2006 年度今井研研究室紹介

２００６年６月３０日

今井研究室の研究テーマ

アルゴリズムの世界

未踏域への挑戦 現実社会への応用

量子

計算幾何

計算代数

暗号理論離散・連続最適化

メタヒューリスティックス

交通流解析

ネットワーク

ゲーム理論

計算量理論

ゲームツリーサーチ

組合せ論

グラフ理論

博士論文 (1) 計算幾何

アレンジメント再構成の組合せ論的複雑度評価（青木 保一） 特徴多様体上のクラスタリング問題について（稲葉 真理） リーマン計算幾何：凸包，ボロノイ図とデローネ型三角形分割

（大西 建輔） 整数計画法による三角形分割の最適化（田島 玲） 三角形分割の組合せ論（竹内 史比古） 多面体的複体のシェリング向き付け：

シェラビリティー判定と離散最適化の組合せ構造 （森山園子） 計算代数

単模および Lawrence 型整数計画問題に対する計算代数的解析（石関 隆幸）

量子計算量 計算量的観点における量子計算モデルの計算能力（小林 弘忠） 資源制約下における量子計算モデルの計算能力（ルガル フランソワ） エンタングルメントコストの解析とホレボ容量の計算（下野 寿之）

組合せゲーム理論 AND/OR 木探索アルゴリズム Df-pn の提案とその応用（長井 歩）

博士論文 (2) ゲノム・文字列処理

部分文字列の性質に基づく計算機援用大規模生物実験設計（土井 晃一郎）

文書検索と圧縮の統合 - 接尾辞ソート、ブロックソート法、接尾辞配列 -（定兼 邦彦）

生物配列情報の比較と検索のための高速なアルゴリズムの研究（渋谷 哲朗）

グラフ理論 Tutte 多項式の計算アルゴリズムとその応用（関根 京子） リンクベースの Web 上情報発見手法の新しいフレームワーク

（浅野 泰仁） ネットワーク

ネットワーク通信において通信品質を保証するアルゴリズム（古賀久志）

今井研の方針

研究を独力で行うために 研究の流行盛衰を把握し良いテーマを設定する

外の世界と交流する 世界の大学の人と共著を書いたり

研究会に参加したり発表を行う能力を身につける

わかりやすい発表を心がけよう

研究について自分で考えること

独りよがりでいいわけではない

研究室の活動

セミナー 週１回持ち回りで研究内容を発表

輪講 決まったテーマで論文、本を読む

FOCS,STOCセミナー 中大と合同で最新の論文を読む

今井研の活動は内部に留まらない

研究室内に留まらない活動 外部との交流も積極的に

共同研究 カナダ McGill 大学の David Avis教授 スイス ETH 大学の Komei Fukuda教授

国際会議、研究会 論文誌への投稿

外部の研究施設 ERATO

日経 BP ムック 「変革する大学 東京大学理学部」

より

研究室環境

研究室 311 号室、 314 号室（図書室の隣）

個人用端末、机 PCを購入予定

計算サーバ プリンタ (カラー 2台 ) とコピー機 発表用のノート PC とプロジェクタ

３１１号室 ３１４号室図書館前

まずテーマを決める 自分のやりたいことは？

演習３を通じてなにか得たものがあったはず それは”研究”になるものか？

誰の役に立つ？ 皆が必要性をわかってくれる？

既存の研究を調べる 誰もまだやっていないから意味がある なぜ重要なのかを知る

研究の流れを掴む どこまでわかっていてどこからわかっていないのか？

卒論で何をするか

卒論の時間は有限

10 月　卒論研究室配属　　　テーマを決めよう11 月 卒論中間発表１回目12 月　卒論中間発表２回目 アブストラクト提出正月1月　　卒論中間発表３回目2月　 卒論発表3月　　最終提出

関連研究の紹介

離散数学　有向マトロイド実現可能性判定

ゲームツリーサーチ計算量理論・暗号理論　

ゼロ知識証明ゲーム理論量子計算

対話証明・隠れ部分群問題・量子ウォーク

今井研 研究紹介有向マトロイドの実現可能性判定とそ

の応用

中山裕貴 （博士３年）森山園子 （助手）

有向マトロイド vs. 幾何的表現 ？

有向マトロイド幾何的表現

（符号への抽象化）

次元： r , 要素数 : n

x

yz

v1

v2

v3v4

v5

v6

例： (r, n) = (3, 6)

v1

v2

v3v4

v5

v6

r 個の要素間の関係の情報のみ保持

有向マトロイドの実現可能性判定問題

ランク： r , 要素数 : n

・ 幾何的表現が与えられた場合、対応する有向マトロイドは必ず存在・ 有向マトロイドに対応する幾何的表現は必ずしも存在しない

・・・このギャップについて詳しい情報を得たい

有向マトロイドの実現可能性に関する定理[Richter ‘88, Bokowski and Richter-Gebert ‘90]

r = 4, n = 8 なる有向マトロイドで、一様なものの総数は2628個あり、そのうち 24個が実現不可能

詳細（用いた手法など）は不明 ・・・数を知ったところで応用は難しい

[Finschi ’01] による、有向マトロイドの列挙アルゴリズムの提案⇒ 有向マトロイドのデータベースが計算機実験に使用可能に

・ 実現不可能な有向マトロイドの具体的な形が判明・ 一様でない有向マトロイドへの拡張が可能に・ 実現（不）可能性の十分条件となる手法について、　各手法間の有効性の比較が可能に代数的手法： BFP [Richter-Gebert ‘92], solvability sequence [Bokowski, Sturmfels ‘86]

幾何的手法： non-Euclidean [Edmonds, Fukuda ‘82], non-HK* [Moriyama, Fukuda, Okamoto ‘04], reducibility [Richter,Sturmfels ‘91]

組合せ的対象である有向マトロイドを通し、代数的性質・幾何的性質の間に新たな結び付けを与える

(r, n) = (4, 8) での実現不可能な 有向マトロイドの個数

#OM(4,8) = 181472

一様なもの 2628 非一様なもの 178844

実現不可能 24 ( 実現不可能 ??)BFP 24

双二次最終多項式 3944

non-Euclidean 18 non-Euclidean 3444non-HK* 18

non-HK* 1364

non-Euclidean, non-HK(*): [Fukuda, Moriyama, Okamoto ‘04]BFP: [Nakayama, Moriyama, Fukuda, Okamoto ‘05]

一様 : χ の値が常に 1or -1

さらに、一般の (r, n) についてもnon-Euclidean BFP ⊆ [Fukuda, Moriyama, Nakayama ‘05]

reducibleでなく、 solvability sequenceを持つものが３個存在（ r =3 の場合は必ず空）

(r, n) = (4, 8) での実現可能な 有向マトロイドの個数

#OM(4,8) = 181472

一様なもの 2628 非一様なもの 178844

実現可能 2604 ( 実現可能 ??)

reducibility 2593 reducibility ??

solvabilitysequence 2337

solvability sequence ??

3

ゲーム、パズル

美添

二人ゲーム、パズルに関連する研究テーマ

• 探索アルゴリズム– αβ 、証明数サーチなどの研究– 評価関数の研究 (学習など )

• パズルの性質の研究– ソルバーの開発– 計算量の研究– 組合せゲーム理論など

今井研究室の関連研究

• ゲームツリーサーチ– AND/OR 木探索アルゴリズム Df-pn の提案とその応用

( 長井 歩 2002)– “Searching for Double Threats in Subproblems of the

Game of Go” (美添 2005)• パズル / ゲームの計算量の解析

– “ ぷよぷよの全消し判定問題は NP完全” (牟田 2005)– “Finding Yozume of Generalized Tsume-Shogi is

Exptime-complete” (八登 , 瀬田 , 伊藤 2005)– “Complexity and Completeness of Finding Another

Solution and Its Application to Puzzles” ( 八登 , 瀬田 2003)

宣伝

• 「詰将棋についてはコンピュータが人間を完全に凌駕した」–これは主に DFPN[ 長井 2002] によるものと言える

• 長井は IS19期で、今井研の OB

– 世界最強の詰碁ソルバーも DFPN-(r) [岸本 2005]がベース

• 岸本も IS19期

研究の背景 : ゲームプレイングプログラム / コンピュータの強さ

• チェッカー : CHINOOK (Jonathan Schaeffer)– 1992, 1994 に Tinsley と対戦

• オセロ : Logistello (Michael Buro)– 1996 に世界チャンピオン村上に勝利

• チェス : Deep Blue– 1997 に Kasparov に勝利

• 中国将棋– チェスと将棋の中間の強さらしい

• 将棋 :激指、 YSS 、 IS将棋、 Bonanza…– アマ五段クラス 角落ちでプロ (勝又五段 ) に勝利– アマ竜王戦ベスト 16 (激指 )

• 囲碁– 甘く見て、アマ初段

• mini-max と同じ結果を返すことが保証される

• αカット、 βカットにより探索が省略される– 候補手が理想的な順番に

ソートされていれば、• 探索ノード数は元のツ

リーのノード数のほぼ sqrtになる

• 2倍深く読める– [Knuth and Moore 1975]

65 35 90 49 62 30 83 80

65 90 62 83

65 62

65

Max node

Min node

αβ の基本

αβ の進歩

• 探索アルゴリズム自体の進歩– PVS, MTD(f), …

• 評価関数の研究–学習など

• logistello などが有名

対 αβ耐性(こんな言葉はありません、念の

ため )• αβ にやられてしまったゲーム

– チェッカー、オセロ、チェス、中国将棋、・・・

• ギリギリ持ちこたえているゲーム–将棋

• αβだけではどうにもならないゲーム–囲碁

DFPN など

???

ゲーム研究の意義

• 確かに、強くするのが研究目的であるが– αβは凄いが、それだけをやっているわけではない

• それだけじゃつまらない

–囲碁は難しいので、囲碁を強くすることができれば、自然と意義のある成果が生まれているはず

囲碁の難しさ

• 評価関数が存在することが αβ の前提

• 囲碁には適切な評価関数が無い– 静的に評価すると不正確

– 正確に評価するには探索が必要

ここの評価値が知りたい

さらなる探索が必要

現在、僕 (美添 )が取り組んでいるテー

マ• 単一の評価関数が作れない場合にどうやって探索を行うか–目指すものは、単純な評価関数の代わりに、

いろいろ自動的に探索したり評価したりしてくれる枠組みを作ること

• 単純な評価関数の組み合わせで評価し、依存関係の解決をする

• 単純な評価値では無い、確率分布のようなものを元に探索する

副産物λDFPN Search Algorithm

• 目標達成までの「手数」を考慮した探索アルゴリズム–証明数を用いた探索アルゴリズムと、 threat

という考え方を用いたアルゴリズムの融合–囲碁の捕獲探索について、過去のアルゴリズ

ムを凌駕する性能を発揮– 論文執筆中・・・締め切りは 6 月 30 日

計算量理論・暗号理論

永岡　悟（ M1 ）高橋　敏明（ M1 ）上野　賢哉（ M2 ）

領域計算量

今井研での最近の研究

秘密鍵暗号 対話証明系

量子領域計算量

L versus P

P versus PSPACE

PCP 定理

近似不可能性

ストリーム暗号

ブロック暗号

サイドチャネル攻撃 ゼロ知識証明

量子計算・通信

暗号理論

計算量理論

Unique Game Conjecture

一例として擬似乱数という観点から概観

確率的アルゴリズムの威力

• 素数判定問題（２、３、５、７、１１、１３・・・）– Solovay & Strassen 1977– Rabin 1980

• 無向グラフの連結性判定問題– Aleliunas, Karp, Lipton Lovasz & Rackoff

1979

Randomized Polynomial Time

Randomized Logarithm Space

近年のブレークスルー

Reingold 2005

Agrawal, Kayal & Saxena 2004

s

t

領域制約アルゴリズムの脱ランダム化

Nisan & Zuckerman の擬似乱数生成器• 長さ n のシードから n の多項式の長さの乱数列を生成• この乱数列は、どんな n領域限定のチューリングマシンからもランダムに見えてしまう（⇒だませる）

シード 乱数列

Randomized Linear Space

Deterministic Linear Space

Logarithm Spaceでも可能かは未解決

単純に作ると簡単にコピー可能

→擬似乱数を用いて安全に

擬似乱数

ストリーム暗号擬似乱数列と平文を

１ビットずつ XORし暗号化小規模で高速

携帯電話や Bluetoothで採用

ゼロ知識証明

パスワード等の秘密情報をそれ自体を相手に渡さずに保持していることを示す

パスポート、クレジットカード

デジタル署名

電子通貨

電子投票

擬似乱数と暗号の関係

5

6

1

3

4

2

12

3

4

5

6

証明者検証者

5

6

1

3

4

2

(1,4)

1.色の対応をランダムに置換

2.色情報を箱に入れ鍵をかけて送る

3.枝をランダムに１つ選んで送る

4. 対応する鍵を送る 5. 対応する箱を開

け異なることを比較

３彩色問題を使用したゼロ知識証明の例

擬似乱数生成とストリーム暗号

量子計算・通信との関連• 量子暗号を使うと秘密鍵を安全に通信できる

（どんなに強力な計算能力をもってしても破れない）• 量子計算では、素因数分解などを基礎とした公開鍵暗号系は破られてしまう

秘密鍵 乱数列

平文

暗号文

＋

＝

安全性•統計的乱数性 •非線形性 •無相関性 •長周期性 •線形複雑度

暗号文

乱数列

平文

＋

＝通信攻撃

秘密鍵

共有

ゲーム理論

加藤 公一、牟田 秀俊、西鳥羽 二郎

ゲーム理論とは… 複数の行為主体がいる 各主体が自分の利得が最大となるよう行動する 行動が状況や相手に影響を及ぼす

以上の特徴を持つモデルを分析する学問

実用的なおもしろさ ネットワーク解析

計算量的なおもしろさ Nash均衡点を求める難しさは？

とある囚人の話両方黙秘

両方とも 3 年片方のみが自白

自白した方 1 年 黙秘した方 10 年

両方自白 両方とも 8 年

Nash均衡と計算量

B:黙秘 B:自白

A:黙秘 3 , 3 10 , 1

A:自白 1 , 10 8 , 8

利得行列 ( 囚人のジレンマ ):

Nash均衡と計算量

B:黙秘 B:自白

A:黙秘 3 , 3 10 , 1

A:自白 1 , 10 8 , 8

利得行列 ( 囚人のジレンマ ): Bさんが黙秘なら

Aさんは自白 Bさんが自白なら

Aさんは自白結局 Aさんは自白

Nash均衡と計算量

B:黙秘 B:自白

A:黙秘 3 , 3 10 , 1

A:自白 1 , 10 8 , 8

利得行列 ( 囚人のジレンマ ):

Nash均衡点

同様に考えると Bさんも自白

Aさんは自白だった 結局自白 ×自白に落ち着く

二行二列は簡単じゃあ巨大なら？

Nash均衡点を求める多項式時間アルゴリズムはあるのか？

OPEN

Nash均衡と計算量

B:黙秘 B:自白

A:黙秘 3 , 3 10 , 1

A:自白 1 , 10 8 , 8

利得行列 ( 囚人のジレンマ ):

Nash均衡点

研究テーマの例計算量

最適化、凸多面体Nash均衡

Open Problem:Nash均衡を求める問題の計算量(P と NP の間 ?)

ユーザーが利己的な時のスループットの解析

ネットワーク解析

他の均衡点市場解析等

Nash均衡を求める問題は線形相補性問題で表せる

量子計算・量子情報

背景

量子効果による高速化への限界

量子効果を積極的に利用した計算原理

Shor のアルゴリズム素因数分解

Grover のアルゴリズム非ソートデータの検索

古典の場合と準指数的なギャップ

RSA 暗号が破られる　　

量子暗号

古典暗号だとRSA など

計算量的安全性量子計算機を用いて

破られる可能性

量子暗号

量子暗号だと

物理的安全性

隠れ部分群問題入力：群 G と G を定義域とする関数 f

fには G の部分群 H に関する制約があり、

fの入力と出力から H を求めたい

Shor のアルゴリズムの基本部分はG が巡回群の隠れ部分群問題

G

…

f

S

H g1H gkH

量子ウォーク一言で言えばランダムウォークの量子版

しかしその性能は全く違う

古典だと

量子だと d 22d

・・・

Glued Tree

ランダムウォークの機能を持ったロボットが左から右に移動するのに・・・

Start goal

対話証明

このような計算モデルで量子の場合の計算能力を見る

その他の今井研での研究

量子計算

量子情報

隠れ部分群問題を解く量子アルゴリズム

ノイズの下での量子計算の理論，数値解析

量子誤り訂正符号の構築，性能評価

Bell不等式の列挙，破れの発見

計算量

計算幾何

符号理論

量子通信路容量・量子エントロピー

最短ベクトル発見アルゴリズム

領域に制限の付いた量子計算量

グラフの量子彩色数群論

量子暗号の性能評価

情報理論

グラフ理論

関連する他の分野

量子情報幾何 情報幾何

他の研究機関との関連

今井研

ERATO-SORST量子情報システムアーキテクチャ

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