Lokacijski modeli

2. LOKACIJSKI MODELI Lokacijski problemi Teorija lokacije posvećena je formulaciji i rešavanju lokacijskih problema; tj. gde da se locira objekat ili sistem. Literatura obiluje radovima koji su posvećeni ovoj problematici. Smatra se da je teoriju lokacije u skladišnu problematiku prvi formalno uveo Alfred Weber (1909), koji je razmatrao problem lociranja jednog skladišta sa ciljem minimiziranja ukupnog pređenog rastojanja između skladišta i skupa prostorno distribuiranih korisnika, dok se u literaturi posvećenoj lokacijskim problemima generalno, ova problematika povezuje sa radom znamenitog matematičara Ferma (XVII vek) koji je u svom radu postavio sledeći problem: Za zadate tri tačke u ravni pronaći četvrtu, tako da zbir rastojanja između četvrte tačke i datih triju tačaka bude minimalan. Generalno lokacijski problemi se odnose na određivanje mesta ili pozicije servisnog objekta ili grupe objekata u zadanom prostoru koji opslužuju prostorno distribuirani skup korisnika. Kao tipični kriterijumi za takve odluke pojavljuju se:

• Minimizacija srednjeg vremena putovanja ili rastojanja između korisnika i servisnog objekta, (Medijan problem ili "minisum" – ovaj pristup je najčešći u logistici i primenjuje se pri rešavanju velikog broja lokacijskih problema.

o Minimizacija srednjeg vremena odziva, o Minimizacija troškova puta i vremena odziva,

• Minimizacija maksimalnog vremena puta (Centar problem ili "minimax" – Primer je problem lociranja stanice hitne pomoći, vatrogasnih jedinica idr.

• Maksimizacija minimalnog vremena puta i dr. (Problem Anti centar ili "maximin") Tipičan primer su problemi lociranja deponije za otpad, skladišta opasnih roba i sl.

Rešavanje lokacijskih problema je od velike važnosti za čitav logistički sistem (utiče na formu, strukturu i oblik sistema). Rešavanje lokacijskih problema spada u strateški tip odluka i može se odnositi na određivanje broja, lokacije i veličine (kapaciteta) različitih objekata – kao što su fabrike, luke, veleprodajni i maloprodajni objekti, različiti tipovi skladišta i uslužni centri. Klasifikacija lokacijskih problema Lokacijski problemi se mogu klasifikovati na više načina, a neki od njih su: - prema uticajnim faktorima – na izbor lokacije objekta najčešće utiču više faktora, koji imaju

različite važnosti i zavise od tipa objekta i njegovog mesta i uloge u posmatranom sistemu; na primer, u slučaju izbora lokacije: o fabrike ili skladišta, dominantni su ekonomski faktori (na primer, cena zemljišta, takse, troškovi

izgranje i slično);

o maloprodajnih objekata dominantni takođe ekonomski faktori, jer na troškove i potencijalni profit u mnogome utiče mesto na kome se nalazi objekat

o objekata kao što su bolnice, banke, službe održavanja dominantna je pristupačnost (rastojanje) od korisnika i u ovom slučaju se ne mogu lako odrediti prihodi i troškovi

1

Lokacijski modeli

- u odnosu na broj objekata koji je potrebno odrediti – lokacijski problemi se mogu odnositi na izbor lokacije jednog ili više objekata jednovremeno

- prema izboru diskretizacije – postoje metodi koji o uzimaju u obzir sve moguće lokacije u prostoru (kontinualni lokacijski modeli) i

o omogućavaju izbor lokacije u odnosu na stvarno moguće (predložene) lokacije (diskretni lokacijski modeli) i oni se češće primenjuju, uglavnom pri izboru više lokacija

- u odnosu na pristupe i metode koje se koriste za izbor lokacije, gruba klasifikacija bi mogla biti: o kvalitativni – subjektivni modeli, bazirani na intuitivnom pristupu

o kvantitativni modeli – bazirani na kvantitativnim parametara (optimizacioni, heuristički modeli i sl.)

o hibridni modeli (mešavina kvalitativnih i kvantitativnih pristupa i modela)

- u odnosu na tip ciljne funkcije o jednokriterijumska,

o višekriterijumska

2.1. KVALITATIVNI MODELI U slučaju diskretnih lokacijskih modela, kada postoji određeni broj raspoloživih lokacija može se sprovesti odgovarajuća kvalitativna analiza. Ona se može sprovesti različitim tehnikama kao što je primena "check" lista i tehnika višekriterijumske analize 2.1.1 TEHNIKA TEŽINSKE FUNKCIJE (BODOVANJA) ZA IZBOR LOKACIJE JEDNOG OBJEKTA Metod izračunavanja lokacije je popularan, subjektivni alat za donošenje odluka koji se relativno lako koristi. Sastoji se iz sledećih koraka: 1. Formiranje liste svih važnih faktora (F) tj. kriterijuma koji imaju uticaj na odluke o izboru

adekvatne lokacije 2. Dodeljivanje odgovarajućih težina (w) za svaki faktor na osnovu relativne važnosti svakog

(w ima vrednost između 0 i 1) 3. Dodeljivanje bodova za svaku lokaciju obzirom na svaki faktor koji je identifikovan u koraku 1

(svakoj lokaciji se obično dodeli između 0 i 100 bodova) 4. Proračun težinskog rezultata za svaku lokaciju, koji se dobija množenjem njihovih težina sa

korespodentnim vrednostima bodova 5. Proračun sume težinskih rezultata za svaku lokaciju i izbor najpovoljnije lokacije na bazi

dobijenih rezultata (najpovoljnija lokacija ima najbolji skor).

Mada se korak 5 poziva na odluku o izboru lokacije na bazi težinskog rezultata, ovi rezultati se izvode na subjektivan način, a konačna odluka o izboru lokacije se mora doneti i na bazi objektivnih mera kao što su transportni troškovi, troškovi utovara i operativni troškovi. PRIMER 1. Jedna kompanija je nedavno dobila nekoliko velikih ugovora na teritoriji Srbije, tako da je nastala potreba za otvaranjem predstavništva na ovom područu. Zbog važnosti kvaliteta usluge korisniku, kompanija želi da bude što je moguće bliža svojim "korisnicima". Preliminarna istraživanja na bazi ispitivanja tržišta, transportnih tokova, zakonskih regulativa na republičkom i regionalnom nivou, razvijenosti infrastrukture, poslovne klime i

2

Lokacijski modeli

slično, pokazuju da su najpoželjnije lokacije u Beogradu, Kragujevcu i Nišu, između kojih treba odabrati jednu. Obzirom na date lokacije, 8 relevantnih faktora i njihovih vrednosti u odnosu na svaku predloženu lokaciju, genisan je preliminarni rezultat, prikazan u prvoj tabeli. Koristići kvalitativnu tehniku odrediti najpovoljniju lokaciju za predstavništvo kompanije.

Bodovi Težine Faktori Beograd Kragujevac Niš

0,25 Blizina korisnika 95 85 65 0,15 Cene zemljišta i izgradnje 70 90 85 0,15 Troškovi radne snage 65 80 75 0,10 Svojinske takse 70 70 70 0,10 Poslovne takse 75 80 80 0,10 Transportni sistem 95 80 65 0,08 Troškovi osiguranja 80 85 60 0,07 Servisi i službe 95 70 80

Tabela 1. Faktori i njihove težine za tri ponuđene lokacije

Težinski rezultati Faktor Beograd Kragujevac Niš

Blizina korisnika 23.75 21.25 16.25Cene zemljišta i izgradnje 10.5 13.5 12.75Troškovi radne snage 9.75 12 11.25Svojinske takse 7 7 7Poslovne takse 7.5 8 8Transportni sistem 9.5 8 6.5Troškovi osiguranja 6.4 6.8 4.8Servisi i službe 6.65 4.9 5.6Suma težinskih rezultata 81.05 81.45 72.15

Tabela 2. Rezultati sprovedene kvalitativne analize

Definisanjem samog zadatka završeni su koraci 1, 2 i 3 (tabela 1). U sledećem koraku je potrebno:

- izračunati težinski proračun za svaki par lokacija-faktor (korak 4),

- sabrati ove težinske rezultate i

- odrediti lokaciju na bazi dobijenih rezultata (korak 5).

Iz analize u tabeli, najveći broj bodova je dobila lokacija u Kragujevcu, što predstavlja rešenje zadatka. 2.2. KVANTITATIVNI MODELI

Postoje različite klasifikacije kvantitativnih modela u odnosu na broj objekata koji se locira, diskretizaciji, pristupu rešavanja itd. U daljem tekstu će biti obrađena primena kontinualnih i diskretnih modela za određivanje lokacije jednog objekta.

2.2.1 TEHNIKE KONTINUALNIH LOKACIJSKIH MODELA Kontinualni lokacijski modeli određuju optimalnu lokaciju za jedan ili više objekata u

3

Lokacijski modeli

dvodimenzionalnom prostoru. Očigledan nedostatak je što: - optimalna lokacija koju daje model ne mora biti najpogodnija - na primer, može biti na sred

vodene površine, reke, jezera ili mora,

- optimalna lokacija može biti područje na kome se zabranjuje takav objekat.

Uprkos tome, ovi modeli su veoma korisni zbog lakog iznalaženja rešenja. U slučaju da je optimalna lokacija nepogodna, dostupne su i tehnike koje daju najbližu pogodnu ili optimalnu lokaciju. Najpopularnije metode ovog tipa su: - Metod medijane

- Gravitacioni metod (metod centroida)

Pomenute metode pretpostavljaju da su poznate koordinate postojećih objekata u mreži (u praksi, koordinate se mogu dobiti preko GPS-a (geografska širina i dužina mesta) ili formiranjem mreže određene gustine koja se postavlja preko geografske karte područja koje se posmatra).

KORISNICI

FABRIKE

SKLADIŠTE

?MERA (FAKTOR)

Y

X Slika1. Primer formiranja mreže za određivanje koordinata postojećih objekata koji se trebaju opsluživati iz

skladišta

4

Lokacijski modeli

2.2.1.1. METOD MEDIJANE Metod medijane se koristi za probleme određivanja lokacije jednog objekta.

Minisum- označava pristup u kome se ciljna funkcija formira na način da se lociranje objekta realizuje na bazi minimizacije srednjeg rastojanja –troškova između objekat koji se locira i korisnika.

Nivoi razmatranja problema: - Na makro nivou, ovaj problem nastaje, na primer, kada se odlučuje gde locirati skladište koje

prima robu iz nekoliko fabrika koje imaju poznatu lokaciju ili koje treba distribuirati robu za mrežu maloprodajnih objekata.

- Na mikro nivou, ovaj problem nastaje na primer kada treba da se doda nova mašina u pogonu fabrike.

Razmotrimo distributivnu mrežu sa m maloprodajnih objekata. Zbog tržišnih razloga (na primer, povećane tražnje korisnika) poželjno je dodati još jedan objekat ovoj mreži. PROBLEM JE LOCIRATI NOV OBJEKAT KAKO BI SE MINIMIZIRALI UKUPNI TRANSPORTNI TROŠKOVI IZMEĐU POSTOJEĆIH I NOVOG OBJEKTA. Ako su za m objekata u mreži: - ci – jedinični troškovi transporta između postojećeg objekta i novog

- fi – veličina transportnog toka između postojećeg objekta i novog objekta (to može biti izraženo kao frekvencija transporta, količina i sl.)

- xi, yi - koordinate postojećeg objekta i

Funkcija cilja u modelu medijane je onda

min1

→⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+−⋅⋅= ∑

=

−−m

iiiii yyxxfcTC (1)

gde su: - TC ukupni troškovi transporta/distribucije i

- −x i optimalne koordinate lokacije novog objekta.

−y

Proizvod ci⋅fi je poznat za svaku lokaciju, tako da on odgovara težini wi koja je korespodentna objektu i. Samim tim, možemo uvesti sledeću smenu:

wi = ci⋅fi (2) pa funkcija cilja dobija sledeći oblik:

min11

→−⋅+−⋅= ∑∑=

−

=

− m

iii

m

iii yywxxwTC (3)

Minimum zbira jednak je zbiru minimuma

Optimalne koordinate −x i se mogu nezavisno odrediti jer se mogu razdvojiti i nezavisno

posmatrati izrazi za x i y jer:

−y

- ukupni troškovi TC (jednačina (3)) predstavljaju u stvari sumu troškova transporta u x i y smerovima;

- ove dve funkcije su nezavisne (rešenje jedne ne utiče na rešenje druge, a obe troškovne funkcije i za x i za y imaju isti oblik).

Shodno tome, jedan pristup u primeni ovog metoda se može bazirati na definisanju

5

Lokacijski modeli

sledećih koraka: Korak 1: Za datu listu postojećih objekata, poređati njihove koordinate x po neopadajućem redosledu.

Korak 2: Pronalaženje j-te koordinate po x na listi kreiranoj u koraku 1 u kojoj su kumulativne težine jednake ili prekoračuju polovinu ukupne težine:

∑∑=

−

=

<m

i

ij

ii

ww1

1

1 2 i ∑∑

==

≥m

i

ij

ii

ww11 2

(4)

Korak 3: Za datu listu postojećih objekata, poređati njihove koordinate y po neopadajućem redosledu.

Korak 4: Pronalaženje k-te koordinate po y na listi kreiranoj u koraku 3 u kojoj su kumulativne težine jednake ili prekoračuju polovinu ukupne težine:

∑∑=

−

=

<m

i

ik

ii

ww1

1

1 2 i ∑∑

==

≥m

i

ik

ii

ww11 2

(5)

Optimalna lokacija novog objekta je data preko j-te koordinate na x osi i k-te koordinate na y osi koje su identifikovane u koracima 3 i 5, respektivno. U koracima 3 i 5 algoritam određuje tačku u dvodimenzionalnom prostoru tako da je ne više od polovine troškova ukupnog transportnog toka sa leve ili desne tj. iznad ili ispod te tačke, pa optimalna lokacija novog objekta predstavlja tačku medijane. Dobijene koordinate se mogu podudatati sa x i y koordinatama dva različita postojeća objekta ili jednog postojećeg objekta. Tada, nov objekat mora da se pomeri na drugu lokaciju jer ne može biti lociran preko postojećeg. Za određivanje alternativnih pogodnih i optimalnih lokacija, neophodno je poznavati odgovarajuće metode (na primer, linijski konturni koncept). PRIMER 2. Jedno skladište treba da se locira u gradskom području, kako bi ga koristila 4 maloprodajna objekta (m.o.). Koordinate svakog maloprodajnog objekta su (xi,yi),a prosečan broj realizovane transportne opsluge u nedelji (fi) između svakog maloprodajnog objekta i skladišta na osnovu kojih treba da se odredi lokacija su dati u tabeli:

Broj m. o. X koordinata Y koordinata Jedinični transportni

troškovi (ci) Prosečan broj realizovane

transportne opsluge u nedelji (fi) 1 10 2 1 6 2 10 10 1 10 3 8 6 1 8 4 12 5 1 4

Pretpostavimo da putovanja počinju i završavaju u skladištu. Odrediti optimalnu lokaciju primenom modela medijane. Korak 1. Ređanje koordinata xi po neopadajućem redosledu.

Broj m. o. X (u neopadajućem redosledu) wi ∑=

j

iiw

1

3 8 8 8 1 10 6 14 2 10 10 24 4 12 4 28

Korak 2. Pronalaženje j-te koordinate kojoj su kumulativne težine jednake ili prekoračuju polovinu

6

Lokacijski modeli

ukupne težine:

∑∑==

≥m

i

ij

ii

ww11 2

što znači da je 142

281

=≥∑=

j

iiw

Kumulativne težine su jednake polovini ukupnih težina (14 = 14) u ovom slučaju na x = 10, što predstavlja optimalnu koordinatu.

Korak 3. Ređanje koordinata yi po neopadajućem redosledu.

Broj m. o. Y (u neopadajućem redosledu) wi ∑=

k

iiw

1

1 2 6 6 4 5 4 10 3 6 8 18 2 10 10 28

Korak 4. Pronalaženje k-te koordinate kojoj su kumulativne težine jednake ili prekoračuju polovinu ukupne težine:

∑∑==

≥m

i

ik

ii

ww11 2

što znači da je 142

281

=≥∑=

k

iiw

Kumulativne težine su veće od polovine ukupnih težina (18 > 14) u ovom slučaju na y = 6, što predstavlja optimalnu koordinatu.

Optimalne koordinate za lociranje novog objekta su (10, 6).

Ukupni transportni troškovi su:

cajnyywxxwTCm

iii

m

iii ..92

11=−⋅+−⋅= ∑∑

=

−

=

−

2.2.1.2. GRAVITACIONI METOD ili METOD CENTROIDA U nekim lokacijskim problemima funkcija rastojanja ne mora biti linearna, već nelinearna. Ako je kvadratna, onda je određivanje optimalne lokacije novog objekta jednostavno. U tom slučaju, funkcija cilja kod gravitacionog metoda za probleme određivanja lokacije jednog skladišta uz meru kvadratnog Euklidskog rastojanja se može zapisati na sledeći način:

∑=

−−

− ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+⋅⋅=

m

iiiii yyxxfcTC

1

22 )()( → min, gde su (6)

- ci – jedinični troškovi transporta između postojećeg objekta i novog

- fi – veličina transportnog toka između postojećeg objekta i novog objekta (to može biti izraženo kao frekvencija transporta, količina i sl.)

- xi, yi - koordinate postojećeg objekta i, pri čemu imamo ukupno m objekata u mreži

Proizvod ci⋅fi je poznat za svaku lokaciju, tako da on odgovara težini wi koja je korespodentna objektu i. Samim tim, možemo uvesti sledeću smenu:

wi = ci⋅fi (7)

pa funkcija cilja dobija sledeći oblik:

7

Lokacijski modeli

∑∑=

−

=

−

−⋅+−⋅=m

iii

m

iii yywxxwTC

1

2

1

2 )()( → min (8)

Ciljna funkcija se može prikazati kao konveksna, pa se zbog toga parcijalnom diferencijacijom TC

po −x i te dve jednačine izjednačavaju sa nulom i rešavaju po

−y

−x i :

−y

0221 1

=⋅−⋅=∂

∂ ∑ ∑= =

−

− i

m

i

m

iii xwxw

x

TC (9)

∑

∑

=

=−

⋅= m

ii

m

iii

w

xwx

1

1 (10)

0221 1

=⋅−⋅=∂

∂ ∑ ∑= =

−

− i

m

i

m

iii ywyw

y

TC (11)

∑

∑

=

=−

⋅= m

ii

m

iii

w

ywy

1

1 (12)

Optimalne koordinate lokacije −x i predstavljaju težinske proseke x i y koordinata postojećih

objekata i zbog primene kvadratnog euklidskog rastojanja ne dobija se optimalna vrednost koordinata.

−y

Za određivanje optimalne lokacije primenom gravitacionog metoda za izračunavanje rastojanja između dve tačke treba se koristiti mera euklidskog rastojanja u funkciji cilja, pa onda funkcija cilja dobija sledeći oblik:

∑∑==

⋅=−+−⋅=m

iii

m

iiiii dwyyxxfcTC

11

22 )()( → min (13)

U tom slučaju, −x i onda mogu da se izračunaju kao:

−y

∑

∑

=

=−

⋅

= m

i i

i

m

i i

ii

dwd

xw

x

1

1 (14) ∑

∑

=

=−

⋅

= m

i i

i

m

i i

ii

dwd

yw

y

1

1 (15)

Ovaj metod određivanja optimalne lokacije se popularno naziva CENTAR GRAVITACIJE ili METOD CENTROIDA.

Ako je optimalna lokacija određena gravitacionim metodom nepogodna, mogu se ponovo izvući konture linija bliskih tačaka kako bi se našla pogodna lokacija, bliska optimalnoj. Konturne linije se mogu formirati kao krug koji prolazi kroz te bliske tačke pod uslovom da je optimalna lokacija

centar kruga. Tako, ako gravitacioni model daje optimalnu lokaciju ( −x ,

−y ) koja nije pogodna za

nov objekat, nalazi se bilo koja pogodna tačka (x,y) koja ima najkraće Euklidsko rastoja je do

(−

n

x ,−y ) i locira se nov objekat u tački (x,y).

Rastojanje između početnih i novo dobijenih koordinata se može izračunati kao:

22 )()( yyxxKd iii −+−= (16)

gde je K – korektivni faktor rastojanja

K = 1,21 – za kretanje vozila na autoputevima, na primer

K = 1,24 – za kretanje železničkih vozila

K = 1,41 – za kretanje vozila po gradskim saobraćajnicama

KORACI IZRAČUNAVANJA OPTIMALNE LOKACIJE

8

Lokacijski modeli

1. Odrediti vrednost X i Y koordinate, cenu transporta i frekvenciju dopreme/otpreme.

2. Izračunati aproksimativne vrednosti −x I , bez uključivanja rastojanja.

−y

∑

∑

=

=−

⋅= m

ii

m

iii

s

w

xwx

1

11

∑

∑

=

=−

⋅= m

ii

m

iii

s

w

ywy

1

11

3. Izračunati rastojanja di na bazi prethodno izračunatih koordinata

21

211 )()( sisii yyxxKd −+−=

4. Izračunati ukupne troškove u prvoj iteraciji

∑∑==

⋅=−+−⋅=m

iii

m

isisiiis dwyyxxfcTC

11

1

21

211 )()(

5. Izračunati nove vrednosti za koordinate −x i uzimajući u obzir rastojanja.

−y

∑

∑

=

=−

⋅

= m

i i

i

m

i i

ii

s

dwd

xw

x

1

12

∑

∑

=

=−

⋅

= m

i i

i

m

i i

ii

s

dwd

yw

y

1

12

6. Preračunati vrednost rastojanja

22

222 )()( sisii yyxxKd −+−=

7. Izračunati ukupne troškove u drugoj iteraciji

∑∑==

⋅=−+−⋅=m

iii

m

isisiiis dwyyxxfcTC

12

1

22

222 )()(

8. Ponovljati korake 5, 6 i 7 do trenutka kada se vrednosti koordinata ne ustale

9. Na kraju izračunati ukupne troškove za optimalnu lokaciju. PRIMER 3: Jedno skladište treba da se locira u gradskom području, kako bi ga koristila 4 maloprodajna objekta. Koordinate svakog maloprodajnog objekta su (x,y),a prosečan broj realizovanih transporta u nedelji (fi) između svakog maloprodajnog objekta i skladišta na osnovu kojih treba da se odredi lokacija su dati u tabeli. Pretpostavimo da transport počinje i završava se u svakom maloprodajnom objektu. Troškovi transporta ci = 1. Odrediti optimalnu lokaciju. Pretpostavimo da se kao mera rastojanja koristi kvadratno Euklidsko. Odrediti lokaciju novog objekta primenom gravitacionog metoda.

Iz tabele u kojoj su izračunate vrednosti ∑∑ ∑i

ii i

ii,ii wi,ywxw

Odeljenje i xi yi wi wixi wiyi

1 10 2 6 60 12 2 10 10 10 100 100 3 8 6 8 64 48 4 12 5 4 48 20

Ukupno 28 272 180

9

Lokacijski modeli

preko formule za −x i zaključujemo da su optimalne koordinate (

−y

−x , ):

−y

−x =272/28=9,7 i =180/28=6,4

−y

Ako ova lokacija nije odgovarajuća, nalazi se druga odgovarajuća tačka koja je najbliža tački (9,7;6,4) mereno kvadratnim Euklidskim rastojanjem i to je pogodna lokacija za nov objekat.

PRIMER 4. Date su 2 fabrike koje snabdevaju skladište, a skladište snabdeva 3 distributivna centra. Fabrika P1 isporučuje proizvod A, a fabrika P2 isporučuje proizvod B. Distributivni centri potražuju oba proizvoda. Za fabrike i distributivne centre su poznate koordinate. Potrebno je pronaći optimalnu lokaciju za skladište tako da se minimiziraju transportni troškovi. U tabeli su dati i podaci o količinama koje se potražuju, kao i frekvencije dopreme/otpreme.

Tačka Proizvodi Ukupne količine Jedinični troškovi transporta

Koordinata X

Koordinata Y

P1 A 2000 0,050 3 8 P2 B 3000 0,050 8 2 DC1 AB 2500 0,075 2 5 DC2 AB 1000 0,075 6 4 DC3 AB 1500 0,075 8 8

Preko formule za −x i se izračunavanju optimalne koordinate (

−y

−x , ):

−y

Xi Yi fi Ci Wi WiXi WiYi di1 TC1

3 8 2000 0,05 100 300 800 3,552182 355,21 8 2 3000 0,05 150 1200 300 4,263567 639,53 2 5 2500 0,075 187,5 375 937,5 3,165122 593,46 6 4 1000 0,075 75 450 300 1,448447 108,63 8 8 1500 0,075 112,5 900 900 4,002249 450,25 625 3225 3237,5 2147,18

Optimalne koordinate za skladište su: −x s1 = 3225/625 = 5,16 i

−y s1 = 3237,5/625 = 5,18

Izračunavanje pređenog rastojanja di1:

21

211 )()( sisii yyxxKd −+−= , a ovom zadatku je K = 1

Za dobijanje tačnijeg rešenja, sprovodi se ostatak procedure, i to iterativno. U sledećoj iteraciji se dobija:

Xi Yi Wi/di1 WiXi/di1 WiYi/di1 di2 TC2

3 8 28,15 84,45 225,21 3,58 357,998 2 35,18 281,45 70,36 4,26 638,482 5 59,24 118,48 296,20 3,04 569,666 4 51,78 310,68 207,12 1,43 107,188 8 28,11 224,87 224,87 4,18 469,80 202,46 1019,94 1023,77 2143,12

Nove optimalne koordinate su: −x = 1019,94/202,46 =5,04 i =1023,77/202,46 = 5,06

−y

Izračunavanje transportnih troškova TC: TC2 = 2143,122 transportni troškovi su manji, tako da se do optimalnog rešenja dolazi iteracijom – sve dok se ne ustale troškovi (ne mogu se daljim koracima smanjivati). Za dati primer, optimalno rešenje se dobija u 100-toj iteraciji, gde su vrednosti x i y koordinate: 4,910 i 5,058, respektivno, dok su ukupni troškovi 2142,514 novčanih jedinica (PRIMER PROGRAMA COG U PAKETU LOGWARE)

10

Lokacijski modeli

11

Lokacijski modeli

2.3 HIBRIDNA ANALIZA - višeatributni lokacijski model za određivanje lokacije jednog skladišta Nedostatak kvalitativne metode leži u tome što se lokacija bira isključivo na bazi subjektivne procene. Mada kvantitativni metodi prevazilaze ove nedostatke, oni ne dozvoljavaju korišćenje kvalitativnih faktora koji imaju velikog udela na donošenje odluka o izboru lokacije. Na primer, kvantitativna tehnika može lako uzeti u obzir transportne i operativne troškove, ali neodređene faktore, kao što su stav okruženja po pitanju nekog posla, problemi sa radnom snagom, i uticaj konkurencije nije lako uvrstiti. Potreban nam je metod koji obuhvata ciljeve koji se sastoje i iz kvantitativnih i iz ostalih fakora. Ovde se razmatra višeatributni lokacijski model za određivanje lokacije jednog skladišta. U ovom modelu se klasifikuju ciljevi i različiti faktori koji su bitni za određeni problem lokacije, kao što su: - kritički - objektivni - subjektivni Značaj poslednja dva faktora je očigledno, ali značaj kritičkih faktora traži dodatna objašnjenja. Za svaku odluku o izboru lokacije, najmanje jedan faktor determiniše to da li će ili ne lokacija biti uzeta u obzir u sledećim koracima. Na primer, u proizvodnim procesima neminovno je koristiti vodu (kao u pivarama), tako da lokacije koje nemaju adekvatno snabdevanje vodom - sada ili u budućnosti, automatski se ne uzimaju u obzir. Sa aspekta skladišta, na primer je bitna raspoloživost zemljišta na kome će se graditi objekat – ako na nekoj od posmatranih lokacija nema parcele tražene veličine (uzimajući u obzir potencijalnu potrebu za proširenjem skladišnog objekta u budućnosti ili potrebu za izgradnjom nekih dodatnih objekata ili saobraćajne infrastrukture), ta lokacija će biti odbačena iz razmatranja. Neki faktori mogu biti objektivni i kritički ili subjektivni i kritički. Na primer, adekvatnost veština radne snage može biti isto tako i kritički i subjektivni faktor. Pretpostavimo da imamo m kandidatskih lokacija i p kritičkih, q objektivnih i r subjektivnih faktora. Potrebno je da kvantifikujemo mere kritičkih (CFMi), objektivnih (OFMi) i subjektivnih faktora (SFMi) za svaku lokaciju. Ako su CFij vrednosti kritičkog faktora j na lokaciji i, pri čemu se te vrednosti određuju na sledeći način:

CFij1 - ako lokacija i zadovoljava kritički faktor j0 - u suprotnom slučaju

mera kritičkih faktora za lokaciju i je:

∏=

==⋅⋅⋅=p

jijipiii miCFCFCFCFCFM

121 ,...,2,1,...

Ako su OFij troškovi objektivnog faktora j na lokaciji i, mera objektivnih faktora za lokaciju i je:

m,...,2,1i,OFminOFmax

OFOFmaxOFM

q

1jiji

q

1jiji

q

1jij

q

1jiji

i =

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

=

∑∑

∑∑

==

==

Ako su SFij vrednost subjektivnog faktora j za lokaciju i (vrednost ovog faktora je u intervalu između 0 i 1), a wj težina dodeljena subjektivnom faktoru j (0 ≤ wj ≤ 1), mera subjektivnih faktora za lokaciju i je:

∑=

=⋅=r

jijji miSFwSFM

1,...,2,1,

Lokacijska mera LMi, kao mera koja respektuje sve tri vrste faktora za svaku lokaciju se izračunava kao:

12

Lokacijski modeli

[ ]iiii SFMOFMCFMLM ⋅−+⋅⋅= )1( αα gde je α težina dodeljena meri objektivnog faktora. Ako makar jedan kritički faktor ne zadovoljava lokaciju i, onda CFMi , a onda i LMi postaju jednaki nuli. Vrednosti OFMi se izračunavaju tako da lokacija za maksimumom ΣjOFij dobija u OFMi vrednost nula a ona sa minimalnim ΣjOFij dobija vrednosu u OFMi jednicu. Četvrta jednačina pretpostavlja da su objektivni faktori troškovni. Ako je bilo koji od ovih faktora profitan, mora se dati znak negativnosti ispred takvog faktora u toj jednačini. Ovo se može primenjivati jer maksimiziranjem funkcije linearnog profita z je isto što i minimiziranje (-z). U primeru je pokazano kako i profitni i troškovni faktori, kao i subjektivne mere mogu biti sastavni deo istog modela. Po određivanju LMi za svakog lokacijskog kandidata, u sledećem koraku se odabira ona sa najvećom vrednošću LMi. Zbog subjektivne dodele vrednosti α od strane korisnika, bilo bi dobro da korisnik vrednuje LMi vrednosti za odgovarajuće težine α , analizira odnose između objektivnih i subjektivnih mera i izabere lokaciju na osnovu ovih analiza. PRIMER 5 Jedna kompanija vrednuje 6 kandidatskih lokacija – Vršac, Kraljevo, Čačak, Beograd, Niš, Smederevo - za nov proizvodni objekat. Menadžment želi da u sistem donošenja odluka uključi 2 kritička, 3 objektivna i 4 subjektivna faktora (dato u tabeli). Težine subjektivnih faktora su takođe date u tabeli. Odrediti najbolju lokaciju ako subjektivni faktori imaju veću težinu za 50% od objektivnih faktora.

Kritički Objektivni Subjektivni

Sna

bdev

anje

vo

dom

Stim

ulac

i-ja

taks

ama

Prih

odi

Troš

kovi

ra

da

Troš

kovi

en

ergi

je

Sta

v dr

uštv

a 0,

3

Pog

odno

sti

trans

porta

0,

4

Isko

rišće

nje

radn

e sn

age

0,25

Pod

rška

sl

užbi

0,

05

Vršac 0 1 185 80 10 0,5 0,9 0,6 0,7 Kraljevo 1 1 150 100 15 0,6 0,7 0,7 0,75 Čačak 1 1 170 90 13 0,4 0,8 0,2 0,8 Beograd 1 0 200 100 15 0,5 0,4 0,4 0,8 Niš 1 1 140 75 8 0,9 0,9 0,9 0,55 Smederevo 1 1 150 75 11 0,7 0,65 0,4 0,8

U ovom slučaju možemo izabrati vrednost α = 0,4 tako da težina subjektivnih faktora (1-α = 0,6) je 50% veća od objektivnih faktora. Radi određivanja OFMi, prvo se određuju vrednosti ΣjOFij kako je i prikazano u tabeli, a onda se ustanovljavaju njihovi maksimumi i minimumi, koji su -35 i -95 respektivno. Iz ove dve vrednosti lako je proračunati OFMi preko druge jednačine. Na primer, za lokaciju u Čačak:

53.0)95(35)67(35OFM =

−−−−−−

=

Slično se određuju vrednosti SFMi za svaki red u tabeli koristeći informaciju iz poslednjih 4 kolona i treće jednačine. Još jednom, za lokaciju u Čačku: SFM = 0,3⋅0,4 + 0,4⋅0,8 + 0,25⋅0,2 + 0,05⋅0,8 = 0,53

Koristeći vrednosti CFMi, OFMi i SFMi, dobijamo lokacijsku meru LMi preko četvrte jednačine. Vrednosti su prikazani u tabeli.

Kritički Objektivni Subjektivni

Sna

bdev

a-nj

e vo

dom

Stim

ulac

i-ja

taks

ama

Prih

odi

Troš

kovi

rada

Troš

kovi

en

ergi

je

Sum

a ob

jekt

ivni

h fa

ktor

a

Sta

v dr

uštv

a 0,

3

Pog

odno

sti

trans

porta

0,

4

Isko

rišće

nje

radn

e sn

age

0,25

Pod

rška

sl

užbi

0,

05

SFM

i,

LMi

Vršac 0 1 185 80 10 -95 0,5 0,9 0,6 0,7 0,7 0 Kraljevo 1 1 150 100 15 -35 0,6 0,7 0,7 0,75 0,67 0,4 Čačak 1 1 170 90 13 -67 0,4 0,8 0,2 0,8 0,53 0,53 Beograd 1 0 200 100 15 -85 0,5 0,4 0,4 0,8 0,45 0 Niš 1 1 140 75 8 -57 0,9 0,9 0,9 0,55 0,88 0,68 Smederevo 1 1 150 75 11 -64 0,7 0,65 0,4 0,8 0,61 0,56

13

Lokacijski modeli

2.4 SET COVERING PROBLEM Set Covering Problem (SCP) se primenjuje kada je neophodno obezbediti da svaki korisnik bude "pokriven" najmanje jednom altenativom, odnosno najmanje jednom mogućnošću za ispunjenje njegovog zahteva, pri čemu se postavlja cilj opsluge tih korisnika sa mnimalnim troškovima. Korisnici mogu biti vatrogasne stanice, domovi zdravlja, policijske stanice, studentski domovi, skladišta sa svojoj maloprodajnom mrežom i slično.

U principu, ako opsluga može biti realizovana - u više varijanti, problem se naziva »Set Covering Problem”

- samo na jedan način, problem se naziva “Set Partitioning Problem”

Set Covering i Set Partitionong problemi zbog svoje bliskosti mogu biti rešeni na isti način.

Set Covering problemi spadaju u grupu modela celobrojnog programiranja, pri čemu su parametri obično: - Cj - troškovi lociranja objekta na mestu j

- m – broj korisnika

- n – broj objekata

- ⎩⎨⎧

asituacijamostalimsvimu,0klijentapokritimožemestunalociranobjekatako,1 ij

aij

- ⎩⎨⎧

asituacijamostalimsvimu,0mestunalociranobjekatako,1 j

x j

Funkcija cilja za minimiziranje troškova lociranja zahtevanog broja objekata kod SCP se može formulisati na sledeći način:

- min ∑=

n

jjj xc

1min

U SCP se postavljaju sledeća ograničenja:

- svaki klijent treba da je "pokriven" najmanje jednim objektom ∑=

=≥n

jjij mixa

1,...,2,11

{ } njx j ,...,2,11,0 =∈

Načini rešavanja modela - branch and bound tehnika – tehnika grananja i ograničavanja (problem – za veće probleme potrebno

mnogo vremena)

- greedy algoritam – gramzivi algoritam (efikasno dolazi do rešenja, uz pretpostavku da je:

njc j ,...,2,1,0,0 =≥

- heuristički pristup rešavanju modela

2.4.1 HEURISTIČKI PRISTUP REŠAVANJA SET COVERING PROBLEMA Set covering problem se može rešavati heuristički u nekoliko koraka:

Korak 1. Ako je Cj = 0 za svako j =1, 2,..., n, dodeliti jedinicu xj = 1 i uklonti sva ograničenja u kojima se Xj pojavljuje sa koeficijentom +1.

Korak 2. Ako je Cj > 0 , za bilo koje j =1, 2, ... , n i xj, se ne pojavljuje sa koeficijentom +1 ni u jednom preostalom ograničenju, dodeliti mu vrednost xj=0.

14

Lokacijski modeli

Korak 3. Za sve preostale promenljive, utvrditi odnos cj/ dj, gde je dj broj ograničenja u kojima se xj pojavljuje sa koeficijentom +1. Promenljivoj k čiji je količnik Ck/dk najmanji, dodeliti xk = 1 i ukloniti sva ograničenja u kojima se xk pojavljuje sa koeficijentom +1. Potom rešiti dobijeni model.

Korak 4. Ako nema više ograničenja, svim ostalim promenljivama dodeliti vrednost 0, što označava i rešenje problema. Ukoliko imajoš ograničenja, ići na korak 1. Primer 6 – zadatak iz seminarskog rada Nikole Todorovića

Trgovinsko preduzeće želi da otvori više maloprodajnih objekata na teritoriji grada Arandelovca, sa namerom da pokrije svu teritoriju grada i da svaki klijent bude u mogućnosti da do njihovog objekta stigne u roku od 15 minuta. Grad Aranđelovac podeljen je na 14 gradskih blokova. Maloprodajni objekti mogu biti locirani u centm svakog bloka, a troškovi lociranja u svakoj zoni iznose 70, 70, 80, 85, 85, 90, 85, 100, 105, 100, 85, 95, 90, 80 hiljada novčanih jedinica. Potrebno je formulisati Set covering problem da bi se utvrdile lokacije maloprodajnih objekata i troškovi njihovog lociranja.

15

Lokacijski modeli

16

Lokacijski modeli

17

Lokacijski modeli

Primer 7 – zadatak iz seminarskog rada Nikole Todorovića

1

2

3

4

5

7

6

8

9

10

11 13

12

14

15

16

18

Lokacijski modeli

19

Lokacijski modeli

20