8/15/2019 1.Teoriadeparticiones

1/3

Teoŕıa de Particiones

Daniel López, Diva Martı́nez, Andrés Zuluaga

16 de noviembre de 2011

Resumen

El siguiente documento fue creado con el fin de resumir la exposi-ción del profesor Jean Carlos Cortizzos sobre el tema ”Teoŕıa de particio-

nes”para el Seminario de Matemáticas (2 semestre de 2011) dirigido porel profesor Leonardo Venegas Villamil. La finalidad del presente artı́culoes dejar constancia de la charla y dar a los lectores una breve introduc-ción a esta teoŕıa. Vale aclarar que dados los recientes descubrimientosen el tema y la poca divulgaci ón sobre ellos, no los abarcaremos en esteresumen de una manera detallada.

Introducción

Para introducir el tema empezaremos dando un cuantos ejemplos sobre lasparticiones de numeros, donde P(n) denota la cantidad de particiones de n.

P(3) = 3 que serán : (1+1+1),(1+2),(3)P(5) = 7

P(7) = 15

P(11) = 56

P(19) = 490

P(25) = 1958

P(1000) = 24.061.467.864.032.622.473.692.149.727.991

1. Función de Particiones

Desde hace ya varios años se viene estudiando la estructura de la cantidadde particiones de un número, es decir: la fórmula de p(n). A través de los añosse han realizado grandes avances, entre los que se encuentra el método de Euler:

1

8/15/2019 1.Teoriadeparticiones

2/3

Demostraci´ on.  Para cada n, sea  p(n) el número de particiones de n. Llamamos

función generatriz de la sucesión ( p(n)) a la función:

P (x) = po + p1x + p2x2 + p3x3 + p4x4 + . . . .

Se identifica esta función como una descomposición de fracciones parciales

Se tiene que:

P (x) = (1 + x + x2 + x3 + x4 + . . .)= (1 + x2 + x4 + x6 + +x8 + . . .)= (1 + x3 + x6 + x9 + +x12 + . . .)= (1 + x4 + x8 + x12 + +x16 + . . .)= (1 + x5 + x10 + x15 + +x20 + . . .)

Del mismo modo, la funci´ on generatriz de las particiones en partes impares 

es:

I (x) = (1 + x + x2 + x3 + x4 + . . .)= (1 + x3 + x6 + x9 + x12 + . . .)= (1 + x5 + x10 + x15 + x20 + . . .)= (1 + x7 + x14 + x21 + x28 + . . .)

Y la de las particiones en partes distintas es:

D(x) = (1 + x)(1 + x2)(1 + x3)(1 + x4)(1 + x5)

Esto da una descomposición en fracciones parciales (posibles gracias a la igual-dad de  I (x) = D(x)) de la forma:

1

(1 − x)(1 − x3)(1 − x5)(1 − x7) . . .

Que da como resultado el número de particiones de un número  n.

2. Recientes descubrimientosEn fechas más recientes ha sido posible conocer fórmulas más exactas que

han permitido calcular de manera más eficiente el número de particiones de unnúmero. Hecho que ha facilitado en gran medida el desarrollo de esta teoŕıa ysu aplicación en otras areas.Es por ello que partiendo de la fórmula asintótica para las particiones se ha

2

8/15/2019 1.Teoriadeparticiones

3/3

logrado relacionar esta con la distribución que poseen los primos.

La fórmula es la siguiente:1

4n√ 

3∆e

√ 2n

3

De esto notamos un gran parecido con aquella ecuación (como se ha dicho antes)que nos da cierta idea del número de primos presentes antes de un número dado:

x

logx

Es por ello que la teoŕıa de particiones ha crecido y ha tenido una gran impor-tancia al pasar de los años puesto que con ésta, se han logrado varios avances yse han generado varias relaciones entre otros campos considerados muy impor-tantes para la matemática moderna.

Referencias

[1]   Santos, Francisco, Matem´ atica Discreta Talleres divulgativos ”matem´ aticas en acci´ on”, 2004.

[2]   Chamizo, Fernando  et al ,   El método del circulo, 2006.

3