- Kanon fizyki WAT, Wydział Nowych Technologii i Chemii, Instytut Fizyki TechnicznejW-02

2. Fizyczne podstawy mechaniki - I

2.1. Kinematyka:

• ruch w trzech wymiarach,

• parametryczne równania toru,

• prędkość,

• przyśpieszenie

- przyspieszenie styczne i normalne do toru ruchu,

• niezmienniczość Galileusza,

• układy inercjalne i nieinercjalne.

Kinematyka – dział mechaniki, zajmujący się ruchem ciał, bez uwzględniania ich

masy oraz rozpatrywania przyczyn wywołujących ruch ciała.

Podstawowe pojęcia

Podstawowe zadanie kinematyki: znalezienie kinematycznego równania

ruchu, czyli zależności współrzędnych ciała od czasu, a także parametrów ruchu

ciała: przebytej drogi, prędkości, przyspieszenia i położenia w danej chwili czasu.

Ciało – obiekt materialny, czyli obdarzony masą.

Modele ciała – możliwość pominięcia pewnych rodzajów ruchu, np. ruchu

obrotowego lub drgającego:

▪ Punkt materialny – punkt matematyczny, w którym skupiona jest pewna masa

– np. samolot na ekranie radaru.

▪ Bryła sztywna – ciało o pewnej masie zajmujące pewną stałą objętość i kształt

– np. samolot na lotnisku.

▪ Bryła elastyczna – np. samolot w locie. 3

Względność ruchu

Ruch jest zjawiskiem względnym i może być rozpatrywany jedynie względem

innego ciała lub układu ciał.

Układ odniesienia – układ współrzędnych dowiązany do pewnego ciała lub

układu ciał, zaopatrzonego dodatkowo w zegar do pomiaru czasu.

Wybór układu odniesienia należy do nas i powinien upraszczać rozwiązanie

zagadnienia.

W. Moebs, S. J. Ling, J. Sanny, Fizyka dla szkół wyższych, t.1, openstax, Polska, 2018

Położenie rowerzystek można podać

względem:

- ulicy, budynków,

- samochodów czy

- względem siebie nawzajem.

Ich ruch można opisać poprzez poło-

żenie oraz przemieszczenie w wybra-

nym układzie odniesienia. 4

Ruch w trzech wymiarachPołożenie – względem wybranego układu

współrzędnych (ciała) – gdzie jestem?

Ruch – zmiana położenia: w jakim kierunku,

jak szybko, w jaki sposób?

Wektor (promień) wodzący – wektor

wyprowadzony z początku przyjętego układu

odniesienia do punktu położenia ciała w danej

chwili czasu.

Przemieszczenie – zmiana położenia w czasie.

z

x

y

P1P2

r1r2

xy

z

𝒓 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2

Wektory wodzące r1 i r2 dla położeń ciała odpowiednio P1(t) i P2(t); x≡ i, y ≡ j, z ≡ k

wersory, czyli wektory jednostkowe osi (długość = 1, kierunek i zwrot odpowiedniej

osi).

Zmiana położenia między P1 i P2: r2 – r1

5

Ԧ𝑟 ≡r

UWAGA:

6

Kinematyczne równanie ruchu przedstawia

wektor wodzący punktu r(t) zapisany w

kartezjańskim układzie współrzędnych jako:

gdzie x(t), y(t), z(t) są skalarnymi postaciami

kinematycznego równania ruchu, natomiast

i, j, k są wspomnianymi wersorami osi

kartezjańskiego układu współrzędnych,

odpowiednio: Ox, Oy i Oz. Parametrem w tych

równaniach jest czas t.

Parametryczne równania toru

𝒓 𝑡 = 𝑥 𝑡 𝒊 + 𝑦 𝑡 𝒋 + 𝑧 𝑡 𝒌

Tor ruchu (trajektoria) ciała – miejsce geometryczne kolejnych położeń ciała.

W. Moebs, S. J. Ling, J. Sanny, Fizyka dla szkół wyższych, t.1, openstax, Polska, 2018;

Krzywe balistyczne przy takim samym kącie

wystrzału i masie, lecz różnych prędkościach

początkowych.

Eliminując z tych równań czas otrzymamy równanie toru ruchu punktu.

Tory lotu piłki golfowej uderzone pod różnymi

kątami, ale o tym samym zasięgu, równym 90 m.

7

Podstawowe rodzaje ruchu

Postępowy

Prostoliniowy Krzywoliniowy

Jednostajny Zmienny

Jednostajnie Niejednostajnie

Obrotowy

Jednostajny Zmienny

Jednostajnie Niejednostajnie

8

Szybkość średnia – stosunek całkowitej drogi (przemieszczenia) i całkowitego

czasu potrzebnego do pokonania tej drogi.

Szybkość i prędkość

Jest to wielkość skalarna wyrażana w [m/s].

Wygodna miara zmian drogi w czasie, używają jej kierowcy, żeby określić czas, po

którym dotrą do wyznaczonego celu od momentu rozpoczęcia podróży. Ale w którą

stronę świata jedziemy?

vśr = całkowita droga/całkowity czas = Ds/Dt

Niech w chwili czasu t1 ciało znajduje się w położeniu x1, a w chwili t2 w położeniu x2.

Prędkość średnia ഥ𝒗 wynosi: ഥ𝒗 =𝒙2− 𝒙1

𝑡2−𝑡1=

∆𝒙

∆𝑡[𝑚

𝑠]

To jest wielkość wektorowa – dlaczego?

Bo podaje nie tylko wartość szybkości ruchu, ale także jej kierunek i zwrot.

A dlaczego droga jest tu wektorem?9

Prędkość chwilowa oraz pokonana droga

Prędkość chwilowa – ciągła funkcja czasu, informacja o wektorze prędkości cząstki

w dowolnym punkcie i dowolnej chwili jej ruchu.

Obliczamy ją jako pochodną po czasie zależności położenia od czasu. Dla przypadku

ruchu jednowymiarowego w kierunku osi x:

Znając zależność prędkości chwilowej ciała od czasu możemy obliczyć drogę

pokonaną przez to ciało. Stała całkowania C ma tu sens fizyczny drogi początkowej

s0.

𝑠 = 𝑥(𝑡) = 𝑥2 − 𝑥1 = න𝒗 𝑡 𝑑𝑡 + 𝐶

𝑠 = 𝑥(𝑡) = 𝑥2 − 𝑥1 = න𝑥1

𝑥2

𝒗 𝑡 𝑑𝑡

Ale znając położenie początkowe i końcowe można zapisać (dlaczego?):

𝒗 𝑡 = lim∆𝑡→0

𝒙 𝑡+∆𝑡 −𝒙 𝑡

∆𝑡=

𝑑𝒙

𝑑𝑡[𝑚

𝑠]

10

Prędkość chwilowa i szybkość średniaCzy tych panów interesuje szybkość średnia czy

prędkość chwilowa?

https://commons.wikimedia.org/wiki/File:ULTRALYTE_983.8_m.jpg?uselang=pl

Prędkość w ruchu krzywoliniowym

W ruchu krzywoliniowym wektor prędkości zmienia swój kierunek w czasie;

w celu jednoznacznego opisu można go rozłożyć na dwie składowe:

𝒗 𝑡 = 𝒗𝑟 + 𝒗𝑡

prędkość styczną (wzdłuż trajektorii) vt, skierowaną lokalnie prostopadle do

wektora wodzącego r poruszającego się ciała, prędkość normalną

(poprzeczną) vr, skierowaną równolegle do wektora wodzącego r.11

https://commons.wikimedia.org/wiki/File

Obliczanie prędkości na podstawie wykresu x(t)

W przedziale czasu ciało oddala się od początku układu współrzędnych –

prędkość jest dodatnia. W kolejnym przedziale czasu , położenie się nie

zmienia, prędkość jest zerowa. Natomiast dla przedziału czasu ciało

porusza się wstecz, w stronę początku układu współrzędnych – ma wtedy przeciwny

kierunek ruchu oraz ujemną prędkość.

W. Moebs, S. J. Ling, J. Sanny, Fizyka dla szkół wyższych, t.1, openstax, Polska, 2018

M-4

12

Przyspieszenie

Przyspieszenie a – miara zmiany prędkości v(t) w czasie.

𝒂 𝑡 =𝑑𝒗 𝑡

𝑑𝑡

m

s2

W ruchu jednostajnie zmiennym przyspieszenie jest stałe:

𝒂(𝑡) =𝑑𝒗(𝑡)

𝑑𝑡= const

𝒂 > 0 – prędkość rośnie – ruch przyspieszony

𝒂 < 0 – prędkość maleje – ruch opóźniony

Dlatego wygodnie jest rozłożyć wektor a na dwie składowe: as lokalnie styczną

(przyspieszenie styczne) do toru ciała, która odpowiada za zmianę wartości

prędkości i an lokalnie normalną (przyspieszenie normalne) do toru ciała, która

odpowiada za zmiany kierunku prędkości.

𝒂 = 𝒂𝑠 + 𝒂𝑛

W ruchu krzywoliniowym wektor przyspieszenia a nie jest zgodny z wektorem

prędkości. Opisuje nie tylko zmianę wartości prędkości, ale także jej kierunku.

13

Rozpatrzmy ruch jednostajny po okręgu i wybierzemy początek kartezjańskiego

układu współrzędnych w środku okręgu.

W tym przypadku wektor wodzący punktu materialnego jest równy promieniowi

okręgu. Przyspieszenie as jest zawsze styczne do okręgu, przyspieszenie an zawsze

prostopadłe do okręgu.

Szybkość jest stała, ale prędkość zmienna w czasie, bo zmienia się jej kierunek.

14

Przyspieszenie styczne i normalne – ruch po okręgu

Jak widać liniowe wektory: prędkość v i przyspieszenie a są zmienne nawet dla

ruchu jednostajnego po okręgu. Dlatego dla ruchu po okręgu zamiast drogi liniowej

s wygodnie jest wprowadzić drogę kątową a, czyli kąt zakreślany przez wektor

wodzący poruszającego się punktu.

Konsekwentnie wprowadzamy pojęcie prędkości kątowej w oraz przyspieszenia

kątowego e:

𝛚 =d𝛂

d𝑡

𝑟𝑎𝑑

𝑠; 𝛆 =

d𝝎

d𝑡=d2𝛂

d𝑡2𝑟𝑎𝑑

𝑠2𝒗 = 𝝎 × 𝒓

Uwaga:

wektory prędkości kątowej oraz przyspieszenia kątowego są

prostopadłe do płaszczyzny ruchu ciała.

W przypadku ruchu jednostajnego po okręgu:

|𝒗 𝑡 | = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 𝝎(𝑡) = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 15

Niezmienniczość Galileusza

x

y

z

x’

y’

z’

OO’

vo

P(x,y,z) = P(x’,y’,z’)

vo t

Rozważmy układ Oxyz pozostający w spoczynku oraz układ O’x’y’z’ poruszający się

wzdłuż osi x układu O ze stałą prędkością v0=const (czyli ruch jednostajny

jednowymiarowy).

Dla chwili czasu t0 układy O i O’ są tożsame. Ponadto

założymy, że czas w obu układach płynie tak samo,

czyli t’ = t.

Między układami O i O’ istnieją następujące związki współrzędnych:

które razem z warunkiem jednakowego upływu czasu tworzą tzw. transformację

(przekształcenie) Galileusza. Znak „+/-”zależy od tego, w którą stronę osi Ox

porusza się układ ruchomy.

𝑥′ = 𝑥 ± 𝑣0𝑡; 𝑦′ = 𝑦; 𝑧′ = 𝑧,

Transformacja Galileusza umożliwia przeliczenie parametrów ruchu z

nieruchomego układu odniesienia do układu poruszającego się lub odwrotnie.16

𝑣𝑥′ 𝑡 =

d𝑥 ,

d𝑡=d 𝑥 𝑡 − 𝑣0𝑡

d𝑡=d𝑥(𝑡)

d𝑡− 𝑣0 = 𝑣𝑥 𝑡 − 𝑣0

gdzie v0 jest prędkością poruszania się układu ruchomego względem układu

nieruchomego.

Jeżeli punkt P ma w układzie O prędkość:

to różniczkując transformację Galileusza otrzymamy prędkość tego punktu w układzie

O’:

𝒗 = 𝒗𝑥 + 𝒗𝑦+ 𝒗𝑧

𝒂𝑥′ 𝑡 =

d𝒗𝑥′

d𝑡=d 𝒗𝑥 𝑡 − 𝒗0

d𝑡=d𝒗𝑥(𝑡)

d𝑡= 𝒂𝑥(𝑡)

𝒂𝑦′ 𝑡 =

d𝒗𝑦′

d𝑡=

d𝒗𝑦(𝑡)

d𝑡= 𝒂𝑦(𝑡) 𝒂𝑧

′ 𝑡 =d𝒗𝑧

′

d𝑡=

d𝒗𝑧(𝑡)

d𝑡= 𝒂𝑧(𝑡)

A ponieważ założyliśmy ruch tylko wzdłuż osi Ox, to:

Różniczkując prędkość otrzymamy z kolei przyspieszenie punktu w układzie O’

Transformacja Galileusza jest niezmiennicza względem przyspieszenia

i oczywiście czasu (bo to założyliśmy). a’(t) = a(t) t’ = t 17

Układy inercjalne i nieinercjalne

Układ inercjalny – układ odniesienia poruszający się ruchem jednostajnym

prostoliniowym lub pozostający w spoczynku względem innego układu.

Zasada względności Galileusza: wszystkie układy, które poruszają się

względem siebie bez przyśpieszenia, czyli ruchem jednostajnym prostoliniowym,

są równoważne mechanicznie.

Jeśli układ O1 porusza się względem układu O2 ze stałą

prędkością, to przyśpieszenie punktu materialnego jest w

obu układach jednakowe.

𝑑𝒗12𝑑𝑡

= 0 → 𝒂1= 𝒂2

Układ nieinercjalny – układ odniesienia poruszający się ruchem prostoliniowym

zmiennym lub krzywoliniowym względem innego układu.

W tym przypadku nie jest spełniona zasada względności Galileusza. Na ciało w

nieinercjalnym układzie odniesienia działają przyspieszenia pozorne. Zjawisko to

nazywamy bezwładnością ciała, czyli tendencją ciała do zachowania stanu ruchu.18

Nie inercjalność wynikająca z obrotu

Ziemi 𝑎 =

v2

𝑅𝑧= 𝜔2𝑅𝑧 =

4𝜋2𝑅𝑧𝑇2

≈ 3,4 ⋅ 10−2m/s2

Nie inercjalność wynikająca z ruchu wokół

Słońca (v=30 km/s, R=150.106 km)𝑎 =v2

𝑅≈ 6 ⋅ 10−3m/s2

Nie inercjalność wynikająca z ruchu Słońca

wokół Galaktyki (v=300 km/s R=3.1020 m) 𝑎 =v2

𝑅≈ 3 ⋅ 10−10m/s2

Wg Macha jedynie układ odległych gwiazd stałych jest w miarę dobrym

układem inercjalnym.

Gdy w nieinercjalnym układzie odniesienia obracającym się

jednostajnie z prędkością kątową w porusza się ciało ruchem

jednostajnym prostoliniowym z prędkością v, to nieruchomy

obserwator zewnętrzny widzi, że tor ruchu jest krzywoliniowy –

za chwilę (KF-04) określimy to jakby na ciało działała pewna siła

nazywana siłą Coriolisa FC.

https://pl.wikipedia.org/wiki/Efekt_Coriolisa#/media/File:Corioliskraftanimation.gif

Ziemia jest takim nieinercjalnym układem

obracającym się (z W na E) układem odniesie-

nia. Dlatego tor ciała poruszającego się np. od

równika ku biegunowi północnemu ulegają

nieznacznemu odchyleniu w kierunku E.

Skutki: cyklony, podmywanie brzegów rzek,

odchylenie od pionu spadających swobodnie

przedmiotów.

19

Podsumowanie

1. Poznaliśmy podstawowe definicje i wielkości związane z ruchem ciał, czyli

podstawy kinematyki.

2. Zaniedbaliśmy rozmiary ciała stosując model punktu materialnego, co pozwala

nam ograniczyć się do najprostszych przypadków ruchu.

3. Wiemy, że dla opisu ruchu ciała konieczne jest wprowadzenie układu

odniesienia.

4. Wprowadziliśmy pojęcie układu inercjalnego i pojęcie niezmienniczości

Galileusza.

5. Potrafimy określić rodzaj ruchu i wyznaczyć prędkość oraz przyspieszenie

ciała w tym ruchu.

6. W opisie kinematycznym pominęliśmy również przyczyny wywołujące ruch

ciała. Tym zagadnieniem zajmiemy się w wykładzie K-04. 20

21