Лекция 2. Позиционныеметоды

Позиционный метод основан на определенииместоположения объекта путем засечек, представляющих собой точку пересечения двух илиболее линий (поверхностей) положения, относительноизвестных ориентиров

1 R

2RA

Б

С

Д

.

..

.

X

Y

O

2 2

1 ( ) ( )А С Д А С ДR x x y y

2 2

2 ( ) ( )Б С Д Б С ДR x x y y

Координаты точек А и Бизвестны (радиомаяки).

Измеряются дальности R1 и R2

Объект находится в точке Сили Д

Типы позиционныхметодов

• Дальномерный метод

• Разностно-дальномерный метод

• Суммарно-дальномерный метод

• Угломерный метод

• Дальномерно-угломерный метод

• Псевдодальномерный метод

• Радиально-скоростной метод

• Разностно-радиально-скоростной метод

• Псевдорадиально-скоростной метод

Дальномерный методДальномерный метод позволяет определитьпространственные координаты объекта путём измерениядальностей R1, R2, R3 до трёх точек с известнымикоординатами: 1 1 1, ,x y z 2 2 2, ,x y z 3 3 3, ,x y z

To o o - неизвестные координаты объекта, находятся из решения

системы уравнений:

x y zx

2 2 21 1 o 1 o 1 o

2 2 22 2 o 2 o 2 o

2 2 23 3 o 3 o 3 o

R x x y y z z

R x x y y z z

R x x y y z z

Итерационный метод решения:

T

0

1T T

1 1

, 0 0 0 ,

k k k

R f x x

f x f x f xx x R f x

x x x

Разностно - дальномерный методРазностно-дальномерный метод основан наиспользовании разностей расстояний объекта до парточек с известными координатами. На входе: разностидальностей, на выходе: координаты объекта.

1R

2R

2 1 constR R

3 4 constR R

3R

4R

b

Линии положения –гиперболы. Объектнаходится в точкепересечения линийположения

* Разностно-дальномерный методприменяют когда дальности до маяковнайти нельзя, но можно найти разностидальностей

Угломерный методУгломерный метод основан на использовании в качествеНП угловых направлений (пеленгов) на точки сизвестными координатами. На входе: пеленги, навыходе: координаты объекта.

Линии положения в плоскости –лучи, в пространстве – конусы.

1

2

1

2

1

1

1 2

2 1

1 2

2 1

1 2

, - опорные точки (напр. радиомаяки)

расстояние между опорными точками

cos ' sin '

sin ' '

cos ' cos '

sin ' '

C O

C O

O O

L

Lx x

Ly y

Дальномерно-угломерный метод

Дальномерно-угломерный метод основан наиспользовании следующих НП:

- дальности до опорной точки

- углов пеленга на опорную точку

Пример на плоскости:

1 1

1

1

1 - опорная точка (напр. радиомаяк)

, известные координаты опорной точки

, - НП, полученные в результате измерений

sin

cos

O O

C O

C O

O

x y

R

x x R

y y R

R

Радиально-скоростной методВ качестве НП используются радиальные скоростиотносительно опорных точек, полученные на основеизмерений доплеровского смещения частоты. Навыходе формируется оценка вектора скорости объекта.

Координаты опорных точек икоординаты объекта считаютсяизвестными. Вектор скоростиопределяется в результате решениясистемы уравнений:

O1

.V

.O3

O2

.

3Rv 90

C

90

1Rv

2Rv

.

1 2

1 2

1 2

3

3

3

T T

T

,C O C O

R R

C O C O

C O

R

C O

v v

v

x x x xV V

x x x x

x xV

x x

Разностно-радиально-скоростной метод

На входе:

1. Находят тангенциальные скорости:

1 2 3 4

1 2 1 2

радиальная скорость относительно точки

, разности радиальных скоростей

относительно опорных точек, которые эквивалентны

угловым скоростям и относительно баз и

R

R R R R

v R D

v v v v

b b

VvR

1vR2

vR

1 2v vR R

2b

1

тvò1 1 ò2 2, , ãäå C Dv R v R R CD x x

2. Находят направляющие векторыбазовых линий:

3 41 2

1 2

1 2 3 4

, , ,O OO OC D

DC b bC D O O O O

x xx xx xr r r

x x x x x x

3. Находят вектор скорости объекта:

1 2ò1 ò2R DC b bv v v V r r r

Дано:

1. Вектор измерений дальностей (N измерений):

2. Координаты N опорных точек (радиомаяков, навигационныхспутников), записанные в векторном виде:

Найти: вектор координат объекта

Практическое определение координатобъекта дальномерным методом

T

1 2 , *- измерениеNR R RR

На практике количество измерений дальности обычно больше трёх. Чтобы повысить точность координатных определений, для решениясистемы уравнений применяют метод наименьших квадратов (МНК).

П О С Т А Н О В К А Н А В И Г А Ц И О Н Н О Й З А Д А Ч И

To o ox y zx

TT T1 1 1 1 2 2 2 2, , N N N Nx y z x y z x y z x x x

Решение навигационной задачи

2 2 2

o o o

1

2

,

где * - квадратичная норма, отсюда

i i i i i

N

R x x y y z z

x x

x x

x xR f x

x x

1. Запишем функциональную связь между измеряемойдальностью и координатами объекта

min R f x

2. Применим МНК, который минимизирует квадратичнуюнорму вектора невязок:

Вектор невязок

Решение навигационной задачи

o o

2 2 2o

o o o

T

1

1

T

2

2

T

, отсюда

градиентная матрица размером 3

i ii

ii i i

N

N

x x x xR

x x x y y z z

N

x x

x x

x x

x xf x

H x x xx

x x

x x

3. Для применения МНК найдем производную функцииf(x), связывающей вектор измерений с векторомсостояния, по вектору состояния x. Эта производнаяназывается градиентной матрицей:

Решение навигационной задачи

T

0

1T T

1 1 1 1 1

0 0 0 - начальное приближение,

- номер итерации

k k k k k k

k

x

x x H x H x H x R f x

4. Находим вектор состояния x, пользуясь итеративнымалгоритмом, суть которого и есть МНК:

Критерий останова:

1

- требуемая точность

k k

x x

Сходимость МНК

Геометрический факторНе при любой геометрии взаимного расположениярадиомаяков и объекта решение навигационной задачивозможно

1R2R

3R

1R2R

3R

Геометрический фактор

X RPDOP

Не определение: пространственный геометрическийфактор (PDOP) – это коэффициент ухудшения точностиопределения пространственных координат по сравнениюс точностью измерений дальности.

PDOP – “Positioning Dilution of Precision”

Геометрический фактор можно найти по градиентнойматрице H из алгоритма МНК:

1Ttrace

(trace * след матрицы)

PDOP

H H