2 La struttura dell’universo su grande scala

Analizziamo in dettaglio le osservazioni che mostrano come l’universo siaomogeneo ed isotropo su grande scala, ed in espansione. Queste osservazionicostituiscono la base su cui costruiremo il modello cosmologico:

• la radiazione cosmica di fondo,

• la distribuzione delle galassie su grande scala,

• la legge di Hubble.

2.1 La radiazione cosmica di fondo

Nel 1965, Arno Penzias e Robert Wilson stavano calibrando un sistema diricezione alle lunghezze d’onda centimetriche nei laboratori della Bell Tele-phone quando scoprirono un’emissione intensa e di↵usa nelle bande cm, mme submm. Questa emissione era rimarchevolmente uniforme in cielo e per1 cm † † 1m aveva uno spettro I

9 2 come la coda di Rayleigh-Jeans diun corpo nero con temperatura T „ 2.7K. Ricordiamo che l’intensita di uncorpo nero e data dalla formula di Planck

I

“ 2h3

c21

ehkT ´ 1(2.1)

che per nel limite di Rayleigh-Jeans diventa

I

« 2kT

c22 con

h

kT! 1 (2.2)

La legge degli spostamenti di Wien fornisce la relazione tra lunghezza d’ondadel massimo dell’emissione e temperatura

max

T “ 0.20 cmK (2.3)

per cui per T „ 2.7K si ha max

„ 0.1 cm; quindi il massimo dell’emissionecadeva a „ 1mm ovvero in una regione dicilmente osservabile da Terra.Negli anni ‘70 e ‘80, esperimenti con i palloni stratosferici hanno poi rivelatola parte di Jeans dell’emissione confermando lo spettro di corpo nero di questaemissione cosmica di fondo o CMB (Cosmic Microwave Background).

La conferma definitiva che l’emissione cosmica di fondo era quella di uncorpo nero con T „ 2.7K venne con il satellite COBE (COsmic BackgroundExplorer) lanciato nel 1989 che ottenne una mappa completa del cielo e lospettro della radiazione dall’infrarosso al millimetrico (2 ´ 1000µm).

6

2.1 The Spectrum and Isotropy of the Cosmic Microwave Background Radiation 31

Fig. 2.2a–c. Maps of the whole sky in galactic coordinates as observed at a wavelength of5.7 mm (53 GHz) by the COBE satellite at different sensitivity levels. a The distribution of totalintensity over the sky. b Once the uniform component was removed, the dipole componentassociated with the motion of the Earth through the background radiation was observed, aswell as a weak signal from the Galactic plane. c Once the dipole component was removed,radiation from the plane of the Galaxy was seen as a bright band across the centre of thepicture. The fluctuations seen at high galactic latitudes were a combination of noise fromthe telescope and the instruments and a genuine cosmological signal. The rms value of thefluctuations at each point away from the Galactic equator amounted to 36 µK. When averagedstatistically over the whole sky at high latitudes, an excess sky noise signal of cosmologicalorigin of 30 ± 5 µK was detected (Bennett et al., 1996)

smoothed to 10 angular scale. These values were found to be frequency independentfor the three COBE frequency channels at 31.5, 53 and 90 GHz. The detection ofthese fluctuations is a crucial result for understanding the origin of the large-scalestructure of the Universe. The COBE observations allow information to be obtainedabout the angular spectrum of the intensity fluctuations on all scales θ ≥ 7. InChap. 15, we will deal with the important cosmological information which can be

Figura 1: Mappa a tutto cielo della radiazione cosmica di fondo, rappresentatain coordinate galattiche (ovvero il piano della galassia e l’asse maggiore dell’el-lisse che racchiude la mappa), cosı come ottenuta dal satellite COBE a 5.7 mm(53 GHz). Le tre mappe rappresentano livelli diversi di sensibilita. (a) Distri-buzione complessiva in cielo dell’intensita della radiazione osservate. (b) Mappada cui e stata sottratta una componente uniforme di corpo nero alla temperaturadi T “ 2.728 K; i residui hanno una distribuzione di dipolo e con fluttuazioni ditemperatura massime pari T “ 3.353 mK rispetto alla componente uniforme. (c)Mappa da cui e stata sottratta la componente di dipolo e che mostra l’emissione del-la galassia (banda rossa). Le fluttuazioni ad alta latitudine galattica corrispondonoalla combinazione di rumore e di segnale cosmologico. Tenendo conto del rumore,le fluttuazioni di natura cosmologica hanno una rms pari a T “ 35˘2µK su scaledi 7

˝. I T riportati per le figure (b) e (c) rappresentano i limiti delle scale dicolore che rappresentano i valori di temperatura compresi tra ˘T .

7

584 FIXSEN ET AL. Vol. 473

FIG. 4.ÈUniform spectrum and Ðt to Planck blackbody (T ). Uncertainties are a small fraction of the line thickness.

of the spectra derived from the DIRBE templates in theprincipal Ðt, and Ðt for their intensities at each pixel.g

k

(l),The CMBR temperature assumes a Planck spectrum. Thesespectra were chosen to match the shape of the spectrum inthe data. This yields maps of the CMBR temperature anddust intensities. A monopole plus three dipole componentsare then Ðtted to the resulting temperature map.

The vector sum of the dipole coefficients points in thedirection (l, b) consistent\ (264¡.14 ^ 0.15, 48¡.26 ^ 0.15),with the direction from the DMR results. Data foro b o \ 10¡ were excluded from the dipole Ðt because of thepotential inaccuracy of the model of the Galaxy. The direc-tion is particularly sensitive to the Galaxy because it isalmost orthogonal to the direction of the Galactic center.Galactic variations in spectral shape as a function of longi-tude couple into the angle directly, while for the Ðxed anglecase, they come in as second-order terms for the samereason.

6. THE COSMIC SPECTRUM

The monopole spectrum from (see isequation (2) Fig. 4)well Ðtted by a Planck blackbody spectrum, and deviationsare small, consistent with the earlier FIRAS results withintheir larger uncertainties et al.(Shafer 1991 ; Cheng 1992 ;

et al. To determine or constrain any devi-Mather 1994).ations from a blackbody, let us consider a generic cosmo-logical model where p is some cosmic parameterS

c

(l ; p),quantifying the deviation from a blackbody, such as theKompaneets y parameter for Comptonized spectra or thedimensionless chemical potential k for a Bose-Einsteinphoton distribution. Because the deviation is small, a linearÐt

I0(l) \ Bl(T0

) ] *TLBlLT

] G0g(l) ] p

LSc

Lp(3)

can be performed on the unknown parameters p, andG0,

*T . The Ðrst two terms are the Planck blackbody spectrum,with the temperature It is important to have theT

0] *T .

second term in order to properly estimate the uncertaintysince the *T is strongly correlated with the resulting p (95%in the case of the Bose-Einstein distortion). The third termallows for Galactic contamination to remain in the mono-pole spectrum. The Ðnal term is the modeled deviation. WeÐt either the Kompaneets parameter or the chemical poten-tial, but the two are too similar to Ðt simultaneously. Theuncertainties are propagated from the template Ðts, and thecorrelation between the g(l) and increases the uncer-LS

c

/Lptainty of and p.G

0

6.1. Galactic ContaminationMost of the Galactic emission has been removed, but

there is a small residual contamination. We use either thederived from the all-sky data set (see or the;

k

gk

(l) ° 4)and we Ðt a temperature and an emissivity. Thel2Bl(T ),

model with a temperature of 9 K produces a lowerl2Bl(T )s2, and we use this model for the analysis in TheTable 4.problem is to Ðt the emission missed by the DIRBE maps,not the total Galactic dust. One possible interpretation ofthis Ðt is a 9 K Galactic halo or a cosmic background(uniform component) with a spectrum similar to the Galac-tic spectrum. One must be cautious, however, since subtlevariations in dust temperature or emissivity can producesimilar e†ects.

The determination of g(l) is dominated by low Galacticlatitude emission, and there is some variation from thisform at higher latitudes. We vary the Galactic latitudecuto† used in deriving in in order to testI

0(l) equation (3)

the e†ect of variations in the Galactic spectrum from g(l).Variations greater than the statistical uncertainty in anyderived parameters, such as the cosmological term p, wouldmost likely be due to an inadequacy in our Galactic model.

Figura 2: Spettro della radiazione cosmica di fondo misurato da COBE. Le unitain ascissa sono cm

´1 per cui 10 unita corrispondono a 1 mm e 5 a 2 mm. Leincertezze sono una frazione piccola dello spessore della riga. Lo spettro e quellodi un perfetto corpo nero con temperatura T “ 2.728 ˘ 0.002 K, entro gli errori dimisura.

Lo strumento FIRAS (Far Infrared Absolute Spectrophotometer) sul sa-tellite COBE misuro lo spettro della radiazione cosmica di fondo tra 0.5-2mm come mostrato in figura 2.

Lo spettro cosı misurato (le barre d’errore sono una frazione piccola dellospessore della riga) e quello di un perfetto corpo nero con

T “ 2.728 ˘ 0.002K (2.4)

Le deviazioni delle misure dalla formula di Planck sono molto piccole

I

† 0.03% Imax

per 0.5mm † † 2.5mm (2.5)

Il fatto che lo spettro della CMB sia un corpo nero indica che, al momentodell’emissione della radiazione, l’universo era in equilibrio termodinamico eche, quindi, c’era equilibrio termodinamico tra materia e radiazione. Almomento della “ricombinazione”, cioe al momento dell’emissione dei fotonidella CMB, questo equilibrio termodinamico si e rotto e materia e radiazionesi sono disaccoppiate. Come vedremo piu avanti, le deviazioni dello spettroda quello di un corpo nero sono molto piccole e possono essere spiegate conl’immissione di energia termica nel mezzo intergalattico ed il conseguente

8

riscaldamento di elettroni. Ad esempio, lo scattering Compton dei fotonidel fondo da parte degli elettroni caldi nel mezzo intergalattico puo causaredistorsioni dello spettro (e↵etto Sunyaev-Zeldovich).

Se l’immissione di energia termica avviene prima della ricombinazione(z ° 1000), ovvero quando materia e radiazione sono all’equilibrio termodina-mico, lo spettro della radiazione viene modificato secondo una distribuzionedi Bose-Einstein con potenziale chimico µ

I

“ 2h3

c21

ephkT`µq ´ 1(2.6)

ovviamente per µ “ 0 si riottiene il perfetto corpo nero. Se invece lo scatte-ring Compton avvenisse dopo la ricombinazione, per esempio a causa deglielettroni del mezzo intra-cluster, si avrebbe una deviazione dallo spettro dicorpo nero I

tale che

I

I

“ y fpxq con

$’’’&

’’’%

x “ h

kT

y һ

l.o.s.

ˆkT

e

mec

2

˙T

Ne

dl

(2.7)

dove l.o.s. indica la linea di vista (line of sight), ovvero l’integrale e calcolatolungo la linea di vista. Nel limite x ! 1, ovvero nella parte di Rayleigh Jeans,si ha

I

I

» ´2y´1 ` x

2

¯(2.8)

Dalle misure ottenute col satellite COBE e risultato che

|µ| § 10´4

|y| § 1.5 ˆ 10´5 (2.9)

ovvero delle deviazioni dal corpo nero estremamente piccole!Un altro strumento su COBE, il “Di↵erential Microwave Radiometer”,

otteneva mappe fotometriche (immagini) a “ 31.5, 53, 90GHz, corrispon-denti a x “ hkT “ 0.50, 0.85, 1.44 per T „ 3K, cioe verso la parte diRayleigh-Jeans dello spettro. Lo strumento aveva una risoluzione angolaresul cielo di 7˝. La scelta di quelle frequenze era cruciale per evitare l’e-missione della polvere galattica (cirri) a frequenze maggiori e l’emissione disincrotrone degli elettroni relativistici galattici a frequenze minori.

Come si vede dalle mappa in figura 1 (a) la temperatura e rimarchevol-mente costante a T “ 2.728K. Esistono fluttuazioni di circa 1/1000 visibiliin (b) dopo che e stata sottratta la componente a temperatura costante.

9

!

P

CMB

v⊙→

Figura 3: Moto del Sole rispetto alla CMB e spiegazione della componente didipolo.

La mappa in (b) ha una distribuzione bipolare del tipo

T “ T0

”1 `

´v

c

¯cos

ı(2.10)

che si puo facilmente spiegare in seguito all’e↵etto Doppler dovuto al motodel Sole nel riferimento della CMB (il moto annuale della Terra e gia statosottratto), come mostrato in figura 3. Il Sole si muove con velocita ~vd nelriferimento solidale con la CMB ed avra una componente di velocita vd cos nella direzione P che sto osservando da Terra (come si e detto, si considerasolo il moto del Sole rispetto alla CMB e si e gia corretto per il moto annualedella Terra attorno al Sole). Pertanto l’osservatore a Terra vedra la CMBmuoversi verso di lui con velocita v

CMB

“ ´vd cos e, per e↵etto Doppler,la frequenza sara osservata a

obs

“

1 ` vCMB

c

“

1 ´ vd cos

c

(2.11)

L’e↵etto Doppler alterera pertanto lo spettro di corpo nero ma sempre inmodo tale da conservare l’energia

I

obs

dobs

“ I

d (2.12)

10

In particolare, alle frequenze osservate il termine hkT diverra

h

kT“ h

obs

r1 ´ pvdcq cos skT

“ hobs

kTobs

(2.13)

da cui

Tobs

“ T

1 ´ vdc

cos » T0

´1 ` vd

ccos

¯(2.14)

dal momento che vdc ! 1. Questa e proprio la distribuzione dipolareosservata e quindi si ottiene che

T

T0“ vd

ccos (2.15)

Nella direzione della massima fluttuazione di temperatura (in coordinate ga-lattiche l “ 264.25˝˘0.33˝ e b “ 48.22˝˘0.13˝, che fornisce anche la direzioneverso cui si sta muovendo il Sole) si ha

Tmax

“ 3.353 ˘ 0.024mK (2.16)

da cui, noto T0 “ 2.728 ˘ 0.002K si ottiene

vd “ c

ˆT

max

T0

˙“ 368.7 ˘ 2.7 km s´1 (2.17)

Questa e proprio la velocita del Sole rispetto alla CMB ed e la combinazionedel moto di rotazione attorno al centro della Via Lattea e del moto della ViaLattea rispetto alla CMB.

La sensibilita di COBE ottenuta su scale di 7˝ (dimensioni della PointSpread Function - PSF - dello strumento) era meglio di 1/100,000 per cuiera possibile rivelare residui significativi dopo la sottrazione del termine didipolo. Ed in e↵etti i residui ottenuti dopo 4 anni di integrazione di COBEsono riportati in figura 1 (c). La figura mostra l’emissione dei cirri nel discogalattico (banda rossa) che pero puo essere sottratta confrontando le mappeottenute nelle varie bande: sappiamo infatti che T

CMB

„ 2.7K mentre i cirrisono molto piu caldi ed hanno pertanto uno spettro diverso che ne permettel’identificazione e la rimozione. Dopo aver sottratto l’emissione da parte dellapolvere galattica ed aver considerato le regioni ad alta latitudine galattica(|b| ° 20˝) restano delle fluttuazioni residue di temperatura la cui r.m.s.media e

|b| ° 20˝"

T “ 35 ˘ 2µK su scale di 7˝

T “ 29 ˘ 1µK su scale di 10˝ (2.18)

11

I diversi valori di T indicano che le fluttuazioni hanno ampiezze diverse suscale diverse ovvero che c’e uno spettro angolare delle fluttuazioni non piatto.

Si puo confrontare la vecchia immagine di COBE con la recente imma-gine ottenuta dal satellite Planck dell’ESA (2013; figura 4) che mostra lestesse strutture visibili ad alta latitudine galattica ma con una risoluzionespaziale notevolmente superiore. Vedremo piu avanti che informazione puoessere ottenuta studiando lo spettro angolare delle fluttuazioni della radia-zione cosmica di fondo ma, per il momento, ci basti sapere che la piccolezzadelle fluttuazioni di temperatura (T T „ 10´5) conferma che la CMB eomogenea ed isotropa a meno di 1 parte su 100,000.

Figura 4: Mappa a tutto cielo delle fluttuazioni di temperatura della radiazione co-smica di fondo ottenuta nel 2013 dal satellite Planck dell’Agenzia Spaziale Europea(ESA).

A questo punto e lecito chiedersi quale sia il legame tra le fluttuazio-ni di temperatura della CMB e la distribuzione di materia. La risposta aquesta domanda sara fornita in dettaglio piu avanti nel corso e, per adesso,limitiamoci ad una semplice descrizione qualitativa.

Nel modello standard del Big Bang (ovvero dell’universo in espansio-ne) la temperatura della radiazione diminuisce con l’espansione dell’univer-so in quanto i fotoni subiscono il “redshift cosmologico” (in pratica vengo-no espansi con l’universo stesso). Pertanto, come ricaveremo piu avanti, latemperatura della radiazione varia con z come:

Tr

“ 2.728p1 ` zqK (2.19)

Per zrec

„ 1500 si ha quindi Tr

„ 4000K. A quella temperatura, nella codadi Wien di un corpo nero ci sono sucienti fotoni in grado di ionizzare tutto

12

l’idrogeno nell’universo ( † 912 A) che per z ° zrec

, era mantenuto ionizzatodai fotoni della CMB. Nelle epoche precedenti z

rec

, H era completamenteionizzato e quindi la materia era accoppiata alla radiazione tramite scatteringThomson (cioe tra fotone ed elettrone libero).

La cosiddetta “epoca della Ricombinazione” avviene quindi per z „ zrec

quando, diminuendo la temperatura della radiazione a seguito dell’espansio-ne dell’universo, non c’e piu un numero di fotoni ionizzanti sucientementealto da mantenere ionizzati gli atomi di idrogeno che quindi inizieranno aricombinare. Quando osserviamo i fotoni emessi a z

rec

“ 1500, osserviamodirettamente i fotoni emessi all’epoca della ricombinazione: a causa dell’al-tissima profondita ottica pre-ricombinazione, e come se stessimo osservandola superficie di una stella che, nel nostro caso, e la superficie interna dellasfera centrata sulla Terra con raggio corrispondente a z “ 1500. A causa del-la profondita ottica dovuta allo scattering Thomson per z ° z

rec

possiamovedere solo gli strati piu esterni di questa atmosfera che prende il nome disuperficie di ultimo scattering (last scattering surface). Pertanto, le fluttua-zioni che vediamo sulla CMB su scale di 7˝ corrispondono alle perturbazionidi densita esistenti a z „ z

rec

che, successivamente, cresceranno e darannoluogo alle strutture osservate al momento attuale nell’universo locale.

Fino ad ora abbiamo supposto che l’universo fosse trasparente tra noi ela CMB. In realta dopo la ricombinazione e le “dark ages” (cioe la fase incui c’e gas neutro, senza stelle che lo possano illuminare perche non si sonoancora formate), l’universo e stato nuovamente reionizzato dalle prime stellee la presenza di elettroni liberi ha smorzato le fluttuazioni sulla CMB, graziesempre allo scattering Thomson. Per fortuna nostra le fluttuazioni non sonostate cancellate completamente e i satelliti COBE, WMAP e Planck le hannopotute osservare pur in presenza di questo “damping” (smorzamento).

In conclusione, la radiazione cosmica di fondo e un corpo nero quasi per-fetto con una temperatura osservata di T0 „ 2.728K ed una distribuzioneisotropa. La densita di energia associata a questo corpo nero e

"0 » aT 40 “

B

4cT 40 “ 4.2 ˆ 10´14 Jm´3 “ 2.64 ˆ 105 eVm´3 (2.20)

questa energia associata alla radiazione pervade l’intero universo all’epocaattuale e domina l’energia media di tutta la radiazione di fondo cosmica(inclusa quella associata all’emissione integrata delle galassie e dei nucleigalattici attivi).

2.2 La distribuzione delle galassie su grande scala

Abbiamo appena visto che la CMB e rimarchevolmente isotropa (T „30µK) su scale ° 7˝, ovvero su scali superiori alla risoluzione angolare di

13

COBE. Questo risultato osservativo indica che la distribuzione di materia(gas) al momento della ricombinazione era omogenea ed isotropa.

Tuttavia l’universo che oggi vediamo rappresentato dalle galassie e forte-mente non omogeneo, con strutture che vanno dalle galassie isolate, ai gruppi,fino agli ammassi ed ai superammassi e vuoti giganti. Andando su scale sem-pre piu grandi la distribuzione di galassie diviene piu omogenea ma contieneancora significative fluttuazioni non casuali.

La figura 5 e stata creata con 185 lastre fotografiche ottenute col te-lescopio Schmidt UK. Ciascuna lastra copre un’area di 6˝ ˆ 6˝ ed e statascansionata con l’Automatic Plate Measuring (APM) machine. La regionee centrata sul Polo Sud Galattico per evitare il piu possibile contaminazio-ni dovute a sorgenti nella nostra galassia (es. stelle). In ogni lastra, dopola scansione, si e potuto distinguere tra stelle e galassie sulla base dei loroprofili fotometrici (rispetto alle stelle, le galassie sono spazialmente risolte).La figura mostra solo le sorgenti che sono classificate come “galassie” (oltre2 milioni) con magnitudini apparenti 17 § b

j

§ 20.5 (bj

rappresenta le ma-gnitudini fotografiche ovvero quelle misurate con le lastre fotografiche e sonocaratterizzate da una banda passante con lunghezza d’onda ecace appenainferiore a B).

Le varie parti dell’immagine non sono significativamente diverse le unedalle altre ma la distribuzione di galassie non e uniforme su piccola scala,dove si osservano strutture filamentari, ammassi, ecc. Per dimostrare chequelle osservate sono strutture reali si dovrebbero conoscere le distanze dellegalassie da noi per poter ricostruire la struttura reale in 3D a partire daquella in 2D proiettata sul cielo e mostrata in figura 5. Questa verifica estata fatta, ed e stato dimostrato che queste strutture sono reali.

Vediamo adesso come si possono capire e quantificare le caratteristi-che delle strutture che osserviamo in figura, ovvero andiamo a studiare leproprieta di clustering delle galassie.

La cosa piu semplice e cominciare studiando la distribuzione delle galassieproiettata sul piano del cielo, in seguito passeremo a vedere che relazione cisia con la struttura reale in 3D. Per studiare la distribuzione spaziale dellegalassie si utilizzano comunemente le “funzioni di correlazione a due punti”.

Data una qualsiasi galassia G ci chiediamo quale sia il numero dN digalassie osservato sul piano del cielo a distanza angolare compresa tra e ` d, ovvero nell’angolo solido d “ 2d (figura 6):

dN “ Npqd (2.21)

Npq e il numero di galassie per unita di angolo solido poste a distanza d. Sele galassie fossero distribuite uniformemente in cielo si avrebbe dN “ n

g

d

14

34 2 The Large-Scale Structure of the Universe

Fig. 2.4. The distribution of galaxies with 17 ≤ b j ≤ 20.5 shown in an equal area projectioncentred on the South Galactic pole. This image was reconstructed from machine scans of 185UK Schmidt plates by the Cambridge APM measuring machine. There are over two milliongalaxies in this image. The small empty patches in the map are regions that have been excludedabout bright stars, nearby dwarf galaxies, globular clusters and step wedges (Maddox et al.,1990)

apparent magnitudes in the range 17 ≤ b j ≤ 20.5 and so represents the distributionof galaxies on the sky on the grandest scale.

It is apparent that, although one bit of Fig. 2.4 does not look too different fromanother on a large enough scale, the distribution of galaxies is far from uniform ona small scale. There appear to be clumps of galaxies, stringy structures and holes but,of course, the eye is expert at finding such structures in random data. Despite thisconcern, much of the obvious clumping, the clusters, holes and stringy structuresare real features of our Universe. To demonstrate the reality of these features, thethree-dimensional distribution of galaxies needs to be determined and so distanceshave to be measured for very large samples of galaxies. Although this is a reallyhuge task, this has now been achieved thanks to the efforts of many astronomers.

2.2.1 Two-Point Correlation Functions

We need statistical methods appropriate for describing the clustering properties ofgalaxies on a wide range of scales and the simplest approach is to use two-pointcorrelation functions. In the cosmological case, these can be described either interms of the distribution of galaxies on the sky, or in terms of spatial two-pointcorrelation functions in three dimensions. On the sky, we define the angular two-point correlation function, w(θ), by

N(θ) dΩ = ng[1 + w(θ)] dΩ , (2.4)

Figura 5: Distribuzione di galassie in cielo in un regione centrata sul polo sudgalattico.

G

!!+d!

Figura 6: Definizione della funzione di correlazione a due punti.

15

con ng

numero medio di galassie per unita di angolo solido. A questo puntoposso descrivere le deviazioni dalla distribuzione uniforme come

dN “ Npqd “ ng

r1 ` wpqs d (2.22)

wpq e la funzione di correlazione a due punti e descrive la probabilita ditrovare una galassia a distanza da G in eccesso rispetto alla distribuzioneuniforme ovvero rispetto alla densita media.

wpq contiene le informazioni sul clustering ed e definita per una datamagnitudine limite per la quale vengono selezionate le galassie. E’ impor-tante notare che wpq contiene informazioni mediate radialmente attornoad un punto, quindi non contiene informazioni sulla “filamentarieta” delladistribuzione.

L’omogeneita della distribuzione delle galassie all’aumentare della distan-za puo essere determinata da wpq in funzione della magnitudine apparentelimite del campione di galassie considerato. Si consideri quindi wp, Dq cherappresenta la funzione di correlazione a due punti per tutte le galassie condistanza massima D: assumendo che tutte le galassie abbiano la stessa ma-gnitudine assoluta, D corrisponde ad una ben precisa magnitudine limite.Allora si puo facilmente capire perche la funzione di correlazione a due punticambi come

wp, Dq “ D0

Dw0

ˆD

D0

˙(2.23)

al variare della distanza limite da D0 a D. Supponiamo che le galassie pro-vengano da una distribuzione omogenea nello spazio euclideo e consideriamola figura 7. Per avere la stessa scala spaziale intrinseca al variare della di-stanza considerata deve risultare D “ 0D0 ovvero 0 “ DD0; pertantooccorre considerare la scala angolare DD0 in w0 per sondare la stessa sca-la spaziale r “ D studiata con wpq. Inoltre il numero medio di galassienell’angolo solido corrispondente varia come

ng

d “ g

rdrD (2.24)

con g

numero di galassie per unita di volume (rdrD e il volume dellospessore conico definito tra r e r ` dr); a parita di r il numero di galassieesistente tra l’osservatore e la distanza limiteD, proiettato sul piano del cielo,varia quindi come D stessa. Pertanto wp, Dq sara uguale a w0pDD0q ameno di una rinormalizzazione che tiene conto del fatto che il numero digalassie proiettato varia con la distanza: aumentando D rispetto a D0 lafunzione di correlazione a due punti dovra pertanto diminuire di un fattoreD0D come mostrato nell’equazione (2.23).

16

d!0 d!Gr r

D0

D

"0 "

Figura 7: Variazione della funzione di correlazione a due punti con la distanza.

Naturalmente se lo spazio non fosse Euclideo e la distribuzione di galassievariasse con la distanza occorrerebbe tenerne conto opportunamente.

E’ stato trovato che le funzioni di correlazione a due punti riscaldano tradi loro come atteso dalla 2.23 fino a z „ 0.1. Questo fatto mostra anchecome la distribuzione di galassie sia “omogenea”, condizione per la validitadella stessa relazione 2.23. La figura 8 (a) mostra la funzione di correlazionea due punti wpq a diverse magnitudini limite nell’intervallo 17.5 † m † 20.5con step di 0.5 mag, come ottenute da APM sull’area rappresentata in figura5. E’ evidente come le wpq siano diverse per normalizzazione ma anche pertraslazione lungo l’asse delle ascisse. La figura (b) mostra le stesse wpq dopoche sono state riscaldate a conteggi “locali” utilizzando la formula 2.23. E’evidente come adesso tutte le wpq si sovrappongano quasi perfettamente.

Questi risultati ottenuti dalla survey APM sono stati confermati recente-mente anche dalla survey SDSS (Sloan Digital Sky Survey1) come mostratoin figura 9. La wpq ottenuta con la SDSS ha considerato tutte le galassiecon 21 † r‹ † 22 e redshift medio z „ 0.43, ed e in ottimo accordo con irisultati della survey APM. Da notare che questo confronto tiene conto delfatto che lo spazio non e euclideo.

Le figure appena viste mostrano come la distribuzione delle galassie incielo sia regolare: esistono strutture su tutte le scale come indicato dallawpq non nulla, ma la presenza di queste strutture varia in modo regolaredalle scale degli ammassi fino ai superammassi come

wpq „ ´p0.7˜0.8q per À 1˝ (2.25)

1http://www.sdss.org

17

36 2 The Large-Scale Structure of the Universe

Fig. 2.5a,b. The two-point correlation function for galaxies over a wide range of angularscales. a The scaling test for the homogeneity of the distribution of galaxies can be performedusing the correlation functions for galaxies derived from the APM surveys at increasinglimiting apparent magnitudes in the range 17.5 < m < 20.5. The correlation functions aredisplayed in intervals of 0.5 magnitudes. b The two-point correlation functions scaled to thecorrelation function derived from the Lick counts of galaxies (Maddox et al., 1990)

Fig. 2.6a,b. The two-point correlation function for galaxies determined from the Sloan DigitalSky Survey (SDSS) (Connolly et al., 2002; Scranton et al., 2002). a The angular two-pointcorrelation function determined in a preliminary analysis of 2% of the galaxy data containedin the Sloan Digital Sky Survey. b Comparison of the scaled angular two-point correlationfunctions found by Maddox and his colleagues from the APM galaxy survey (solid line) withthat found from the SDSS analysis

Figura 8: (a) Variazione osservata della funzione di correlazione a due punti conla distanza. (b) Le funzioni di correlazione in (a) sono state riscalate utilizzandola formula 2.23.

36 2 The Large-Scale Structure of the Universe

Fig. 2.5a,b. The two-point correlation function for galaxies over a wide range of angularscales. a The scaling test for the homogeneity of the distribution of galaxies can be performedusing the correlation functions for galaxies derived from the APM surveys at increasinglimiting apparent magnitudes in the range 17.5 < m < 20.5. The correlation functions aredisplayed in intervals of 0.5 magnitudes. b The two-point correlation functions scaled to thecorrelation function derived from the Lick counts of galaxies (Maddox et al., 1990)

Fig. 2.6a,b. The two-point correlation function for galaxies determined from the Sloan DigitalSky Survey (SDSS) (Connolly et al., 2002; Scranton et al., 2002). a The angular two-pointcorrelation function determined in a preliminary analysis of 2% of the galaxy data containedin the Sloan Digital Sky Survey. b Comparison of the scaled angular two-point correlationfunctions found by Maddox and his colleagues from the APM galaxy survey (solid line) withthat found from the SDSS analysis

Figura 9: (a) Funzione di correlazione a due punti ottenuta con la survey SDSS.(b) Confronto tra le funzioni di correlazioni a due punti ottenute con le surveySDSS e APM, dopo che sono state entrambe riscalate per tener conto delle diversemagnitudini limite a cui sono state ottenute.

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Su scale superiori a „ 1˝, wpq va rapidamente a 0, indicando che ladistribuzione delle galassie tende ad essere uniforme in continuita con quantosi osserva nella CMB su scale superiori a „ 7˝. Ricordiamo che tutte questeinformazioni sono mediate radialmente.

Da un punto di vista fisico ha piu senso considerare la funzione di corre-lazione spaziale

dN “ NprqdV “ N0 r1 ` prqs dV (2.26)

conN0 densita media (di volume). Per ricavare prq dalle osservazioni occorreconoscere la distribuzione di galassie nello spazio ed e possibile trovare unarelazione analitica esatta che lega prq e wpq. Noi ci limiteremo a trovareuna relazione analitica basata su alcune assunzioni semplificative che pero esuciente ai nostri scopi.

Consideriamo un ammasso di galassie come rappresentato in figura 10 etale che la sua densita di volume sia

nprq “ n0r1 ` prqs (2.27)

Allora la densita superficiale proiettata sul piano del cielo a distanza a dalcentro e

Npaq һ `8

´8nprqds (2.28)

con

s “?r2 ´ a2

ds “ 2r dr?r2 ´ a2

(2.29)

pertanto, e↵ettuando il cambiamento di variabili da s a a si ottiene

Npaq һ `8

´8nprqds “ 2

ªa

max

a

nprqr?r2 ´ a2

dr (2.30)

dove, al posto dell’integrale per s Ñ ˘8 si e passato ad integrare tra a(distanza della direzione s dal centro dell’ammasso) e a

max

, raggio esternodell’ammasso. Sostituendo a nprq il suo valore si ottiene

Npaq “ 2

ªa

max

a

n0r1 ` prqsrpr2 ´ a2q12 dr

“ 2

ªa

max

a

n0r

pr2 ´ a2q12dr ` 2

ªa

max

a

n0prqrpr2 ´ a2q12dr (2.31)

con il primo addendo costante. Se si assume

prq “ 0

ˆr

r0

˙´

(2.32)

19

rs

aa

a

Vista laterale

Piano del Cielo

Figura 10: Geometria per trovare la relazione tra la funzione di correlazione ango-lare e la funzione di correlazione spaziale vista lateralmente (alto) e di fronte (inbasso).

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e si pone x “ ra, l’equazione diventa del tipo

Npaq „ cost1 ` cost2 a´`1 (2.33)

Questa espressione deve essere dello stesso tipo di

ng

r1 ` wpqs (2.34)

con “ aD (D, distanza dell’ammasso). L’unica possibilita e che

wpq „ ´`1 (2.35)

ovvero la pendenza della wpq e uguale a quella della prq a meno di 1. Quindise le osservazioni mostrano che

wpq „ ´p0.7˜0.8q (2.36)

questo comporta che

prq “ˆ

r

r0

˙´

con „ 1.7 ˜ 1.8 (2.37)

Questa relazione e valida su scale fisiche „ 100h´1 kpc ˜ 10h´1 Mpc conr0 “ 5h´1 Mpc. h e la costante di Hubble in unita di 100 km s´1 Mpc´1 che,come vedremo piu avanti, vale h » 0.7. Su scale ° 10h´1 Mpc, prq decrescepiu rapidamente di una legge di potenza e l’ampiezza di clustering diminuiscerapidamente finche l’universo diventa omogeneo e isotropo su grandi scalecome la CMB. Si noti come su scale " 5h´1 Mpc si abbia † 1 ovvero ilcontrasto di densita rispetto all’universo omogeneo e inferiore a 1, e su scaleancora piu grandi ! 1 ovvero su quelle scale le perturbazioni di densitaall’epoca attuale sono ancora in regime lineare.

Il metodo descritto fino ad ora non e in grado di descrivere i “muri” ei “vuoti” visti nella distribuzione delle galassie, e le strutture filamentariein genere. La natura di queste strutture e stata definita con le cosiddette“redshift surveys”. La figura 11 mostra i risultati della prima survey statisti-camente completa di oltre 14,000 galassie brillanti ottenuta al dell’Harvard-Smithsonian Center for Astrophysics (CfA). Le galassie formano un campio-ne completo tra “ 8.5˝ e 44.5˝ con velocita di recessione † 15, 000 km s´1

corrispondente a D † 150h´1 Mpc. La distanza delle galassie e ottenutadirettamente dalla misura del redshift tramite la legge di Hubble (vedi piuavanti). La figura mostra una rappresentazione in coordinate polari con ilraggio dato dalla distanza (redshift) delle galassie e la direzione individuatadall’ascensione retta. Si notano varie strisciate (“dita”) che corrispondono

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2.2 The Large-Scale Distribution of Galaxies 39

Fig. 2.7. The distribution of galaxies in the nearby Universe as derived from the Harvard–Smithsonian Center for Astrophysics survey of galaxies. The map contains over 14,000galaxies which form a complete statistical sample around the sky between declinationsδ = 8.5 and 44.5. All the galaxies have recession velocities less than 15,000 km s−1.Our Galaxy is located at the centre of the map and the radius of the bounding circle is150h−1 Mpc. The galaxies within this slice have been projected onto a plane to show thelarge-scale features in the distribution of galaxies. Rich clusters of galaxies which aregravitationally bound systems with internal velocity dispersions of about 103 km s−1 appearas ‘fingers’ pointing radially towards our Galaxy at the centre of the diagram. The distributionof galaxies is highly irregular with huge holes, filaments and clusters of galaxies throughoutthe local Universe (Geller and Huchra, 1989)

about half-way to the limit of the survey. There are a number of ‘streaks’ or ‘fingers’pointing towards our own Galaxy and these correspond to clusters of galaxies, thelengths of the ‘streaks’ corresponding to the components of the velocity dispersionof the galaxies in the clusters along the line of sight.

Figura 11: Redshift survey dell’Harvard-Smithsonian Center for Astrophysics(CfA). Quest mappa contiene oltre 14,000 galassie che formano un campione com-pleto tra “ 8.5˝ e 44.5˝ con velocita di recessione † 15, 000 km s

´1. La nostragalassia e al centro della mappa e il cerchi esterno ha raggio pari a 150h´1

Mpc. Legalassie sono rappresentate in coordinate polari con r che rappresenta la distanzae l’angolo che rappresenta l’ascension retta.

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40 2 The Large-Scale Structure of the Universe

Fig. 2.8a,b. The spatial distribution of galaxies on a large-scale. In both diagrams, the dis-tribution extends to a redshift z ≈ 0.25. a A slice through the Anglo-Australian Telescope2dF Galaxy Survey (Colless et al., 2001) showing the pronounced ‘cellular’ structure of thedistribution of galaxies on the large scale (image courtesy of the 2dFGRS Team). b Thedistribution of galaxies in the Sloan Digital Sky Survey, showing the same ‘cellular’ structureobserved in the AAT 2dF survey (Stoughton et al., 2002)

Figura 12: Distribuzione delle galassie su grande scala come ottenuta con la survey2dF dell’Anglo-Australian Telescope. In entrambi i diagrammi la distribuzione siestende fino a z « 0.25 e mostra la struttura “cellulare” della distribuzione dellegalassie.

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ad ammassi di galassie: in un ammasso tutte le galassie si trovano appros-simativamente alla stessa distanza da noi (ovvero allo stesso redshift medio)e quindi si dovrebbero disporre in un punto ben preciso della mappa. Que-sto “punto” viene pero allungato dai moti peculiari delle galassie all’internodell’ammasso.

Altre survey successive hanno esteso questi studi sulla struttura a grandescala, come si vede ad esempio in figura 12 dove si mostrano i risultati dellasurvey “2dF” (2 degree field) eseguita all’Anglo-Australian Telescope. I vuotiosservati nella distribuzione di galassie della 2dF sono su scale simili a quellirivelati dalla survey del CfA. E’ ben evidente la struttura “cellulare” cherimane per tutta l’estensione della survey. Le scale dei vuoti piu grandisono pari a „ 30 ´ 50 volte le scale degli ammassi ovvero misurano fino a„ 50h´1 Mpc. Queste sono le strutture piu grandi note nell’universo e la loroesistenza deve essere spiegata anche in relazione alle disomogeneita osservatenella CMB.

Un risultato importante dell’analisi della distribuzione delle galassie sugrande scale e la struttura tipo “spugna”, con il tessuto spugnoso che rap-presenta la distribuzione delle galassie e i buchi che rappresentano i vuoti. Ivuoti ed i filamenti di galassie sono interconnessi tra loro in tutto l’universolocale; questo e possibile solo in una struttura 3D tipo quella di una spu-gna (non e ovviamente possibile in una struttura 2D come quella che si puorappresentare su un foglio).

Il termine superammasso e utilizzato per descrivere strutture che si trova-no su scale piu grandi di quelle degli ammassi; si puo trattare di associazionidi vari ammassi oppure di distribuzioni estese di galassie. Alcuni autorichiamano “superammassi” i filamenti visti nelle survey.

Da un punto di vista fisico la distinzione tra ammasso e superammasso edata dal fatto che la struttura sia o meno gravitazionalmente legata. Infatti isuperammassi sono cosı grandi che, data l’eta finita dell’universo, non hannoancora fatto in tempo a raggiungere l’equilibrio dinamico. Negli ammassiricchi di galassie, che hanno avuto il tempo di rilassarsi dinamicamente aduna situazione di equilibrio, una galassia puo aver e↵ettuato appena unadecina di attraversamenti (crossing); pertanto nelle strutture piu grandi nonc’e quasi stato il tempo perche diventassero legate gravitazionalmente.

2.3 La legge di Hubble e l’espansione dell’Universo

Hubble scoprı la relazione tra la velocita di recessione delle galassie e laloro distanza nel 1929. Nel diagramma mostrato in figura 13 si riporta larelazione tra il redshift e la magnitudine relativa delle galassie piu brillanti

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degli ammassi (per ogni ammasso si considera la galassia piu brillante ovverola Brightest Cluster Galaxy, BCG).

2.3 Hubble’s Law and the Expansion of the Universe 45

Fig. 2.11. A modern version of the velocity–distance relation for galaxies for the brightestgalaxies in rich clusters of galaxies. This correlation indicates that the brightest galaxies inclusters have remarkably standard properties and that their velocities of recession from ourown Galaxy are proportional to their distances (Sandage, 1968)

This was the approach adopted by Hubble and Humason in their pioneering analysisof 1934 (Hubble and Humason, 1934) – they assumed that the 5th brightest galaxyin a cluster would have more or less the same intrinsic luminosity (Fig. 1.5b). InFig. 2.11, the corrected apparent magnitude in the V waveband is plotted againstthe logarithm of the redshift of the brightest galaxies in a number of rich clustersof galaxies which span a wide range of redshifts. The redshift z is defined by theformula

z = λobs − λem

λem, (2.13)

where λem is the emitted wavelength of some spectral feature and λobs is the wave-length at which is it observed. In the limit of small velocities, v ≪ c, if the redshiftis interpreted in terms of a recessional velocity v of the galaxy, v = cz and thisis the type of velocity plotted in the velocity–distance relation. It is an unfortunatetradition in optical astronomy that the splendidly dimensionless quantity, the redshiftz, is converted into a velocity by multiplying it by the speed of light. As we will seebelow, interpreting the redshift in terms of a recessional velocity leads to confusionand misunderstanding of its real meaning in cosmology. It is best if all mention ofrecessional velocities are expunged in developing the framework of cosmologicalmodels.

Figura 13: Versione moderna della relazione velocita-distanza per le galassie piubrillanti degli ammassi (BCG). Questa relazione indica che la velocita di recessionedelle galassie e proporzionale alla loro distanza.

Si trova che le BCG hanno tutte piu o meno la stessa luminosita intrinsecaper cui il loro flusso osservato e

S “ L

4r2(2.38)

da cui la loro magnitudine relativa e

m “ ´2.5 log S ` cost. (2.39)

e quindi, sostituendo S, si arriva alla relazione

m “ 5 log r ` cost. (2.40)

Il redshift e definito come

z “ oss

´ emiss

emiss

(2.41)

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e per z ! 1 questo viene interpretato come una velocita di recessione ovvero

vrec

c“ z “

oss

´ emiss

emiss

(2.42)

in base all’interpretazione di z come e↵etto Doppler. Il best fit (riga continua)rappresentato in figura indica una relazione del tipo

m “ 5 log z ` cost. (2.43)

che, confrontata con la 2.40, rivela che

vrec

9 r (2.44)

Questa viene solitamente scritta come

vrec

“ H0 r (legge di Hubble) (2.45)

con H0 costante di Hubble. Si ponga attenzione al fatto che, come vedre-mo in seguito, l’interpretazione di z come velocita di recessione e fuorviante.Le galassie non stanno allontanandosi da noi, e l’Universo che si sta espan-dendo! Quindi non si tratta di vere velocita altrimenti arriveremmo ad unacontraddizione con la relativita speciale per z • 1, dove si avrebbe v • c.

Combinando l’isotropia su grande scala e l’omogeneita dell’universo conla legge di Hubble e possibile mostrare che, attualmente, l’universo si staespandendo in modo uniforme.

Consideriamo un sistema di punti che si espande uniformemente, comeschematizzato in figura 14. La definizione di “espansione uniforme” e quellaper cui le distanze tra due punti qualsiasi dell’universo aumentano dello stessofattore in un dato intervallo di tempo ovvero, considerate le galassie 1, 2, . . . ,n con distanze r1, r2, . . . , rn da un qualsiasi osservatore “O” dell’universo,risulta

r1pt1qr1pt2q “ r2pt1q

r2pt2q“ ¨ ¨ ¨ “ r

n

pt1qrn

pt2q“ ↵ “ costante (2.46)

per t1 e t2, due istanti qualsiasi. La velocita di recessione della galassia 1dall’osservatore “O” e pertanto

v1 “ r1pt2q ´ r1pt1qt2 ´ t1

“ r1pt1qt2 ´ t1

„r1pt2qr1pt1q

´ 1

“ r1pt1qt2 ´ t1

p↵ ´ 1q “ H0r1pt1q con H0 “ ↵ ´ 1

t2 ´ t1(2.47)

Per la galassia n-esima risulta invece

vn

“ rn

pt1qt2 ´ t1

p↵ ´ 1q “ H0rnpt1q (2.48)

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Figura 14: Espansione dell’universo rappresentata da 5 galassie osservate a duetempi diversi t1 (a) e t2 (b).

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Quindi una distribuzione di galassie in espansione uniforme fornisce automa-ticamente una relazione velocita-distanza del tipo v 9 r.

Quest’analisi e ben piu profonda della semplice spiegazione di v 9 r osser-vata localmente e si applica a tutte le galassie poste a qualsiasi distanza inun’universo in espansione omogenea, quindi deve essere vera anche quandov • c. Questo fatto pero non e a↵atto in contraddizione con la relativitaspeciale; i punti (le galassie) partecipano semplicemente all’espansione uni-forme dello spazio e non c’e connessione causale tra loro (cosa che darebbela violazione della relativita speciale). In sostanza la velocita di recessionenon e una velocita con cui si puo trasmettere un segnale.

In conclusione, il punto di partenza corretto per la costruzione di modelliper la dinamica a grande scala dell’universo e che lo stesso debba essereomogeneo ed isotropo (su grande scala) ed in espansione uniforme.

Questa assunzione, in unione con la teoria della Relativita Generale, cifornira un insieme di semplici modelli che formeranno il “framework” entroil quale studiare il problema dell’origine e della formazione delle strutturecosmologiche che osserviamo nell’universo locale.

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