BRVKABRVKA

Bernard Bolzano(1781-1848)

Zde najdete seznam používaných symbolů a jejich čtení:

nebo - zároveň a -

upodmnožino není - upodmnožino je -

sjednocení -prunik -

... když ..., tehdy právě - implikuje plyne, tohoz -

nenáleží - náleží -

existuje - ... všechna,každý, -

BRVKA

Množina je soubor prvků dané vlastnosti, většinou se zapisuje: , kde je ve složené závorce buď výčet prvků nebo jejich charakteristická vlastnost:

O každém prvku lze rozhodnout, zda do množiny patří, zapisujeme nebo nepatří

Pokud množina žádné prvky nemá, je prázdná

Množina M může být podmnožinou jiné množiny L, pokud všechny prvky z M patří i do L.

Platí:

42,23,16,15,8,4M

5 xN

M15 M17 K

,...,,, MLMJLJLM

5,2,1,5,4,3,2,1,5,3 JLM

BRVKA

Pole I = množina všech prvků U, které patří do A a zároveň nepatří do B. ROZDÍL množin A a B, v tomto pořadí neboli A mínus B – značení A \ B

Pole II = množina všech prvků U, které patří do A a zároveň do B. PRŮNIK množin A a B, – značení

Pole III = množina všech prvků U, které patří do B a zároveň nepatří do A. ROZDÍL množin B a A, v tomto pořadí neboli B mínus A – značení B \ A

Pole IV = množina prvků U, které nepatří do A ani do B – DOPLNĚK Pole I+II+III = množina všech prvků U, které patří do A nebo do B SJEDNOCENÍ množin A a B – značení

BA

U

III

III

IV

Základní množina U je rozdělena na 4 pole, která jsou očíslována I, II, III, IV.

A \ B B \ A

BA

BA

BA

BRVKA

o Přirozená čísla N vyjadřují počty prvků konečných množin, počty nedělitelných objektů.Někdy k množině N přidáváme nulu:

,...3,2,1N ,...3,2,1,00 N

o Celá čísla Z obsahují nulu, přirozená čísla a čísla k nim opačná: ,...3,2,1,0 Z

o Racionální čísla Q jsou všechna čísla, která lze zapsat ve tvaru zlomku … kde p je číslo celé a q je číslo přirozené.

qp

o Reálná čísla R vyjadřují délky křivek, plochy obrazců, objemy těles a hodnoty reálných funkcí.

o Komplexní čísla C jsou složena z reálné a imaginární části. 1, ,: 2 jRbabjaC

BRVKA

To znamená, že každé celé číslo je zároveň i číslem reálným, ale obráceně to neplatí, např. číslo π je reálné, ale není celé.

Reálná čísla, která nejsou racionální se nazývají iracionální.

CRQZN

UZAVŘENOST číselné množiny vzhledem k operaci

Pokud provedeme číselnou operaci se dvěma čísly z nějaké číselné množiny, je výsledek operace z téže množiny.

N je uzavřená vzhledem ke sčítání a násobení, ale není uzavřená vzhledem k odčítání ani dělení.

Z je uzavřená vzhledem ke sčítání, násobení a odčítání, ale ne vzhledem k dělení.

Q, R, C jsou uzavřené vzhledem ke všem operacím.

Pozn.: nulou se dělit nedá!

BRVKA

KOMUTATIVNOST operace

Při provádění početní operace nezáleží na pořadí čísel. sčítání a násobení jsou komutativní odčítání a dělení nejsou komutativní

Symbolický zápis: )..()(:, abbaabbaRba

ASOCIATIVNOST operace

Při provádění početní operace se třemi čísly můžeme libovolně „přezávorkovat“, nezáleží na pořadí provedení.

sčítání a násobení jsou asociativní odčítání a dělení nejsou asociativní

Symbolický zápis: cbacbaRcba )(:,, cbacba ..)..(

BRVKA

EXISTENCE NEUTRÁLNÍHO PRVKU

Pro neutrální prvek platí:Pozn.: Hvězdička zastupuje nějakou operaci.

Sčítání má neutrální prvek číslo 0 (od Z dále) Násobení má neutrální prvek číslo 1 (všechny obory) Odčítání a dělení neutrální prvky nemají.

anaanRaRn ::

Pomocí neutrální prvku definujeme INVERZNÍ PRVKY:

OPAČNÉ ČÍSLO PŘEVRÁCENOU HODNOTUPokud to v dané číselné množině lze.

0)(....... aaa1.1.......1 a

aa

DISTRIBUTIVNOST NÁSOBENÍ vzhledem ke SČÍTÁNÍ

Platí „roznásobení závorek“ cabacbaRcba ...:,,

BRVKA

OSTRÉ

NEOSTRÉ

yx yx

Pro ostré uspořádání platí:

TRICHOTOMIE – pro platí právě jedna z možností:

TRANZITIVITA –

yxyxyx ,,Ryx ,

zxzyyxRzyx :,,

Podle uspořádání s číslem 0 se reálné číslo x nazývá: kladné záporné nezáporné nekladné 0

000

xxxx

BRVKA

Platí:

Absolutní hodnota je:

0,

0,

xprox

xproxxRx

yxyx

yxyx

xxx

..

Trojúhelníková nerovnost

GEOMETRICKÝ VÝZNAM absolutní hodnoty je vzdálenost od nuly na číselné ose.

Ryx ,

0

x

x

BRVKA

INTERVALY jsou podmnožiny R s krajními body a,b: otevřený uzavřený polouzavřený polootevřený

Body intervalu, které nejsou krajní, nazýváme vnitřní.

bxaRxba

bxaRxbabxaRxbabxaRxba

:,:,:,:,

OKOLÍ BODU a z R o poloměru r > 0 je definováno: rararaxRxraU ,:,

PRSTENCOVÉ OKOLÍ BODU a z R o poloměru r > 0 je:

raaararaxRxaraUraP ,,0:\,,

a ra ra

BRVKA

ROZŠÍŘENÁ MNOŽINA REÁLNÝCH ČÍSEL je

… k R jsme přidali „nekonečna“ ,* RRRPlatí:

Počítání s ∞:

Neurčité výrazy, nelze u nich určit hodnotu, nejsou definovány:

x

aa

0,

0,.

0,

0,.

0

a

aa

a

aa

aa

??.0?

BRVKA

Jsou dány čtyři podmnožiny množiny přirozených čísel N. Proveďte jejich průniky, sjednocení, oboustranné rozdíly a doplňky do základní množiny.

Jsou dány tři podmnožiny množiny reálných čísel R. Zakreslete je číselnou osu. Proveďte jejich průniky, sjednocení, oboustranné rozdíly a doplňky do základní množiny.

Jdou dána okolí bodů, zakreslete je na číselnou osu, zapište pomocí sjednocení intervalů a množinovým zápisem a najděte jejich doplňky.

84,

10,16,32,16,8,4,2,1

xNxDxNxCxNxB

A

8,617,22,

KxRxJxRxI

4,1,1,4,3,2,2,3 PPUU

BRVKA

Mocnina ar je součin r stejných činitelů. a je základ mocniny, r je exponent (mocnitel)

Pravidla pro počítání s mocninami:

BRVKA

r

r

rsrssr

srs

rsr

srsr

aa

aaa

aa

aaa

aaa

1

:

.

r

r

r

rrr

ba

ba

abba

.

00

10

r

a

Výraz 00 není definován.

11

1

r

aa

n a n-tá odmocnina:a je základ odmocniny, n je odmocnitelMísto pravidel pro odmocniny uvedeme vztah, jak odmocninu převést na mocninu.

n

rn r aa

Následující výrazy zjednodušte:

21

3 2a

a

a

32

21

23

1

31

132

zyx

zyx

326623632

6 26

26

2

baba

bab

a

ba

ba

ba

ba

12

212

12

22

12

51

2

31

221

a

aa

baba

abba

ba.

33

xxx

x

xxx

x22

11

BRVKA

Výraz P(x) = anxn + an-1xn-1 + …+ a2x2 + a1x + a0,

kde nazýváme polynom (mnohočlen) n-tého stupněan, an-1,…se nazývají koeficienty, a0 je absolutní člen Sčítání (odčítání) polynomů a násobení reálným číslem

provádíme člen po členu:

BRVKA

0na

5,325,25,25,1625,25,135,0.2 22222 xxxxxxxx Násobení polynomů mezi sebou provádíme systémem

„každý s každým“. Každý člen jednoho polynomu násobíme s každým členem druhého polynomu a vše sečteme.

5,75,225,35,175,0

5,75,45,25,125,175,05,25,1.35,0234

232422

xxxx

xxxxxxxx

Vytýkání před závorku (opačný proces k násobení číslem) – každý člen vydělíme vytýkaným číslem, které napíšeme před závorku: 15,043.335,1129 2323 xxxxxx

Nejdůležitější akcí je (kromě předchozím operací) rozklad na součin, a to buď vytýkáním nebo podle vzorce. Kromě vzorců pro umocňování použitých v obráceném směru používáme vzorec:

Umocňování polynomů – buď podle definice mocniny nebo rychleji podle vzorce:

BRVKA

BABABA .22

32233

222

33

2

BABBAABA

BABABA

Další vzorce pro rozklad: 2233 . BABABABA

2

1

x

Usměrňování, zbavení se odmocniny ve jmenovateli:

2

2.

x

x

22

2

xx

x42

xx

Upravte, zjednodušte:

Rozložte na součin:

a další tisíce podobných v jakékoliv sbírce

32222 2333 aaaccccacaca

bababbabaa 432234

116141 22 aaaa

123532324 2 xxxxx

dndmanam 3155

123 xxx

22 94 baba

25309 2 xx

2520449 22 aab 3827 a

41 x

252 2 xx

633 24 xx

76 2244 yxyx

BRVKA

1:

322

ab

bab

a

ba

1

).(:

222

ab

bab

a

ba

1

).(.

)).((2 bab

ab

a

baba

1

1.

1 b

ba

1

1

b

ba

b

a

b

bba

ba

b

a

0

0

BRVKA

Jsou výrazy složené ze zlomků, kde se v čitateli i jmenovateli vyskytují polynomy různého stupně, cílem pak je celý výraz zjednodušit. Součástí úprav je i určení podmínek, za kterých má výraz smysl.

x

x

x

y

x

y

x

y

1

1:

111 2

x

x

xx

y

x

y

x

y

1

1:

1111

1:

11

11

xx

yxyxy

1:

1 2x

yyxyyxy

1:1

22x

yyx

1

122

x

xy1x

BRVKA

Upravte lomené výrazy, určete podmínky existence.

a k tomu další a další v jakékoliv sbírce pro SŠ.

1

121

:11

1 2

aa

aa

42

.2

:1

14

xx

xx

x

2

22

1:

111

bb

abba

ba

b

2911

.1

111 x

xxx

xx

x

ba

ab

abba

baabab

2:2

22

112

1

1 2

2

xxx

x

x

xx

1:1

22

2

xy

y

yx

y

BRVKA

Jsou různých typů a cílem je nalézt proměnnou – kořen rovnice, po jejímž dosazení nastane rovnost výrazů. Algebraické – na obou stranách jsou polynomy Nealgebraické – s goniometrickými funkce, logaritmy ….

Při hledání řešení využíváme úpravy rovnic, buď ekvivalentní (které nezmění počet řešení) nebo neekvivalentní (které řešení změnit mohou a jejichž použití vyžaduje zkoušku). Ekvivalentní: (1) výměna stran rovnice,

(2) přičtení libovolného výrazu k oběma stranám,

(3) vynásobení obou stran nenulovým výrazem Neekvivalentní např.: umocnění nebo odmocnění rovnice,

logaritmování nebo odlogaritmování …..

BRVKA

Velmi obvyklý tvar rovnice …. V(x) = 0, kde V(x) je nějaký výraz, který umíme rozložit na součin jednodušších výrazů…. V(x) = V1(x).V2(x).V3(x)

Vyjdeme-li z toho, že součin se rovná nule právě tehdy, když je aspoň jeden z činitelů roven nule, získáme několik jednodušších rovnic: V1(x) = 0, V2(x) = 0, V3(x) = 0, …které umíme vyřešit. Řešení původní rovnice je potom sjednocením dílčích řešení.

2,0

02020

02.2.)4.(

042

3

K

xxx

xxxxx

xx

BRVKA

Každá kvadratická rovnice má diskriminant D, což je číslo, které mimo jiné určuje počet řešení:

D < 0 – žádné řešeníD = 0 – jedno řešení – dvojnásobný kořenD > 0 – dvě různá řešení

02 cbxax

acbD 42

0,R,, acba

a

acbbx

2

42

12

,21 a

bxx

a

cxx 21

212 . xxxxacbxax

Pro kvadratický trojčlen dále platí tzv. Viétovy vztahy:

Kvadratický trojčlen lze rozložit na součin:

BRVKA

V oboru reálných čísel řešte rovnice:

33

3

3

22

xx

x9

5

3

2

3

22

xx

x

x

x

3

3

8

32

4

3

x

xx 36322 22 xxxxx

3

2

13

7

151

4

1

2

)1.(3 xxxx

6

6,17

2

38,18,9

3

4,0 xxxx

028102 xx

05

125

12510

422

xxxx

22

33

32

23

xx

xx

xx

xx

3713 224 xxx

33

33

2

2

xx

xx 22645

23

332

2

xx

xx

23284 xx

BRVKA

11.1

022

01.49.4

12

23

224

23

xxx

xxx

xxx

xxx 03.2.12

01.3.3

0.12.23

032.

2

22

2

2

xxxx

xxxx

xxx

xxx

314

2

122

23

21

124

34

43

432

234

xx

xxx

xxxx

xxx

xx

xx

xx

x

32

232

23

23

2

112

2

11

1

332

232

23

23

xxx

xx

xx

x

BRVKA

V oboru reálných čísel řešte rovnice v součinovém tvaru:

Z následujících výrazů vytkněte nejvyšší mocninu:

A to je pro dnešek vše,

děkuji za pozornost.

BRVKA