-
2. MANIPULAATORI KINEMAATIKA 2.1. Asendivektorid ja nende
teisendamine Roboti kinemaatika uurib ajamitega tekitatud
manipulaatori liikumist arvestamata seejuures rakendatud jõudude
mõju. Seejuures on liikumist iseloomustavateks suurusteks
manipulaatori lülide asendid, kiirused, kiirendused, tõuked ja
nende kõik muud kõrgemat järku tuletised.
PAr
Punkti asukoht ristkoordinaadistikus {A} on kirjeldatav
vektoriga (joonis 2.1), mis on määratud selle projektsiooniga
telgedele x, y, z.
.⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
z
y
xA
ppp
Pr
(2.1)
Keha orientatsioon ehk suunistus ruumis ristkoordinaadistikus
{A} määratakse kolme ühikvektoriga x y zB B B, , . Need vektorid on
üksteisega risti ning moodustavad kehaga seotud
ristkoordinaadistiku {B}. Seega on keha suunistuse muutumine
kirjeldatav ühe ristkoordinaadistiku pööramisega teise
ristkoordinaadistiku suhtes. Ühikvektor xB on kirjeldatav
koordinaadistikus {A} selle kolme projektsiooniga koordinaadistiku
{A} telgedel x, y, z. Samuti on kirjeldatavad ka ühikvektorid ja z
. yB B
{A}
px
x
y
z
PA
py
pz
OA
Joonis 2.1. Punkti asendivektor ristkoordinaadistikus
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
BZ
BY
BX
BA
xxx
Xr
(2.2)
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
BZ
BY
BX
BA
yyy
Yr
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
BZ
BY
BX
BA
zzz
Zr
BAZr
Vektorid , , BA Xr
BAYr
moodustavad rotatsioonimaatriksi , mis iseloomustab
koordinaadistiku {B} suunistust koordinaadistiku {A} suhtes.
BAR
23
-
[ .,, BABABAB
ZB
ZB
ZB
YB
YB
YB
XB
XB
X
AB ZYX
zyxzyxzyx
Rrrr
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
= ] (2.3)
Koordinaadistiku ehk teljestiku {B} asend teljestiku {A} suhtes
(joonis 2.2) määratakse selle teljestiku alguspunkti
asendivektoriga BO
APr
ning rotatsioonimaatriksiga RAB { } { }BOAAB PR
r,B = (2.4)
PBr
Lükatud teljestikus {B} kirjeldatud asendivektorit (joonis 2.3)
kirjeldatakse koordinaadistikus {A} kahe vektori summana
BOABA PPPrrr
+= (2.5)
PBr
Pööratud teljestikus {B} kirjeldatud asendivektorit
kirjeldatakse koordinaadistikus {A} rotatsioonimaatriksi abil,
kusjuures asendivektor PA
rRAB leitakse rotatsioonimaatriksi B
ja asendivektori
ARPBr
korrutamisega.
{A} zAxB
OA
APBO
{B}
xA
yBzB
yA
OB
Joonis 2.2. Haaratsi või tööriista suunistuse määramine
xA
{Α}
APBO AP
BP
OB
zB
yB
xB
zA
yA
{Β}
OA
Joonis 2.3. Asendivektori teisendamine lükatud teljestikus
24
-
PRP BABA
rr⋅= (2.6)
Rotatsioonimaatriks võimaldab ka vastupidist teisendust, s.t
määrata teljestiku {A} suunistust teljestiku {B} suhtes. Seda
kirjeldab rotatsioonimaatriks B . Lineaaralgebra kursusest on
teada, et ortonormaalsete veergudega maatriksi ehk
ortogonaalmaatriksi pöördmaatriks võrdub transponeeritud
maatriksiga
AR
TA
BAB
AB RRR ==
−1 (2.7) MathCAD-programmi Symbolics abil saab vastavate
arvutustega tõestada, et pöördmaatriks võrdub transponeeritud
rotatsioonimaatriksiga. Mõlemad avaldised on võrdsed, sest
pöördmaatriksi elementide nimetaja võrdub ühega.
Rcos α( )sin α( )
0
sin α( )−cos α( )
0
0
0
1
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
:=
RTcos α( )sin α( )−
0
sin α( )cos α( )
0
0
0
1
⎛
α
⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎠
→
R 1−
cos α( )cos α( )2 sin α( )2+( )
sin α( )−cos α( )2 sin α( )2+( )
0
sin α( )cos α( )2 sin α( )2+( )
cos α( )cos α( )2 sin α( )2+( )
0
0
0
1
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦
→
Ortonormaalne süsteem on ortogonaalne ristuvate elementidega
süsteem, mille elemendi norm on 1. Transponeeritud maatriks
leitakse maatriksi ridade asendamisel veergudega. Pöördmaatriks R-1
arvutatakse üldjuhul valemiga
)(det
11jiRR
R =− (2.8)
kus Rji on adjungeeritud maatriks. Tänu rotatsioonimaatriksi
ortonormaalsusele saab pöördmaatriksi leida lihtsamalt, s.o
maatriksi transponeerimisega. Maatriksi ja tema pöördmaatriksi
korrutamisel saadakse ühikmaatriks, mille peadiagonaal koosneb
ühikelementidest ehk ühtedest. Valemi 2.6 kasutamiseks tuleb
rakendada maatriksite korrutamise valemit
∑=
⋅=n
jikijik bac
1
)( (2.9)
25
-
PBr
Antud juhul on maatriks aij rotatsioonimaatriks, bjk võrdub
asendivektoriga ning korrutiseks cik on asendivektor P
Ar
(i = 1...3; j = 1...3; k = 1). Asendivektori üldistatud
teisendamiseks, s.o lükatud ja pööratud teljestikus {B} antud
vektori PB
r kirjeldamiseks koordinaadistikus {A}, kasutatakse valemit
BO
ABAB
A PPRPrrr
+⋅= (2.10) Valemi 2.10 saab esitada ka kujul
PTP BABA
rr⋅= (2.11)
kus on koordinaadistiku {B} teisendusmaatriks (Homogeneous
Transform). B
AT Koordinaadistiku {B} teisendusmaatriks saadakse 3x3
rotatsioonimaatriksi ja 3x1 teljestiku alguspunkti asendivektori
ühendamisel. Valemi 2.11 saab esitada kujul
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⋅
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
1_
1000____
1_
PPRP BBOAA
BA
(2.12)
Viimase rea [0 0 0 1] lisamine teisendusmaatriksile ning 1
lisamine asendivektoritele on matemaatiline manipulatsioon, mille
tulemusena saadakse 4x4 ruutmaatriks ja 4x1 asendivektorid.
Teisendusmaatriksi kasutamine võimaldab kompaktselt kirjeldada
asendivektorite teisendamise protseduuri, mis on oluline keeruka
kinemaatilise ahelaga manipulaatorite matemaatilisel kirjeldamisel.
Eespool leitud seoseid saab kasutada mitte ainult vektorite
kirjeldamiseks erinevates koordinaadistikes, vaid ka nende asendi
muutmiseks, s.o translatsiooni- ja rotatsioonioperaatoritena.
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
1000100010001
),(Z
Y
X
qqq
QQTRANS (2.13)
kus Q on ühiksuund ja vektori pikkus. Q
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡ −
=
1000010000cossin00sincos
),(αααα
αZROT (2.14)
kus Z tähistab pööramist ümber z-telje ja α vastavat
pöördenurka.
26
-
Translatsiooni- ja rotatsioonioperaatorite ühendamisel saadakse
koordinaatide teisendusoperaator (teisendusmaatriks). Mitu
järjestikust koordinaatide teisendust võib ühendada
liitteisenduseks ning leida sellele vastava teisendusoperaatori
;PTP CBCB
rr⋅= PTP BAB
Arr
⋅= millest
PTTP CBCAB
Arr
⋅⋅= (2.15) Liitteisenduse maatriks
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡+⋅⋅
=
1000____
BOA
COBA
BBC
ABA
C
PPRRRT
rr
(2.16)
Pöördeteisenduse maatriksi võib esitada kujul A
BT
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡⋅−
=
1000____
OBATA
BTA
BBA
PRRT
r
(2.17)
ehk .1−= TT ABBA
Teisendusmaatriks A pole ortonormaalne (ristuvatest
ühikvektoritest koosnev) ning järelikult ei võrdu tema
pöördmaatriks transponeeritud maatriksiga.
BT
Koordinaadistike teisendusvõrrandite lahendamine võimaldab
tuntud teisenduste abil määrata mõne tundmatu teisenduse. Näiteks
kui
TTT ADEA
ED ⋅= ja TTTT
CD
BC
EB
ED ⋅⋅=
siis TTTTT CDBC
EB
AD
EA ⋅⋅==
millest
11 −− ⋅⋅= TTTT CDAD
EB
BC (2.18) Euleri nurgad. Keha suunistust saab peale
rotatsioonimaatriksi määrata ka kolme sõltumatu nurga abil.
Rotatsioonimaatriksi 9 elementi on üksteisest sõltuvad. Nende kohta
kehtib 6 tingimust, sh 3 ühikvektori pikkuse kohta
1ˆ =Z;1ˆ =X ;1ˆ =Y (2.19)
27
-
ja 3 nende ortogonaalsuse (ehk täisnurksuse) kohta
;0ˆˆ =⋅YX (2.20)
;0ˆˆ =⋅ZX 0ˆˆ =⋅ZY
Vektorite skalaar- ja vektorkorrutise olemuse paremaks
mõistmiseks on järgnevalt esitatud ristuvate ja samasuunaliste
vektorite skalaarkorrutise (dot product) näited
0
5
0
⎛⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎠
5
0
0
⎛⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎠
⋅ 0=
5
0
0
⎛⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎠
5
0
0
⎛⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎠
⋅ 25=
αsin⋅⋅⋅=× banba rrrSamade vektorite vektorkorrutis (cross
product) annab järgmise
tulemuse:
5
0
0
⎛⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎠
0
5
0
⎛⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎠
×
0
0
25
⎛⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎠
=
5
0
0
⎛⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎠
5
0
0
⎛⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎠
×
0
0
0
⎛⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎠
=
kus on vektoritega ja risti olev korrutise suunavektor. Seega on
kahe ristuva vektori skalaarkorrutis 0, nende vektorkorrutiseks on
aga mõlema vektoriga risti olev vektor, mille amplituud võrdub
vektorite amplituudide korrutisega.
br
nr ar
Sellest järeldub, et teljestiku pööramist võib iseloomustada
vaid kolme sõltumatu muutujaga. Enamikul juhtudel kasutatakse
selleks kolme nurka (joonis 2.4). Nendeks on pöörde- (roll),
kallutus- (pitch) ja lengerdusnurk (yaw). Pöördenurka mõõdetakse
yz-tasandil teljestiku pööramisel x-telje ümber, kallutusnurka
xz-tasandil teljestiku pööramisel y-telje ümber ja lengerdusnurka
xy-tasandil pööramisel z-telje ümber. Vastavalt sellele, mis telje
ümber pööramine toimub, nimetatakse vastavaid nurki α-, β-, γ- või
ka x-, y-, z-nurkadeks. Kolm võimalikku pöördenurka on kasutusel
kõikjal, kus on tegemist vaba ruumilise liikumisega. Need nurgad on
olulised nt lennukite juhtimisel (joonis 2.5 a). Samu nurki võib
kasutada ka ruumilist tegevust jälgiva kaamera või inimese pea
puhul (joonis 2.5 b).
ROLL PITCH YAW
zB
PÖÖRE KALLUTUS LENGERDUS
xB
yB
yA
zA
xA
zB
xB
yB
yA
zA
xA
zB
xB
yB
yA
zA
xA
β
α
γ
Joonis 2.4. Manipulaatori tööorgani suunistuse pöörde-,
kallutus- ja lengerdusnurk
28
-
Joonis 2.5. Pöörde-, kallutus- ja lengerdusnurgad lennuki
juhtimisel a ja inimese pea pööramisel b Teljestiku üldistatud
rotatsioonimaatriksi saab tuletada ka üksikute
rotatsioonioperaatorite kaudu
),(),(),(),,( γβααβγ BA
BA
BAA
B XROTYROTZROTR ⋅⋅= (2.21) kus
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −=
1000cs0sc
),( αααα
αBAZROT
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
ββ
βββ
c0s010
s0c),( B
AYROT
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=γγγγγ
cs0sc0001
),( BAXROT
Kõikides neis maatriksites on siinus- ja koosinusfunktsioonide
tähistamiseks kasutatud vaid esitähti s ja c. Üldistatud
rotatsioonimaatriks
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⋅⋅−⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅
=γβγββ
γαγβαγαγβαβαγαγβαγαγβαβα
αβγccscs
sccssccssscssscsccsscccc
),,(RAB (2.22)
Maatrikseid saab hõlpsasti korrutada programmiga MathCAD.
Sümbolkujul esitatud maatrikseid korrutatakse programmiga MathCAD
Symbolics. Järgnevalt on esitatud näide teisendusmaatriksite
sümbolkujul korrutamisest programmiga MathCAD.
Pöörde kesktasand Kallutuse kesktasand
Pööre Kallutus
Lengerdus
Pööre
z telg
y telg x telg
Lengerdus
Kallutus
a b
29
-
T1
cos α( )sin α( )
0
0
sin α( )−cos α( )
0
0
0
0
1
0
x
y
z
1
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
:=
T2
cos β( )0
sin β( )0
sin β( )−0
cos β( )0
0
1
0
0
a
0
1
⎛
z
h
⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
:=
T T1:=
T
cos α( ) cos β( )⋅sin α( ) cos β( )⋅
sin β( )0
cos α( )− sin β( )⋅sin α( )− sin β( )⋅
cos β( )0
sin α( )−cos α( )
0
0
cos α( ) a⋅ x+sin α( ) a⋅ y+
h z+
1
⎛
h
T2⋅T2
⎞⎜ ⎟⎜⎜
⎟⎟→
⎜ ⎟⎝ ⎠
Sümbolkujul korrutatud maatriksist saab avaldada võrrandid
muutujate (α, β, z) arvutamiseks ning manipulaatori kinemaatika
pöördülesande lahendamiseks. 2.2. Manipulaatori
kinemaatikaülesanded Roboti juhtimisel antakse programmiga ette
liikumise siht- ehk positsioonimispunkti koordinaadid, trajektoori
soovitav kuju ning liikumise iseloom ehk kiirusdiagramm. Tööorgani
viimiseks algasendist lõppasendisse peab juhtseade lahendama
järgmised ülesanded: 1. määrama andurite signaalide järgi robotkäe
lülide tegeliku asendi (α , β , γa a a)
2. arvutama suuruste (αa, β , γ ) järgi tööorgani asendi
ristkoordinaadistikus xa a a, y , za a, s.t lahendama manipulaatori
kinemaatika otsese ülesande
3. plaanima trajektoori ning liikumisdiagrammi. Sirgjoonelise
liikumise korral peab juhtseade määrama trajektoori sihi, sellel
liikumise suuna ning ajalise seaduspärasuse
4. leidma tööorgani soovitud liikumise jaoks jooksvate asendite
projektsioonid ristkoordinaadistikus x , y , zs s s, vajaduse
korral leidma ka kiirusvektori vastavad projektsioonid
5. määrama soovitud liikumise jaoks vajalikud robotkäe lülide
asendid (α , βs s, γs) ning väljastama need ajamitele
seadesignaalidena, s.t lahendama manipulaatori kinemaatika
pöördülesande
6. kordama eespool loetletud tegevusi kuni positsioonimispunkti
jõudmiseni ning seejärel peatama liikumise.
Nendele tegevustele vastav roboti juhtimise algoritmi plokkskeem
on joonisel 2.6.
30
-
Kinemaatika otsene ülesanne. Manipulaatori kinemaatika otsese
ülesande lahendamisel leitakse manipulaatori lülide mõõtmete ning
nende lülide omavaheliste suhteliste asendivektorite ja
pöördenurkade järgi manipulaatori tööorgani (haaratsi) asendivektor
ja suunistusnurgad manipulaatori baaskoordinaadistikus. Lühidalt
öeldes toimub haaratsi või tööriista asendi määramine
baaskoordinaadistikus lülide etteantud koordinaatide (nt suhteliste
pöördenurkade) järgi. Kinemaatika pöördülesanne. Manipulaatori
kinemaatika pöördülesande lahendamisel tuleb tööorgani etteantud
asendi ja suunistusnurkade järgi määrata manipulaatori kõikide
lülide omavahelised asendivektorid ja pöördenurgad, s.t määrata
lülide asend (nt suhtelised pöördenurgad) haaratsi või tööriista
etteantud baaskoordinaatide järgi. Kinemaatika otsese ülesande
lahendamise meetodid:
• geomeetriline meetod (geomeetria ja trigonomeetria
põhiteisendused) • maatriksmeetod (koordinaadistike
teisendusmaatriksid).
Kinemaatika pöördülesande lahendamise meetodid:
• mitme võimaliku lahendi puhul tuleb määrata manipulaatori poos
• lahendite otsimine kõigi võimalike meetoditega (algebraliste,
geomeetriliste,
numbrilistega)
Liiknmiskäsu ja sihtasendi koordinaatide etteandmine
Tegeliku asendi mõõtmine roboti baaskoordinaadistikus
Kinemaatika otsese ülesande lahendamine ja tegeliku asendi
määramine ristkoordinaadistikus Trajektoori plaanimine ja soovitud
programmliikumise etteandmine ristkoordinaadistikus Kinemaatika
pöördülesande lahendamine ja seadesuuruste arvutamine
Seadesuuruste väljastamine ajamitele
Positsioonimispunkti asukoha kontroll
ALGUS
x2, y2, z2
αa, βa, γa
xa, ya, za
xs, ys, zs
αs, βs, γs
αs, βs, γs
As = Aa?
LÕPP
Joonis 2.6 Manipulaatori liikumise juhtimise algoritmi
plokkskeem
31
-
Otsese ülesande lahendamisel kasutatakse eelkirjeldatud
koordinaadistike teisendus-maatrikseid. Pöördülesande lahendamisel
saab kasutada vastavaid pöördmaatrikseid. Pöördülesande lahendamist
raskendab asjaolu, et pöördülesanne pole alati üheselt lahenduv.
Liigendkäel on ühte ja samasse punkti jõudmiseks kaks võimalikku
poosi (joonis 2.7 a). Võimalike pooside arv sõltub manipulaatori
ehitusest. Näiteks on roboti PUMA manipulaatoril haaratsi ühe ja
sama asendi puhul 4 võimalikku poosi (joonis 2.7 b). Pöördülesandel
on ühene lahend vaid manipulaatori etteantud poosi puhul. Seepärast
tuleb enne pöördülesande lahendamist valida manipulaatori poos.
Tööorgani pideva liikumise ajal pole poosi muuta võimalik.
Joonis 2.7. Liigendkäe a ja manipulaatori võimalikud poosid b
haaratsi sama asendi puhul
o
o
A1
A2L12
0 -x x
y
A1
A2 o
o
-x x0
y
Joonis 2.8. Liigendkäe asendid sirgjoonelisel liikumisel ja
poosi vahetamine, mis pole pideva liikumise puhul
võimalik Pöördülesande lahendamisel tuleb määrata lülide
pöörde-, kallutus- ja lengerdusnurgad tööorgani asendivektori või
rotatsioonimaatriksi elementide kaudu. Kui tähistada
32
-
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
333231
232221
131211
rrrrrrrrr
RAB (2.23)
ning võrrelda avaldisi 2.22 ning 2.23, saab leida teljestiku
pööramise nurgad järgmisel kujul:
)cos/,cos/(2tanarc)(2tanarc
)cos/,cos/(2tan
1121
221
211,31
3332
ββαβ
ββγ
rrrrr
rrA
=
+−=
=
(2.24)
kus arctan2(rij) on 2 argumendi (y, x) funktsioonid. Näiteks
arctan2(2, 2) = 45°. Pöördülesande võrrandite lahendamiseks saab
kasutada MathCAD programmi ning selle operaatoreid Given ja Find α
0:= β 0:= r1 6:= r2 4:=
Givencos α( ) cos β( )⋅ sin α( ) sin β( )⋅−( ) r2⋅ cos α( )( )
r1⋅+ 6
sin α( ) cos β( )⋅ cos α( ) sin β( )⋅+( ) r2⋅ sin α( )( ) r1⋅+
4
α
β
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
Find α β,( ):=
α 0→
β 12π⋅→
Pöördülesande lahendamisel tuleb sageli tegemist teha
transtsendentsete võrranditega. Transtsendentsed võrrandid
(transcendental equations) on võrrandid, millel puudub tuntud
funktsioonidega esitatav ilmutatud lahend. Kuna trigonomeetriliste
funktsioonidega võrrandid on sageli ka transtsendentsed, siis on
nende ilmutatud üldkujul lahendamiseks otstarbekas võtta kasutusele
asendusfunktsioonid. Trigonomeetrilised funktsioonid saab asendada
uue muutujaga u
( )
2
2
2
12sin
11cos
2/tan
uuuu
u
+=
+−
=
=
α
α
α
(2.25)
Pärast funktsioonide niisugust asendamist muutuvad
transtsendentsed võrrandid polünoomideks, mida saab lahendada.
33
-
2.3. Kiirus- ja momendivektorite teisendamine Kiirusvektorite ja
jõu- ning momendivektorite teisendamine erineb asendivektorite
teisendamisest, kuna sel juhul pole alati oluline vektori
rakenduspunkt, s.t vektor ei kaota nihutamisel oma tähendust, kui
tema pikkus ja suund ei muutu. Sel juhul on tegemist
vabavektoritega (free vector), mis säilitavad oma suuruse ning
suuna sõltumata rakenduspunktist. Vektorite teisendamine kuulub
lineaaralgebra uurimisvaldkonda ning sellega saab lähemalt tutvuda
vastavas kursuses. Siin esitatud valemid aitavad aga paremini
mõista robotite juhtimise matemaatilisi probleeme. Vabavektorite
teisendamine. Kuna koordinaadistiku alguspunkti asendivektor pole
vaba-vektorite puhul oluline, saab momendivektorit teisendada
üksnes rotatsioonimaatriksi abil
TorqueBA
BTorqueA NRN ⋅= (2.26)
Samuti saab teisendada ka kiirusvektori
VelocityBA
BVelocityA VRV
rr⋅= (2.27)
Seega ei mõjuta teljestiku pööramine kiirusvektori suurust ega
suunda, kuid muudab vektori kirjeldust. Kiirusvektori teisendamine
lineaarliikumisel. Kui koordinaadistik {B} liigub koordinaa-distiku
{A} suhtes kiirusega ning on {A} suhtes pööratud, siis saab
koordinaadistikus
{B} lineaarselt liikuva punkti kiirusvektori 0B
AVr
PBVr
teisendada koordinaaditikku {A} võrrandiga.
PBA
BBA
PA VRVV
rrr⋅+= 0 (2.28)
Koordinaadistiku {B} pöördliikumisel koordinaadistiku {A}
suhtes, mida kirjeldab nurkkiirusvektor B
AΩr
PBr
, leitakse koordinaadistikus {B} asendivektoriga määratud ja {B}
suhtes paigalseisva punkti lineaarkiirus koordinaadistikus {A}
võrranditega
PV
PRPA
BA
PA
BAB
A
rrr
rr
×Ω=
⋅= (2.29)
Neist viimane võrrand on oma sisult sama mis skalaarsuuruste
puhul kasutatav võrrand
rv ⋅= ω , millega arvutatakse pöörleval kehal oleva punkti
lineaarkiirust, kus r tähistab pöörlemisraadiust.
PBVr
Üldjuhul, kui punkt liigub koordinaadistiku {B} suhtes
lineaarkiirusega , tuleb ka see liikumine taandada
koordinaadistikku {A}
( ) PVV ABAPBAPArrrr
×Ω+= või (2.30)
PRVRV BABBA
PBA
BPA
rrrr⋅×Ω+⋅= (2.31)
34
-
Koordinaadistiku {B} samaaegse lineaar- ja pöördliikumise puhul
kasutatakse võrrandit. Sel juhul lisandub summeeritavate vektorite
hulka veel koordinaadistiku enda alguspunkti
lineaarkiirusvektor
PRVRVV BABBA
PBA
BBA
PA
rrrrr⋅×Ω+⋅+= 0 (2.32)
Manipulaatori liigendkäe lülide kiirused. Manipulaatori
xy-tasapinnaline liigendkäsi on joonisel 2.9. Käe paigalseisev
baaskoordinaadistik on x0y0. Koordinaadistiku algpunkti O ümber
pöörleb lüli pikkusega L , millega on liigendiga ühendatud teine
lüli pikkusega L1 2. Lülide suhtelised pöördenurgad on α ja α1 2.
Lüli nurkkiirus võrdub pöördenurga tuletisega. Järelikult
222
111
ωαα
ωαα
==
==
&
&
dtddt
d
(2.33)
Lülide nurkkiirusvektorid paigalseisvas koordinaadistikus kui
pöörlemine toimub ümber z-telje.
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=Ω
1
10 0
0
ω
r
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+=Ω
21
20 0
0
ωω
r2
03
0 Ω=Ωrr
(2.34)
y3
α1
α2
L1
L2
x3
y2
x2
y0 y1 x1
x0OV1 = 0
V2
V3
Joonis 2.9. Manipulaatori tasapinnaline liigendkäsi
Koordinaadistike tsentrite lineaarkiirusvektor etteantud
koordinaadistikus on määratud kiirusvektori projektsioonidega
vastavatele telgedele
35
-
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
000
11Vr
(2.35)
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
0cossin
211
211
22 αω
αωLL
Vr
(⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡++=
0cos
sin
212211
211
33 ωωαω
αωLL
LVr
)
Manipulaatori lülide rotatsiooni- ja teisendusmaatriksid on
järgmised:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −=
10000
11
1101 cs
scR (2.36)
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −=
10000
22
2212 cs
scR
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
100010001
23 R
ning
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡ −
=
100001000000
11
11
01
cssc
T (2.37)
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡ −
=
1000010000
0
22
122
12
csLsc
T
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
100001000010
001 223
L
T
Summaarne rotatsioonimaatriks
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −=⋅⋅=
10000
1212
121223
12
01
03 cs
scRRRR (2.38)
kus
( )21cos αα +212112 ssccc −= = ( )21sin αα +.212112 sccss +=
=
Velocity
BABVelocity
A VRVrr
⋅=Rotatsioonimaatriksi ja omakiiruse korrutamisel ( ) saadakse
kiirusvektor paigalseisvas ehk 0. koordinaadistikus. Kuna 1.
koordinaadistik on 0. koordinaadistiku suhtes paigal, siis
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
000
10Vr
Teises koordinaadistikus liikuva keha kiirus 0.
koordinaadistikus on
220
220 VRV
rr⋅=
kus ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
0cossin
211
211
22 αω
αωLL
Vr
36
-
millest (2.39)
( )( )
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
0cossin
111
111
20 αω
αωLL
Vr
(⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡++=
0cos
sin
212211
211
33 ωωαω
αωLL
LVr
) (2.40)
( ) ( )[ ]( ) ([
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡+++++−−
=0
coscossinsin
21212111
21212111
30 ααωωαω
ααωωαωLLLL
Vr
330
330 VRV
rr⋅= )] (2.41)
Viimaseid tulemusi on hõlpus kontrollida MathCAD programmi
abil
millest MathCAD arvutab
Pärast lihtsustamist operaatoriga Simplify avaldub kiirusvektor
järgmiselt:
Jakobiaanid võimaldavad esitada mitmemõõtmelisi (vektorite)
tuletisi. Kuna kiirusvektor on asendivektori tuletis aja järgi,
saab kiirusvektoreid leida jakobiaani abil. 6-koordinaadilise
manipulaatori jakobiaaniks on 6 x 6 maatriks. 2-koordinaadilise
manipulaatori (joonis 2.11) puhul on jakobiaani mõõtmeks 2 x 2
Ω⋅=rr
JV 00 Jakobiaan moodustatakse joonkiirusvektori komponentide ω
ja ω1 2 komponentidest. Eespool kirjeldatud joonkiirusvektorite ja
3
0Vr
33Vr
( ) ( )[ ]( ) ([ ]
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡+++++−−
=0
coscossinsin
21212111
21212111
30 ααωωαω
ααωωαωLLLL
Vr
(⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡++=
0cos
sin
212211
211
33 ωωαω
αωLL
LVr
) ) ja
põhjal saab moodustada järgmised jakobiaanid:
37
-
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
=2221
213 0LLcL
sLJ α (2.42)
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
−−−=
12212211
122122110
cLcLcLsLsLsL
J α
Baaskoordinaatides saab joonkiirusvektori leida jakobiaani ja
nurkkiiruste korrutisena, mida tõestab ka eeltoodud avaldiste
põhjal teostatud arvutus MathCAD Symbolic programmi abil.
L1 sin α2( )⋅L1 cos α2( )⋅ L2+
0
L2
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
ω1
ω2
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
⋅L1 sin α2( )⋅ ω1⋅
L1 cos α2( )⋅ L2+( ) ω1⋅ L2 ω2⋅+⎡⎢⎣
⎤⎥⎦
→
L1− sin α1( )⋅ L2 sin α1 α2+( )⋅−
L1 cos α1( ) L2 cos α1 α2+( )⋅+L2− sin α1 α2+( )⋅
L2 cos α1 α2+( )⋅⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
ω1
ω2
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
⋅L1− sin α1( )⋅ L2 sin α1 α2+( )⋅−( ) ω1⋅ L2 sin α1 α2+( )⋅
ω2⋅−
L1 cos α1( )⋅ L2 cos α1 α2+( )⋅+( ) ω1⋅ L2 cos α1 α2+( )⋅
ω2⋅+⎡⎢⎣
⎤⎥⎦
→
2.4. Manipulaatorite kinemaatilised ahelad Manipulaatorite
kinemaatilised ahelad moodustuvad omavahel ruumiliselt sidestatud
lülidest. Lülide arv ning lülisid siduvate kinemaatiliste paaride
tüübid määravad manipulaatori liikuvusastmete arvu. Selleks et
teisaldada esemeid ruumis, muutes samal ajal nende telgede
suunitlust, peab manipulaatoril olema vähemalt 6 liikuvusastet
(eseme nihutamiseks 3mõõtmelises ruumis kolm translatoorset
liikumist ja tema telgede suvaliseks pööramiseks veel kolm
sõltumatut pöördliikumist). Võimalikud liikumised on näidatud
joonisel 2.10. Kõik mehhanismid jagunevad tasapinnalisteks ja
ruumilisteks mehhanismideks (planar and spatial mechanisms).
http://www.cs.cmu.edu/People/rapidproto/mechanisms/chpt4.html
Kinemaatilised ahelad koosnevad kinemaatiliste paaridega (kinematic
couplings) ühendatud lülidest. Tasapinnaliste ehk
tasandmehhanismide puhul on kasutusel kaht liiki ühe
liikuvusastmega (ehk madalama klassi – lower pairs) kinemaatilist
paari - rotatsioonipaar (revolute pair) ja translatsioonipaar
(prismatic pair). Kinemaatiliste paaride liikuvusastmed
(vabadusastmed) (degrees of freedom, DOF) ja seondid (constraints):
0 liikuvusastet - 6 seondit 1 liikuvusaste – 5 seondit – 5. klassi
kinemaatiline paar 2 liikuvusastet – 4 seondit – 4. klassi
kinemaatiline paar jne. Enamikul manipulaatoritel on lülid omavahel
ühendatud ühe liikuvusastmega madalama (viienda) klassi
kinemaatilise paariga (joonis 2.10), kas pöördliikumist võimaldava
rotatsioonipaari R või kulgliikumiseks ette nähtud
translatsioonipaariga T. Iga viienda klassi kinemaatilise paariga
sidestatud lüli annab manipulaatorile ühe liikuvusastme. Järelikult
peab esemete ruumiliseks teisaldamiseks ja suunistamiseks olema
manipulaatoril vähemalt kuus viienda klassi kinemaatilise paariga
sidestatud lüli.
38
http://www.cs.cmu.edu/People/rapidproto/mechanisms/chpt4.html
-
On loodud ka manipulaatoreid, mille lülid on omavahel sidestatud
kolmanda või neljanda klassi kinemaatiliste paaridega. Sel juhul
suureneb ühe lüli liikuvusastmete arv ning vastavalt väheneb
manipulaatori kinemaatilise ahela lülide arv. Üldjuhul leitakse
mehhanismi liikuvusastmete arv L kinemaatilise ahela
struktuurivalemi abil
12345 23456 pppppnL −−−−−= (2.43) kus n on liikuvate lülide arv
ahelas ja p1…p5 - esimese kuni viienda klassi kinemaatiliste
paaride arv ahelas. a b
x
z
y
Joonis 2.10. Keha võimalikud liikumised ruumis a ja 5. klassi
kinemaatilised paarid b Sama valemit saab kasutada näiteks inimkäe
liikuvusastmete arvu leidmiseks. Kui lugeda käe õlavarre-, küünar-
ja randmeliigesed 3 liikuvusastmega kinemaatilisteks paarideks,
siis saab inimkäe liikuvusastmete arvu leida valemiga
9333636 3 =⋅−⋅=−= pnL (2.44) Kui kinemaatiline ahel sisaldab
ainult viienda klassi paare, siis
556 pnL −= (2.45) Manipulaatorite korral piirdutakse sageli
kuuest väiksema liikuvusastmete arvuga. Sellised manipulaatorid
võimaldavad esemeid teisaldada, kuid mitte suvaliselt muuta nende
telgede suunistust. Nende kasutamine eeldab teisaldatavate esemete
eelnevat ruumilist orienteerimist (nt korrastatud paigutust
etteandekonveieril). Tasandmehhanismide korral võivad viienda
klassi translatsiooni- ja rotatsioonipaarid moodustada 2n erinevat
kinemaatilise struktuuriga ahelat (kus n on omavahel järjestikku
ühendatud lülide arv). Ruumilise mehhanismiga manipulaatori igal
kinemaatilisel paaril on aga oma telg, mida võib baaskoordinaatide
ning eelnevate lülide suhtes suunistada mitmel viisil. Lisaks võib
lüli
39
-
pöörd- või kulgliikumise kese mitte kokku langeda eelneva
kinemaatilise paari teljega. Seepärast on manipulaatorite
kinemaatiliste ahelate võimalike struktuuride arv märgatavalt
suurem. Kinemaatiliste paaride suvalise suunistuse korral on
teoreetiline variantide arv lõpmata suur. Ülekaalus on
kinemaatiliste paaride ortogonaalse (ristsuunalise) paigutusega
ahelad. Manipulaatori kinemaatiline ahel algab liikumatust ehk
kinnislülist, mis kuulub kõikide kinemaatiliste ahelate koosseisu
ning mida seepärast kinemaatiliste ahelate võrdlemisel ei
arvestata. Nii loetakse kinnislülist ja ühest liikuvast lülist
koosnev ahel ühelüliliseks, kinnislülist ja kahest liikuvast lülist
koosnev ahel kahelüliliseks jne. Ahela esimeseks kinemaatiliseks
paariks võetakse see, kuhu kuulub kinnislüli. Mehhanismi liikumist
iseloomustab selle lülisid ühendavate kinemaatiliste paaride
vabadusastmete arv ning sellest tulenev mehhanismi liikuvusastmete
arv (joonis 2.11).
Joonis 2.11. Kinemaatiliste paaride klassid ja liikuvusastmete
arv
40
-
Teisaldusmehhanismi (käsivarre) lülide arv ja kinemaatilise
ahela struktuur määravad manipulaatori üldise ehituse ja välisilme.
Lülide mõõtmed seostuvad manipulaatori liikumisulatuse ja
tõstevõimega. Mida rohkem on käsivarrel lülisid, seda paindlikumalt
saab robot töötada (manööverdatavus), kuid seda keerulisemaks
kujuneb manipulaatori konstruktsioon. Seepärast piirdutakse
manipulaatorite puhul vaid minimaalselt vajalike lülide arvuga.
Enamikul manipulaatoritel on 3 käsivarrelüli. Suunistusmehhanism
(käelaba) on kompaktne, tema lülide liikumisulatus on väike ning ta
mõjutab manipulaatori ehitust ja välisilmet vähem kui
teisaldusmehhanism. Käelabas kasutatakse põhiliselt
rotatsioonipaaridega sidestatud pöördliikumisega lülisid.
Teisaldusmehhanismi lülisid ühendavad kinemaatilised paarid
määravad koordinaadistiku, milles manipulaatori lülid liiguvad.
Kolme lineaarliikumise puhul töötab manipulaator
ristkoordinaadistikus, kahe lineaarliikumise ja ühe
pöördliikumisega manipulaator töötab silindrilises
koordinaadistikus. Kahe pöördliikumise ja ühe lineaarliikumisega
manipulaator töötab sfäärilises koordinaadistikus. Kui
manipulaatoril on liigendkäsi, siis võib see töötada silindrilises
või sfäärilises nurkkoordinaadistikus. 2.5. Ristkoordinaatides
kirjeldatav manipulaator Kolmelülilist ristuvate
translatsioonipaaridega ahelat kasutatakse ristkoordinaadistikus
töötava manipulaatori (gantry robot) korral (joonis 2.12). Sellise
manipulaatori töötsooniks on risttahukas, mille külgede pikkused a,
b, h vastavad tööorgani liikumisulatusele, suurused L, M ja H aga
määravad kindlaks töötsooni asukoha ristkoordinaadistikus 0xyz.
x
z
y
Joonis 2.12. Ristkoordinaatides kirjeldatav manipulaator
Ristkoordinaadistikus töötava manipulaatori kinemaatikaülesannet on
lihtne lahendada, sest roboti lülide liikumissihi saab valida piki
ruumi ristkoordinaadistiku telgi.
41
-
2.6. Silindrilistes koordinaatides kirjeldatav manipulaator
Silindrilises koordinaadistikus töötava manipulaatori töötsooniks
on osa õõnsast silindrist. Silindrilises koordinaadistikus töötava
manipulaatori kinemaatika näide on joonistel 2.13 ja 2.14.
Manipulaatori paigalseisev alus on seotud baaskoordinaadistikuga.
Roboti manipulaatori koordinaadistike kohta saab vaadata näiteid
veebilehelt http://prime.jsc.nasa.gov/ROV/types.html
Joonis 2.13. Silindrilises koordinaadistikus töötav
manipulaator: a püstteljega töötsoon, b rõhtteljega töötsoon,
robotid Versatran, Seiko RT3300 ja Fanuc M300
Järgnevalt antakse joonisel 2.14 näidatud manipulaatori
kinemaatika matemaatiline kirjeldus. Asendivektor
z
y
x
A
ppp
P =r
(2.46)
kus
42
http://prime.jsc.nasa.gov/ROV/types.html
-
( )(
hZp
RbpRbp
z
cy
cx
+=
++= )++=αααααα
sinsincoscos
(2.47)
A
z2
z0
z1
x2
y2
y0
x0
y1
x1
Z
R
α
PA
αc
α
h
b
y3
z3
x3
Joonis 2.14. Silindrilises koordinaadistikus töötava
manipulaatori kinemaatika arvutusskeem Asendivektori komponente
kirjeldavaid võrrandeid saab kasutada manipulaatori
kinemaatikaülesande lahendamiseks. Niisugust lahendusviisi
nimetatakse kinemaatika-ülesande geomeetriliseks lahendamiseks,
sest võrrandid leitakse geomeetrilise konstruktsiooni põhjal.
Võrrandite keerukus sõltub manipulaatori lülide konfiguratsioonist
(vastastikusest asetusest). Põhimõtteliselt võib võrrandite põhjal
lahendada nii kinemaatika otsese kui ka pöördülesande. Ainsaks
raskuseks on asjaolu, et trigonomeetriliste avaldistega võrrandid
osutuvad pöördülesande lahendamisel sageli transtsendentseks ning
ei oma ilmutatud üldlahendeid. See aga ei takista võrrandite
arvlahendite leidmist. Rotatsioonimaatriksid
1000cossin0sincos
01 αα
αα −=R
1000cossin0sincos
12 cc
cc
R αααα −
= (2.48)
Teisendusmaatriksid
100000100100
001
23
R
T
−
=
1000100
00cossin00sincos
01 ZT
αααα −
=
1000100
00cossin0sincos
12 h
b
T cccc
αααα −
= (2.49)
Silindrilises nurkkoordinaadistikus töötava liigendkäega
(SCARA-tüüpi) manipulaatori töötsooniks on samuti osa õõnsast
silindrist. Seejuures võib silindri telg olla horisontaalne või
vertikaalne. Vastavad robotid on joonisel 2.15. SCARA-tüüpi
manipulaatori kinemaatika on
43
-
näha joonisel 2.16. Horisontaalse liigendkäe liikumist
kirjeldavad suhteliselt lihtsad võrrandid ning kinemaatika otsene
ja pöördülesanne on ilmutatud kujul lahendatavad. Manipulaatori
tööorgani asendit tähistab punkt A, mille asukoha saab määrata nii
ristkoordinaadistikus 0xyz kui ka silindrilises
nurkkoordinaadistikus 0α1α z. 2
Joonis 2.15. Liigendkäega horisontaal- ja vertikaalteljega
silindrilises nurkkoordinaadistikus töötavad robotid
A
z0
z1
y0
x0
Z
α1 PA
b
y3
z3
x3
x1
y1
α2
z2
x2
y2
x
y
α1
L1
α2
L2
xA
yA
A
Joonis 2.16. Liigendkäega silindrilises nurkkoordinaadistikus
töötava manipulaatori arvutusskeem Manipulaatori kinemaatika otsene
ülesanne lahendatakse järgmise võrrandisüsteemi abil:
( )(
aa
a
a
zzLLyLLx
=++=++=
21211
21211
sinsincoscos
ααα )ααα
(2.50)
Võrrandid (2.50) võimaldavad lahendada ka kinemaatika
pöördülesande, kuid tuleb arvestada, et nurkade α1, ja α2,
avaldamine on sealt küllaltki tülikas. Seepärast on kinemaatika
pöördülesande lahendamisel otstarbekas lähtuda joonisel 2.17 toodud
geomeetrilisest konstruktsioonist.
44
-
x
y
α1e
L1
α2e
L2
xe
ye
A
c
dhφ1
φ2
φ3
Joonis 2.17. Kinemaatika pöördülesande geomeetriline lahendamine
ning nurkade α ja α1e 2e leidmine tööorgani
soovitud asendi A (x , y ) korral e e e Pöördülesande
geomeetrilisel lahendamisel kirjutatakse joonisel 2.17 näidatud
kolmnurkade põhjal järgmised võrrandid:
222
221
22
dLh
cLh
yxr
dcr
ee
−=
−=
+=
+=
(2.51)
Kahest viimasest võrrandist saab avaldada abisuuruse c
rLLrc
2
22
21
2 −+= (2.52)
Arvutuste käigus on sobiv leida kõigepealt järgmised nurgad:
( )
( ) 0kui,arctan0kui,2
0kui,arctan
1
1
1
=
eee
e
eee
xxyx
xxy
πϕπϕ
ϕ (2.53)
( )charctan2 =ϕ ( )dharctan3 =ϕ
Lülide soovitud pöördenurgad α1e ja α2e saab leida
järgmiselt:
211 ϕϕα −=e322 ϕϕα +=e (2.54)
Kinemaatikaülesande algebraliseks lahendamiseks kasutatakse
manipulaatori lülidega seotud koordinaadistike rotatsiooni- ja
teisendusmaatrikseid.
45
-
Koordinaadistik 3 on koordinaadistiku 2 suhtes pööratud 90º
võrra ümber z-telje ja seejärel veel 90º võrra ümber x-telje.
Rotatsioonimaatriksid
1000cossin0sincos
11
1101 αα
αα −=R
1000cossin0sincos
22
2212 αα
αα −=R (2.55)
Teisendusmaatriksid
1000100
00cossin00sincos
11
11
01 hT
αααα −
=
100000100001
100 223
r
T =
1000100
00cossin0sincos
22
122
12 b
r
Tαααα −
= (2.56)
2.7. Sfäärilistes koordinaatides kirjeldatav manipulaator
Sfäärilises koordinaadistikus (joonis 2.18) ja sfäärilises
nurkkoordinaadistikus (joonis 2.19) töötava manipulaatori
töötsooniks on osa õõnsast kerast.
y
x
z
x
Joonis 2.18. Sfäärilises koordinaadistikus töötava manipulaatori
töötsoon
46
-
J5 telg
J3 telg
J2 telg
J6 telg
J4 telg
J1 telg Alus
Õlaliiges
Küünarvars
Käelaba
ÕlavarsMehaaniline liides haaratsi ühendamiseks
Käelaba
Käsivars
Kere
Õlavars
Õlg
Joonis 2.19. Sfäärilises nurkkoordinaadistikus töötavad
liigendkäega robotid: a firma Mitsubishi 6 liikuvus-
astmega manipulaator ja b firma Unimation roboti PUMA 560
manipulaator
A
z0
z2
y0
x0
h
α3
PA
r1x2y2
α1 x3
r2
b
z3
y3
y4
z4
x4
aα2 z1
y1x1
Joonis 2.20. Sfäärilises nurkkoordinaadistikus töötava
liigendkäega manipulaatori arvutusskeem Manipulaatori (joonis 2.20)
teine teljestik on esimese suhtes pööratud ümber z-telje 90º,
seejärel ümber x-telje 90º ning ümber z-telje nurga α võrra. 2
Koordinaadistike teisendusmaatriksid
1000010000cossin00sincos
11
11
01
αααα −
=T
10001cossin
00sincos000
22
2212 h
a
Tαααα −
=
47
-
1000100
00cossin0sincos
11
111
23 b
r
T−
−
=αααα
100000010010
100 234 −
=
r
T (2.57)
Teisendusmaatriksis sisalduva rotatsioonimaatriksi saab leida
korrutisega T12
1cossin0sincos000
1000cossin0sincos
010001100
22
2222
2212
αααααα
αα−=
−×=R (2.58)
Pr
0 Pr
4leitakse teisendusmaatriksi ja T04 korrutisena Asendivektor 0.
koordinaadistikus
PTPrr
404
0 ⋅= 2.8. Paljulülilised ja paindlülidega manipulaatorid
Paljulülilise manipulaatori näide on joonisel 2.21. Lülide
suhtelise asendi muutmisega saab manipulaatori tööorgani viia
paindlikult igasse soovitud asendisse. Samu võimalusi pakuvad ka
paindlülidega manipulaatorid, milles kasutatakse voolu või
magnetvälja toimel painduvaid lülisid. Niisuguseid manipulaatoreid
siinkohal lähemalt ei käsitleta.
Joonis 2.21. Paljulülilise manipulaatori ehitus
48
-
2.9. Rööpkinemaatikaga manipulaatorid Traditsiooniliselt on
ehitatud manipulaatoreid, mille kinemaatika põhineb jadamisi
monteeritud lülidel. Seejuures on ahela iga järgmine lüli koos
ajamiga selle ahela eelmistele lülidele ja ajamitele koormuseks.
Suhteliselt kogukate ajamite paigutamine haaratsi või tööorgani
vahetusse lähedusse on aga oluliselt piiranud robotite
kinemaatilisi ja dünaamilisi kasutusvõimalusi. Ajamite
paigutamiseks kinemaatilise ahela algusesse või ahelas mitme lüli
võrra ettepoole on seni rakendatud keeruka kinemaatikaga
manipulaatormehhanisme. Nende mehhanismide rakendamine võimaldab
küll viia elektromehaanilise energiamuunduri, s.o ajami mootori,
haaratsist või tööorganist eemale, kuid manipulaatormehhanismi
keerukuse ja suhteliselt suure massi tõttu ei suuda see oluliselt
parandada roboti dünaamikat. Uueks suunaks robotite mehaanikas on
rööplülidega manipulaatorite kasutuselevõtt. Sel alal võib nimetada
manipulaatoreid, mis on saanud tuntuks nimetuste Trepot või Hexapot
all, mis eesti keeles tähendavad „kolmjalga” (joonis 2.22) või
“kuusjalga” (joonised 2.23 ja 2.24). Samasse manipulaatorite rühma
kuulub ka nt firma ABB robot FlexPicker. Rööpkinemaatikaga robotite
kohta vt http://www.parallemic.org/Terminology/General.html
http://www.parallemic.org/SiteMap.html Rööpkinemaatikaga roboti
eelised:
6 ajamit käitavad ühte kerget lüli, väike inertsimoment, parem
dünaamika lülide positsioonimisvead ei liitu suurem jäikus
(mehaaniline täpsus) pole liikuvaid ühenduskaableid suurem täpsus,
parem liikumise korratavus (repeatability) suurem töökindlus.
Roboti pilti vt veebilehelt
http://www.parallemic.org/Reviews/Review002.html
Joonis. 2.22. Rööpkinemaatikaga kolmjalgmanipulaator riputatud
asendis
49
http://www.parallemic.org/Terminology/General.htmlhttp://www.parallemic.org/SiteMap.htmlhttp://www.parallemic.org/Reviews/Review002.html
-
Keraliigend S
Keraliigend S Seisev alus
Liikuv platvorm
Translatsiooni- paar P
Joonis 2.23. Kaheksatahuline kuuejalgne platvorm (octahedral
hexapod) ehk Stewarti platvorm
Pilti vt veebilehelt
http://www.parallemic.org/Reviews/Review012.html
Joonis 2.24. Kuusjalgmanipulaator (Hexapod), selle lülide
liigend ja liikuvale alusele paigutatud manipulaator 1965. a ilmus
M. Stewarti kuulsaks saanud artikkel 6 liikuvusastmega platvormi
kohta, mida hakati kasutama lennusimulaatorites (joonis 2.25).
Artiklis esitatud mehhanism erines aga märgatavalt
kaheksatahulisest kuusjalast (octahedral hexapod), mida hiljem
hakati nimetama Stewarti platvormiks. Kaheksatahulise kuusjala
leiutajaks peetakse ka USA inseneri Klaus Cappelit, kes
konstrueeris 6 liikuvusastmega vibreerimismasina (joonis 2.26).
Kaheksatahuline kuusjalg on seni leidnud suurimat rakendust
lennusimulaatorites. Stewarti patenteeritud masina kasutusala aitas
kaasa ka autori nime tuntuks saamisele.
50
http://www.parallemic.org/Reviews/Review012.html
-
Joonis 2.25. Stewarti poolt kirjeldatud lennusimulaator ehk
tegelik Stewarti platvorm
Joonis 2.26. USA inseneri Klaus Cappeli patenteeritud (1964) 6
liikuvusastmega vibreerimismasin Kolmjalgmanipulaatori kinemaatika
kirjeldus. Kolmjalgmanipulaatori kinemaatikast annab ülevaate
joonis 2.27. Koordinaadistik on valitud rippasendis manipulaatori
jaoks pööratud kujul, s.t z-telje suund on tavapäraselt alt üles.
Pöörlevate lülidega manipulaatori ajamite väljundsuuruseks on võlli
pöördenurgad. Antud juhul on tegemist kolme ajamiga, mis käitavad
manipulaatori lülisid HA, HB ja HCB . Kõik lülid pöörlevad
vertikaaltasanditel, mis on üksteise suhtes ruumi
horisontaaltasandil jaotatud ühtlaselt, s.t nihutatud võrdsete
pöördenurkade 2π/3 võrra. Manipulaatori lülid (hoovad) HA, HBB ja
HC on ühendatud haaratsi kinnituslüliga G konstantse ja tavaliselt
võrdse pikkusega varraste VA, VB, V abil. Põhimõtteliselt võivad
varraste pikkused ka erineda, s.t VB C A ≠ VBB ≠ V . C Roboti
juhtimiseks tuleb lahendada kinemaatika otsene ja pöördülesanne.
Kinemaatika otsene ülesanne seisneb ajami etteantud
asendikoordinaatide (ajami võlli või hoobade HA, HB ja HCB
pöördenurga) järgi manipulaatori haaratsi või tööorgani
koordinaatide leidmises. Ülesande muudab keerukaks asjaolu, et
kõigi lülide koordinaadistikud erinevad ruumi
ristkoordinaadistikust. Kinemaatikaülesande lahendamisel võib nii
ajami hoobasid HA, HBB ja H kui ka vardaid VC A, VB, V tähistada
vektoritega. CB
51
-
x0
z0
y0
Hx
Hy
Hz
A0
A1C0
B1
B0
C1
H
x1z1
y1
VAVB
VC
HA
HB
HC
α
γ
β
Joonis 2.27. Kolmjalgmanipulaator ristkoordinaadistikus Juhul
kui on teada (ette antud) lülide algvektorite A0, B , C0 0 pikkused
ja pöördenurgad (0, 2π/3 ja 4π/3), ajamihoobade (s.o ajami
väljundvõllide) pöördenurgad α, β, γ ning varraste VA, VB, VCB
pikkused, saab lahendada kinemaatika otseülesande ja leida haaratsi
asukoha ruumi ristkoordinaadistikus x , y0 0, z . 0 Juhul kui on
teada (ette antud) haaratsi asukoht ruumi ristkoordinaadistikus,
varraste VA, VB, V
B
C ning ajamihoobade ja algvektorite pikkused, saab lahendada
kinemaatika pöördülesande ja arvutada ajamihoobade pöördenurgad α,
β, γ. Algvektorid ehk hoobade pöördetsentrite asendivektorid:
( )(
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡⋅⋅
=0
3/4cos3/4sin
0
0
0 ππ
CC
Cr
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
0
0
00 AAr
( )( )
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡⋅⋅
=0
3/2cos3/2sin
0
0
0 ππ
BB
Br
) (2.59)
Kui lugeda, et teise ja kolmanda jalaga seotud koordinaadistikud
on esimese jala koordinaadistiku suhtes pööratud nurkade 2π/3 ja
4π3 võrra, võib need taandada esimese lüli koordinaadistikku
rotatsioonimaatriksite abil.
( ) ( )( ) ( )
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −=
000034cos34sin034sin34cos
00 ππ
ππRAC
( ) ( )( ) ( )
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −=
000032cos32sin032sin32cos
00 ππ
ππRAB
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
100010001
00 R
AA
(2.60)
Kuna teisendatavate koordinaadistike alguspunktid langevad
kokku, siis on vastavad teisendusmaatriksid
52
-
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
1000010000100001
00T
AA
( ) ( )( ) ( )
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡ −
=
100001000032cos32sin0032sin32cos
00
ππππ
TAB (2.61)
( ) ( )( ) ( )
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡ −
=
100001000034cos34sin0034sin34cos
00
ππππ
TAC
Kuna esimene lüli taandatakse tema endaga seotud
koordinaadistikku, siis võrdub vastav rotatsioonimaatriks
ühikmaatriksiga ning alguspunkti nihkevektor 0-ga. Roboti kõigi
jalgade esimese liikuva lüliga seotud koordinaadistiku võib
taandada sama jala liikumatu lüli koordinaadistikku. Seejuures saab
leida vastavad rotatsioonimaatriksid
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
0sincos0cossin100
01
ααααRAA (2.62)
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
0sincos0cossin100
01
ααααR
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
0sincos0cossin100
01
γγγγRCC
ja koordinaadistike nihkevektorid
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
0
0
00 AAr
(2.63)
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
0
0
00 BBr
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
0
0
00 CCr
Rotatsioonimaatriksitest ja alguspunkti nihkevektoritest saab
moodustada teisendusmaatriksid
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
100000sincos
0cossin0100
001 αα
αα ATAA
(2.64)
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
100000sincos
0cossin0100
001 γγ
γγ CTCC
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
100000sincos
0cossin0100
001 ββ
ββ BTBB
Iga jala esimese pöörleva lüliga seotud koordinaadistiku x , y ,
z1 1 1 võib taandada algkoordinaadistikku x0, y0, z0 kirjeldatud
teisendusmaatriksite , , ja
, , vastava korrutamisega. TAA
00 T
AB
00 T
AC
00
TAA01 T
BB01 T
CC
01
53
-
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−×
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=⋅=
100000sincos
0cossin0100
1000010000100001
001
00
01 αα
αα ATTT AA
AA
AA
( ) ( )( ) ( )
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−×
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡ −
=⋅=
100000sincos
0cossin0100
100001000032cos32sin0032sin32cos
001
00
01 ββ
ββππππ
BTTT BB
AB
AB
(2.65)
( ) ( )( ) ( )
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−×
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡ −
=⋅=
100000sincos
0cossin0100
100001000034cos34sin0034sin34cos
001
00
01 γγ
γγππππ
CTTT CC
AC
AC
Kirjeldatud teisendused võimaldavad määrata punktide A , B ja C1
1 1 asukoha ruumi koordinaadistikus x0, y , z0 0. Roboti otsese
kinemaatikaülesande edasiseks lahendamiseks tuleb arvestada, et
punktid A1, B ja CB1 1 on seotud haaratsi asukohta tähistava
punktiga G neid punkte ühendavate konstantse pikkusega varraste
abil. Seega moodustub ruumis tetraeeder (joonis 2.28), mille
neljast otspunkti asukohavektorist on teada kolm ning lisaks
sellele veel tetraeedri kõigi külgede pikkused. Olgu roboti
vastavate jalgadega seotud varraste pikkused VA, VBB, VC. Haaratsi
asukohta tähistab vektor , mille teljesihilised komponendid on
GG
r, Gx y, Gz.
x0
z0
y0
Gx
Gy
Gz
B1
C1
A1
G
0
VA
VC
VB
HA
HB
HC
Joonis 2.28. Haaratsi asukoha määramine tetraeedri kolme
otspunkti ja küljepikkuste järgi
54
-
Haaratsi asendivektorGr
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
z
y
x
GGG
Gr
(2.66)
Varraste pikkused
( ) ( ) ( )212121 AGAGAGA zzyyxxV −+−+−=
( ) ( ) ( )212121 BGBGBGB zzyyxxV −+−+−= (2.67)
( ) ( ) ( )212121 CGCGCGC zzyyxxV −+−+−= Ajamihoobade ette antud
või eelnevalt arvutatud asendikoordinaatide x , y zA1 A1 A1, x , y
z ja x , y zB1 B1 B1 C1 C1 C1 järgi saab võrrandisüsteemi
lahendamisel leida haaratsi otsitavad koordinaadid xG, yG, zG, mis
on ühtlasi haaratsi asendivektori teljesihilised komponendid.
Kinemaatika pöördülesande lahendamine rööpkinemaatikaga roboti
puhul. Üldjuhul on kinemaatika pöördülesande lahendamine keerulisem
kui otseülesande lahendamine. Haaratsi asendivektori võib esitada
kolme vektorvõrrandiga
BC
BB
AA
VHG
VHG
VHG
rrr
rrr
rrr
+=
+=
+=
(2.68)
Kinemaatika pöördülesande puhul on ette antud haaratsi
asendivektor G ning seda ajamihoobadega ühendavate varraste
pikkused. Nende andmete põhjal tuleb leida ajamihoobade
asendivektoreid kirjeldavad pöördenurgad α, β, γ.
r
Punkt A1 asub kera pinnal, mille keskpunkt on määratud haaratsi
asendivektoriga ja raadius varda VA pikkusega. Punkti asukoht on
määratud kera pinna ja ajamihoova HA liikumist kirjeldaval
ringjoonel. Sarnaselt sellega asuvad ka punktid B ja C1 1 sama
keskpunktiga kerade pindadel, kusjuures kerade raadiused on
vastavalt VB või VCB
)
)
)
. Juhul kui varraste pikkused on ühesugused, asuvad kõik kolm
punkti ühe ja sama kera pinnal, kuid nende asukohta määratakse
erinevate ajamihoobade liikumist kirjeldavate ringjoonte ja kera
pinna lõikepunktiga. Selle kirjelduse alusel saab välmida ka
kinemaatika pöördülesande lahendamise algoritmi. Ajamihoobade
liikumist kirjeldavad punktid A1, B ja C1 1 asuvad sfäärilistel
pindadel
( ) ( ) ( 2121212 AGAGAGA zzyyxxV −+−+−=
( ) ( ) ( 2121212 BGBGBGB zzyyxxV −+−+−= (2.69)
( ) ( ) ( 2121212 CGCGCGC zzyyxxV −+−+−= Teisalt asuvad need
punktid kolmel erineval ringjoonel (ehk ka teise kera pinnal)
55
-
( ) ( ) ( 2012012012 AAAAAAA zzyyxxH −+−+−= )
)
)
)
)
( ) ( ) ( 2012012012 BBBBBBB zzyyxxH −+−+−= (2.70)
( ) ( ) ( 2012012012 CCCCCCC zzyyxxH −+−+−= Võrrandeid saab
lahendada paarikaupa, kusjuures kolmanda tundmatu suuruse saab
määrata lisatingimuste esitamisega
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( 2012012012
21
21
21
2
AAAAAAA
AGAGAGA
zzyyxxH
zzyyxxV
−+−+−=
−+−+−= (2.71)
Näiteks võib esimese jala liikumist kirjeldavate võrrandite
puhul koordinaatide vastava valiku tõttu väita, et x = 0, x = 0 ja
z = 0. Selle tulemusena võrrandisüsteem lihtsustub A0 A1 A0
( ) ( ) ( )212122 AGAGGA zzyyxV −+−+=
( ) ( 212012 AAAA zyyH +−= αsin1 ⋅= AA Hz, kus Teise jala puhul
kehtivad sfääride võrrandid, kus z = 0. B0
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( 2012012012
21
21
21
2
BBBBBBB
BGBGBGB
zzyyxxH
zzyyxxV
−+−+−=
−+−+−=
) (2.72)
Koordinaatide vastava valiku tõttu võrrandisüsteem lihtsustub
ning võrrandites saab kasutada asendusi
( )( )
03/2cos3/2sin
0
00
00
=⋅=⋅=
B
B
B
zByBx
ππ ( )
(⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡⋅⋅
=0
3/4cos3/4sin
0
0
0 ππ
BB
B ehk )
)
(2.73)
( )(
03/2cos3/2sin
0
00
00
=⋅=⋅=
C
C
C
zCyCx
ππ
ehk ( )(
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡⋅⋅
=0
3/4cos3/4sin
0
0
0 ππ
CC
C ) (2.74)
Hoobade z-koordinaadid on lihtsalt arvutatavad valemitega
γβα
sinsinsin
1
1
1
⋅=⋅=⋅=
CC
BB
AA
HzHzHz
(2.75)
56
-
2.10. Liikurroboti kinemaatika Liikurrobotiks võib olla nii
pinnal liikuv, lendav kui vedelikus ujuv robot. Pinnal liikuva
roboti liikumismehhanismiks on ratastega veokid, mitmesugused jalg-
või roomikmehhanismid. Veovankritega robotid jagunevad omakorda
sõltuvalt rataste arvust ja pöördemehhanismist järgmiselt:
• kolmerattaline, ühe pööratava juhtrattaga vanker (üks või kaks
vedavat ratast) • rattapaari pöörava teljega vanker •
diferentsiaalmehhanismiga kahe või nelja veorattaga vanker • mitme
sõltumatult juhitava rattaga vanker, mis mõnikord võib ka kohapeal
pöörelda • nelja rattaga Ackermanni pöördemehhanismiga vanker
(Ackermanni mehhanism on
tuntud auto pöördemehhanismi näol, mille puhul sisemine ratas
pöördub rohkem kui välimine).
Ratasveoki pööramist iseloomustab joonis 2.29, millelt on näha,
et kurvis pööramisel läbivad rattad erineva teepikkuse. Kurvi
sisemine ratas liigub vähem. Seetõttu saab kurvi läbida vaid juhul,
kui veorattad pöörlevad eri kiirusega või kui üks ratastest kurvis
libiseb. Rataste eri kiirusega pöörlemine saavutatakse
diferentsiaalmehhanismiga. Jäigalt ühendatud rattapaari puhul
hakkab kurvi sisemine ratas kohapeal pöörlema ehk maapinna suhtes
libisema vastu liikumissuunda, väline ratas aga kaotab veojõu ning
hakkab liikumissuunas maapinnal libisema.
Pöördetelg ja pöördetsenter
b
S2 = (R+b)θ
S1 = R θ θ R
Joonis 2.29. Rattapaari pööramine
57
-
Vankri esitelje rattapaari pööramine. Esitelje pööramine on
tuntud hobuvankrite kasutu-selevõtu ajast. Põhimõte on lihtsuse
tõttu kasutusel ka tänapäeval. Niisugune pöördemehhanism on
geomeetriliselt täpne. Selle mehhanismi puhul langevad mõlema ratta
pöördetsentrid kokku. Puuduseks on mehhanismi kohmakus (vajab
pööramiseks palju ruumi). Pööravat telge on väga tülikas vankriga
kokku sobitada. Suurema pöördenurga (väiksema pöörderaadiuse)
saavutamiseks peab telg pöörduma vankri alla. Seepärast on
niisuguse pöördemehhanismiga vankrite esirattad sageli väiksema
läbimõõduga (et vanker ei peaks olema liiga kõrge). Põhimõtteliselt
saab vankrit pöörata ka tagatelje rattapaari pööramisega, kuid sel
juhul halveneb oluliselt vankri juhitavus edasi liikumisel. Mõnda
vankri pööramise mehhanismi on näidatud joonisel 2.30. Sõiduki
pööramise teiseks võimaluseks on kereliigend. Kere keskliigendiga
vanker on joonisel 2.30 a. Kaheosalisel vankril saab kasutada
lihtsat pöördemehhanismi, kuid liikuva ja muutuva kujuga kere tõttu
on vankrit kasutada tülikas. Kõik pöörava teljega vankrid on kurvis
liikumisel ebastabiilsed.
Rattapaari telje liigendiga pööramine
Esirataste kooskõlastatud ehkAckermann’i tüüpi pööramine
Kõikide rataste täpne sõltumatu pööramine
Pöördetsentrid
Pöördetsentrid
a b c
Joonis 2.30. Vankri pööramise mehhanisme Rudolf Ackermann
sõnastas 1816. a ideaalse pöördemehhanismi talitluse tingimuse -
rataste vertikaaltasandid peavad olema kurvi pööramisraadiusega
risti - ning töötas välja rataste pöördemehhanismi, mis on
tänapäeval autode juures laia kasutust leidnud. Joonisel 2.31 a
näidatud neljalüliline suletud liigendmehhanism (auto
roolimehhanism) tagab rataste pöörderaadiuste tsentrite
kokkulangevuse. Vastupidisel juhul, kui pööravad rattad on
paralleelsed ja pöörderaadiuste tsentrid ei lange kokku (joonis
2.31 b), tekib rataste külglibisemine, sellest tingitud suurem
kulumine ja sõidu ebastabiilsus.
58
-
Pöördetsenter
Ackermanni pöördemehhanism
R1
R2
a b
Joonis 2.31. Ackermanni mehhanism (a) ja sobimatu pööramine
paralleelsete ratastega (b) Neljarattaliste sõidukite kõigi rataste
juhtimine. Kõigi rataste juhtimine tagab sõidukile parima
manööverdatavuse. Kõigi rataste sõltumatu juhtimise puhul saab luua
väga paindliku pöördemehhanismi, mille abil võib vankri ka kohapeal
pöörlema panna. Robotveokite puhul on niisugune juhtimisviis laialt
kasutusel. Seejuures eristatakse mitmesuguseid järgnevalt loetletud
juhtimisstrateegiaid.
• Proportsionaalne juhtimine Ackermanni kaksikmehhanismiga.
Sõiduki esi- ja tagarattaid pööratakse võrdeliselt ratta
pöörderaadiusega.
• Mitteproportsionaalne juhtimine viivitusega, mil tagarattaid
hakatakse pöörama alates esirataste kindlast pöördenurgast.
• Juhtimine diferentsiaalmehhanismiga, mil kurvi sise- ja
välisrataste eri kiirused tagavad sõiduki pööramise.
• Kohtpööre kõigi rataste juhtimisega, mil esi- ja tagarattaid
pööratakse sama nurga võrra, kuid eri suundades.
• Kohtpööre reverseeritava diferentsiaalmehhanismiga, mil
sõiduki sise- ja välisrattad pöörlevad kurvis eri suundades.
• Külg-rööpliikumine (dog walk steering ehk koera kõnni
juhtimine), mil esi- ja tagarattaid pööratakse samas suunas ja
sõiduk liigub külgsuunas.
Vankriga liikurrobotite pöördemehhanismide kohta on USA Carnegie
Melloni ülikoolis 2001. aastal valminud doktoritöö Analytical
Configuration of Wheeled Robotic Locomotion. Vankri pööramist
erinevate mehhanismidega on näidatud joonisel 2.32. Kui vankri
pööramine toimub diferentsiaalmehhanismiga ning rattaid seejuures
ei pöörata, tekkib kurvi läbimisel rataste külglibisemine. Nelja
ratta juhtimisega masinateks on paljud põllumajandusmasinad,
ehitusmasinad, erisõidukid ja liikurrobotid.
59
-
Pööre diferentsiaal- mehhanismiga
Pööre Ackermanni kaksikmehhanismiga
Kohtpööre kõigi rataste juhtimisega
Kohtpööre reverseeritava diferentsiaalmehhanismiga
Joonis 2.32. Sõiduki vankri pööramine erinevate mehhanismidega
Dünaamilise juhtimise probleemid. Kurvis pööramisel mõjuvad
sõidukile inertsjõud, mis omakorda põhjustavad ratta
külglibisemise. Mida rohkem ratast pöörata, seda suurem on
libisemine. Mida suurem on libisemine, seda suurem on libisemisega
kaasnev vastujõud, mis kompenseerib pööramisel tekkiva
tsentrifugaaljõu. Seejuures on kurvis liikumisel siseratta
pöördenurk ja libisemine suuremad kui välisrattal. Samas on aga
välisratta koormus (jõud) suurem kui siseratta koormus. Kurvis
liikumise probleeme ja jõudude toimet iseloomustab joonis 2.33.
Rattale mõjuvad ajami veojõud, sõiduki inertsjõud ja libisemise
takistusjõud. Ühtlasel sirgjoonelisel liikumisel on veojõud Fv ja
hõõrdumise takistusjõud Fv samas sihis. Kurvis liikumisel toimib
lisaks tsentrifugaaljõud Fts, mis tõukab sõidukit ratta külje
suunas. Kui ratas on pööratud otse sõidusuunda (joonis 2.27, a),
siis tõukab veojõu ja tsentrifugaaljõu koostoime sõidukit kurvist
välja. Ratta pöördenurga suurendamisel (b ja c) võib saavutada
olukorra, mil summaarne jõud mõjub sõidu sihis. Kuna
libisemistingimused sõltuvad teekatte ja ratta hõõrdetegurist (ka
teepinna profiilist), mis omakorda on väga muutlik suurus, siis on
ka sõiduki veojõudu raske määrata. Seetõttu on jõuvektorite suunad
pidevalt muutuvad ning võib tekkida oht sõiduki kurvist
väljapaiskumiseks.
a b
Fh
Fv
Fts
Fh
Fv
Fts
c
Fh
Fv
Fts
α α
Joonis 2.33. Ratta pööramine kurvis liikumisel: ratas on
sõidusuunas a, ratast on pööratud tsentrifugaaljõudude
kompenseerimiseks sõidusuunast kõrvale b, c
60
-
Väikeste, lihtsate ja odavate robotite puhul on pööramise ja
manööverdamise hõlpsamaks muutmisel mõnikord kasu mitmes suunas
veerevatest ratastest (multi-directional wheel) (joonis 2.34).
Joonis 2.34. Mitmes suunas veerevate rataste näiteid
Ratasveokiga liikurrobotite puhul on probleemiks liikumine pehmel
või ebatasasel pinnal, sest ratta erisurve pinnasele on suhteliselt
suur. Veoki erisurve vähendamiseks pinnasele kasutatakse
roomikmehhanisme. Ebatasasel pinnal liikumiseks sobivad paremini
jalgmehhanismid. Ka ratasveokeid saab valmistada ebatasasel pinnal
liikumiseks, kuid see eeldab veoki erikonstruktsiooni, mis
võimaldab ratastel kopeerida pinna ebatasasusi (joonis 2.35).
Joonis 2.35. Ebatasasel pinnal liikumiseks ettenähtud ratasveok
Roomikmasinate juhtimine. Roomikmasinaid juhitakse piduritega.
Pidurdatakse seda roomikut, mille poole tahetakse pöörata.
Pidurdamisel lahutatakse vastavat roomikut vedava ajami sidur.
Pidureid kasutatakse ka ratasliikurite pööramiseks, kui nende
liikumisvajadus on suhteliselt väike (nt ehitus-, tõstemasinad).
Piduritega pööratavatest masinatest annab ülevaate joonis 2.36.
Mõnikord rakendatakse sellist pööramisviis ka liikurrobotites.
61
-
Joonis 2.36. Piduritega pööratavad roomik- ja ratasmasinad (Uwe
Bergi fotod Internetist) Kõndivad robotid ehk jalgadega
liikurrobotid. Niisuguseid roboteid võiks nimetada ka loodusest
kopeeritud robotiteks. Seejuures eristatakse roboteid jalgade arvu
järgi:
• ühejalgsed ehk keksivad robotid • kahejalgsed • kolmejalgsed •
neljajalgsed • kuuejalgsed • kaheksajalgsed • suure jalgade arvuga
robotid ehk sajajalgsed robotid.
Ühe- ja kahejalgsete robotite liikumisprobleemidele lisandub
tasakaalu probleem. Üldjuhul nõuab nende robotite püstiasendis
hoidmine tasakaalu dünaamilist juhtimist. Kolmejalgseid roboteid
valmistatakse harva, sest nende jalgade kinemaatika pole
edasiliikumiseks sobiv (ühe jala liigutamisel tekkib
tasakaaluprobleem). Kolmejalgsed robotid sobivad paremini
roomamiseks või ronimiseks. Kahejalgse kõndiva mehhanismi
sammufaase näeb joonisel 2.37.
1 432
II I II I III II I
Joonis 2.37. Kahejalgse kõndiva mehhanismi sammufaasid Samm
algab keha raskuse ülekandmisega sirgele jalale (II) ning vaba jala
liigutamisega kõndimise suunas. Sammu teises faasis on vaba jalg
saavutanud oma lõppasendi. Kolmandas faasi toetatakse see maha.
Neljandas faasis toimub keha raskuse ülekandmine jalale I.
Edasipidi liikumised korduvad ning vaba jalg II alustab liikumist
kõndimise suunas.
62
-
Kahe- ja neljajalgseid inim- ja loomanäolisi roboteid näeb
joonisel 2.38.
a b c
Joonis 2.38. Kahe- ja neljajalgsete robotite näited: firma Honda
kahejalgne (bipod) robot Asimo (a) ja firma
RoboScience neljajalgne (quadruped, tetrapod) robotkoer Robodog
(b, c) Kõndiva nelja- ja kuuejalgse roboti sammumehhanismidest
annab ülevaate joonis 2.39.
Joonis 2.39. Kõndiva nelja- ja kuuejalgse roboti
sammumehhanismid Suurem jalgade arv tagab veokile parema
stabiilsuse ja suuremad võimalused ebatasasel pinnal liikumiseks.
8-jalgne sarnaneb 6-jalgse robotiga. Enam kui 8 jalaga roboteid
kasutatakse harva ja üksnes eriotstarbel. Nende liikumine sarnaneb
aga rohkem roomajate kui jalgadel kõndivate imetajate liikumisega.
Jalapaaride pööramisega 10-jalgset robotit (vrd vankri telje
pööramisega) näeb joonisel 2.40. Mõnikord on otstarbeks omavahel
kombineerida nii rattaid kui jalgu. Sel juhul saadakse jalgadega ja
ratastega hübriidveok.
63
-
Joonis 2.40. 10-jalgne jalapaaride pööramisega robot Jalgadega
ja ratastega hübriidveok. Jalad võimaldavad paremini ületada
takistusi. Rataste ehitus ja käitamine on lihtsam. Näited
taolistest veokitest on joonisel 2.41.
Joonis 2.41. Jalgadega ja ratastega hübriidveokid Kolmejalgne
roniv robot. Kolmejalgse ronimismehhanismi kinemaatikat näeb
joonisel 2.42. Mehhanismi kaks jalga hoiavad mehhanismi kinni,
samal ajal liigub kolmas jalg uude kinnituspunkti. Jalgade
liikumine tagatakse jalalülide pööramisega.
Kinnitunud jalg 1 Kinnitunud jalg 2
Kinnituskoht 3Vaba jalg 3
Jalalülid
Jalgade kinnislüli
Joonis 2.42. Ronimismehhanism
64
