2007 matematika kljuc

МатематикаТест 3

Кључ за оцењивање

ОПШТЕ УПУТСТВО ЗА ОЦЕЊИВАЊЕ

Кључ за оцењивање дефинише начин на који се оцењује сваки поједини задатак. У општим упутствима за оцењивање дефинисане су оне ситуације које могу да се јаве у одговорима на различита питања, а која је важно да сви оцењивачи реше на јединствен начин.

1. Задатак са исправним поступком и тачним Резултатом (одговором) добија максимални број поена без обзира да ли је рађен на други начин од оног који предвиђа кључ.

2. Бодови се не одбијају ако тачан Резултат (решење, одговор) није уписан у кућицу предвиђену за Резултате.

3. Задатак у коме се појављује мерна јединица добија максималан број поена чак иако та јединица није написана.

4. Максималан број поена добија се за тачно урађен задатак у чијем решењу постоји слика (или цртеж) иако та слика (цртеж) није урађена, осим ако се то изричито тражи.

5. Бодови се не одбијају ако је цртеж у задатку тачно урађен графитном оловком.

6. Прегледач уписује бодове у предвиђену кућицу поред задатка. За погрешно урађен задатак у кућицу уписати нулу, а за неурађен задатак уписати црту.

7. Уколико је ученик написао тачан Резултат (решење) а није урадио поступак у задацима у којима је поступак потребан, добија нула поена.

8. Уколико је ученик уочио грешку и прецртао део поступка и након тога урадио тачно задатак, добија максималан број поена предвиђених за тај задатак.

9. Број � се мора уписивати и током израде задатка и у одговору ако је то у тексту назначено.

МАТЕМАТИКА ТЕСТ 3 СРПСКИ

�

Место за рад:


1.1 бод

1. РЕАЛНИ БРОЈЕВИ

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

5

1.

Скуп природних бројева је N = {1, 2, 3, 4,…}.

Скуп целих бројева је Z = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4,…}.

Рационални бројеви су сви бројеви који се могу представити у облику pq

, pZ,

qN.

Ако су представљени у децималном запису, рационални бројеви имају коначанброј децимала, или се те децимале периодично понављају.

Дакле, скуп рационалних бројева је Q = ,p p qq

Z N .

Бројеви који не могу бити представљени у облику разломка (тј. имају бесконачаннепериодичан децимални запис) називају се ирационални бројеви. Такви су, например: 2 , 3 , 2 1 . Унија скупа рационалних и скупа ирационалних бројеваје скуп реалних бројева. Он се обележава са R.

Апсолутна вредност реалног броја је, 0, 0

a aa

a a

.

1. Наћи наjвећи заједнички делилац и најмањи заједнички садржалац за следеће бројеве:

А) 180 и 2100;

Б) 46, 69 и 92.

2. А) Наћи све просте заједничке делиоце бројева 1260 и 120.

Б) Разломак 1201260

представити у облику pq

при чему су p и q узајамно прости

бројеви.

3. Из скупа 13; ; 0; 1,73; 2; 0,333...; 16;6

издвојити рационалне и

ирационалне бројеве.

А) Рационални бројеви су: _______________________________ .

Б) Ирационални бројеви су: ______________________________ .

4. Дат је скуп 20,004; 3 ; 15; 0,04; 12; 15,53

А) Најмањи број овог скупа је _____________ .

Б) Највећи број овог скупа је ______________ .

2.

2. СТЕПЕН И КВАДРАТНИ КОРЕН––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

9

24. Израчунати2 3 2 2

2

3 5 2 315 6

.

25. Израчунати2 2

5

81 3 : 273 9

.

26. Упоредити бројевне вредности израза:

А) 323 и 232 ;

Б) 34 и 72 ;

В)301

4

и201

8

.

27. Израчунати:

А)7 5

7 5

3 33 3

;

Б)8 5

8 5

2 22 2

.

28. Упростити изразе:

А) 12a6b3c : (–3a2b) (a 0, b 0);

Б) –4a3b3c : (2ab2c) (a 0, b 0, c 0).

29. Упростити израз

34 3 5

35 2

:

:

x x x

x x

(x 0).


323

4 3

22

aa b

(a 0, b 0).

31. Израчунати вредност израза 3 2

2 3

2 22 2

.


А) 2 3 5a a a ;

Б) 2 32 3x x x x .


А)6 2 1

3 5

3 33 3

n n

n n

;

Б)2 1

6 5

82

n

n

.

1 бод

1.

�

1.

1. ) � �1�0 � � �= ⋅ ⋅ � ��100 � � � �= ⋅ ⋅ ⋅ , ( ) �180, 2100 2 3 5 60= ⋅ ⋅ =

( ) � � �180, 2100 2 3 5 7 6300= ⋅ ⋅ ⋅ = .

) �� = ⋅ , �� = ⋅ �� = ⋅ , ( )46,69,92 23=

( ) �46,69,92 2 3 23 276= ⋅ ⋅ = .

2. ) �1�0 � � �= ⋅ ⋅ � �1��0 � � � �= ⋅ ⋅ ⋅ , 120 1260 : 2, 3 5.

)�

� �

1�0 � � � � �1��0 � � � � � � �1

⋅ ⋅= = =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅.

3. ) : 1 ; 0; 1,73; 0,333...; 16�

− .

) : �; �;π− .

4. ) 15,5.

) 12.

5. A) 23,7 6,11 0,25 60 17,59 15 32,59− + ⋅ = + = ;

) 0,8 1, 4 5 0,32 : 0,8 0,8 7 0, 4 7, 4+ ⋅ − = + − = .

6. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11,25 7 : 2,5 1, 25 7,5 : 2,5 6, 25 : 2,5 62,5 : 25 2,5�

− + − = − + − = − = − = −

.

7. ( ) ( )12 2,5 8,5 3,34 2, 2 2,5 11,84 5,5 11,84 6,34�

⋅ − + = ⋅ − = − = −

.

8. 1 1 1 1 1 ��

A = ⋅ − = − = − ;

1 1 1 1 �: 1� � � � �

B = + − = − = −

.

, � � � � � � ��

A B − = − − − = − + = − + =

.

2.

�

2.

20. )�

� � �111 � 11 � ��

⋅ − = ⋅ − = − = ;

) ( )� � �1 1� � � � 1� ��

⋅ − ⋅ = − ⋅ = − = .

21. ( ) ( ) ( ) ( )� � � � �2 3 : 6 2 3 10 8 9 : 6 8 9 100 72 : 6 100 12 100 88⋅ + − ⋅ = ⋅ + − ⋅ = − = − = − .

22. )� �

�

� � � � � 1� 1� � ��

+ − = + − = + − = −

;

) ( )�

�� 1� 1� �� 1��

− ⋅ − = − ⋅ = −

.

23.( )

( )

��

��

� �� 2 416 :8 2 : 2 22 : 2

⋅⋅ ⋅= = = = = .

24. ( )��

� � �

� �� 1� � � � � 11� � 1� � 1� �

⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅− = − = − = − = − .

25.( )�� 10 � �

� � � � � �

3 3 : 381 3 : 27 3 3 : 3 3 :3 3 1� � � � � � �

⋅⋅ ⋅= = = = =

⋅ ⋅.

26. ) ( )�� = , ( )�� = ( ) ( )� �� > ;

) ( )�� = = , � �� < ;

)�0�0 � �01 1 1

� � � = =

,�0�0 � �01 1 1

� � � = =

, �0 �01 1

� � =

.

27. )( )( )

� ��

� � � � � � �

� � 1� � � � � �+1 10 �� 1 � �� 1

⋅ ++ ⋅ += = = = =

− ⋅ − −⋅ −;

)( )( )

� ��

� � � � � ��

� � 1� � � � � � 1 � 1 �� 1 � 1 �� 1

⋅ −− ⋅ − − −= = = = =

+ ⋅ + + +⋅ +.

28. ) ( )� � � � �12 : 3 4a b c a b a b c− = − ;

) ( )� � � �4 : 2 2a b c ab c a b− = − .

Поступак није потребан. Тачан одговор под А доноси 0,5 бодова,тачан одговор под Б доноси 0,5 бодова. Укупно 1 бод.

Поступак обавезан. Укупно 1 бод.


�


3.

3. АЛГЕБАРСКИ ИЗРАЗИ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

13


(a + b)2 + (a – b)2 – a2 – b2+ 2ab

и израчунати његову вредност за a = 2,8 и b = 8,2.

65. Израчунати вредност израза

22 4 1

24

xx

за 1

2x .

66. Упростити израз2 2

2 2x y x y

.

67. Које од следећих једнакости су тачне за све вредности променљивих:

1) 22 2 45 5 25

b b b

;

2) (x – 2y) (2x – y) = 2(x2 – y2);

3) (a – 2b)2 = a2 – 4ab + 4b2;

4)2

22 45 25

x x

?

(Заокружити бројеве испред тачних једнакости.)

68. Који од наведених бинома = x – 1, B = –x – 1, C = 1 – x и D = x + 1 имају једнакеквадрате?

69. Раставити на чиниоце следеће изразе:

А) 29 1x ;

Б) 21 4x .

70. Раставити на чиниоце изразе:

А) 25 10a b a ;

Б) 3 214 7 21a b ab ab .

71. Раставити на чиниоце изразе:

А) 2 x y a x y ;

Б) a x y b x y .

1 бод

4.

4. КООРДИНАТЕ И ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

20

97. На графику је приказана промена температуре T(°C) у зависности од времена t(h)током једног дана. У колико сати је температура била:

А) најнижа;

Б) највиша;

В) нула степени?

98. На графику је приказанo како се мењао просечан број поена који су учениципостигли на пријемном испиту из математике од 2002. до 2006. године.

8

101112

14

2002 2003 2004 2005 године2006

поени

А) Које године су ученици постигли најбоље резултате?

Б) Колики је просечан број поена из математике био 2004. године?

1 бод

3.

1�

67. 1) ��

b b b − ⋅ + = −

,

2) ( ) ( ) � �� x y x y x xy y− ⋅ − = − + ,

3) ( )� � �� a b a ab b− = − + ,

4)�

��

xx x + = + +

.

, 1) 3).

68. ( )�� 1 � 1A x x x= − = − + ;

( )�� 1 � 1B x x x= − − = + + ;

( )�� 1 1 �C x x x= − = − + ;

( )�� 1 � 1D x x x= + = + + .

, � �A C= � �B D= .

69. ) ( ) ( )( )�� 1 � 1 � 1 � 1x x x x− = − = − + ;

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )� � �1 � 1 � 1 � 1 + � � + 1x x x x x x− − = − − = − − ⋅ − = − ⋅ .

70. ) ( )�� 10 � �a b a a ab− = − ;

) ( )� � �1� � �1 � � 1 �a b ab ab ab a b− + = − + .

71. ) ( ) ( ) ( ) ( )� �x y a x y a x y⋅ + + ⋅ + = + + ;

) ( ) ( ) ( )( )a x y b x y a b x y⋅ − − ⋅ − = − − .

4.

�1

95. S = S(a, b) AB,

� + 1 � 3� �

a = = = � + � � 4� �

b = = = ,

S = S(3, 4). 2 +y x a=

4 2 3 + a= ⋅ ,

4 6a = − , 2a = − .

96. ) 10 km; ) 1 h; ) 9 11 , 3 km/h.

97. ) 3 h; ) 16 h; ) 8 h 22 h.

98. ) 2005; ) 12.

99.

100. ) ;

) . 15ºC.




�



5.1 бод

4. КООРДИНАТЕ И ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

17

80. У координатном систему xOy су дате тачке A(–3,–2) и B(3,4). Одредитикоординате средишта S дужи AB.

81. У координатном систему xOy су дате тачкеA(5,1) и S(2,3). Одредити координате тачке Bкоја је симетрична тачки A у односу на тачку S.

82. У координатном систему xOy су дате три тачкеA(3,l), B(4,4) и C(l,3). Одредити координатесредишта S и T дужи OB и AC. Да ли јечетвороугао OABC паралелограм? Обрaзложитиодговор.

83. У координатном систему xOy су дате тачкеA(2,l), B(5,2) и D(3,4). Одредити:

1) координате средишта S дужи BD,

2) координате тачке C за коју је четвороугаоABCD паралелограм.

84. Прво попунити табелу

x – 4 – 2 0 2 4 6 8

y

која одговара функцији y = 12

x + 1, а затим нацртати и график те функције.

85. У истом координатном систему x y нацртати графике функција:

А) y = 3x;

Б) y = – 13

x.

6.

5. ПРОПОРЦИЈЕ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

24

111. Два суплементна угла су у размери 5 : 7. Одредити те углове.

112. Дванаест радника радећи по 8 часова дневно заради 120.000 динара. Колико сатидневно треба да ради 10 радника да би зарадили 150.000 динара?

113. Производња угља у руднику је удвостручена, а у руднику B је преполовљена.Допунити реченице:

А) производња у руднику повећана је за ___________процената;

Б) производња у руднику B смањена је за ____________процената.

114. Тридесет процената једне дужи износи 42 cm. Колика је дужина читаве дужи?

115. За колико процената треба повећати број 60 да би се добио број 75?

116. Књига је купљена на сајму књига са попустом од 20% и плаћена је 656 динара. Коликаје цена те књиге без попуста?

117. Цена ципела је 2.700 динара. Колика ће бити цена након снижења од 15%?

118. После преласка на ново радно место једном раднику је плата повећана за 20%. Коликаму је била плата ако је то повећање 3.200 динара?

119. На једном километру дужине пута успон износи 48 m. Колики је тај успон упроцентима?

120. Трговац је извесну робу платио 48.000 динара. Половину те робе продао је уз зарадуод 15%, трећину уз зараду од 8%, а остатак уз губитак од 6%. Колико је трговацзарадио?

121. На изборе је изашло 70% од укупног броја уписаних гласача. Од њих, 40% гласало језа једног кандидата. Колики проценат укупног броја уписаних гласача је гласао за тогкандидата?

122. Цена књиге снижена је за 10%, а затим за 20% и сада износи 288 динара. Колика јецена била пре првог снижења?

1 бод

C

4.

1�

81. ( ),B B x y= . T ( )2,3S S= AB ( )5,1A A= , a je:

��

x+= �

1��

y

⋅

+= �

� �6 1 ,

xy

⋅

= += +

1x = − �y = . ( )1,5B B= − .

82. S OB, x 0 4 O B,

0 � ��

x += = .

y S 0 4 O B,

0 � ��

y += = S = S(2, 2).

T AC, x 3 1 A C,

� 1 ��

x += = .

y T 1 3 A C,

1 � ��

y += = T = T(2, 2).

S T , : S T= . OB AC OABC S ,

.

83. ( )0 0,S S x y= ( ),C C x y= .

1) S BD ( )5, 2B B= , ( )3, 4D D= , :

0� �

�x +

= 0� �

�y +

= ,

0 �x = 0 �y = . S ( )4,3S .

2) ABCD , ( )4,3S je AC

( )2,1A A= ( ),C C x y= . :

y

x

TS

CB

A

�

O 1

�

� �

�

�

1

4.

1�

��

x+= �

1��

y

⋅

+= �

� �6 1 ,

xy

⋅

= += +

�x = �y = . C ( )6,5C .

84. x = 4, ( )1 � 1 � 1 ��

y = − − + = + = .

x = 2, ( )1 � 1 1 1 ��

y = − − + = + = .

x = 0, 1 0 1 0 1 1�

y = − ⋅ + = + = .

x = 2, 1 � 1 1 1 0�

y = − ⋅ + = − + = .

x = 4, 1 � 1 � 1 1�

y = − ⋅ + = − + = − .

x = 6, 1 � 1 � 1 ��

y = − ⋅ + = − + = − .

x = 8, 1 � 1 � 1 ��

y = − ⋅ + = − + = − .

85. ) 3y x= 0x = 3 0 0y = ⋅ = , O(0, 0).

1x = 3 1 3y = ⋅ = ,

P(1, 3). 3y x=

O P.

) y = 1�

x 0x =

1 0 0�

y = − ⋅ = ,

O(0,0).�x =

1 � 1�

y = − ⋅ = − ,

Q(3, 1).

y = 1�

x O Q.

x 4 2 0 2 4 6 8y 3 2 1 0 1 2 �

x

y

1

�O

( )1,3P

( )3, 1Q −�y x=

1�

y x= −

5.

��

114. x . 30 :100 42 : x= ,

�0 100 ��x⋅ = ⋅ ,

100 ��0

x ⋅= ,

1�0x = cm.

115. x , :

( )60 : 75 60 100 : x− = ,

1� 100�0

x ⋅= ,

��%x = .

116. x .

80 : 656 100 : ,x=

�� 100 ,�0

x ⋅=

��0x = .

117. 100% 15% 85%− = , ��% ��00 ��00 ��

100⋅ = ⋅ = .

118. x .

�0% ��00x = ,

1 ��00�

x = ,

� ��00 1�000x = ⋅ = .

Поступак обавезан. Тачан одговор под 1 доноси 0,5 бодова,тачан одговор под 2 доноси 0,5 бодова. Укупно 1 бод.

Поступак обавезан. Тачно постављена “формула” доноси 0,5 бодова. Укупно 1 бод.


�


7.

6. ЛИНЕАРНЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ СА ЈЕДНОМ НЕПОЗНАТОМ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

26

126. Решити једначину 1 11 0,5 2 2 0, 25 1 23 4

x x .

127. Решити једначину 2 1 32 4

p p .

128. Решити једначину 7 3 1 5 114 5 12

x x x .

129. Решити једначину 2 3 5 14 13 2 4 2

x x x x .

130. Решити једначину (4 – 3)2 = (5 – 4 )2 – 16.

131. Решити једначину 2 3 1 5 0x x x x .

132. Решити једначину ( – 1) ( + 1) – ( + 1)2 = 5 – 4 .

133. Решити једначине:

А) 3 1 1 0x x ;

Б) 4 1 2 3 0x x x .

134. А) Раставити на чиниоце (представити у облику производа) израз

2 3 5 2 3x x x .

Б) Решити једначину

2 3 5 2 3 0x x x .

135. Који број треба додати бројиоцу и одузети од имениоца разломка 1114

да би се добио

разломак једнак разломку 23

?

136. Збир половине, трећине и петине неког броја је за један већи од тог броја. Који је тоброј?

137. Збир четири узастопна природна броја је 1014. Који су то бројеви?

138. У одељењу су 37ученика девојчице. Ако би дошле још четири девојчице, број дечака

и девојчица био би једнак. Одредити број ученика у том одељењу.

139. Мајка има 27 година, а син 3 године. За колико година ће мајка бити пет пута старијаод сина?

140. Када је путник прешао 350 m, остало му је још 25

пута до половине пута. Колика је

дужина целог пута?

141. Основица једнакокраког троугла је 12 cm. Ако је крак за 2 cm дужи од висине којаодговара основици троугла, израчунати ту висину.

142. Једна катета правоуглог троугла има дужину 7 cm, а друга је за 1 cm краћа одхипотенузе. Колика је та хипотенуза?

1 бод

8.

8. ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

37

8.

181. А) Једна катета правоуглог троугла је 5 cm, а његова хипотенуза c = 13 cm. Одредитињeгову другу катету.

Б) Катете правоуглог троугла су a = 9 cm и b = 12 cm. Одредити његову хипотенузу.

182. Површина правоуглог троугла је 24 cm2, а једна од његових катета a = 8 cm. Одредити:

1) другу катету тог троугла,

2) обим тог троугла.

183. Катете правоуглог троугла су a = 9 cm и b = 12 cm. Одредити његову површину Pи висину h која одговара хипотенузи.

184. Странице правоугаоника ABCD су 8 cm и 6 cm. Одредити растојање тачке B од правекоја садржи тачке A и C.

185. Висина која одговара основици једнакокраког троугла je h = 12 cm, а његов кракb = 13 cm. Одредити:

1) основицу тог троугла,

2) висину која одговара краку тог троугла.

186. Ако су подаци као на приложеномцртежу, одредити растојање d измеђутачака A и D.

187. Круг k са центром у тачки S додирује кракеp и q правог угла pOq. Ако је OS = 4 cm, одредити полупречник тог круга k.

188. Стојећи на поду, Милан може да досегневисину од највише 2 m. Коју највећу висинуМилан може досегнути ако се попне налествице чије су димензије као на цртежу?

1,6 m

0,4 m

1 m

1 бод


6.

��

129. � � � 1� 1� � � �

x x x x+ − +− − = 1�⋅

( ) ( ) ( )4 2 3 6 5 14 3 6 1 ,8 12 30 84 3 6 6,8 30 3 6 12 84 6,

31 90,�0 ��2 .�1 �1

x x x xx x x xx x x x

x

x

+ − − − = +

+ − + − = +− − − = − − +

− = −

= =

�0�1

x = , ��1

x = .

130.

( ) ( )� �� 1�x x− = − − ,

:� �

� �

16 24 9 25 40 16 16,16 24 40 16 9 25 16,16 0,

0.

x x x xx x x xx

x

− + = − + −

− + − = − + −=

=

0x = .

131. , :

( ) ( ) ( ) ( )� � 1 � 0x x x x− ⋅ − − − ⋅ − = ,

( )� �

� �

6 2 3 + 5 5 + 0,

6 5 + 5 + 6 0,+ 1 0,

1.

x x x x x x

x x x xxx

− − − − − =

− − − ==

= −

1x = − .

132. ( ) ( ) ( )�1 1 1 � �x x x x− ⋅ + − + = − , :

( )� �

� �

1 2 1 5 4 ,

1 2 1 5 4 ,2 2 5 4 ,2 4 2 5,

2 7,� 3,5.�

x x x x

x x x xx xx x

x

x

− − + + = −

− − − − = −− − = −− + = +

=

= =

3,5x = .

8. A

��

:

1 1� �bbh ah= 2,

,13 12 10,

b

b

bh ahh

⋅

=

= ⋅

1�0 cm1�bh = .

186. ACD ABC , :� � �AD AC CD= + � � �AC AB BC= + ,

� � �1d AC= + � � �1 1AC = + .� � � �1 1 1 �d = + + = , 3 cmd = .

187. P Q k p q pOq. OPSQ O, P Q ,

:

��0 �0 �0 �0 �0PSQ = °− ° − °− ° = ° .

. SP SQ ( r k) r.

OPSQ 4 cmd OS= = , �d r=

� � ��

r = = .

k 2 2 cmr = .

188. , x1,6 ma = , 0,4 mb = 1 mc = . ,

, :�

� �

��

� �

�

�

,�

1, 2 1 ,�

1 0,6 ,1 0,36,0,64,

a bx c

x

xxx

− + =

+ = = −

= −

=

0,8 mx = .

�h x= + , 2,8 mh = .

x c

b

c

a

Поступак обавезан. Укупно 1 бод.

Поступак обавезан. Тачно израчунато растојање измађу тачака A и C доноси 0,5 бодова. Укупно 1 бод.


�



9.1 бод

11. КРУГ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

45

11.

240. Одредити обим и површину круга полупречника r = 7cm (за број узети приближнувредност 3,14).

241. Површина неког круга је 12,56cm2. Ако је 3,14, одредити његов обим и дужинунајвеће тетиве.

242. Одредити пречник и површину круга чији је обим 31,4 cm и 3,14.

243. Дужина тетиве AB датог круга је 4 cm, а њено растојање од центра круга 1 cm. Одредити површину тог круга.

244. Тетиве AB и AC једног круга су ортогоналне и дужина 6 cm и 8 cm. Одредитиполупречник и обим тог круга.

245. Дужина кружног лука AB једног круга је cm, а централни угао над тим луком 15°. Одредити обим тог круга.

246. Ако су ознаке као на приложеном цртежу иBAO = 50°, одредити назначене углове α и β.

247. Угао између две тетиве AB и AC једног круга је60°. Ако је полупречник тог круга r = 6 cm итачка O његов центар, одредити:

А) угао BOC;

Б) угао OBC;

В) дужину тетиве BC.

248. Обим круга је 62,8 cm. Колики је централни угао који одговара кружном лукудужине 12,56 cm ( 3,14)?

10.

14. ПРИЗМА И ПИРАМИДА––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

60

306. Основа тростране призме је правоугли троугао чије су катете 15 cm и 20 cm, а највећабочна страна призме је квадрат. Израчунати површину призме.

307. Израчунати површину и запремину правилне шестостране призме чија је основнаивица 5 cm, а висина 6 cm.

308. Израчунати запремину правилне шестостране призме чија је основна ивица 3 cm, адијагонала бочне стране је 6 cm.

309. Дата је правилна шестострана призма (видети цртеж), основне ивице 3 cm и висине 22 cm. Израчунатиповршину правоугаоника ACD1F1.

310. Израчунати површину и запремину правилне четворостране пирамиде чија је основнаивица 12 cm, а висина пирамиде је 8 cm.

311. Израчунати површину правилне четворостране пирамиде ако је висина пирамиде15 cm, а запремина 1280 cm3.

312. Израчунати запремину правилне четворостране пирамиде ако је основна ивица 24 cm, а апотема 20 cm.

313. Израчунати запремину правилне четвоространепирамиде ако је основна ивица 10 cm, а бочна ивицазаклапа са равни основе угао од 60º.

314. Ивица правилне једнакоивичне тростране пирамиде је 6 cm. Израчунати површинупирамиде.

315. Израчунати површину правилне тростране пирамиде ако је основна ивица 20 3 cm, ависина пирамиде је 24 cm.

316. Основна ивица правилне тростране пирамиде је 8 cm, а бочна ивица је 5 cm. Израчунати површину пирамиде.

317. Израчунати запремину правилне тростране пирамиде ако је апотема 13 cm, а висинапирамиде 12 cm.

1 бод

11.

��

11.

240. :�2 7 3,1443,96 cm.

O rOO

π== ⋅ ⋅=

:�

�

�

7 3,14153,86 cm .

P rPP

π=

= ⋅

=

241. r , :�

�

�

�

12,56 3,1412,56 :3,14�

P rr

rr

π=

= ⋅

=

=

2 cmr = . :�4 3,1412,56 cm.

O rOO

π== ⋅=

, 2 4 cm.d r= =

242. r , �O rπ= , 31, 4 2 3,14r= ⋅ 2 31, 4 :3,14r =

2 10 cmr = . 5 cmr = , :�

�

�

5 3,1478,5 cm .

O P rPP

π= =

= ⋅

=

243. O r . OAB , S AB , OAS .

1 cmOS = 1 2 cm�

AS AB= = ,

:� � �

� � �

�

,1 2 ,5.

r OS SArr

= +

= +

=� �5 cmP r π π= = .

r

r

S

O

A

B

14.

�1

306. , Hc ABC ( ).

ABC :� � �

� � �

�

,15 20 ,625,

25 cm.

c a bccc

= +

= +

==

: 25 cm.H c= =

:

( )

( )

�

2 ,

2 ,�

15 20 15 20 25 25,300 1500,1800 cm .

P B MabP a b c H

PPP

= +

= ⋅ + + + ⋅

= ⋅ + + + ⋅

= +

=

307. a , H :

( )

�

�

2 ,

�2 6 6 ,�

3 25 3 6 5 6,

15 5 3 12 cm .

P B M

aP a H

P

P

= +

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

= ⋅ + ⋅ ⋅

= +

:

�

�

,

� �6 6,�

225 3 cm .

V B H

V

V

= ⋅

⋅= ⋅ ⋅

=

308. 1ABB ( ), H:

� � �

�

�

,36 9,27,

9 3,

3 3 cm.

H d aHH

H

H

= −

= −

=

= ⋅

=

c

H=c

A B

C

aa

d

a

H

E1

F1

D1

C1B1A1

EF

A B

CD

Поступак обавезан. Тачно израчунат полупречник круга доноси 0,5 бодова, тачно израчунат обим круга и тетива доноси 0,5 бодова. Укупно 1 бод.

Поступак обавезан. Тачно израчуната површина доноси 0,5 бодова, тачно израчуната запремина доноси 0,5 бодова. Укупно 1 бод.


�


11.

7. СИСТЕМИ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА СА ДВЕ НЕПОЗНАТЕ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

30

169. Одредити линеарну функцију y = kx + n чији график садржи тачке (–2, 5) и B(–7, 6).

Да ли график те функције садржи тачку 90,2

T

?

170. Одредити линеарну функцију y = kx + n чији график садржи тачку P(3, 2) и паралеланје графику функције y = 10x + 1.

171. Разлика два оштра угла правоуглог троугла износи 45. Израчунати величину тихуглова.

172. Један угао троугла је 95. Одредити преостала два угла тог троугла ако се зна да јеједан од њих за 15 мањи од другог.

173. Половина збира два броја је 12

, а половина њихове разлике је 32

. Одредити те

бројеве.

174. Збир два природна броја је 58. Ако се већи број подели мањим, добије се количник 4 иостатак 3. Који су то бројеви?

175. Збир два броја је 176. Одредити те бројеве ако је један од њих за 20% већи од другог.

176. Збир цифара двоцифреног броја износи 7. Ако цифре замене места, онда је такодобијени број за 9 мањи од полазног броја. Који је то број?

177. Обим једнакокраког троугла је 34 cm, а крак и основица су у размери 6 : 5. Израчунатистранице тог троугла.

178. Средња линија трапеза је 42 cm, а основице тог трапеза се разликују за 24 cm. Одредити основице тог трапеза.

179. Странице правоугаоника се разликују за 6 cm. Ако већу страницу умањимо за 2 cm, амању увећамо за 5 cm, површина правоугаоника ће бити већа за 32 cm2. Одредитистранице правоугаоника.

180. Збир катета правоуглог троугла је 21 cm. Ако се дужа катета повећа за 4 cm, а краћасмањи за 1 cm, површина троугла се неће променити. Одредити катете тог троугла.

1 бод

12.

13.СЛИЧНОСТ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

52

13.

274. Две паралелне праве секу крак x једногугла у тачкама A и B, а крак Oy у тачкама Pи Q. Ако су подаци као на цртежу,одредити:

А) OP : PQ;

Б) OQ : OP.

275. Ако су ознаке и подаци као наприложеном цртежу, одредити дужинедужи BQ и OB.

276. Права p садржи тежиште T троугла ABC, паралелна је правој AB и сече праву AC утачки E. Одредити размере:

А) CE : EA;

Б) AC : AE.

277. Тачка E је средиште странице CD паралелограма ABCD. Ако се дужи AE и BD секу утачки P, одредити размеру BP : PD.

278. Једна од основица трапеза ABCD је 4 cm, ањегова средња линија 5 cm. Ако седијагонале тог трапеза секу у тачки E, одредити његову другу основицу и размеруAE : EC.

1 бод


7.

��

��1�

n

k

=

= −

1 ��

y x= − + .

�0,�

T

1 ��

y x= − +

� 1 ��0 ,� � �

� �� ,� �

= − ⋅ +

=

4,5 4,6= ,, .

170. y kx n= + P, � �k n= + , 10k = (

) :� �

10

� �010

��10

k nk

nk

nk

= +=

= +=

= −=

10 ��y x= − .171. α β , :

��0

� 1��0

α βα β

αα β

− = °+ = °

= °+ = °

�� 0�� 0 �0

�� 0 '�0 �� 0 '

�� 0 '�� 0 '

αβ

αβ

αβ

′= °′° + = °

= °= ° − °

= °= °

�� 0 '° �� 0 '° .14.

�1

13.

274. AP BQ , , Ox Oy xOy . :

( ): : 9 : 6,: : 9 6 :9.

OP PQ OA ABOQ OP OB OA

= =

= = +

:

) �: ,�

OP PQ =

) �: .�

OQ OP =

275. AP BQ PQ , , :

: : ,: 8 3: 6,

6 8 3,

BQ AP OQ OPBQ

BQ

==

⋅ = ⋅

4 cm.BQ =

OBQ , , :� � �

� � �

�

,4 3 ,25.

OB BQ OQOBOB

= +

= +

=

BQ OB 4 cmBQ = 5 cm.OB =

276. D AB , T ABCCD 2 :1 :CT TD= . : 3 :1CD TD = .

CA CD C p AB , :

: : 2 :1,: : 3 :1.

CE EA CT TDAC AE DC DT

= == =

:

) : 2,CE EA =

) : 3.AC AE =

Поступак је обавезан. Тачно израчунат један угао доноси 0,5 бодова. Укупно 1 бод.

Поступак обавезан. Тачно израчуната дуж BQ доноси 0,5 бодова, тачно израчуната дуж OB доноси 0,5 бодова. Укупно 1 бод.


�


13.

9. ТРОУГАО И ЧЕТВОРОУГАО––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

42

214. У координатном систему xOy, права y = –x + 3 сече осу Ox у тачки и праву y = 2x у тачки B.Одредити:

A) координате тачака A и B;

Б) површину троугла OAB.

215. Дијагонала правоугаоника је d = 13 cm, a једна његова страница a = 5 cm. Одредитиобим и површину тог правоугаоника.

216. Одредити површину ромба чије су дијагонале d1 = 7 cm и d2 = 12 cm.

217. Једна дијагонала ромба је подударна његовој страници, а његова друга дијагонала је6 cm. Одредити страницу и површину тог ромба.

218. Одредити површину трапеза чије су основице a = 9 cm, b = 5 cm и чија је висинаједнака његовој средњој линији.

219. Средња линија једнакокраког трапеза је 9 cm а једна од његових основица 12 cm. Акоје површина тог трапеза P = 36 cm2, одредити:

А) висину и другу основицу тог трапеза;

Б) крак тог трапеза.

220. Основице правоуглог трапеза су a = 12 cm и b = 8 cm, а његов оштар угао 45°. Одредити обим тог трапеза.

221. Основице AB и CD трапеза ABCD су 8 cm и6 cm. Ако њeгoвa срeдњa линија XY сече дијагоналеAC и BD у тачкама E и F, одредити:

А) дужине дужи XE и YF,

Б) дужину дужи EF.

222. Основице трапеза ABCD су a = 16 cm иb = 8 cm, а његова висина је половина средњелиније PQ. Одредити површину четвороугла PXQY чија су темена X и Y на страницама AB и CD.

14.

6. ЛИНЕАРНЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ СА ЈЕДНОМ НЕПОЗНАТОМ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

27

143. Странице правоугаоника се разликују за 3 cm. Ако се свака страница повећа за 2 cm, обим правоугаоника ће износити 62 cm. Израчунати странице правоугаоника.

144. Решити неједначине:

А) 3 < 4;

Б) 6 > 2 ;

В) 1 12 4

x .

145. Одредити све целе бројеве који су решења неједначине 4a .


А) 5 – 2 < 2 + 1;

Б) 0,6 – 0,4 > 0,5 – 0,2.

147. Решити неједначину 555

yy .


А) 0,8 0,8 ( 5) 0,2x ;

Б) 1 03

p .

149. Решити неједначину 1 1 26 4 3 24x x x x .

150. Решити неједначину 6 31 33 2 4

x x x .

151. Наћи највећи цео број који задовољава неједначину 2 1 3 2 13 2

a a .

152. Наћи најмањи природан број који задовољава неједначину 2 21 1 10x x x .

153. За које вредности променљиве је израз (3 + 1) ( – 2) – 3 ( + 1)2 позитиван?

154. За које вредности променљиве разлика израза 58

x и 42

x није већа од –2 ?

1,5 бод

1,5 бод


9.

�1

1x = . � 1 �y = ⋅ = , ( )3,0A A= ( )1, 2 .B B=

) OA OAB � 0 �OA = − = . OA B, �h = ,

1 1 � ��

P OA h= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ,

�P = .

215. b , � � �

� � �

�

�

,5 13 ,

169 25,144,

a b db

bb

+ =

+ =

= −

=

12 cmb = .

2 2 34 cmO a b= + = ,

�60 cmP ab= = .

216. ,

1 �1 1 � 1��

P d d= = ⋅ ⋅ ,

�42 cmP = .

217. , , 1 6 cmd = �d a= , 1d �d a. ,

:� �

�� 1

� ��

��

,� �

� ,� �

��

d d a

a a

a a

+ =

+ =

+ = �⋅

� �

�

�

36 4 ,3 36,

12.

a aa

a

+ =

=

=

2 3 cma = . � 2 3 cmd a= = ,

1 �1 1 � � ��

P d d= = ⋅ ⋅ ,

a

1

�d

�

�d

a

bd

6.

��

) 1 0�

p−< ,

1 0,

1

p

p

− <

− < − ( )11.p

⋅ −

>

( )1,x∈ +∞ .

149. 1 1 + �+� � � ��x x x x− −− > ��⋅

( ) ( )4 6 1 8 1 + + 2,4 6 + 6 8 + 8 + 2,4 + 6 8 8 2 + 6,

x x x xx x x xx x x x

− − > −

− > −− − > −

12.x >

( )12, +x∈ ∞ .

150. � �1 ��

x x x− ++ − ≤ + 1�⋅

( ) ( )12 4 6 6 36 3 3 ,12 4 24 6 36 9 3 ,4 6 3 12 24 36 9,

� ��

x x xx x x

x x x

x

+ − − ≤ + +

+ − − ≤ + +− − ≤ − + + +

− ≤ ( ): 5 ,�� .�

x

−

≥ −

�� ,�

x ∈ − +∞ .

151. � 1 � � 1� �

a a+ −− > − �⋅

( ) ( )2 2 1 3 3 2 6,4 2 9 6 6,4 9 2 6 6,

� 1�

a aa aa a

a

+ − − > −

+ − + > −− > − − −

− > − ( ): 5 ,1� ,��2 .�

a

a

−

<

<

�a = .

Поступак обавезан. Тачнo израчуната друга страница правоугаоника доноси 0,5 бодова, тачно израчунат обим доноси 0,5 бодова, тачно израчуната површина правоугаоника доноси 0,5 бодова. Укупно 1,5 бодова.

Поступак је обавезан. Тачнo решена неједначина доноси 1 бод, тачно одређен цео број доноси 0,5 бодова. Укупно 1,5 бодова.


�

15.

12. СЛОЖЕНЕ ФИГУРЕ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

49

12.

261. Ако је ABCD квадрат површине 36 cm2, одредитиповршину осенчене фигуре са приложеног цртежа.

262. Облик и димензије једне осно симетричнефигуре су као на приложеном цртежу. Одредитињену површину.

263. Круг k је описан око правоугаоника чије су странице 8 cm и 6 cm. Одредити површинудела круга изван тог правоугаоника ( ≈ 3,14).

264. Дијагонала квадрата ABCD је 12 cm, а његове суседнестранице AB и AD су пречници два круга. Одредитиповршину дела квадрата који је изван тих кругова.

265. Дијагонала квадрата ABCD је 8 cm, а његове наспрамне странице AD и BC супречници два круга. Одредити површину дела квадрата који је изван тих кругова.

D

A

C

B

D

A

C

B

8 m

3 m1 m

16.

14. ПРИЗМА И ПИРАМИДА––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

60

306. Основа тростране призме је правоугли троугао чије су катете 15 cm и 20 cm, а највећабочна страна призме је квадрат. Израчунати површину призме.

307. Израчунати површину и запремину правилне шестостране призме чија је основнаивица 5 cm, а висина 6 cm.

308. Израчунати запремину правилне шестостране призме чија је основна ивица 3 cm, адијагонала бочне стране је 6 cm.

309. Дата је правилна шестострана призма (видети цртеж), основне ивице 3 cm и висине 22 cm. Израчунатиповршину правоугаоника ACD1F1.

310. Израчунати површину и запремину правилне четворостране пирамиде чија је основнаивица 12 cm, а висина пирамиде је 8 cm.

311. Израчунати површину правилне четворостране пирамиде ако је висина пирамиде15 cm, а запремина 1280 cm3.

312. Израчунати запремину правилне четворостране пирамиде ако је основна ивица 24 cm, а апотема 20 cm.

313. Израчунати запремину правилне четвоространепирамиде ако је основна ивица 10 cm, а бочна ивицазаклапа са равни основе угао од 60º.

314. Ивица правилне једнакоивичне тростране пирамиде је 6 cm. Израчунати површинупирамиде.

315. Израчунати површину правилне тростране пирамиде ако је основна ивица 20 3 cm, ависина пирамиде је 24 cm.

316. Основна ивица правилне тростране пирамиде је 8 cm, а бочна ивица је 5 cm. Израчунати површину пирамиде.

317. Израчунати запремину правилне тростране пирамиде ако је апотема 13 cm, а висинапирамиде 12 cm.


1,5 бод

1,5 бод


12.

��

12.

261. �36 cm , 6 cma = .

�a . ,

( )�

� �36 9 9 4 cm�aP a π π π = − = − = −

.

262. 8 m 3 m8 1 1 10 m+ + = .

, 5 m . :

�10 �8 3 24 25 49 m�

P ⋅= ⋅ + = + = .

263.:

� �8 6 64 36 100 10 cmd = + = + = = .

, 5 cm�dr = = .

:� �5 8 6 25 48 78,5 48 30,5 cm .P π π= − ⋅ = − = − =

264. a . � 1�a = , :

1� 1� � 1� � 6 2 cm��

a = = = =⋅

.

ABCD

�a

�a :

( )� �

� �1 72 18 9 9 6 cm� � �a aP a π π π = − − ⋅ = − − = −

.

8 cm

6 cm

r

r

14.

��

312. OPS ( ), H:

��

� � �

�

,�

20 12 ,256,

16 cm.

aH h

HHH

= −

= −

==

:

�

�

,�

,�

�� 1� ,�

3072 cm .

B HV

a HV

V

V

⋅=

⋅=

⋅=

=

313. ACS ( ). , 10 �AC d= = .

H ,ACS :

� ,�

10 � � ,�

5 6 cm.

ACH

H

H

⋅=

⋅ ⋅=

=

:

�

�

,�

10 � � ,�

�00 � cm .�

B HV

V

V

⋅=

⋅ ⋅=

=

a

hH

a� PO

D C

BA

S

Поступак обавезан. Тачно израчуната страница квадрата доноси 0,5 бодова. Укупно 1,5 бодова.

Поступак обавезан. Тачно израчуната дијагонала основе пирамиде доноси 0,5 бодова, тачно израчуната висина пирамиде доноси 0,5 бодова и тачно израчуната запремина доноси 0,5 бодова. Укупно 1,5 бодова.

10

МАТЕМАТИКА ТЕСТ 3 СРПСКИ2

бода 17.

11. КРУГ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

47

255. Кругови k(O, R) и k1(S, r) се доди-рују споља. Права p додирује текругове у тачкама A и B. Ако јеR = 9 cm и r = 3 cm, одредити AB.

256. Пречници кругова k1 и k2 су дијагонале AC и BD ромба ABCD чија је страницаa = 5 cm. Одредити збир површина та два круга.

257. Над катетама правоуглог троугла ABC суконструисани једнакостранични троуглови чијесу површине Pa = 64 3 cm2 и Pb = 36 3 cm2.Одредити површину круга који је описан окотроугла ABC.

258. Површина кружног прстена два концентричнакруга је P = 144 cm2. Одредити дужинутетиве већег од тих кругова која додирујемањи круг.

259. Круг k је описан око правилног шестоугла ABCDEF странице 6 cm, а круг k0 уписан утроугао C . Одредити површину њиховог кружног прстена.


11.

��

257. Pa Pb a BC=b AC= , :

� �

�

� ��

��

a ba bP P

a

= =

=�

: 3 36 3 3�b

=

�

: 3

��a

=�

� ��b

⋅ =

� �

�

4 64 256, 4 36 144.a b

⋅

= ⋅ = = ⋅ =

ABC AB, :

� � �

� � �

�

�

,,

256 144,400,

20cm.

AB BC ACAB a bABABAB

= +

= +

= +

==

ABC 2r . :2 ,

20 2 ,10cm.

AB rr

r

==

=

10cmr = � �10P r π π= = . �100 cmP π= .

258. r 0r 0r r> . :

( )� �

0

� �0

,

1��

P r r

r r

π π

π π

= −

= −� �

0

:

144.r r

π

− =

, P ABOAP

, :� � �

� � �0

� � �0

�

,,,

144.

AP OP OAAP r rAP r r

AP

+ =

+ =

= −

=

12 cmAP = , �t AB AP= = ⋅ , 24 cmt = .

r

r0

B

O

P

A

Поступак обавезан. Тачно израчуната разлика квадрата полупречника доноси 0,5 бодова, тачно израчуната дуж AP доноси 1 бод, тачно израчуната тетива доноси 0,5 бодова. Укупно 2 бода.

Documents

2007 matematika kljuc