2. Függvények · Gordiusz Matematika Tesztverseny 2007; 11. osztály, megyei forduló 23. A valós számokon értelmezett B( T) függvényre bármely T≠0 esetén igaz, hogy 2∙

1

2. Függvények

I. Feladatok 1. Az 푦 = |푥 − 1| + |푥 + 1|függvény grafikonja és az 푦 = 푐 egyenletű egyenes által közrezárt

síkidom területe 30. Mekkora a 푐 állandó értéke?

KöMaL 2001. május; C. 631.

2. Hány zérushelye van az 푎 paramétertől függően az

푓(푥) = 푥 + 4푥 + 4 − 푎,ℎ푎푥 ≤ 0,푥 − 4푥 + 푎,ℎ푎푥 > 0

hozzárendeléssel megadott függvénynek?

KöMaL 2013. március; C. 1106.

3. Adott az

푓(푥) =(푥 + 푎)

(푎 − 푏)(푎 − 푐)+

(푥 + 푏)(푏 − 푎)(푏 − 푐)

+(푥 + 푐)

(푐 − 푎)(푐 − 푏)

hozzárendelésű függvény, ahol 푎, 푏 és 푐 különböző valós számok. Határozzuk meg a függvény értékkészletét.

KöMaL 2010. szeptember; C.1043.

4. Az 푓: 푹 → 푹 függvényről tudjuk, hogy 푓(1) = 0, másrészt bármely két valós (푥, 푦) számra |푓(푥) − 푓(푦)| = |푥 − 푦|. Határozzuk meg az 푓 függvényt!

KöMaL 1983. február; Gy. 2103.

5. Legyen a valós számok halmazán értelmezett 푙푎푐(푥) függvény hozzárendelési szabálya a következő:

푙푎푐(푥) = 푥,ℎ푎푥휖[2푛; 2푛 + 1],푎ℎ표푙푛휖풁,−푥 + 4푛 + 3,ℎ푎푥휖]2푛 + 1; 2푛 + 2[,푎ℎ표푙푛휖풁.

Oldjuk meg a 푙푎푐(2푥 + 푥 + 4) = 푙푎푐(푥 + 7푥 − 1) egyenletet a valós számok halmazán.

KöMaL 2010. május; C.1038.

6. Legyen 푓(푥) = 푥 − 6푥 + 5. Ábrázoljuk a derékszögű koordináta-rendszerben azokat a 푃(푥; 푦) pontokat, amelyek (푥; 푦) koordinátáira

푓(푥) − 푓(푦) ≥ 0.


7. Az 푓(푥) = 푎푥 + 푏푥 + 푐 másodfokú függvénynek (푥 ∈ 푹) egy zérushelye van. Az 푓(푥) függvény minimumhelye 푥 = 푐. Mekkora lehet az 푎푐 szorzat értéke?

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2011/2012; haladók, I. kategória, 1. forduló

2

8. Mi a legkisebb értéke a következő kifejezésnek:

푓(푥) = (푥 − 1)(푥 + 2)(푥 + 3)(푥 + 6)?

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 1971; haladók, 1. forduló

9. Határozzuk meg azokat a lineáris 푓(푥), 푔(푥), ℎ(푥)(푥 ∈ 푹) függvényeket, amelyekre

퐹(푥) = |푓(푥)| − |푔(푥)| + ℎ(푥) =−1,ha푥 < −1.3푥 + 2,ha − 1 ≤ 푥 < 0,−2푥 + 2,ha0 ≤ 푥.

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013; kezdők, I-II. kategória, 2. forduló III. kategória, 1. forduló

10. Jelölje 푷 a prímszámok halmazát! Legyen 푓: 푷 → 푹,푥 ↦ , ahol {푧} a 푧 szám törtrészét

jelöli, (azaz {푧} = 푧 − [푧] és [푧] a 푧 egészrésze, vagyis az a legnagyobb egész szám, amely 푧-nél nem nagyobb)! Mi az 푓 függvény értékkészlete?


11. A valós számok halmazán értelmezett másodfokú 푓(푥) függvény minden 푥 számra eleget tesz a

3 ∙ 푓(푥) + 푓(2 − 푥) = 푥 egyenlőségnek.

Hány olyan, 2005-nél nem nagyobb természetes szám van, amelyre igaz, hogy

푓(푥) >134?

OKTV 2005/2006; I. kategória, 1. forduló

12. A minden valós számra értelmezett 푓(푥) függvényre 푓(푥 + 1) + 3푓(−푥) = |푥| teljesül. Adjuk meg az 푓 zérushelyeit!

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2008/2009; haladók, III. kategória, 2. forduló

13. Legyen 푓 az 푥 = 1 hely kivételével minden valós számra értelmezett olyan függvény, amely bármely 푥 ≠ 0 esetén eleget tesz az

푓(푥) + 3푓1푥

=푐푥

푥 − 1

egyenletnek. Számítsuk ki a 푐 valós paraméter értékét, ha tudjuk, hogy:

lim→

푓(푥) = 5.

OKTV 1978; 2. forduló

3

14. Adjuk meg a valós számoknak azt a legbővebb részhalmazát, amelyen az alábbi 푓 függvény értelmezhető, és határozzuk meg a függvény értékkészletét ezen az értelmezési tartományon.

푓(푥) = 1 − 푥 − √2 − 푥.

OKTV 2008/2009; II. kategória, 2. forduló

15. Mutassuk meg, hogy a valós számokon értelmezett

푓(푥) = sin 푥 + sin 푥 ∙ √2

függvény sohasem veszi fel a +2 illetve −2 értékeket!

OKTV 1984; speciális matematika tantervű osztályok versenye; 3. fordulós feladat részlete

16. Az 푓 függvény értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, és a függvény értékei is pozitív egészek. Határozzuk meg az összes olyan 푓 függvényt, amelyre teljesül, hogy minden pozitív egész 푛 esetén

푓 (푖) = 푓 (1) + 푓 (2) +⋯+ 푓 (푛) = (푓(1) + 푓(2) + ⋯+ 푓(푛)) = 푓(푖)


17. Határozzuk meg azt az 푓 függvényt, amely

a) minden nemnegatív egészhez nemnegatív egész számot rendel hozzá, különböző egészekhez különböző egészeket;

b) minden nemnegatív egész 푛-re kielégíti az

푓 (0) + 푓 (1) + ⋯+ 푓 (푛) ≤푛(푛 + 1)(2푛 + 1)

6

egyenlőtlenséget.

Nemzetközi Magyar Matematika Verseny 1995.

18. A természetes számok halmazán értelmezett 푓 függvényre teljesül a következő egyenlőség:

푓(1) + 2 푓(2) + 3 푓(3) +⋯+ 푛 푓(푛) = 푛 푓(푛)

tetszőleges 푛 ≥ 1 esetén. Határozzuk meg 푓(2008) értékét, ha 푓(1) = 2008!


19. Egy minden valós számra értelmezett 푓 függvény minden (푥; 푦) valós számpárra kielégíti a következő egyenlőtlenségeket:

푓(푥) ≤ 푥

푓(푥 + 푦) ≤ 푓(푥) + 푓(푦).

Bizonyítsuk be, hogy minden valós 푥-re 푓(푥) = 푥.

A Kürschák József Matematikai Tanulóverseny 1979. évi 2. feladata

4

20. A 푔(푥) = | | + | | függvény értelmezési tartománya: 푹\{0; 9}, értékkészlete:

(퐴){0} (퐵){2} (퐶){0; 2} (퐷){−2; 2} (퐸){−2; 0; 2}

Gordiusz Matematika Tesztverseny 2000; 9. osztály, megyei forduló

21. Az ábrán az 푓(푥) függvény grafikonja látható. Hány megoldása van az |푓(푥)| − 1 = egyenletnek a [−2; 2]intervallumon?

(퐴)2 (퐵)4 (퐶)5 (퐷)6 (퐸)8


22. Melyik az a legnagyobb valós szám, amelyre az 푓(푔(푥)) ≤ 푔(푓(푥)) egyenlőtlenség igaz, ha 푓(푥) = 3 − 1 és 푔(푥) = 3푥 + 2?

(퐴) − 2 (퐵) − 0,5 (퐶)0 (퐷)0,5 (퐸) Nincs ilyen szám.


23. A valós számokon értelmezett 푓(푥) függvényre bármely 푥 ≠ 0 esetén igaz, hogy

2 ∙ 푓(푥) + 푓 = 5푥 + 4. Jelölje 푆 azon valós 푥-ek összegét, amelyekre 푓(푥) = 2007. Melyik az 푆-hez legközelebbi egész szám?

(퐴) − 1 (퐵)0 (퐶)602 (퐷)5014 (퐸)6021

Gordiusz Matematika Tesztverseny 2007; 12. osztály, döntő

24. Legyen 푓(푥) = 16 + (3 − 푥) + 64 + (9 − 푥) . Határozzuk meg a függvény minimum-helyét és a minimum értékét!

25. Határozzuk meg azt az 푓: 푅 → 푅; 푓(푥) = 푥 + 푏푥 + 푐(푏 és 푐 valós állandók) alakú másodfokú függvényt, amelyhez van olyan 푝 számérték, amelyre

푓(푝) = 2푝 ,푓(2푝) = 3푝 + 1,푓(3푝) = 4푝 + 4

egyidejűleg teljesül! Mennyi a 푝 értéke?

Írásbeli felvételi feladat a műszaki főiskolák nulladik évfolyamai számára 1998

5

26. a) Határozza meg a valós számoknak azt a legbővebb 퐻 halmazát, amelyen a log (sin 푥 + cos 푥) kifejezés értelmezhető!

b) Mi a fenti 퐻 halmazon az 푓(푥) = log (sin 푥 + cos 푥) képlettel definiált 푓 függvény

értékkészlete?

c) Hol monoton növekedő ez az 푓 függvény?

Írásbeli érettségi-felvételi feladat; 2001

27. Határozza meg a következő függvény értelmezési tartományát:

푓(푥) =4푥 − 13푥 + 3−푥 + 3푥 + 10

.

Nemzetközi Előkészítő Intézet vizsgadolgozatának feladata; 1981

28. Állapítsa meg a valós számok halmazának azt a legbővebb részhalmazát, amelyen a következő kifejezések értelmezhetőek! Adja meg a kifejezések legnagyobb és legkisebb értékét!

a) log 0,5 ;

b) √1 − sin 푥;

c) log 0,5 ∙ √1 − sin 푥.

Közgazdaságtudományi egyetemekre és főiskolákra felvételizők írásbeli érettségi-felvételi feladata; 1992

29. Adja meg a valós számoknak azt a legbővebb részhalmazát, amelyen az alábbi függvények értelmezhetőek:

a) 푥 ↦

b) 푥 ↦ tg푥 c) 푥 ↦ tg√푥.

Írásbeli érettségi-felvételi feladatok; 1998

30. Legyen 푝 valós paraméter. Tekintsük a valós számok halmazán értelmezett 푓 függvényt, amelynek hozzárendelési szabálya 푓(푥) = −3푥 + (푝 − 3)푥 + 푝 푥 − 6.

a) Számítsa ki a ∫ 푓(푥)푑푥 határozott integrál értékét, ha 푝 = 3!

b) Határozza meg a 푝 értékét úgy, hogy az 푥 = 1 zérushelye legyen az 푓 függvénynek!

c) Határozza meg a 푝 értékét úgy, hogy az 푓 függvény deriváltja az 푥 = 1 helyen pozitív legyen!

Emelt szintű érettségi vizsga; 2012. május 8.

6

31. Legyen 푓(푥) = − + + − 푎, ahol 푎 pozitív valós szám és 푥 ∈ 푹.

a) Igazolja, hogy ∫ 푓(푥) 푑푥 = −푎 + 푎.

b) Mely pozitív 푎 számokra teljesül, hogy ∫ 푓(푥)푑푥 ≥ 0 ?

c) Az 푥 mely pozitív valós értéke esetén lesz a 푔(푥) = −푥 + 푥 függvénynek lokális (helyi) maximuma?


32. a) Ábrázolja függvény-transzformációk segítségével a [−3; 4] intervallumon az 푥 ↦ 푥 − 2|푥| − 3 hozzárendelési szabállyal megadott függvényt!

b) Legyen az 푓, 푔és ℎ függvények értelmezési tartománya a valós számok halmaza, hozzárendelési szabályuk:

푓(푥) = 푥 − 2푥 − 3; 푔(푥) = 푥 − 3; ℎ(푥) = |푥|.

Képezzünk egyszeresen összetett függvényeket a szokásos módon. Például

(푔 ∘ 푓)(푥) = 푔 푓(푥) = (푥 − 2푥 − 3) − 3 = 푥 − 2푥 − 6.

Készítse el – a fenti példának megfelelően – az 푓, 푔és ℎ függvényekből pontosan két különböző felhasználásával képezhető egyszeresen összetett függvényeket! Sorolja fel valamennyit!

(A (푔 ∘ 푓)(푥) függvényt nem szükséges újra felírni.)

c) Keressen példát olyan 푝 és 푡, a valós számok halmazán értelmezett függvényre, amelyre

(푝 ∘ 푡)(푥) = (푡 ∘ 푝)(푥)!

Adja meg a 푝 és 푡 függvény hozzárendelési szabályát!


33. a) Határozza meg a valós számoknak azt a legbővebb részhalmazát, amelyen a

√푥 − 6푥 + 9 kifejezés értelmezhető!

b) Ábrázolja a [−5; 8]intervallumon értelmezett 푓: 푥 ↦ √푥 − 6푥 + 9 függvényt!

c) Melyik állítás igaz és melyik hamis a fenti 푓 függvényre vonatkozóan?

A: Az 푓 értékkészlete: [0; 5].

B: Az 푓 függvény minimumát az 푥 = −3 helyen veszi fel.

C: Az 푓 függvény szigorúan monoton nő a [4; 8] intervallumon.

d) Határozza meg az ∫ (푥 − 6푥 + 9)푑푥 értékét!


7

34. Az 푓(푥) = 3푥 + 푏 függvény grafikonjának az 푥 = 2 helyhez tartozó érintője áthalad az origón.

a) Hol metszi ez az érintő a parabola vezéregyenesét?

b) Számítsuk ki a függvénygörbe, az érintő és az 푦 tengely által közbezárt terület nagyságát.

KöMaL 2010. december; emelt szintű gyakorló feladatsor 7. feladat

35. Adott a valós számokon értelmezett

퐼(푥) = 푓(푡)푑푡

függvény, és tudjuk, hogy 푓(푡) = 3푡 + 4푡 − 1. Határozzuk meg az 퐼(푥) zérushelyeit, és azokat az intervallumokat, melyeken konvex, illetve konkáv a függvény.

KöMaL 2012. november; emelt szintű gyakorló feladatsor 3. feladat

8

II. Megoldások 1. Az 푦 = |푥 − 1| + |푥 + 1|függvény grafikonja és az 푦 = 푐 egyenletű egyenes által közrezárt

síkidom területe 30. Mekkora a 푐 állandó értéke?

KöMaL 2001. május; C. 631.

Megoldás:

|푥 − 1| = 푥 − 1,ha푥 ≥ 11 − 푥,ha푥 < 1 |푥 + 1| = 푥 + 1,ha푥 ≥ −1

−푥 − 1,ha푥 < −1

Ezért

푦 =2푥,ha푥 ≥ 12,ha − 1 ≤ 푥 < 1−2푥,ha푥 ≤ −1

Az 푦 = 푐 egyenes a függvény grafikonjával csak akkor fog közre területet, ha 푐 > 2, ekkor szimmetrikus trapéz keletkezik. A trapéz csúcsai (− 푐 2⁄ ; 푐); (푐 2; 푐⁄ ); (1; 2) és (−1; 2) , tehát a trapéz két alapja 2 és 푐; magassága pedig 푐 − 2. A trapéz területe:

푇 =(푐 + 2)(푐 − 2)

2= 30

푐 − 4 = 60 ⇒ 푐 = 8.

2. Hány zérushelye van az 푎 paramétertől függően az

푓(푥) = 푥 + 4푥 + 4 − 푎,ℎ푎푥 ≤ 0,푥 − 4푥 + 푎,ℎ푎푥 > 0

hozzárendeléssel megadott függvénynek?

KöMaL 2013. március; C. 1106.

9

Megoldás: 푥 + 4푥 + 4 − 푎 = (푥 + 2) − 푎 = |푥 + 2| − 푎;

푥 − 4푥 + 푎 = (푥 − 2) − 4 + 푎.

Az 푓függvényt külön vizsgáljuk az푥 ≤ 0 és az 푥 > 0 esetre. Az alábbi ábrán látható az |푥 + 2| és az (푥 − 2) − 4 függvény.

Az 푥 → |푥 + 2| − 푎 függvény zérushelyeinek a száma, ha 푥 ≤ 0:

풂 értéke zérushelyek száma

푎 < 0 0

푎 = 0 1

0 < 푎 ≤ 2 2

2 < 푎 1

Az 푥 → (푥 − 2) − 4 + 푎 függvény zérushelyeinek a száma, ha 푥 > 0:


푎 ≤ 0 1

0 < 푎 < 4 2

푎 = 4 1

4 < 푎 0

Összefoglalva:


푎 < 0 1

푎 = 0 2

0 < 푎 ≤ 2 4

2 < 푎 < 4 3

푎 = 4 2

4 < 푎 1

10

3. Adott az

푓(푥) =(푥 + 푎)

(푎 − 푏)(푎 − 푐)+

(푥 + 푏)(푏 − 푎)(푏 − 푐)

+(푥 + 푐)

(푐 − 푎)(푐 − 푏)

hozzárendelésű függvény, ahol 푎, 푏 és 푐 különböző valós számok. Határozzuk meg a függvény értékkészletét.

KöMaL 2010. szeptember; C.1043.

I. Megoldás:

Közös nevezőre hozzuk a törteket, összevonunk, a nevezőben is elvégezzük a szorzást:

푓(푥) =(푥 + 푎)

(푎 − 푏)(푎 − 푐)+

(푥 + 푏)(푏 − 푎)(푏 − 푐)

+(푥 + 푐)

(푐 − 푎)(푐 − 푏)=

=(푥 + 2푎푥 + 푎 )(푏 − 푐) − (푥 + 2푏푥 + 푏 )(푎 − 푐) + (푥 + 2푐푥 + 푐 )(푎 − 푏)

(푎 − 푏)(푎 − 푐)(푏 − 푐)=

=푥 (푏 − 푐 − 푎 + 푐 + 푎 − 푏) + 2푥(푎푏 − 푎푐 − 푎푏 + 푏푐 + 푎푐 − 푏푐)

(푎 − 푏)(푎 − 푐)(푏 − 푐)+

+푎 푏 − 푎 푐 − 푏 푎 + 푏 푐 + 푐 푎 − 푐 푏

(푎 − 푎푏 − 푎푐 + 푏푐)(푏 − 푐)=

=푎 푏 − 푎 푐 − 푏 푎 + 푏 푐 + 푐 푎 − 푐 푏

푎 푏 − 푎 푐 − 푎푏 + 푎푏푐 − 푎푏푐 + 푎푐 + 푏 푐 − 푏푐= 1

Az értékkészlet az {1} egyelemű halmaz. Ezért érdemes volt kitartani, de nincs-e egyszerűbb:

II. Megoldás:

Az 푓 függvény mindhárom tagja egy másodfokú kifejezés, ezért ezek összege legfeljebb másodfokú függvény.

푓(−푎) =(−푎 + 푎)

(푎 − 푏)(푎 − 푐)+

(−푎 + 푏)(푏 − 푎)(푏 − 푐)

+(−푎 + 푐)

(푐 − 푎)(푐 − 푏)=

= 0+푏 − 푎푏 − 푐

+푐 − 푎푐 − 푏

=푏 − 푎 − 푐 + 푎

푏 − 푐= 1.

Hasonlóan:푓(−푏) = 푓(−푐) = 1. Egy másodfokú függvény egy értéket legfeljebb kétszer, egy elsőfokú függvény egyszer vehet fel. Ezért az 푓 függvény konstans, értéke minden valós szám esetén 1-gyel egyenlő.

4. Az 푓: 푹 → 푹 függvényről tudjuk, hogy 푓(1) = 0, másrészt bármely két valós (푥, 푦) számra |푓(푥) − 푓(푦)| = |푥 − 푦|. Határozzuk meg az 푓 függvényt!


Megoldás:

Válasszuk az 푦 = 1 értéket és használjuk fel, hogy 푓(1) = 0. Ekkor

|푓(푥) − 푓(1)| = |푓(푥) − 0| = |푓(푥)| = |푥 − 1|,

tehát푓(푥) = 푥 − 1 vagy 푓(푥) = 1 − 푥.

11

Ha minden 푥-re 푓(푥) = 푥 − 1, akkor ez megoldás, hiszen ekkor minden 푥, 푦휖푹 esetén teljesül a feltétel:

|푓(푥) − 푓(푦)| = |푥 − 1 − 푦 + 1| = |푥 − 푦|.

Hasonlóan lehetséges, hogy 푓(푥) = 1 − 푥, mert minden 푥, 푦휖푹 esetén:

|푓(푥) − 푓(푦)| = |1 − 푥 − 1 + 푦| = |푦 − 푥| = |푥 − 푦|.

Ha 푥 = 1, akkor a két képlet ugyanazt az értéket adja.

Még meg kell vizsgálnunk, hogy van-e olyan 푥, 푦휖푹; 푥; 푦 ≠ 1, amelyre 푓(푥) = 푥 − 1 és 푓(푦) =1 − 푦 teljesül. Ekkor igaz lenne, hogy:

|푓(푥) − 푓(푦)| = |푥 − 1 − 1 + 푦| = |푥 + 푦 − 2| = |푥 − 푦|.

Ez csak akkor lehet igaz, ha 푥 + 푦 − 2 = 푥 − 푦 vagy 푥 + 푦 − 2 = 푦 − 푥. Az első esetben 푦 = 1, a második esetben 푥 = 1, de ezt nem engedtük meg. Tehát nincs olyan függvény, amelyre a hozzárendelési szabály bizonyos változóértékekre 푥 − 1, másokra pedig 1 − 푥 lenne.

5. Legyen a valós számok halmazán értelmezett 푙푎푐(푥) függvény hozzárendelési szabálya a következő:

푙푎푐(푥) = 푥,ℎ푎푥휖[2푛; 2푛 + 1],푎ℎ표푙푛휖풁,−푥 + 4푛 + 3,ℎ푎푥휖]2푛 + 1; 2푛 + 2[,푎ℎ표푙푛휖풁.

Oldjuk meg a 푙푎푐(2푥 + 푥 + 4) = 푙푎푐(푥 + 7푥 − 1) egyenletet a valós számok halmazán.

KöMaL 2010. május; C.1038.

Megoldás:

A hozzárendelési szabályt nézzük meg néhány konkrét 푛 természetes számra:

푙푎푐(푥) = 푥, ℎ푎푥휖[0; 1] vagy 푥휖[2; 3] vagy 푥휖[4; 5]…

푙푎푐(푥) = −푥 + 3, ha푥휖]1; 2[

푙푎푐(푥) = −푥 + 7,ha푥휖]3; 4[…

Megrajzoljuk a függvény grafikonját:

Látható (és belátható), hogy a függvény kölcsönösen egyértelmű függvény, minden értéket pontosan egyszer vesz fel, az 푹 halmazt az 푹 halmazra képezi le.

12

Így a 푙푎푐(2푥 + 푥 + 4) = 푙푎푐(푥 + 7푥 − 1)egyenlőség csak akkor teljesülhet, ha

2푥 + 푥 + 4 = 푥 + 7푥 − 1

푥 − 6푥 + 5 = 0

Tehát az egyenlet megoldásai:

푥 = 1;푥 = 5.

Ellenőrzéssel megmutathatjuk, hogy ezek valóban megoldások.

6. Legyen 푓(푥) = 푥 − 6푥 + 5. Ábrázoljuk a derékszögű koordináta-rendszerben azokat a 푃(푥; 푦) pontokat, amelyek (푥; 푦) koordinátáira

푓(푥) − 푓(푦) ≥ 0.


Megoldás:

푓(푥) − 푓(푦) = 푥 − 6푥 + 5 − 푦 + 6푦 − 5 = 푥 − 푦 − 6푥 + 6푦 =

= (푥 − 푦)(푥 + 푦) − 6(푥 − 푦) = (푥 − 푦)(푥 + 푦 − 6) ≥ 0

egyenlőtlenség megoldását keressük.

Egy szorzat akkor nulla, ha valamelyik tényezője 0, akkor pozitív, ha a két tényező azonos előjelű. Ezek alapján a fenti egyenlőtlenség akkor teljesül, ha

푥 − 푦 ≤ 0 és 푥 + 푦 − 6 ≤ 0

vagy

푥 − 푦 ≥ 0 és 푥 + 푦 − 6 ≥ 0

Az első esetben 푦 ≥ 푥 és 푦 ≤ 6 − 푥.Ábrázoljuk az 푦 = 푥 és 푦 = 6 − 푥 egyeneseket a koordináta-rendszerben. Azok az(푥; 푦) pontok, amelyekre ez teljesül, az első egyenes felett és a második egyenes alatt, illetve a két egyenesen vannak. Ez az ábra satírozott területe. A második esetben 푦 ≤ 푥 és 푦 ≥ 6 − 푥, ezt a lehetőséget a pontozott területen lévő pontok adják. A ponthalmazhoz a határoló egyenesek is hozzátartoznak.

A feladat megoldása a két terület együtt.

13

7. Az 푓(푥) = 푎푥 + 푏푥 + 푐 másodfokú függvénynek (푥 ∈ 푹) egy zérushelye van. Az 푓(푥) függvény minimumhelye 푥 = 푐. Mekkora lehet az 푎푐 szorzat értéke?

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2011/2012; haladók, I. kategória, 1. forduló

Megoldás:

Az 푓 függvénynek egy zérushelye van, ezért a diszkrimináns értéke 0: 퐷 = 푏 − 4푎푐 = 0.

A függvénynek minimuma van, tehát 푎 > 0.

A függvény a 푐 helyen veszi fel a minimumát. 푓(푥) = 푎 푥 + + 푐 − , amiből látható, hogy

a minimumhely 푐 = − , átrendezve 푏 = −2푎푐. Ezt a diszkriminánsra kapott értékbe helyettesítve azt kapjuk, hogy 4푎 푐 − 4푎푐 = 4푎푐(푎푐 − 1) = 0. Ez csak akkor teljesülhet, ha 푎푐 = 0 vagy 푎푐 = 1. Mindkét eset valóban megvalósulhat:

Ha 푎푐 = 0, akkor 푎 > 0 valós szám; 푐 = 0; 푏 = 0 ⇒ 푓(푥) = 푎푥 .

Ha 푎푐 = 1, akkor 푎 > 0 valós szám; 푐 = és 푏 = −2 ⇒ 푓(푥) = 푎푥 − 2푥 + .

8. Mi a legkisebb értéke a következő kifejezésnek:

푓(푥) = (푥 − 1)(푥 + 2)(푥 + 3)(푥 + 6)?

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 1971; haladók, 1. forduló

I. Megoldás:

Az első és utolsó, illetve a két középső tényezőt szorozzuk össze:

푓(푥) = (푥 + 5푥 − 6)(푥 + 5푥 + 6).

Az (푎 + 푏)(푎 − 푏) = 푎 − 푏 azonosságot alkalmazva:

푓(푥) = (푥 + 5푥) − 36.

Egy szám négyzete sohasem lehet negatív, ezért ennek a függvénynek a legkisebb értéke −36. Ezt az értéket akkor veszi fel, amikor 푥 + 5푥 = 0, tehát 푥 = 0 vagy 푥 = −5.

II. Megoldás:

Nézzük meg, hogy ha nem jut eszünkbe az előbbi ötlet, hogyan juthatunk el a megoldáshoz. Végezzünk el minden szorzást:

푓(푥) = (푥 − 1)(푥 + 2)(푥 + 3)(푥 + 6) = (푥 + 푥 − 2)(푥 + 3)(푥 + 6) =

= (푥 + 푥 − 2푥 + 3푥 + 3푥 − 6)(푥 + 6) = (푥 + 4푥 + 푥 − 6)(푥 + 6) =

= 푥 + 4푥 + 푥 − 6푥 + 6푥 + 24푥 + 6푥 − 36 =

= 푥 + 10푥 + 25푥 − 36 = 푥 (푥 + 5) − 36.

Így is eljuthattunk a függvénynek ahhoz az alakjához, amelyből le tudjuk olvasni, hogy a minimum értéke −36, és ezt az 푥 = 0 és 푥 = −5 értékeknél veszi fel a függvény.

14

9. Határozzuk meg azokat a lineáris 푓(푥), 푔(푥), ℎ(푥)(푥 ∈ 푹) függvényeket, amelyekre

퐹(푥) = |푓(푥)| − |푔(푥)| + ℎ(푥) =−1,ha푥 < −1,3푥 + 2,ha − 1 ≤ 푥 < 0,−2푥 + 2,ha0 ≤ 푥.


Megoldás:

Az 퐹 függvény megadásából következik, hogy az abszolútértékes kifejezések előjelváltása a −1 és a 0 helyeken van. Ezért az

퐹(푥) = |푎(푥 + 1)| − |푏푥| + 푐푥 + 푑(1)

illetve

퐹(푥) = |푎푥| − |푏(푥 + 1)| + 푐푥 + 푑(2)

alakban kereshetjük a függvényt, ahol 푎, 푏, 푐, 푑valós számok.

Először az (1) esetet vizsgáljuk:

|푎(푥 + 1)| = −|푎|(푥 + 1),ℎ푎푥 < −1,|푎|(푥 + 1),ℎ푎푥 ≥ −1.

|푏푥| = −|푏|푥,ℎ푎푥 < 0,|푏|푥,ℎ푎푥 ≥ 0.

Alkalmazva az 퐹 függvényre:

퐹(푥) = |푎(푥 + 1)| − |푏푥| + 푐푥 + 푑 =−|푎|푥 − |푎| + |푏|푥 + 푐푥 + 푑ha푥 < −1,|푎|푥 + |푎| + |푏|푥 + 푐푥 + 푑ha − 1 ≤ 푥 < 0,|푎|푥 + |푎| − |푏|푥 + 푐푥 + 푑ha0 ≤ 푥.

A feladatban megadott hozzárendelési szabály csak akkor egyezhet meg minden valós számra ezzel az összefüggéssel, ha a megfelelő együtthatók azonosak:

−|푎| + |푏| + 푐 = 0 −|푎| + 푑 = −1

|푎| + |푏| + 푐 = 3 |푎| + 푑 = 2

|푎| − |푏| + 푐 = −2 |푎| + 푑 = 2

Először határozzuk meg |푎|-t és 푑-t: |푎| = és 푑 = .

Ekkor

|푏| + 푐 =32

−|푏| + 푐 = −2 −32= −

72,

innen |푏| = ; 푐 = −1.

Tehát a keresett függvények ebben az esetben (푓-ben és 푔-ben egymástól függetlenül választható a + vagy – előjel):

푓(푥) = ±32(푥 + 1); 푔(푥) = ±

52푥; ℎ(푥) = −푥 +

12.

15

A (2) esetben hasonlóan gondolkodva:

퐹(푥) = |푎푥| − |푏(푥 + 1)| + 푐푥 + 푑 =−|푎|푥 + |푏|푥 + |푏| + 푐푥 + 푑ha푥 < −1,−|푎|푥 − |푏|푥 − |푏| + 푐푥 + 푑ha − 1 ≤ 푥 < 0,|푎|푥 − |푏|푥 −|푏| + 푐푥 + 푑ha0 ≤ 푥.

A hozzárendelési szabállyal összehasonlítva:

−|푎| + |푏| + 푐 = 0 |푏| + 푑 = −1

−|푎| − |푏| + 푐 = 3 −|푏| + 푑 = 2

|푎| − |푏| + 푐 = −2 −|푏| + 푑 = 2

A második oszlop egyenleteiből 푑 = , |푏| = − adódik, de egy szám abszolútértéke nem lehet negatív, így ebből az esetből nem kapunk újabb megoldást.

10. Jelölje 푷 a prímszámok halmazát! Legyen 푓: 푷 → 푹, 푥 ↦ , ahol {푧} a 푧 szám törtrészét

jelöli, (azaz {푧} = 푧 − [푧] és [푧] a 푧 egészrésze, vagyis az a legnagyobb egész szám, amely 푧-nél nem nagyobb)! Mi az 푓 függvény értékkészlete?


Megoldás:

푓(2) =18; 푓(3) =

13

푓(푥) =(푥 − 1)(푥 + 1)

24

Legyen 푥 3-nál nagyobb prímszám. Ekkor 푥 nem osztható 2-vel, tehát (푥 − 1)és (푥 + 1) két szomszédos páros szám, így az egyik 4-gyel is osztható, szorzatuk pedig 8-cal. A 3-nál nagyobb 푥 3-mal sem osztható, tehát (푥 − 1)vagy (푥 + 1) osztható 3-mal. Ebből következik, hogy ilyen

esetben egész, így a törtrésze 0, 푓(푥) = 0.

Tehát a függvény értékkészlete a 0; ; halmaz.

11. A valós számok halmazán értelmezett másodfokú 푓(푥) függvény minden 푥 számra eleget tesz a

3 ∙ 푓(푥) + 푓(2 − 푥) = 푥 egyenlőségnek.

Hány olyan, 2005-nél nem nagyobb természetes szám van, amelyre igaz, hogy

푓(푥) >134?

OKTV 2005/2006; I. kategória, 1. forduló

Megoldás:

Legyen 푓(푥) = 푎푥 + 푏푥 + 푐, ahol 푎 ≠ 0; 푏; 푐 valós számok. Ekkor

3 ∙ (푎푥 + 푏푥 + 푐) + 푎(2 − 푥) + 푏(2 − 푥) + 푐 = 푥

3 ∙ (푎푥 + 푏푥 + 푐) + 푎(푥 − 4푥 + 4) + 푏(2 − 푥) + 푐 = 푥

16

4푎 ∙ 푥 + (2푏 − 4푎) ∙ 푥 + 4푎 + 2푏 + 4푐 = 푥 .

Ez csak akkor teljesülhet minden 푥-re, ha a megfelelő együtthatók a két oldalon egyelőek:

4푎 = 1

2푏 − 4푎 = 0;

4푎 + 2푏 + 4푐 = 0;

Ennek az egyenletrendszernek a megoldása:

푎 =14; 푏 =

12; 푐 = −

12.

Az alábbi egyenlőtlenséget oldjuk meg:

푓(푥) =14푥 +

12푥 −

12>134/∙ 4

푥 + 2푥 − 2 > 13

푥 + 2푥 − 15 > 0

Az 푥 + 2푥 − 15 = 0 egyenlet megoldásai: 푥 = 3 ; 푥 = −5, ezért az egyenlőtlenség megoldása:

푥 < −5vagy푥 > 3.

A feltételeknek megfelelő természetes számok: 4; 5; 6; … ; 2003; 2004; 2005.

Ilyen szám 2005 − 3 = 2002 darab van.

Megjegyzés:

A megfelelő 푓 függvényt az alábbi ötlettel is megkaphatjuk:

Az eredeti összefüggés mellé írjuk fel azt is, amit úgy kapunk, hogy 푥 helyébe (2 − 푥)-et helyettesítünk.

3 ∙ 푓(푥) + 푓(2 − 푥) = 푥 3 ∙ 푓(2 − 푥) + 푓(푥) = (2 − 푥)

Az első sor háromszorosából vonjuk ki a második sort:

8 ∙ 푓(푥) = 3 ∙ 푥 − (2 − 푥)

푓(푥) =3푥 − 4 + 4푥 − 푥

8=푥 + 2푥 − 2

4.

12. A minden valós számra értelmezett 푓(푥) függvényre 푓(푥 + 1) + 3푓(−푥) = |푥| teljesül. Adjuk meg az 푓 zérushelyeit!

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2008/2009; haladók, III. kategória, 2. forduló

Megoldás:

Alkalmazzuk először az 푢 = 푥 + 1 helyettesítést, majd az 푢 = −푥 helyettesítést

푓(푢) + 3푓(1 − 푢) = |푢 − 1|푓(1 − 푢) + 3푓(푢) = |−푢| = |푢|

A második egyenlet 3-szorosából az elsőt kivonva:

17

8푓(푢) = 3|푢| − |푢 − 1| ⇒ 푓(푢) =18(3|푢| − |푢 − 1|).

Most az 푢 = 푥 helyettesítést használva megkapjuk az 푓 függvényt:

푓(푥) =18(3|푥| − |푥 − 1|).

Az 푓 függvény zérushelyeit a

3|푥| − |푥 − 1| = 0 ⇒ 3|푥| = |푥 − 1|

egyenlet megoldásai adják:

Ha 푥 < 0,akkor |푥 − 1| = 1 − 푥;|푥| = −푥: −3푥 = 1 − 푥 ⇒ 푥 = −0,5, ami megfelel az푥 < 0 feltételnek.

Ha 0 ≤ 푥 < 1,akkor |푥 − 1| = 1 − 푥;|푥| = 푥: 3푥 = 1 − 푥 ⇒ 푥 = 0,25, ami megfelel a0 ≤ 푥 < 1 feltételnek.

Ha 푥 ≥ 1,akkor |푥 − 1| = 푥 − 1;|푥| = 푥: 3푥 = 푥 − 1 ⇒ 푥 = −0,5, ami nem felel meg az푥 ≥ 1 feltételnek.

Az 푓 függvény zérushelyei: 푥 = −0,5 és 푥 = 0,25.

13. Legyen 푓 az 푥 = 1 hely kivételével minden valós számra értelmezett olyan függvény, amely bármely 푥 ≠ 0 esetén eleget tesz az

푓(푥) + 3푓1푥

=푐푥

푥 − 1

egyenletnek. Számítsuk ki a 푐 valós paraméter értékét, ha tudjuk, hogy:

lim→

푓(푥) = 5.

OKTV 1978; 2. forduló

Megoldás:

Ha 푥 ≠ 0 és 푥 ≠ 1, akkor 푥 helyébe írhatunk -et:

푓1푥

+ 3푓(푥) =푐 1푥1푥 − 1

=푐

1 − 푥

Ennek az egyenletnek a háromszorosából kivonjuk az eredeti egyenlőséget:

8푓(푥) =3푐

1 − 푥−

푐푥푥 − 1

=3푐 + 푐푥1 − 푥

⇒ 푓(푥) =18∙푐(푥 + 3)1 − 푥

.

Ekkor:

lim→

18∙푐(푥 + 3)1 − 푥

=18∙ lim

→

푐 1 + 3푥

1푥 − 1

=18∙푐(1 + 0)0 − 1

= −푐8.

A feladat feltétele miatt

−푐8= 5 ⇒ 푐 = −40.

18

Ha 푥 ≠ 0; 1, akkor 푓(푥) = ( ), aminek a határértéke a végtelenben valóban 5. A függvény az 푥 = 1 helyen nincs értelmezve, az 푥 = 0 és helyen pedig a feladat szempontjából tetszőleges értéket felvehet.

14. Adjuk meg a valós számoknak azt a legbővebb részhalmazát, amelyen az alábbi 푓 függvény értelmezhető, és határozzuk meg a függvény értékkészletét ezen az értelmezési tartományon.

푓(푥) = 1 − 푥 − √2 − 푥.


Megoldás:

Csak nemnegatív szám négyzetgyökét értelmezzük a valós számok körében, ezért √2 − 푥 akkor van értelmezve, ha 푥 ≤ 2.

푥 − √2 − 푥 miatt 푥 ≥ √2 − 푥. A négyzetgyök értéke mindig nagyobb vagy egyenlő mint nulla, ezért az 푥 ≥ 0 feltételnek is teljesülnie kell. Ekkor az egyenlőtlenséget négyzetre emelve az eredetivel ekvivalens egyenlőtlenséget kapunk:

푥 ≥ 2 − 푥 ⇒ 푥 + 푥 − 2 = (푥 − 1)(푥 + 2) ≥ 0.

A másodfokú kifejezés két zérushelye 푥 = 1 és 푥 = −2, a másodfokú tag együtthatója pozitív, ezért az egyenlőtlenség megoldása: 푥 ≤ −2 vagy 푥 ≥ 1.

Az eddigi feltételek együttesen 1 ≤ 푥 ≤ 2 esetén teljesülnek. (1)

1 − 푥 − √2 − 푥 értelmezéséhez még meg kell vizsgálni az1 − 푥 − √2 − 푥 ≥ 0 feltételt. Ekkor

1 ≥ 푥 − √2 − 푥.

Mindkét oldal nemnegatív, ezért négyzetre emelhetünk:

1 ≥ 푥 − √2 − 푥

√2 − 푥 ≥ 푥 − 1

Az1 ≤ 푥 ≤ 2 feltétel mellett mindkét oldal nemnegatív, ezért újra négyzetre emelhetünk:

2 − 푥 ≥ 푥 − 2푥 + 1 ⇒ 0 ≥ 푥 − 푥 − 1.

Az 푥 − 푥 − 1 = 0 egyenlet gyökei: √ és √ , ezért az egyenlőtlenség megoldása:

1 − √52

≤ 푥 ≤1 + √52

.

Figyelembe véve az (1) feltételt a függvény értelmezési tartománya az 1; √ intervallum.

Felhasználva, hogy a √푥 függvény szigorúan monoton nő megmutatjuk, hogy az 푓 függvény szigorúan monoton csökken:

19

Ha 푥 < 푥 , akkor 2 − 푥 > 2 − 푥 . Így 푥 − 2 − 푥 < 푥 − 2 − 푥 .

Ebből következik, hogy 1 − 푥 − 2 − 푥 > 1 − 푥 − 2 − 푥 .

Az 푓 függvény folytonos, mert a négyzetgyökfüggvény az értelmezési tartomány pontjaiban folytonos, ezért az ilyen összetétellel kapott függvény is az.

A monotonitásból és a folytonosságból következik, hogy az értekkészlet az 푓 √ ; 푓(1) intervallum.

푓1 + √52

= 1 −1 + √52

− 2 −1 + √52

= 1 −1 + √52

−3 − √52

=

= 1 −1 + √52

−6 − 2√5

4= 1 −

1 + √52

−√5 − 12

= √1 − 1 = 0,

푓(1) = 1 − 1 − √2 − 1 = 1,

ezért az értékkészlet a [0; 1] intervallum.

15. Mutassuk meg, hogy a valós számokon értelmezett

푓(푥) = sin 푥 + sin 푥 ∙ √2

függvény sohasem veszi fel a +2 illetve −2 értékeket!

OKTV 1984; speciális matematika tantervű osztályok versenye; 3. fordulós feladat részlete

Megoldás:

sin푥 ≤ 1; sin 푥 ∙ √2 ≤ 1 ⇒ sin 푥 + 푠푖푛 푥 ∙ √2 ≤ 2.

A 2 értéket csak akkor érhetné el, ha a két tag ugyanarra az 푥 értékre venné fel a +1 értéket, tehát lenne olyan 푘 és 푙 egész szám és 푥 valós szám, amelyre

푥 =휋2+ 2푘휋és푥 ∙ √2 =

휋2+ 2푙휋.

Ekkor

√2휋2+ 2푘휋 =

휋2+ 2푙휋

√2휋(4푘 + 1)2

=휋(4푙 + 1)

2

√2 =4푙 + 14푘 + 1

20

teljesülne valamilyen 푘, 푙 egész számokra. Tudjuk, hogy √2 irracionális, tehát ilyen 푘, 푙 nem létezik.

Ezzel beláttuk, hogy sin 푥 + 푠푖푛 푥 ∙ √2 < 2 minden valós 푥-re.

Hasonlóan belátható, hogy sin푥 + 푠푖푛 푥 ∙ √2 > −2 minden valós 푥-re.

Megjegyzés:

Elkészítettük a függvény grafikonját GeoGebra programmal. Az ábra alapján az a sejtésünk, hogy a függvényértékek tetszőlegesen közel lehetnek a +2-höz, illetve a −2-höz, de azt sohasem érik el. Ez valóban igaz, de a bizonyítást csak a bátraknak ajánljuk.

16. Az 푓 függvény értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, és a függvény értékei is

pozitív egészek. Határozzuk meg az összes olyan 푓 függvényt, amelyre teljesül, hogy minden pozitív egész 푛 esetén

푓 (푖) = 푓 (1) + 푓 (2) +⋯+ 푓 (푛) = (푓(1) + 푓(2) + ⋯+ 푓(푛)) = 푓(푖)


Megoldás:

Ismert, hogy

1 + 2 + 3 +⋯+ 푛 =푛(푛 + 1)

2= (1 + 2 + 3 +⋯+ 푛) .

Ezért a pozitív egész számokra értelmezett 푓(푛) = 푛 függvény megoldása a feladatnak.

Teljes indukcióval belátjuk, hogy más függvény nem lehet megoldás.

Bizonyítunk 풏 = ퟏ-re:

푓 (1) = (푓(1)) .

(푓(1)) pozitív egész, ezért oszthatunk vele, tehát 푓(1) = 1.

Feltételezzük, hogy 풌 ≤ 풏-re igaz az állítás:

푓(푘) = 푘.

Bizonyítunk (풏 + ퟏ)-re:

1 + 2 + 3 +⋯+ 푛 + 푓 (푛 + 1) = (1 + 2 + 3 + ⋯+ 푛 + 푓(푛 + 1))

21

푛(푛 + 1)2

+ 푓 (푛 + 1) =푛(푛 + 1)

2+ 푓(푛 + 1)

푛(푛 + 1)2

+ 푓 (푛 + 1) =푛(푛 + 1)

2+ 2 ∙

푛(푛 + 1)2

∙ 푓(푛 + 1) + 푓 (푛 + 1)

푓 (푛 + 1) = 푛(푛 + 1) ∙ 푓(푛 + 1) + 푓 (푛 + 1)

푓(푛 + 1) > 0, ezért oszthatunk vele:

푓 (푛 + 1) = 푛(푛 + 1) + 푓(푛 + 1)

푓 (푛 + 1) − 푓(푛 + 1) − 푛(푛 + 1) = 0.

A másodfokú egyenlet megoldásai:

푓(푛 + 1) =1 ± 1 + 4푛(푛 + 1)

2=1 ± √4푛 + 4푛 + 1

2=1 ± (2푛 + 1)

2,

tehát 푓(푛 + 1) = 푛 + 1 vagy 푓(푛 + 1) = −푛.

A függvény csak pozitív értékeket vehet fel, ezért csak az első eset lehetséges.

Így teljes indukcióval beláttuk, hogy az egyetlen függvény az 푓(푛) = 푛 függvény.

17. Határozzuk meg azt az 푓 függvényt, amely

a) minden nemnegatív egészhez nemnegatív egész számot rendel hozzá, különböző egészekhez különböző egészeket;

b) minden nemnegatív egész 푛-re kielégíti az

푓 (0) + 푓 (1) + ⋯+ 푓 (푛) ≤푛(푛 + 1)(2푛 + 1)

6

egyenlőtlenséget.


Megoldás:

Az első 푛 pozitív egész szám négyzetének az összege ( )( ). Ez alapján az a sejtésünk, hogy a feladat feltételének az 푓(푛) = 푛 függvény felel meg.

Bizonyítunk 풏 = ퟎ-ra:

A feladat feltétele szerint 푓(0) nemnegatív egész és

푓 (0) ≤0 ∙ (0 + 1)(2 ∙ 0 + 1)

6= 0,

Így 푓(0) csak 0 lehet.

Feltételezzük, hogy 풌 ≤ 풏-re igaz az állítás:

푓(푘) = 푘.

Bizonyítunk (풏 + ퟏ)-re:

푓 (0) + 푓 (1) +⋯+ 푓 (푛) + 푓 (푛 + 1) =

22

=푛(푛 + 1)(2푛 + 1)

6+ 푓 (푛 + 1) ≤

(푛 + 1)(푛 + 2)(2푛 + 3)6

Tehát 푓(푛 + 1) nemnegatív egész és:

푓 (푛 + 1) ≤(푛 + 1)(푛 + 2)(2푛 + 3)

6−푛(푛 + 1)(2푛 + 1)

6=

=(푛 + 1)(2푛 + 7푛 + 6 − 2푛 − 푛)

6= (푛 + 1) .

푓(푛 + 1) ≤ 푛 + 1.

푓(푛 + 1) már nem lehet 0; 1; 2; … ; 푛, hiszen ezeket a 푘 ≤ 푛 esetekre „elhasználtuk”, így

푓(푛 + 1) = 푛 + 1.

Teljes indukcióval beláttuk, hogy egyetlen függvény lehet, amely teljesíti a feladat feltételeit, az 푓(푛) = 푛 függvény. Ez a függvény valóban megfelel a feltételeknek.

18. A természetes számok halmazán értelmezett 푓 függvényre teljesül a következő egyenlőség:

푓(1) + 2 푓(2) + 3 푓(3) +⋯+ 푛 푓(푛) = 푛 푓(푛)

tetszőleges 푛 ≥ 1 esetén. Határozzuk meg 푓(2008) értékét, ha 푓(1) = 2008!


Megoldás:

Alkalmazzuk az összefüggést n-re és (푛 − 1)-re (푛 ≥ 2):

푓(1) + 2 푓(2) + 3 푓(3) + ⋯+ (푛 − 1) 푓(푛 − 1) + 푛 푓(푛) = 푛 푓(푛).

푓(1) + 2 푓(2) + 3 푓(3) +⋯+ (푛 − 1) 푓(푛 − 1) = (푛 − 1) 푓(푛 − 1)

Az első egyenletből vonjuk ki a másodikat:

푛 푓(푛) = 푛 푓(푛) − (푛 − 1) 푓(푛 − 1).

Átrendezve:

(푛 − 1) 푓(푛 − 1) = (푛 − 푛 )푓(푛)

(푛 − 1) 푓(푛 − 1) = 푛 (푛 − 1)푓(푛)

푛 ≥ 2 , ezért oszthatunk (푛 − 1)-gyel:

(푛 − 1) 푓(푛 − 1) = 푛 푓(푛)

푓(푛) =(푛 − 1)

푛푓(푛 − 1).

Alkalmazzuk ezt a rekurzív összefüggést:

푓(푛) =(푛 − 1)

푛푓(푛 − 1) =

(푛 − 1)푛

∙(푛 − 2)(푛 − 1)

∙(푛 − 3)(푛 − 2)

∙ … ∙12∙ 푓(1) =

1푛

∙ 푓(1) =2008푛

.

Ez alapján

푓(2008) =20082008

=1

2008.

23

19. Egy minden valós számra értelmezett 푓 függvény minden (푥; 푦) valós számpárra kielégíti a következő egyenlőtlenségeket:

푓(푥) ≤ 푥

푓(푥 + 푦) ≤ 푓(푥) + 푓(푦).

Bizonyítsuk be, hogy minden valós 푥-re 푓(푥) = 푥.

A Kürschák József Matematikai Tanulóverseny 1979. évi 2. feladata

Megoldás:

Válasszuk először az 푥 = 0 értéket, ekkor az első egyenlőtlenség alapján 푓(0) ≤ 0. Ha a második egyenlőtlenségben 푦 = 0-t veszünk, akkor 푓(푥) ≤ 푓(푥) + 푓(0), tehát 0 ≤ 푓(0). Ez a két feltétel csak 푓(0) = 0 esetén teljesül.

Az első egyenlőtlenség alapján:

푓(푥) ≤ 푥 és 푓(−푥) ≤ −푥 , tehát 푓(푥) + 푓(−푥) ≤ 0.

Alkalmazzuk a második egyenlőtlenséget 푦 = −푥-re:

0 = 푓(0) = 푓(푥 − 푥) ≤ 푓(푥) + 푓(−푥)

E két összefüggésből 푓(푥) + 푓(−푥) = 0, azaz 푓(−푥) = −푓(푥) adódik.

Az első egyenlőtlenséget −푥-re felírva:

−푓(푥) = 푓(−푥) ≤ −푥,

Az egyenlőtlenséget (−1)-gyel szorozva: 푓(푥) ≥ 푥.

Az 푓(푥) ≤ 푥 feltételnek is teljesülnie kell, ez csak akkor lehetséges, ha 푓(푥) = 푥. Erre a függvényre a feladat feltételei teljesülnek.

20. A 푔(푥) = | | + | | függvény értelmezési tartománya: 푹\{0; 9}, értékkészlete:

(퐴){0} (퐵){2} (퐶){0; 2} (퐷){−2; 2} (퐸){−2; 0; 2}


Megoldás:

Ha 푥 < 0, akkor |푥| = −푥, |푥 − 9| = 9 − 푥, tehát

푔(푥) =푥|푥|

+푥 − 9|푥 − 9|

=푥−푥

+푥 − 99 − 푥

= −2.

Ha 0 < 푥 < 9, akkor |푥| = 푥, |푥 − 9| = 9 − 푥, tehát

푔(푥) =푥|푥|

+푥 − 9|푥 − 9|

=푥푥+푥 − 99 − 푥

= 0.

Ha 9 < 푥, akkor |푥| = 푥, |푥 − 9| = 푥 − 9, tehát

푔(푥) =푥|푥|

+푥 − 9|푥 − 9|

=푥푥+푥 − 9푥 − 9

= 2.

A 푔 függvény értékkészlete ez alapján {−2; 0; 2}. Így a helyes válasz 푬.

24

21. Az ábrán az 푓(푥) függvény grafikonja látható. Hány megoldása van az |푓(푥)| − 1 = egyenletnek a [−2; 2]intervallumon?

(퐴)2 (퐵)4 (퐶)5 (퐷)6 (퐸)8


Megoldás:

Függvénytranszformációk segítségével lépésenként ábrázolunk az alábbi ábrákon látható módon:

Az alábbi ábráról pedig leolvasható, hogy az |푓(푥)| − 1 = egyenletnek az ábrázolt intervallumon 6 megoldása van, de ezek közül csak 4 esik a [−2; 2]intervallumba, ezért a 푩 a helyes válasz.

22. Melyik az a legnagyobb valós szám, amelyre az 푓(푔(푥)) ≤ 푔(푓(푥)) egyenlőtlenség igaz, ha 푓(푥) = 3 − 1 és 푔(푥) = 3푥 + 2?

(퐴) − 2 (퐵) − 0,5 (퐶)0 (퐷)0,5 (퐸) Nincs ilyen szám.


25

Megoldás:

푓 푔(푥) = 3 − 1 és 푔 푓(푥) = 3 ∙ (3 − 1) + 2, ezért az alábbi egyenlőtlenséget kell megoldanunk:

3 − 1 ≤ 3 ∙ (3 − 1) + 2

3 − 1 ≤ 3 − 1

3 ≤ 3

A 3-as alapú exponenciális függvény szigorúan monoton nő, ezért:

3푥 + 2 ≤ 푥 + 1

푥 ≤ −0,5

푥 = −0,5 a legnagyobb valós szám, amelyre az egyenlőtlenség teljesül. tehát a 푩 a jó válasz.

23. A valós számokon értelmezett 푓(푥) függvényre bármely 푥 ≠ 0 esetén igaz, hogy

2 ∙ 푓(푥) + 푓 = 5푥 + 4. Jelölje 푆 azon valós 푥-ek összegét, amelyekre 푓(푥) = 2007. Melyik az 푆-hez legközelebbi egész szám?

(퐴) − 1 (퐵)0 (퐶)602 (퐷)5014 (퐸)6021

Gordiusz Matematika Tesztverseny 2007; 12. osztály, döntő

Megoldás:

Írjuk fel az összefüggést푥 –re és -re is:

2 ∙ 푓(푥) + 푓1푥

= 5푥 + 4

2 ∙ 푓1푥

+ 푓(푥) = 5 ∙1푥+ 4

Az első egyenlet kétszereséből kivonjuk a második egyenletet:

3 ∙ 푓(푥) = 10푥 + 8 − 5 ∙1푥− 4 = 10푥 −

5푥+ 4

Ebből megkapjuk az 푓 függvény hozzárendelési szabályát:

푓(푥) =10푥 + 4푥 − 5

3푥.

Azokat az 푥-eket keressük, amelyre:

푓(푥) =10푥 + 4푥 − 5

3푥= 2007,

azaz

10푥 + 4푥 − 5 = 6021푥

10푥 − 6017푥 − 5 = 0

26

Ennek a másodfokú egyenletnek a diszkriminánsa pozitív (6017 + 200), ezért két valós megoldása van az egyenletnek. Ekkor a gyökök és együtthatók közötti összefüggés alapján a két gyök összege 푆 = 601,7. Az 푆-hez legközelebbi egész szám a 602, tehát a jó válasz 푪.

24. Legyen 푓(푥) = 16 + (3 − 푥) + 64 + (9 − 푥) . Határozzuk meg a függvény minimum-helyét és a minimum értékét!

Megoldás:

A négyzetgyökös kifejezésekhez hasonló kifejezéssel számoljuk ki két pont távolságát koordináta-geometriai feladatokban. Megpróbálunk ennek ismeretében szemléletes jelentést adni az 푓(푥) függvénynek.

Vegyük az 퐴(3; 4)és 퐵(9; 8) pontokat. Az 푥-tengely mely 푃(푥; 0) pontjára lesz a 푃퐴 + 푃퐵távolság a legkisebb? Ekkor a 푃퐴 + 푃퐵 = 16 + (3 − 푥) + 64 + (9 − 푥) kifejezés minimumát keressük.

Ha az 퐴 pontot tükrözzük az 푥-tengelyre, akkor az 퐴′ pontot kapjuk és 퐴 푃 = 퐴푃.

A feladatunk most az, hogy 퐴′ és 퐵 között a legrövidebb utat megadjuk. Ha 퐴′퐵 és az 푥-tengely metszéspontja 푃 , akkor egy tetszőleges 푃(푥; 0) pont esetében a háromszög-egyenlőtlenség alapján:

퐴푃 + 푃퐵 = 퐴 푃 + 푃퐵 ≥ 퐴 퐵 = 퐴푃 + 푃 퐵.

Így a 푃 pont esetében lesz a legkisebb a keresett távolság.

Az 퐴 és 퐵 pontokon átmenő egyenes egyenlete 푦 = 2푥 − 10, ezért az 푥-tengelyt a 푃 (5; 0) pontban metszi.

Ezzel beláttuk, hogy a kifejezés a minimumát az 푥 = 5 értékre veszi fel, ekkor a minimum értéke

√16 + 4 + √64 + 16 = 6√5.

27

25. Határozzuk meg azt az 푓: 푅 → 푅; 푓(푥) = 푥 + 푏푥 + 푐(푏 és 푐 valós állandók) alakú másodfokú függvényt, amelyhez van olyan 푝 számérték, amelyre

푓(푝) = 2푝 ,푓(2푝) = 3푝 + 1,푓(3푝) = 4푝 + 4

egyidejűleg teljesül! Mennyi a 푝 értéke?

Írásbeli felvételi feladat a műszaki főiskolák nulladik évfolyamai számára; 1998

Megoldás:

Behelyettesítjük a megfelelő értékeket:

푝 + 푏푝 + 푐 = 2푝 (1)

4푝 + 2푏푝 + 푐 = 3푝 + 1(2)

9푝 + 3푏푝 + 푐 = 4푝 + 4(3)

Vonjuk ki a második egyenletből az elsőt, a harmadikból a másodikat:

3푝 + 푏푝 = 푝 + 1(4)

5푝 + 푏푝 = 푝 + 3(5)

(5) − (4) alapján:

2푝 = 2 ⇒ 푝 = ±1.

Még meg kell néznünk, hogy ezekhez a 푝 értékekhez van-e megfelelő 푏, 푐.

Ha 푝 = 1, akkor az (1) és(2) egyenlet: 푏 + 푐 = 1

2푏 + 푐 = 0

Ennek az egyenletrendszernek a megoldása (amelyre (3) is teljesül):

푏 = −1; 푐 = 2, ekkor푓(푥) = 푥 − 푥 + 2.

Ha 푝 = −1, akkor az (1) és(2) egyenlet: −푏 + 푐 = 1

−2푏 + 푐 = 0

Ennek az egyenletrendszernek a megoldása (amelyre (3) is teljesül):

푏 = 1; 푐 = 2, ekkor푓(푥) = 푥 + 푥 + 2.

Tehát 푝 lehet +1 és −1 is.

26. a) Határozza meg a valós számoknak azt a legbővebb 퐻 halmazát, amelyen a log (sin 푥 + cos 푥) kifejezés értelmezhető!

b) Mi a fenti H halmazon az 푓(푥) = log (sin 푥 + cos 푥) képlettel definiált f függvény

értékkészlete?

c) Hol monoton növekedő ez az 푓 függvény?

Írásbeli érettségi-felvételi feladat; 2001

28

Megoldás:

a) A logaritmusfüggvény csak pozitív számokra van értelmezve, (sin푥 + cos 푥) ≥ 0. Így azokat az értékeket kell kizárnunk, amelyekre sin 푥 + cos 푥 = 0.

Ekkor sin푥 = −cos 푥, azaz 푥 = + 푘휋,ahol 푘 ∈ 풁.

Tehát 퐻 = 푥 ∈ 푹|푥 ≠ + 푘휋; 푘 ∈ 풁 .

b) (sin 푥 + cos 푥) = 푠푖푛 푥 + 푐표푠 푥 + 2 ∙ sin푥 ∙ cos 푥 = 1 + sin 2푥 . Egy szög szinusza −1 és +1 közötti értékeket vehet fel, ezért

0 ≤ 1 + sin 2푥 ≤ 2,

de az értelmezési tartományból a 0 értéket kizártuk, így

0 < 1 + sin 2푥 ≤ 2.

A két határ között a kifejezés minden valós értéket felvesz, ha 푥 ∈ 퐻.

Az alapú logaritmusfüggvény szigorúan monoton csökken, ezért

−1 = log 2 ≤ log (sin 푥 + cos 푥) .

A (sin푥 + cos 푥) tetszőlegesen megközelítheti a 0-t, így log (sin 푥 + cos 푥)

tetszőlegesen nagy valós értéket felvehet.

A függvény értékkészlete [−1;∞[.

c) Az alapú logaritmusfüggvény szigorúan monoton csökken, ezért azlog (sin푥 + cos 푥)

függvény ott lesz monoton növekedő, ahol az 1 + sin 2푥 függvény, azaz a sin 2푥függvény monoton csökkenő. Ez pedig

휋2+ 2푘휋 ≤ 2푥 ≤

3휋2+ 2푘휋 ⇒

휋4+ 푘휋 ≤ 푥 ≤

3휋4+ 푘휋,푘 ∈ 풁

esetén teljesül.

Az értelmezési tartományt figyelembe véve a függvény monoton nő, ha:

휋4+ 푘휋 ≤ 푥 <

3휋4+ 푘휋,푘 ∈ 풁.

A függvény grafikonját GeoGebra programmal elkészítve az alábbi ábrát kapjuk.

29

27. Határozza meg a következő függvény értelmezési tartományát:

푓(푥) =4푥 − 13푥 + 3−푥 + 3푥 + 10

.

Nemzetközi Előkészítő Intézet vizsgadolgozatának feladata; 1981

Megoldás:

A tört nevezője nem lehet 0, ezért

−푥 + 3푥 + 10 ≠ 0 ⇒ 푥 ≠ −2; 5.

A négyzetgyök alatt csak nemnegatív szám állhat, ezért:

4푥 − 13푥 + 3−푥 + 3푥 + 10

≥ 0.

4푥 − 13푥 + 3 = 0, ha 푥 = 3vagy 푥 = 0,25.

A másodfokú függvény zérushelyei alapján eldönthetjük, hogy mely tartományokban vesz fel pozitív, illetve negatív értéket. Az alábbi számegyenesen látható a számláló és a nevező előjele az egyes tartományokban.

Egy tört akkor nulla, ha a számláló nulla, és akkor pozitív, ha a számláló és a nevező azonos előjelű.

Így az 푓 függvény akkor értelmezhető, ha

−2 < 푥 ≤ 0,25 vagy 3 ≤ 푥 < 5푥 ∈ 푹.

28. Állapítsa meg a valós számok halmazának azt a legbővebb részhalmazát, amelyen a következő kifejezések értelmezhetőek! Adja meg a kifejezések legnagyobb és legkisebb értékét!

a) log 0,5 ;

b) √1 − sin 푥;

c) log 0,5 √1 − sin 푥.

Közgazdaságtudományi egyetemekre és főiskolákra felvételizők írásbeli érettségi-felvételi feladata; 1992

Megoldás:

a) 0,5 > 0mindig teljesül, ezértlog 0,5 mindig értelmezhető.

30

log 0,5 = log = log 2 = − sin 푥, ezért a kifejezés legnagyobb

értéke +1, a legkisebb értéke −1. A maximumot 푥 = − + 2푘휋, a minimumot

푥 = + 2푘휋esetén veszi fel, ahol푘 ∈ 풁.

b) 1 − sin 푥 = cos 푥 ≥ 0,ezért a négyzetgyökös kifejezés mindig értelmezhető.

√1 − sin 푥 = √cos 푥 = |cos 푥|, így a kifejezés 0 és 1 közötti értékeket vesz fel. A minimumot,0-t푥 = + 푘휋esetén, a maximumot,1-et 푥 = 푘휋esetén(푘 ∈ 풁).

c) az a) és b) pont szerint log 0,5 ∙ √1 − sin 푥 = −sin푥 ∙ |cos 푥| mindigértelmezhető.

− sin푥 ∙ |cos 푥| =− sin 푥 ∙ cos 푥 = −

12sin2푥,ha cos 푥 ≥ 0,

sin 푥 ∙ cos 푥 =12sin2푥,ha cos 푥 < 0.

− ≤ sin 2푥 ≤ ,ezértakifejezésértékkészletea − ; intervallum.

Afüggvénygrafikonjasegítaminimum-ésmaximumhelyekmegadásában:

minimumhelyek:푥 = + 2푘휋;푥 = + 2푘휋푘 ∈ 풁,

maximumhelyek:푥 = − + 2푘휋;푥 = − + 2푘휋푘 ∈ 풁.

29. Adja meg a valós számoknak azt a legbővebb részhalmazát, amelyen az alábbi függvények értelmezhetőek:

a) 푥 ↦

b) 푥 ↦ tg푥 c) 푥 ↦ tg√푥. Írásbeli érettségi-felvételi feladatok; 1998

Megoldás:

a) A tört nevezője nem lehet 0, ezért tg푥 ≠ 0, a függvény értelmezési tartománya:

푥 ∈ 푹 푥 ≠휋2+ 푘휋 ; 푘 ∈ 풁

b) Négyzetgyök alatt nem lehet negatív szám, ezért tg푥 ≥ 0, a függvény értelmezési tartománya:

푥 ∈ 푹 푘휋 ≤ 푥 <휋2+ 푘휋 ; 푘 ∈ 풁

31

c) A négyzetgyök miatt 푥 ≥ 0, a tangens értelmezése miatt

√푥 ≠휋2+ 푘휋 ⇒ 푥 ≠

휋2+ 푘휋 ; 푘 ∈ 푵.

Ezek alapján a függvény értelmezési tartománya

푹 \휋2+ 푘휋 ; 푘 ∈ 푵 .

30. Legyen 푝 valós paraméter. Tekintsük a valós számok halmazán értelmezett 푓 függvényt, amelynek hozzárendelési szabálya 푓(푥) = −3푥 + (푝 − 3)푥 + 푝 푥 − 6.

a) Számítsa ki a ∫ 푓(푥)푑푥 határozott integrál értékét, ha 푝 = 3!

b) Határozza meg a 푝 értékét úgy, hogy az 푥 = 1 zérushelye legyen az 푓 függvénynek!

c) Határozza meg a 푝 értékét úgy, hogy az 푓 függvény deriváltja az 푥 = 1 helyen pozitív legyen!


Megoldás:

a) 푝 = 3 esetén a függvény 푓(푥) = −3푥 + 9푥 − 6. Ekkor

(−3푥 + 9푥 − 6) 푑푥 = [−0,75푥 + 4,5푥 − 6푥] = −12 + 18 − 12 = −6.

b) Ha 푥 = 1 -et helyettesítünk a függvénybe, nulla értéket kell kapnunk:

−3 + 푝 − 3 + 푝 − 6 = 0 ⇒ 푝 + 푝 − 12 = 0.

A másodfokú egyenlet megoldásával kapjuk:

푝 = 3vagy푝 = −4.

c) 푓 (푥) = −9푥 + 2(푝 − 3)푥 + 푝 , 푓 (1) = −9 + 2(푝 − 3) + 푝 = 푝 + 2푝 − 15.

A 푝 + 2푝 − 15 > 0 egyenlőtlenséget kell megoldanunk. A 푝 + 2푝 − 15 = 0 egyenlet megoldásai 푝 = 3; 푝 = −5. Az egyenlőtlenség megoldása így 푝 < −5 vagy 푝 > 3.

31. Legyen 푓(푥) = − + + − 푎, ahol 푎 pozitív valós szám és 푥 ∈ 푹.

a) Igazolja, hogy ∫ 푓(푥) 푑푥 = −푎 + 푎.

b) Mely pozitív 푎 számokra teljesül, hogy ∫ 푓(푥)푑푥 ≥ 0 ?

c) Az 푥 mely pozitív valós értéke esetén lesz a 푔(푥) = −푥 + 푥 függvénynek lokális (helyi) maximuma?


Megoldás:

a) ∫ − + + − 푎 푑푥 = − + + − 푎푥 =− + + − 푎 = −푎 + 푎.

32

b) A −푎 + 푎 ≥ 0 egyenlőtlenséget kell megoldanunk. A feladat feltétele szerint 푎 > 0, így az egyenlőtlenséget oszthatjuk 푎-val: −푎 + 1 ≥ 0 ⇒ (푎 + 1)(푎 − 1) ≤ 0.

푎 + 1 pozitív, ezért az egyenlőtlenség 푎 − 1 ≤ 0, azaz 푎 ≤ 1 esetén teljesül.

Tehát az integrál akkor lesz nemnegatív, ha 0 < 푎 ≤ 1.

c) A 푔 függvénynek ott lehet szélsőértéke, ahol a deriváltja 0.

푔 (푥) = −3푥 + 1 = 0.

Pozitív valós számok között ez csak 푥 =√

–ra teljesül. Ebben a pontban

푔 (푥) = −6푥 = −6√3

< 0,

ezért ebben a pontban a függvénynek lokális maximumhelye van.

32. a) Ábrázolja függvény-transzformációk segítségével a [−3; 4] intervallumon az 푥 ↦ 푥 − 2|푥| − 3 hozzárendelési szabállyal megadott függvényt!

b) Legyen az f, gés h függvények értelmezési tartománya a valós számok halmaza, hozzárendelési szabályuk:

푓(푥) = 푥 − 2푥 − 3; 푔(푥) = 푥 − 3; ℎ(푥) = |푥|.

Képezzünk egyszeresen összetett függvényeket a szokásos módon. Például

(푔 ∘ 푓)(푥) = 푔 푓(푥) = (푥 − 2푥 − 3) − 3 = 푥 − 2푥 − 6.

Készítse el – a fenti példának megfelelően – az 푓, 푔és ℎ függvényekből pontosan két különböző felhasználásával képezhető egyszeresen összetett függvényeket! Sorolja fel valamennyit!

(A (푔 ∘ 푓)(푥) függvényt nem szükséges újra felírni.)

c) Keressen példát olyan 푝 és 푡, a valós számok halmazán értelmezett függvényre, amelyre

(푝 ∘ 푡)(푥) = (푡 ∘ 푝)(푥)!

Adja meg a 푝 és 푡 függvény hozzárendelési szabályát!


Megoldás:

a) 푥 − 2|푥| − 3 = 푥 − 2푥 − 3 = (푥 − 1) − 4,ha푥 ≥ 0푥 + 2푥 − 3 = (푥 + 1) − 4,ha푥 < 0.

33

A függvény grafikonját az 푥 → 푥 függvény transzformációjával kapjuk meg.

b) (푓 ∘ 푔)(푥) = 푓 푔(푥) = (푥 − 3) − 2(푥 − 3) − 3 = 푥 − 8푥 + 12;

(푓 ∘ ℎ)(푥) = 푓 ℎ(푥) = |푥| − 2|푥| − 3 = 푥 − 2|푥| − 3;

(푔 ∘ 푓)(푥) = 푔 푓(푥) = (푥 − 2푥 − 3) − 3 = 푥 − 2푥 − 6;

(푔 ∘ ℎ)(푥) = 푔 ℎ(푥) = |푥| − 3;

(ℎ ∘ 푓)(푥) = ℎ 푓(푥) = |푥 − 2푥 − 3|;

(ℎ ∘ 푔)(푥) = ℎ 푔(푥) = |푥 − 3|.

c) Például: 푝(푥) = 푥 ; 푡(푥) = 푥 . Ekkor

(푝 ∘ 푡)(푥) = 푝 푡(푥) = (푥 ) = 푥 .

(푡 ∘ 푝)(푥) = 푡 푝(푥) = (푥 ) = 푥 .

33. a) Határozza meg a valós számoknak azt a legbővebb részhalmazát, amelyen a

√푥 − 6푥 + 9 kifejezés értelmezhető!

b) Ábrázolja a [−5; 8]intervallumon értelmezett 푓: 푥 ↦ √푥 − 6푥 + 9 függvényt!

c) Melyik állítás igaz és melyik hamis a fenti f függvényre vonatkozóan?

A: Az 푓 értékkészlete: [0; 5].

B: Az 푓 függvény minimumát az 푥 = −3 helyen veszi fel.

C: Az 푓 függvény szigorúan monoton nő a [4; 8] intervallumon.

d) Határozza meg az ∫ (x − 6x + 9)dx értékét!


Megoldás:

a) 푥 − 6푥 + 9 = (푥 − 3) ≥ 0, ezért a függvény a valós számok halmazán értelmezhető.

b) √푥 − 6푥 + 9 = (푥 − 3) = |푥 − 3|.

34

Az 푓 függvény grafikonja:

c) A grafikonról leolvasható, hogy az értékkészlet a [0; 8] intervallum, a függvény a minimumát az 푥 = 3 helyen veszi fel, és szigorúan monoton nő a [3; 8] intervallumon. Így az 푨 és 푩 állítás hamis, a C igaz.

d) ∫ (푥 − 6푥 + 9)dx = − 3푥 + 9푥 = (9 − 27 + 27) − (−9 − 27 − 27) = 72.

34. Az 푓(푥) = 3푥 + 푏 függvény grafikonjának az 푥 = 2 helyhez tartozó érintője áthalad az origón.

a) Hol metszi ez az érintő a parabola vezéregyenesét?

b) Számítsuk ki a függvénygörbe, az érintő és az 푦 tengely által közbezárt terület nagyságát.

KöMaL 2010. december; emelt szintű gyakorló feladatsor 7. feladat

Megoldás:

Az érintő meredekségét a függvény deriváltja határozza meg: 푓 (푥) = 6푥. Az 푥 = 2 pontban a derivált 푓 (2) = 12.

푓(2) = 12 + 푏, ezért az érintési pont 퐸 2; 푓(2) = (2; 푏 + 12), az érintő egyenlete:

푦 − 푏 − 12 = 12(푥 − 2) ⇒ 푦 = 12푥 + 푏 − 12.

Ez az egyenes akkor megy át az origón, ha 푏 = 12, 푓(푥) = 3푥 + 12, az érintő egyenlete 푦 = 12푥.

a) Ha a parabola paramétere 푝, akkor 3 = ⇒ 푝 = , ekkor a parabola vezéregyenesének

egyenlete 푦 = 12 − = 12 − = .

Meghatározzuk az érintő és a vezéregyenes metszéspontját:

12푥 =14312

⇒ 푥 =143144

.

A metszéspont ; .

35

b) A függvénygörbe, az érintő és az 푦 tengely által közbezárt területet a megfelelő határozott integrál kiszámításával adjuk meg:

푇 = (3푥 + 12)푑푥 − 12푥푑푥 =

= (3푥 − 12푥 + 12)푑푥 =

= 3 ∙푥3− 12 ∙

푥2+ 12 ∙ 푥 = 8 − 24 + 24 − 0 = 8.

35. Adott a valós számokon értelmezett

퐼(푥) = 푓(푡)푑푡

függvény, és tudjuk, hogy 푓(푡) = 3푡 + 4푡 − 1. Határozzuk meg az 퐼(푥) zérushelyeit, és azokat az intervallumokat, melyeken konvex, illetve konkáv a függvény.

KöMaL 2012. november; emelt szintű gyakorló feladatsor 3. feladat

Megoldás:

퐼(푥) = 푓(푡)푑푡 = (3푡 + 4푡 − 1)푑푡 = [푡 + 2푡 − 푡] =

= 푥 + 2푥 − 푥 − (−8 + 8 + 2) = 푥 + 2푥 − 푥 − 2 =

= 푥 (푥 + 2) − (푥 + 2) = (푥 + 2)(푥 − 1) = (푥 + 2)(푥 + 1)(푥 − 1).

Ennek a függvénynek a zérushelyei: 푥 = −2;−1;+1.

A függvény konvexitását a második derivált vizsgálatával határozzuk meg:

퐼 (푥) = 3푥 + 4푥 − 1;퐼 (푥) = 6푥 + 4.

A második derivált 푥 = − esetén 0. Ha 푥 < −, akkor a második derivált negatív, az 퐼(푥)

függvény konkáv a −∞;− intervallumon. Ha 푥 > −, akkor a második derivált pozitív, az

퐼(푥) függvény konvex a − ;+∞ intervallumon. Az 푥 = − pontban a függvénynek inflexiós pontja van.

Documents

2. Függvények · Gordiusz Matematika Tesztverseny 2007; 11. osztály, megyei forduló 23. A valós számokon értelmezett B( T) függvényre bármely T≠0 esetén igaz, hogy 2∙