2 modele matematyczne

MODELOWANIE PROCESÓWMODELOWANIE PROCESÓW TECHNOLOGICZNYCH

Robert Aranowski

tel.: 347 23 34e-mail: [email protected] // t h l i d l/d d kt k /http://www.technologia.gda.pl/dydaktyka/

Katedra Technologii ChemicznejKatedra Technologii ChemicznejWydział Chemiczny

Politechnika Gdańska

Modele matematyczneModele matematyczne

Modele matematyczne stosowane są do:

Obliczeń projektowych, gdzie danymi wejściowymi są warunki pracy aparatów oraz parametry surowców i produktów a funkcją celu są dane techniczne aparatów (gabaryty, prędkość mieszadeł, powierzchnia wymiany ciepła, itp.)

Optymalizacja, gdzie funkcją celu jest najwyższa wydajność procesu, czystość produktu, czas procesu itp.

Sterowanie, gdzie model matematyczny stosowany jest do przewidywania odpowiedzi systemu na zmianę parametrów ruchowych i bodźce zewnętrzne

Katedra Technologii ChemicznejPolitechnika Gdańska

Modele matematyczne– cdModele matematyczne cd.

Celem tworzenia modeli matematycznych jest znalezienieCelem tworzenia modeli matematycznych jest znalezienie funkcji przejścia ze zmiennych wejściowych w wyjściowe.


Rodzaje modeli matematycznychRodzaje modeli matematycznych

Modele czarnej skrzynki

to klasa modeli matematycznych, w których nie zajmujemy się opisemprocesów zachodzących w danym aparacie, głównie z uwagi na brakdanych na ten temat, a opisujemy jedynie zależności zachodzące międzyy , p j y j y ą ę ywejściami a wyjściami z danego aparatu. Stworzenie odpowiedniegomodelu czarnej skrzynki umożliwia obliczenie wyjść z aparatu dla danegozestawu wejść Rolę modelu czarnej skrzynki spełnia np dla układu ozestawu wejść. Rolę modelu czarnej skrzynki spełnia np. dla układu ojednym wejściu i wyjściu i jednej zmiennej badanej tzw. transmitancjaobiektu, dla obiektu o wielu parametrach tzw. równanie korelacyjne,jednakże uniwersalnego znaczenia jako modele czarnej skrzynki nabierająjednakże uniwersalnego znaczenia jako modele czarnej skrzynki nabierająostatnio tzw. sieci neuronowe.


Rodzaje modeli matematycznych – cdRodzaje modeli matematycznych cd.

Sieć neuronowa

t bió ó ń ( ó ) b d h f k j i t ó jś i hto zbiór równań (neuronów) będących funkcjami parametrów wejściowychobiektu. Funkcje te posiadają odpowiednie współczynniki (wagi) dlakażdego parametru i są ze sobą powiązane w układ równań (sieć) oodpowiedniej, definiowalnej strukturze. Do sieci wchodzą wszystkieparametry wejściowe, a na wyjściu uzyskuje się wszystkie parametrywyjściowe. Tak zbudowana sieć może być modelem wielu procesów. Wagiyj y p gneuronów, które stanowią o tym czy dana sieć jest modelem danegoobiektu, są obliczane w tzw. procesie uczenia sieci. Polega on nawprowadzaniu szeregu par: wektor zmiennych wejściowych - wektorwprowadzaniu szeregu par: wektor zmiennych wejściowych wektorzmiennych wyjściowych.



Sieć neuronowaPary te uzyskuje się bądź z eksperymentu bądź z modelu białejPary te uzyskuje się bądź z eksperymentu, bądź z modelu białejskrzynki. W trakcie uczenia obliczane są wagi równań neuronów. Ponauczeniu sieci będzie ona podawać najbardziej właściwy wektorwyjść dla danego wektora wejść nawet jeśli nie było go w zestawiewyjść dla danego wektora wejść, nawet jeśli nie było go w zestawiewektorów użytych do nauki. Sieci neuronowe występują na rynku wpostaci gotowych programów komputerowych.



Modele białej skrzynki

to te, w których znany jest mechanizm procesu zachodzącegowewnątrz aparatu i jest on opisany odpowiednim modelemmatematycznym Możemy też posłużyć się modelem czarnejmatematycznym. Możemy też posłużyć się modelem czarnejskrzynki, aby uzyskać zależności służące do opisu części modelubiałej skrzynki, np. w modelu suszarki opisujemy siecią neuronowątylko kinetykę suszenia - taki model można nazwać modelemszarej skrzynki lub modelem hybrydowym.



Modele deterministyczne

to te, w których dla danego wektora wejściowego uzyskuje się danywektor wyjściowy z prawdopodobieństwem równym 1. Jest tonajczęstszy przypadek modelu procesu o którego przebiegunajczęstszy przypadek modelu procesu, o którego przebiegudecyduje w całości człowiek. Jeśli na proces wpływają czynnikilosowe jak np. pogoda, to wektor wyjściowy określony zostanie zpewnym prawdopodobieństwem.



Modele stochastyczne

ń ś śopisują rozkład prawdopodobieństwa wektora wyjściowego. Jeśliwszystkie lub część parametrów modelu określona jest rozkłademprawdopodobieństwa, to zmienne takie nazywamy zmiennymiprawdopodobieństwa, to zmienne takie nazywamy zmiennymirozmytymi (fuzzy sets). Algebra zmiennych rozmytych jest corazczęściej stosowana do budowy modeli stochastycznych procesów.D d li t h t h li ć ż ó i ż t któ hDo modeli stochastycznych zaliczyć można również te, w którychwykorzystano metody Monte-Carlo do przewidywania przebieguprocesu - klasycznym przykładem są modele molekularnep o u a y y p y ad ą od o u auwzględniające ruchy Browna.



mikroskopowe - makroskopoweRozróżnieniem jest tutaj skala modelu. Modele makroskopoweobejmują cały aparat bądź system, modele mikroskopowe obejmujączęść procesu lub systemu Z uwagi na możliwe różnice wczęść procesu lub systemu. Z uwagi na możliwe różnice wgłębokości analizy zawsze nadrzędny model jest makroskopowy wstosunku mikroskopowego.p g


Budowa modeluBudowa modelu

MODEL

Zależności bilansoweRównania konstytutywne

Równania określające równowagę międzyfazową

Równania określające właściwości fizykochemicznerównowagę międzyfazową właściwości fizykochemiczne

Równania określająceRównania określające zależności geometryczne


Budowa modeluBudowa modelu

Części składowe typowego modelu deterministycznegoprocesu:p

Zależności bilansowe - są to równania oparte nad t h h d tj d i h ipodstawowych prawach przyrody, tj. zasadzie zachowania

masy, energii, ładunku elektrycznego itp. W przypadkubilansów masy bilansowanie może dotyczyć całej masy lubbilansów masy bilansowanie może dotyczyć całej masy lubmas pojedynczych składników. Bilans ma postać:

DOPŁYW-ODPŁYW=AKUMULACJA


Budowa modelu – cdBudowa modelu cd.

Jeżeli w układzie występują oddzielne fazy, np. ciekła igazowa to bilansuje się każdą z faz z osobnagazowa, to bilansuje się każdą z faz z osobna.

Oprócz strumieni związanych z przepływem materii (członykonwekcyjne lub adwekcyjne związane z polemkonwekcyjne lub adwekcyjne związane z polemprędkości) w układzie mogą występować jeszcze strumieniewywołane innymi przyczynami, np. dyfuzją w przypadkuwywołane innymi przyczynami, np. dyfuzją w przypadkuruchu masy, przewodzeniem w przypadku ruchu ciepła lubtarciem lepkim, w przypadku ruchu pędu (członydyfuzyjne). Do ich określenia wymagana jest znajomość tzw.równań konstytutywnych.



Pozostałe człony mogą być związane z powstawaniemy gą y ą pbilansowanej wielkości fizycznej (np. powstawaniem danegoskładnika w wyniku reakcji chemicznej) lub jej znikaniem (np.ó k k h )również w wyniku reakcji chemicznej). Noszą więc

odpowiednio nazwę członu źródłowego lub upustowego.



Równania konstytutywne - określają naturę fizycznąstrumieni niekonwekcyjnych. Są to najczęściej równanieyj y ą j ę jNewton’a dla tarcia lepkiego, równanie Fourier’a dlaprzewodzenia ciepła i równanie Fick’a dla dyfuzji. Bywają one

ó i i ki t inazywane równaniami kinetycznymi.



Równania określające równowagę międzyfazową -bardzo ważne w przypadku ruchu masy gdzie przyjmująbardzo ważne w przypadku ruchu masy, gdzie przyjmująpostać np. równań równowagi ciecz-para, dla ruchu ciepłamają postać trywialną równości temperatur obu faz namają postać trywialną równości temperatur obu faz napowierzchni międzyfazowej



Równania określające własności fizykochemiczne i ichzależność od temperatury, ciśnienia i stężeń. Są niezbędne wp y, ę ą ęprzypadku obliczeń dokładnych oraz obejmujących szerokizakres zmienności parametrów. W prostych modelach można

ć śzamiast nich użyć stałych wartości fizykochemicznych.



Ró i k śl j l ż ś i tRównania określające zależności geometryczne.Ponieważ pole prędkości oraz powierzchnia międzyfazowamogą zmieniać się lokalnie w aparacie a wpływają one namogą zmieniać się lokalnie w aparacie, a wpływają one nawielkość współczynników wnikania, należy określić ichzależność od geometrii aparatu.g p


Struktura modeli symulacyjnychStruktura modeli symulacyjnych

O typie modelu decydują zwykle dwa czynniki:yp y ją y y1. Rodzaj pracy obiektu - czy jest to praca ciągła w

warunkach ustalonych, np. produkcja papieru w maszyniepapierniczej, czy też praca jest okresowa, jak np. podczaswypalania cegieł czy wytopu stali. W pierwszym przypadku

dan m p nkcie ąd enia pa amet p oces niew danym punkcie urządzenia parametry procesu niezmieniają się w czasie, w drugim zaś są zmienne.


Struktura modeli symulacyjnych – cdStruktura modeli symulacyjnych cd.

2. Sposób zmienności parametrów w przestrzeni - jeżeli wp p p jkażdym miejscu aparatu dany parametr ma tę samąwartość, to dany aparat stanowi obiekt o parametrachk i h k k b kskupionych, tak jest w reaktorze zbiornikowym z

idealnym mieszaniem - jeśli zaś parametry zmieniają się wsposób ciągły (istnieją ich rozkłady przestrzenne) to mamysposób ciągły (istnieją ich rozkłady przestrzenne), to mamydo czynienia z obiektem o parametrach rozłożonych.



Te dwa czynniki mogą tworzyć cztery kombinacje. Każdej zy gą y y j jnich odpowiada pewna matematyczna struktura modelumatematycznego, który należy stworzyć do jej opisu.



Stan ustalony Stan nieustalony

Parametry skupione równania algebraiczne równania różniczkowe

zwyczajneskupione zwyczajne

równania różniczkowe:

Parametry rozłożone

1. zwyczajne dla przypadku jednowymiarowego

2. cząstkowe dla przypadku 2 i 3-

równania różniczkowe cząstkowe(z pochodną po czasie -ą p yp

wymiarowego (bez pochodnej po czasie - zwykle eliptyczne)

( p ą pzwykle paraboliczne)


Zasady symulacji procesówZasady symulacji procesów

Metoda sekwencyjno-modularnaMetoda równaniowaMetoda równaniowa


Documents

2 modele matematyczne