2.0 引言

《通信原理课件》

•2.0 引言• 通信过程是有用信号通过通信系统的过程 ,在这一过程中常伴有噪声的传输。分析与研究通信系统，离不开对信号和噪声的分析。通信系统中的信号通常具有某种随机性。他们的某个或几个参数不能预知或不能完全预知。如果能预知，通信就失去了意义。


第二章：信号与噪声2.1 信号的分类2.2 确知信号的分析2.3 随机变量的统计特征2.4 随机过程的一般表述2.5 平稳随机过程2.6 高斯随机过程2.7 随机过程通过系统的分析2.8 窄带高斯噪声2.9 周期平稳随机过程


2.1 信号的分类


2.1.1 确知信号与随机信号

确知信号是指能够以确定的时间函数表示的信号，它在定义域内任意时刻都有确定的函数值。例如电路中的正弦信号和各种形状的周期信号等。

在事件发生之前无法预知信号的取值，即写不出明确的数学表达式，通常只知道它取某一数值的概率，这种具有随机性的信号称为随机信号。例如，半导体载流子随机运动所产生的噪声和从目标反射回来的雷达信号（其出现的时间与强度是随机的）等都是随机信号。所有的实际信号在一定程度上都是随机信号。


2.1.2 周期信号与非周期信号周期信号是每隔一个固定的时间间隔重复变化的信号。

周期信号满足下列条件

( ) ( ), 0, 1, 2. 3, ,f t f t nT n t

（ 2.1-1 ）

式中，为的周期，是满足式（ 2.1-1 ）条件的最小时段。非周期信号是不具有重复性的信号。


设能量信号为时间的实函数，通常把能量信号的归一化能量（简称能量）定义为由电压加于单位电阻上所消耗的能量，即为

2 ( )E f t dt

（ 2.1-3 ）


2.2 确知信号的分析

确知信号的性质可以从频域和时域两方面进行分析。频域分析常采用傅里叶分析法，时域分析主要包括卷积和相关函数。本节我们将概括性地介绍傅里叶分析法，重点介绍相关函数、功率谱密度和能量谱密度等概念。





2 、指数形式的傅里叶级数

利用欧拉公式可得的指数表达式

式中

cos2

jx jxe ex

0( ) jn tn

n

f t F e

（ 2.2-6 ）

0/ 2

/ 2

1( )

T jn tn TF f t e dt

T

0, 1, 2. 3, ,n

0 0 0F c a 2

njnn

cF e ( 称为复振幅 ) ；

*

2njn

n n

cF e F

（是 nF 的共轭）。




（ a ）非周期信号（ b ）构造的周期信号图 2-1 非周期信号






信号的傅里叶变换具有一些重要的特性，灵活运用这些特性可较快地求出许多复杂信号的频谱密度函数，或从谱密度函数中求出原信号，因此掌握这些特性是非常有益的。其中较为重要且经常用到的一些性质和傅里叶变换对见附录二。

下面讨论周期信号的傅里叶变换。











由以上两式可见，互相关函数反映了一个信号与另一个延迟 τ秒后的信号间相关的程度。需要注意的是，互相关函数和两个信号的前后次序有关，即有

21 12( ) ( )R R






则整个频率范围内信号的总功率与功率谱之间的关系可表示为

可以证明：功率信号的自相关函数和功率谱密度是一对傅里叶变换，即 f( ) PfR

2

fT

FP lim

T

（ 2.2-31 ）

f

1P P

2d

（ 2.2-32 ）

( )f t





2.3 随机变量的统计特征

前面我们对确知信号进行了分析。但实际通信系统中由信源发出的信息是随机的，或者说是不可预知的，因而携带信息的信号也都是随机的，如语言信号等，另外通信系统中还必然存在噪声，它也是随机的，这种具有随机性的信号称为随机信号。尽管随机信号和随机噪声具有不可预测性和随机性，我们不可能用一个或几个时间函数准确地描述它们，但它们都遵循一定的统计规律性。在给定时刻上，随机信号的取值就是一个随机变量。

本节我们介绍基于概率论的随机变量及其统计特征，它是随机过程和随机信号分析的基础。


2.3.1 随机变量

在概率论中，将每次实验的结果用一个变量来表示，如果变量的取值是随机的，则称变量为随机变量。例如，在一定时间内电话交换台收到的呼叫次数是一个随机变量。

当随机变量的取值个数是有限个时，则称它为离散随机变量。否则就称为连续随机变量。

随机变量的统计规律用概率分布函数或概率密度函数来描述。


( )F x

( )F xx ( )P X x

( )( 1,2,3, )iP x i ix

( ) ( )F x P X x （ 2.3-1 ）

( ) ( ) ( ) 1,2,3,i

ix x

F x P X x P x i

（ 2.3-2 ）



可见，概率密度函数是分布函数的导数。从图形上看，概率密度就是分布函数曲线的斜率。

概率密度函数有如下性质：

（ 1 ）

（ 2 ）

（ 3 ）

( ) 0f x

( ) 1f x dx

( ) ( )b

af x dx P a X b

（ 2.3-5 ）

（ 2.3-6 ）

（ 2.3-7 ）


对于离散随机变量，其概率密度函数为

1

0( ) ( )

ni

i ii i

x xf x P x x

x x

（ 2.3-8 ）



均匀分布的概率密度函数的曲线如图 2-2 所示。

图 2-2 均匀分布的概率密度函数



图 2-3 高斯分布的概率密度函数高斯分布是一种重要而又常见的分布，并具有一些有

用的特性。在后面我们将专门进行讨论。



图 2-4 瑞利分布后面我们将介绍的窄带高斯噪声的包络就是服从瑞利

分布。


2.3.4 随机变量的数字特征

前面讨论的分布函数和概率密度函数，能够较全面地描述随机变量的统计特性。然而，在许多实际问题中，我们往往并不关心随机变量的概率分布，而只想了解随机变量的某些特征，例如随机变量的统计平均值，以及随机变量的取值相对于这个平均值的偏离程度等。这些描述随机变量某些特征的数值就称为随机变量的数字特征。

随机变量分为离散、连续两种。


Expectation







除了原点矩外，还定义相对于均值 a 的 n阶矩为 n阶中心矩，即

显然，随机变量的二阶中心矩就是它的方差，即

[( ) ] ( ) ( )n nE X a x a f x dx

（ 2.3-28 ）

2 2[ ] {( ) }D X E X a


2.4 随机过程的一般表述 2.4.1 随机过程的概念

前面所讨论的随机变量是与试验结果有关的某一个随机取值的量。例如，在给定的某一瞬间测量接收机输出端上的噪声，所测得的输出噪声的瞬时值就是一个随机变量。显然，如果连续不断地进行试验，那么在任一瞬间都有一个与之相应的随机变量，于是这时的试验结果就不仅是一个随机变量，而是一个在时间上不断变化的随机变量的集合。时间函数！

Stochastic Process


我们定义随时间变化的无数个随机变量的集合为随机过程。随机过程的基本特征是：

它是时间 t的函数，但在任一确定时刻上的取值是不确定的，是一个随机变量；

或者，可将它看成是一个事件的全部可能实现构成的总体，其中每个实现都是一个确定的时间函数，而随机性就体现在出现哪一个实现是不确定的。通信过程中的随机信号和噪声均可归纳为依赖于时间 t的随机过程。



图 2-5 随机过程波形

Sample Space





二、随机过程的数字特征分布函数或概率密度函数虽然能够较全面地描述随机

过程的统计特性 , 但在实际工作中，有时不易或不需求出分布函数和概率密度函数，而用随机过程的数字特征来描述随机过程的统计特性，更简单直观。

1 、数学期望（统计平均值）随机过程的数学期望定义为

并记为。随机过程的数学期望是时间的函数。

( )t

[ ( )] ( )E t a t

1[ ( )] ( , )E t xf x t dx

（ 2.4-5 ）















2 、（ 2.5-6 ）

3 、（ 2.5-7 ）

4 、（ 2.5-8 ）

5 、（ 2.5-9 ）

由上述性质可知，用自相关函数几乎可以表述的主要特征，因而上述性质有明显的实用价值。

( ) ( ) [ ( )R R R 是偶函数]

( ) (0) [R( )R R 的上界]

2( ) [ t)] [ (t)R E （的直流功率]

2(0) ( ) ( )R R t [方差，的交流功率]



二、平稳随机过程的功率谱密度

随机过程的频谱特性是用它的功率谱密度来表述的。由式（ 2.2-31 ）可知，对于任意的确定功率信号 f(t)

其功率谱密度为（ 2.5-10）

式中，是 f(t)的截短函数的频谱函数。 f(t)和的波形如图 2-6 所示。

2( )

( ) lim Tf

T

FP

T

( )TF ( )Tf t( )Tf t


图 2-6 功率信号及其截短函数






下面结合自相关函数的性质，归纳功率谱的性质如下：

1 、（非负性）

2 、

3 、（偶函数）

( ) 0P

1(0) ( )

2R P d S

( ) ( )P P





2.6.2 高斯过程的性质

1 、若高斯过程是宽平稳随机过程，则它也是严平稳随机过程。也就是说，对于高斯过程来说，宽平稳和严平稳是等价的。

2 、若高斯过程中的随机变量之间互不相关，则它们也是统计独立的；

3 、高斯过程的线性组合仍是高斯过程；

4 、高斯过程经过线性变换（或线性系统）后的过程仍是高斯过程。



图 2-7 一维概率密度函数










图 2-8 白噪声的双边带功率谱密度和自相关函数


如果白噪声又是高斯分布的，我们就称之为高斯白噪声。由式（ 2.6-22 ）可以看出，高斯白噪声在任意两个不同时刻上的取值之间，不仅是互不相关的，而且还是统计独立的。应当指出，我们所定义的这种理想化的白噪声在实际中是不存在的。但是，如果噪声的功率谱均匀分布的频率范围远远大于通信系统的工作频带，我们就可以把它视为白噪声。














2.7.2 随机过程通过乘法器在通信系统中，经常进行乘法运算，所以乘法器在通

信系统中应用非常广泛，下面我们计算平稳随机过程通过乘法器后，输出过程的功率谱密度。

平稳随机过程通过乘法器的数学模型如图 2-10所示

图 2-10平稳随机过程通过乘法器









（ 4 ） X(t)的平均功率为

2 2

0

1( , ) | ( )

2X XS R t t a


2.8 窄带高斯噪声2.8.1 窄带高斯噪声的统计特征一、窄带高斯噪声的概念设系统的带宽为，中心频率为，当时称该系统为窄带

系统。当高斯白噪声通过窄带系统时，其输出噪声只能集中在中心频率附近的带宽之内，称这种噪声为窄带高斯噪声。窄带高斯噪声的原理框图及相关波形如图 2-11所示。

（ a ）原理框图


（ b ）窄带噪声的功率谱（ c）窄带噪声的波形图 2-11 窄带噪声的原理框图及波形








2.8.2 正弦波加窄带高斯噪声

通信系统中传输的信号通常是一个正弦波作为载波的已调信号，信号经过信道传输时总会受到噪声的干扰，为了减少噪声的影响，通常在接收机前端设置一个带通滤波器，以滤除信号频带以外的噪声。因此，带通滤波器的输出是正弦波信号与窄带噪声的合成信号。这是通信系统中常会遇到的一种情况，所以有必要了解合成信号的包络和相位的统计特性。






（ a ）不同信噪比时包络的概率密度函数（ b ）相位分布

图 2-12 正弦波加窄带高斯噪声的包络与相位分布曲线





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