Gymnázium Jozefa Gregora Tajovského, Banská Bystrica

Trojuholníky a ich konštrukcie

Lucia Zelená

III.C

2011/2012

ObsahÚvod..........................................................................................................................3

1 Čo je to trojuholník a typy trojuholníkov...............................................................4

1.1 Charakteristika trojuholníka............................................................................4

1.2 Rozdelenie trojuholníkov podľa dĺžok strán...................................................4

1.3 Rozdelenie trojuholníkov podľa veľkosti uhlov..............................................5

2 Vlastnosti trojuholníkov.........................................................................................6

2.1 Výška trojuholníkov........................................................................................6

2.2 Ťažnice trojuholníkov......................................................................................6

2.3 Stredné priečky trojuholníkov.........................................................................7

2.4 Podobnosť a zhodnosť trojuholníkov..............................................................7

2.5 Euklidove vety.................................................................................................8

2.6 Pytagorova veta...............................................................................................8

2.7 Obsah a obvod trojuholníkov..........................................................................9

2.8 Ďalšie výpočty trojuholníkov..........................................................................9

3 Konštrukcie..........................................................................................................11

3.1 Postup konštrukcie........................................................................................11

3.2 Príklady konštrukčných úloh.........................................................................11

Záver.......................................................................................................................15

Bibliografia.............................................................................................................16

2

Úvod

Prečo som si vybrala tému trojuholníky a ich konštrukcie? Pretože som sa

rozhodla budúci rok maturovať z matematiky a matematika obsahuje aj tému

trojuholníky. A ja som práve v oblasti trojuholníkov a ich konštrukcií mala veľa

nejasností a nevedela som im veľmi dlhú dobu prísť na chuť. Ale nakoniec som sa

s týmto popasovala a porozumela som im, hoci to bolo až niekedy

v 8. ročníku na základnej škole, ale predsa. Pre oblasť geometrie a konkrétne

trojuholníkom bolo venovaných veľa prác a je dostupné veľké množstvo informácií,

ktoré sú správne a pravdivé ale niekedy aj veľmi rozporuplné. Preto aby som si viac

ozrejmila túto oblasť matematiky, rozhodla som sa jej venovať vo svojej tretiackej

projektovej práci a zosumarizovať informácie, ktoré sú užitočné ako pri príprave na

maturitnú skúšku, tak na príjimacie pohovory ale aj počas štúdií na vysokých školách

technického zamerania. Dúfam, že vás mojou prácou zaujmem a verím v to, že mne

to pomôže doplniť si ďalšie informáccie a utvrdiť moje vedomosti v tejto téme.

3

1 Čo je to trojuholník a typy trojuholníkov

1.1 Charakteristika trojuholníka

Trojuholník patrí medzi základné geometrické rovinné útvary, môžeme

povedať, že je to mnohouholník s tromi stranami a troma vrcholmi. Trojuholník patrí

medzi dvojrozmerné útvary a môžeme ho definovať aj ako prienik troch polrovín.

Vrcholy trojuholníka označujeme veľkými tlačenými písmenami napr. ∆ ABC,

pričom strany trojuholníka označujeme malými písmenami napr. a, b, c. Uhly

v trojuholníkoch označujeme gréckymi písmenami α, β, γ a vonkajšie uhly

označujeme α̍, β̍, γ̍. O každom trojuholníku platí veta, že súčet vnútorných uhlov sa

musí rovnať 180 ̊ a veľkosť vonkajšieho uhla sa rovná súčtu vnútorných uhlov pri

zvyšných vrcholoch, teda α̍ = β + γ, β̍ = α + γ, γ̍ = α + β.

1.2 Rozdelenie trojuholníkov podľa dĺžok strán

Trojuholníky rozdeľujeme na základe ich dĺžok strán na:

1. Rovnoramenné – takéto trojuholníky majú dve strany rovnako dlhé – pri tomto

type trojuholníkov nazývame rovnako dlhé strany ramená a tretiu najdlhšiu stranu

základňa.

2. Rovnostranné – charakteristickým znamením týchto trojuholníkoch je to, že

veľkosti všetkých strán majú rovnaké. Môžeme ich nazývať aj rovnouhlé, pretože

platí, že všetky ich vnútorné uhly majú rovnakú veľkosť.

3. Rôznostranné (všeobecné) – o týchto trojuholníkoch musí platiť, že sa nesmú

rovnať dĺžky žiadnych dvoch strán.

Takto je možné rozdeliť a rozoznať trojuholníky z hľadiska dĺžky strán

trojuholníka a stručný popis týchto trojholníkov.

4

1.3 Rozdelenie trojuholníkov podľa veľkosti uhlov

Trojuholníky môžeme rozdeľovať nielen podľa dĺžok strán, ale aj z hľadiska

veľkosti vnútorných uhlov v trojuholníku. Takže podľa veľkosti uhlov delíme

trojuholníky na:

1. Ostrouhlé – sú to trojuholníky, ktoré majú všetky vnútorné uhly ostré, teda všetky

vnútorné uhly sú menšie ako 90̊.

2. Tupouhlé – také trojuholníky, ktoré majú jeden vnútorný uhol tupý, teda väčší ako

90̊.

3. Pravouhlé - trojuholníky s jedným vnútorným uhlom, ktorý je pravý, teda má

práve 90̊ a pri tomto trojuholníku nazývame najdlhšiu strane prepona, ktorá zvyčajne

leží proti pravému uhlu a ostatné dve strany sú odvesny.

5

2 Vlastnosti trojuholníkov

2.1 Výška trojuholníkov

Výškou trojuholníka je považovaná kolmica vedená z vrcholu trojuholníka na

protiľahlú stranu. Výšku zvyčajne označujeme malými písmenami napr. va, vb, vc.

Priesečníkom výšok alebo tzv. ortocentrom nazývyme bod, v ktorom sa pretínajú

všetky tri výšky trojuholníka a tento bod označujeme veľkým písmenom V. Poloha

ortocentra závisí od typu trojuholníka. V pravouhlom trojuholníku platí, že každá

odvesna je aj jeho výškou, teda ortocentrom je bod, kde leží pravý uhol.

V tupouhlom trojuholníku ležia niektoré výšky mimo trojuholníka a tým pádom aj

priesečník výšok sa nachádza mimo trojuholníka. Pri rovnostrannom trojuholníku

platí, že všetky tri jeho výšky sú zhodné a ortocentrum leží vo vnútri trojuholníka.

2.2 Ťažnice trojuholníkov

Ťažnica trojuholníka je úsečka, ktorá je spojnicou vrchola trojuholníka

a protiľahlej strany tohto vrchola a označujeme ich ta, tb, tc. Ťažnice sa pretínajú

v ťažisku trojuholníka, ktoré označujeme T a vzdialenosť ťažiska od stredu strany,

z ktorej je ťažnica vedená sa rovná jednej tretine dĺžky celej ťažnice, takže platí: |SaT|

= 1/3 ta ˄ |AT| = 2/3 ta; |SbT| = 1/3 tb ˄ |BT| = 2/3 tb; |ScT| = 1/3 tc ˄ |CT| = 2/3 tc.

Obr. č. 1

6

2.3 Stredné priečky trojuholníkov

Stredná priečka trojuholníka je úsečka, ktorá tvorí spojnicu dvoch stredov stán.

Stredná priečka je rovnobežná s príslušnou stranou, ktorej stred nespája. Dĺžka

každej strednej priečky sa rovná polovici dĺžky tejto strany. Tieto priečky zvyčajne

označujeme sa, sb, sc.

Obr. č. 2

2.4 Podobnosť a zhodnosť trojuholníkov

Dva trojuholníky môžu byť podobné a ich podobnosť môžeme určiť pomocou

troch viet o podobnosti:

1. Veta uu: Každé dva trojholníky, ktoré sa zhodujú v dvoch uhloch, sú podobné.

2. Veta sus: Každé dva trojuholníky, ktoré sa zhodujú v pomere dĺžok dvoch strán

a uhle nimi zovretom, sú podobné.

3. Veta ssu: Každé dva trojuholníky, ktoré sa zhodujú v pomere dĺžok dvoch strán

a v uhle ležiacom oproti väčšej z nich, sú podobné.

O dvoch trojuholníkoch môžeme povedať, že sú zhodné vtedy, ak ich možno

preniesť tak, že po presunutí splývajú. Zhodnosť trojuholníkov overujeme použitím

viet o zhodnosti, ktoré hovoria o zhodosti niektorých strán a uhlov.

1. Veta sss: Každé dva trojuholníky, ktoré sa zhodujú vo veštkých troch stranách, sú

zhodné.

2. Veta usu: Každé dva trojuholníky, ktoré sa zhodujú v jednej strane a dvoch uhloch

priľahlých k tejto strane, sú zhodné.

7

3. Veta sus: Každé dva trojuholníky, ktoré sa zhodujú v dvoch stranách a uhle nimi

zovretom, sú zodné.

4.Veta ssu: Každé dva trojuholníky, ktoré sa zhodujú v dvoch stranách a uhle

ležiacom oproti väčšej z nich, sú zhodné.

2.5 Euklidove vety

Euklidove vety sa využívajú pri riešení pravouhlého trojuholníka. Poznáme dve

euklidove vety: euklidova veta o výške a euklidova veta o odvesne. Pri odvodzovaní

týchto vzťahov sa opierame o podobnosť trojuholníka.

Euklidova veta o výške: obsah štvorca zostrojeného nad výškou pravouhlého

trojuholníka sa rovná obsahu obdĺžnika vytvoreného z oboch úsekov prepony. Takže

v pravouhlom trojuholníku platí vc2 = ca * cb.

Euklidova veta o odvesne: obsah štvorca zostrojeného nad odvesnou

trojuholníka s pravým uhlom sa rovná obsahu obdĺžnika nad preponou a úseku na

prepone priľahlého k odvesne. Teda môžeme povedať, že v takomto trojuholníku pre

jednotlivé odvesny platí a2 = c * ca a b2 = c * cb.

2.6 Pytagorova veta

Pytagorovu vetu používame pri pravouhlom trojuholníku. Opisuje vzťah medzi

dĺžkami strán pravouhlého trojuholníka. Vďaka patagorovej vety môžeme vypočítať

veľkosť tretej strany, pričom musíme poznať veľkosti zvyšných dvoch strán. Znenie

pytagorovej vety: obsah štvorca zostrojeného nad preponou trojuholníka sa rovná

súčtu obsahov štvorcov zostrojených nad odvesnami trojuholníka. V pravouhlom

trojuholníku musí platiť a2 + b2 = c2.

8

2.7 Obsah a obvod trojuholníkov

Pri každom geometrickom útvare môžeme vypočítať obvod a obsah útvaru

a rovnako to je aj pri trojuholníkoch. Každý typ trojuholníka má svoj vzorec na

výpočet obsahu a obvodu.

Pre rovnostranný trojuholník platí, že obsah S vypočítame vzorcom:S =

a pre výpočet obvodu tohto trojuhlníka plat vazťah: o = 3 * a.

Pri rovnoramennom trojuholníku platí vzťah: S = (c*v)/2, pričom si výšku na

základňu vypočítame ako: v = a pre výpočet obvodu platí vzťah: o = 2a + c.

Pri rôznostrannom trojuholníku platí vzťah pre výpočet obsahu:

S = = a na výpočet obvodu platí o = a + b + c.

Pri pravouhlom trojuholníku použijeme na určenie obsahu S = =

a obvod určíme rovnako ako pri rôznostrannom trojuholníku, o = a + b + c.

2.8 Ďalšie výpočty trojuholníkov

Pre výpočty trojuholníkov využívame aj iné pravidlá okrem vzorcov pre obsahy

a obvody. V pravouhlom trojuholníku môžeme použiť už uvedené Euklidove vety

a Pytagorovu vetu. Tieto pojmy sme si už vysvetlili, ako aj ich výpočet. Ale okrem

týchto pojmov v prípade trojuholníkov môžeme použiť aj sínusovu a kosínusovu

vetu, ktoré si spomenieme len okrajovo.

Sínusova veta: ∆ABC je ľubovolný trojuholník, ktorého vnútorné uhly sú

o veľkosti α, β, γ a jeho strany o dĺžke a, b, c, potom platí a : b : c = sinα : sinβ : sinγ.

Môžeme to zapísať aj takto: = Sínusovu vetu

môžeme využiť pri trojuholníku na základe vety ssu – ak poznáme veľkosť dvoch

strán a vnútorného uhla oproti jednej z nich. A na základe vety usu – ak poznáme

veľkosť dvoch uhlov a jednej strany.

9

Kosínusova veta: je rovnako ako sínusova veta o trojuholníku s vnútornými

uhlami o veľkosti α,β,γ a so stranami o veľkosti a, b, c, potom v tomto trojuholníku

platí: a2 = b2 + c2 - 2bc cos α; b2 = a2 + c2 - 2ac cos β; c2 = a2 + b2 - 2ab cos γ.

O kosínusovej vete môžeme povedať, že je to zovšeobecnením Pytagorovej vety pre

všetky typy trojuholníkov.

10

3 Konštrukcie

3.1 Postup konštrukcie

Pri každej konštrukčnej úlohe sa opierame o päť základných bodov. Na začiatku

každej konštrukcie si pripravíme rozbor, kde si načrtneme trojuholník, v ktorom

vyznačíme dané prvky. Po náčrte hľadáme vzťahy medzi prvkami, aby sme mohli

zostrojiť trojuholník.

Ďalším bodom v postupe konštrukcie je samotná konštrukcia a jej opis. V opise

postupu konštrukcie využívame zaužívané symboly. Po vytvorení popisu konštrukcie

zostrojíme trojuholník.

Po zostrojení trojholníka nasleduje ďalší dôležitý bod celého postupu

konštrukcie a to je dôkaz. Teda si overíme, či sme správne vyriešili príklad a či sa

zhodujú dĺžky daných prvkov s narysovanými a pri dôkaze určíme počet riešení

úlohy, pretože niektoré konštrukcie môžu mať viacero riešení.

Posledným bodom v postupe konštrukcie je diskusia, ktorá sa zvyčajne realizuje

vtedy, keď je úloha zadaná všeobecne a môžeme uvažovať o rôznych hodnotách

daných parametrov, respektíve o vplyve ich polohy na riešenie danej úlohy.

3.2 Príklady konštrukčných úloh

Môžeme mať rôzne typy konštrukcií ako aj postup konštrukcie a jej výsledné

riešenie záleží na daných prvkoch. Najjednoduchšie konštrukčné úlohy sú tie

trojuholníky, ktoré majú v daných prvkoch všetky tri veľkosti strán. Zložitejšie

konštrukcie sú tie, ktoré obsahujú dané len dve alebo jednu veľkosť strany, pričom je

daná výška, ťažnica alebo uhol. Pri takýchto konštrukciách využívame vedomosti,

ktoré sme sa naučili pri vlastnostiach trojuholníkoch alebo pravidlá, ktoré platia

v trojuholníkoch.

Príklad č. 1, ak máme dané tri ťažnice trojuholníka ta, tb, tc, takže ∆ABC je

hľadaný trojuholník, v ktorom platí: AA1 = ta, BB1 = tb, CC1 = tc a T je ťažisko tohoto

trojuholníka a A1, B1, C1 sú stredy strán. Na polpriamke opačnej k polpriamke A1T

zvolíme bod T ̛ tak, aby A1T = A1T. Útvar BT ̍CT, ktorý nám týmto vznikol je

11

rovnobežník s uhlopriečkami BC, TT̛. Pretože sa A1T = 1/3 ta, TT̛ = TA1 + A1T̛ =

=2/3ta, TC = 2/3 tc, CT̛ = TB = 2/3 tb. Keďže úsečky ta, tb, tc sú dané, z úsečiek 2/3 ta,

2/3 tb, 2/3 tc podľa vety sss môžeme zostrojiť trojuholníky TT̛C je zhodný ∆TT̛B.

Uhlopriečka BC v rovnobežníku TCT̛B určije vrcholy B, C hľadaného trojuholníka.

Vrchol A sa nachádza na polpriamke A1T a na polpriamke CB1, kde B1 je bodom

polpriamky opačnej k polpriamke TB a TB1 = 1/3 tb. Konštrukciu si zostrojíme

v opačných polrovinách kvôli hraničnej priamke TT̛ trojuholníky TT̛C a TT̛B tak,

aby TT ̛ = 2/3 ta, TC = T̛B = 2/3 tc, T̛C = TB = 2/3 tb. Na polpriamke opačnej

k polpriamke TB zostrojíme bod B1 tak, aby TB1 = 1/3 tb. Priesečník polpriamok A1T

a CB1 je vrchol A hľadaného trojuholníka. Bodmi A, B, C je hľadaný trojuholník

určený. Diskusiou sme určili, že úloha má jedno riešenie, pretože o stranách

trojuholníka platí |tb - tc| ˂ ta ˂ tb + tc.

Konštrukcia:

Obr. č. 3

Príklad č. 2, ak máme danú jednu ťažnicu ta = 6 cm, jednu stranu a = 5 cm, jeden

uhol γ = 60̊: V rozbore si načrtneme ako bude pravdepodobne vyzerať konštrukcia.

Ďalej v rozbore rozanalyzujeme ako využijeme dané prvky. Ťažnica ta bude

12

spojnicou stredu strany a, teda to bude bod Sa s vrcholom A. Tento vrchol A bude

ležať na ramene uhla BCX, ktorý má veľkosť 60̊ a zároveň leží na kružnici k, ktorá je

vedená z bodu Sa a má veľkosť ťažnice ta, teda 6 cm. Na začiatku konštrukčnej úlohy

si zostrojíme úsečku BC = a; |BC| = a = 5 cm. Nájdeme si bod Sa, ktorý patrí do a, |

BSa| = |SaC|. Potom si narysujeme polpriamku CX s uhlom BCX = γ = 60̊. Keď

máme toto narysované, spravíme si polkružnicu z bodu Sa. k ( Sa; r = ta = 6cm),

v tomto bode, kde nám kružnica preťala polpriamku CX vznikol bod A. Takže nám

vznikol trojuholník ABC. Diskusiou určíme, že úloha má len jedno riešenie, pretože

uhol γ leží oproti dlhšej strane a ťažnica ta ˃ a/2.

Konštrukcia:

Obr. č.

4

Príklad č. 3, ak máme dané dve výšky trojuholníka va = 5,5 cm, vb = 4,5 cm

a jednu stranu c = 6 cm. Urobíme si náčrt a rozbor s danými prvkami a z dôvodu, že

máme obe výšky kolmé na príslušné strany trojuholníka, budú body Pa, Pb ležať na

Tálesovej kružnici, ktorej priemerom je veľkosť strany c. Okrem toho, že päta Pa

bude ležať na Tálesovej kružnici bude ležať aj na kružnici k1, ktorá pôjde z bodu A,

s polomerom r = va a päta Pb bude ležať na kružnici k2, ktorá je vedená z bodu B,

s polomerom r = vb. Sú to množiny bodov, ktorých vzdialenosti od bodov A, B

poznáme. Ako prvý krok konštrukcie bude zostrojenie úsečky |AB| = 6 cm. Potom si

na tejto úsečke nájdeme bod Sc; Sc є c, |ASc| = |ScB|. Zostrojíme si Tálesovu kružnicu,

o ktorej platí, že je z bodu Sc; r = c/2 = 3 cm. Po zostrojení Tálesovej kružnice si

narysujeme kružnicu k1, ktorá vychádza z bodu A, s polomerom r = va = = 5,5 cm

13

a kružnicu k2, z bodu B, s polomerom r = vb = 4,5 cm. Narysovaním Tálesovej

kružnice a kružníc k1 a k2 vznikne bod Pa, ktorý je z prieniku k1 a τ a bod Pb z prieniku

k2 a τ. Zostrojíme polpriamky APb a BPa čím nám vznike bod C ako prienik

polpriamok APb a BPa. Takto narysujeme ∆ABC, keď máme dané dve výšky

trojuholníka. Diskusiou dokážeme, že úloha má jedno riešenie v danej polrovine,

ktorá je určená priamkou AB.

Konštrukcia:

Obr. č. 5

14

Záver V mojej práci som sa venovala trojuholníkom a konštručným úlohám

trojuholníkov. Keď som si vyberala túto tému, myslela som si, že to bude oveľa

jednoduchšie nápisať prácu z matematiky a hlavne o trojuholníkoch, ale keď som

začala pracovať, tak som si uvedomila, že to nie je až také jednoduché ako to

vyzeralo zo začiatku. Ale popasovala som sa aj s touto témou a práve pri písaní

mojej práce som si uvedomila, že žiadna práca nie je taká jednoduchá ako vyzerá

z počiatku. Na prvý pohľad si každý povie: „však o tom sa dá veľa nájsť na internete

alebo v knižkách“. Ale keď sa dá do hľadania, uvedomí si, že nie je až toľko

dostatočne kvalitnej literatúry na internete. A týmto by som sa chcela poďakovať

pani profesorkám, ktoré nám vždy pomáhajú s prácami, ktoré vypracúvame počas

celého štúdia na gymnáziu, pretože keby nám nepomohli a neporadili, ktorým

smerom sa máme uberať tak sme stratení.

15

Bibliografia Slovenské pedagogické nakladateľstvo: Zbierka riešených úloh z geometrie,

I.časť, Bratislava, 1969

Čermák, P., Červinková P.: Zmaturuj z matematiky, Bratislava, ISBN 80-

89160-01-8

http://www.referaty.aktuality.sk/mo-trojuholnik/referat-28960

http://www.tichanek.cz/gp1/Euklidova-veta.html

http://www.dictionary.sensagent.com/euklidova+veta/sk-sk/

http://www.pohodovamatematika.sk/matematicke-vzorce/trojuholniky/

roznostranny-trojuholnik/

16