

De donde : m < ACD = 0

El A ADC es isósceles en tonces : AD = DC

El triángulo DBC en realidad es equilátero con lo cual se tiene :

80 = 60 G = 7,5

29.- Sobre el cateto AB de un triángulo rectáng ulo ABC, recto en B, se cons truy e exterior -

mente el tr iángulo APB; de tal manera q u e: PB = AB = BC. Cal cu lar: m 4_ CPA.

Resolución.-

Si m 4- BPC = a , entonces la m 4- PCB = a

En el A PBA isósceles : m 4 P = m 4 PAB = a + x B

Finalmente en el A APC :

x + a + x + 45° + 45° - a = 180°

Operando: 2x + 901 = 180°

Donde : 2x = 180° - 90° => 2x = 90° jc = 45°

30 .-En la f igura; calcu lar "as", s i : A C = 2 BD

Resolución.-

Se traza la ceviana BM, de m odo que :

De este modo el A MBC es isósceles con :

Aplicando el teorema del ángulo exterior en el vértice M :

Por la misma razón, podem os concluir que en el vértice D :

Pbdemos reconoce r que el A DBM es isósceles, dad o que :

17? 4IMBC = 2a

B M = M C = B D = a

m 4 I D M B = 2 a + 2a = 4a

177 4 I B D M = 4a

177 4 I B M D = 177 ¿ . B D M =4a

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130 Problemas de Geometría y cómo resolverlos Ernesto Qulspe R,

Luego de la condicion I.aremos que :

AC = 2a => BD = BM = MC = a.

En consecuencia M es punto medio de AC, lueg o: AM = a .

Esto nos indica que M equidista de A, B y C, por lo tanto podemos concluir que el A ABC es recto en B, de es temodo :

3a + 2a = 90° => 5a = 90c

a = 18°

31.- Calcular x, s i : AL = BL = LM = MC y B T = TL

Resolución.-

Sea: m < LCM = a, luego : m LCM = a ; m < BML = 2 a ; rr, < LBM = 2 a

Ene lABLC: x = 2a + a => jr = 3a ...(1)

En el A BLC :

m < TBL = m < TLB = 3a (ángulo exterior)

En el A ALB; isósceles :m < ABL = m < BAL = 3a

En el A ABM :

3a + 5a + 2a =18 0 =* a = 18 ° .. (2)

Reemplazando (2) en (1) : x = 54°

32.- Por el excentro E referente a B C, lad o de un triáng ulo AB C. Se traza una recta paralela

a A C la cual intersecta en O a BC, en P AB y en R a la bisectr iz del ángulo A. SiA P =m y QC = n- Calcu lar RP.

Resolución.-

Por propiedad 2.4a del capítulo 2, se tiene : m < QEC = m < ECS = 0

También: m < EAC = m < PEA = a

De igual m an er a: m < QRC = m < QCR = P

B

A D M a C — 2a — — 1-

B

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Luis Ubaldo C Triángulos I 131

EQC, APE y RQC

Donde : QE = QC = n ; AP = PE = m ; RQ = QC = n

Del gráfico: RE = 2n = m + x

x = 2/i - m

33.- S i: BP = PC ; AB = 6 y QC = 2, h allar AC.

Resultando los triángulos isósceles:

Resoluclón.-

Trazamos AS tal que :

AS = AB = 6 y m < BCP = => PBC = 0

Luego : m < ASB = m < ABS = a

En el A SAB; por < exterio r la m e SAB = P

El A ASQ es isósceles, entonces : SA = SQ = 6

Finalmente el A SCA es isósceles ya que :

a = 3 + 20 =* AC = CS

* = 8

34.- En un triángulo AB C se traza la ceviana B P. Si las m edidas de los ángu los ACB, B AC y PBC son propo rcion ales a los núm eros 1,2 y 3 y AB = 4. Calcu lar el valor de PC.

Resolución.-

Sea m < ACB = a =* m < BAC = 2a y m < PBC = 3a

m < MBC = a

Luego : m < PBM = 2a = m < BMP

Entonces : AB = BM = MC = 4

Además : BP = PM = x - 4

■ /- > ? a ^ \

4 / 2a ,

y P X -40.4

A 2 a 4 « / ' 2 a / \------ ©—

x-4 M

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En el ABPM: j r - 4 + j r - 4 > 4 =* 6 < x ...(1)

En el A ABP: m < A < m < P =* x -4 < 4 =* x < 8 ... (2)

De (1) y (2): 6 < x < 8 .-. x = 7°

35.- En la f igura se sabe q u e: AB = B C y m < A B C = 240 - 4a. BCalcular x.

Resolución.-

Aplicamos la propiedad 3.5] para el A ABD, trazando la cevianainterior BP con la condición:

m < PBD = a

Luego : AB = BP = PD y m < ABP = 180 4ot

Como: m < ABC = 240 - 4a (dato) => m < PBC = 60°

El A PBC es equilátero, en tonces : PB = BC = PC

Y : m < BPC = m < m < BCP = 60°

Por < exterior para el PCD: 60 + 2a = a + j r + a + j i r

x = 30°

36.- Interior men te a un A A B C s e ubica e l pun to P t al que m < y m < APB = 1209. Calcu lar la m < PBC s i AC = BP.

Resoluciur

Prolongamos AP hasta L, de modo que, m < PCL = 66u

Luero m < PLC = 48°

Resultando que : AC = CL = PL = BP

□ A BPL es equilátero, en tonces BL = BP = PLy m < PBL = m < BLP = 60°

En el triangulo isósceles BLC : m < LBC = m < LCB = 36°

x = 24°

37.- En un trapezoide mBCD: B C = C D ; AD = AB + BC y m < D = 60 B. Calcular . m < B.

PAC = 48s; m < PC A = 18B

V

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Luis Ubaldo C. Triángulos 1 133

Resoluclón.-

Trazamos CT de modo que : DT = CD = a

Luego el A CDT resulta ser equilátero con lo cual■m < DTC = 60° y CT = a

Del gráfico observamos los triángulos isósceles BCTy BAT resultando las siguientes igualdades.

m < CTB = a y m < BTA = 0

Como: x = a + 6 y a + 0= 120°

38.- Calcular x; s i se sabe q ue A P = PC.

Resoluclón.-

El A APC es isósceles, entonces :

m < PCA = 40

Luego : m < QCA = 40 - 30 = 10°

Por < exterior : m < BPC = 40 + 40 = 80°

□ A PCB es isósceles, en tonce s: CP = CB

El A QBC es isósceles, entonces : BQ = BC

En el vértice P :

m < RPC = 180 - (30 + 80) = 70°

El A PCRes isósceles, en tonces : PC = RC

El A BCR resultó ser equilátero en consecuencia:

BR = BC = RC y m < RBC = m < BRC = 60°

Finalmente en el A QBR isósceles :

x + 10 = 80°

x = 70°

13 + b

x = 120°

B

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134 Problemas de Geometría y cómo resolverlos

39.- En la figura: A B = FC. Hal lare

Ernesto Qulspe R

Resolución.-

Trazamos la ceviana FE de modo que :

m < BFE = 0 a m < FEC = 8

Resultando q u e : BE =EF = FC = AB

En el triángulo isósceles ABE m < ABE = 180 -120de donde : m < BAE = m < BEA = 60

A AEF es isósceles (m < EAF = m < EFA) entonces AE = EF.

Entonces el A ABE es equilátero : 60 = 60

40.- En la figura, s i : AB = DC = A D ; calcular x.

0 = 10°

Resolución.-

Dado que AD = DC, concluimos que el AACD, esisósceles, por ello : m 4- ACD

Completando todos los ángulos del AABC, tendremosque : m 4- BAC = 180° - 1lx ...(1)

Al trazar BD .encontramos que el AABD es isósceles,con lo cual: m 4- ABD = m 4- ADB

Completando todos sus ángulos, sabem os que se debeverificar q u e :

m 4 - ABD + m 4 ADB + (m 4 - BAC + 3¿c) = 180° ...(2)

Reemplazando (1) en (2) :

2m 4 ABD + 180°-1 lx + 3x = 18l)° =* m 4- ABD = 4x

Luego, concluimos que : m 4- ABD = m 4 ADB = 4x

De acuerdo con este resultado, podem os asegurar que en el A DBC : m 4 DBC = 5x y comola m 4 BCD = 5.x, en tonces el triángulo DBC es isósceles, de modo que : BD = DC.

En consecuencia, el A ABD es equilátero , con lo cu a l: 4x = 60°

x = 15°

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Luis Uba ldo C. Triángulos I 135

PR0BL6MAS PR0PU6ST0S

1.- Calcular la

A) 22° 30'

B) 30°

C) 15°

D) 45°

E) 18°

D) 40°

E) 50°

medida del ángulo 0 5.- Calcular "m - n", en la figura.

2.- Calcular el

X i J o * ' ' •* XE) 120° t, v s-

* ' \ 2D 4 3.- Calcularjc , s i : m i l n , y , a II b

A 1 OCP

A) 10° B) 20° C) 30° D) 15° E) 18°

6 .-B i un triángulo isósceles ABC (AB = BC),en BC se ubica el punto "D" tal que: AD = AC.Calcular la m 4- ABC, si m 4- BAD =15°

A) 50° B) 30° C)45° D)40° E) 20°

7.- S i : m II n ; calcular x

A ) 100°

B ) 110°

C) 120°

D ) 130°

E) 140°

8.- S i : m II n ;A) 23°

B) 36°

C) 42°

D) 48°

E) 30°

9.- Calcular x, en

A) 40°

B) 50°

C) 70°

D) 60°

E) 45°

calcular x

la figura.

m

n

D ) 149°

E ) 138°

4.- En la figura, si la medida del ángulo ABCes obtuso, calcular el máximo valor enterode x.

A) 105°

B) 145°

C) 132°

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10.- Calcular

A )24° D)

B) 20° E)

C) i8°

15 .-E n el ti ¡ángulo ABC, sobre los lados ABy BC se ubican los puntos M y N respectivamente; de tal manera que :

AM = C N \m 4- MA N= 10° y m 4- NAC = 50°

Calcular m 4- MNA; s i : m 4 A = 40°

A) 20° B) 30° C) 40° D) 50° E)60°

16.- Del gráfico mostrado; calcular "0”

17.- El perímetro de un triángulo rectánguloes 30. ¿Cuántos valores enteros puede tomarla medida de la hipotenusa?

A) 3 B) 5 C) 4 D) 2 E) 6

18.- Calcular*,

A) 24°

B) 30°

C) 32°

D) 36 '

E) 45°

11.- En el gráfico, hallar "*”

f \) JU

B) 45°

C)60°

14.- En el gráfico; calcular " j c " en función

de "6"A ) 6 0 - 6

B) 45 - 0

C) 90 - 0

D) 45 + 0 /4

E) 45 + 0 12

D) 75°

E) 90°

12.- Calcular*, en

A) 80°

B) 60°

C|40°

D) 45°

E) 30°

13.- En la figu ra: / / £ z y el ángulo ABC es

obtuso. Calcular el mayor valor entero de *

a, en el gráfico.

19.- Calcular*, en el gráfico

A) 20°

B) 25°

C) 30°

D) 35°

E) 40"

20.- S i : AB + AD = 4 ; hallar BC

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21.- En la figura; calcular x

Si : 2 m 4 ABD + m 4 BCA = 130°

A) 40°

B) 50°

C)30°

D) 45°

E) 35°

22.- En la figura mostrada; calcular x + y

A) 110°

B) 115°

C) 120°

D) 130°

E) 140°

23.- Calcular x, en la figura.

A; 8o

B) 10°

C) 12°

D) 13°

E) 15°

24.- Se tiene un triángulo ABC; si : AB = 5 ;m 4- BAC = 4 (m 4 BCA). Calcular el máximo valor entero de ''BC'’

A) 11 B) 13 C) 15 D) 17 E) 19

25.- Las longitudes de los lados de un triángulo forma una progresión aritmética de razón r ( r e Z*). Hallar e! mínimo valor enteroque puede asumir el perímetro.

A)6 r -1 B)6r C ) 3 ( r - 1 )

D) 6r + 1 E)I r - 1

26.- Sobre los lados ÀC y BC de un triánguloisósceles ABC (AB = BC) se ubican los puntosQ y P respectivamente y en el exterior relativoa AB se ubica en el punto R tal aue PQ // ABy el tríárgulo QPR es equilàtere. Calcular la

m < BPR; si m < RQA = 4 m < RPB.

A) 10° B) 12° C) 20° D) 15° E> 14°

27.- En un triangulo isósceles ABC (AB = BC)la bisectriz del ángulo exterior C intersectaen P a la prolongación de BA. Calcular el

máximo valor entero del < APCA) 46° B) 30° C) 60° D)44 ° E )51°

28.- En un triángulo ABC: m 4 A = 2m 4 C;si AB = a ( a 6 Z+) . Hallar la suma del mínimo y máximo valor entero de BC.

A) 2a B) 3a C) 4a D) 5a° E) 6a

29.- Sobre los lados AC y BC de un triánguloisósceles ABC, (AC = BC), se ubican los pun

tos M y N respectivamente; de ta1manera que:BM = MC , BN =AB y m 4 MBN = 20°.Calcular/« 4 BMN.

A) 60° B) 40° C)30° D) 20° E) 50°

30.- En la figura 'Tês incentro y "E" esexcentro relativo a BC . Calcular V .

Al 45

B) 60

C) 75

D) 30

E) 50

31.- Las medidas de los ángulos in emos de untriángulo escaleno son números enteros menores que 80°, la b-sectriz de uno de sus ángulosinteriores determina sobre el lado opuesto dosángulos que son entre si como 7 a 13 es. Hallar

la medida del menor ákigulo del triángulo.A) 25° B) 28° C) 24° D) 26° E) 27°

32.-JSn la figura las longitudes de los segmentos AB, BD y BC están expresados por números enteros. Si AP + BD = k. Hallar la sumadel máximo y mínimo valor que toma BC.

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138 Problemas de Geometría y cómo resolverlos Ernesto Qütspe R

A) 2k + 1

B )2k - 1

C ) 2 k + 2

D) k + 2

E) k

33.- En la figura E es excentro de A ABC.Hallar el máximo valor entero de x.

A) 21°

B) 22°

C) 23°

D) 24°

E) 25°

34 - Calcular*; si :

A) 8°

B) 10°

C) 12°

D) 14°

E) 16“

35.- Calcular x ; si AT = TQ

A) 20°

B) 30°

C)40° 72°

^ 3 6 ° \

D', 50°

E) 60°

36.- Segun el gratico; AB - AD = D C , indicarque punto noiables es "D" del tnanguio ABC.

A) Baricentro

B) Ortocentro

C) Incentro / l 3 &

D) Circunêntro / D

E) Cevacentro 20>

37.- Calcular* (* 6 Z*) si : AC = AB = CD

BA) 39°

B) 41°

C) 43°

D) 45°

E) 46°

38.- Calcular*, en la figura.

.355

/Y35° 45°/ \

39.- En la figura , Qué punto notable es "K”del A ABC, si los triángulos AKD Y BKE sonequiláteros.

A D

A) Incentro

B) Baricentro

C) Circuncentro

D) Ortocentro

E) Excentro

40.- Calcular v dt ! gráfico.A) 105°

B) 100°

C) 1J5°

D) 125°

E) 160°

80° '

20 2c -

m aYa

L s

: A .

A) 10° B) 15° C) 20° D) 25° E) 30°AC = CB y MN = ML

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í > Í V '* * L * * tí* * - g * * .- « > * — " -M #• r*; í* , (& . ■L* .<■« .A .»-í*1’-— Kg -

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5*1 CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

5.2 CASOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS (=)

I o CASO.- (A.LA.)Dos triángulos son congruentes si tienen

dos ángulos respectivamente cong ruentes y ellado adyacente a ambos respectivam ente congruentes.

Si:

1

AC = ML

4LA =4LM

4.C =4LL

A ABC = A MNL

... (5.1)

2o CASO.- (LA.L.)Dos triángulos son congruentes si tienen

dos lados respectivamente congruentes y elángulo comprendido entre ellos respectivamente congruentes.

Si - <

AB = MN

4_A - 4LM (1 A ABC = A MN1

AC = ML(5.2)

3o CASO.- (L.L.L.)

Dos triángulos son congruentes si tienensus tres lados respectivamente congruentes.

S i:

AB = MN

BC = NL

AC = ML

A ABC = A MNL

... (5.3)

B N

X a e\ Xa e \A C M L

Fig. 5.1

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4o CASO.-

Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados respectivamente congruentes y elángulo que se opone al mayor de ellos respectivamente congruentes.

AB = MN

AC= ML

4IB = 4IN

AC > AB

m l > k;n

Si: A ABC = AMNL

... (5.4)

Recomendación.-

Inmediatamente después de haber encontrado dos triángulos congruentes del gráficode un problema, te recomiendo aplicar el criterio que dice : "A lados congruentes se le oponen ángulos congruentes y recíprocamente a ángulos congruentes se le oponen lados congruentes.

5.3 CONGRUENCIA DE TRkANCJÍ 1LOS RECTANGULOS

1° CASO.-

'¿ A = 4IMSi:

AC = ML

2° CASO.-

Si:AB = MN

¿C = 4 . L

3° CASO.-

Si:AB =MN

AC = MLABC = MNL

... (5.7)

Fig. 5 .t

Fig. 5.7

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Luis Ubalde C Triángulos II 141

4o CASO.-

AB=MN ^ ^L > ABC = MNL

BC = NL *

(5.8)

Observación -Para la congruencia de los triángulos rectángulos nota que sólo es necesario que haiia, dos

elementos (2 lados ó 1 ángulo y 1 lado) iguales ó congruentes. A diferencia de la congruenciaentre triángulos oblicuángulos donde se necesitan 3 elementos congruentes donde por lomenos un elemento debe ser lado.

5.4 TEOREMA DE LA BISECTRIZ DF U N 4NGULC

«Todo punto de la bisectriz de un ángulo,

equidista de sus lados».

_. . P € OFSi: _ __

P Q I O A a p r x o b

=* PQ = PR y OR = GQ ... (5.9)

RECIPROCO :

«Todo punto interior a un ángulo y que equidista desus lados per tenece a su bisectriz ».

S i: PQ = DR => OP es bisectriz del 4- AOB.

5.5 TEOREMA DE LAMETUATRIZ DE lOífiBGM&V.

« Todo punto de la mediatríz de un segmento equi

dista de sus extrer. ios ». )

Sea £ la mediatríz del segm ento AB , ento nces :

Si: P e í ' => PA =P B ... (5.10)

Fig. 5.8

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RECIPROCO :

Si ur. punto equidista de los extrem os de un segm ento entonces, éste pertenece a la rnediatríz del segmento.

Si:PA = PB __

=» PQ es rnediatríz de ABQA = QB

Consecuencias :

a) En un tuángulo isósceles las líneas notablesrelativas a su base se confunden.

b) Si en un triangulo una ceviana cumple con lafunción de 2 líneas notables, entonces eltriángulo es isósceles.

Fig. 5.12

híg. 5.14

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Luis Ubaldo C. Triángulos I I 143

ejeRcicios oe aplicación ( j ra partcj

1. -en ia f igura mostrada, s i AB = B C ;B P = 4

y PQ = 3. Calcu lar PC.

Resolución.-

De la figura trasladando ángulos tenemos :

ABQ = Bx BPC (caso A.L.A)

x = 7

2.- En la f igura los tr iángulos A BC y BDE son equiláteros. Calcular CD, si A E = 3

Resol uclón.-Graficando los datos en la figura resulta que :

A ABE = A DBC (caso L.A.L)

x = 3

B

3.- De la figura s i AB = BE, AD = EC y B D = BC.

Calcular 6

B

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BReyoluclón.-

Del gráfico : A BAD e A BEC (caso L.L L)

=*• m 4L BAD = m 4 BEC = 76

Además : A ABE isósceles

m 4. BAE = m 4 BEA = 30

Entonces : 36 + 70 = 180°

100 •= 180°

0 = 18°

4.-En un tr iángulo A BC (B = 9 0 B) la bisectr iz exterior de Á y la prolongación de la altura BH se intersectan en ' F ” tal que : A B + AH = 4 y H F = 3. Calcular BH

Resolución.-

Por dato : AB + = 4 => a + b = 4

Por propiedad de la bisectriz

AH = AP = b

HF = PF = 3

Luego BPF es notable (37° y 53°)

=> BF = 5 = jc + 3

x = 2

5.- En la figura AD = 2DB. Calcu lar m 4 DF.

Resolución.-

Aprovechando las bisectrices, por propiedad :

DB = DP = DR = n

En. Ah '15 es notable : 30° a 60°

=> m 4 C = 60°

En el A FCE por pro pie da d dada en el capítulo an terio r:

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Luis Ubaldo C. Triángulos II 145

* = 90°60°

x = 60°

6.- De la figura si PM es mediatriz, PC = 2 BP, calcular 6

Resolución.-

Se une A y P, luego por propiedad de la mediatriz:

AP = PC = 2o

AAPC isósceles:

m 4 PAC = m 41 PCA = 0ABP es notable de 30° a 60°

Por 4- ex ter ior: 0 + 0 = 60°

6 = 30°

7.~ De la f igur a adjun ta B M = 2MC y A C = CR.

Calcular 6

Resolución.-

Se une A y M, luego por propiedad d e la med iatriz : AM = MC

A AMC isósc eles: m 4 A = m 4 R

Luego por propiedad de la bisectriz :

BPM es notable d e 30° a 60°

ACB : 26 + 30 = 90°

20 = 60°

e = 30°

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5.6 TEOREMA DE L IBA SE MEDIA

En todo triángulo, el segm ento q ue une los puntos medios de dos lados es paralelo al tercer lado y sulongitud es igual a la mitad de su correspondiente longitud .

S i: MN es Base Media.

=* MÑ//ÁC a

Observación:

Si:BM = MA y

MÑ//ÁC

BN = NC

MN = AC

MN =AC

(5.11)

... (5 12)

SM TEOREMA DE LA MEDIANA EN UNI TRIANGULORECTANGULO

En todo triángulo rectángulo la lorgitud de la mediana relativa a la hipotenusa es igual a la mitad de sucorrespondiente longitud.

S i: BM es m ed ian a, entonces :

PM = AC

Luego : m 4 _ AMB = 2m 4 C

... (5.13)

... (5.14)

Observación:

Si: BM = MC BM es m ediana

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5,6 PROFlÉJj^DES EAKITCUjuARES E N LOS TKIAI.GULUS I S O S C E l íE »

Dado el A ABC , donde AB = BC , se cumple :

a) Si:P e AC (base)P M l Á B y

PÑ1BC

AH = PM + PIN . (5.15)

b)S i:

Pe a la prolongación

de AC (base),PM ± AB a PÑ1 dC

CH = PM - PN ...(5.16)

c)Si :

Pe AC(base)

PM // ÀB y

PM//BC

a b = BC = PM + PN ,(5.17)

d) Si :

í>

P es un punto de la prolongación de AC (base)

PM // BC a PÑ // AB

AB = BC = PM - PN . (5.18)

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5.3 PROPIEDADES PARTICULARES EN LOS TRIANGULOS EQUILATEROS

Donde : AB = BC - AC

P es un punto en elinterior del A ABC

a) £l: PQ X ÁB, PL X BC

a PSXÁC

BH = PQ r PL + PS (5.19)

b) S í:

❖

c)Si :

P es un Dunto exterior del A ABCPQ X ÁB; PL X BC

a PS XÁC

BH=PQ + PS - PL

P es un punto interior del A ABC

PQ//BC.PL/ /ÁCa PS X AB

AB = PQ + PL + PS

(5.20)

(5.21)

d) Si:

O

P es un punto exterior del A ABC

PQ // BC; PL // ÁC

a PS // ÁB

AB = PO + PS - Pl , (5.22)

Fig. 5.26

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€)€Rcicios ü€ aplicación [ 2 Ù&PüRitj

8.- En la fig ura B C = 2BM. Calc ular 8

Se traza PR // TF, por base media en A PBR:

F —>punto m edio de BR

En ton ces : BF = FR = 4

A AFC como PR // AF en tonces PR es base media,entonces R es punto medio de FC.

Entonces: FR = RC = 4

x = 12

10.- Del gráfi co calc ular BP, Si A P = 3 y PC = 15.

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150 Problemas de Geometría y como resolverlos Emesro Qu.spe R.

Resolución.-

Se traza la mediana relativa a la hipotenusa BM en to nce s:

BM = = f = 9

Por la miafna propiedad :m 4 BMA = 2m 4 - C = 26

A PBM resulta isósceles

x = 9 K - 3 - -15

11.- De la fig ura m os trada s i A C = 12.

Calcu lar BH.

Resolución.-

Se Haza la mediana relativa a la hipote nu sa , por propiedad

BM = ~ = 6

Luego BHM es notable (30° a 60°)

BM 6 x ~ 2 ~ 2

x = 3

B

:> K

12.- En un tr iángulo A B C: AB = 10 y B C= 8, desde s i punto medio “M ” de AC se traza M H

perpendicular a B C , Calcular MH, si B H = 1.

Resolución.-

.... _ AB _ 10 _ c2 - 2

Se traza la base m edia MN.

Entonces:

Además “N” es punto m edio de BC=> BN = NC = 4

En conse cuencia: HN = 3

fei, MHN es notable (37° a 53°)

x = 4h l-

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13.- En un t r iángulo ABC (m 4 A = 50s y m 4 709), calcu lar la longi tud del segmento queune los pies de las alturas t razadas d e A y C , sabiendo que AC = 8.

Resolución.-

Éx ATC se traza la m ediana relativa ala hipotenusa, por p ropiedad :

Éx ARC se traza la mediana relativa ala hipotenusa, por pro pied ad:

Luego A TMR es equilátero

x = 4

TM =

RM =

AC2

AC

8 -

14.- En un triáng ulo acu táng ulo ABC, s e traza la altura BH y la mediana C M. Si AB = 12, calcular la medida del segmento que une los pu ntos medios de CM y HC.

B

Resolución.-

AHB se traza la mediana relativa a la hipotenusa, por propie dad:

h m - M . 1 | . 6

Luego en el A MCH por base media

P 1 _ ME _ 6r y - 2 - 2

x = 3

15.- En un t r iángulo AB C (m 4- A = 48By m 4 C = 12% sob re los lados AC y BC se ubicanlos puntos E y F (puntos med ios ), l uego se pro longa AB hasta e l pun to H, ta l q u e :BH = BF Hallar m 4 EHF.

Resolución.-

A HBC es equilátero : m 4 B = m 4 BHF = m 4 BFH = 60°

Al unir H con C el A HFC es isósceles

=> m 4 FHC = m 4 HCF = 30°

AHC es rectángulo : m 4 AHC = 90°

Por propiedad de la mediana relativa a la hipotenusa.

AE = HE = EC

Luego A HEC isósceles : m 4 EHC = m 4 HCE

30° + x = 30° + 12

x = 12

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5-10 TRIANGULOS RECTANGUIAIS NOTABLES

5 .11 PROPIEDADES EN LOS TRIANGULA RECUN

b) S i:BD : bisectriz

BM : mediana

0x = a - 0

... (5.24)

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c) Si :

BH : altura

BD : bisectriz

BM : mediana

x = y ... (5.25)

d) Si:m = 15°

BH = Altura

BH = AC . (5.26)

e) Consecuencia :

AC

Si:BH= 2

m 4 -A = 75°

c^> m 4 - C = 30° ... (5.27)

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£J6RCICK)S l ) f 6P LiC 0C l6h PAkT€J

16.- Del gráfico , calc ular el valor d e x

Resolución.-

DBC 45° a 45° : BD = BC = 3

ABC 37° a 53° : si BC = 3

Del gráfico :

AB = 4

AD = AB - DB = 4 - 3

x = 1

17-D e la f igura mostrada, calcu larx

Resolución.-

Se traza la altura BH lueg o:

BHC 30° a 60°: BH = 4

É x BHA 37° a 53° : si BH = 4

* = 5 A H C

21.- En la figura mostrada, calcul ar x, s i AB = 1 0 a A C = 12

B

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Resolución.-

Se construye 30° sobre AC, luego se trazanlas perpendiculares BD y CE.

Ex ADB 37° a 53° => BD = 6

Ex ACE 30° a 60° => CE = 6Del gráfico las distancias entre BC y AEson iguales.

Entonces: BC//AE

x = 30°

B

22.- De la f igu ra mo strada, calc ul ar AD.

S i A C = 7 J é

Resolución.-

Se prolonga CD y se traza la perpendicular AH

Ex AHC 45° a 45°: si AC = 7 V6

=> AH = HC = 7 /3

Ex AHD 30° a 60° : si AH = 7V3

x = 14

B

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] Pro lemas de Geometría y cómo resolverlos Ernesto Quispe R.

H l M - t ó L A n t A

1.- En la figura se mestr a una serie de tr iángu los

e indican algun os datos d el gráfic o mo strado.

Calcular 6 .

Resolnclón.-

E1 triángulo rectángulo AEC, es isósceles AE = CE

Ahora observamos que el A ECD, tienen las mismascaracterísticas, que el A ABE entonces son congruentes. Es decir A ABE, s A EDC, esto afirmamos por elcaso de congruencia (L.L.L.)

Luego : m 4 ECD = m 4 AEB = 26Por lo tanto : 20 + 30 = 90°

Entonces : 56 = 90°

0 = 18°

2.- A part ir del gráfico mostrado, se pid e calcu lar BNH, s i B H = 36.

Resolución.-

Siempre que en los triángulos se muestren varios puntos medios, te sugiero utilizar el teorema de los puntos medios.

En este caso trazamos MQ 1 AC, entonces :HQ = QC = m y MQ = 18.

En el b . AQM : AH = HQ = rn

Luego: NH = - ^ => NH =

NH = 9

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Luis Ubaldo C. Triángulos 11 157

3.- En la f igura mostrada se sabe q u e:

A M = MB y B C = 2 CM

Con estros datos se pide calc u lar : 6

Resolución.-Del dato hac em os: BC = 2 C M = 2a

Prolongamos CM hasta "Q" tal q u t : CM = MQ = a

Ahora observamos que : AAMC=ABMQ (L.A.L.)

Entonces: m 4 Q = m 4 QBC - m 4 ACM = 20

Finalmente en el A QBC : 0 + 26 + 20 = 180°

En co nsec ue nc ia: 50 = 180°

0 = 36°

4.- En la f igura mostrada se sabe q u e:

DC = 2.AB

Calcular la medida del ángulo A CB = x .

Resoluclón.-

Del dato hac em os: DC = 2 AB = 2 a . Luego en el Lx DBC, trazamos la mediana BM relativaa la hipoten usa, ento nc es: BM = a.

B

Luego sabemos que : m 4 A = m 4 BMD = 2x

Pero: m 4 BDC = 2x + 2x = 4x

Finalmente en el fc*. DBC : 4x + x = 90°

Por consiguiente : 5x = 90°

x = 18°

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158 Problemas de Geometría y cómo resolverlos Ernesto Qi'lspv P

5.- Calcular el v alor de x g, s i : B E = 2.AE

Resolución.- A C

Del dato hacemos : BE = 2.AE = 2a .Luego construimos el t*. BFC = ts.BEC, entonces :BE = FB = 2a y m 4 BCE = m 4 FCB = x

Ahora observamos q u e :

m 4- F = m 4- FCA = 90° ■x

Luego : AF = AC = 5a

En consecuenc ia el fc*. ABC es notable aproximado , en el cu a l:

2x = 53°

x = 26° 30’

6.- En la f igura se sabe que AC = 10 , además de los ángulos m os trado s. Se pid e hal lar la medida de DH.

Resolución.-

Trazamos CQ 1 AB

Completando ángulos observamos que :

:m 4 BtJQ = m 4. CDH = G

Pero como BC = CD, entonces se verifica que

fcíw. BQC = fcjw. CHD

Luego : DH = QC

Pero en el t x AQC : QC = 8

DH = 8

71- En la f igura mo strada se sabe qu e :

A C = 2 A D y BM = M D . Ca lcu l a r : x .

c*. _—7 D

rx

B

Nt

1S°J'

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Resolución.-

Hacem os: AD = 2a => AC = 4a . En el

BH = ^ = a

Si ahora tra za m os : DL ± AC , resulta que :

BHM s MLD => BH = DL = a

Finalmente en el ALD : AD = 2 DL

x = 30°

8.- Calcular el valor de «x» oara la figura mo strada :

80°T *

— -----

O — 20 s T s * ^

Resolución.-

En el A ABD, trazam os la qeviana DE, de manera qu e la m 4IBDE = 20°.

Entonces : m 4- EDA = x ( 4 exterior), ya que : m 4IADB = 20° + x

El A EBD, es isósceles dado que : BD = ED.

Luego se verifica que : m 4-C = m 41A = 20°

Finalmente en el A ABC : 20° + 80° + x + 20° = 180°

Donde: x = 180°-120° x = 60°

■En la f igurase pide calcular la medida de A B , s i :

BN = 3 y NC = 11 / n i ^ l Q

r M

ABC de 15° y 75°; la altura BH es :

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Resolución. -

En primer lugar trazamos QP perpendicular a la prolongación de AB, de modo que por propiedad de bisectriz, se sabe que :

BN = PB = 3 y FQ = QN = b

Ahora utilizando la propiedad de la mediatíztrazamos AQ y QC, verificándose que :

AQ = QC = a

Ahora observam os q ue ti». APQ e ti». CNQ

Luego : AP = NC

=> AB + 3 = 11

x = 8

10.- Sabiendo que los triángulos AB C y EFC son equiláteros, se pide calcular e l valor de x .

B

Resolución. -

Sea m 4 - ACE = 0=> m 4- BCE = 60-0

Luego : m 4 - BCF = 0

Entonces : A BFC = A AEC (L. A. L)

Luego : x + 60 = 100

x = 40°

B

11.- En un tri ángulo A BC, se t raza ¡a altur a B H de tal man era que :

m 4 HBA = 2 m 4 C ,y ,3 A H = 2H C.

Calcular la m 4- C .

Resolución.-

AH 2Dato: j ^ r = g ; esto se pue de desdobla r a s í: AH = 2o y HC = 3o.

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Prolongamos AB y luego trazamos CQ per pendicular a dicha prolongación

Ahora observamos que hvBHC ~ hi. BQC.

Entonces : QC - HC —3a

Luego el hv AQC es notable aproximado,en el cua l:

20 = 53° => 6 = 5372

0 = 26° 30’

12.- En un tr iángulo AB C se sabe que :m 4- A = 37- y AC = 5 AB .Con estos datos se pidecalcular la m 4. C .

Resolución.-

Del dato hacemos : AC = 5 AB = 5o. A continuación prolongamos AB, luego trazamos CH perpendicular a dicha prolongación.

El hv AHC es notóbie aproximado, entonce s: HC = 3oy AH = 4o

Pero : AB = o =» BH = 3o

De esto resulta que el t v BHC es isósceles

En consecu encia: x + 37° = 45° (4- exterior)

90°-e

13.- En la figu ra mos trada, se sabe qu e M es pu nto, medio de AQ, y N e s pun to medio d e CP. Si además se sabe q u e: A P =6 y QC - 8 ; se pide calcu lar ¡a m edid a del segm ento MN.

Resolución. -

Dado que se conocen las longitudes de AP

y QC, ubicaremos el punto medio "E" deAC , de modo que : AE = EC =o

Luego trazam os ME y EN, con la intenciónde utilizar el teorema de los puntos medios en dos triángulos : A APC y A AQC.Veamos:

APA APC: NE = ^ = 3

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E nelAAQC: ME = — = 4

Pe.o como ME // BC y NE // AB, entonces la : m 4 MEN = 90°

En consecuenc ia el A MEN , es rectángulo y Pitagórico : MN = 5

14.- En un tr iángu lo A B C , d o n d e m 4 B = 9 0g. se t raza la ceviana inter io r A N , tal queNC = 2.AB y m 4- C = 15g. Hallar la m 4 BAN

Resolución.

Del dato, se sabe que : NC = 2.AB = 2 . A continuación trazamos NH -L AC, luego HQ ± NC para lo cual mostramos e' gráfico adjunto en el que se indican dichos trazos.

B

— ■■ A D

En el fci. ABC, observamos que : QH // AB , donde se reconoce que : QH = ... ( j

De acuerdo con el teorema de los puntos medios , deducimos que la relación (*) solo ser posib le , si H es punto medio de AC. Esto significa q ue : AH = HC, es decir NH es la mediatride AC. Luego : AN = 2o

A continuac ión, por ser ángulo exterior se reconoce que : m 4 ANC = 30°.

Finalmente deducimos que el fci. ABN , es notable : x = 60°

15.- En un triángulo A BC, la m edi atriz de AC in ters ecTa a BC en F; asimismo , la mediana

BM y A F se Íntersectan en H, siendo B F = 2 y BH = HM. Hallar la med ida de AH.

Resolución.-

En primer lugar trazamos MN // AF, entonces de acuerdocon el Teorema de los puntos medios , se tendrá que :

FN = NC

A continuación, reconocemos que : HF // MN, de modoque en el A MBN, al conocerse que : BH = HM , deduci- a

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mos que : Br = FN = 2 y NC - 2

Pero : MN = FN = NC = 2

Entonces sabem os que : HF = 1. Luego en el A AFC isósceles :

AF = FC = > * + 1 = 2 + 2 => jc = 3

16.-A part ir del gráf ico m os trado , se pide calcu lar la medida de x,

si AB CD es un cuadrado.

B

Resolución.-

Del gráfico observamos que AC es una diagonal del cuadrado y ®se verfica una congruencia de triángulos :

A BAP = A PAD (L.A.L)

=> m 4 APD = m 4 BPA = 2*

En el punto P: 2*+ * + * + *= 18 0

Donde: 5*= 180

* = 3 6

2x0 V Ìp

/& ¡

4 5 ? / /

/V 4 5 ° /

* «N

17.- Interiormente a un triángulo acutángu lo A B C, se ubica el pu nto P. Calcular la m 4 BPC para q ue la sum a PA + PB + PC sea mínima.

Resolución.-

Sean AP = o ; BP = 6 y C P = e , luego por condición del problema, la sum a : a + b + c, debe serlo mínimo posible. A contnuación construimos los triángulos equiláteros PBQ y ABT, lueg o:

APBQ: PB = BQ = PQ = fc

A ABT: AB = BT = AT

=> m 4 TBA = m 4 PBQ = 60°Y por (LAL) : A TBQ = A ABP => TQ = A P = o

Entonces para qu e : a + b + c sea m ínimo los puntos C, P, Q y T d eben ser colineale s , conlo cua l :

* + 60 = 180 * = 120°

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18.- En la figur a mos trada se sabe que : B H = LE. Fnton ces es pide c alculara la medida de «a », si ademas se sabe que : E es el excentro del tr iángulo A B C. B

Resolución. - A H

Ya que E es exrentro, entonces BE y CE son bisectrices de los ángulos exteriores B y C, delA ABC.

Por propiedad : m 4- BEC = 90 - m

=> m 4- BEC = 90 - a

k. BHC = k. ELC (AL A) => BC = EC

El A BCE resulta se r isósceles en dond e :

3a = 90- a a = 36°

19. Ap artir del gráfico m ostrado se pidt¡ calcu lar leí valor de «x» del gráfico, s i AB = BD

Resolución.-

Ubiquemos un punto P simétrico de C respecto de BD, luego :

m 4- PBD = m 4- DBC = a y m 4- PDB = m 4 BDC = 0

Además : BP = BC y PD = DC. Luego por el teorem a de la mediatriz

PA = PD y m 4 BAP = m 4- BDP = 0

Ademas : m 4- PAC = 0

Dado que P es incentro del A ABQ :

m 4 BQP = m 4 PQA = m 4 BQC = 60°

En el A BQA : 2a + 20 = 60°

=> a + 0 = 30°

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Finalmente en el A BCD : a + 6 + x = 180

x = 150

20.- E r un triángulo ABC : m 41 B = 90°. La mediatriz de AC se intersecta en P con la

bisectr iz del ángulo exterior B S i: BC - AB = k ; calcular BP.

Resolución.-

-Scan: AB = c y BC = a => a -c = k

Por el teorema de la mediatriz se debe cumplir que : PA = PC

Trazamos PT yPL perpendiculares a la prolongación de AB yaB C respectir ámente, resultando el cuadrado BTPL, don de : BT = BL = PL = PT

t \ ATP = PLC (4to caso)

Luego : AT = LC = c. + BTDel gráfico : BC = BL + LC

=» a = BT + c + BT

De donde : BT = a - c k2 BT

En el ^ BTP de 45° : * = BT^2

X = |V 2

2 1.- En la figura mostrada se sabe que :Q C=2HC. Ento nc es se pid e A

determinar : a .Q

s \ h

3 a \

1 \ / ¿aTVResolución.-

Observamos que en los triángulos QBP y PHC, los ángulos BPQ

y HPC son congruentes, luego pro'ongamos QP y desae Ctrazamos CT ± QP.

Entonces por el teo rsma de la bisectriz : CH = CT = a

En el k.QTC : m 4 _ TQC = 30°

En el t^QBC : 3a 4 30 + 2a = 90

a = 12°

B

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166 Problemas de Geometría y cómo resolverlos En,esto Quispe

22.- En el interior de un tr iángulo A BC, se ub.ca el pu nto P, de tal manera q u e:

m 4 - pBA = m 4_ BAC; m 4_ P B C -2 m 4 PA B yPB = 4.

Hallar AC, si BC = 15.

Resolución.-

Prolongamos CB hasia Q" de m anera que QB = BP = 4. El triángulo QBP es isósceles

m 4 - BOP = m 4 - BPQ = 0 .

Pero por dalo :m 4 - BAP = 0, entonces por teoría sabemos q u e .

m 4 - ABP = m 4 - AQP = a .

Ahora observamos que:

m 4 Q = a + 0

y m 4 - A = a + 0

En consecuencia el A AQC esisósceles:

x = 4 + 15 x = 19

si A F= CE = 12.

Resolución.-

En el fci. EBC, trazamos la mediana BN, en elcual se reconoce que : BN = 6

En el hv ABF, trazamos la mediana BM, el queademás tiene como medida a :

BM = 6

Pero: m 4 - MBN = 60°

Luego el A MBN es equilátero, de donde :

x = 6

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Luis Uboidc C. Triángulos II 167

24.- A part ir del gráf ico m ostrado, c alcular «x» .

Si BM = MC .

b

A CResolución.-

Creo oportuno recomendarte que cuando veas dos ángulos adyacentes cuyas meciidas estén enla relación de 2 a 1 (como el caso d e los ángulos 4 BAM y 4- MAC), debes trazar la bisectriz del4 dobíe y a continuación aplicar el teorema de la bisectriz.

Siguiendo este procedimiento, trazamos la bisectriz AI 1 del 4 BAM. Luego, trazamos MN _LAH

y MP ± AC. Y puesto que AM es bisectriz del 4 HAC, deducimos que : MH = MP = ^

En el ANAM isósceles : MH = HN = o/2 ^90-x

Por dato se sabe que : BM = MC = o. Asi- ' \a i¿m.smo se observa que BM = MN = a , ~ -luego el A NMB es isósceles .En consecuencia :

m 4 NBM = m 4 BNM = 90 -x

Dado que el 4 NBM es ángulo exterior delA ABC, podemos establecer la relación .

A P C

90 -x —3x + 30 x = 15°

Q25.- En la figu ra se sabe qu e

AB = B P, BC =BQ y PQ = 12

Con estos dato s, se pide calc u lar: BM

A M C

Resolución.-

Prolongamos AB hasta T de mo do que : AB = BT, resultandoque : A PBQ = A TBC (L.A.L)

De donde : PQ = TC = 12 y m 4 QPB = m 4 BTC = a ^

Por otro lado notar qu e m 4 HBT = a

En el A ATC: B es el punto medio d e AT y BM // TC ; luego BMes base media.

T

x = 6 A M C

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26.- En la f igura se sabe q u e:

A B = B C , PL = 2 , PF = 5 , M P=PN .

Con estos dato s, se p ide calc ular : CH .

Resolución.-

Trazamos : NT ± BC ; NE ± AB y PQ _LNE

Luego en el A MTN, PL es base m ed ia , tal que : NT = 4

Reconociendo que : IX PQN = EX MPL (A.L.A.)

=> PL = QN = 2

Además , se aprecia que : PF = QE = 5

Yen el A ABC, isósceles aplicam os la Propiedad 5 .7 a:

CH = NE + NT => CH = 7 + 4

CH = 11

B

B

27.- En un A AB C rec to en A , A B < A C . Po r M , p u n to m ed io de BC , se levan ta una

perpendicu lar a este lad o , la cual corta a A C en D . En la prolon gación d e CA se

toma una longi tud AE = A D . Tamb ién, las prolong aciones de BE y MA se cortan en

F ; s i : 4 BF = 3 EC ; cal cu lar m 4 - ACb.Resnlución.-

En el ¡X ABC, AM es mediana, luego: BM = AM = MC. Y puesto que MD es mediatríz de BC,se deduce que el ABDC es isósceles , por lo tanio: m 4 - MBC = m 4 - ACB = a .

Y con respecto al segm ento ED : BE = BD ym 4 BED = m 4- BDE = 2a .

Siendo el A FEA isósceles, hacemos : EF = EA = o

Y si hacem os : BE = BD = b , en tonces : DC = b. '

Por condición del problema : 4 BF = 3 EC4 (o + b) = 3 (2a + b)

=> 4a + 46 = 6a + 3b

De donde : b = 2a

Por consiguiente el A EBD es equilátero, entonces :

2a = 60 a = 30°

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Luis J D t íd o C. Triángulos I I 169

28.- El ángu lo A de un triángulo A BC m ide 75s so bre la alturaBH se ubica el punto O de

modo que AC = BO respectivamente. Siendo M y N pun tos m edios de AB y OCrespect ivamente. Calcular la m 4 A M N .

Resolución.-

Empleando el teorem a de la base media (item 5.5) en el A ABC, trazamos MT, resultando:MT = ° y m 4- BMT = 75°

í.

Además: MT ± BH.

En el A BOC, TN es base media luego :

TN = | y m 4. MTN = 90°.

Observa que el ExMTN es isósceles; entonces :

m 4. TMN = 45°.

Finalmente en el punto M : x + 45 + 75 = 180° A H Ci (fl)----------- 1

x = 60°

29 .-En un t riángulo rectángulo ABC, recto en B la mediatríz de AC y la bisectr iz del ángulo

exteri or B se intersectan en P; se traza PQ _LBC. Calcular la m 4- OQ C; siendo " 0"el

circuncentro d el tr iángulo AB C (AB < BC).

Resolución.-Prolongamos AB y trazamos PT 1 AB , asim ismo PA y PC . Luego , em pleando el teorem a dela mediatríz , deducim os que : PA = PC . Por otro lado la figura BTPQ es un cuadrado , enconsecuencia : PT = PQ = BQ = TB . Por tal ra zón:

Ex ATP s Ex PQC => 4 TAP = 4 PCQ

Esto último trae como consecuencia que el 4 APC sea recto, resultando el triángulo APC de45° donde : AO = PO = OC.

En el Ex ABC, BO es mediana, luego se te ndrá :

BO = OC = AO.

Finalmente nótese que A BQO = A PQO (L.L.L.)

=> m 4 BQO = m 4- PQO = 90 + x

Luego : 90 +x + x = 180 => x - 45°

B

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30.- En un tri ángu lo rectán gu lo AB C, recto en B, la m 4_ C = 1Se. Se traza la cevian a Átvi con la condic ión q u e: MC = 2 AB. Calcular la m 4 _ MAC.

Resolución.-

S ea : AB = a

BMC = 2a

En el h*. ABC, trazamos la altura BH.

Lêgo por Propiedad :

BH = = O4

A continuación ubicamos el punto medio «P» de MC y trazamos PQ 1 AC . De este m odo :

b, PQC = b, BHA => BH = QC = TQ = b

Ahora, trazamos MT 1 AC, luego para el MTC; PQ es ba se media, de donde : TQ = QC = b

Asi, b. AMC es isósceles, ya que MT es mediatriz de AC.

* = 15°

31.- En la f igura se muestra un tr iangulo is ós celes , en d o n d e:

A B = B C Adem ás se s ib e q u e : A M = M P .

De acuerdo con estos d atos se pide calcular x

Resolución.-

Del gráfico : m 4- PCA = 45° . Trazamos BH, mediatriz de AC

En el A APC : MH es base in ed ia , luego :MH // PC y m 4- MHA = m 4 PCA = 45°

Además M es incentro del h*. AHB, lo cual significa que :

m 4- ABM = m 4- MBH = x

=> 70 + 2x = 90

* = 10° ^ °4 5° \T L 45°^

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B32.- En la f igura dada se sabe q u e:

AB = BC ; A H = HC y HM = ML

De acuerdo ocn estos datos, se pid e calcu lar «x».

Resolución.-

En el triángulo isósceles ABC, BHes m ediana y tam bién al tu ra , en tonces : BH _LAC. En elHLC, trazamos la base media MP , donde P

es punto medio de LC. Luego : PK ± BH

En el A ALC, HP es base media , luego :

PH // AL y m 4- BSP = x

Finalmente reconocemos que en el A HLP, Mes el ortocentro, por consiguiente :

x = 90°

B

33.- A part ir d el gráfico m os trad o, s e sabe que :

AM = M C , adem ás de la relac ión que g uardan en tre

s í los ángulos ind icados.

Se pide calcular el valor de x .

Resolución.-

En primer lugar trazamos MN , de m odo que \am 4 BMN = x, entonces el A BNM y el A MNCson isósceles.

A continuación constru imos el A EBM, de modo que : A EBM = A NBM (A.L.A.):

=> BE = EM = BN = MN = a.

En el cuadrilátero no convexo ABEM, aplicamosla propiedad que establece que :

=> m 4 A = 120°-x

Finalmente en el A ABM :

120° -x + 2x + 3x = 180°

En consecuencia: 4x = 60°

* = 15°

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172 Problemas de Geometría y como resolverlos Ernest ) Quispe R

34.- En la figu ra aada se sabe que :

AM = MC, además de los ángu los in dicados.

Con estos d it o s es pid e calcular x.

Resolución.-

En primer lugar construimos el A NBC equilátero , en el cual : MN = MC . Trazando AN, seobserva que el A ANC, es recto en N , dado que : AM = MN = MC ; luego :

m 4- ANC = 90°.

Luego : m 4 - BNC - 60° y m 4 ANB = 30°

Es fácil deducir que . m 4 ABN = 75°, entonces :

m 4 BAN = 75° y AN = BN = a.

Establecido que el ANC es isósceles .diremos:

m 4 ACN = 45°En consecu encia: x + 45° = 60 °

x = 15°

B

35.- En la figura, calc ular x . &

Resolución.- n M y.

En primer lugar trazamos MN , de modo que m 4 NMC = x, en tonces : MN = NC = a .

Luego el A BMN es isósceles , por lo ta n to : BM = MN = a. A continuación construimos el A AEMde modo que :

A AEM = A MNC (A.L.A.) => AE = EM = MN = NC = a

B

En el cuadrilátero no convexo ABME; por propiedad se sabe que : r r 4 ABM = 120° - x

Finalmente en el A ABM : 2x + 120° -x + 3x = 180"

De donde : x = 15°

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LUIS UDOiaO o . r angmos - o

36.- En la f igura se sabe qu e BD es bis ectr i z del

ángulo B y BM es la med iana relativa a la

hipo tenusa. Calcular e l valor de x .

Resolucion.-

Como BM es mediana, entonces

Y al trazar la altura BH resulta tam bién qu e :

Empleando la propiedad : 5.1 0c, resulte que:

m 4. HBD = m 4 DBM = 0

Por el teorema de la bisectriz (5.5) : BH = BL

Observcse que : E¡\. AHB s BF ,E

=> AB = BE

Finalmente en el ABE isósceles :

A D M

m 4 MBC = m 4- ACB = a

m 4 ABh = a

x = 45°

37.- En la f igura mos trada se sabe q u e:

A B = QC, BP = PQ, AM = MC

Ca lc u lar : m 4_ PMQ.

Resolución.-

Prolongamos CB hasta T ,tal que BT = AB, luegoA ABT y A TAC son isósceles, donde :

m 4 BTA = m 4 BAT = 40° y AT = AC = 2a

Luego : A ATB = A AQC (L.A.L.) => AQ = AB.

En el A AQC isósc.: m 4 AQM = m 41 MQC = 50°.

En el A TAC : PM es base media . Luego : PM // AT

=* m 41 ATC = m 4 MPC = 40°

Y en el A MPQ : 50 = 40 + v x = 10°

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_

38.- Calcular -<x» en la figura mostrada.

Resolución.-

En primer lugar prolongam os CB, luego trazamos AH de m anera que : m 4 EAB = 30°.

Entonces : A AEB = A ADB (A.L.A.), luego :

AE = AD = a y EB = BD = n.

El A AED es equilátero : AE = ED = AD = a.

En el A DEC: m 4 DEC = 40°

m 4 EDC = 70° y m 4 ECD = 70°

De esto se deduce que : AE = EC = a.En el A AEC : m 4 EAC = m 4 ECA = 40°

En consecuencia: x + 40° = 70°

x = 30°

39.- En la figura se muestra un D A B C eq u ilát er o , en el que se

veri f ica que AP = B M . Con estos d ato s, se pid e calcular x°.

Resolución.-

Primero constru imos el A BQC , de modo que

A BQC a A APC

Entonces se cumplirá que : BQ = QC = AP = PC.

Ahora observamos que

A QBM = A PCQ => MQ = QP = ¿n

Pero QN = n, enton ces el E\ PNQ es no tab le, c o n ,

m 4 NPQ = 30°

Finalmente en el A PQM isósceles :

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m 4- PQM = 140° => m 4- QPM = m 4. QMP = 20°

En consecuencia : x = 30° + 20°

x = 50°

40.- Dado un triángu lo A B C , don de : m 4_ B = 54g y m 4 C = 30s. Por B se traza una

recta paralela a AC que intersecta a la bi sect riz interior d el ángul o A en P. Calcu lar la m 4_ PCB

Resolución.-

Construi.nos los triángulos equiláteros ABQ y BTC, de donde resulta :

m 4- QBC = 6° y AB = BQ = AQ

Por otro lado en el A BCT, CA es bisectriz,mediatriz, etc ; luego AB = AT.

Los triángulos ABT y BQC resultan ser congruentes (L.A.L.) ae donde :

QC = BQ y m 4 QCB = 6o

En el triángulo equilátero ABQ trazamos la mediatriz B1 de AQ , de donde :

LA = LQ y m 4 QLC = 72°.

El A QCL resulta ser isósceles, entonces :

QC = LC

Finalmente : A BCP = A BCL (L.A.L.)

* = 24°

y m 4. TBA = 6° y BC = CT = BT

.A

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' kOei Mas fftopuesros

1.- En un triángulo rectángulo ABC, recto enB, la inediatriz de \C interfecta a BC en "P",

de tal manera PB = 12 y m 4 - A = 3 . m 4 PCA;calcular AB.

A) 18 B) 16 C) 14 D) 12 E)10

2.- En la figura, con respecto al triángulo ABCBD es bisectriz y BM es mediana Calcular*.

A) 45°B

B)60°

0 3 0 °

D)53°A D M C

E)75°

3.- En un triángulo ABC, obtuso en A, lasmediatrices de AB y AC se intersectan en "T",de manera que el ángulo exterior en A es el

triple de la medida del ángulo TBC, hallar/?» 4

TBC.

A) 37° B)30° C) 3772

D) 15° E)45°/2

4.- Hallar.v, si los triángulos ABC y BMN sonequiláteros.

A) 30°

B)37°

Q45°

D)53

E)60°

5.- En un triángulo escaleno ABC, se traza lamediana CM : en el triangulo BMC se traza la

mediana BN, de manera que BN = 18 ootuso.

Sobre AC se ubica un punto "P" de modo que

MP // BN ; calcular MP.

A) 18 B) 16 C) 14 D) 12 E)6

6.- En la figura BP = AC.

Hallar a- , si AM = MB y PN = NC

A) 60° B

B;45°

C)53°

D)75°

7.- Los lados de un triángulo miden 13:14 y 15unidades, se trazan dos bisectrices exterioresde ángulos diferentes y desde el tercer vérticese trazan perpendiculares a esta bisectrices.

Calcular la longitud del segmento que une los pies de las perpendiculares.

A) 15 B) 16 C) 18 D)21 E)24

8.- En la figu ra se sabe que:

AP = PB , AN = NC y BC = 6y¡2.

Hallar M N .

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Luis Ubaldo C.

9.- En un ti ¡ángulo rectángulo ABC, recto enB, se traza la ceviana interior BM de tal mane

ra que BM = 36 y m 4 MBA = 30°; hallar AC,si m 4- A = 50°

A) 36 B)54 C)64 D)72 E)90

10.- Calcular a , si AB = 2. HM

B

11.- En un triángulo ABC, se traza la mediana

BM , de tal manera que m 4 MBA = 2 . m 4

MBC ; hallar m 4 MBC , si BC = 2 . BM

A) 18° B)24° C)3(/' D)36° E)45°

12.- En la bisectriz exterior del ángulo A deun triángulo rectángulo ABC, recto en B, seubica el punto "P" de manera que dista en 6unidades de AC y en 8 unidades de BC.

Hallar PB.

Triángulos II 177

13.- Calcular , en la figura.

A) 7 B) 8 C)9 D) 10 E)5

14.- En el interior del un triángulo ABC, seubica el punto ”P" de tal manera que. PC = BC ym 4 PAB -m 4 PAC= 17°. Hallar«/ 4 PCB, sim

4 B - 107°.

A) 13° B) 17° C)20° D)21° E)26°

15.- Calcular jc°

16.- En un triángulo ABC, se traza la cevianainterior BM ; de tal manera que AM = BC y

ni 4 C = 2. m 4 MBC. Hallarm 4 MBC, si m 4 A = 2 . m 4 C

A) 10° B) 12° C)15° D) 16° E)20p

17.- En la figura: AF = BC. HallarB.

B

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A) 15° B) 18° C)22°3U'

D)20° E)30°

18.- En un triángulo rectángulo ABC, recto enB, se traza la ceviana intei ior B P , de tal mane-

BP AP PC: 5- = - T = —

Calcular m 4 BPC.

A) 30° B)37° C)45° D)53°

19.- En la figura: a, (3 y 0 foi man una progresión aritmética. Calcular "P"

A)1(T B)20p C) 15° D) 3(f E)22°301

20.- En un triángulo ABC, se traza la cevianainterior CM , de modo que CM = AB: además

se conoce m 4- A = 30° y m 4- B —100°. Calcular m 4 MCB

A)30p B)40° C,5(T D)25° E)35°

21.- En el interior de un triángulo equiláteroABC, se ubica el punto "P", de tal manera que:

PA PB PC „ „ , — - - y . Hallar m 4 PBC

A) 90° B)97° C)120° D) 135° E)15(f

22.- En un triángulo ABC, se traza la cei íana interior B M , de tal manera que: AM = BM + BC

y m 4 MBC = 120°; calcular/n 4 ABM sim 4 C = 20°.

A) 10° B)20° C) 15° D) 25° E)30°

23.- Calcular x.

A) 10° B) 12° C) 15° D) 16° E)18°

24.- En el interior de un triángulo rectánguloisósceles ABC, recto en B, se ubica el punto

"P”. de tal manera qu e:

PC PB PA1 2 ~ 3~

Hallarm 4 BPC

A) 90° B) 105° C)115°

D) 135° E) 15(f

25.- Del gráfico mostrado; calculara si AP= BC.

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Luis Ubalúo C. Triángulos I I 179

26.- En un triángulo a BC, se traza la cevianaBF, de modo que AB = FC y las medidas delos ángulos ABF ; FBC y ACB son directamente proporcionales a : 3, 7 y 4 respectivamente. Hallar la rizón de proporcionalidad.

A) 8o B)9° C) 15° D) 10° E)12°27.- En un triángulo ABC se traza las alturasAM , CF y BG determinándose elorto centroH. Por H se traza una paralela a FM la cualintersecta en P, L, R y Q a AB, F G , MG yBC respectivamente. Si FL = 4 y MR = 7.Hallar PQ.

A) 11 B) 15 C)19 D)22 E)27

28.- Interiormente a un triángulo acutánguloescaleno ABC se ubica el punto P.

Si: AB = 38 ; BC = 30 y AC = 23

La suma PA + PB + PC máxima es :

A) 60 B)90 C) 105

D) 120 E)150

29.- En la figura: A C-H C= 12 V3. Calcular BP.

B

A) 4 B) 6 C) 3 &

D) 6 J 3 E) 9

30.- En un triángulo A BC, se traza la medianaBM, lu eg o AH I B M .

Si : BC = 2 AH , calcular m 41 MBC.

A) 5CP B) 20° C) 15° D)40° E)30>

31.- Sobre el lado BC de un triángulo ABC seubica el punto R de tal manera que :AB = CR = 10. Hallar la longitud del segmento

que une los puntos medios de AR y BC. Sim D) 12° E)15°

33.- Sobre la bisectriz del ángulo interior C deun triángulo isósceles ABC (AB = BC) se ubica exteriormente el punto T, de tal manera que:m 4-CTA = wz4 1TAB = 3CF.

Calcular lamjf. TBA

A) 8o B) 109 C) 12° D) 15° E)20°

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180 Problemas de Geometria y cómo resolverlos Ernesto Quispe i l

34.- Calcu lar* , si AM = MC 38.- Dado el triángulo rectángulo ABC rectoen B, se traza la bisectriz interior BD intersecta

en P a la prolongación de CA y en Q a la

med iamzde BC.

Calcular la m 4 - PBQ.

A) 37° B)45° C)48,5°

D)50° E)60°

A) 105° B) 115° C) 125°

D) 120- E) 135°

35.- Dado el triángulo rectángulo ABC, recto

en B. La mediatríz de AC se intersecta en Pcon la bisectriz del ángulo exterior B; luego setraza AF // BP (F e BC y, si FC =a. Calcular BP.

A ) | B) a 4 l C ) | v ?

D ) | V 3 E )a

36.- Del gráfico; calcula r*. S i: AB = BC

A) 10° B) 12° Q 15° D) 20° Ej25°

37.- Dado el triángulo rectángulo ABC rectoen B. Sobre AC se ubica el punto P de modo

que: AB = PC la mediatnces de AP y BC seintersectan en Q.Hallar la m 4 - BQT, si m 4 ACB = 20° y T esel punto medio de

A) 10° B)5° C)15° Dj20° E)7,50

39.- En la figura mosti ada se sabe que:

AM = MC y PM - BC

Calcular lam 4 - BPM

D) 15° E)22°30'

40 - Calcula r* del gráfico.

A) 1° 30' B)9° C) 12°

D) 18° 30' E)26°30'

V

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DEFINICION.-

Es aquella figura geométrica determ inada por una línea quebrad a y cerrada.

a) Vértices : A, B E

b) Lados : AB , BC,... , AE

c) Angulos Interiores : 4 - A, 4- B, . . . ,4 - E

d) Angulos Exteriores : 4 - LAB, 4 TBC,..., 4 KEA

e) Diagonal: BE

0 Diagonal Media : MN

g1Perímetro : 2p = AB + BC + ... + AE

6.2 CLASIFICACIÓN6.2.1 DE ACUERDO A SU CONVEXIDAD

a) Polígono Convexo.-

Si toda recta qu e contiene a un o de sus ladoslo ubica en un mismo semiplano.

E jm : Hexágono convexo.

b) Polígono no Convexo.-

Si por lo menos existe una recta que conteniendo a uno de sus lados lo ubica en uno y otrosemiplano.

Ejm : Pentágono no convexo.Fig. 6.2

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6.2.2 Atendiendo a la Regularidad de sus elementos.

a) Polígono Equiángulo.- Aquel que tiene sus ángulos congruentes.

b) Polígono Equilátero .- Aquel que tiene sus lados congruentes.

c) Polígono Regular.- Aquel que es equiángulo y equilátero a la vez.

G.3 D £ ACUiJRDO AL NÚMERO DE SUS LADOS

J L ’

1 r

Fig. 6.3

(a) Hexágono equiángulo (b) Pentágono equilátero (c) Cuadrado regular

3 lados —> Triángulo4 lados —> Cuadrilátero5 lados —» Pentágono6 lados —> Exágono7 lad s —> Heptágono8 lados —> Octógono

9 lados —» Nonágono10 lados —> Decágono11 lacios —> Undecágono12 lados —> Dodecágono' 5 iados —> Pentadecàgono20 latios —> Itoságono

6.4 PROPIED ADES GENERALES DE UN POLÍGONO

CONVEXO DE "n" LADOS6.4a) En todo polígono, el num ero de lados es igual al número de vértices , e , igual al núm ero

de ángulos interiores.

N° la jo s = N° vértices ==N° 4 - interiores = n ... (6.1)

6.4b) En todo polígono, el núm ero de ángulos exteiiores e s el doble del núm ero de lados.

N° 4- exteriores = 2n ... (6.2)

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6.4c) En todo polígono, el número de diagonales trazadas desde un vértice, está dado por lasiguiente relac ión :

N° d ,v = n - 3 ... (6.3)

6.4d) En todo polígono, el número de diagonales medias trazadas desde un lado, está dado porla siguiente relación.:

N° d . m = n - 1 ... (6.4)

6.4e) En todo polígono, el número d e triángulos determinados al trazar las diagonales de sde unvértice, está dado por la siguiente re lac ión :

(6 .5) ... N° As = n - 2 ; N° As : Núm ero de triá ng ulo s

6 40 En todo poiígono, el núm ero d e cuadriláteros determinados al trazar las diagonales m edias desd e un lado, está dad o por la siguiente rela ció n:

(6 .6) ... N ° D s = n - 2 ; N° D s Número de cuadri lá teros

6.4g) En todo polígono, la suma de las medidas de los ángulos interiores, está dada por lasiguiente relac ión :

S 4 .1 = 180(/i - 2) ... (6.7)

6.4h) En todo polígono, la sum a de las medidas de los ángulos exteriores es 360°:

S 4- e = 360” ... (6.8)

6.41) En todo polígono, el núm ero total de diagonales, es tá dado por la siguiente relación :

N o D = n(/12~ 3) ... (6.9)

6.4j) En todo polígono, el número total de diagonales medias, está dado por la siguiente relación:

N° D.M. = ^ ... (6.10)

6.4k) En todo polígono, el núm ero d e diagonales trazadas a partir de "m" vértices consecutivos,está dado por la siguiente relac ión:

. (m + l ) (m + 2) N°rf = m n - - ^ L ...(6.11)

6.41) En todo polígono, el número de diagonales m edias trazadas a partir de "m" lados consecutivos, está dado por la siguiente relació n:

Luis tiba ldo C Po lígonos 183

N°d m. =m/i- 1 ...(6.12)

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€jcRcicios oe aplicación pa r t c )

1.- Calcular la suma de los áng ulos interiores d e un polígo no de 8 lados.

Resolución.-Aplicando la propiedad "6.4g " , tendremos : Splint. = 180 {n - 2) ; donde n = 8

Reemplazando : Splint. = 180 (8 - 2)

Luego : S4lint. = 180 (6)

Splint. = 1080

2.- Calcular el número total de diagonales d e un po lígon o de 12 lados.

Resolución.-

De acuerdo con la propiedad "6.4 f , tendremos : N.D. =

Reemplazando : N.D. =

Luego : N.D. =

N° D. =

3.- En un endecágono, hal lar el nú mero total de d iagonales m edias.

Resoluclón.-

El nombre de Endecágono es sin mimo de undecágono y es el polígono que tiene 11 lados lueg o, de acuerdo con el item 6.3 , podem os estab lecer que :

N°D.M. = ^ ; donde n = 11

Reemplazando : N°D.M. = ^

N° D.M. = 55

4.- En un hexágono, calcular el número de d iagonales trazadas d esde un s ólo vértice.

Resoluclón.-

Si aplicamos la propiedad ”6.4c", tendrem os :

n { n - 3) 2 — I donde n = 12

12(12-3)2

12(9)2

54

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Luis Ubaldo C Polígonos 18

N°D.M. = n - 3 ; donde n = 6

Reemplazando: N°D.M. = 6 - 3

N° D.M. = 3

5.- Dado un dodecágono, s e pid e calcu lar el núm ero de d iagonales trazadas a par tir dcuatro vértices consecutivos.

Resolución.-

De acuerdo con la propiedad "6.4 k", se logra establecer que :

(m + 1) (m + 2)Tenemos que : N°d = mn - -------- --------

Donde : n = 12 ; m = 4

Reemplazando : N°d = (4) (12) - ^ + +

Entonces: N°d = 48-15

N° d = 33

6.- En un heptágono, c alcular el número de triángulos determinados al tr azar las diagonaledesde un vértice.

Resoluclón.-

Según la propiedad "6.4e", se puede establecer que :

N° As = n - 2

Donde: n = 7 (heptágono)

Reemplazando: N° As = 7 - 2

N°AS = 5

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186 Problemas de Geometría y cómo resolverlos cu )esto Qulspe R

6.5 PROPIEDADES EN UN POLÍGONO REGUL \ R D E"n " LADOS,

6.5a) La medida de. ángulo interior, está dado por lasiguiente relació n:

i = 1 8 0 ( / i - 2 ). . . ( 6 . 1 3 )

6.5b) La medida del ángulo exterior, está dado por lasiguiente relació n:

e = 3 6 0

n... ( 6 i 4 )

6.5c) La medida del ángulo central, es tá dado por lasiguiente relació n:

3 6 0

— 0 — r~Ae JL v

/ / \ / T

\ c j \

( ) i 1 ( >

\ _ i l " / — O---- í—'

Fig. 6 .... ( 6 . 1 5 )

6.5d) La medida de la sum a de ánguios cen trales es 36CH

S 4I c e n t r a l e s = 3 6 0 ° ... ( 6 . 16 )

6.5e) Las propiedades a y b s e cum plen también para un polígono equiángulo.

6.6 PROPIEDADES ESPECIALES

6.6a) El máximo núm ero de ángulos interiores agudos de un polígono convexo es : 3

6.6b) El mínimo número de ángulos interiores obtusos de un polígono convexo es : n - 3

6.6c) El número de ángulos rectos a que equivale la suma de las medidas de sus ángulos interiores es : 2 (n - 2)

6.6d) Si el número de lados de un polígono disminuye en "m" (m < ni) , su número de diagonales disminuye en "d " cumpliéndose :

( / i- 2 ) + (n -3 ) + ( /i -4 )+ . „ +[ / i- (m + l) ] = d ...(6.17)"m" sumandos

6.6e) Si el número de lados de un polígono aum enta en "m" su núm ero de diagonales aumenten " d \ cumpliéndose :

( í i - l ) + (n) f (« 4 1) +...+ |n + (/7i-2)] = a ...(6.18)

" t r t " s u m a n d o s

6.60 Si las medidas de los ángulos interiores de un polígono convexo están en progresióaritmética de razón V y el menor ángulo interior es "a", entonces :

180 (n - 2) = un +m ( n - 1)

(6.19)

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Luis Ubaldo C. Polígonos 187

6.6g) Si las medidas de los ángulos externos de un polígono convexo forman una progresiónaritmética de razón V y el meno r ángulo exterior mide "a ", entonces :

360 = a n + rn( R7 V> ... (6.20)

6.6h) Para dos polígonos regularesó en t yrt

2lados cuya diferencia de las medidas de susángulosinternos, externos o centrales es "a", se cumple :

n, - 17360 = n ~ n t K > " 2) - ( « O

ejeRcicios oe &pucación (2* partg)

7.- Calcular el número d e lados que t iene un polígono regu lar si se sabe qu e de la medida de uno de sus ángulo s interiores es I449.

Resol «clon.-

Según la propiedad 6.5 a, tendrem os que : 4lint. = —

Reemplazando: 144 =

n

180(n-2)n

Luego : 144n = 180(n - 2)

.Al efectu ar operacio nes , se tendrá que : 4 n = 5n -10

n = 10

8.- Si la medida del ángulo exteriorde un polígono regular es 249, ¿ De qué polígono se trata ?

Resolución.-

360Según la prop iedad vista en el item 6.5b , tenemos que : ¿jlext. =

360Reemplazando da to s: 24 =

n = 15

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188 Problemas de Geon.etría y cómo resolverlos Frnewo Q u'spe R.

9 .-En un poí.gon o regular la medida de su áng ulo cent ral es 24s. Determ inar el número d e lados de dicho po l ígo no .

Resolución.-

360De acuerdo con la propiedad 6 .5c , tenemos que 4Icentral =

Reemplazando el d a to : 24° =

Luego, al despe jar tend rem os : .-. n = 15

10.- Calcular el mínimo n úm ero de ángulo s int eriores o btus os q ue pu ede haber en un polígono c onvexo de veinte lados.

Resolución.-

Sea : Min N°4lo b t.: Mínimo núm ero de ángulos obtus os , entonces de acuerdo con la propiedad especial vista en el item 6.6a , tendremos que :

Min N°4lobl. = n - 3 ; don de . n = 20.

Reemplazando: Min N°4lobt. = 20-3

Min N°4lobl. = 17

11.-¿Cuál es el num ero de lados de un po lígo n o , si se sabe que la suma de las med-

de los ángulos int eriores equivale a 12 ángulo s rectos ?Resolución.-

Según la propiedad especial 6.6c , tenem os que : N°4lrect. = 2 (n - 2)

Donde al sustituir datos tendrem os : 12 = 2 (n - 2)

n = 8

12.-Del ejercicio anterior ¿Cuál es el num ero de ángulo s l lanos a q ue equivale la sum a de

las medidas de sus ángulo s interiores?.Re6oIuclón.-

La sum a de los ángulos interiores es : S^lint. = 180 ( n - 2)

Como un ángulo llano equivale a 180°, entonces la parte señalada coi 1 paréntesis representa elel número de ángulos llanos.Pero del resultado anterior se sabe que n = 8 , luego :

S/Jlint. = 8 -2 => S 4lint. = 6

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M í s c e i & r i e a

1 - En un o ctógono, ¿En cu ánto excede el núm ero de diagonales al núm ero d e vertíces ?

Resolución.-

El núm ero de diagonales, lo hallamosutilizando la propiedad 6.4i : N° D = ^

gfo _ El octógono tiene 8 lados, luego el número de sus diagonales es : — ^— = 20

Entonces al operar nos qu ed a : N° D = 20

Según condición del problema : N° diagonales = N° vértices + x ;

Donde x es el exceso, luego : 20 = 8 + x

x = 12

2.- En cierto polígono el número de diagonales medias y el número de diagonales se encuemrar. en la relación de 7 a 5. ¿De qué po lígon o s e trata?

Resolución. ■

Si el polígono tiene "n" lados, entonces el número de sus diagonales medias y el de sus diagonalesrespectivamente viene dado por las siguientes relaciones :

N° DM = n (n-l)/2 a N °D = n ^ ~ 3)

n ( n - 1)/2 7Según condición del problema se tiene que : n ( n - 3 ) /2 = 5^

Simplificando y efectuando operaciones se tendrá que : 5n - 5 = 7 n - 21 => n = 8

En consecuencia, el polígono es un : octógono

3.-¿Cuál es el polígono conv exo en el que el número de diagonales es mayo r en 133 al número de sus lados?

Resoludón.-

Sea "n" el número de sus lados, enton ces por dato se tend rá que : N° D = 133 + n

Sustituyendo el piim er miembro por la relación 6.4i : n ln _ — = 13 3 + n

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Factorizando :

n 2- 5 n - 266 = 0

(n - 19) (n + 14) = 0 n = 19

4.- La suma de las medidas de los ángulo s in ternos, c entrales y externos de un p olígono regu lar es ig ual a 2520B; h allar la medid a de s u áng ulo central.

Resoluclón.-Sea "n" el número de lados del polígono regular convexo que buscamos , luego según lacondición del problema tendremos que :

Xm 4 - i + ' L m 4 - c + T m 4 - e = 2520°

Efectuando , se obtiene :

De donde :

Fn consecuencia su ángulo centra l "c" medirá :

180° (n - 2) + 360° + 360° =2520 °

180 in - 2) = loOu

n = 12

360c ~ 12

c = 30°

5.- En un pol ígono equiáng ulo desde 5 vértices con secut ivos se han trazado 54 diagonales, hallar el v alor del ángu lo exterior.

Resolución.-

Calcularemos el núm ero d e lados "n" del polígono , para lo cualse utilizará la relación 6.4k :

N ° d = m n - (m + 1)2(m +2) ; do nd e : m = 5

=> N°d = f5#í - (5 + 1)(5+2)l

54 = [5n -21] => n = 15

Luego el ángulo interior medirá : 0 = 180 (15 - 2)/15

=> G= 156

Pero. e + 6 = 1 8 0 ° => e = 180-156

e = 24°

o.- El número de vértices y el núm ero de diagonales totales de un polígono regu lar son iguales, c uál será la medid a de su ángu lo c entral.

Resolución.-

Sea "n" el número d e lados del polígono regular. Lu ego, según las condiciones del problem a

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tendremos : N° vé rtices = N° diagonales totales

Reemplazando : n = n [n - 3) /2

Donde : n = 5

360n

Luego por la relación 6.5c, su ángulo centra l m ed irá ; 4-C

Reemplazando d at o s: 4-c —360.5 => c = 72°

7.- En un polígon o el núm ero de diagon ales m edias es 15. ¿Cuantas d iagonales se podrán trazar desde 3 vért ices co nsecutivo s en dic ho polígono ?

Resolución.-

En un polígono de "n " lados la expresión, que nos lleva a calcular su número de d iagonalesmedias es :

N° DM = — ^

Según las condiciones del problem a : ^ = 15

De donde al efectuar operaciones : n 2 - n - 30 = 0

n x ^ - 6 xn ' 5

[n - 6) (n + 5) = 0 => n = 6

Luego de la propiedad 6.4k : N° d = mn - . m = 3

Reemplazando datos : N° d = (3) (6) -

N ° d = 8

8.- La diferencia entre el numero de diagonales y el número de ángulos l lanos a que equivale la sum a de las m edidas de los ángu los in ternos de un pol ígon o es 119. Calcu lar el

número de triángulo s determinados al t razar las d iagonales desde un vért ice.Resolución

Sea "n" el número de lados del polígono. Luego según las condiciones del prob lem a, se tendrá:

- n2~-3) - {n- 2) = 119

Efectuando: n 2 - 3n - 2n + 4 = 238

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Donde : n 2 - 5n - 234 = 0

- 18

13

(n -18) {n + 13) = 0 => n = 18

Luego el núm ero N de triángulos determinados al trazar las diagonales desde un vértice es (n - 2)

Reemplazando : N = n - 2 = 1 8 - 2

N = 16

9.- Calcular el número de d iagonales d e un po lígon o reg ular sabiendo qu e el cuadrado dela medida de su ángulo c entr al equiv ale a 9 veces la medida de su áng ulo interior.

Resolución -

Sea "n" su número de lados del polígono regular. Luego según las condiciones del prob lema :

\2 n 18 0(n -2)w - n

Al efectuar operaciones , se tendrá : 2 . 9 . 40 = 9 n (n - 2)

Simplificando: 80 = ni 1 - 2n

Por aspa simple : n 2 - 2n - 80 = 0

-10

*+8

Luego : (n -10) (n + 8) = 0

n ' Vn y 44

Entonces: n = 10 (si) v n = -8 (no)

Luego : N° D = 10(1° ~ 3)

N° D = 35

10.- Si el número de lados de un po lígo no con vexo s e duplica , el núm ero de sus diagonalesaumenta en 234. ¿Cuantos lados t iene ?

Resoluclón.-

Sea "n" el numero de lados del polígono convexo.

, .. . , . . n { n - 3) 2n(2n-3)Luego por condiciones del problema : — — 4 234 = — — -

Resolviendo : rí 1 - 3n + 468 = 4n2 - 6n

Ahora : 0 = 3n 2 - 3 n - 468

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Luis Ubaldo C. Po lígonos 193

Factorizando , se tendrá que :

Luego :

Ei .tonnes :

n 2 - n - 156 = 0n- 13

n + 1 2

(n -13) (n + 12) = 0

n = -12 v n = 13

n = 13

11.- En un polígono equiángulo se cono ce qu e la sum a entre el núm ero d e diagonales trazadas desde un vért ice, el núm ero de triángulos qu e se forman y el núm ero de diagonales medias qu e se determinan al tr azarlas desde un lado es Igual a 48. ¿Cuánto mide un ángulo exterio r de este polígono?

Resoluclón.-

Por propiedad se sabe que :

- N° de diagonales trazadas desde un vértice = n - 3

- N° de triángulos determinados al trazar las diagonales desde un vértice = n - 2

- Números de diagonales mpdias trazadas desde el punto medio de un lado = n -1

Luego según el pro blem a: (n - 3) + (n - 2) + (n - 1) = 48

Resolviendo : n = 18

360Luego la medida del ángulo exterior se rá : m -êxterior = — -

12.- Si a la medida del ángulo exteri or de un po lígon o regu lar se le dis min uye 60s, el resultado es n um éricamente igual al núm ero de diagonales aumentado en 7. Calcular el núm ero de sus lados.

Resoludón.-

Según el enunciado del problem a se tiene que :

m 4- exte rior = 20°

^ - 6 0 ° = ^ ^ - ^ + 7 => 720 - n2 (n - 3) = 134n

De la expresión anterior : n 3- 3n 2+ 134 n - 720 = 0

Resolviendo : (n2 + 2n + 144) (n - 5) = 0

n = 5

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13.- ¿ Cuántos lados tiene aqu el po lígon o egu lar tal qu e la medida de su ángu lo in terior es (m +11) veces la medida de su ángu lo central? Po r otro lado se sabe que el número de sus diago nales es 110 m (m e Z).

Resolución.-

Sea "n" el número de ladus del polígono.

180(n-2) r . , , ^ 360 n - 24Luego : = (m + 11) — => m = - , — ... (1)

Por otro lado: n - - = l l Om =» m = ^ ^ 2 0 ^

i-\ /v»\ n 24 n(n 3)De (1) y (2) :

De esta expresión se llega a la ecuac ión cu ad rát ica : n 2- 113n + 2 640 = 0

Resolviendo se logra encontrar dos valores para n : n = 80 a n = 33

33-24Si: n = 33 m = — ^— = (enes te caso m e Z )

on _ 04Si: n = »0 => m = — ^— = 28 (si es posible ya que m e Z)

n = 80

14.- Si a la medida del ángulc interio r de un po lígon o reg ular se le dism inuy e en 9S, el número de sus lados se reduce en 2. ¿Cuántas diagon ales q uedan?

kesolución ■

0 n l - n 2De acuerdo a la propiedad 6.6h, tendre m os: = ~¿ 7T

j o U //] - fi2

Donde los datos son 0 = 9° a n 2 = n - 2

9 2Reemplazando datos se te nd rá : = 7—77------ ^

360 (n, )(n, -2)

De d on de : ( n , ) ( n , - 2 ) = 80

Resolviendo : * n t = 10 a r ¡2= 8

Luego el número de diagonales que qued an se obtendrá a paitir de n = 8 , en la relación 6.4i:

8(8-3)x = ——tí => x = 20

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15.- La diferencia entre el número de diagonales y el número de ángulos llanos a que equivale la suma de las medidas de los ángulos internos de un polígono es 119. Calcular el núm ero de triángulos determinados al tr azar las diagonales desde un vértice.

Resolución.-

Sea "n"el número de lados del polígono dado ; luego :

16.- Las medidas de los ángu los in teriores de un pentágono con vexo están en pro gresió naritmética. Calcular el m ayor valor entero de la razó n .

Resolución.-

Sean r la razón de la progresión y a - 2r la medida del m enor ángulo interior del pentágono;luego el mayor ángulo será : a + 2r

N° D = - - - - -- - a N° de ángulos llanos = (n - 2)

Según condición del problema :

Efectuando operacio nes :

Por aspa simple :

n 2- 3n - 2n + 4 = 238

n 2 - 5n - 234 = 0

Resolviendo .tendremos :

Nos piden N° de triángulo!, desde un solo vértice : x = n - 2

n = 18

x =18-2

* = 16

De acuerdo con la figura :

(a - 2r)+ (a - r) + (a)+ (a + r)+ (a + 2r) = 180(5 - 2)

Simplificando: 5a = 540

De donde : a = 108° ... (1)

Adem ás: a + 2r < 180° ... (2)

Sustituyendo (1) en (2) : 108 +2r < 180

Ahora : 2r < 72

Finalmente : r < 36° =» r = 35 ; 34 ; 33 ;...

Eli máximo valor entero de r será 35°

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196 Problemas de Geometría y cómo resolverlor Ernesto Quispe R.

17.-En un polígono equilátero se con oce que desde 3 v ért ices cons ecutivos se pueden trazar 50 diagonales. Calcul ar su perímetro, s i uno de sus lado s mid e 5.

Resolución ■Se logrará determinar el número n de lados del polígono , emplearem os la propiedad 6.4k:

(m + l)(m + 2) N° d = m n ----^ -------

Donde los datos s o n : m = 3 a N°d = 50

rn o (3 + 1X3 +2)Reemplazando se tiene : 50=3n --------- ^-------- => n = 20

Luego su perímetro (2p), será : 2p=20 (5)

2p = 100

18.- ¿En que polígono c onvexo se cum ple que el cu adrado del número de sus vért ices es

igual a la suma de su n úmero de diagonales, n úm ero de diagon ales m edias y seis veces el máximo nú mero de ángu los in teriores agudos que puede tener?

Resolución.- *

Sea "n" el número de vértices, luego el polígono tendrá "n" lados . Ahora por condición del problema se tendrá que :

[Número de vértices]2 = N°D + N°D.M + 6[máxuno N°de ángulos interiores]

,^ 2 n (n - 31 . n( n- l )(n) = ---- ^— ' + -----2 — ™

Luego : zn 2 = n 2- 3n + n 2- n + 36Simplificando: 4/7 = 36 => n = 9

Es el Nonágono

19- La suma de las medidas de los áng ulos intern os d e cierto polígo no r egu lar excede a la suma de las medid as de los ángu los externo s en 900g. ¿Cuánto s um arán las medidas de sus ángulos interiores?

Resolución.-

Sea "n" el núm ero de lados del polígono regular dado Lurgo por condición del problema :'Lm 4- i = I m <¡Ce + 900°

180 °(n-2 )= 360' + 900°

Simplificando se o bt iene: n - 2 = 2 + 5

Ahora : n — 9

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Luego la suma pedida s e rá : L m j L i = 180° (9-2)

X m 4 _ l = 1260°

20.-¿Cuál es el pol ígon o c onvexo en el que el núm ero de diagonales es mayo r en 133 a su número de v ért ices?

Resolución.-

Sea "n" el número de lados del polígono convexo. Entonces por condición del pro blem a:

77 ^ = # de vértices + 133

Pero: # de vértices = # de lados = n

Entonces : ""^2 ^ = n + 133

Operando : n 2 - 5n - 266 = 0

Factorizando: n = 19

El polígo no e s de 19 lado s

21.- ¿ En qué polígon o r egu lar se cum ple que al aum entar 30g a la medid a de su áng ulo externo, se obtiene otro polígon o regu lar en el cual su ángulo externo es a su ángulo in ter ior como 2 es a 7?

Resolución.-

Sean "n" y "m” los núm eros que expresan la cantidad de lados de cada polígono regular

buscado . Luego si consideramos al polígono original a aque l cuyo número de lados es "n" ,según los datos da d os, elabora remos los gráficos ad jun tos , los que según las codiciones del pro ble m a, debe rán verificar la siguiente r ela ció n:

e + 30°a - 3 0 °

De donde al efectuar las ope iacionescorrespond ientes ,tendremos :

2a- 7e = 270° . . . (1)

Pero observando el primer esq ue m a, se puede establecerq u e :

a + e = 180° ...(2)

A continuación resolveremos (1) y (2), obteniéndo se :

e = 10° a a =170°

X

Luego : e = ^ n = 36010

n =36

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22.- Calcular la medida del ángulo in terio r de un po lígono reg ular sabiendo qu e excede en 20g a la de otro que tiene tres lados m enos.

Resolución.-

Sean y n 2 los núm eros de lados de los polígonos y a la diferencia de las medidas de susángulos interiores (pud iendo ser tam bién las exteriores o centrales).

Ct ^1 — ^2Luego según la propiedad t.6h, se cumple . ..... (*)

De los datos del prob lem a, se sabe que : a = 20° a n 2= n ¡ - 3

Luego , al reemplazar en (*), se tiene : 20 _ 3360 /?| (/?] -3 )

Entonces , al despejar y reso lver, se obtiene : n x= 9

Ahora, por la relación 6.5 a, el ángulo interior se rá : i = 1 ^ S _ 2 )

i = 140°

23.- Los 5/2 de la medida del ángulo interior de un polígono regul ar es ig ual al cuadrado dela medida de un ángulo exterior. Hallar el núm ero de sus lad o s .

Resolución.-

Sea "n" el número d e lados de es te polígono , luego según condición del problem a se dube

establecer qu e :

medida 4- interior = [medida 4- exterior ]2 ....(*)

Si ahora reemplazam os cada expresión de (*) por las relaciones 6.5a y 6.5 b, tendrem os :

5 j~18 0(n -2 ) j = ^ 360j 2

De donde :150ín - 2 ) _ 360 360

n ~ n n

Simplificando: 5 (n - 2) =

Ordenando se establece q ue : n (n - 2) = 288 = 18 (18 - 2)

Finalmente por comparación : n = 18

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24.- La cantidad de diagonales de dos p olígonos regulares s e diferencian en 36 j las medid as de sus ángu los centr ales están en la relación de 4 a 5. Calcu lar la diferenc ia de las medidas de sus ángu los interiores.

Resolución.-Seann yn los núm eros de lados de dichos polígonos, tal que n x > n , luego por condición del problema se tendrá:

n i(ni~ 3) n (n -3)2 2 ■■■

Pues b ie n , si ahora deseamos estab lecer la relación que guardan entre si los números n yr¡v emplearemos la segunda condición :

360

4 - n, = £ n ...(2)M í 5 1 4n

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