2 Operator และ Matrix Mechanics

Quantum Mechanics ระดบบณฑตศกษา 2 Operator และ Matrix Mechanics 2-1

Dr. Teepanis Chachiyo ภาควชาฟสกส มหาวทยาลยขอนแกน [email protected] Draft Oct 2009

2Operator และ Matrix Mechanics เนอหา 2.1 Operator 2.2 Basis State 2.3 Matrix Mechanics 2.4 Expectation Value และ Uncertainty 2.5 Rotation Operator 2.6 บทสรป 2.7 ปญหาทายบท ฟสกสคงจะเปนเรองทนาเบอ ถาสถานะของระบบทเราตองการศกษานนหยดนงอยกบท และไมมความเปลยนแปลงใดๆเลย หากแตในความเปนจรงแลว quantum mechanics เตมไปดวยการเปลยนแปลง จากสถานะหนงไปยงอกสถานะหนงอยางไมหยดนง ในบทท 1 ทไดกลาวไปแลวนน กเพอใหนกศกษาสามารถทจะอธบายสถานะของระบบโดยใชระเบยบวธของ quantum mechanics หากแตการทเราสามารถอธบายวาระบบอยในลกษณะอยางไรนน ไมเพยงพอในการศกษาฟสกส มความจาเปนทจะตองมระเบยบแบบแผน ทสามารถควบคมหรอเปลยนแปลงสถานะของระบบนนๆไดดวย ในบทท 2 น เราจะมาเรมศกษากลไกหรอกระบวนการท quantum mechanics ใชทาใหเกดการเปลยนแปลงจากสถานะเรมตน ไปเปนสถานะผลลพธ หรอทเรยกวา operator นนเอง

2.1 Operator ในการศกษา quantum mechanics เบองตน นกศกษารจกกบคาวา operator ดวยความเขาใจทวามนมความเชอมโยงกบกระบวนการวดหรอการทดลองในทางฟสกส ยกตวอยางเชน เราแทนกระบวนการวดโมเมนตมของระบบ ดวยสงทเรยกวา momentum operator หรอ แทนกระบวนการวดพลงงานจลนของระบบดวยสงทเรยกวา kinetic energy operator ซง operator ตางๆเหลาน กจะมรปแบบทางคณตศาสตรทแตกตางกนออกไป



ถงแมวาคานยามของ operator ดงทกลาวไวขางตน เปนคานยามทถกตอง แตมความหมายทแคบจนเกนไปและมขอจากดอยหลายประการ ดงนน ใน Section 2.1 น เราจะมาเรมทาความรจกกบ operator ของ quantum mechanics ในความหมายทกวางมากขน และใน Section 2.3 เราจงจะตกรอบของ operator ใหแคบลง ซงมความหมายเฉพาะเจาะจงเกยวกบกระบวนการวด หรอ measurement ในทางฟสกส operator คอ กลไกหรอกระบวนการท quantum mechanics ใชทาใหเกดการเปลยนแปลงจากสถานะเรมตน ไปเปนสถานะผลลพธ สมมตวาเราเตรยมอนภาคหรออเลกตรอน ใหมนอยในสถานะ X+ จากนน ไมวาดวยเหตผลอะไรกตามแต เราตองการทเปลยนสถานะของอเลกตรอนมาอยในสถานะ Y+ ดงในภาพ 2.1

SN~~~

~~~

~~~~~~X+

Y+

x

z

y

SN~~~

~~~

~~~~~~X+

Y+

x

z

y

ภาพ 2.1 เราสามารถทจนตนาการไดวาอเลกตรอนซงเดมอยในสถานะ X+ ถกเปลยนใหอยในสถานะ Y+ ดวยสงทเรยกวา operator

ในแงของการออกแบบการทดลองนน การเปลยนสถานะดงกลาว อาจจะสามารถทาไดดวยการปอนสนามแมเหลกทขนานกบแนวแกน y เขาไปในระบบ การบงคบให spin ของอนภาคใหมทศทางตามทเราตองการน หาไดเปนแตเพยงกระบวนการทนกทฤษฏจนตนาการในเชงวชาการเทานน หากแตม application ทชดเจน ยกตวอยางเชน MRI (Magnetic Resonance Imaging) อยางไรกตาม ในเนอหาทกาลงกลาวถงน เรายงจะไมสนใจวาการทจะเปลยนสถานะของอนภาคจาก X+ ใหเปน Y+ นน สามารถทดลองใหเหนจรงไดอยางไร ในขนตนน เราจะมาศกษาเพยงในเชงทฤษฏเทานน



ตามระเบยบวธของ quantum mechanics การเปลยนแปลงจากสถานะหนง ไปยงอกสถานะหนง เราเขยนใหอยในรปทวๆไป ดงตอไปน

Oϕ ψ= __________________________ สมการ (2.1) จะเหนวา เดมทนน ระบบอยในสถานะ ψ แตดวยสงทเราเรยกวา operator O ทาให ระบบเปลยนมาอยในสถานะ ϕ การใชสญลกษณทแสดงความเปน operator นน เรามกจะใชสญลกษณทมลกษณะคลายๆกบหมวก ทอานวา hat ขอควรระวง ในการอานสญลกษณในสมการ (2.1) operator O มไดคณอยกบสถานะ ψ เหมอนดงเชนสมการ (1.30) ทคาสมประสทธ d คณอยกบสถานะ Z− หากแต จะตองอานวา operator O กระทากบสถานะ ψ และทาใหไดสถานะ ϕ ขนมา ในตวอยางทไดกลาวไวขางตน ซงเกยวของกบการเปลยนสถานะ spin ของอนภาค อาจจะเขยนใหอยในรปทคลายกบสมการ (2.1) ไดวา

ˆY X+ = Ω + _____________________ สมการ (2.2) มาถงขนน เราไดกลาวถง operator ในสองประเดนคอ 1) สญลกษณทใช และ 2) ผลกระทบทมตอสถานะของระบบ ยกตวอยางเชน เปลยนจาก X+ ใหกลายเปน Y+ ถงกระนนกตาม ยงปรากฏโจทยทสาคญซงยงมไดรบคาตอบทชดเจน นนกคอ ในทางคณตศาสตรแลว operator Ω ดงกลาว มรปรางหนาตาเปนอยางไร

ZZX −++=+2

12

1

ZiZY −++=+22

1

operator

operator ทวาน รปแบบทางคณตศาสตรอยางไร

Ω

ˆ Z Z i Z ZΩ ≡ + + + − −

คาตอบ

ZZX −++=+2

12

1

ZiZY −++=+22

1

operator

operator ทวาน รปแบบทางคณตศาสตรอยางไร

Ω

ˆ Z Z i Z ZΩ ≡ + + + − −

คาตอบ

ภาพ 2.2 ถา operator ดงกลาวสามารถทจะเปลยนสถานะของ spin ได คาถามกคอ แลว operator ทวาน รปรางหนาตาเปนอยางไร ดวยการออกแบบทชาญฉลาดและลงตว quantum mechanics ใช



สญลกษณ "ket-bra" หรอ เปนตวแทนของ operator

ภาพ 2.2 แสดงถงแนวทางการเขยน operator ใหอยในรปของ ซงเปนลกษณะทวาง ket ไวทางซายมอและวาง bra ไวทางขวามอ หรออาจจะเรยกวา "ket-bra" จากนนเราลองมาวเคราะหดวา การเขยน operator ในลกษณะดงกลาวน จะมผลอยางไรกบสถานะทมนกาลงกระทาอย

Z Z− +

Z+2

11) ket แสดงสถานะของระบบ

2) operator เขาไปกระทา12

Z Z Z⎧ ⎫⎧ ⎫− + +⎨ ⎬⎨ ⎬

⎩ ⎭⎩ ⎭

ยายมาคณดานหนา เพราะตวเลขมสมบตการสลบทของการคณ

bra และ ket เจอกน เปลยนเปน probability amplitude ซงเปนเพยงตวเลข

12

Z−3) คงเหลอเพยง ket

Z Z− +

Z+2

11) ket แสดงสถานะของระบบ

2) operator เขาไปกระทา12

Z Z Z⎧ ⎫⎧ ⎫− + +⎨ ⎬⎨ ⎬

⎩ ⎭⎩ ⎭

ยายมาคณดานหนา เพราะตวเลขมสมบตการสลบทของการคณ

bra และ ket เจอกน เปลยนเปน probability amplitude ซงเปนเพยงตวเลข

12

Z−3) คงเหลอเพยง ket

ภาพ 2.3 แสดงลาดบขนตอนในการท operator กระทากบสถานะใดๆ

จากภาพ 2.3 เรมดวยการพจารณาสถานะของระบบ ซงแทนดวยเครองหมาย ket 12

Z+

จากนนนา operator ทแทนดวยเครองหมาย Z Z− + ซงเปนการเขยนในลกษณะของ ket-bra ถาเรานา operator ดงกลาวนวางไวทางซายมอ และ นาสถานะ ket วางไวทางขวามอ ดงทแสดงในภาพ จะเหนวา

1) สมประสทธ 2

1 ทคณอยกบ ket นน เปนเพยงตวเลขทเราสามารถทยายมาวางไวตาแหนงใดๆก

ได เพราะวาตวเลขโดยทวไปนน มสมบตการสลบทของการคณ 2) เนองจากกลเมดในการจดวางตวทชาญฉลาดและลงตวของสญลกษณทเราใชแทน operator ใหสงเกตวา สวนทเปน bra ของ operator จะเขามาพบกบสวนทเปน ket ของสถานะทมอย ทาใหเกดการรวมตวกนเปน bra-ket หรอ ซงจาก Section 1.3 ในบทท 1 มความหมายเปน probability amplitude อนมคณสมบตเปนเพยงตวเลขจานวนเชงซอนตวหนงเทานน ในกรณของตวอยางทแสดงในภาพ 2.3 นน probability amplitude 1=++ ZZ

และในทายทสดแลว เรากจะไดสถานะทเกดขนเปนผลลพธคอ 12

Z− ซงสามารถสรปไดวา



1 1ˆ2 2

O Z Z⎡ ⎤+ = −⎢ ⎥⎣ ⎦ เมอ O Z Z= − + _________________ สมการ (2.3)

จากสมการ (2.3) พบวา operator O สามารถทจะเปลยนสถานะ ket 12

Z+ ใหกลายเปนสถานะ

ket 12

Z− และในลาดบตอไป เราจะกลาวถงตวอยางของ operator ทสามารถเปลยนสถานะ

X+ ใหเปนสถานะ Y+ จากภาพ 2.2 เรากาหนดให

ˆ Z Z i Z ZΩ = + + + − − _________________ สมการ (2.4) จากนนแทนคาของ Ω ดงกลาวเขาไปกระทากบ X+ ดงในสมการ (2.2) จะไดวา

ˆ X Z Z i Z Z X⎧ ⎫

Ω + = + + + − − +⎨ ⎬⎩ ⎭

_________________ สมการ (2.5)

แตจากการวเคราะหในบทท 1 พบวา เราอาจจะเขยน X+ ใหอยในรป superposition ของ Z± ดวยเหตน สมการ (2.5) ขางตนจงสามารถเปลยนใหอยในรปดงตอไปน

1 1ˆ2 2

1 12 2

2 2

X Z Z i Z Z Z Z

Z Z Z Z Z Z

i iZ Z Z Z Z Z

⎧ ⎫⎧ ⎫Ω + = + + + − − + + −⎨ ⎬⎨ ⎬⎩ ⎭⎩ ⎭

+ + + + + + −=+ − − + + − − −

________ สมการ (2.6)

ในสมการ (2.6) ขางตน เราทาการกระจายใหกลายเปน 4 เทอมดวยกน จากนนโดยอาศยคณสมบตดงทไดกลาวในบทท 1 ทวา 1 , 0Z Z Z Z+ + = − + = จะไดวา

1ˆ2 2

iX Z ZΩ + = + + − ________ สมการ (2.7)



จากสมการ (1.34) เราทราบวา ZiZY −++=+22

1 ซงตรงกนกบเทอมทางขวามอของ

สมการ (2.7) ขางตน ทาใหในทายทสดแลว

ˆ X YΩ + = + ___________________ สมการ (2.8)

x

z

y

θ

ϕ

x

z

y

θ

ϕ

ภาพประกอบแบบฝกหด 2.1 spin ของอเลกตรอนไมจาเปนตองชในทศขนานกบแกน x, y, หรอ z เสมอไป

แบบฝกหด 2.1 ในแบบฝกหด 1.8 สถานะ cos( ) sin( )2 2

in Z e Zϕθ θ+ = + + − แทน spin ท

อาจจะชไปในทศทางใดๆกได โดยทตวแปร θ และ ϕ มความหมายเปนมม 2 มมทกาหนดทศทางเหลานน ดงภาพ จงพสจนวา ˆ nΩ + มผลทาให สถานะดงกลาว หมน 90 องศารอบแกน z จากตวอยางขางตน เราจะเหนวา operator Ω ทเขยนอยในรปดงสมการ (2.4) นน สามารถทจะเปลยนสถานะ X+ ใหกลายเปน Y+ ไดตามทเราตองการ

2.2 Basis State มเซตของ state หรอ สถานะ อยจาพวกหนงทเราสามารถใชเปนตวแทนของ state อนๆได ซงเราเรยกเซตเหลานวา basis state ทงนเพอใหนกศกษาเขาใจถงแนวความคดทเกยวของกบ basis state เราลองมาวเคราะหตวอยาง 2 ตวอยางดวยกน โดยทตวอยางทงสอง ดผวเผนนน ไมเกยวของกบ basis state แตอยางใด หากแตในความเปนจรงแลว มแนวความคดของ basis state ซกซอนอย

Basis State ในรปแบบตางๆ ตวอยางแรกกคอระบบของพกด ทเราใชในการบอกตาแหนงของวตถใดๆ เชน ในระบบ Cartesian coordinate เราใชทศทางทเปน unit vector ในแนวแกน x, y, และ z เปนตวแทนของ vector ใดๆ

x y zr r r r= + +i j k ___________________ สมการ (2.9)



จาก สมการ (2.9) ขางตนจะเหนวา ไมวา vector r จะชไปยงตาแหนงไหนกตาม สามารถเขยนใหอยในรปผลบวกของ basis vector i , j , และ k โดยทสมประสทธ xr , yr , และ zr เปนตวกาหนด

ความยาวของ vector ตามแนวทศทางของ basis vector ทงสาม นอกจากน เราอาจจะละ basis vector i , j , และ k ไวในถานทเขาใจ และเขยน vector r แบบยอๆ โดยใชเฉพาะสมประสทธทงสามตวในการสอความหมาย เชน

( ), ,x y zr r r r= ______________________ สมการ (2.10)

ตวอยางทสองเกยวของกบคณตศาสตรในเรองของฟงชนก เมอพจารณาฟงชนกใดๆในหนงมตจะพบวา เราสามารถเขยนใหอยในรปของอนกรม Taylor ไดดงน

0( ) n

nn

f x a x∞

== ∑ ______________________ สมการ (2.11)

ยกตวอยางเชน 2 31 112! 3!

xe x x x= + + + … หรอ 3 51 1sin3! 5!

x x x x= − + … ซงจะเหนวา basis

function ทเราใชเปนตวแทนของฟงชนกใดๆ ดงสมการ (2.11) นน กคอ polynomial นนเอง โดยทเซตของสมประสทธ { }na มคาแตกตางกนออกไปตามฟงชนก )(xf ทเรากาลงพจารณา แบบฝกหด 2.2 จงหา Taylor expansion ของฟงชนก , cos , sinxe x x จากนนพสจนวา

cos sinie iθ θ θ= +

แบบฝกหด 2.3 จงใชอนกรม Taylor ในการพสจนวา 2

2 22aa b bb

+ ≅ + เมอ a b

การเขยนฟงชนกใดๆใหอยในรปของ basis function มไดจากดอยแตในกรณของฟงชนกของหนงตวแปรดงในสมการ (2.11) ในกรณของฟงชนกของสองตวแปร มตวอยางทนกศกษาคนเคยกคอ

0( , ) ( , )

lm m

l ll m l

f f Yθ ϕ θ ϕ∞ +

= =−= ∑ ∑ ______________________ สมการ (2.12)



สมการ (2.12) แสดงใหเหนวา ฟงชนกของสองตวแปร ( , )f θ ϕ ใดๆ สามารถเขยนใหอยในรป summation ของ basis function ( , )m

lY θ ϕ คณกบ สมประสทธ mlf โดยทฟงชนก ( , )m

lY θ ϕ มชอเรยกกนโดยทวไปวา spherical harmonic ซงนกศกษาไดเคยพบกบฟงชนกดงกลาวนมาแลวในการแกสมการ Schrödinger สาหรบอะตอมของ hydrogen ในวชา Quantum Mechanics เบองตน โดยทเราจะมาทบทวนสมบตทางคณตศาสตรทเกยวของอกครงหนง ในเนอหาของบทท 9 ถาวกกลบมาท quantum mechanics เราเรยกเซตของ state ทสามารถใชเปนองคประกอบของ state อนๆวา basis state ซงเซตดงกลาวนกขนอยกบระบบทางฟสกสทกาลงพจารณา ตวอยางทเหนชดเจนทสดกคอ เซตของ { },Z Z+ − โดยทเราสามารถเขยนสถานะใดๆทเกยวของกบ spin ของ

อเลกตรอนไดในรปของ superposition ไดดงน

ZaZa −++= −+ψ ______________________ สมการ (2.13) อยางไรกตาม อาจจะมเซตของ basis state อยมากกวาหนงเซตใหเลอกใชในการแทนสถานะของระบบทเรากาลงศกษา การมอสระทจะเลอกใช basis state ในทาง quantum mechanics นน มความคลายคลงกบอสระทจะเลอกใชพกดทแสดงถงตาแหนงของวตถใน 3 มต ซงเราสามารถเลอกใชวาจะเปนระบบ Cartesian coordinate, spherical coordinate, หรอ แมกระทง cylindrical coordinate ยกตวอยางเชน ในกรณของแบบฝกหด 2.1 ทเราแสดงสถานะเชง spin ของอเลกตรอนทชในทศซงกาหนดโดยมม θ และ ϕ โดยทสถานะ n+ ดงกลาว เมอเขยนอยในรปของ basis state ทเปน

{ },Z Z+ − จะไดวา

cos( ) sin( )2 2

in Z e Zϕθ θ+ = + + − ______________________ สมการ (2.14)

อยางไรกตาม สมมตวาเครองมอทใชตรวจวด spin -ของเราไมไดวางตวอยตามแนวแกน z หากแตอยในแนวแกน x เพราะฉะนนเราอาจจะเลอกใช { },X X+ − เปน basis state ในกรณเชนน

เรากสามารถเขยน n+ ไดวา

n c X c X+ −+ = + + − ______________________ สมการ (2.15)



โดยทสมประสทธ ,c c+ − กคอ probability amplitude ทจะพบ n+ อยในสถานะ X+ และ X− ตามลาดบ และจาก Section 1.8 ในบทท 1 ,c c+ − สามารถเขยนใหอยในรป

c X n

c X n+

−

= + +

= − + ______________________ สมการ (2.16)

เราคานวณปรมาณทางขวามอในสมการ (2.16) ไดจากนา สถานะ bra X+ เขาประกบกบสถานะ ket n+ ในสมการ (2.14) จะไดวา

cos( ) sin( )2 2

iX n X Z e X Zϕθ θ+ + = + + + + − ________ สมการ (2.17)

สบเนองจาก Section 1.6 ในเรองการทดลองของ Stern-Gerlach เราทราบจากสมการ (1.28) วา

12

Z X+ + = และ 12

Z X− + = เพราะฉะนนแลว

12

12

X Z Z X

X Z Z X

∗

∗

+ + = + + =

+ − = − + = ________ สมการ (2.18)

และเมอแทนสมการ (2.18) เขาไปในสมการ (2.17) จะทาให

1 1cos( ) sin( )2 22 2

iX n e cϕθ θ++ + = + = ________ สมการ (2.19)

และในทานองเดยวกน

1 1cos( ) sin( )2 22 2

iX n e cϕθ θ−− + = − = ________ สมการ (2.20)

และในทายทสด จะทาใหเราสามารถเขยนสถานะ n+ ใหอยในรปของ basis state

{ },X X+ − ดงนน



1 1cos( ) sin( ) cos( ) sin( )2 2 2 22 2

i in e X e Xϕ ϕθ θ θ θ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + + + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

สมการ (2.21)

ทงนเมอเราเปรยบเทยบสมการ (2.14) และสมการ (2.21) จะพบวา ถงแมเราจะมอสระในการเลอกทจะแสดงสถานะของระบบใหอยใน basis state ใดๆกได แตการเลอกทไมเหมาะสมจะทาใหการวเคราะหทางคณตศาสตรมความซบซอนเกนความจาเปน ดงจะเหนวา สถานะ n+ ในรปของ basis state { },X X+ − มความซบซอนมากกวาในรปของ { },Z Z+ − เปนตน

แบบฝกหด 2.4 จากแบบฝกหด 1.8 และ 1.9 จงเขยน n+ และ n− ในรปของ basis state { },Y Y+ −

คณตศาสตรของ Operator และ Basis State เนอหาใน Section 1.8 เราไดเกรนถงการแสดงสถานะของระบบใหอยในรป superposition ของ basis state ไดวา

1

Ni i

ic φ

=Ψ =∑ ____________________ สมการ (2.22)

เมอ { }iφ คอเซตของ basis state หรอ เหตการณพนฐานตางๆทมโอกาสจะเกดขนไดทงหมด ซงม

ทงสน N สถานะดวยกน ดงทไดแสดงเปนตวอยางใน Section 2.1 และ ในสมการ (2.4) ในเรองของการเขยน operator ใหอยในรปของ ket-bra หรอ ในครงนเราจะนาตวอยางดงกลาวมาเปนพนฐานในการเขยน operator O ใดๆ ซงไมจากดอยแตเฉพาะในกรณของระบบทม basis state เปน { },Z Z+ − เพยง

เทานน จากกรณตวอยางดงในสมการ (2.4) operator O ใดๆ ของระบบดงกลาว สามารถเขยนใหอยในรป

1 1

ˆN N

ij i ji j

O o φ φ= =

=∑∑ ____________________ สมการ (2.23)



เมอ สมประสทธ ijo กคอคาคงท ซงกขนอยกบ operator และ ระบบทางฟสกสทเรากาลงศกษา

ยกตวอยางเชน operator Ω ใน Section 2.1 ซงม 2N = และ 1 2,Z Zφ φ= + = − เพราะฉะนน 11 12 21 221, 0, 0,o o o o i= + = = = + เปนตน เพอเปนตวอยางของการนาเอารปแบบการเขยน operator ดงในสมการ (2.23) เราจะมาวเคราะห operator ทเรยกวา identity operator identity operator ซงโดยทวไปเขยนดวยสญลกษณ 1 เปน operator ทเมอกระทากบสถานะใดๆ จะไมมผลทาใหสถานะนนๆเกดการเปลยนแปลงแตอยางใด หรอเขยนในรปของสมการไดวา

1 Ψ = Ψ ____________________ สมการ (2.24)

จากคานยามในสมการขางตน เราสามารถพสจนไดวา 1 1

1N N

ij i ji j

δ φ φ= =

=∑∑ หรออกนยหนง

11

Ni i

iφ φ

==∑ ____________________ สมการ (2.25)

การพสจนใหเหนวา operator 1

Ni i

iφ φ

=∑ ในสมการ (2.25) เมอไปกระทากบสถานะใดๆแลว ไม

ทาใหเกดการเปลยนแปลงของสถานะนนๆ ทาไดโดยการพจารณา

1 1 1

N N Ni i i i n n

i i ncφ φ φ φ φ

= = =

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪Ψ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭∑ ∑ ∑ ______________ สมการ (2.26)

ในสมการขางตน เราเขยนสถานะของระบบ Ψ ใหอยในรป superposition ของ basis state { }nφ

จากนนสามารถกระจาย summation ซงจะไดวา

1 1 1

1 1

N N Ni i i i n n

i i nN N

i n ini n

c

c

φ φ φ φ φ

φ δ

= = =

= =

⎧ ⎫⎪ ⎪ Ψ =⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

=

∑ ∑∑

∑∑ ______________ สมการ (2.27)



เนองจาก Kronecker delta function inδ ทาใหเทอมตางๆของ summation ในสมการ (2.27) เปนศนยเกอบทงหมด ยกเวนแตในกรณ i n= ดงนน

1 1

N Ni i n i

i ncφ φ φ

= =

⎧ ⎫⎪ ⎪ Ψ = = Ψ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭∑ ∑ ______________ สมการ (2.28)

ซงกเปนจรงตามคานยามในสมการ (2.24) identity operator 1 โดยตวมนเองแลว ไมมประโยชนในแงของการนามาวเคราะหปรากฏการณทางฟสกส เพราะ 1 เปรยบเสมอนตวเลข 1 ซงเมอคณกบฟงชนกใดกยอมไมเกดอะไรขน แต identity operator 1 จะเปนตวชวยในการวเคราะหเชงคณตศาสตร ดงจะไดแสดงเปนตวอยางในลาดบตอไป แบบฝกหด 2.5 สมการ (2.23) เปนการเขยน operator O ในรปของสมประสทธ ijo ในทาง

กลบกน จงเขยนสมประสทธ ijo ในรปของ operator O และพสจนวา îj i jo Oφ φ= ____________________ สมการ (2.29)

บอกใบ: ใชสมบตความเปน orthogonal ของ basis state { }iφ

ในแบบฝกหด 2.4 เราทาการเปลยนการแสดงสถานะ n+ โดยทแตเดมอยในรปของ basis state

{ },Z Z+ − ใหอยในรปของ basis state { },Y Y+ − ซงเปนกรณตวอยางของระบบทม

จานวน basis state N=2 ในคราวน เราสามารถทจะใช identity operator เปนเครองมอในการเปลยน basis state ของสถานะของระบบ

สมมตวาแตเดม เราเขยนสถานะของระบบ Ψ ดวยเซตของ basis state { }iφ กลาวคอ

1

Ni i

ic φ

=Ψ =∑ ____________________ สมการ (2.30)

โดยทเราทราบคาของสมประสทธ { }ic พจารณาเซตของ basis state { }jη อกชดหนง จาก

identity operator ในสมการ (2.25) เราสามารถเขยนไดวา



11

Nj j

jη η

== ∑ ____________________ (2.31)

ซงเมอใช identity operator ทเขยนในรปสมการ (2.31) เขาไปแทรกในเทอมทางขวามอของสมการ (2.30) จะไดวา

1

1 1

1 1

1N

i ii

N Ni j j i

i j

N Ni j j i

i j

c

c

c

φ

η η φ

η η φ

=

= =

= =

Ψ =

⎧ ⎫⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

=

∑

∑ ∑

∑∑

____________________ สมการ (2.32)

และในเมอ j iη φ เปนเพยงตวเลขจานวนเชงซอน จงสามารถจดรปไดดงตอไปน

1

Nj j

jb η

=Ψ = ∑ เมอ

1

Nj i i j

ib c φ η

∗

=≡∑ ____________________ สมการ (2.33)

โดยทวไปแลว การเปลยนสถานะทเขยนในรปของ basis state { }iφ ใหอยในรปของ basis

state { }jη สามารถทาไดโดยใชสมการ (2.33) นนเอง

2.3 Matrix Mechanics

นอกจากทเราใชระบบทางสญลกษณทเรยกวา bra และ ket ในการอธบาย quantum mechanics แลว matrix mechanics ยงเปนอกรปแบบหนงทสามารถทาได และใน Section 2.3 นเราจะเรมดวยการทบทวน linear algebra เพอใหนกศกษาคนเคยกบระบบของ vector และ matrix จากนนเราจะกลาวถงระบบของ matrix mechanics ท Heisenberg, Born, และ Jordan คดคนขน และในสดทาย จะกลาวถง spin operator ทอยในรปของ matrix

ทบทวนพชคณตของ Vector และ Matrix



เพอใหนกศกษาคนเคยกบเนอหาของ vector และ matrix ทอยในวชาพชคณตเชงเสน (Linear Algebra) ในขนตนน เราจะทบทวนคานยามและเอกลกษณทางคณตศาสตรตางๆของ vector และ matrix vector คอ กลมของตวเลข ซงอาจเปนเพยงจานวนจรงหรอจานวนเชงซอน ทโดยทวไปเขยนใหอยในลกษณะเปนแถวในแนวตง ยกตวอยางเชน

18

a⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

, 2

11

ib i

i

⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥+⎣ ⎦

, หรอ

1

2

N

cc

c

c

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

เปน vector _____________ สมการ (2.34)

จานวนของตวเลขภายใน vector ซงในกรณนกคอจานวนของแถว แสดงถง dimension (มต) ของ vector ดงจะเหนไดจากตวอยางขางตน ประกอบดวย vector ทม 2, 3, และ N dimension ตามลาดบ จะสงเกตเหนวา เราใชสญลกษณ a ,b , และ c แทน vector และในการอางถงตวเลขตางๆภายใน vector เราใช index หรอ ดชนกากบตาแหนง ซงแสดงถงลาดบของแถวทตวเลขนนๆปรากฏอย ยกตวอยางเชน 2 8a = หรอ 3 1b i= + เปนตน matrix คอ การจดกลมของตวเลขทมความซบซอนมากขนจาก vector กลาวคอ เปนการเขยนทมลกษณะเปนทงแถวควบคไปกบคอลมน ยกตวอยางเชน

1 55 2

A⎡ ⎤

= ⎢ ⎥−⎣ ⎦,

1 0 10 4 2

1 2 1

iB i

i i

−⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥+⎣ ⎦

,

หรอ

1,1 1,2 1,

2,1 2,2 2,

,1 ,2 ,

N

N

N N N N

c c c

c c cC

c c c

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

……

…

เปน matrix _____________ สมการ (2.35)

เนองจาก matrix มทงแถวและคอลมน เราใชตวเลข 2 ตวในการบงบอกถง dimension ของมน ซงจากตวอยางขางตน ประกอบดวย matrix ทม 2x2, 3x3, และ NxN dimension ตามลาดบ ในกรณเชนน เราใชคาวา matrix A ม 2 แถวและม 2 คอลมน หรอ matrix C ม N แถวและม N คอลมน



อยางไรกตาม จานวนของแถวและจานวนของคอลมนไมจาเปนตองเทากน แตถาทงสองมคาเทากน เราเรยก matrix นนวา square matrix โดยทวเราใชตวอกษร Roman และมเครองหมาย tilde เพอแสดงถงความเปน matrix ยกตวอยางเชน A , B , และ C และในทานองเดยวกนกบ dimension ของ matrix ในการอางถงตวเลขภายใน

matrix เราจะใชตวเลข 2 ตวเพอเปน index หรอ ดชนกากบตาแหนงทตวเลขนนๆปรากฏอย ยกตวอยางเชน

2,1 5A = − , 3,1 1B i= + และ 1,3 1B i= − โดยท index ตวแรกแสดงถงแถว และ index ตวทสองแสดงถงคอลมน ทงน ตวเลขทเปนสมาชกของ matrix เรยกอกชอหนงวา matrix element matrix-vector operation เราสามารถนา matrix เขามากระทากบ vector และทาใหเกด vector ขนมาใหม ซงในบางครงเราเรยกกระบวนการดงกลาวนวา "การคณ" ของ matrix เขากบ vector

1 0 1 20 4 2 1

1 2 1 1

i ii i

i i i

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

1 (2 ) 0 (1 ) (1 ) (1 ) 2 2i i i i i⋅ + ⋅ − + − ⋅ + = +6 6i= −1 5i= +

กาหนดให จะไดวา a Bb= 1 1,1 1 1,2 2 1,3 3a B b B b B b= ⋅ + ⋅ + ⋅

หรอเขยนในรปทวไป ,1

Ni i j j

ja B b

== ⋅∑

1 0 1 20 4 2 1

1 2 1 1

i ii i

i i i

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

1 (2 ) 0 (1 ) (1 ) (1 ) 2 2i i i i i⋅ + ⋅ − + − ⋅ + = +6 6i= −1 5i= +

กาหนดให จะไดวา a Bb= 1 1,1 1 1,2 2 1,3 3a B b B b B b= ⋅ + ⋅ + ⋅

หรอเขยนในรปทวไป ,1

Ni i j j

ja B b

== ⋅∑

ภาพ 2.4 แสดง matrix - vector operator ดงแสดงในภาพขางตน สมมตวาม matrix B ขนาด 3x3 และ ม vector b ซงม dimension เทากบ 3 เชนเดยวกน เมอกาหนดให a Bb= จะไดวา vector ผลลพธทเกดขนจะมคาเทากบ

,1

Ni i j j

ja B b

== ⋅∑ เมอ a Bb= ____________________ สมการ (2.36)



เมอสงเกตสของภาพขางตน จะพบวา สมาชกในแถวท 1 ของ vector a ไดมาจากการคณกนระหวางแถวท 1 ของ matrix B กบ vector b นนเอง matrix-matrix operation นอกจากน matrix ยงสามารถกระทากบ matrix ดวยกนเอง เกดเปน matrix ขนมาใหม

แถว 1

คอลมน 1 คอลมน 3

แถว 22 2 2

0 16 84 3 6 4

i i ii

i i i

+ −⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥+ −⎣ ⎦

1 0 1 1 0 10 4 0 0 4 21 0 3 1 2 1

ii

i i

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎣ ⎦ ⎣ ⎦

1,3 1,1 1,3 1,2 2,3 1,3 3,3C A B A B A B= ⋅ + ⋅ + ⋅

AB C=กาหนดให

หรอในรปทวไป , , ,1

Ni j i k k j

kC A B

== ⋅∑

แถว 1

คอลมน 1 คอลมน 3

แถว 22 2 2

0 16 84 3 6 4

i i ii

i i i

+ −⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥+ −⎣ ⎦

1 0 1 1 0 10 4 0 0 4 21 0 3 1 2 1

ii

i i

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎣ ⎦ ⎣ ⎦

1,3 1,1 1,3 1,2 2,3 1,3 3,3C A B A B A B= ⋅ + ⋅ + ⋅

AB C=กาหนดให

หรอในรปทวไป , , ,1

Ni j i k k j

kC A B

== ⋅∑

ภาพ 2.5 แสดง matrix - matrix operation ดงตวอยางของภาพทไดแสดงขางตน กาหนดให A และ B เปน square matrix ทม dimension NxN เพราะฉะนน ผลลพธของ matrix - matrix operation AB C= กคอ

, , ,1

Ni j i k k j

kC A B

== ⋅∑ เมอ C AB= ____________________ สมการ (2.37)

ยกตวอยางเชน สมาชกของ matrix C ทอย ณ ตาแหนง แถว 1 และ คอลมน 3 หรอ 1,3C สามารถคานวณไดจากการคณกนระหวาง แถว 1 ของ A และ คอลมน 3 ของ B นนเอง แบบฝกหด 2.6 จาก matrix A และ B ดงในภาพ 2.5 จงคานวณ BA และแสดงใหเหนวา ในกรณดงกลาว BA AB≠ conjugate transpose ของ matrix กระบวนการทางคณตศาสตรทสาคญอนหนงกคอการนา matrix มาสลบแถว ⇔ คอลมน และในกรณท matrix มสมาชกเปนเลขจานวนเชงซอน นอกจากการสลบตาแหนงดงกลาวยงมการเปลยนตวเลขใหเปน complex conjugate ของตวมนเอง ยกตวอยางเชน



ถา 1 6 2 53 4 4 35 2 6 1

i iA i i

i i

+ +⎡ ⎤⎢ ⎥= + +⎢ ⎥⎢ ⎥+ +⎣ ⎦

แลว conjugate transpose ของ A คอ † 1 6 3 4 5 22 5 4 3 6 1

i i iA

i i i− − −⎡ ⎤

= ⎢ ⎥− − −⎣ ⎦

ตวอยางขางตนเปน การหา conjugate transpose ของ matrix ขนาด 3x2 ซงจะไดผลลพธเปน matrix ขนาด 2x3 นอกจากน ตวอยางดงกลาวยงสามารถเขยนใหอยในรปของสมาชกของ matrix ไดวา

, ,i j j iB A∗= เมอ †B A= ____________________ สมการ (2.38)

ใหสงเกตการสลบทของ index i j⇔ พรอมทงการคานวณ complex conjugate ของสมการใน matrix ดงในสมการ (2.38) ซงเปนคณสมบตของ conjugate transpose conjugate transpose เรยกอกอยางหนงวา adjoint ทจะมความสาคญในอนาคตเมอเรากลาวถง eigenvalue ของ matrix แบบฝกหด 2.7 จงใชคานยามของ adjoint หรอ conjugate transpose ในสมการ (2.38) เพอพสจนวา

(a) ( )††A A= และ (b) ( )† † †AB B A=

แบบฝกหด 2.8 เราสามารถทจะมอง vector วาเปน matrix ทม dimension Nx1 นนกคอ ถา vector

a เรยงกนเปนแถวในแนวตง จะไดวา †a เรยงกนเปนคอลมนในแนวนอน

ถา

1

2

N

aa

a

a

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

แลว adjoint ของ a คอ †1 2 Na a a a∗ ∗ ∗⎡ ⎤= ⎣ ⎦

จงพสจนโดยอาศยหลกการของ matrix-matrix operator ดงทไดกลาวไว เพอแสดงวา

a) †a a = ตวเลขจานวนเชงซอน 1 ตว

b) †aa =matrix ทม dimension NxN แบบฝกหด 2.9 matrix ซงมสมบตพเศษคอเปน adjoint ของตวมนเอง เราเรยก matrix ประเภทนวา Hermitian matrix หรออกนยหนง

matrix H มชอเรยกวา Hermitian matrix ถา †H H= ____________________ สมการ (2.39)



จงพสจนวา diagonal element ของ Hermitian matrix จะตองเปนจานวนจรง [หมายเหต: diagonal element คอ matrix element ทปรากฏอยในแนวเสนทแยงมมของ matrix กลาวคอ อย ณ ตาแหนง

,i iH ] eigenvector และ eigenvalue ของ matrix ความเขาใจเรอง eigenvalue และ eigenvector ของ matrix มใชเปนแตเพยงกลยทธทางคณตศาสตรทเปนนามธรรมและเปนประโยชนแตเฉพาะในแงของการฝกฝนเชาวปญญาแตเพยงอยางเดยว หากแตมการนามาประยกตใชงานอยางเปนรปธรรมในทาง quantum mechanics และ อธบายปรากฏการณตางๆในทางฟสกส อยางไรกตามในขนตนน เราจะ focus อยแตเฉพาะในทางคณตศาสตรและจะวกกลบมากลาวถงการประยกตใชงานใน Section อนๆอกตอไป ยกตวอยางเชนเมอเราพจารณา matrix ขนาด 2x2

1 22 3

A⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

จะพบวา ม vector อย 2 vector ดวยกนคอ

15 12

a⎡ ⎤+ −

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

และ 25 12

a⎡ ⎤− −

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

ซงเมอ A กระทากบ 1a หรอ 2a แลว กลบไดผลลพธเปน 1a หรอ 2a เชนเดม คณดวยคาคงท ดงจะเหนไดจาก

( )

( )

1

1 1

1 2 3 55 1 5 12 52 3 2 24 2 5

2 5

Aa

Aa a

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤+⎡ ⎤ − −= = = +⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥

+⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

= +

__________ สมการ (2.40)

และในทานองเดยวกน ในกรณของ 2a



( )

( )

2

2 2

1 2 3 55 1 5 12 52 3 2 24 2 5

2 5

Aa

Aa a

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤−⎡ ⎤ − − − −= = = −⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥

−⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

= −

__________ สมการ (2.41)

จากสมการทงสองจะเหนวา คาคงท ทไดกลาวถง มคาเทากบ (2 5)+ ในกรณของ 1a และ มคาเทากบ (2 5)− ในกรณของ 2a โดยทคณสมบตพเศษของ vector 1a และ 2a สามารถสรปใหอยในรปทวไปไดวา พจารณา square matrix A ขนาด NxN ใดๆ จะปรากฏม vector na และ คาคงท nλ ทมความสมพนธดงสมการ

n n nAa aλ= ___________________ สมการ (2.42) เราเรยก vector na วาเปน eigenvector ของ matrix A คาคงท nλ วาเปน eigenvalue ของ eigenvector na ใหสงเกตวา เรากากบ eigenvector และ eigenvalue ดงในสมการ (2.42) ดวย index n ทเปนเชนนกเพราะวาจานวนของ eigenvector ททาใหสมการดงกลาวเปนจรงนน มจานวนทงสน N vector ดวยกน หรอ กลาวอกนยหนง โดยทวไปจะมเซตของ eigenvector { }1 2, , , Na a a… และ เซตของ eigenvalue { }1 2, , , Nλ λ λ… ททาใหสมการ (2.42) นนเปนจรง คาถามทเกดขนตามมากคอ การหาคา eigenvalue และ eigenvector ดงตวอยางของ matrix

1 22 3

A⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

นน มขนตอนอยางไร ? คาตอบแบงออกเปน 2 สวน คอ (1) หา eigenvalue และ (2)

หา eigenvector 1) เซตของ eigenvalue { }1 2, , , Nλ λ λ… สามารถหาไดจากการกาหนดให

( )det 0A Iλ− = เมอ คอ I identity matrix ___________________ สมการ (2.43)



สมการ (2.43) จะทาใหเกด polynomial degree N ซงอยในรป 22 1 0 0N

Nς λ ς λ ς λ ς+ + + + = ซงมรากของสมการเปนจานวนเทากบ N คาตอบ และเปนทมาของ { }1 2, , , Nλ λ λ… ดงกลาว

ยกตวอยางเชน กาหนดให 1 22 3

A⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

เราสามารถจดรปของเทอมตางๆใหเหมอนกบสมการ

(2.43) ไดวา

1 2 1 0 1 2det det 0

2 3 0 1 2 3λ

λλ

⎧ ⎫ −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− = =⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭

____________ สมการ (2.44)

ถาอนมานเอาวา นกศกษาคนเคยกบการคานวณ determinant ของ matrix เปนอยางด จะไดวา ทางซายมอของสมการ (2.44) มคาเทากบ

2

(1 )(3 ) 4 0

4 1 0

λ λ

λ λ

− − − =

− − = ____________ สมการ (2.45)

จะเหนวาสมการ (2.45) อยในรปของ polynomial degree 2 เพราะวา matrix A ในกรณตวอยางน มขนาดเปน 2x2 นนเอง และจากสมการขางตน มผลเฉลยอยสองคาดวยกนคอ

4 16 4 2 52

λ ± += = ± ____________ สมการ (2.46)

2) เซตของ eigenvector { }1 2, , , Na a a… สามารถคานวณไดดวยการแทนคาของ eigenvalue เขาไป

ในสมการ (2.42) ซงในกรณของ 1x

ay⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

จะไดวา

( )1 22 5

2 3x xy y

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ____________ สมการ (2.47)

จากนน เราทาการเปลยนสมการ (2.47) ใหอยในรปของระบบสมการ 2 ตวแปรดงน

( )( )

2 2 5

2 3 2 5

x y x

x y y

+ = +

+ = + ____________ สมการ (2.48)



หรอ 5 12

y x+= ____________ สมการ (2.49)

25 1

y x=−

____________ สมการ (2.50)

ทงนเมอวเคราะหใหถถวนแลวจะพบวา สมการ (2.49) และ (2.50) นน เปนสมการเดยวกน! เพราะฉะนนเราจงสามารถกาหนดคา x ไดอยางอสระ และเมอแทนคา x เขาไปในสมการ (2.49) กจะไดคาของ y ตามมา ดงในกรณของตวอยางทกาลงกลาวถง เราเลอกให 5 1x = − ซงจะไดคา 2y = อสระในการเลอกคาของ x ดงกลาวน เปนคณสมบตโดยทวไปของ eigenvector ซงกคอ "ถา a เปน eigenvector ของ matrix A แลว จะไดวา ca กเปน eigenvector ดวยเชนกน เมอ c คอคาคงทใดๆ" แบบฝกหด 2.10 โดยใชวธในทานองเดยวกนกบสมการ (2.40) จงแสดงใหเหนวา vector

5 12

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦

, ( )5 1 2

1

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

, และ 4

2 5 2

⎡ ⎤⎢ ⎥

+⎣ ⎦ ลวนแลวแตเปน eigenvector ของ A

และในกรณของ 2x

ay⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

ซงม 2 2 5λ = − เปน eigenvalue จะไดระบบสมการคอ

( )( )

2 2 5

2 3 2 5

x y x

x y y

+ = −

+ = − ____________ สมการ (2.51)

ซงนาไปสสมการ

1 52

y x−= ____________ สมการ (2.52)

ซงถาเราเลอก 5 1x = − − กจะไดคาของ 2y = ทาให 25 12

a⎡ ⎤− −

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

ดงในสมการ (2.41)



แบบฝกหด 2.11 จงหา eigenvector และ eigenvalue ของ matrix 0

0

E AA E

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎣ ⎦

เมอ 0E และ A

คอจานวนจรงใดๆ

ภาพของ Heisenberg (ซาย) ในป 1927 และ Max Born (ขวา) [Credit: The American Institute of Physics]

Quantum Mechanics ในรปของ Matrix ความหนกหนวงเชงคณตศาสตรทเกยวของกบ vector และ matrix ทนกศกษาตองทบทวนใน Section ทผานมา จะมผลทคมคากบการไดสมผสกบผลงานชนเอกของ Werner Heisenberg, Max Born, และ Pascual Jordan ในป 1925 ผเปนบดาแหง Matrix Mechanics และ Heisenberg ไดรบรางวลโนเบลในป 1932 แทนสถานะของระบบดวย vector เมอพจารณาการเขยนสถานะ ket ใหอยในรป superposition ของ

basis state ยกตวอยางเชน ZiZY −++=+22

1 ซงเราสามารถเขยนใหอยในรปของ

vector ไดดงน

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯

±+

iZY

12

1basis

_________________ สมการ (2.53)

โดยทในบางครงอาจจะละไวในถานทเขาใจวา เรากาลงใช Z± เปน basis state และเขยนสถานะดงกลาวใหสนลงไดวา



1 11 12 2

1 11 11 12 21 00 1

Y Yi i

X X

Z Z

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ → − →⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ → − →⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ → − →⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

_______________ สมการ (2.54)

จากตวอยางในสมการ (2.53) และ สมการ (2.54) เราสามารถสรปขนตอนการเปลยนจากการอธบายสถานะของระบบซงเดมอยในรปของ superposition ของ basis state ใหกลายเปนรปแบบของ vector ไดดงตอไปน

1

2

1 basis

Ni i

iiN

cc

c

c

φφ=

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥Ψ = ⎯⎯⎯⎯⎯→⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∑ _________________ สมการ (2.55)

นอกจากสถานะ ket ดงในสมการ (2.55) แลว ในบทท 1 Section 1.8 เราไดกลาวถงสถานะ bra

1

Ni i

ic φ∗

=Ψ =∑ และการทเราจะเปลยนรปแบบของการเขยนสถานะ bra ดงกลาวใหอยในรป

ของ vector จาเปนตองมความระมดระวงเปนพเศษเนองจากมขอสงเกตอย 2 ประการ 1) ในการเปลยนจาก ket ใหเปน bra นน สมประสทธทเดมคณอยกบสถานะ ket จะกลายเปน complex conjugate ของตวมนเองเมอเปลยนใหอยในรปของ bra ดงในสมการ (1.45) 2) เมอสถานะ bra เขามากระทากบสถานะ ket จะตองมสภาพเปนตวเลขจานวนเชงซอน หรอทเรยกวา probability amplitude ดงในสมการ (1.3) เมอเราพจาณาขอสงเกตทง 2 ขอดงกลาว จะพบวา เราสามารถแสดงสถานะ bra ใหอยในรปของ vector ไดโดยสงทเรยกวา conjugate transpose ของ vector ดงทเราไดทบทวนในเนอหาของ Section ทผานมา กลาวคอ

†1

21 2

1 basis

Ni i N

iiN

cc

c c c c

c

φφ

∗ ∗ ∗ ∗

=

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎡ ⎤Ψ = ⎯⎯⎯⎯⎯→ = ⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∑ … ______ สมการ (2.56)



การเขยนสถานะ bra ใหอยในรป adjoint หรอ conjugate transpose ในสมการ (2.56) มผลสอดคลองกบขอสงเกตทงสองขอดงกลาว ซงกคอ 1) เมอสงเกตกลมของตวเลขในทางขวามอของสมการ (2.56) จะพบวามนเปน complex conjugate ซงเปนผลโดยอตโนมตสบเนองจากความเปน adjoint 2) ดงแสดงในแบบฝกหด 2.8 ทเมอ bra มาพบกบ ket ยอมตองเกดเปนตวเลขจานวนเชงซอนทตความไดวาเปน probability amplitude ยกตวอยางเชน เมอเรานา adjoint ของ vector ในสมการ (2.56) มากระทากบ vector ในสมการ (2.55) จะไดวา

1

221 2

1 1

N NN i i i

i iN

cc

c c c c c c

c

∗ ∗ ∗ ∗

= =

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤Ψ Ψ = = =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∑ ∑… ______ สมการ (2.57)

ซงสอดคลองอยางลงตวกบคานยามของ Ψ Ψ และดวยเหตนเอง จงเปนการเหมาะสมทเราแทนสถานะ bra ดวย adjoint ของ vector นนเอง เพราะฉะนนแลว สถานะ bra ทแสดงถง spin ของอเลกตรอนในการทดลองของ Stern-Gerlach สามารถเขยนใหอยในรปของ adjoint vector ภายใต basis state Z± ไดวา

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

1 11 12 2

1 11 1 1 12 2

1 0 0 1

Y i Y i

X X

Z Z

+ → − − → +

+ → − → −

+ → + →

____________ สมการ (2.58)

จากตวอยางของสถานะ ket และ สถานะ bra ทเขยนใหอยในรป vector และ adjoint vector ดงในสมการ (2.54) และ (2.58) ตามลาดบนน จะปรากฏวา การคานวณเชงคณตศาสตรใดๆทเกยวของกบ ket และ bra กจะสามารถทาไดโดยใชกฎเกณฑของ linear algebra หรอ พชคณตเชงเสนเขามาเปนตวชวย ยกตวอยางเชน



[ ]

( )

21

121

12

1112

1

2

22

=

+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=−−

i

iYX

________________ สมการ(2.59)

ซงการวเคราะหโดยใช linear algebra เชนน มกฎเกณฑทตายตวและโดยเฉพาะอยางยง งายตอการใชคอมพวเตอรในการคานวณ ขอควรระวง สถานะทเขยนใหอยในรปของ vector นน ถงแมวาเราจะละไวในถานทเขาใจวาใช

Z± เปน basis state แตกไมจาเปนเสมอไป อาทเชน ในกรณทเราใช X± เปน basis state

จะสามารถเขยน ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯

±+

01

basisXX เพราะฉะนน กอนทจะทาการคานวณทเกยวของกบ

สถานะตางๆ โดยใช linear algebra นน ตองแนใจวา ทกๆสถานะ เขยนขนโดยใช basis set อนเดยวกน

แบบฝกหด 2.12 จงคานวณ 2X Z− − , 2Y Z− − , X X− − , และ X X− + โดยใช

matrix mechanics แทน operator ของระบบดวย matrix เมอสงเกตการเขยน operator ดงสมการ (2.23) ซงกคอ

1 1

ˆN N

ij i ji j

O o φ φ= =

=∑∑ จะสงเกตเหนวา

1) คาคงท ijo นน ม index หรอ ดชนกากบอยสองตวดวยกน ซงสอดคลองกบ index กากบ

ตาแหนงของ matrix 2) operator เมอกระทากบ สถานะ ket จะเกดขนเปนสถานะ ket อนใหมขนมา ในทานองเดยวกนกบท matrix เมอกระทากบ vector กจะได vector เกดขนมา

3) จากแบบฝกหด 2.5 เราสามารถคานวณ ijo ไดจากเอกลกษณทางคณตศาสตร îj i jo Oφ φ=



เพราะฉะนนจงทเหมาะสมอยางยงทเราจะใช matrix แทน operator โดยกอนทเราจะกลาวถงในกรณทวๆ จะขอยกตวอยางของระบบทมจานวนของ basis state เทากบ 2 สมมตวาเรากาลงศกษาระบบทางฟสกสทใช Z± เปน basis state จะไดวา operator O สามารถเขยนใหอยในรปของ matrix ดงตอไปน

ˆ ˆˆ

ˆ ˆbasisZ O Z Z O Z

OZ Z O Z Z O Z

⎡ ⎤+ + + −⎯⎯⎯⎯⎯→⎢ ⎥

± − + − −⎢ ⎥⎣ ⎦ ___________ สมการ (2.60)

เพอใหงายในการทาความเขาใจ เราจะลองมาวเคราะหตวอยาง operator Ω ดงทไดกลาวไวใน Section 2.1 ดงนน

ˆ 1ˆ 0ˆ 0ˆ

Z Z

Z Z

Z Z

Z Z i

+ Ω + =

+ Ω − =

− Ω + =

− Ω − =

____________________ สมการ (2.61)

เทอมตางๆ ในสมการ (2.61) เรยกอกอยางหนงวา matrix element ของ operator Ω ซงเมอนามาเขยนใหอยในรปของ matrix จะทาให

1 0ˆbasis 0Z i

⎡ ⎤Ω⎯⎯⎯⎯⎯→⎢ ⎥± ⎣ ⎦

___________ สมการ (2.62)

แบบฝกหด 2.13 จาก Section 2.1 เราทราบวา ˆ X YΩ + = + จงใชรปแบบของ operator ในสมการ (2.62) และ รปแบบของสถานะในสมการ (2.54) ประกอบกบ matrix-vector operation เพอแสดงใหเหนวา ˆ X YΩ + = + มาถงขนนเราสามารถทจะกาหนดระเบยบวธในการเขยน operator O ใดๆ ใหอยในรปของ matrix ไดดงตอไปน กาหนดใหเซตของ { }iφ ใดๆ เปน basis state จะไดวา



{ }

1 1 1 2 1

2 1 2 2 2

1 2

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆˆ

basis

ˆ ˆ ˆ

N

N

i

N N N N

O O O

O O OO

O O O

φ φ φ φ φ φ

φ φ φ φ φ φφ

φ φ φ φ φ φ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎯⎯⎯⎯⎯⎯→⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

______ สมการ (2.63)

แบบฝกหด 2.14 a) จงเขยน operator J Z Z+ = + − และ operator J Z Z− = − + ในรปของ matrix

b) จงเขยน operator ( )1ˆ ˆ ˆ2xJ J J+ −= + ในรปของ matrix โดยใช matrix ทไดจาก (a)

c) จงใชสมบตการคณ matrix - vector เพอพสจนวา ˆ2xJ X X± = ± ±

Quantum Postulate และ Eigen Equation ใน Section 2.1 เราไดเขาใจกบคาวา operator ซงเปนกลไกทาง quantum mechanics ทใชในการเปลยนแปลงสถานะเรมตนใหเปนสถานะผลลพธ อนเปนคานยามของ operator ทมขอบเขตของการตความอยในวงกวาง quantum mechanics ยงม operator ทมคณสมบตพเศษอยจาพวกหนง ซงมความหมายและเอกลกษณทางคณตศาสตรทเปนสมบตเฉพาะ และมความเกยวของกบกระบวนการวดหรอ measurement ในทางฟสกส ซงเปนคานยามของ operator ในกรอบทแคบลงมา อนจะไดกลาวถงในลาดบตอไปน ตามขอกาหนด (postulate) ของ quantum mechanics เราเรยกปรมาณตางๆทางฟสกสทสามารถทาการทดลองหรอตรวจวดไดดวยเครองมอวา observable ยกตวอยางเชน โมเมนตม ตาแหนงของวตถ หรอ พลงงานจลน ถอวาเปน observable และเราแทนกระบวนการวดเพอทจะทราบคา observable อนเปนสมบตทางฟสกสของระบบทเรากาลงศกษาเหลานดวย operator จากคานยามทงสองประเดนดงกลาว เราสามารถสรป postulate (ขอกาหนด) อนสาคญของ quantum mechanics ไดดงตอไปน



Postulate I: เมอพจารณา observable A ยกตวอยางเชน โมเมนตม, พลงงาน, หรอ มวลของระบบ จะม operator A ทใชเปนตวแทนกระบวนตรวจวดระบบซงอยในสถานะ a และทาใหทราบคา α ซงเปนจานวนจรงทแสดงถงปรมาณทางฟสกสทวดได และเปนสมบตเฉพาะตวของสถานะ a นนๆ โดยทกระบวนการดงกลาว เขยนใหอยในรปแบบของคณตศาสตรไดวา

A a aα= ___________________ สมการ (2.64)

จากสมการขางตน A คอ operator ทเมอเขาไปกระทากบสถานะ a จะเปนการดงเอา α ซงเปนสมบตเฉพาะตวของ a ออกมา ทงน เมอเราเปรยบเทยบผลของ operator ทเขยนในสมการ (2.64) กบผลของ operator ทเขยนในสมการ (2.1) มขอสงเกต 4 ขอคอ 1) เรยก สมการ A a aα= วาเปน eigen equation สถานะ a วาเปน eigenstate ของ operator A คาคงท α วาเปน eigenvalue ของสถานะ a 2) สถานะ ket ทปรากฏอยทงสองขางของสมการ (2.64) นนเปนสถานะ ket เดยวกน ในขณะทสมการ (2.1) นน อาจจะเหมอนหรอตางกนกได 3) ตวเลข α ทางขวามอของสมการ (2.64) จะตองเปนเลขจานวนจรง เพราะมนมความหมายถง observable หรอ ปรมาณทางฟสกสทตรวจวดได ยกตวอยางเชน เราไมสามารถกลาววา วตถมมวล 2 1i+ กโลกรม หรอ จรวดพงขนฟาดวยมมเงย 2 43i+ องศา 4) ถาเรามอง operator ใหอยในรปของ matrix มคณสมบตทสาคญของ matrix ทวา "Hermitian matrix จะม eigenvalue เปนจานวนจรงเทานน" (ทบทวน แบบฝกหด 2.9) เพราะฉะนน เราเรยก operator A ดงในสมการ (2.64) วา Hermitian operator จากขอสงเกตขางตน จะพบวา operator สามารถทาหนาทใน 2 ลกษณะคอ 1) ในการเปลยนแปลงสถานะ ดงในสมการ (2.1) และ (2) ทาหนาทในการวด หรอ measurement ดงในสมการ (2.64)



และเพอใหนกศกษาไดคนเคยกบ operator ททาหนาทของ measurement มากขน เราวกกลบมากลาวถง Stern-Gerlach experiment อกครงหนง

Spin Operator ในบทท 1 เราไดศกษาถงการทดลองของ Stern-Gerlach ปรากฏวา เราพจารณาสถานะ ket 2 สถานะดวยกนทสามารถทาหนาทเปน basis state ซงกคอ Z+ และ Z− และ จากการทดลองพบวา สถานะทงสองดงกลาว มคณสมบตเฉพาะตวซงกคอ spin angular momentum ตามแนวแกน z

เทากบ 2

+ และ 2

− ตามลาดบ

ดงนน เราสามารถทสราง operator ซงเปนกลไกทางคณตศาสตรทใชแทนกระบวนการวด spin angular momentum ตามแนวกน z โดยอาจจะใชสญลกษณวา ˆzS และอาศยสมการ (2.64) จะไดวา

ˆ2zS Z Z+ = + + ___________ สมการ (2.65)

และ ˆ

2zS Z Z− = − − ___________ สมการ (2.66)

จากคานยามของ ˆzS operator ในสมการ (2.65) และ (2.66) เราสามารถเขยน ใหอยในรปของ ket-bra ดงน

ˆ2 2zS Z Z Z Z= + + + − − − ___________ สมการ (2.67)

และในทานองเดยวกนกบ Section 2.3 ˆzS operator กสามารถแสดงใหอยในรปของ matrix

ˆ ˆ 1 0ˆˆ ˆbasis 0 12z z

zz z

Z S Z Z S ZS

Z Z S Z Z S Z

⎡ ⎤+ + + − ⎡ ⎤⎯⎯⎯⎯⎯→ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥± −− + − −⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

______ สมการ (2.68)

นอกจากเราจะสามารถวด spin angular momentum ในแนวแกน z ซงเปนทมาของ operator ˆzS แลว เรายงอาจทเลอกวด spin angular momentum ตามแนวแกน x และในทานองเดยวกนกบสมการ (2.65) และ (2.66) คานยามของ ˆxS เขยนใหอยในรป



ˆ2xS X X+ = + + ___________ สมการ (2.69)

และ ˆ

2xS X X− = − − ___________ สมการ(2.70)

สงผลให operator ˆxS มรปแบบของ matrix ดงตอไปน

ˆ ˆ 1 0ˆˆ ˆbasis 0 12x x

xx x

X S X X S XS

X X S X X S X

⎡ ⎤+ + + − ⎡ ⎤⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥± −− + − −⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

______ สมการ (2.71)

อยางไรกตาม operator ˆxS ในสมการ (2.71) นน มไดมประโยชนแตอยางใด เพราะมนอยในรปของ basis state ทแตกตางจาก ˆzS ในสมการ (2.68) ดงทไดกลาวไวในขอควรระวง ใน Section 2.3.2 ทวา matrix หรอ vector ทเขยนขนโดยอาศย basis state ทแตกตางกน จะนามากระทาการใดๆทางคณตศาสตรรวมกนไมได เพราะฉะนนนน เราเลอกทจะเขยน operator ˆxS ใหอยในรปของ basis state Z+ และ Z− ซงสามารถทาไดโดยการเปลยนรปของสมการ (2.69) และ สมการ (2.70) ใหอยในรปของ

1 12 2

X Z Z± = + ± − ดงนน

1 1 1 1ˆ

22 2 2 2xS Z Z Z Z⎧ ⎫ ⎧ ⎫+ + − = + + + −⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭ ⎩ ⎭

___________ สมการ (2.72)

และ 1 1 1 1ˆ

22 2 2 2xS Z Z Z Z⎧ ⎫ ⎧ ⎫+ − − = − + − −⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭ ⎩ ⎭

___________ สมการ (2.73)

เมอนาสถานะ bra Z+ เขาประกบทงสองขางของสมการ (2.72) และ ทงสองขางของสมการ (2.73) ทาให

ˆ ˆ2x xZ S Z Z S Z+ + + + − = + ___________ สมการ (2.74)

และ ˆ ˆ

2x xZ S Z Z S Z+ + − + − = − ___________ สมการ(2.75)



จะสงเกตวา สมการ (2.74) และ สมการ (2.75) เปนระบบของสมการ 2 ตวแปรทเราสามารถหาผลเฉลยไดโดยงาย กลาวคอ

ˆ 0xZ S Z+ + = ___________ สมการ (2.76)

ˆ2xZ S Z+ − = + ___________ สมการ (2.77)

ในทานองเดยวกน เมอนาสถานะ bra Z− เขาประกบทงสองขางของสมการ (2.72) และ ทงสองขางของสมการ (2.73) จะใหเกดระบบของสมการ 2 ตวแปร อนจะนาไปสผลเฉลยทวา

ˆ2xZ S Z− + = + ___________ สมการ (2.78)

ˆ 0xZ S Z− − = ___________ สมการ (2.79) เมอทาการรวบรวมเทอมตางๆในสมการ (2.76)-(2.79) ทาใหเราสามารถแสดง operator ˆxS โดยใช basis state Z+ และ Z− ไดวา

ˆ ˆ 0 1ˆˆ ˆbasis 1 02x x

xx x

Z S Z Z S ZS

Z Z S Z Z S Z

⎡ ⎤+ + + − ⎡ ⎤⎯⎯⎯⎯⎯→ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥± − + − −⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

______ สมการ (2.80)

แบบฝกหด 2.15 จงเขยน operator ˆyS ใหอยในรปของ matrix โดยใช basis state Z+ และ Z−

และพสจนวา คาตอบทไดกคอ

0ˆbasis 02y

iS

Z i−⎡ ⎤

⎯⎯⎯⎯⎯→= ⎢ ⎥± ⎣ ⎦ ______ สมการ (2.81)

ในเนอหาทผานมาเราสามารถทจะออกแบบการทดลองในการวด spin angular momentum โดยวางแนวของแมเหลกใน Stern-Gerlach experiment ใหอยตามแนวแกน x, y, และ z ซงเปนทมาของ operator ˆxS , ˆyS , และ ˆzS ตามลาดบ และเราสรปไดวา



0 11 02xS⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

, 0

02yi

Si

−⎡ ⎤= ⎢ ⎥

⎣ ⎦, และ

1 00 12zS⎡ ⎤

= ⎢ ⎥−⎣ ⎦ เมอใช basis state { },Z Z+ −

_____________________ สมการ (2.82) บางครงในการวเคราะหคณสมบตทเกยวของกบ spin เรานยามสงทเรยกวา Pauli spin matrix ซงใชสญลกษณ ˆxσ , ˆ yσ , และ ˆzσ โดยท matrix เหลานมคานยามทสมพนธกบ spin angular momentum

operator คอ ˆˆ2 x xSσ = , ˆˆ

2 y ySσ = , และ ˆˆ2 z zSσ =

อยางไรกตาม เราไมจาเปนจะตองวางแนวของแมเหลกไวตามแนวของแกนตางๆในพกด 3 มตเสมอไป ดงแสดงในภาพ 2.6 สมมตวาม Stern-Gerlach experiment ทใชสนามแมเหลกสองชด แตทวาชดแรกมไดเรยงตวอยตามแนวแกน x, y, หรอ z หากแตทมมกม θ กบแกน z และ มมกวาด ϕ กบแกน x

S

N

SG-ZSG-Z

x

z

y

θ

ϕ

N

S

SG-SG- ( , )θ ϕ

beam 100%

พบ เทาใดZ+

พบ เทาใดZ−

n+ 50%

n− 50%

S

N

SG-ZSG-Z

S

N

SG-ZSG-Z

x

z

y

θ

ϕ

N

S

N

S

SG-SG- ( , )θ ϕSG-SG- ( , )θ ϕ

beam 100%

พบ เทาใดZ+

พบ เทาใดZ−

n+ 50%

n− 50%

ภาพ 2.6 แสดงการทดลองของ Stern-Gerlach ทใชสนามแมเหลกสองชด แตทวาชดแรกมไดเรยงตวอยตามแนวแกน x, y, หรอ z หากแตทมมกม θ กบแกน z และ มมกวาด ϕ กบแกน x ในขณะทแมเหลกชดทสองเรยงตวอยตามแนวแกน z และในการวเคราะหครงนเราตองการทราบวา มความนาจะเปนเทาใดทจะตรวจพบอนภาคอยในสถานะ Z+ และ Z− ตามลาดบ ในการทจะตอบคาถามขอน เราลองมาลาดบเหตการณตางๆทเกดขน ดงตอไปน



1) เมอ beam ของอนภาคพงผานสนามแมเหลกชดแรก ทาใหเกดการแยกของอนภาคออกเปนสองชนด และเพอความสะดวกในการอธบายความ เราเรยกสถานะของอนภาคทงสองนวา n+ และ

n− 2) beam ของอนภาค n− ถกกนออกไป ในขณะท beam ของอนภาคทอยในสถานะ n+ พงเขาสสนามแมเหลกชดทสอง ทอยตามแนวแกน z 3) ณ จดน เทากบวาเราไดเตรยมอนภาคไวในสถานะ n+ แลวทงหมด เพราะฉะนน probability ท

จะพบวาอนภาคอยในสถานะ Z+ หรอ Z− ยอมมคาเทากบ 2Z n+ + หรอ 2Z n− +

ตามลาดบ 4) จากขอ (3) จดเรมตนในการตอบคาถามกคอ เราจะตองทราบสถานะ n+ กอนวา เปนอยางไร และมรปแบบทางคณตศาสตรอยางไร 5) จะสงเกตวา ถาวางสนามแมเหลกในแนวแกน x กเทากบเราม operator ˆxS ททาการวดสถานะของระบบ ซงจะแยกออกมาเปนสองสถานะคอ X+ หรอ X− โดยจะเหนวา X+ เปน eigenstate ของ operator ˆxS 6) ในทานองเดยวกนกบการวางสนามแมเหลกตามแนวแกน y ซงแยก beam ของอนภาคเปน Y+ หรอ Y− โดยจะเหนวา Y+ เปน eigenstate ของ operator ˆyS

7) จากขอ (5) และ (6) การวางสนามแมเหลกเปนมม ( , )θ ϕ กเชนเดยวกน ถาเราสามารถสราง operator ในทางคณตศาสตรทเปนตวแทนของกระบวนการวดนได โดยจะเหนวา สถานะ n+ กคอ eigenstate ของ operator ดงกลาว นนเอง เมอวเคราะหถงลาดบเหตการณตงแตขอ (1)-(7) เราสามารถนยาม operator ในขางตนใหอยในรป

spin angular momentum operator ในทศ ( , )θ ϕ คอ ˆ ˆS n⋅ _______ สมการ (2.83)



เมอ ˆ ˆ ˆ ˆx y zS S S S≡ + +i j k และ n คอ unit vector ทชทกากบดวยมม ( , )θ ϕ ซงสามารถเขยนอย

ในรปขององคประกอบตามแนวแกน x, y, และ z ไดวา ˆ cos sin sin sin cosn ϕ θ ϕ θ θ≡ + +i j k เพราะฉะนนแลว

( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆˆ cos sin sin sin cosx y zS n S S Sϕ θ ϕ θ θ⋅ = + + _______ สมการ (2.84)

จากสมการ (2.82) เราสามารถเขยน operator ˆ ˆS n⋅ ใหอยในรปของ matrix คอ

( ) ( ) ( )0 1 0 1 0ˆ ˆ cos sin sin sin cos1 0 0 0 12 2 2

cos cos sin sin sincos sin sin sin cos2

iS n

i

ii

ϕ θ ϕ θ θ

θ ϕ θ ϕ θϕ θ ϕ θ θ

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⋅ = + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

−⎡ ⎤= ⎢ ⎥+ −⎣ ⎦

และเมออาศยเอกลกษณทางคณตศาสตร cos sinie iϕ ϕ ϕ± = ± matrix ขางตนจะลดรปใหงายขน

cos sin2 2ˆ ˆ

sin cos2 2

i

i

eS n

e

ϕ

ϕ

θ θ

θ θ

−

+

⎡ ⎤+⎢ ⎥⋅ = ⎢ ⎥

⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

_______ สมการ (2.85)

เพอคานวณหา eigenstate ของ matrix ดงในสมการ (2.85) เราจะตองหา eigenvalue เสยกอน ซงกทาไดโดยการกาหนดให

cos sin2 2det 0

sin cos2 2

i

i

e

e

ϕ

ϕ

θ λ θ

θ θ λ

−

+

⎡ ⎤−⎢ ⎥=⎢ ⎥

⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦

_______ สมการ (2.86)

ซงจะทาใหได polynomial: 2

2 02

λ ⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠

และจะไดวา eigenvalue ทงสองกคอ

2λ± = ± ______________________ สมการ (2.87)



เพอทจะหา eigenstate เรานยาม 1

2basisc

nZ c

⎡ ⎤+ ⎯⎯⎯⎯⎯→⎢ ⎥± ⎣ ⎦

และใชกลไกของการคานวณ

eigenvector ซงอยในเนอหาของ linear algebra ในการหาคาของ 1c และ 2c จะไดวา

1 1

2 2

cos sin2 2

2sin cos2 2

i

i

c ce

e c c

ϕ

ϕ

θ θ

θ θ

−

+

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥− ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

__________ สมการ (2.88)

ซงจะไดความสมพนธ

2 11 cos

sinic c e ϕ θ

θ+ −

= __________ สมการ (2.89)

และเนองจาก 1

2

cc⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

มใช eigenvector ทวๆไป แตเปน eigenvector ทแทนสถานะของ quantum

mechanics ซงจะตองเปนไปตามเงอนไขของ sum rule ดงในสมการ (1.44) ซงกคอ

2 2 21 2

11

Ni

ic c c

== = +∑ __________ สมการ (2.90)

เมอพจารณาสมการ (2.89) และ สมการ (2.90) รวมกนจะไดวา 22

1sin

1 cosc θ

θ=

− และเมอผนวกกบ

เอกลกษณทาง trigonometry sin 2sin cos2 2θ θθ = , 2 2cos cos sin

2 2θ θθ = − จะไดวา

1 cos2

c θ= __________________ สมการ (2.91)

ซงเมอแทนเขาไปในสมการ (2.89) ทาใหทราบวา

2 sin2

ic e ϕ θ+= __________________ สมการ (2.92)

ดวยเหตน เราสรปไดวาหนงใน eigenstate ของ operator ˆ ˆS n⋅ กคอ



cos sin2 2

in Z e Zϕθ θ++ = + + − ซงม eigenvalue 2

+ ___________ สมการ (2.93)

วกกลบมาทคาถามทมไวตงแตแรก ดงในภาพ คอความนาจะเปนทจะพบอนภาคอยในสถานะ

Z+ หรอ Z− ซงจากลาดบเหตการณในขอ (3) ทผานมา ยอมมคาเทากบ 2Z n+ + หรอ 2Z n− + ตามลาดบ และจากสมการ (2.93) จะไดวา

2 2

2 2

cos2

sin2

Z n

Z n

θ

θ

+ + =

− + = ___________ สมการ (2.94)

สมการ (2.94) ถอเปนความสาเรจอยางยงในการอธบาย Stern-Gerlach experiment ทใชชดแมเหลกสองชด ซงทามมกน ( , )θ ϕ เราสามารถตรวจสอบความถกตองของสมการ (2.94) ในขนตนโดยการแทนคา ( , )θ ϕ ตางๆกน จากนนเปรยบเทยบกบผลการทดลองของ Stern-Gerlach ทไดศกษาในบทท 1 ซงการเปรยบเทยบดงกลาวสรปไดดงน ชดแมเหลก ( , )θ ϕ 2Z n+ + 2Z n− + เปรยบเทยบ

กบสมการ ความถกตอง

แนวแกน z 0θ = 1 0 (1.21), (1.22)

แนวแกน x , 02πθ ϕ= = 1

2 1

2 (1.25)

แนวแกน y ,2 2π πθ ϕ= = 1

2 1

2 (1.34)

แบบฝกหด 2.16 จงหา eigenstate n− ของ operator ˆ ˆS n⋅ ซงม eigenvalue เปน 2

−

2.4 Expectation Value และ Uncertainty ธรรมชาตของทฤษฏ quantum mechanics ทนาเอาความนาจะเปนเขามาเกยวของกบกระบวนการทางวด หรอ measurement นน ทาใหการวดปรมาณทางฟสกสในแตละครงมคาทตรวจวดไดแตกตางกน เพราะฉะนน หลกเลยงไมไดทเราจะตองกลาวถงคณสมบตเชงสถตของการวด หรอ ในภาษาของ quantum mechanics กลาวถงคณสมบตเชงสถตของ operator ซงประกอบดวยคาเฉลยของ



การวด หรอ เรยกอกอยางหนงวา expectation value และ คาความไมแนนอนของการวด ทเรยกวา uncertainty

สถต และ สถานะ ในสาขาวชาสถต เมอมเหตการณหลายๆเหตการณทจะอาจจะเกดขนดวยความนาจะเปนทแตกตางกน มปรมาณเชงสถตหลายอยางดวยกนทจะเปนเครองมอในการทาความเขาใจถงพฤตกรรมของระบบทางฟสกสทเรากาลงศกษาใหไดมากขน อาทเชน average (คาเฉลย) และ standard deviation (คาเบยงเบนมาตรฐาน) กอนทจะมงประเดนไปทการเขยนสมการใหอยในรปทวไป เราควรจะพกการวเคราะหทหนกหนวงในเชง quantum mechanics และมาทบทวนในเนอหาของวชาสถตโดยใชโจทยของการเลนพนน

ในการเลนพนน ทอดลกเตาแบบใหม มกตกาวา ถาลกเตาหงายออกมาหนาใด นกศกษาจะไดเงนตอบแทนจากเจามอเปนจานวนบาท เทากบหมายเลขของหนาลกเตานนๆ ยกตวอยางเชน ถาลกเตาหงายเลข 2 นกศกษาจะไดเงน 2 บาท

แตมขอแมวา ในการโยนแตละครง นกศกษาตองเสยคาธรรมเนยมใหเจามอ 3 บาท ถามวาในการเลนแตละครง เจามอจะไดกาไรหรอขาดทน โดยเฉลยแลวกบาท? ในการวเคราะหหาคาเฉลย เราแทนสถานะทเปนไปไดทงหมด (หรอ basis state) ดวยสญลกษณ one , two , , six ซงสถานะทงหกมคณสมบตทสรปเปนตารางไดวา



observable คอ "เงนทได" สถานะ ความนาจะเปน eigenvalue ของ observable

one 21

16

c = 1 1α =

two 22

16

c = 2 2α =

three 23

16

c = 3 3α =

four 24

16

c = 4 4α =

five 25

16

c = 5 5α =

six 26

16

c = 6 6α =

ในทางสถต เราสามารถคานวณคาเฉลยของ "เงนทไดรบ" ซงมคาเทากบ α = (เงน 1 บาท)(probability หงายเลข 1) + (เงน 2 บาท)(probability หงายเลข 2) + … (เงน 6 บาท)(probability หงายเลข 6) และเขยนใหอยในรปของสญลกษณดงทแสดงในตารางไดวา

62 22 21 1 2 2 6 6

13.5i i

ic c c cα α α α α

== + + + = =∑ บาท ________ สมการ (2.95)

เพราะฉะนนในการวดดวงแตละครง เจามอจะตองจายในนกศกษาโดยเฉลยแลว 3.5 บาท ในขณะทเขาไดรบเงนเพยง 3 บาทเปนคาธรรมเนยม จงสรปไดวา ตามกตกาการการเลนทวาน

"เจามอขาดทนโดยเฉลย ตาละ 50 สตางค" แบบฝกหด 2.17 ถาเจามอทาการดดแปลงลกเตา ใหโอกาสทจะหงายหนาหมายเลขหนง มความนาจะเปน เปน 3 เทาของหนาอนๆ จงหาวาในคราวน เจามอจะไดกาไรเปนเงนเทาใด ถาโยน 100 ครง ใหสงเกตความพยายามทจะเขยนสญลกษณโจทยขอดงกลาว ใหมความคลายคลงกบสญลกษณทาง quantum mechanics ทงนกเพอความสะดวกในการทจะใหนกศกษาสามารถเชอมโยงตรรกะและความสมพนธ จากการคานวณเชงสถต ไปสสงทเรยกวา expectation value



Expectation Value การวด หรอ operator ในทาง quantum mechanics กมไดแตกตางอะไรมากนกกบการทนกพนนเปดฝากระตบขาวเหนยวเพอทจะเหนลกไฮโล (ลกเตา) ทอยภายใน

เมอระบบทางฟสกสอยในสถานะ 1

Ni i

ic a

=Ψ =∑ ซงเปนสถานะผสมระหวาง basis state ตางๆท

อาจจะเกดขนได โดยม 2ic แสดงถง probability ทระบบดงกลาว จะอยใน basis state นนๆ

ในทานองเดยวกนกบท สถานะ one , two , , six มจานวน "เงนทไดรบ" แตกตางกนออกไป basis state ia กม eigenvalue iα แตกตางกนออกไป ซง eigenvalue iα ดงกลาว กคอปรมาณ

ทางฟสกสเชนโมเมนตม, พลงงาน, หรอ ความเรว ทสอดคลองกบกระบวนการวดทเรยกวา operator A หรอ อกนยหนง

ˆ i i iA a aα=

และในทานองเดยวกนกบการหาคาเฉลยของเงนทไดรบจากการพนน ระบบซงอยในสถานะ Ψ เมอทาการวดดวย operator A จะมคาเฉลยของปรมาณทางฟสกสเทากบ

คาเฉลย 2

1

Ni i

icα α

==∑ เรยกในภาษา quantum mechanics วา expectation value

อยางไรกตาม เราสามารถเขยนคาเฉลยในสมการขางตน ใหอยในรปแบบมาตรฐานของ quantum

mechanics ดวยการใชคณสมบตของ probability amplitude ทวา 2i i i i ic c c a a∗= = Ψ Ψ

ซงทาให

expectation value 1 1

N Ni i i i i i

i ia a a aα α α

= =

⎧ ⎫⎪ ⎪= Ψ Ψ = Ψ Ψ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

∑ ∑ ___ สมการ (2.96)

โดยทในสมการขางตน เราทาการจดกลมของเทอมตางๆ สวนสถานะ ket Ψ และ สถานะ bra Ψ นน สามารถแยกออกมาขางนอก summation ไดเพราะไมไดเกยวของกบ index i แตอยางใด



และจากแบบฝกหด 2.25 เราสามารถเขยน operator A ใหอยในรป 1

ˆN

i i ii

A a aα=

=∑

เพราะฉะนนสมการ (2.96) ลดรปหรอเพยง

expectation value หรอ เขยนสนๆวา ˆ Â A= Ψ Ψ ______ สมการ (2.97)

เพอเปนตวอยางของการหาคาเฉลย หรอ expectation value ของระบบ เราจะมาวเคราะห spin ของอเลกตรอนทอยภายในสนามแมเหลก B สมมตวาเมออเลกตรอนอยทามกลางสนามแมเหลกทเรยงตวตามแนวแกน z หรอ 0B B= k จะมพลงงาน ซงสามารถวดไดดวย operator

0 0ˆ2 2

H Z Z Z Zω ω= + + − − − ______ สมการ (2.98)

ทมาของ operator H ดงกลาวไมใชประเดนทจะตองอธบายในคราวน แตจะไดรบการขยายความในบทท 4 ประเดนทสาคญในการวเคราะหครงนกคอ สมมตวา spin ของอเลกตรอนอยในสถานะทชในแนวแกน y หรอ YΨ = + จงหาพลงงานเฉลยของระบบ จะเหนวา operator H ในสมการ (2.98) นน เขยนอยในรปของ basis state Z± ดงนนเพอเปนการสะดวกในการคานวณ เราจะเขยนสถานะของระบบ YΨ = + ใหอยในรป

12 2

iZ ZΨ = + + − และ 12 2

iZ ZΨ = + − − ______ สมการ (2.99)

จากสมการ (2.97) เราสามารถคานวณพลงงานเฉลยไดจาก

0 01 1ˆ2 22 2 2 2

i iH Z Z Z Z Z Z Z Zω ω⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎧ ⎫Ψ Ψ = + − − + + − − − + + −⎨ ⎬⎨ ⎬⎨ ⎬⎩ ⎭⎩ ⎭ ⎩ ⎭

______ สมการ (2.100) และเมอนา operator H เขาไปกระทากบสถานะ ket ทางขวามอจะไดวา



0 0

0 0

1ˆ2 2 2 2 2 2

12 2 2 2 2 2

ˆ 0

iiH Z Z Z Z

ii

H

ω ω

ω ω

⎧ ⎫⎧ ⎫Ψ Ψ = + − − + − −⎨ ⎬⎨ ⎬⎩ ⎭⎩ ⎭⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Ψ Ψ =

______ สมการ (2.101)

ซงในทายทสดจะพบวา พลงงานโดยเฉลยมคาเปนศนย ทเปนเชนนกเพราะวา เมอ spin ของอเลกตรอนอยในแนวแกน y ทาใหม probability 50-50 ทจะพบ spin ของอนภาคเรยงตวในทศขนานไปกบ หรอ ในทศตรงกนขามกบสนามแมเหลก 0B B= k แบบฝกหด 2.18 สมมตวา spin ของอเลกตรอนอยในสถานะ

cos sin2 2

in Z e Zϕθ θ++ = + + − จงหา expectation value ของพลงงาน ทระบบดงกลาวมอย

แบบฝกหด 2.19 จะเหนวา operator H ในสมการ (2.98) สามารถเขยนใหอยในรปของ matrix

0 1 0ˆbasis 0 12

H HZ

ω ⎡ ⎤⎯⎯⎯⎯⎯→= = ⎢ ⎥± −⎣ ⎦

ในขณะเดยวกนท สถานะ n+ สามารถเขยนใหอยในรป vector

cos2

basissin

2i

n nZ

e ϕ

θ

θ++

⎡ ⎤⎢ ⎥

+ ⎯⎯⎯⎯⎯→ = ⎢ ⎥± ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

จงคานวณ expectation value ของพลงงานโดยใชกระบวนการของ matrix - vector operation

กลาวคอ ( )†n Hn+ + และเปรยบเทยบผลกบแบบฝกหด 2.18

แบบฝกหด 2.20 พจารณา operator 2ˆ ˆ ˆH HH≡ เมอ H คอ operator ดงสมการ (2.98)

a) จงเขยน operator 2H ในรปของ ket-bra

b) จงเขยน operator 2H ในรปของ matrix

c) จงหา expectation value ของระบบ YΨ = + เมอทาการวดดวย operator 2H ดงกลาว และเปรยบเทยบกบในกรณของตวอยาง วา 2ˆ 0HΨ Ψ = หรอไม



แบบฝกหด 2.21 จงใชคานยามของ expectation value 2

1

ˆ ˆN

i ii

A A c α=

= Ψ Ψ =∑ เพอพสจน

เอกลกษณทางคณตศาสตรเหลาน a) 1 1= คาเฉลยของ unitary operator เทากบ 1

b) ˆ Â Aγ γ= เมอ γ คอคาคงท

c) ˆ Â A=

d) ˆ ˆˆ Â B A B+ = +

เมอสถานะเปลยน phase ie θΨ → Ψ เราจะปดทายบทวเคราะหในเนอหาของ expectation value ดวยคณสมบตทสาคญอกประการหนงของสถานะ Ψ โดยทวไป

พจารณาสถานะ Ψ ทอธบายพฤตกรรมของระบบทางฟสกส เมอมคาคงท ie θ+ โดยท θ เปนจานวนจรงใดๆ เขามาคณกบสถานะ Ψ กลาวคอ

ie θ+Ψ → Ψ หรอ ในรปของ bra ie θ−Ψ → Ψ การเปลยนแปลงของสถานะในลกษณะเชนน จะสงผลให expectation value ของ operator A ใดๆ ทสอดคลองกบกบสถานะใหมทเกดขนดงกลาว มคาเทากบ

{ } { }ˆ ˆ ˆ î i i iA e A e e e A Aθ θ θ θ− + − +Ψ Ψ ⎯⎯⎯→ Ψ Ψ = Ψ Ψ = Ψ Ψ

ขางตนจะเหนวา เมอสถานะของระบบมการเปลยน phase หรอ ie θ+Ψ → Ψ จะไมทาใหปรมาณตางๆในทางฟสกสทตรวจวดได มการเปลยนแปลงแตอยางใด เพราะฉะนนแลว การท

สถานะของระบบไดรบการคณดวยคาคงท ie θ+ เปนกลไกทางคณตศาสตรทไมมนยสาคญอนใดตอ quantum mechanics ยกตวอยางเชน เราอาจจะเขยนสถานะ n+ ดงสมการ (2.93) เสยใหมใหอยในรป

cos sin2 2

i in e n e Z Zϕ ϕ θ θ− −+ → + = + + −

หรอ

2 2 2cos sin2 2

i i in e n e Z e Z

ϕ ϕ ϕθ θ− − +

+ → + = + + −



กมไดทาใหนยยะทางฟสกสเกดการเปลยนแปลงแตประการใด

Uncertainty คาเฉลย หรอ expectation value เพยงอยางเดยว บงบอกถงพฤตกรรมของระบบไดไมครบถวน ยกตวอยางเชน การทประเทศสองประเทศมประชากรซงมรายไดโดยเฉลยทเทากน คอ 15,000 บาทตอเดอน ประเทศทหนงอาจจะไมไดมชองวางระหวางคนรวยและคนจนมากมายนก นนกหมายถง ประชากรสวนใหญสามารถทามาหาเลยงตนเองไดในระดบหนงและมความสขตามอตภาพ ในขณะทประเทศทสอง มประชากรสวนใหญยากจนและดอยโอกาส ดวยเงนรายไดเพยงเดอนละ 4,000 บาท ซงไมเพยงพอทจะซอหาแมกระทงสงจาเปนในการดารงชวต และมประชากรสวนนอยทรารวยมหาศาลและกมทรพยากรของชาตไวในมอ อยางไรกตาม ประเทศทสองมรายไดโดยเฉลย 15,000 บาท ตอเดอนตอคน หากแตมชองวางของรายไดจานวนมหาศาล ในทางสถต คาเบยงเบนมาตรฐาน หรอ standard deviation (S.D.) แสดงถงปรมาณการกระจายตวของปรมาณตางๆ วาอยหางจากคาเฉลยมากนอยแคใด ดงในตวอยางขางตน เราบอกวา รายไดของประชากรในประเทศทหนงม S.D. ตา ในขณะทประเทศทสองม S.D. สง ซงคา standard deviation ในทางสถตสามารถคานวณไดจาก

{ }2S.D. x x= − ______________ สมการ (2.102)

ในทาง quantum mechanics เมอทาการวดปรมาณทางฟสกสดวย operator A และพบวาตรวจวดไดคาเฉลยเทากบ A แตดวยความไมแนนอนทเปนธรรมชาตพนฐานของทฤษฏ quantum

mechanics การวดแตละครงกจะไดคาทแตกตางกนออกเปน ถาแตกตางกนมาก แสดงวาการวดมความคลาดเคลอนสง หรอถากระจกตวอยใกลเคยงกบ expectation value A กแสดงวามความ

แมนยา เพราะฉะนน เราสามารถนยาม uncertainty หรอ ความไมแนนอนของการวดดวย operator A ในทานองเดยวกบสมการ (2.102) ไดวา

uncertainty { }2ˆ Â A AΔ ≡ − ______________ สมการ (2.103)



จะเหนวา เราใชสญลกษณ AΔ แสดงถง ความไมแนนอนของการวด หรอ uncertainty และผนวกกบเอกลกษณทางคณตศาสตรในแบบฝกหด 2.21 เราสามารถลดรปสมการ (2.103) ใหงายขนโดย

อาศย { }2 22ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2A A A A A A− = − + เพราะฉะนน

{ }

{ }

2 22

22

2 22

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2

ˆ ˆ ˆ ˆ2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2

A A A A A A

A A A A

A A A A A A

− = − +

= + − +

− = − +

ในกระบวนการขางตน เราใชสมบตการกระจายดงในแบบฝกหด 2.21d และตามดวยสมบตในแบบฝกหด 2.21b และ 2.21c ทาใหในทายทสดแลว

22ˆ Â A AΔ = − ______________ สมการ (2.104)

ยกตวอยางเชน สมมตเรามระบบทม spin อยในสถานะ Z+ และตองการทราบ uncertainty ของการวด spin ตามแนวแกน x หรออกนยหนง ตองการทราบ xSΔ การคานวณ uncertainty ดงสมการ (2.104) แบงออกเปนสองขนตอน คอ 1) คานวณ ˆ ˆx xS S= Ψ Ψ และเพอเปนการทบทวนเราจะใชกระบวนการทาง matrix

mechanics ในการคานวณ กลาวคอ

[ ] 0 1 1ˆ 1 0 01 0 02xS⎡ ⎤ ⎡ ⎤

Ψ Ψ = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

______________ สมการ (2.105)

2) คานวณ 2ˆ ˆ ˆx x xS S S= Ψ Ψ ทงนเราสามารถเขยน operator 2ˆxS ใหอยในรปของ matrix

ไดโดยอาศย matrix-matrix operation

20 1 0 1 1 0ˆ ˆ1 0 1 0 0 12 2 4x xS S⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦



เพราฉะนน

[ ]2 2

2 1 0 1ˆ 1 00 1 04 4xS⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

______________ สมการ (2.106)

ทงน การคานวณในสมการ (2.105) และ สมการ (2.106) เราละไวในถานทเขาใจวา กาลงใช basis state Z± และสบเนองจากสมการทงสอง uncertainty ดงในสมการ (2.104) มคาเทากบ

22ˆ ˆ2x x xS S SΔ = − =

แบบฝกหด 2.22 (a) จงหาความไมแนนอนของการวด spin ตามแนวแกน x ของระบบ ถากาหนดใหระบบอยใน

สถานะ cos sin2 2

in Z e Zϕθ θ++ = + + −

(b) มม ( , )θ ϕ เปนเทาใดจงจะวดไดแมนยาทสด และในกรณใดทวดไดหยาบทสด

2.5 Rotation Operator

เนอหาในลาดบสดทายของบทท 2 เราจะกลาวถง rotation operator ทจะเปนการนาความรเรอง operator ในประเดนตางๆมาสงเคราะหรวมกน เมอกลาวถง spin ของอนภาคทอาจจะชไปในทศทางตางๆกน อาทเชน X+ และใน Section 2.1 เราไดเกรนถง operator Ω ทสามารถจะหมน

X+ เปนมม 90 องศา ใหกลายเปน Y+ rotation operator กทาหนาทคลายๆกน แตมนสามารถทจะหมน spin ของระบบรอบแกน z ดวยมม ϕ ใดๆ

Infinitesimal Rotation พจารณา operator ททาใหสถานะ spin ของอนภาคมการหมน 90 องศา ดงแสดงในภาพ 2.7a จะเหนวา แทนทจะหมนสถานะดงกลาวนรวดเดยว 90 องศา เราสามารถหมนสถานะเปนมมเลกๆ dϕ องศา (infinitesimal rotation) ดงในภาพ 2.7b ซงถาหมนซากนหลายๆครง ในทายทสดผลทเกดขนกจะเปรยบเหมอนวา เราไดหมนสถานะดงกลาวไปแลว 90 องศาดงทตองการ



X+

Y+

x

z

y

x

z

y

dϕ

(a) (b)

o90X+

Y+

x

z

y

x

z

y

dϕ

(a) (b)

o90

ภาพ 2.7 a) พจารณา operator ทหมนสถานะไป 90 องศา b) แทนทจะหมน 90 องศาในครงเดยว เราสามารถทหมนคราวละ dϕ องศา ซงเปนมมทมขนาดเลกมาก (infinitesimal rotation) การเขยนหรอการใหคานยามของ operator ทสามารถหมนสถานะเปนมมขนาดเลกๆ dϕ องศานน สามารถเขยนอยในรปของ

ˆ ˆ( ) 1R d dϕ ϕ= + Φk ___________________ สมการ (2.107) การเลอกใชสญลกษณ R กเพยงเพอใหสอถง rotation operator และ การเขยน ( )dϕ k กากบ กเพยงเพอขยายความวาเปนการหมนดวยมม dϕ ซงมขนาดเลกๆ รอบแกน z ซงในลาดบตอไป เราจะเรยก operator ˆ( )R dϕ k นวา infinitesimal rotation การเขยน infinitesimal rotation operator ˆ( )R dϕ k ใหอยในรปของ ˆ1 dϕ+ Φ มความเหมาะสมดวยเหตทวา ถาหาก 0dϕ → แลว จะทาให ˆ( ) 1R dϕ →k นนกหมายความวา ถาเราหมนสถานะดวยมม 0 องศา สถานะผลลพธทเกดขน กคอสถานะเดม ไมมการเปลยนแตอยางใด ในกรณท 0dϕ ≠ operator Φ จะเปนตวกาหนดการเปลยนแปลงไปของสถานะ ซงในขนตนน เรายงไมทราบวา operator Φ จะตองมรปแบบในทางคณตศาสตรอยางไร จงจะทาใหเกดการหมนดงทเราตองการ



นอกจากน infinitesimal rotation operator ดงทเหนในสมการ (2.107) นน ยงมเอกลกษณทางคณตศาสตรทสาคญอยางยงอนหนง ซงจะไดกลาวถงดงตอไปน สมมตวา เราตองการทจะหมนสถานะเปนมม ϕ องศา แทนทจะหมนภายในครงเดยว เราสามารถแบงการหมนออกเปน N ครง โดยท N เปนจานวนเตมบวก จะไดวา ในการหมนยอยๆแตละครงนน

dNϕϕ = ซงเราจะตองทาการหมนทงสน N ครงซอนๆกน จะไดวา

termsterms

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1N

NN

R R d R d R dN N N Nϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = + Φ + Φ + Φ = + Φ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

k k k k

แตเนองจากคานยามขางตนของ operator ˆ ˆ( ) 1R d dϕ ϕ= + Φk มสถานะเปน infinitesimal rotation ดงนนเราจาเปนจะตองหมนเปนมมขนาดเลก 0dϕ → ซงในทางคณตศาสตร ทาไดโดยกาหนดให limit N →∞ เพราะฉะนนแลว

ˆ ˆ( ) lim 1N

NR

Nϕϕ

→∞

⎡ ⎤⎛ ⎞= + Φ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦k ___________________ สมการ (2.108)

แบบฝกหด 2.23 จงพสจนวา

xN

Ne

Nx

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

∞→1lim

โดยการหาอนกรม Taylor ของเทอมทงสองขางของสมการ แลวตรวจสอบวา อนกรมทงสองนน มคาเทากนหรอไม สบเนองจาก แบบฝกหด 2.23 และรปแบบในสมการ (2.108) นน เราใชเอกลกษณทางคณตศาสตรบอกไดวา rotation operator ทสามารถหมนระบบเปนมม ϕ องศานน สามารถเขยนใหอยในรป

ˆˆ( )R eϕϕ Φ=k ___________________ สมการ (2.109) อยางไรกตาม การเขยน infinitesimal rotation ใหอยในรป ˆ ˆ( ) 1R d dϕ ϕ= + Φk ดงสมการ (2.107) หรอแมกระทงการเขยน finite rotation ใหอยในรปดงสมการ (2.109) กด เปนแตเพยงการหนเสอ



ปะจระเข กลาวคอ เรากยงไมทราบอยดวารปแบบทางคณตศาสตรทชดเจนของ operator Φ นวาเปนอยางไร และ มนจะสามารถหมนสถานะตางๆ ไดอยางทเราตองการหรอไม หรอแมกระทงคาถามทวา Φ มความหมายทเกยวของกบการวดปรมาณทางฟสกสวาอยางไร

x

z

y

x

z

y

ถาดนสอวางในทศเอยง ถาดนสอมทศในแนวแกน z

ทศทางเปลยนแปลงภายหลงการหมนรอบแกน zทศทางเปลยนแปลงภายหลงการหมนรอบแกน z

ทศทางคงเดมภายหลงการหมนรอบแกน zทศทางคงเดมภายหลงการหมนรอบแกน zx

z

y

x

z

y

ถาดนสอวางในทศเอยง ถาดนสอมทศในแนวแกน z

ทศทางเปลยนแปลงภายหลงการหมนรอบแกน zทศทางเปลยนแปลงภายหลงการหมนรอบแกน z

ทศทางคงเดมภายหลงการหมนรอบแกน zทศทางคงเดมภายหลงการหมนรอบแกน z

ภาพ 2.8 แสดงผลของการหมนรอบแกน z ทมผลตอทศทางของดนสอ (ซาย) ถาสถานะของดนสอมทศทเอยง เมอไดรบการหมน ทศทางจะเปลยนไป (ขวา) ถาสถานะของดนสอมทศในแนวแกน z อยกอนแลว การหมนรอบแกน z ไมมผลกระทบใดๆ

เอกลกษณของ Φ

เมอเราพจารณาผลของการหมนรอบแกน z ตอ spin ของระบบ จะพบวา ถาระบบมสถานะเปน Z+ หรอ Z− แลว operator ˆ( )R ϕ k ไมควรจะมผลใดๆตอสถานะทงสองดงกลาว

ความจรงในขอนสามารถเหนไดจากภาพ 2.8 ทแสดงผลของการหมนรอบแกน z ทมผลตอทศทางของดนสอ (ซาย) ถาสถานะของดนสอมทศทเอยง เมอไดรบการหมน ทศทางจะเปลยนไป (ขวา) ถาสถานะของดนสอมทศในแนวแกน z อยกอนแลว การหมนรอบแกน z ไมมผลกระทบใดๆ เพราะฉะนนแลว

ˆ( )R Zϕ + =k (คาคงท) Z+ และ ˆ( )R Zϕ − =k (คาคงท) Z− ________ สมการ (2.110) สมการขางตนเปนการเขยนทางคณตศาสตรเพอทจะแสดงวา operator ˆ( )R ϕ k ไมมผลกระทบใดๆตอสถานะ Z+ หรอ Z− และในเมอ ˆ( )R ϕ k เกยวพนโดยตรงกบ operator Φ เราบอกไดวา



ˆ Z Zγ+Φ + = + และ Z Zγ−Φ − = − เมอ ,γ γ+ − คอคาคงท ________ สมการ (2.111) และสบเนองจากสมการ (2.109) เราสามารถกระจายเทอมทางขวามอใหอยในรป Taylor expansion

2 2 3 3ˆ ˆ ˆˆˆ( ) 11! 2! 3!

R e ϕ ϕ ϕϕϕ Φ Φ ΦΦ= = + + + +k ___________ สมการ (2.112)

โดยอาศยสมบตของ Φ ในสมการ (2.111) เราสรปไดวา

2 2

3 3

ˆ

ˆ

ˆ

Z Z

Z Z

Z Z

γ

γ

γ

+

+

+

Φ + = +

Φ + = +

Φ + = + และ

2 2

3 3

ˆ

ˆ

ˆ

Z Z

Z Z

Z Z

γ

γ

γ

−

−

−

Φ − = −

Φ − = −

Φ − = −

เพราะฉะนน เมอ operator ˆˆ( )R eϕϕ Φ=k กระทากบสถานะ Z+ จะทาให

2 2

2 2

2

2 2

ˆ ˆˆ( ) 11! 2!

ˆ ˆ1

1! 2!

11! 2!

ˆ( ) 11! 2!

R Z Z

Z Z Z

Z Z Z

R Z Z

ϕ ϕϕ

ϕ ϕ

ϕ γ ϕ γ

ϕ γ ϕ γϕ

+ +

+ +

⎧ ⎫Φ Φ⎪ ⎪+ = + + + +⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

Φ Φ= + + + + + +

= + + + + + +

⎧ ⎫⎪ ⎪+ = + + + +⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

k

k

ซงในทายทสด

ˆ( )R Z e Zϕγϕ ++ = +k ___________ สมการ (2.113) และในทานองเดยวกน

ˆ( )R Z e Zϕγϕ −− = −k ___________ สมการ (2.114)



จากสองสมการ (2.113) และ (2.114) ขางตนจะพบวา ถาเรากาหนดให ˆ Z Zγ±Φ ± = ± แลว จะทาใหสมการ (2.110) เปนจรง ดวยเหตผลทใหไวในภาพ 2.8 ในขนตอไป เราจะตองทาการหาคาทแทจรงของ ,γ γ+ − ซงกระทาไดโดยวเคราะหผลของ operator ˆ( )R ϕ k ทกระทาตอสถานะของ spin ทไมไดอยในแนวแกน z ยกตวอยางเชน

0 00cos sin2 2

in Z e Zϕθ θ+ = + + − ___________ สมการ (2.115)

โดยทมม ( )0 0,θ ϕ บงบอกถงทศทางท spin กาลงชอย และใหสงเกตวา 0ϕ คอมมกวาดรอบแกน z เพราะฉะนน operator ˆ( )R ϕ k ควรจะมผลกระทบโดยตรงตอมมดงกลาว

0 00

0 0 0

ˆ ˆ( ) ( ) cos sin2 2

ˆ ˆcos ( ) sin ( )2 2

i

i

R n R Z e Z

R Z e R Z

ϕ

ϕ

θ θϕ ϕ

θ θϕ ϕ

⎧ ⎫+ = + + −⎨ ⎬⎩ ⎭

= + + −

k k

k k

และเมออาศยสมการ (2.113) และ สมการ (2.114) จะไดวา

0 0 0

( )0 0 0

ˆ( ) cos sin2 2

cos sin2 2

i

i

R n e Z e e Z

e Z e Z

ϕϕγ ϕγ

ϕ ϕ γ γϕγ

θ θϕ

θ θ

+ −

+ −− ++

+ = + + −

⎧ ⎫= + + −⎨ ⎬⎩ ⎭

k

สงเกตเทอมทางขวามอของสมการขางตน วาเราแยกตวประกอบเอาคาคงท eϕγ+ ออกมา ทงนกเพอใหการวเคราะหงายขน จาก Section 2.4.2 เราทราบวา เมอสถานะของระบบมการคณดวยคาคงท จะไมทาใหสถานะมเปลยนแปลงแตอยางใด เพราะฉะนนในทนเราจะไมนาคาคงท eϕγ+ ในสมการขางตนเขามาวเคราะหรวมดวย ดงนน

( )0 0 0ˆ( ) cos sin2 2

iR n Z e Zϕ ϕ γ γθ θϕ + −− ++ = + + −k ___________ สมการ (2.116)

ทงนเมอเราสงเกตคานยามของสถานะ n+ ในสมการ จะพบวา เมอมการหมนรอบแกน z ดวยมม ϕ แลวนน สถานะ n+ ทม 0ϕ เปนมมกวาดรอบแกน z อยเดม ควรจะเปลยนจาก



0 0ϕ ϕ ϕ→ + และดงสมการ (2.116) การเปลยนแปลงในลกษณะดงกลาวจะเกดขนไดกตอเมอ ( )0 0( )i iϕ ϕ γ γ ϕ ϕ− ++ − = + ซงจะนาไปสความสมพนธทวา

iγ γ− +− = __________________ สมการ (2.117)

นอกจากน เมอเราพจารณาคานยามของ ,γ γ+ − ในสมการ (2.111) ประกอบกบความสมมาตรของระบบ คาคงททงสองควรจะม

γ γ− += ___________________ สมการ (2.118)

จากสมการ (2.117) และ (2.118) ทาใหเราสรปไดวา ,2 2i iγ γ− += + = − และเมอแทนคาคงททง

สองเขาไปในสมการ (2.111) จะทาใหไดคณสมบตทสาคญ operator Φ ทวา

ˆ2

ˆ2

iZ Z

iZ Z

Φ + = − +

Φ − = + − ___________________ สมการ (2.119)

นอกจากน เนอหาใน Section 2.3.4 ในเรองของ spin operator ทวา

ˆ2

ˆ2

z

z

S Z Z

S Z Z

+ = + +

− = − − ___________________ สมการ (2.120)

และเมอเราเปรยบเทยบสมการ (2.119) และ สมการ (2.120) จะไดเอกลกษณขอทสองของ operator Φ นนกคอ

ˆˆ zi SΦ = − ___________________ สมการ (2.121)

Generator of Rotation เมอแทนเอกลกษณของ operator Φ ขางตน เขาไปในคานยามของ infinitesimal rotation operator ดงสมการ (2.107) จะทาให



ˆˆ( ) 1 ziR d d Sϕ ϕ= −k ___________________ สมการ (2.122)

และนาไปส rotation operator ทสามารถหมนสถานะเชง spin ของระบบดวยมมใดๆ ไดวา

ˆˆ ( )

i SzR e

ϕϕ

−=k ___________________ สมการ (2.123)

ในทายทสดเรากพบกบความหมายทสาคญของ operator ˆzS ซงมอยทงสนสองประเดนดวยกนคอ 1) ˆzS คอ operator ทใชแทนการวด spin angular momentum ตามแนวแกน z ซงเปนความหมายโดยทวไปของ ˆzS ดงทไดกลาวมาแลวใน Section 2.3.4 2) ˆzS คอ Generator of Rotation หรอ operator ททาใหเกด (generate) การหมน สาหรบทมาของชอดงกลาว แสดงใหเหนดวยสมการ (2.122) ในการหมนเปนมมขนาดเลกๆนน เมอ operator ˆ( )R dϕ k เขาไปกระทากบสภานะ Ψ ของระบบ จะทาใหสถานะทวานเกดการหมน หรอ เปลยนแปลง

แตจากสมการ ˆˆ ( ) 1 ziR d d Sϕ ϕ= −k มอยสองเทอม เทอมแรกคอ identity operator 1 ทไมมผล

อนใดกบสถานะของระบบ ในขณะทเทอมทสองคอ ˆzi d Sϕ ซงจะทาหนาทใหเกดการ

เปลยนแปลงของระบบ สงผลใหเกดการหมน และดวยคณสมบตอนน เราเรยก

ˆzS เปน Generator of Rotation ˆ( )R ϕ k ___________________ สมการ (2.124)

คาทานายททาทาย นอกจากน rotation operator ทเราไดกลาวถงยงมบทสรปอกอนหนงทนาทงและทาทาย เพอทจะอธบายประเดนดงกลาว ลองตงคาถามวา ถาเราหมนสถานะใดๆกตาม เปนมม 360 องศา สถานะผลลพธจะเปนอยางไร? สบเนองจากรปแบบของ operator ˆ( )R ϕ k ในสมการท (2.123) เราจะไดวา



{ }2 ˆ

ˆ(2 )i Sz

R e c Z c Zπ

π−

+ −Ψ = + + −k ___________ สมการ (2.125)

จากสมการขางตน เราเขยนสถานะ Ψ ใหอยในรป superposition c Z c Z+ −Ψ = + + − เมอ

,c c+ − คอ คาคงทใดๆ และเมอใชเอกลกษณทวา 1ie π± = − จะทาให

2 22 2ˆ(2 )

i i

R c e Z c e Z

c Z c Z

π π

π⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+ −

+ −

Ψ = + + −

= − + − −

k

หรอ

ˆ(2 )R π Ψ = − Ψk ___________ สมการ (2.126) นเปนคาทานายในเชงทฤษฏททาทายตอการพสจนโดยการทดลองเปนอยางยง เพราะ quantum mechanics กาลงบอกโดยใชสมการ (2.126) วา ในระบบอนภาคทม spin เปน 1/2 นน ถาเราหมนสถานะของระบบเปนมม 360 องศา สถานะผลลพธทเกดขน จะมคาเปน ลบ ของตวมนเอง ในบทท 4 ทวาดวย Time Evolution เราจะวกกลบมาศกษาถงการทดลองทสามารถพสจนการทานายอนน โดย S.A. Werner, R. Collella, A. W Overhauser1, and C.F. Eagen ในป 1975. แบบฝกหด 2.24 จงเขยน rotation operator ˆ( )R ϕ k ดงสมการ (2.123) ใหอยในรปของ matrix โดยใช { },Z Z+ − เปน basis state

2.6 บทสรป

ในบทท 2 เราไดศกษาถง operator และคณสมบตหลายๆประเดนของ operator ในความหมายอยางกวางของ operator O กคอสงททาใหสถานะของระบบเปลยนแปลง จากสถานะเรมตนไปยงสถานะผลลพธ

1 R. Colella และ W. Overhauser สอนอยท Purdue University ในขณะทผแตงเรยน Ph.D. อย ณ มหาวทยาลยแหงน โดยท Colella นนสอนวชา Electromagnetic และ Overhauser นนสอนวชา Thermodynamic ใหแกขาพเจา ทานทงสองมความเชยวชาญแตกฉานในวชาทสอน เพราะทงสองทานลวนสอนปากเปลา ไมม note อยในมอใดๆทงสน



Oφ ψ= ซงการเขยน operator โดยทวไปอาจจะทาใหอยในรปของ ket-bra ของ basis state { }iφ กลาวคอ

1 1

ˆN N

ij i ji j

O o φ φ= =

=∑∑

และนอกเสยจากรปแบบของ quantum mechanics ทใช ket และ bra เปนสญลกษณพนฐาน เรายงสามารถใช vector และ matrix ในการแสดงสถานะและแสดง operator ซงสามารถเขยนไดวา

1

2

1 basis

Ni i

iiN

cc

c

c

φφ=

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥Ψ = ⎯⎯⎯⎯⎯→⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∑

{ }

1 1 1 2 1

2 1 2 2 2

1 2

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆˆ

basis

ˆ ˆ ˆ

N

N

i

N N N N

O O O

O O OO

O O O

φ φ φ φ φ φ

φ φ φ φ φ φ

φ

φ φ φ φ φ φ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎯⎯⎯⎯⎯⎯→⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

หลงจากนนเราเรมกลาวถงความหมายอยางแคบของ operator ซงกคอกลไกในการวดปรมาณทางฟสกส หรอ observable และนาไปสสงทเรยกวา eigen equation

A a aα= โดยทตวอยางของ operator ในลกษณะดงกลาวนกคอ spin operator ทใชในการวด spin angular momentum ของระบบในทศทางตางๆกน ไดแก

0 11 02xS⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

, 002yi

Si

−⎡ ⎤= ⎢ ⎥

⎣ ⎦, และ 1 0

0 12zS⎡ ⎤

= ⎢ ⎥−⎣ ⎦ เมอใช basis state { },Z Z+ −



ในความหมายของ operator ทเกยวของกบการวดนเอง หลกหนไมพนทจะตองกลาวถงคาเฉลยของการวด และ ความไมแนนอนของการวด หรอ ทเรยกวา expectation value และ uncertainty

expectation value ˆ Â A= Ψ Ψ

uncertainty 22ˆ Â A AΔ = −

และในทายทสด เพอเปนตวอยางของการนาความรทงหมดเกยวกบ operator มาประมวลและสงเคราะห เราไดกลาวถง rotation operator และ generation of rotation

ˆˆ( )

i SzR e

ϕϕ

−=k

2.7 ปญหาทายบท แบบฝกหด 2.25 โดยเรมจากคานยามของ operator ในสมการ (2.23) จงพสจนวา เราสามารถเขยน

operator ใหอยในรป 1

ˆN

i i ii

A a aα=

=∑ เมอ ia และ iα คอ eigenstate และ eigenvalue

ของ operator A แบบฝกหด 2.26 ในทานองเดยวกนกบแบบฝกหดขางตน เราสามารถเขยน operator ˆ

2 2xS X X X X= + + − − − จงเขยน operator ˆxS ใหอยในรปของ matrix โดยใช basis

{ },Z Z+ −

แบบฝกหด 2.27 จงเขยน rotation operator 1ˆ( )R θ i และ 2ˆ( )R θ j ใหอยในรปของ matrix โดยใช

{ },Z Z+ − เปน basis state



This page is intentionally left blank

Documents

2 Operator และ Matrix Mechanics