2006. január 6.

Telefonos feladat

Bandi hétfőn, kedden és szerdán mindig igazat mond, a hét többi napján mindig hazudik. Matyi csütörtökön, pénteken és szombaton mond igazat és a hét többi napján hazudik. Egy napon mindketten azt mondták: „Holnap hazudni fogok.” Milyen nap volt ekkor?

1. feladat Két egyenes körkúp úgy helyezkedik el, hogy alapköreik párhu-zamosak, és mindegyik csúcsa a másik alapkö-rének középpontjába esik egymástól m tá-volságra. Mekkora a kúpok közös részének a térfogata, ha alapköreik sugara R és r ?

A közös rész V térfogata:

3

2

dxV

3

2

mx

3

)(2

dmx

3

222

dxmxdx

A közös rész V térfogata:

3

2

mxV

,m

d

r

x

m

dm

R

x

R

x

r

x

RrrxRx rR

Rrx

3

2

m

rR

RrV

m

dmd 1

2. feladat

Egy n oldalú konvex sokszög alapú egyenes

hasáb testátlóinak a száma, lapátlóinak száma,

valamint a csúcsok száma valamilyen sorrendben

egy számtani sorozat egymást követő tagjai. Hány

oldalú a sokszög?

Csúcsok száma: 2n

Lapátlók száma:

2

)3(2

nn

nnn 2)3(

Testátlók száma:

2

)3(2 nn)3( nn

n2

nC 2 nnnL 2)3( )3( nnT

TLC

2

vagy CLT

2

)3(2

2)3(2

nn

nnnn

32

1

n

n

7n

nnnnnn

22

2)3()3(

22

42

n 4n

3. feladat

Egy kocka minden sarkát levágtuk egy, a

kérdéses csúcsba futó élek ezen csúcshoz

közelebbi harmadoló pontján átmenő síkkal.

Az így visszamaradt test felszíne hány %-a az

eredeti kocka felszínének ?

2

1

3

141

2

9

7

9

21

9

42

9

76

4

3

3

22

3

14

18

3

36

32

18

38

9

34

6

1

9

34

3

14

9060,0 % 6,90

3

RTV ABC

ABCO

3

RTV BCD

BCDO

3

RTV ACD

ACDO

3

RTV ABD

ABDO

3333

RTRTRTRT ABDACDBCDABC

V

VTTTTR ABDACDBCDABC 3)( A

VR

3

Melyik az az abcd négyjegyű szám, amelyre

2006 aababcabcd

Házi feladat