2 200 - pe03.gr · 2018-07-19 · έργο του «Παρμενίδης», ο Ζήνων εμφανίζεται να διαβάζει ένα βιβλίο μέσα από το οποίο

'' ''

,

''

200

-4email

kdortsi@gmail com

Η Στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη 5 Ιανουαρίου 2011 1/4

Η Στήλη των Μαθηματικών Από τον Κώστα Δόρτσιο,

τ. Σχ. Σύμβουλο Μαθηματικών

Τα Μαθηματικά των Αρχαίων Ελλήνων

Ο Αριστοτέλης και τα Μαθηματικά

Οι αναφορές στα παράδοξα του Ζήνωνα

Στη συνάντηση του Σωκράτη με τους Ελεάτες φιλοσόφους Παρμενίδη και Ζήνωνα, όπως αυτή περιγράφεται από τον Πλάτωνα, εκατό σχεδόν χρόνια μετά, στο έργο του «Παρμενίδης», ο Ζήνων εμφανίζεται να διαβάζει ένα βιβλίο μέσα από το οποίο αναπτύσσει τις φιλοσοφικές του απόψεις για τον κόσμο. Ειδικότερα ο Πλάτων γράφει: «Τόν οὖν Σωκράτη ἀκούσαντα πάλιν τε κελεῦσαι τήν πρώτην ὑπόθεσιν τοῦ πρώτου λόγου ἀναγνῶναι, καί ἀναγνωσθείσης, - πῶς, φάναι, ὦ Ζήνων, τοῦτο λέγεις; εἰ πολλά ἔστι τά ὄντα, ὡς ἄρα δεῖ αὐτά ὅμοιά τε εἶναι καί ἀνόμοια, τοῦτο δέ δή ἀδύνατον· οὔτε γάρ τά ἀνόμοια ὅμοια οὔτε τά ὅμοια ἀνόμοια οἶόν τε εἶναι; - Οὐχ οὕτω λέγεις;» (Παρμενίδης 127d.6-127e.5) Δηλαδή: «Ο Σωκράτης έχοντας ακούσει μέχρι τέλους, κάλεσε τον Ζήνωνα να ξαναδιαβάσει την πρώτη πρόταση του πρώτου βιβλίου. Αφού έγινε αυτό (ο Σωκράτης)ξαναείπε: -Πώς εννοείς αυτό εδώ Ζήνων: Εάν τα όντα(τα υπαρκτά πράγματα) είναι πολλά, πρέπει να είναι ταυτόχρονα όμοια και ανόμοια μεταξύ των; Άρα αυτό είναι αδύνατο. Διότι αυτό που είναι διαφορετικό δεν μπορεί να είναι όμοιο με κάτι άλλο, ούτε αυτό που είναι όμοιο μπορεί να είναι και διαφορετικό. - Ή δεν το εννοείς έτσι;» Το συμπέρασμα που βγάζει ο σημερινός αναγνώστης της παραγράφου αυτής είναι πως ο Ζήνωνας είχε κατά την επίσκεψή του στην Αθήνα περισσότερα του ενός βιβλία από τα οποία διάβαζε και συζητούσε τις φιλοσοφικές του απόψεις. Δεν ξεχνάμε βέβαια πως ο διάλογος αυτός διαδραματίζεται στα μέσα περίπου του πέμπτου προ Χριστού αιώνα και πριν από την ανάπτυξη της Σωκρατικής και Πλατωνικής φιλοσοφίας. Είναι ακριβώς η εποχή της λεγόμενης προσωκρατικής φιλοσοφίας που λειτούργησε δυναμικά στην παραπέρα ανάπτυξη των ιδεών και της συλλογιστικής του ανθρώπου. Από τα βιβλία αυτά του Ζήνωνα(πιθανότατα ήταν δύο) δεν σώθηκε κανένα. Όμως για τις ιδέες του έγραψαν πολλοί. Εκτός από τον Πλάτωνα, ο Αριστοτέλης ομιλεί για τις ιδέες του Ζήνωνα, αλλά κυρίως στο έργο του «Φυσικά» κάνει εκτενή αναφορά στα λεγόμενα «παράδοξα» του. Ακόμα και αργότερα στην εποχή του 6ου μ. Χ. αιώνα ο νεοπλατωνικός φιλόσοφος Σιμπλίκιος σχολιάζοντας το έργο του Αριστοτέλη «Τα Φυσικά» κάνει

No:245


συχνές αναφορές στη φιλοσοφία των Ελεατών αναφερόμενος κυρίως στις απόψεις του Ζήνωνα. Ο Διογένης ο Λαέρτιος, ιστοριογράφος του 3ου μ. Χ. αιώνα στο έργο του «Βίοι φιλοσόφων» γράφει για τον Ζήνωνα τον Ελεάτη: «Γέγονε δε ἀνήρ γενναιότατος καί ἐν φιλοσοφίᾳ καί ἐν πολιτείᾳ»

(Διογένης Λαέρτιος:Βίοι φιλοσόφων9.26.1)

Μαθηματικές προκλήσεις – προσκλήσεις – ασκήσεις

317. Έστω ΑΒΓΔ ένα τετράπλευρο εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας R. Να αποδείξετε ότι:

24RΑΒ⋅ΑΔ +ΒΓ ⋅ΓΔ ≤ (Μάγκος Θάνος, Μαθηματικός 1ου ΕΠΑΛ Κοζάνης)

Λύση: Φέρουμε τη διαγώνιο ΒΔ και τα ύψη ΑΜ και ΓΝ. Στα δύο τρίγωνα ΑΒΔ και ΒΓΔ εφαρμόζουμε το θεώρημα:

2R αβγ υ=

Άρα για το τρίγωνο ΑΒΔ είναι:

( )2 1RΑΒ⋅ΑΔ = ⋅ ΑΜ για το τρίγωνο ΒΓΔ είναι:

( )2 2RΒΓ ⋅ΓΔ = ⋅ΓΝ όπου R η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου στο τετράπλευρο ΑΒΓΔ.

Προσθέτοντας τις (1) και (2) κατά μέλη έχουμε:

2 2R RΑΒ⋅ΑΔ +ΒΓ⋅ΓΔ = ⋅ΑΜ + ⋅ΓΝ δηλαδή:

( ) ( )2 3RΑΒ⋅ΑΔ +ΒΓ ⋅ΓΔ = ΑΜ +ΓΝ


Όμως:

( )2 4RΑΜ +ΓΝ ≤ Άρα η σχέση (3) λόγω της (4) γίνεται:

( ) 22 4R RΑΒ⋅ΑΔ +ΒΓ ⋅ΓΔ = ΑΜ +ΓΝ ≤ Δηλαδή:

24RΑΒ⋅ΑΔ +ΒΓ ⋅ΓΔ ≤ που είναι η ζητούμενη. Παρατήρηση: Η ισότητα ισχύει όταν η διαγώνιος του τετραπλεύρου γίνει διάμετρος του κύκλου και μάλιστα κάθετος(δηλ. μεσοκάθετος) στη διαγώνιο ΒΔ. 318. Δίνεται η συνάρτηση:

( ) 4 34 3,f x x x Rα με α= − + ∈ i) Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και τα

ακρότατά της. ii) Να βρεθεί η μέγιστη τιμή του α έτσι ώστε να

ισχύει: ( ) 0,f x x R≥ ∀ ∈

iii) Για την τιμή αυτή του α που προκύπτει από το δεύτερο ερώτημα να δείξετε ότι ισχύει:

( ) ( )0

2,3 : 4f x dxλ

λ λ∃ ∈ =∫ iv) Με τo δεδομένo του δευτέρου ερωτήματος και την

τιμή του λ για την οποία ισχύει το τρίτο ερώτημα, να δείξετε ότι:

( ) 40

13f x dxλ

λ〉⎡ ⎤⎣ ⎦∫ (Σωτηρίου Γεώργιος, Μαθηματικός- Διευθυντής Γυμνασίου Μεσοποταμίας Καστοριάς)

Λύση: i) Το πεδίο ορισμού της f είναι ολόκληρο το R ως πολυωνυμική. η πρώτη παράγωγος της είναι:

( ) ( )( )3 3 2 24 4 4 ,f x x a x a x ax a a R′ = − = − + + ∈ και το πρόσημό της είναι:

( )( )

0,

0,

f x x a

f x x a

αν

αν

′ < <

′ > >


γιατί το πρόσημο του τριωνύμου που βρίσκεται μέσα στη δεύτερη παρένθεση είναι πάντα θετικό, εφόσον η διακρίνουσά του είναι αρνητική.

Άρα για τη μονοτονία της f ισχύει:

( ][ )

, ,

, ,

f x a

f x a

για

για

∈ −∞

∈ +∞

επομένως η συνάρτηση λαμβάνει ολικό ελάχιστο για x a= . Δηλαδή:

( ) ( )4min 3 1 ,f f a a a R= = − − ∈ ii) Το πρόσημο αυτής της ελάχιστης τιμής προκύπτει από την ανάλυση:

( ) ( )( ) ( )23 1 1 1f a a a a= − + − + και δίνεται από τον πίνακα:

επομένως:

( ) [ ]0, 1,1f a a≥ ∀ ∈ − άρα η μέγιστη τιμή του a για την οποία ισχύει:

( ) 0,f x x R≥ ∀ ∈ Είναι η

1a = Τα ερωτήματα iii, iv στο επόμενο φύλλο.

Για την άλλη φορά

366. Δίνεται κύβος ΑΒΓΔΕΖΗΘ. Να δειχθεί ότι η διαγώνιος

ΔΖ τριχοτομείται από τα επίπεδα που ορίζουν τα τρίγωνα: ΑΓΘ και ΒΕΗ.

Παράρτημα της Ε.Μ.Ε. 2ο Εν.Λύκειο Κοζάνης

Κάλβου 50100 Κοζάνη ή ηλεκτρονικά: [email protected]







Μετά την αναφορά του Πλάτωνα που γίνεται μέσα στο κείμενο του «Παρμενίδη», απ’ όπου μαθαίνουμε τη συζήτηση του νεαρού Σωκράτη με τον Παρμενίδη και το Ζήνωνα, ο Αριστοτέλης αφιερώνει ένα μεγάλο έργο για την «ανασκευή» των θέσεων των δύο αυτών Ελεατών φιλοσόφων. Στα «Φυσικά» η αλλιώς «Φυσική ακρόασις» ο Αριστοτέλης επιχειρεί, και το καταφέρνει σε μεγάλο βαθμό, να μελετήσει τη «φυσική πραγματικότητα»(φύση και φυσικά φαινόμενα) και με τη μελέτη του αυτή να αναδείξει τη φυσική ως ένα ιδιαίτερο επιστημονικό κλάδο. Το έργο αυτό του Αριστοτέλη είναι γραμμένο περίπου μεταξύ του 335 και 323π.Χ. μετά τα «Αναλυτικά» και πριν τα «Ηθικά» και «Μεταφυσικά». Είναι ένα έργο δυσνόητο και η μετάφραση στη σημερινή γλώσσα αρκετά δύσκολη. Στην εισαγωγή των «Φυσικών» από τις εκδόσεις «Κάκτος» στον τόμο «ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΗΣ, Φυσική Ακρόασις(Φυσικά) Βιβλία Α,Β,σ.35), διαβάζουμε: «Με τα Φυσικά ο Αριστοτέλης άνοιξε τον ουσιαστικό διάλογο με τη φύση, τον οποίο φαίνεται να ξαναρχίζει σήμερα, με πλήρη συνείδηση, η επιστήμη, στα πρόθυρα της μετανεωτερότητας» Η λέξη «φυσική» έχει για την ελληνική γλώσσα τη δικιά της διαδρομή. Μια διαδρομή από τον Όμηρο μέχρι και σήμερα. Η λέξη «φυσική» προκύπτει από το ρήμα «φύω» ή το ουσιαστικό «φυτόν» που εκτός από τις Μυκηναϊκές πινακίδες της Πύλου τις συναντάμε αρχικά στα Ομηρικά έπη. Στην Ιλιάδα διαβάζουμε:

«Φύλλα τὰ μέν τ᾽ ἄνεμος χαμάδις χέει, ἄλλα δέ θ᾽ ὕλη τηλεθόωσα φύει, ἔαρος δ᾽ ἐπιγίγνεται ὥρη»

(Ιλιάδα: Ζ.148) δηλαδή:

«Των φύλλων άλλα ο άνεμος χαμαί σκορπά και άλλα φυτρώνουν, ως η άνοιξη τα δένδρ’ αναχλωραίνει»

(Μετάφραση: Ι.Πολυλάς) Αλλά και στην Οδύσσεια η λέξη αυτή βρίσκεται ως εξής:

«ὣς ἄρα φωνήσας πόρε φάρμακον ἀργεϊφόντης ἐκ γαίης ἐρύσας, καί μοι φύσιν αὐτοῦ ἔδειξε»

(Οδύσσεια: Κ.303) και δηλώνει σε μετάφραση του Αργύρη Εφταλιώτη:

«Είπε, και τράβηξε απ' τη γης ο Αργοφονιάς βοτάνι και δίνοντάς το μου 'δειξε το κάθε φυσικό του»

No:246


Η λέξη «φύσις» σύμφωνα με την ερμηνεία που αποδίδει σ’ αυτήν ο φιλόσοφος Heidegger «σημαίνει αυτό που επιτρέπει να προέρχεται κάτι από τον εαυτό του». Άρα οι λέξεις, φύομαι, φυτό, φύση συνδέονται με τις έννοιες που συνδέονται με τις λέξεις: γένεση, παραγωγή, προέλευση, καταγωγή, σκοπός, προορισμός, κατάληξη και πολλά άλλα. Έτσι η φύση έχει μέσα της τη έννοια του «γίγνεσθαι», της «ζωής», και της «κίνησης».


318. Δίνεται η συνάρτηση: ( ) 4 34 3,f x x x Rα με α= − + ∈

i) Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα της.

ii) Να βρεθεί η μέγιστη τιμή του α έτσι ώστε να ισχύει:

( ) 0,f x x R≥ ∀ ∈ iii) Για την τιμή αυτή του α που προκύπτει από το

δεύτερο ερώτημα να δείξετε ότι ισχύει:

( ) ( )0

2,3 : 4f x dxλ

λ λ∃ ∈ =∫ iv) Με τo δεδομένo του δευτέρου ερωτήματος και την

τιμή του λ για την οποία ισχύει το τρίτο ερώτημα, να δείξετε ότι:

( ) 40

13f x dxλ

λ〉⎡ ⎤⎣ ⎦∫ (Σωτηρίου Γεώργιος, Μαθηματικός- Διευθυντής Γυμνασίου Μεσοποταμίας Καστοριάς)

Λύση: Τα ερωτήματα i, ii απαντήθηκαν στο προηγούμενο φύλλο. iii) Από το ερώτημα ii) προέκυψε η τιμή 1α = για την οποία ισχύει:

( ) 0,f x x R≥ ∀ ∈ που σημαίνει:

4 4 3 0,x x x R− + ≥ ∀ ∈ ή ακόμα:

( )4 4 3, 1x x x R≥ − ∀ ∈ Η σχέση:

( )0

4f x dxλ

λ=∫


γίνεται:

( )5

4 2

0

4 3 4 2 3 45

x x dxλ λλ λ λ λ− + = ⇔ − + =∫

ή ακόμα: 5 2 5 210 15 20 10 5 0λ λ λ λ λ λ λ− + = ⇔ − − =

τελικά η εξίσωση αυτή γίνεται:

( )4 10 5 0 (2)λ λ λ− − = Η εξίσωση (2) εκτός της μηδενικής λύσης έχει και ρίζα μεταξύ του 2 και 3.

Αυτό δείχνεται με το θεώρημα του Bolzano, εφαρμοζόμενο στο διάστημα [ ]2,3 για τη συνεχή συνάρτηση:

( ) 4 10 5φ λ λ λ= − − πράγματι είναι:

( )( )

4

4

2 2 10 2 5 9 0

3 3 10 3 5 46 0

φ

φ

= − ⋅ − = − <

= − ⋅ − = > Άρα δείχθηκε ότι:

( ) ( )0

2,3 : 4f x dxλ

λ λ∃ ∈ =∫ iv) (Λύση του Θ.Μάγκου) Έστω ότι η ρίζα που εξασφαλίστηκε από το τρίτο ερώτημα και η οποία ανήκει μεταξύ του 2 και 3 είναι η 1λ .

Τότε θα είναι ασφαλώς αληθής η σχέση:

( ) ( )1

10

4 3f x dxλ

λ=∫ και η ζητούμενη ανισότητα έχει τη μορφή:

( ) ( )1

41

0

13 4f x dxλ

λ〉⎡ ⎤⎣ ⎦∫ Έτσι με τη βοήθεια της (3) θα δείξουμε την (4).

Πράγματι από την (1) έχουμε:

( ) ( ) ( )4 4 3 5f x f x≥ −⎡ ⎤⎣ ⎦ και τούτο γιατί:

Εφόσον η ανισότητα (1) αληθεύει για κάθε πραγματική τιμή του x , άρα θα ισχύει και για την τιμή ( ).f x


Ολοκληρώνοντας την (5) από 0 μέχρι το 1λ θα έχουμε:

( ) ( )1 1 1

4

0 0 0

4 3f x dx f x dx dxλ λ λ

≥ −⎡ ⎤⎣ ⎦∫ ∫ ∫ Άρα λόγω της (3) η τελευταία γίνεται:

( ) ( )( )1 1 1 34

1 1 10 0 0

4 3 4 4 3 13f x dx f x dx dxλ λ λ

λ λ λ≥ − = ⋅ − =⎡ ⎤⎣ ⎦∫ ∫ ∫ και τελικά:

( )1

41

0

13f x dxλ

λ≥⎡ ⎤⎣ ⎦∫ δηλαδή η ζητούμενη.


367. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ και εσωτερικό του σημείο Ρ, ώστε:

3, 5, 7ΡΑ = ΡΒ = ΡΔ =

Να υπολογιστεί το εμβαδόν του τετραγώνου αυτού. (Γιώργος Αποστολόπουλος, Μαθηματικός 2ου ΓΕΛ Μεσολογγίου)









Το έργο «Φυσική ακρόασις» του Αριστοτέλη αποτελεί ένα μεγάλο έργο στην ιστορία της επιστήμης το οποίο αναδείχνει την επιστήμη της φυσικής κέντρο του γνωστικού ενδιαφέροντος του ανθρώπου και συστηματοποιεί για πρώτη φορά όλες εκείνες τις ιδέες και απόψεις της προαριστοτελικής περιόδου.

Είναι αλήθεια πως για τη φύση μίλησαν πολλοί πριν από τον Αριστοτέλη. Στους «ορφικούς ύμνους» βλέπει κανείς κοσμολογικές αντιλήψεις μέσα από ομιχλώδεις μυθικές αφηγήσεις, όπως και στα έργα του Ησίοδου. Όμως στα «Φυσικά» ο σταγειρίτης φιλόσοφος με πολύ εκτενή τρόπο οριοθετεί τη επιστήμη της «Φυσικής» μιλώντας για τα χαρακτηριστικά και την «ουσία» της Φύσης. Της Φύσης, που σε αντίθεση με τους Ελεάτες, πιστεύει πως έχει ως κύριο χαρακτηριστικό την κίνηση.

«Ο Αριστοτέλης είναι ο πρώτος που τοποθέτησε με συστηματικό τρόπο τη φύση στο κέντρο του γνωστικού ενδιαφέροντος και ο πρώτος που θεώρησε την κίνηση ως ουσιαστικό της στοιχείο, συμβάλλοντας έτσι καθοριστικά στην προβληματική που συνδέεται με την κατανόηση της ουσίας της» (Από την εισαγωγή στα «Φυσικά του Αριστοτέλη» του Η.Π .Νικολούδη. Εκδόσεις Κάκτος. Σελ.273)

Στο έργο αυτό του Αριστοτέλη διαβάζει κανείς τον τρόπο με τον οποίο ο φιλόσοφος αυτός αντιλαμβάνονταν την κίνηση μέσα στο χώρο και στο χρόνο. Ή έννοιες αυτές αν και σημειώνονται σε έργα προσωκρατικών φιλοσόφων, όπως για παράδειγμα στη «Θεογονία» του Ησιόδου ή ακόμα στην Πυθαγορική σκέψη, στα «Φυσικά» αναδείχνονται ώστε η προβληματική της κίνησης, η μελέτη του χώρου και η μελέτη της γενικότερης ουσίας της φύσης παίρνουν πλέον τη μορφή μιας επιστημονικής θεωρίας.

Μέσα στο έργο αυτό θεμελιώνονται για πρώτη φορά δύο δύσκολες έννοιες που απασχόλησαν του μαθηματικούς μέχρι και τις ημέρες μας. Ο Αριστοτέλης διατυπώνει τις απόψεις του για την έννοια του «απείρου» και για την έννοια του «συνεχούς». Ο μεγάλος αυτός στοχαστής μπροστά στα επιχειρήματα και στα παράδοξα του ελεατών φιλοσόφων έφθασε στην ανάγκη να μελετήσει σε βάθος τα προβλήματα αυτά και να μιλήσει για το άπειρο και για τη συνέχεια των φυσικών ποσοτήτων.

Η έννοια του «απείρου» και ένταξη της ιδέας του στο ορθολογισμό του ανθρώπου είναι μια δύσκολη υπόθεση. Το άπειρο, αν προσέξει κανείς δεν το συναντά μόνο «κοιτάζοντας» στα μεγάλα μεγέθη, για παράδειγμα στην απεραντοσύνη του ουρανού και γενικότερα του Σύμπαντος, αλλά θα το βρει και σε πολύ μικρά αντικείμενα. Χαρακτηριστική λέξη στην περίπτωση αυτή είναι η λέξη: «απειροελάχιστο».

No:247


Εκτός από την εμπειρική σημασία του «μεγάλου», του «απείρως μεγάλου» ή του «απειροελάχιστου» η έννοια αυτή αποκτά μεγάλο ενδιαφέρον στο χώρο των μαθηματικών και γενικότερα της φιλοσοφίας. Ο Αριστοτέλης είδε τη φύση ως μια συνεχή κίνηση. Την είδε ως μια συνεχή μεταβολή. Και η ματιά αυτή έγινε στην ιστορία της δυτικής σκέψης για πρώτη φορά. Η Φύση συνεχώς μεταβάλλεται, και αυτό είναι το πλέον σημαντικό. Αργότερα η έννοια του συνεχούς θα αποκτήσει αναλυτικότερη έκφραση και αν τη προσέξει κανείς στο χώρο των μαθηματικών θα αντιληφθεί πως, ακόμα και σήμερα, αποτελεί μια από τις πλέον δύσκολες έννοιες της Ανάλυσης, της Τοπολογίας και πολλών άλλων μαθηματικών κλάδων.


319. Στο τρίγωνο ΑΒΓ, αν είναι: 1. ΑΔ=ΔΒ, ΑΕ=ΕΓ, ΑΖ=ΖΔ, ΑΗ=ΗΕ

και 2. Το εμβαδόν του τραπεζίου ΔΕΗΖ είναι 12 τ.μ.

τότε να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. Λύση:

Επειδή τα τρίγωνα (ΑΖΗ) και (ΑΔΕ) είναι όμοια ο λόγος των εμβαδών τους ικανοποιεί τη σχέση:

( )

( )( )

21 1 12 4

ΑΖΗ

ΑΔΕ

Ε ⎛ ⎞= =⎜ ⎟Ε ⎝ ⎠ από την οποία προκύπτει ισοδύναμα:

( ) ( )( ) ( )

114 1

ΑΖΗ

ΑΔΕ ΑΖΗ

Ε⇔ = ⇔

Ε −Ε −

( )

( )( ) ( )

1 13 3

ΑΖΗΑΖΗ ΔΕΗΖ

ΔΕΗΖ

Ε⇔ = ⇔ Ε = Ε

Ε άρα:

( )1 12 4 .3

τ μΑΖΗΕ = ⋅ =


Από την τελευταία προκύπτει:

( ) ( ) ( ) 4 12 16 . .τ μΑΔΕ ΑΖΗ ΔΕΗΖΕ = Ε +Ε = + = Από την ομοιότητα των (ΑΔΕ) και (ΑΒΓ) ακόμα προκύπτει:

( )

( )

21 12 4

ΑΔΕ

ΑΒΓ

Ε ⎛ ⎞= =⎜ ⎟Ε ⎝ ⎠ από την οποία εύκολα υπολογίζεται ότι:

( ) 64 . .τ μΑΒΓΕ = 320. Να βρεθεί η συνάρτηση *:f R R→ τέτοια ώστε να ισχύει η σχέση:

( ) { } ( )21 , 0 1f x xf x x Rx

⎛ ⎞− + = ∀ ∈ −⎜ ⎟⎝ ⎠

(Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών «Ζήνων» 1997) Λύση:

Αν στην (1) θέσουμε: x y= −

τότε θα προκύψει:

( ) ( )21 2f y yf yy

⎛ ⎞− − =⎜ ⎟

⎝ ⎠

Όμοια αν στην (1) θέσουμε:

1xy

=

τότε θα είναι ακόμα:

( ) ( )21 1 1 3f f yy y y

⎛ ⎞− + =⎜ ⎟⎝ ⎠

Λύνοντας τις (2) και (3) ως προς αγνώστους τις τιμές:

( ) 1,f y fy

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

προκύπτει:

( ) 2 21 1 1 1 1,2 2

f y y f yy y y

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Αν τώρα στον πρώτο τύπο θέσουμε αντί y το x και στο δεύτερο θέσουμε

όπου 1 y− το x , τότε θα προκύψει ο τύπος της συνάρτησης f .

Δηλαδή:


( ) 21 1 , 02

f x x xx

⎛ ⎞= + ≠⎜ ⎟⎝ ⎠

321. Για τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς , ,x y z ισχύει:

1x y z+ + = Να δείξετε ότι:

( )3 12

xy yz zxxy z yz x zx y

+ + ≤+ + +

(Γιώργος Αποστολόπουλος, Μαθηματικός 2ου ΓΕΛ Μεσολογγίου) Λύση:

Είναι:

( ) ( ) ( ) ( )2xy xy xy

xy z xy z x y z x z y z= =

+ + + + + +

και σύμφωνα με την ανισότητα:

( )1 , , 02

ab a b a b≤ + > η (2) γίνεται:

( )1 32

xy x yxy z x z y z

⎛ ⎞≤ +⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠

όμοια προκύπτει:

( )

( )

1 42

1 52

yz y zyz x y x z x

zx z xzx y z y x y

⎛ ⎞≤ +⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠

⎛ ⎞≤ +⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠

Με πρόσθεση κατά μέλη των (3), (4) και (5) προκύπτει η ζητούμενη.


368. Αν , ,x a y a z aημφημω ημφσυνω συνφ= = =

τότε να δείξετε ότι: 2 2 2 2x y z a+ + =









Ο Αριστοτέλης στα Φυσικά του κάνει λεπτομερή αναφορά στα λεγόμενα «Παράδοξα του Ζήνωνα» κι η προσφορά του είναι πρωτοποριακή και από τις πλέον αξιόλογες στην ιστορία της φιλοσοφίας και όχι μόνο. Με τα παράδοξα αυτά ο Ζήνωνας προσπαθεί να υπερασπισθεί τις μονιστικές απόψεις και τη θεωρία περί ακινησίας που διατύπωσε ο δάσκαλός του, ο Παρμενίδης, ενώ ο Αριστοτέλης μέσα από τη δική του θεώρηση προχωρά τη σκέψη μακρύτερα φθάνοντας στις δύσκολες πλέον φιλοσοφικές έννοιες: του «απείρου» και του «συνεχούς». Ο Αριστοτέλης για το Ζήνωνα και για το ζήτημα της κίνησης αναφέρεται στα Φυσικά καθώς και στα Τοπικά. Ξεκινώντας το θέμα αυτό ο Αριστοτέλης στα Φυσικά γράφει: «τέτταρες δ’ εἰσίν οἱ λόγοι περί κινήσεως Ζήνωνος οἱ παρέχοντες τάς δυσκολίας τοῖς λύουσιν»(Φυσικά 239b.9-11) Δηλαδή: «Γύρω από το θέμα της κίνησης τέσσερις τώρα τον αριθμό είναι οι ισχυρισμοί του Ζήνωνος, αυτοί που δημιουργούν τις δυσκολίες σε εκείνους οι οποίοι τους απορρίπτουν» (Μετάφραση:Η.Π. Νικολούδη, Εκδόσεις Κάκτου) Επίσης στα Τοπικά γράφει: «πολλούς γάρ λόγους ἔχομεν ἐναντίους ταῖς δόξαις, οὓς χαλεπόν λύειν, καθάπερ τόν Ζήνωνος ὃτι οὐκ ἐνδέχεται κινεῖσθαι οὐδέ τό στάδιον διελθεῖν,»(Τοπικά, 160b.6-10) Στους στίχους αυτούς των Τοπικών ο φιλόσοφος λέει στη σημερινή γλώσσα:: «γιατί βρίσκουμε πολλούς ισχυρισμούς αντίθετους με τις δικές μας πεποιθήσεις που είναι δύσκολο να ανασκευάσουμε: για παράδειγμα οι ισχυρισμοί του Ζήνωνα, που ισχυρίζεται πως είναι αδύνατο να υπάρξει κίνηση κι ακόμα πως είναι αδύνατο να διατρέξει κανείς το στάδιο». Οι δύο αυτές εισαγωγικές νύξεις του Αριστοτέλη θα αντιμετωπιστούν με πολύ διεξοδικό τρόπο και θα ανασκευαστούν. Η Ηρακλείτεια άποψη της συνεχούς μεταβολής του κόσμου από τη μια μεριά που αποτελούσε και τη βασική ιδέα των φιλοσόφων της Ιωνίας, των φυσικών δηλαδή φιλοσόφων της προσωκρατικής περιόδου, θα αντιπαρατεθεί με την Ελεατική ιδέα της απόλυτης ακινησίας και του ενός όντος και

No:248


μέσα από την αριστοτελική ζύμωση θα δώσει νέες διαστάσεις στον ορίζοντα της ανθρώπινης σκέψης και του γενικότερου φιλοσοφικού στοχασμού. Όπως έγινε και για πολλά άλλα θέματα, έτσι και τα «παράδοξα» αυτά κατά την εποχή του 4ου αιώνα π.Χ. θα περάσουν μέσα από δύο μεγάλες πνευματικές διάνοιες, του Πλάτωνα και του Αριστοτέλη, και θα δώσουν νέα ώθηση για νέες προοπτικές. Η προμηθεϊκή ιδέα θα πυρώσει την ανθρώπινη σκέψη και θα τη σπρώξει πιο μπροστά.


322. Δίνεται η συνάρτηση f συνεχής στο R για την οποίος ισχύει:

( ) ( ) ( )2 1 0 1f x xf x+ − = Αν

( ) ( )0 1 2f = τότε να βρεθεί ο τύπος της f

Λύση: Έστω ότι για κάποιο πραγματικό αριθμό 0x ισχύει:

( )0 0f x = τότε από την (1) θα είναι:

( ) ( )2 0 0 0 01 0 0 0 1 0 1 0f x x f x x+ − = ⇒ + ⋅ − = ⇒ − = το οποίο είναι άτοπο. Επειδή ακόμα η συνάρτηση f είναι συνεχής και ισχύει η (2) άρα θα παίρνει για κάθε πραγματική τιμή του x μόνο θετικές τιμές.

Δηλαδή:

( ) ( )0, 3f x x R> ∀ ∈ Αν τώρα την (1) την αντιμετωπίσουμε ως μια δευτεροβάθμια εξίσωση μπορούμε να τη λύσουμε ως προς ( )f x . Δηλαδή:

( )2 2 24 4 1 1 4 0x xβ αγΔ = − = − ⋅ ⋅ − = + > άρα:

( )2

1,2

42

x xf x − ± += και λόγω της (3) η ζητούμενη τιμή για τη συνάρτηση αυτή είναι:

( ) ( )2 4 4

2x xf x − + +=

Ο τύπος (4) δίνει πάντα θετικές τιμές διότι: 2 2 24 4x x x x x x+ > = ≥ ⇒ + >

δηλαδή:


2 4 0,x x x R+ − > ∀ ∈

323. Στο διπλανό κυκλικό διάγραμμα δίνονται οι γωνίες των κυκλικών τομέων και οι τιμές xi, i=1,2,3,4 μιας μεταβλητής Χ. i) Να κατασκευάσετε τον πίνακα κατανομής σχετικών συχνοτήτων fi και αθροιστικών συχνοτήτων Fi. ii) Να βρείτε τη μέση τιμή και τη διάμεσο της κατανομής. iii) Αν 18 παρατηρήσεις έχουν τιμή τουλάχιστον 30 να βρείτε το πλήθος ν των παρατηρήσεων.

(Γ. Μαυρίδης:100 Θέματα Μαθηματικών και Στ. Στατιστικής Γ΄ Λυκείου. Σελ.53) Λύση: i) Οι γωνίες των κυκλικών τομέων είναι:

0 01 4 290 , 54α α α= = =

και

( )0 0 0 0 03 360 90 90 54 126α = − + + = Εξάλλου είναι γνωστό ότι:

0360i ifα = Επομένως οι σχετικές συχνότητες των τιμών της μεταβλητής Χ θα είναι:

0 0 0

1 4 2 30 0 0

90 54 1260.25 , 0.15, 0.35360 360 360

f f f f= = = = = = = Άρα ο ζητούμενος πίνακας κατανομής σχετικών και αθροιστικών συχνοτήτων είναι:

ii) Η μέση τιμή της κατανομής είναι:

4

110 0, 25 20 0,15 30 0,35 40 0,25

2,5 3 10,5 10 26

i ii

x x f=

= = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =

= + + + =

∑

Δηλαδή:

26x =

Xi fi Fi 10 0.25 0.25 20 0.15 0.40 30 0.35 0.75 40 0.25 1


iii) 1ος τρόπος: Η διάμεσος δ είναι η τιμή για την οποία το πολύ 50% των παρατηρήσεων είναι μικρότερες από αυτήν και το πολύ 50% των παρατηρήσεων είναι μεγαλύτερες από αυτήν. Όμως η αθροιστική συχνότητα της τιμής 2x είναι

2 0.40 40%F = = ενώ η αθροιστική συχνότητα της τιμής 3x είναι

3 0.75 75%F = = Επομένως το 50% των παρατηρήσεων αντιστοιχεί στην τιμή 3 30x = Άρα η διάμεσος είναι 30δ = 2ος τρόπος: Για τη διάμεσο της κατανομής αυτής θεωρούμε, εφ’ όσον έχουμε αναχθεί σε εκατοστιαία αναφορά με τις σχετικές συχνότητες, τις εκατό παρατηρήσεις που δημιουργούν οι τιμές αυτές.

Αυτές είναι: 25 15 35 25

10,10,...,10,20,20,..., 20,30,30,...,30,40,40,..., 40

Επομένως η διάμεσος θα είναι το ημιάθροισμα:

50 51 30 30 302 2

t tδ

+ += = =

iv) Οι παρατηρήσεις με τιμή τουλάχιστον 30 είναι εκείνες που έχουν τιμή ίση με 30 ή τιμή ίση με 40. Άρα για τις 18 αυτές παρατηρήσεις στο πραγματικό δείγμα ισχύει:

3 4 18ν ν+ = Επομένως αν ν είναι το μέγεθος του δείγματος τότε θα είναι:

3 4 18ν νν ν ν+ =

Δηλαδή:

3 43 4

18 18 18 300.60

f ff f

νν

+ = ⇒ = = =+

Δηλαδή οι συνολικές παρατηρήσεις είναι 30ν =


369. Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ η διχοτόμος της γωνίας Α, το ύψος που άγεται από την κορυφή Β προς την ΑΓ και η μεσοκάθετος της ΑΒ τέμνονται στο ίδιο σημείο. Να βρεθεί η γωνία Α.

(Probleme de geometie Competitiva. A. Ivanov-M. Teleuca)



Η Στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη 2 Φεβρουαρίου 2011 1/4






Πρώτο παράδοξο

Στα Φυσικά, όπως αναφέρθηκε και στο προηγούμενο σημείωμα της στήλης μας ο Αριστοτέλης ξεκινά την αναφορά του στα παράδοξα του Ζήνωνα γράφοντας για το πρώτο: «πρῶτος μέν ὁ περί τοῦ μή κινεῖσθαι διά τό πρότερον εἰς το ἣμισυ δεῖν ἀφικέσθαι τό φερόμενον ἤ πρός το τέλος»

(Φυσικά:239b.11-13) Αυτό σημαίνει: «και πρώτος είναι ο σχετικά με το ότι δεν μπορεί να κινείται ένα πράγμα για το λόγο ότι το σώμα το οποίο μετατοπίζεται πρέπει να φθάσει πρωτύτερα στο μισό της απόστασης προτού φθάσει στο τέλος»

(Μετάφραση: Η.Π. Νικολούδης. Εκδ. Κάκτου) Μέσα στην πρόταση αυτή καταγράφεται ο πρώτος συλλογισμός του Ζήνωνα ο οποίος στην ιστορία της φιλοσοφίας ονομάζεται «παράδοξο του Σταδίου» ή «παράδοξο της διχοτομίας».(Φυσική ακρόασις, β. Ζ, σχόλιο 59. Εκδ. Κάκτου) Η λέξη διχοτομία χρησιμοποιείται από τον Αριστοτέλη για να δηλώσει το διαχωρισμό μιας ενότητας σε δύο άλλες ίσες. Η λέξη προέρχεται από το ίδιο ρήμα, το διχοτομώ, από το οποίο προκύπτει και η λέξη διχοτόμος, που δηλώνει την ευθεία εκείνη που χωρίζει μια γωνία σε δύο άλλες γωνίες ίσες μεταξύ των. Στα σχόλια που διαβάζουμε για το χωρίο αυτό στο Ζ βιβλίο των Φυσικών από τις εκδόσεις Κάκτου μαθαίνουμε πως το παράδοξο της διχοτομίας λέει με άλλα λόγια τα εξής: «Δεν υπάρχει κίνηση, διότι ένα κινούμενο πράγμα πρέπει, προτού φθάσει στο τέρμα, να φθάσει στη μέση της διαδρομής. Για να φθάσει ο δρομέας στο τέρμα της διαδρομής του, πρέπει προηγουμένως να περάσει από μιαν άπειρη σειρά ενδιάμεσων σημείων, που απαρτίζουν την ακολουθία:

1 1 1 1, , , ,...2 4 8 16

επειδή όμως είναι αδύνατο να περάσει κάποιος από άπειρα σημεία, ο δρομέας είναι αδύνατον να φθάσει στο τέρμα» Αυτό σημαίνει, ότι αν ένας δρομέας θέλει να διανύσει μια απόσταση ΑΒ, όπως φαίνεται στο επόμενο σχήμα, η οποία έστω πως είναι ίση με ένα στάδιο, ξεκινώντας από την αρχή Α που αντιστοιχεί στη μηδενική απόσταση, θα πρέπει για να φθάσει στο σημείο Β να περάσει πρώτα από το μέσο Μ1 του τμήματος ΑΒ. Όμως για να φθάσει σ’

No:249


αυτό το σημείο πάλι θα πρέπει να περάσει πρώτα από το μέσο Μ2 του τμήματος ΑΜ1 και ούτω καθεξής.

Αυτή η υποχρέωση του δρομέα να περνάει από τα μέσα (…Μ4, Μ3, Μ2, Μ1) τα οποία αποτελούν μια «απειρία» σημείων καθιστά το γεγονός αυτό αδύνατο.


324. Έστω η συνάρτηση με τύπο: ( ) 3 4f x x=

Α. Να βρεθούν: (i) Το πεδίο ορισμού της (ii) Η παράγωγος ( )f x′

Β. Να δείξετε ότι υπάρχουν ( )1 2 3 4, , , , , 0ξ ξ ξ ξ α α με α∈ − 〉

τέτοια ώστε: ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4 0f f f fξ ξ ξ ξ′ ′ ′ ′+ + + =

Γ. Θεωρούμε τα σημεία: ( ) ( )( )1, ( 1) 8, 8 .f fκαιΑ − − Β

Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την ευθεία ΑΒ και το γράφική παράσταση fC της συνάρτησης f .

(Αποστόλης Μπουρνής. Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου) Λύση: Αi). Το πεδίο ορισμού της είναι το R κι αυτό γιατί η υπόριζη ποσότητα είναι για

κάθε πραγματική τιμή του x μη αρνητική. Έτσι η συνάρτηση γράφεται:

( )( )

43

43

, 0

, 0

x xf x

x x

⎧ ≥⎪= ⎨⎪ − τότε όμοια θα είναι:


( )134

3f x x′ =

• Έστω 0x = τότε

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )4 4

13 33

0 0 0 0

0lim lim lim lim 0

0x x x xf x f x x

xx x x− − − −→ → → →− − −

= = − = − − =− −

( ) ( )4

133

0 0 0

0lim lim lim 0

0x x xf x f x x

x x+ + +→ → →−

= = =−

Άρα:

( )( )

( )

13

13

4 , 034 , 03

x xf x

x x

⎧ ≥⎪⎪′ = Ι⎨⎪− − <⎪⎩

Β). Έστω δύο τυχαία:

( )1 2, 0, , 0ξ ξ α α∈ > τότε θα είναι:

( ) ( ) ( )1 13 3

1 1 2 24 4, 13 3

f fξ ξ ξ ξ′ ′= =

κι αν θεωρήσουμε ως:

3 1 4 2,ξ ξ ξ ξ= − = − τότε θα είναι:

( )3 4, ,0ξ ξ α∈ − και από τον τύπο (Ι) της παραγώγου θα είναι:

( ) ( ) ( )1133

3 3 14 4 23 3

f ξ ξ ξ′ = − − = −

και όμοια:

( ) ( )13

4 24 33

f ξ ξ′ = −

έτσι από τις (1), (2) και (3) προκύπτει:

( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4 0f f f fξ ξ ξ ξ′ ′ ′ ′+ + + = Γ). Για το ζητούμενο εμβαδόν είναι:

( ) ( ) ( )8 0 8

1 1 0

f x dx f x dx f x dx− −

Ε = = + =∫ ∫ ∫


( ) ( ) ( ) ( )0 8 0 84 4 4 4

3 3 3 3

1 0 1 0

x dx x dx x dx x dx− −

= − + = − + =∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 8 0 84 4 4 4

3 3 3 3

1 0 1 0

x dx x dx x d x x dx− −

= − + = − − − + =∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( )

0 844 11 33

7 7

1 0

3 3 30 1 2 0 2 14 4 7 7 71 13 3

x x++

−

−− + − = − − + − = −

+ +

Δηλαδή: 55.29 .τ μΕ ≈


370. Αν α,β,γ είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί με άθροισμα 12 να δειχθεί ότι:

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 24 4 412

4 4 4α β γ β γ α γ α β

αβ βγ γα

+ + ++ + ≥

(71ος Πανελλήνιος Μαθ. Διαγωνισμός ο Ευκλείδης. ΕΜΕ. Τάξη Γ Λυκείου 15/1/2011)









Πρώτο παράδοξο Σχετικά με την ερμηνεία του συλλογισμού αυτού μέχρι και σήμερα γράφονται πολλές ερμηνείες και πολλά σχόλια. Τα ερωτήματα που προβάλλονται είναι πολλά και μάλιστα σε μια τέτοια «πρόκληση» του κοινού μυαλού. Θα ρωτούσε κανείς: - Μα τι ήθελε να πει με τον ισχυρισμό αυτό ο ελεάτης φιλόσοφος Ζήνων; κι ακόμα: - Δεν ήξερε πως οι αθλητές στους αγώνες στην Ολυμπία, στα Πύθεια και σε πολλά άλλα σημεία, κατάφερναν να τον διαψεύσουν; Κι όμως η σκέψη των φιλοσόφων εκείνης της εποχής είχε προχωρήσει πολύ μπροστά. Προσπαθούσαν μέσα από τις αμφισβητήσεις να δουν και να μελετήσουν τη βαθύτερη ουσία του κόσμου. Οι αισθήσεις πλέον δεν ήταν ικανές να τους πείσουν για την αλήθεια του κόσμου. Για το πρώτο παράδοξο ή αλλιώς το «παράδοξο της διχοτομίας» τι άλλο θα μπορούσε να πει κανείς σήμερα; Ας δούμε τον ισχυρισμό του Ζήνωνα όπως τον κατανοούμε σήμερα: Έστω πως ο δρομέας θέλει να τρέξει την απόσταση από το 0 στο 1 όπου το 0 και το 1 συμβολίζουν τα άκρα της οποιασδήποτε απόστασης δύο σημείων. Ο δρομέας επομένως για να φθάσει ξεκινώντας από την αρχή(0) έως το τέρμα(1), θα πρέπει αρχικά να διανύσει το τμήμα από την αρχή(0) μέχρι και το

μέσο(1/2) αρχικού τμήματος. Με την ίδια λογική για διανύσει την απόσταση ξεκινώντας από την αρχή(0) έως το μέσον(1/2) θα πρέπει να διανύσει αρχικά το τμήμα από την αρχή(0) μέχρι και το μέσον αυτού του τμήματος που είναι το μισό του μισού του αρχικού, δηλαδή μέχρι και το σημείο που αντιστοιχεί στο (1/4) του αρχικού.

Πάλι με το ίδιο επιχείρημα για να διανύσει την απόσταση από την αρχή(0) μέχρι και το σημείο που αντιστοιχεί στο (1/4) θα πρέπει να διανύσει το αρχικά την

απόσταση από την αρχή(0) μέχρι και το σημείο (1/8) που είναι πάλι το μισό του

μισού του μισού του αρχικού και ούτω καθεξής.

No:250


Έτσι δημιουργείται μια «άπειρη» ακολουθία τμημάτων που είναι:

{ }1 1 1 1: ... 0, , 0, , 0, , 0, , 0,116 8 4 2ν

⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫Δ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

Η ακολουθία αυτή εκτός του ότι έχει «άπειρους όρους» ώστε να δημιουργεί μια «λογική αδυναμία», δεν έχει αριστερά της αρχικό όρο από τον οποίο θα ξεκινήσει ο δρομέας!


325. Έστω f μια παραγωγίσιμη στο διάστημα [ ]0, 4 με: ( ) ( ) [ ] ( )0 1, 0,4 1f x f x xκαι ′〉 〈− ∀ ∈

Θεωρούμε τη συνάρτηση:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 2

1 3 1

x

x

F x f t dt f t dt f t dt f t dt= +∫ ∫ ∫ ∫ με [ ]0,4x∈ και

( ) ( )3

2

1 2f x dx =∫ i) Να δειχθεί ότι:

( ) ( )1

x

F x f t dt= −∫ ii) Να βρεθεί το πρόσημο της F iii) Να δειχθεί ότι

( ) ( )2,3 : 1fξ ξ∃ ∈ = iv) Να δειχθεί ότι:

( ) ( ) [ ]22 , 0, 4F x f x x〈 ∀ ∈ (Μπουρνής Απόστολος, Μαθηματικά Κατ/νσης Γ΄Λυκείου))

Λύση: i. Είναι:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 1 3 2

1 3 1 1

2 1 1 2

1 3 3 1

1

0

F f t dt f t dt f t dt f t dt

f t dt f t dt f t dt f t dt

= + =

= − =

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

Δηλαδή:

( ) ( )1 0 3F = Επίσης παραγωγίζοντας τη συνάρτηση αυτή θα έχουμε:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3

1 1

F x f x f t dt f x f t dt′ = − =∫ ∫


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 3 3

1 1 2 2

f x f t dt f x f t dt f t dt f x f t dt⎡ ⎤

= − + = −⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫ ∫ ∫και λόγω της (1) τελικά είναι:

( ) ( ) ( )4F x f x′ = − Η (4) λόγω της (3) δίνει:

( ) ( )1

x

F x f t dt= −∫ ii. Η (4) λόγω της (1) δίνει τα πρόσημα της συνάρτησης F ως εξής:

Άρα:

( )0 1 0x F xνΑ ≤ < ⇒ > ( )1 4 0x F xνΑ < ≤ ⇒ < iii. Θεωρούμε τη συνάρτηση G με τύπο:

( ) ( ) [ ], 2,3G x F x x x= + ∈ για τη συνάρτηση αυτή ισχύει:

( ) ( ) ( ) ( )2

1

2 2 2 2 5G F f t dt= + = − +∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

3 2 3

1 1 22 22

1 1

3 3 3 3 3

1 3 2

G F f t dt f t dt f t dt

f t dt f t dt

= + = − + = − − + =

=− − + = − +

∫ ∫ ∫

∫ ∫

δηλαδή:

( ) ( ) ( ) ( )2

1

3 3 3 2 6G F f t dt= + = − +∫ Από τις (5) και (6) προκύπτει:

( ) ( )2 3G G= και επειδή η συνάρτηση αυτή ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος του Rolle άρα θα υπάρχει τουλάχιστον ένα ( )2,3ξ ∈ τέτοιο ώστε:

( ) 0G ξ′ = αυτό σημαίνει:


( ) ( ) ( )1 0 1 1F f fξ ξ ξ′ + = ⇒− = − ⇒ = iv. Θεωρούμε τη συνάρτηση Η με τύπο:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]2 21

2 2 , 0, 4x

H x f x F x f x f t dt x= − = + ∈∫ τότε:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

2 2 2 2x

H x f x f x f t dt f x f x f x′⎛ ⎞

′ ′ ′= + = +⎜ ⎟⎝ ⎠∫

δηλαδή:

( ) ( ) ( )( )1

2 1 0H x f x f x′ ′= + επομένως από την (7) προκύπτει:

( ) [ ]0, 0,4H x x> ∈ και συνεπώς:

( ) ( ) ( )2 2 0H x f x F x= − > άρα:

( ) ( ) [ ]2 2 0,4f x F x x> ∈


371. Να λυθεί στο R το σύστημα:

( )

2 2 2

2

826

1

x y zx y z

xy xz yz

+ + =+ + =

+ = +

(71ος Παν. Μαθ. Διαγωνισμός ο Ευκλείδης. ΕΜΕ. Τάξη Β΄ Λυκείου 15/1/2011)









Πρώτο παράδοξο Το πρώτο παράδοξο ή αλλιώς το παράδοξο της διχοτομίας όπως το διατύπωνε ο Ζήνων τον 5ο αιώνα π. Χ. οδηγεί σε δύο λογικά αδιέξοδα. Το πρώτο είναι πως για να φθάσει ο δρομέας στο πέρας της διαδρομής του σταδίου θα πρέπει να περάσει από «άπειρα» σημεία που είναι μέσα διαδρομών(Σ.Μ 249) και το δεύτερο πως για να φθάσει στο πέρας θα πρέπει να ξεκινήσει από κάποιο διάστημα που είναι ο απειροστός όρος της ακολουθίας των διαστημάτων που πρέπει κάθε φορά να διανύσει(Σ.Μ.250). Πριν αναφερθούμε πιο λεπτομερειακά στη σημασία του παράδοξου αυτού θα πρέπει να σημειώσουμε δύο τάσεις που προηγήθηκαν της εποχής του Αριστοτέλη. Η πρώτη ανήκει στους Πυθαγόρειους οι οποίοι πίστευαν πως ο κόσμος αποτελείται από αδιαίρετα αντικείμενα. Η όλη κοσμοθεωρία των φιλοσόφων αυτών ήθελε τον κόσμο φτιαγμένο από μικρότερα κομμάτια που όμως από ένα σημείο και μετά είναι αδιαίρετα. Οδηγός στη σκέψη τους ήταν το σύνολο των Φυσικών αριθμών. Ακόμα πίστευαν πως όλα τα μεγέθη ήταν μεταξύ τους σύμμετρα. Έτσι γι’ αυτούς η ύλη, ο χώρος και ο χρόνος αποτελούνται από κομμάτια που είναι αδιαίρετα. Αντίθετα με του Πυθαγόρειους ο Αναξαγόρας από τις Κλαζομενές της Ιωνίας υποστήριζε το αντίθετο. Η ύλη, ο χώρος και ο χρόνος αποτελούν ποσότητες που είναι συνεχείς και μπορούν να διαιρεθούν επ’ άπειρον. Οι έννοιες βέβαια της συνέχειας και του απείρου όπως αναφέρθηκε(Σ.Μ.247) θα αναλυθούν αργότερα πολύ διεξοδικά από τον Αριστοτέλη. Μέσα στο πλαίσιο των αντιλήψεων αυτών ο Ζήνων ο Ελεάτης διατυπώνει τα τέσσερα παράδοξα που σχολιάζει ο Αριστοτέλης στο έργο του Φυσικά(Βιβλίο Ζ) Το παράδοξο της διχοτομίας μπορεί κανείς να το δει και με διάφορες άλλες

διατυπώσεις. Μια τέτοια είναι κι αυτή που μιλά για το βέλος του Αχιλλέα:

No:251

Αναξαγόρας ο Κλαζομένιος 500-428π.Χ.


Ο Αχιλλέας ρίχνει το βέλος του προς το στόχο Β. Το βέλος δεν θα φθάσει ποτέ στο στόχο του. Το γιατί; Πάλι η απειρία των διαδοχικών σημείων που βρίσκονται στο μέσο, στο μέσο του μισού και ούτω καθεξής. Μια θεώρηση σαν κι εκείνη που είδαμε στο παράδοξο της διχοτομίας.


326. Δίνεται η συνάρτηση :f R R→ για την οποία ισχύει:

( ) ( ) ( )3 0, 12xf x f x x R+ + = ∀ ∈

να δειχθεί ότι αυτή αντιστρέφεται, να βρεθεί ο τύπος της 1f − και να λυθεί η ανίσωση:

( ) ( ) ( )3 3 3 2f x x f x− 〉 − (Μαθηματικά Γ΄Λυκείου, Γιώργου Μιχαηλίδη)

Λύση: Μονοτονία: Έστω:

( )1 2 1 2, : 3x x R x x∈ < Τότε από την (1) προκύπτει:

και αφαιρώντας κατά μέλη θα έχουμε:

( ) ( ) ( ) ( )3 3 2 12 1 2 1 02x xf x f x f x f x −− + − + =

από την τελευταία προκύπτει:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 12 1 2 2 1 1 1 2x xf x f x f x f x f x f x −⎡ ⎤− + + + = −⎣ ⎦

κι ακόμα:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( )2 12 2

2 1 2 2 1 1

1 0 62 1

f x f xx x f x f x f x f x−

= − <− ⎡ ⎤+ + +⎣ ⎦

Αυτό συμβαίνει γιατί η παράσταση:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 1 1 7f x f x f x f xΑ = + + αν θεωρηθεί ως τριώνυμο με μεταβλητή το ( )2f x έχει διακρίνουσα:

( )2 13 0D f x= − ≤ Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: 1η) Έστω ότι:

( )2 13 0D f x= − <

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

3 11 1

3 22 2

0, 42

0, 52

xf x f x

xf x f x

+ + =

+ + =


τότε το τριώνυμο (7) γίνεται ομόσημο του συντελεστή του δευτεροβαθμίου όρου του που είναι η μονάδα άρα θετικό και συνεπώς ισχύει η (6). 2η)Έστω τώρα ότι είναι:

( )2 13 0D f x= − = τότε:

( ) ( )1 0 8f x = στην περίπτωση αυτή τότε το τριώνυμο (7) γίνεται:

( )2 2f xΑ = και είναι πάντα θετικό γιατί αν:

0Α = τότε:

( ) ( )2 0 9f x = όμως από τις (8) και (9) προκύπτει:

1 2 0x x= = το οποίο είναι άτοπο λόγω της αρχικής υπόθεσης (3).

Έτσι λοιπόν δείχθηκε ότι:

( ) ( )2 12 1

0f x f x

x x−

<−

άρα η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο R και συνεπώς αντιστρέφεται. Εύρεση του τύπου της: 1f − Επειδή ο τύπος (1) ισχύει για κάθε πραγματικό αριθμό άρα μπορούμε να

θέσουμε στη θέση του x το ( )1f x− : Άρα προκύπτει η σχέση:

( )( ) ( )( ) ( )1

3 1 1 02

f xf f x f f x

−− −+ + =

η οποία στη συνέχεια δίνει:

( )( ) ( )( ) ( )131 1 02

f xf f x f f x

−− −⎡ ⎤ + + =⎣ ⎦

και τελικά:

( )13 02

f xx x

−

+ + = δηλαδή:

( )1 32 2f x x x− = − − Λύση της ανίσωσης (2):

Επειδή η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα άρα και η 1f − θα είναι γνησίως φθίνουσα. Άρα από τη (2) προκύπτει:

( )( ) ( )( )1 3 1 3 3f f x x f f x− −− < −


άρα: 3 3 3x x x− < −

η οποία ισοδυναμεί με: 3 3 3 0x x x+ − − <

και επειδή το πολυώνυμο του πρώτου μέλους της ανίσωσης αυτής έχει ρίζα το 1, θα είναι τελικά:

( ) ( )21 3 0x x x− + + < η τελευταία έχει λύση:

1x < γιατί το τριώνυμο του δεύτερου παράγοντα είναι πάντα θετικό αφού έχει διακρίνουσα αρνητική. Παραθέτουμε το γράφημα της συνάρτησης f που σχεδιάστηκε με το Geogebra, αφού πρώτα σχεδιάστηκε το γράφημα της 1f − και μετά η συμμετρική της

ως προς τη διχοτόμο της πρώτης γωνίας, που είναι το γράφημα της f .


372. Έστω [ ]: 0,1f R→ συνάρτηση παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο στο διάστημα [ ]0,1 και τέτοια, ώστε:

( ) ( )f x xf x′≥ για κάθε [ ]0,1x∈ . Να δείξετε ότι:

( ) ( )1

0

2 1f x dx f≥∫ (Γ.Λ. Μαυρίδης: Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου, Θετ. & Τεχν. Κατ/νσης. Σελ. 244. Ασκ.159)









Πρώτο παράδοξο Για το παράδοξο της διχοτομίας μπορεί να πει κανείς πως στηρίζεται σε δύο θεμελιώδεις παραδοχές(*):

• 1η ) Ότι η απόσταση είναι διαιρετή επ’ άπειρον • 2η ) Ότι ο χρόνος δεν είναι διαιρετός επ’ άπειρον. Με βάση λοιπόν αυτές τις δύο παραδοχές οι Ελεάτες, με κύριο εκφραστή τον

Ζήνωνα στήνουν τα παράδοξα και «αποδείχνουν» την αδυναμία της κίνησης του δρομέα. Αν ξανασκεφτούμε το παράδοξο όπως αυτό εμφανίζεται στο παράδειγμα του βέλους του Αχιλλέα (Σ.Μ. 251)

τότε μπορούμε να το ερμηνεύσουμε με το ακόλουθο γράφημα:

Έχει σημασία να εκτιμήσει κανείς πως στο ανωτέρω γράφημα όπου εμφανίζεται η εξέλιξη της σκέψης του Ζήνωνα, οι μονάδες στον αριστερό κάθετο άξονα δηλώνουν την απόσταση που πρέπει να διανύσει το βέλος και ξεκινούν από τη

No:252


μονάδα (d=1) για τη μηδενική χρονική στιγμή ενώ στη συνέχεια διαιρούνται κάθε φορά στη μέση κατά τις στιγμές 1, 2, 3, …, n,… Οι χρονικές στιγμές 1, 2, 3, …, δηλώνουν μονάδες χρόνου που είναι αδιαίρετες. Ακριβώς στη διαφοροποίηση της αντίληψης της διαιρετότητας της ποσότητας του χρόνου και της συνεχούς διαιρετότητας της ποσότητας της απόστασης δημιουργείται η αντίφαση του παραδόξου αυτού.

(*) André Ross, professeur de mathématiques Cégep de Lévis – Lauzon: Zénon, les paradoxes.

Μαθηματικές προκλήσεις – προσκλήσεις – ασκήσεις 327. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές α,β,γ. Εάν μεταξύ των πλευρών του ισχύει:

( )3 3 3

2 1α β γ αα β γ+ +

=+ +

τι μπορεί κανείς να συμπεράνει για τις γωνίες του τριγώνου αυτού;(Centrale des Maths. Problème du mois. Avril 2010) Λύση: Η σχέση (1) προκύπτει:

3α ( )3 3 2 3β γ α α β γ α+ + = + + = ( )2α β γ+ + κι ακόμα:

( )3 3 2β γ α β γ+ = + ⇒ ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2β γ β βγ γ α β γ+ − + = +

και επειδή το άθροισμα:

0β γ+ > η σχέση (2) δίνει:

2 2 2β βγ γ α− + = Δηλαδή:

( )2 2 2 3α β βγ γ= − + κι από το νόμο των συνημιτόνων ακόμα για το τρίγωνο αυτό θα είναι ακόμα:

( )2 2 2 2 4α β γ αβσυν= + − Α Από τις σχέσεις (3) και (4), εξισώνοντας τα δεύτερα μέλη, προκύπτει:

2 2β γ+ 22βγσυν β− Α = 2βγ γ− + δηλαδή:

12

συνΑ =


Η τελευταία σχέση σημαίνει ότι:

060Α = και ότι για τις άλλες δύο ισχύει:

0120Β+Γ = .

328. Να βρεθούν όλοι οι πραγματικοί αριθμοί a τέτοιοι ώστε να ισχύει:

( )3 12

ax

a

e dx−

〉∫ Λύση: Υπολογίζοντας το ολοκλήρωμα του πρώτου μέλους της ανίσωσης (1) έχουμε τα ακόλουθα:

1a ax x a a aaa

a

e dx e e e ee

−

−−

⎡ ⎤Ι = = = − = −⎣ ⎦∫ δηλαδή:

( )2 1 2

a ax

aa

ee dxe−

−Ι = =∫

Η ανισότητα (1) σύμφωνα με τη (2) γίνεται ισοδύναμα:

( )2 1 3 3

2

a

a

ee−〉

Στη συνέχεια η λύνοντας την ανίσωση (3) θα έχουμε:

( ) ( )( )

2

2

3 2 1 3

2 3 2 0 4

a a

a a

e e

e e

⇔ − 〉 ⇔

⇔ − − > Η ανίσωση (4) είναι της μορφής:

( )22 3 2 0 5x x− − > όπου:

( )6ax e= Η ανίσωση (5) έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες τις:


1 21 , 22

x x= − = Επομένως η λύση της ανίσωσης (5) είναι οι τιμές του x που βρίσκονται έξω από το διάστημα των ριζών. Άρα πρέπει:

1 22

x x< − ∨ > και λόγω της (6) πρέπει:

1 22

a ae e< − ∨ >

Από τις δύο αυτές ανισώσεις δεκτή είναι μόνον η δεύτερη γιατί η ποσότητα 0ae > . Άρα:

2ae > Από την τελευταία προκύπτει τέλος:

( )ln 2, , 7Rα α> ∈ Έτσι οι ζητούμενοι αριθμοί α είναι εκείνοι που ικανοποιούν την ανισοτική

σχέση (7).


373. Στο ακόλουθο σχήμα οι κύκλοι (C1), (C2) εφάπτονται μεταξύ των εξωτερικά στο σημείο Α και εσωτερικά ο καθένας με τον (C) στα σημεία Β και Γ αντίστοιχα.

Η κοινή εφαπτομένη των δύο εσωτερικών κύκλων τέμνει τον εξωτερικό στα Δ, Ε.

Αν Ν, Μ είναι αντίστοιχα τα σημεία τομής των ΔΒ και ΔΓ με τους κύκλους (C1),(C2) τότε να δειχθεί ότι ΜΝ είναι κοινή εξωτερική εφαπτομένη των δυο εσωτερικών κύκλων.



Η Στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη 2 Μαρτίου 2011 1/4






Πρώτο παράδοξο Ο Αριστοτέλης ανασκευάζει το παράδοξο της διχοτομίας προτείνοντας πως και η ποσότητα του χρόνου είναι διαιρετή όπως διαιρετή είναι και η ποσότητα του χώρου και της απόστασης.

Έτσι σύμφωνα με την άποψη αυτή το βέλος του Αχιλλέα κινείται προς το στόχο σύμφωνα με τον εξής πίνακα τιμών: Αν τώρα αυτές τις τιμές τις τοποθετήσουμε σε ένα γράφημα χρόνου – διαστήματος (t,d), τότε θα έχουμε το γράφημα:

Παρατηρώντας το γράφημα αυτό βλέπουμε πως τα σημεία που εκφράζονται με τις συντεταγμένες χρόνου και διαστήματος βρίσκονται πάνω σε ευθεία που τέμνει τους άξονες σε συγκεκριμένα σημεία.

No:253


Αυτό σημαίνει πως μια συγκεκριμένη απόσταση d μπορεί να διανυθεί σε κάποια ποσότητα χρόνου t και είναι συνέπεια της άποψης πως και οι δύο αυτές ποσότητες είναι διαιρετές συνεχώς και επ’ άπειρον. Κάτι τέτοιο δεν το παρατηρούσε κανείς στο γράφημα όπου στον άξονα του χρόνου είχαμε μόνο ακέραιες τιμές του χρόνου κι όχι κλασματικές.(Σ.Μ.252).


329. Στο παράπλευρο τετράπλευρο ΑΒΓΔ ισχύει: γων(ΒΑΓ)=700, γων(ΓΑΔ)=400, γων(ΔΓΑ)=200 και γων(ΑΓΒ)=300.

Τότε: Να υπολογισθεί η γωνία:

x=(ΒΔΓ) (Mathematica.gr Μάιος 2010)

Λύση: Κατασκευάζοντας ένα νέο σχήμα και προεκτείνοντας τις ΓΔ και ΒΑ οι οποίες τέμνονται στο σημείο Ο παρατηρούμε ότι:

Από το τρίγωνο ΟΑΓ υπολογίζουμε τη γωνία: 0 0 0 0 0180 180 110 20 50ΒΟΓ = −ΟΑΓ−ΑΓΟ = − − =

επομένως το τρίγωνο (ΟΒΓ) είναι ισοσκελές κατά τα σκέλη του ΟΒ, ΒΓ καθώς επίσης και η γωνία Β είναι ίση με:

080ΟΒΓ = Θα δείξουμε ότι τα τρίγωνα (ΟΒΓ) και (ΒΓΔ) είναι όμοια.


Πράγματι για τα τρίγωνα αυτά ισχύει: ( )050 1ΒΟΓ = ΒΓΔ =

Αρκεί ακόμα να δείξουμε και την αναλογία των πλευρών που περιέχουν τις γωνίες αυτές αντίστοιχα. Δηλαδή:

( )2ββ γ

ΟΓ ΒΓ ΟΓ= ⇔ =

ΒΓ ΓΔ Απόδειξη της σχέσης (2):

Εφαρμόζουμε το νόμο των ημιτόνων στο τρίγωνο ΑΒΓ:

( )0

0 0 0

70 370 80 80β λ λημβ

ημ ημ ημ= ⇒ =

Όμοια εφαρμόζουμε τον ίδιο νόμο στο τρίγωνο ΑΓΔ:

( )0

0 0 0

40 440 120 120γ λ λημ

γημ ημ ημ

= ⇒ =

Από τις σχέσεις (3) και (4) προκύπτει:

( )0 0

0 0

70 120 540 80

β ημ ημγ ημ ημ=

Όμως κι από τον νόμο των ημιτόνων στο τρίγωνο ΟΒΓ θα έχουμε επίσης:

( )0

0 0 0

80 680 50 50

β ημημ ημ β ημΟΓ ΟΓ

= ⇔ =

Άρα η ζητούμενη (2) σύμφωνα με τις (5) και (6) γίνεται:

( )0 0 0

0 0 0

70 120 80 740 80 50

ημ ημ ημημ ημ ημ

=

Στη συνέχεια έχουμε:

( ) 0 0 0 0 2 07 50 70 120 40 80ημ ημ ημ ημ ημ⇔ = ⇔ 0 050 70ημ ημ⇔ 0 0 0120 2 20 20ημ ημ συν= 2 080ημ ⇔

0 0 0 2 050 60 2 20 80ημ ημ ημ ημ⇔ = ⇔ 0

0 03 1 16050 2 202 2

συνημ ημ⎛ ⎞−

⇔ = ⇔⎜ ⎟⎝ ⎠

0 0 0 03 50 2 20 2 20 160ημ ημ ημ συν⇔ = − ⇔


0 0 0 03 50 2 20 2 20 20ημ ημ ημ συν⇔ = + ⇔ 0 0 03 50 40 2 20ημ ημ ημ⇔ − = ⇔ 0 0 03 150 40 20

2 2ημ ημ ημ⇔ − = ⇔

0 0 0 0 030 50 30 40 20συν ημ ημ ημ ημ⇔ − = ⇔ 0 0 0 0 030 40 30 40 20συν συν ημ ημ ημ⇔ − = ⇔

( )0 0 030 40 20συν ημ⇔ + = ⇔ ( )0 070 20 8συν ημ⇔ =

Η τελευταία σχέση (8) είναι αληθής και συνεπώς και η (7). Άρα και η αρχική σχέση (2).

Επομένως τα τρίγωνα:

( ) ( ),ΟΒΓ ΒΓΔ είναι όμοια. Άρα η ζητούμενη γωνία είναι ίση με:

080x =ΟΒΓ =


374. Να βρεθεί ο θετικός ακέραιος α ώστε να ισχύει:

[ ] [ ]1 ,x ax x x Ra

⎡ ⎤+ = − ∀ ∈⎢ ⎥⎣ ⎦ όπου οι αγκύλες δηλώνουν το ακέραιο μέρος.

(Σπύρος Καπελλίδης, mathematica.gr 12/2/2011)

375. Έστω η παραβολή 2 2y px= και μεταβλητό σημείο της Μ. Η εφαπτομένη της παραβολής από το Μ τέμνει τους άξονες Οx, Oy, στα σημεία Α και Β. Να προσδιορίσετε το γεωμετρικό τόπο του σημείου Ν που έχει προβολές στους άξονες Ox, Oy τα σημεία Α και Β.

(Δ.Γ.Κοντογιάννης. Διανυσματικός Λογισμός τ.ΙΙ. σελ.159)









Πρώτο παράδοξο Όπως φάνηκε μέχρι τώρα στις αναφορές του πρώτου παραδόξου του Ζήνωνα το πρόβλημα της λογικής που χρησιμοποιεί ο φιλόσοφος αυτός του 5ου π.Χ. αιώνα είναι η αντίληψη της διαιρετότητας των ποσοτήτων του χώρου και του χρόνου.(Σ.Μ. 253). Όπως αναφέρει και ο καθηγητής André Ross(Σ.Μ. 252) η ανασκευή του παραδόξου αυτού από τον Αριστοτέλη έγκειται στην παραδοχή πως ο χώρος και ο χρόνος είναι ποσότητες διαιρετές «επ’ άπειρον». Η αντίληψη αυτή του Ζήνωνα οδήγησε και σε άλλα παρόμοια παράδοξα που συσχετίζονται με το παράδοξο της διχοτομίας. Τέτοιο είναι το παράδοξο του βέλους του Αχιλλέα όπως αναφέρθηκε προηγούμενα(Σ.Μ. 251). Ας δούμε όμως κι ένα ακόμα που στηρίζεται στην ίδια αντίληψη της διαιρετότητας του χρόνου. «Διαθέτουμε μια ώρα για να προφέρουμε του φυσικούς αριθμούς ακολουθώντας την εξής διαδικασία: Κατά τη διάρκεια του πρώτου μισού της ώρας αυτής προφέρουμε τον πρώτο φυσικό αριθμό. Κατά τη διάρκεια του επόμενου τετάρτου της ώρας προφέρουμε τον δεύτερο φυσικό αριθμό. Συνεχίζοντας έτσι διαιρώντας με το δύο το διάστημα που απομένει μέχρι το τέλος της ώρας προφέρουμε τους επόμενους διαδοχικούς αριθμούς. Επειδή πάντοτε παραμένει ένα διάστημα του χρόνου, μπορούμε να ισχυριστούμε πως μπορούμε με τη διαδικασία αυτή να προφέρουμε όλους τους φυσικούς αριθμούς μέσα σε μια ώρα! » Ποιο είναι το παράλογο στην περίπτωση αυτή; Ποια είναι η αντίφαση στην οποία οδηγείται εκείνος που το διαβάζει; Αν το δούμε πιο προσεκτικά τότε μπορούμε να ισχυριστούμε δύο πράγματα: 1ο ) Εφόσον στα άπειρα χρονικά διαστήματα έχουμε προφέρει κι από έναν φυσικό αριθμό ξεκινώντας από τον πρώτο άρα έχουμε αντιστοιχίσει σ‛ αυτά άπειρους φυσικούς αριθμούς. Αυτό δείχνει πως οι φυσικοί αριθμοί είναι άπειροι. 2ο) Εφόσον ο χρόνος που χρειαστήκαμε να προφέρουμε όλους τους φυσικούς αριθμούς είναι πεπερασμένος(μία ώρα), άρα και οι φυσικοί αριθμοί είναι σε πλήθος πεπερασμένοι. Αυτό είναι και το παράδοξο. Δηλαδή οι φυσικοί αριθμοί δεν μπορεί ταυτόχρονα να είναι σε πλήθος άπειροι και ταυτόχρονα σε πλήθος πεπερασμένοι. Αν προσέξουμε καλύτερα το παράδοξο αυτό, τότε θα συμπεράνουμε πως για να προφέρει κανείς τον αριθμό «ένα» θα χρειαστεί ένα χρονικό διάστημα ίσο με

No:254


τριάντα λεπτά( 160 2 ), για να προφέρει τον αριθμό «δύο» θα χρειαστεί δεκαπέντε

λεπτά( 260 2 ), τον αριθμό «τρία» εφτά και μισό λεπτά( 360

2 ).

Έτσι όμως για να προφέρει τον αριθμό «εκατό» θα πρέπει να αξιοποιήσει χρόνο ίσο με τον αριθμό:

29100 100

60 4,733165431 10 min2

t −= = Χ


330. Αν οι αριθμοί , ,x y ω είναι θετικοί πραγματικοί, να δειχθεί ότι:

( ) ( )22 2 2 2 6 3x y x y x yω ω ω+ + + + + ≥ ⋅ ⋅ + (Γιώργος Απο

Documents

2 200 - pe03.gr · 2018-07-19 · έργο του «Παρμενίδης», ο Ζήνων εμφανίζεται να διαβάζει ένα βιβλίο μέσα από το οποίο