Kafes sistemler

Ağırlık merkezi

Atalet momenti

Yayılı yükler

2. Ara sınav -özet

2

YAPISAL ANALİZ

Düğüm Noktaları Yöntemi

3

Bir kafes sistem dengedeyse, her bir düğüm noktası da dengede olmalıdır. Düğüm noktaları yöntemi bu esasa dayanır, çünkü bu yöntem, kafes sistemin her bir düğüm noktasına etkiyen kuvvetler için denge koşullarının sağlanmasından ibarettir.

Kafes sistemin çubuklarının hepsi, aynı düzlem içinde yer alan iki kuvvetli elemanlar olduğundan, her bir mafsala etkiyen kuvvetler düzlemseldir ve aynı noktadan geçer.

Bunun sonucunda, düğüm noktasında, dönme veya moment dengesi kendiliğinden sağlanır ve yalnızca, öteleme veya kuvvet dengesi için Fx=0 ve Fy=0 denklemlerini sağlamak gereklidir.

Düğüm noktaları yöntemini kullanırken, denge denklemlerini uygulamadan önce, ilk olarak düğüm noktasının serbest cisim diyagramını çizmek gerekir. Düğüm noktasına etkiyen her bir çubuk kuvvetinin etki çizgisi, kafes sistemin geometrisinden belirlenir, çünkü bir çubuktaki kuvvet, o çubuğun ekseni doğrultusundadır.

4

B noktasına etkiyen 500 N’luk kuvveti

düşünerek, B noktasının serbest cisim

diyagramını çizelim:

BA çubuk elemanı çekme kuvveti, BC

çubuk elemanı basınç kuvveti etkisindedir.

Basit kafes analizinde, en az bir bilinen

kuvvet ve en fazla iki bilinmeyen kuvvete

sahip bir düğüm noktasından başlanmalıdır.

Bu şekilde, Fx=0 ve Fy=0

denklemlerinin uygulanması, iki

bilinmeyenin çözülebildiği iki cebirsel

denklem verir.

Aynı düzlemdeki kuvvet sistemi :

5

Kafes elemanlarda, oluşan bilinmeyen kuvvetlerin doğru yönleri iki farklı yöntemle kullanılabilir: Serbest cisim diyagramındaki bilinmeyen çubuk kuvvetlerinin çekme olduğu

varsayılır. Denge denklemlerinde, çekme etkisindeki çubuklar için pozitif skaler ve basınç etkisindeki çubuklar için negatif skaler verir. Denklemlerin sonucunda, çözüm pozitif çıkarsa elaman çekme, negatif çıkarsa basınç kuvveti etkisi altındadır. Bilinmeyen kafes elemanı kuvvetlerinin şiddetleri ve doğru yönleri, sonraki düğüm noktası serbest cisim diyagramlarında kullanılır.

Bilinmeyen bir çubuk kuvvetinin doğru yönü, “tetkik” yoluyla belirlenebilir. Örneğin, B noktasındaki denge düşünüldüğünde, FBC’nin yatay bileşeni 500 N’luk kuvveti dengelemelidir (Fx=0). Aynı şekilde, FBC’nin düşey bileşenini FBA dengelemektedir (Fy=0).

Kesit (Kesim) Yöntemi

6

Kesit yöntemi, cisim içinde etkiyen yükleri belirlemede kullanılır. Bu yöntem dengedeki bir cismin bütün parçalarının da dengede olması ilkesine dayanır.

Bir kafes sistemini analiz ederken, bazen sadece belirli elemanların kuvvetlerini bulmamız gerekebilir. Bu durumda kesit yöntemi kullanılır.

Yöntemi uygulamak için, cismi iki parçaya bölen hayali bir kesim yapılır. Parçalardan birinin serbest cisim diyagramı çizildiği takdirde, diyagram kesite etkiyen yükleri içermelidir. Kesitteki yükü belirlemek için parçaya denge denklemleri uygulanır.

7

Çekme

çubuğu

Basınç

çubuğu

Örneğin, şekilde gösterilen iki kafes sistem elemanını göz önüne alalım:

Mavi çizgiyle gösterilen kesitteki iç yükler, sağdaki serbest cisim diyagramlarından biri

kullanılarak bulunabilir. Dengenin, çekme etkisindeki çubuğun kesitte T “çekme”sine, basınç

etkisindeki çubuğunsa C “itme”sine maruz kalmasını gerektirdiği açıktır.

8

Kesit yöntemi, bir kafes sistemin elemanlarını kesmek için de kullanılabilir. Kafes sistemin iki parçasından biri serbest cisim diyagramı olarak soyutlanırsa, kesilen elemanların iç kuvvetleri ortaya çıkar ve “kesit”teki çubuk kuvvetlerini belirlemek için bu parçaya denge denklemleri uygulanır. Kafes sistemin soyutlanmış parçasına sadece üç bağımsız denge denklemi (Fx=0, Fy=0, MO=0) uygulanabildiği için, kafesi kestiğimiz yerde eleman kuvvetlerini bilmediğimiz maksimum üç eleman olmak zorundadır.

Örnek olarak, aşağıdaki kafes sistemini ele alalım: GC çubuğundaki kuvvet belirlenecekse “a-a” kesiti uygun olacaktır.

9

İki parçanın serbest cisim diyagramları aşağıda görülmektedir:

10

Her bir çubuk kuvvetinin etki çizgisi kafes sistemin

geometrisinden belirlenir, çünkü çubuktaki kuvvet çubuk

ekseni doğrultusundadır.

Ayrıca, kafes sistemin bir parçası üzerine etkiyen çubuk

kuvvetleri diğer parçaya etkiyenlere eşit, fakat zıt yönlüdür

(Newtonun 3. kanunu).

BC ve GC elemanları “çekme”ye, GF ise basınca

çalışmaktadır.

BC, GC ve GF elemanlarındaki bilinmeyen kuvvetler, serbest cisim diyagramlarından herhangi biri

kullanılarak bulunabilir.

Ancak, sağdaki serbest cisim diyagramı

kullanılırsa, önce Dx, Dy ve Ex mesnet tepkileri

bulunmalıdır. Çünkü sadece üç denge denklemi

bulunmaktadır.

11

Denge denklemleri uygulanırken, bütün denklemlerin ortak çözümünü bulmak yerine, denklemleri, bilinmeyenlerin her birini doğrudan elde edecek şekilde yazmanın yolları aranmalıdır. Örneğin,

• Sol kesitte, C noktasına göre momentler toplamından FGF doğrudan elde edilir, çünkü FBC ve FGC C’ye göre sıfır moment üretir.

• Aynı şekilde FBC G’ye göre momentler toplamından elde edilir. FGC ise düşey yöndeki kuvvetler dengesinden bulunur.

NOT: GC çubuğundaki kuvveti belirlemek için düğüm noktaları yöntemi kullanılsaydı, A, B

ve G düğüm noktalarında denge denklemlerinin yazılması gerekirdi.

12

Düğüm noktaları yönteminde olduğu gibi, kesme yönteminde de bilinmeyen çubuk kuvvet yönünün belirlenmesinde iki yol vardır: Daima kesitteki bilinmeyen çubuk kuvvetlerinin çekme etkisinde olduğu, yani

çubuğu çektiği varsayılır. Böylece, sayısal çözüm, çekme elemanları için pozitif, basınç elemanları için negatif sonuç verir.

Bilinmeyen çubuk kuvvetinin yönü, tetkik yöntemiyle de bulunabilir. Örneğin, şekilde BC elemanında oluşan kuvvet çekme olarak gösterilmiştir. Çünkü G noktasına göre moment dengesi, 1000 N’luk kuvvetin oluşturduğu moment etkisini dengeleyecek şekilde olması gerekir.

Kütle Merkezi ve

Merkezler

Konular:

Kütle/Ağırlık merkezleri

Merkez kavramı

Merkez hesabına yönelik yöntemler

Ele alınan düzlemsel alan; basit geometrik şekillere ayrılamıyorsa; yukarıdaki bağıntılar aşağıdaki gibi;

sürekli ortam, diğer bir deyişle integral ifadesine dönüştürülmelidir.

n

i

i

n

i

ii

A

Ax

nx

1

1

)(

).(lim

n

i

i

n

i

ii

A

Ay

ny

1

1

)(

).(lim

A

S

dA

dAx

xy

A

A

.

A

S

dA

dAy

y x

A

A

.

Burada; A: Düzlemsel yüzeyin toplam alanını

Sy: y eksenine göre "statik momenti" (birimi m3, cm3…)

Sx: x eksenine göre "statik momenti" (birimi m3, cm3…) göstermektedir.

Ağırlık merkezi ve alan merkezi kavramları

Basit geometrik şekillerin ağırlık merkezleri

G h

2

hy

b

2

bx

DİKDÖRTGEN

(b=h İSE KARE)

hbA .

Ağırlık merkezi ve alan merkezi kavramları

Basit geometrik şekillerin ağırlık merkezleri

G h

3

hy

b

2

bx

EŞKENAR VE

İKİZKENAR ÜÇGEN

2

.hbA

Ağırlık merkezi ve alan merkezi kavramları

Basit geometrik şekillerin ağırlık merkezleri

G h

3

hy

b

3

bx

DİK ÜÇGEN

2

.hbA

Ağırlık merkezi ve alan merkezi kavramları

Basit geometrik şekillerin ağırlık merkezleri

G

3

4ry

rx

YARIM DAİRE

VE

ÇEYREK DAİRE

2

. 2rA

O r r

rx

3

4rx

4

. 2rA

G

r r O

r

3

4ry

Ağırlık merkezi ve alan merkezi kavramları

KT 19

Kompozit Alanların Merkezleri

Bileşik cisim, dikdörtgen, üçgen, yarım daire şeklinde birbirine bağlı basit şekilli cisimlerden

oluşur. Böyle bir cisim genellikle parçalara bölünür, bu parçaların herbirinin ağırlığı ve ağırlık

merkezinin konumu bilinirse, tüm cismin ağırlık merkezini belirlemek için integral işlemine

gerek kalmaz.

Basit geometrik alanların oluşturduğu kompozit alanların merkezlerinin bulunması için,

kompozit alanı oluşturan bileşenlerin merkezleri kullanılır.

1

3

2

y

x

Ortak x ve y eksenlerine göre, her üç şeklin alan

momentleri hesaplanarak bu kompozit alanın

ağırlık merkezi bulunur.

321

321

AAA

AAAA

dAdAdA

xdAxdAxdA

dA

xdA

xİntegral yöntemi ile:

KT 20

1 3 2

y

x

3x

1x

2x

i

ii

i

ii

A AA A

A A

A

A

A

Ayy

A

Axx

AAA

AxAxAxx

dAxxdAvedAxxdA

AxdAxxdAdA

xdA

x

321

332211

32

1111

3 32 2

1 1

1

1

KT 21

ATALET

MOMENTLERİ

KT 22

ATALET MOMENTLERİ

Şekilde gösterilen x-y düzlemindeki A alanını

gözönüne alalım. dA düzlemsel diferansiyel alanın x

ve y eksenlerine göre atalet momentleri;

İle tanımlanır. Tüm alan için atalet momentleri

integralle belirlenir:

dAxdI

dAydI

y

x

2

2

y= dA’nın x eksenine uzaklığı

x= dA’nın y eksenine uzaklığı

Alanların ikinci

momenti

momentiataletgöreeksenineydAxI

momentiataletgöreekseninexdAyI

A

y

A

x

.

.

2

2

KT 23

ALAN için PARALEL EKSENLER TEOREMİ

Birinci integral, alanın geometrik merkez eksenine göre atalet momentidir.

İkinci integral, sıfırdır. Çünkü, x’ ekseni alanın geometrik merkezinden geçer,

Üçüncü integral, toplam alanı verdiğinden

00 dAydAyy

AddAdAdA yy

A

22

Bu durumda,

222

yxyx AdIAddAyI x’ eksenine paralel diğer bir

eksen Ağırlık merkezinden geçen x’

eksenine göre atalet momenti

dik uzaklık

Steiner teoremi

KT 24

Benzer ifade y ekseni (Iy) için yazılabilir:

2

xyy AdII

Ağırlık merkezinden geçen

y’ eksenine göre atalet

momenti

Toplam alan

y ekseninin y’ eksenine olan

dik uzaklığı

x’ ve y’ eksenleri, ağırlık merkezinden (C noktasından) geçmektedir.

Steiner teoremi

KT 25

Alan Atalet Momentinin İntegralle Bulunması

• Eğer eğri y=f(x) şeklinde tanımlanabiliyorsa, sonlu uzunlukta (x veya y) ama diferansiyel

genişlikte (dx veya dy) bir dikdörtgen eleman seçerek hesap yapılabilir.

•dA alanına sahip diferansiyel eleman, eğriyi bir (x,y) noktasında kesecek şekilde seçilmelidir.

KT 26

1.durum:

Elemanın uzunluğu eksenlere paralel seçilebilir. Dikkat edilirse, diferansiyel dikdörtgen elemanlar, x-

eksenine göre atalet momenti bulunurken x-eksenine paralel, y eksenine göre atalet momenti

bulunurken ise y-eksenine paralel seçilmiştir. Bu durumda aşağıdaki formüller kullanılabilir:

ydxdAxdydA

dAxIvedAyI yx

22

KT 27

2.durum:

Elemanın uzunluğu eksene dik seçilirse, moment kolu x ve/veya y seçilen dikdörtgen için sabit

olmamaktadır. Bu durumda, paralel eksenler teoremi kullanılmalıdır.

Önce elemanın kendi geometrik merkezinden geçen yatay bir eksene göre atalet momenti

hesaplanmalı, daha sonra paralel eksen teoremi kullanılarak elemanın x veya y eksenine göre atalet

momenti belirlenmelidir.

KT 28

KOMPOZİT ALANLARIN ATALET MOMENTLERİ

Kompozit alanlar, yarım daire, dikdörtgen ve üçgen gibi bir dizi basit parça veya şekilden

oluşur. Bu parçaların her birinin ortak bir eksene göre atalet momenti biliniyor veya

belirlenebiliyorsa, kompozit alanın atalet momenti, tüm parçaların atalet momentlerinin

cebirsel toplamına eşit olur.

Analizde izlenecek yol:

Parçalar: alan parçalara ayrılır ve her bir parçanın ağırlık

merkezlerinden referans eksene olan dik uzaklıklar

belirlenir.

Paralel eksen teoremi: eğer parçaların merkezlerinden

geçen eksenler referans ekseniyle çakışmıyorsa paralel

eksen teoremi kullanılmalıdır.( ; :parçaların

ağırlık merkezinden geçen eksenlere göre atalet

momenti)

Toplam: Tüm alanın referans eksene göre atalet

momenti, parçalar için elde edilen sonuçlar toplanarak

bulunur. Kompozit alanda boşluk varsa, bu boşluğun

atalet momenti toplamdan çıkartılır.

2AdII I

KT 29

Basit geometrik şekillerin atalet momentleri

G h

2

hy

b

2

bx

DİKDÖRTGEN

(b=h İSE KARE)

hbA .

x

y

x

y

O

3

3

bhI x 3

3hbI y

3

12

bhI x 12

3hbI y

KT 30

Bazı Şekillerin Atalet Momentleri

KT 31

KT 32

Yayılı Yükler

Bir çok durumda, cismin çok büyük bir yüzey alanı, rüzgarın, akışkanların neden olduğu veya

sadece cismin yüzeyi aracılığıyla taşınan malzeme ağırlığı gibi yayılı yüklere maruz kalabilir.

Bu yüklerin yüzey üzerindeki her bir noktadaki şiddeti N/m2 birimi ile ölçülebilen p basıncı

olarak tanımlanır.

Yayılı Yükler (özel olarak kirişlerde yayılı yükler)

A B

M P1 P2

kiriş ekseni

- P1 ve P2 tekil kuvvetler

- M tekil moment

- Özel durumlar dışında; genel olarak tekil kuvvet ve momentler gerçekte yoktur. Gerçekte

kuvvetler, belli bir yüzey üzerinde veya bir hacim içinde yayılıdır. Genelde kuvvetler; temas

yüzeyine, ağırlık kuvvetleri ise hacme yayılıdır.

- Kuvvetlerin yayılı olduğu yüzey veya hacim küçük ise; kuvvetler tekil kuvvet olarak dikkate

alınırlar. Ancak yüzey ve hacimler ihmal edilemeyecek kadar büyük ise yayılı yükler dikkate

alınmalıdır.

A

kiriş ekseni

L

B

Düzgün yayılı yük (örneğin; duvar

yükü, zati yük vb.)

A

kiriş ekseni

L

B

Düzgün yayılı üçgen yük

q (t/m; kg/cm...) q (t/m; kg/cm…)

Yayılı Yükler (özel olarak kirişlerde yayılı yükler)

Yayılı Yükler (özel olarak kirişlerde yayılı yükler)

A

kiriş ekseni

L

B

Düzgün yayılı trapez

(yamuk) yük

q2

q1

A

kiriş ekseni

L2

B

Değişken üçgen yayılı yük (döşemeden

kirişe aktarılan yük)

q

L

L1

Yukarıda gösterildiği gibi, kirişlere etkiyen yayılı yükler, kiriş eksenine dik yönde uygulanan yüklerdir. Yayılı

yükler yerine, şiddeti yayılı yüke eşit tekil (=konsantre) bir yük yazılabilir. Bu yükler ve etkidiği yerler

sonraki slaytta sunulmuştur.

A B

Düzgün yayılı yük (örneğin; duvar

yükü, zati yük vb.)

A B

Düzgün yayılı üçgen yük

q (t/m) q (t/m)

Yayılı Yükler (özel olarak kirişlerde yayılı yükler)

L/2

L

L/2

R=q.L (ton) R=q.L/2 (ton)

L/3

L

2L/3

Yayılı Yükler (özel olarak kirişlerde yayılı yükler)

A B

Trapez; dikdörtgen ve üçgen

olmak üzere 2 elemana

ayrılır.

q2

q1

A

kiriş ekseni

L2

B

2 farklı üçgen tek-tek dikkate

alınır.

q

L

L1

R1=q1.L

R2=(q2-q1).L/2

L/2

L

L/2

L/3 2L/3 2L1/3

R1=q.L1/2 R2=q.L2/2

L1/3 2L2/3 L2/3