1.KinematikaMehanika je temeljna i najstarija grana fizike koja proučava zakone gibanja i međudjelovanja tijela.

→ kinematika, dinamika i statika

Kinematika (grč. kinein = gibati) je dio mehanike koji opisuje gibanja tijela bez obzira na uzroke gibanja. (Kako se tijelo giba?)

Dinamika (grč. dynamis = sila) je dio mehanike koja proučava uzroke gibanja i utjecaj sile i mase na gibanje. (Zašto se tijelo giba?)

Statika je dio mehanike koji proučava uvjete ravnoteže tijela.

je promjena položaja tijela u odnosu na druga tijela (okolinu, referentni sustav) u vremenu.-u svemiru ne postoji točka koja apsolutno miruje → svako gibanje je relativno

Gibanje

-mirovanje – oblik gibanja kada tijelo ima nepromijenjene koordinate u odnosu na referentni sustav (laboratorijski sustav – sustav koji miruje u odnosu na Zemlju)-translacija - sve čestice ili dijelovi tijela opisuju kongruentne (sukladne) putanje -rotacija - točke krutog tijela opisuju kružnice u paralelnim ravninama; središta svih kružnica leže na jednom pravcu, na tzv. osi rotacije, koja je okomita na ravnine kružnica

Vrste gibanja

Zavisno o obliku putanje:

Najjednostavniji načini gibanja krutog tijela:

pravocrtno - gibanje po pravcu (slobodni pad)

krivocrtno - gibanje po nekoj krivulji (osim pravca) (hor. hitac)

translacija rotacijamirovanje

Svako se gibanje tijela može promatrati kao kombinacija translacije i rotacije!!!

2.1. Materijalna točka- aproksimacija pri kojoj se zanemaruju dimenzije tijela i čitavo tijelo predočava jednom točkom mase m m

- položaj materijalne točke određujemo radijus vektorom (vektor položaja)r

2 1 2 1 2 1

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )B A

r t x t i y t j z t kr r r

r x x i y y j z z k

jednadžba gibanja

r=f(t)- vektor pomaka

putanja (trajektorija)

Putanja je skup svih točaka kroz koje prolazi materijalna točka koja se giba.Put je dio putanje koji materijalna točka prijeđe u određenom vremenu (Δs). Pomak je promjena vektora položaja (Δr).

(t1)

(t2)

2.1. Materijalna točka

Primjer: (zbirka Kulišić: 1.2)Položaj materijalne točke u trenutku t1 je , a u trenutku t2 je

. Izračunaj 1 2 mr i j

2 5 5 mr i j , , .r r r

2.2. Jednoliko pravocrtno gibanje- najjednostavnije gibanje (mirovanje?)- tijelo u jednakim vremenskim intervalima prevaljuje jednake putove- brzina = konstantna po smjeru i iznosu

brzina (srednja) = omjer prijeđenog puta (∆s=xB-xA) i vremena u kojem je taj put učinjen (∆t=t2-t1)

sv =t

ms

čvor = morska milja/sat = 1.852 km/hmilja/sat = 1.609 km/h

s L duljinavt T vrijeme

- dimenzionalna analiza:

s(t) dijagram v(t) dijagram

s = površina v(t) dijagrama

.v konst

2.2. Jednoliko pravocrtno gibanje

2.3. Nejednoliko pravocrtno gibanje

- smjer brzine je konstantan, ali se mijenja iznos: v=f(t)

2 1

2 1

x x xvt t t

srednja brzina:

= nagib sekante (tg β)

trenutna brzina:

0 0lim limt t

x dxv v xt dt

= nagib tangente (tg α)

00lim lim

tt

r d rv v rt dt

Geometrijski prikaz derivacije funkcije f(x).)(xf

xx

),( yyxxB yy

),( yxA

dxxdf

xxfxxfxf

x

)()()(lim)(0

'

0 sekanta kroz A i B prelazi u tangentux

Derivacija funkcije u nekoj točki ima značenje koeficijenta smjera tangente u toj točki (tg ).

s sekanta

t tangenta

∆x

∆y

2.3. Nejednoliko pravocrtno gibanje

Primjer: Tijelo se giba pravocrtno po zakonu x = 5 t2. Kolika je trenutna brzina nakon prve sekunde? Kolika je srednja brzina za vrijeme prve dvije sekunde?

2 25 5 5 2 10 10 1 10m/sdx d dv t t t tdt dt dt

20 10 m/s2

svt

t/s x/m0 0

1 5

2 20

2.3. Nejednoliko pravocrtno gibanje

Izračunavanje puta iz brzine

2

10

lim ( )d

i ii

t

i it i t

s v t

s v t v t t

= površina ispod krivulje

Primjer: koliki put prevali raketa između 17. i 19. sekunde gibanja ako se njezina brzina mijenja prema jednadžbi v = 50 (m/s2) t ?

2

1

19 19 219172 2 2

17 17

2 2

2

m m m50 50 50 |s s s 2

m 19 1750 1800 ms 2 2

t

t

ts v t dt tdt tdt

s

2.3. Nejednoliko pravocrtno gibanje

Akceleracija (srednja): omjer promjene brzine i pripadnog vremenskog intervala

2 12

2 1

ms

v vvat t t

Akceleracija (trenutna): granična vrijednost srednje akceleracije

0 0lim limt t

v dva at dt

2

2

dv d dx d xa xdt dt dt dt

1 2/ /a v t LT T LT

2.3. Nejednoliko pravocrtno gibanje

Izračunavanje brzine iz akceleracije

0 0

00

v t

v

t

dva dv a dtdt

dv a dt

v v a dt

brzina = vremenskom integralu akceleracije

2.4. Jednoliko ubrzano pravocrtno gibanje

02

0 0

.

12

a constv v at

x x v t at

2.4. Jednoliko ubrzano pravocrtno gibanje

Slobodni pad

2

2

2

v g tgs h t

v gh

brzina (t):

put/visina:

brzina pri padu s visine h:

Primjer: tijekom posljednje sekunde slobodnog pada tijelo prevali polovicu ukupne duljine puta. S koje visine i koliko je dugo tijelo padalo?

Neka tijelo pada s visine h u vremenu t:

Do posljednje sekunde, u vremenu (t -1) tijelo prevali polovicu puta:

2

2gh t

212 2h g t

Slobodni pad

t = 3,42 sh = 57,4 m

2.7. Općenito krivocrtno gibanje u ravnini

r

- položaj čestice

B Ar r r

- pomak česticervt

- srednja i trenutna brzina

0limt

r d rv rt dt

- srednja i trenutna brzina

vat

0limt

v dva vt dt

- srednja i trenutna akceleracija

2 2

2 2

2 2

2 2

x y

x y

x y

x y

r x t i y t j

d r dxi dy j

d r dx dyv i j v i v jdt dt dtdv d x d ya i j a i a jdt dt dt

v v v

a a a

2.7. Općenito krivocrtno gibanje u ravnini

parametarski zadana putanja:

brzina:

akceleracija:

iznos brzine i akceleracije:

Složena gibanja

Gibanje tijela je SLOŽENO ako tijelo istovremeno izvodi dva ili više jednostavnih gibanja.

PRINCIP NEOVISNOSTI GIBANJA ( princip superpozicije gibanja ) :Ako tijelo istovremeno izvodi dva (ili više) gibanja, tada je točka u koju tijelo tim gibanjem stigne neovisna o tome da li su gibanja istovremena ili tijelo najprije izvodi samo jedno gibanje, a zatim, neovisno o tom gibanju, drugo gibanje u jednakom vremenskom intervalu.

Složena gibanja

2.8. Kosi hitac

Kosi hitac je složeno gibanje koje se sastoji od jednolikoggibanja po pravcu i slobodnog pada.

2.8. Kosi hitac

22 202 cosi

i

gy tg x xv

- jednadžba putanje kosog hica (v0,θ)

0

0

cossin

x i

y i

v vv v gt

0

20

cos

sin2

i

i

x v tgy v t t

- parabola

- vrijeme uspinjanja tH: 0

0

0 si

s n

0

i

ny i

iH

v v gt

vtg

- maksimalna visina hica H: t=tH i y=H2

2 00

2sn n2

isi2i H H

igv t t vHg

- ukupno vrijeme hica

2u Ht t

- domet hica (y=0): 20 sin 2 ivD

g

-max. za kut 45-isti za kut θ i (90-θ)

0 cos i

xtv

2.8. Kosi hitac

2.8. Kosi hitac

Balistička krivulja – realni hitac-otpor zraka (presjek i oblik projektila, brzina gibanja, temperatura, tlak, vjetar...)

2.8. Kosi hitac

Posebni slučajevi:

- horizontalni hitac, θ = 0

- vertikalni hitac prema gore, θ = 90

- vertikalni hitac prema dolje, θ = 270

Okomiti (vertikalni) hitac

Vertikalni hitac prema DOLJE :

0 0ˆ90 ; - v v j o

Vertikalni hitac prema GORE :

0 0ˆ90 ; v v j o

Složena gibanja: hici

0

20

20

20 0

p a d a

12

( )2

2

v v g t

h v t g t

gy t h v t t

v g h vt

g

HITAC PREMA DOLJE

h

v0

y

Složena gibanja: hiciHITAC PREMA GORE

0v v gt

20 2

gy v t t

0H

vtg

20

2vHg

- visina tijela

- vrijeme uspinjanja (v=0)

- visina hica ( y(tH))

- brzina

Složena gibanja: hiciHITAC PREMA GORE

0

20

0

20

20 0

12

2

2

H

p a d a

v v g t

y v t g t

vtgvH

g

v g h vt

g

Primjer :

S ruba zgrade visoke 20 m bačene su dvije čelične kuglice. Jedna je ispuštena bez početne brzine, a druga je istodobno bačena okomito uvis određenom brzinom. Kolika mora biti ta brzina kako bi druga kuglica pala na tlo za t=1 s kasnije od prve ?

20 0

220 0 0

0

-10

2 2

2 2 2 2

- 2 2 2 2 0

2 28.19 ms

2 2

pada

v gh v ht tg g

v gh gh g t v gh g t v

v g t gh g t g t gh

g t ghg tvg t gh

Horizontalni hitac

Horizontalni hitac

Horizontalni hitac

0 00

2

2

20

2

2

x

y

xv v x v t tv

gv gt y t

g xyv

Jednadžba gibanja kod horizontalnog hica (parabola).

Jednoliko kružno gibanjeKRIVOCRTNO GIBANJE materijalna točka se giba po zakrivljenoj putanji ; nastaje kada ubrzanje materijalne točke nema isti smjer kao brzina

Gibanje po kružnici kod kojeg tijelo u jednakim vremenskim intervalima opiše isti kut. Brzina je konstantna po iznosu ali stalno mijenja smjer što rezultira radijalnom akceleracijom prema središtu kružnice.

t ss r

Jednoliko kružno gibanje

Linearna (obodna) brzina

0 0lim limt t

s dv r r rt t dt

ddt

v r

r v

[rad/s] kutna brzina

-obodna brzina okomita je na radijvektor i na smjer kutne brzine

-smjer kutne brzine određujemo pravilom desne ruke (desnog vijka): prsti na ruci pokazuju u smjeru gibanja (rotacije) tijela, a palac pokazuje smjer kutne brzine

-jednadžbe gibanja (u parametarskom obliku):

cos cossin sinˆ ˆ ˆ ˆcos sin

x r r ty r r t

r xi yj r t i r t j

-brzina:

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

ˆ ˆ

sincos

ˆ ˆsin cos

sin cos

sin cos

x y

v xi yjx r ty r t

v r t i r t j

v v v v r t r t

v r t t r

v r

- smjer vektora brzine u odnosu na smjer radijvektora:

2 2

ˆ ˆ ˆ ˆcos sin sin cos

cos sin cos sin0

r v r t i r t j r t i r t j

r v r t t r t tr v r v

-brzina je okomita na radij vektor, odnosno tangencijalna na kružnicu

smjer vrtnje

smjer kutne brzine(iz ravnine papira)

0 0 0

22

lim lim limr t t t

r

r

r

v va vt t t

da v vdt

va rr

a v

Radijalna (centripetalna) akceleracija

-obodna brzina ima isti iznos, ali stalno mijenja smjer-promjena smjera vektora obodne brzine uzrokuje radijalnu (centripetalnu) akceleraciju

-nastavak...

22 2

2

22 2

2

2 2 2

2

ˆ ˆ ˆ ˆ

cos , sinsin , cos

cos

sin

ˆ ˆ ˆ ˆ

r x y

r

r

a a i a j xi yj

x r t x r ty r t y r t

d xx r t xdtd yy r t ydt

a xi yj xi yj

a r

-smjer radijalnog ubrzanja je suprotan smjeru radijvektora, odnosno usmjereno je prema središtu kružnice

20

2

0

r cp

r cp

r cp

a a rr

va a rr

a a v

Jednoliko kružno gibanje (jednadžba gibanja)-opisani (prijeđeni) kut:

td dt

-početni uvjeti: t =0, =0

0 0

0 0

t

d dt

t

0 t -j. gibanja

Nejednoliko kružno gibanje-gibanje kod kojeg obodna brzina više nije konstantna, već se mijenja s vremenom; pored radijalne javlja se i tangencijalna akceleracija

t

d rdv da r rdt dt dt

-gdje je kutna akceleracija2

20limt

d dt dt dt

22

rad ili ss

-vektorski prikaz:ta r

-vektor kutnog ubrzanja ima smjer okomit na ravninu kruženja (isti ili suprotan smjeru kutne brzine )-vektor tangencijalnog ubrzanja at ima smjer obodne brzine (tangencijalan na kružnicu)

-ukupna akceleracija:

2 2

,r t r t

r t

a a a a a

a a a

Nejednoliko kružno gibanje(jednadžba gibanja)

-ako je = konst.

0

0

0

0

0

00

20 0

/

12

t

t

d d dtdt

d dt

td tdt

d t dt

t t

ANALOGIJA PRAVOCRTNOG I KRUŽNOG GIBANJA