MATEMATIKA II odgovori na ustna vpraanja olsko leto 2007 / 2008 Izvajalec Gregor Dolinar Avtor dokumenta / UREJANJE DOKUMENTA VERZIJA 01 REVIZIJA 01 DATUM 21. 2. 2009 ZADNJI POPRAVLJAL / PREGLEDAL / OPOMBE POPRAVKI

www.stromar.si zbirka tudijske litarature na spletu

v dokumentu lahko obstajajo napake

Matematika 2 ustna vpraanja

Determinanta, poddeterminanta

Lastnosti determinante

Cramerjevo pravilo

Raunanje z vektorji, kot med vektorji

Skalarni produkt vektorjev

Vektorski produkt vektorjev

Meani produkt vektorjev

Cauchy-Schwarzova neenakost

Paralelogramska enaba

Enaba ravnine, enaba premice

Razdalja med tokama, razdalja med toko in premico

Razdalja med toko in ravnino, razdalja med premicama, razdalja med premico in ravnino

Raunanje z matrikami

Rang matrike

Inverzna matrika (definicija, lastnosti, izraun)

Posebne vrste matrik (simetrina )

Sistemi linearnih enab - osnovni izrek

Gaussova metoda za reevanje sistema linearnih enab

Vektorski prostor

Baza vektorskega prostora

Linearna neodvisnost vektorjev

Linearna preslikava

Lastne vrednosti, lastni vektorji matrike

Lastne vrednosti hermitskih, poevno hermitskih, unitarnih matrik

Funkcijska vrsta (definicija, definicijsko obmoje, konvergenca)

Potenna vrsta (definicija, konvergenca)

Odvajanje in integriranje potennih vrst

Taylorjeva vrsta funkcije f

Taylorjeva vrsta funkcij: )1log(,cos,sin, xxxex +

Binomska vrsta, binomski koeficienti

Fouriejeva vrsta (definicija, konvergenca)

1

Fourierova vrsta s poljubno periodo

Sinusna Fouriejeva vrsta, kosinusna Fouriejeva vrsta

Funkcija dveh spremenljivk (definicija, zveznost, limita, graf)

Odvod funkcije ve spremenljivk

Posredno odvajanje:

yx zz

yxvv

yxuu

vuzz

,

),(

),(

),(

=

=

=

Viji parcialni odvodi

Taylorjeva vrsta funkcije dveh spremenljivk

Izrek o implicitni funkciji

Ekstrem funkcije dveh spremenljivk

Hessejeva matrika

Vezani ekstrem funkcije dveh spremenljivk

Diferencialna enaba (definicija, zaetni problem, robni problem)

Diferencialna enaba z loljivimi spremenljivkami

Linearna diferencialna enaba 1. reda (homogena, nehomogena)

Bernoullijeva diferencialna enaba

Eksaktna diferencialna enaba

Vpeljava parametra v diferencialno enabo:

)'(

0)',(

yx

yxF

=

=

Ortogonalne trajektorije

Eksistenca in enolinost reitve diferencialne enabe 00 )(),,(' yxyyxfy ==

Splona reitev linearne diferencialne enabe drugega reda

Linearna diferencialna enaba drugega reda homogena s konstantnimi koeficienti

Determinanta Wronskega (linearna odvisnost funkcij)

Linearna diferencialna enaba s konstantnimi koeficienti, 2. reda, nehomogena

Nehomogena linearna diferencialna enaba 2. reda

Eulerjeva diferencialna enaba 2. reda

Reevanje nehomogene linearne diferencialne enabe s konstantnimi koeficienti vijega reda s

pomojo nastavka

Sistemi diferencialnih enab

2

@

U4{,eI|A!NAL 2-:--- -usTn4 vereasArta--

b.ff -\Nc\F j-uskryonqntuL1e-esdpe-luEug-c\'rs$nt-Attet \ i-, nl n--Slsyft-eyfx dj-3*e! {',lE ) --Pts\31=----- ip,r{qy11o _!n4s!if!q_o_-:

-n1L-)

\- \redncst o@\b?A- \ll9

2 .'+Z zgrlgncln0" -v-cle\e1m11qrr\L pali\)-bni- v r-$tc-i,sgslsl--etmilrc^r'\i -e'pq1qrpni .5>4dzncik tEnqFO\r-=\cr. - Zcr s\c\p,ee )

ff-ffE::-=oz^bqElntrlh' se\errn\n.+ll*1\-o*Er -dpbrnc Jdto, -dc V-

l \ . i t

A -\]t!qnt_-"t=et@-u\c U,$Sc- i-V ,

-Ln+:tr-brcrpel,-imenrtismc prqE\s-lqrnrngnto- - i\L-Ertpqcls\ 4

Scrrne\nic\mc

3-. -Dderrq$qn*p FlrlqaArne-_gskedorXVn tSl\co, ,-r---- -0""-p-.nn arrp__==+ecogevlbt liog '\enrer'l - i(abrqnq vr-dsg f-en.*k. vg\g-s dc\pce-L - tVe[cr [di c-brc^huz:]elnLclrZ5\c1Ut-ruc - _- r-

@- -Ld-v.rsJL, - -+-

f4L# 3

pdguenc\ko veho eldc,\p(sL--:_

r-^s- t E-l -_ _v x dncSl_ c\e+gr-p1rnqflk_ qO c^E+ _\--

kc+"rikc\f

_ l I - |cleTerrn\eorrts_ ER n Fplslllgnr, Cer\-r ' rlr l\_,\r Iti< >R__l-\, SDfglngn\ Jg-ff:f}-vi$rlen$qielnoue-gi.rtuK*"c;A"ri

.tdi*,rl.rr\illqqlllrMctt\e

tLot crbH crur :-s--zfr \-ede^l o..n i sis*gu.rc-,r. \tneo.t nlerrre b.

: Ltnccrn\e

MEb

ecrfrf-c\

b=\Ziflcr ve\

tdt-[6t-- -=rnGt--

, DE.\nIC_!&t ' Skelqf ni r:rcclr rk * r r^r^-r!

*.--L-a. taeC STA vl-rav-\rF _F \ r - -

I c(-E) : p(. td..g

NCSTi . rj c \ A( G.ei \o . , Tp d,i o^ - . r =o - \ k x - /1Pcarliu

\_r\ \

l r

LCI\CtrCY

i la i-e l \ r

tG.B lgl dl l

__ ld_Blz._lA-:t _

---_---

.

6

tI

III-:----I

r - '

2_.

I---1--I- -t-:III

f4#^;

II

7

osftEeer.

ZtBP:KA=-=' b-dcr-r' V=c ekc'ii

Zc\ar

F-i-I

c\cb\rn,c- l c -

r r l : d l L -l - + l < -pl :d B)z Z IBI

ar.-

@I

\ l \Fl

\a

t

II

'.

-@\=,

8

3 EnA i-ffi un \nE-, - E nA f, BA FK ern \ cE-

g--nox + lzg-loae= ",\- ) dT& . L-//-*,.J-; --

cL: o - rqunrrro R'r skpLr--K,O. r"hdrigu 'Vy --

C:O-)I( l \n1no\3pl \ {C\r \oZaq"Z, -o- I -PKes{\c.A v r>rcs\cru6- dckcCerno s tc-Stse-AJq4'qziftl--rn s srne.rnrrn veK*cyl*n . ToEk+ Jtl+5tz)- g-K:--, -

sJs@ F \eai ncr-J%-Prqn!c\,-e9$ -+-veitci \:-t* \z.f:cuecllrrr ve\ctc\nv - -' -- - i

- Encre\rcr \fu-mtc! u rJc\rtlrnlnCm aHlB\- - } - > r - \

F : r-e- -t t'I\

i l___+_erc{s-b -S

--i!I

3o---r'

In\

^rGun\rn.

CZ

pKErnrc4'

-_ Z. peErrntcr ou

I- - T -I =-

!0--92_ *-kj_r\ET

10

3- PfceL1\ cA:F^VnlnA

t-. - Rlt y- i"r \n c\-\n -PtsF-n \g- - V=Pzre.r:!1!-- epLe\ ^ -V-lf--

\zr-qrQrn-qu4^ ?--

n\c

II

iI:

. - - i - - - - 'I

I

i

i

bqE\\ \e1rs-.--t1'glnLq ue\tbeq'-+j --I.n1Y-t-- ts PfqVtkd-q j-- " . - = . \ - - . , - _ l .D I6l -o.Ueruer-Slerd---be$f!!-ro-:g

n ig rtn ttevrL - --i -- -M!s5td9- ve\ikcs*t-4X:f-frnenY$-

_ -FK/ftnsPsnltce{1e_.meirsts

__- J..,,,\.1). Kr d3 cznc\s1rn3__aZir:_fqrf" e;;=.l___

NlncZev^$,e M,q_TRn\

CU : CI,n bnA_t giebp

Lo=ryrrsr\ .

s

_1_m,ffi

12

It_I

I

i -r

+ rnvEr

'{F Kc \AA-PLE-KS\1E : -e-\ gnen\- \ . l

Ste\r tor

fncx\nkl A S: kcrn.,p\

' -a!S-IEM&-Ltt-\gns_r--rlH B-vttr=.,- lsrstern - \in. e^nc,ef,, )

gEb*ja-n =-rrg rruer--n "-^-?ncr CV:a nJ ZCTYTIe/D\C\r1^n3 urs\tci rn..\nk e

;, 2. ez erYrcrekrr___ _=_:__2._lg_Irnqeyr? 7 nen\Ee\n\rn- \ . osTe vr\crn

--r-_-1ry'-e--\t\p\\W\-ncr \-qer+e V I \a z. f\e.nf-ce\nry^n ste-ulbr-n, _--pornry)z1rnc Vrr*ic3l rno*vrk e

,- : 3. ee cd erncrZbe o\6\eierrn=l !=eBlr\+rk_de+_b__-- ---X

_5.2c_ LlneE\_\neL F=c!roalnc4r\{ cr(\ -+-r I

- . \ t l t :

_{ _: u\4 b4 + " -T t-;{y1 pyr. - - --;-.

\ l

l{p-c---bcrz. -(S-lcvr\c-e!

?r-nsrs-re vffit LASTnI VE-F--T-:R1 _G-_\J- rs_-__f4,\Tr.x

18

II

II

i

\-)13Ii

I

i

II

I

I

I

iI

:th.g,t-

f6Lt; 19

b run11(4-)=- >(x-L[

-R

ZREK1 N

.+g'clrcre tx--K &-+R).

tnlerua\a ( x^- - tK

t f I r , F

rG ao. uso.ki ni e\enny\t

ctenchc\ vrsfa eltverelrG.:X--K In X-X-t VIFtq \o.hKc Kcnvrqlrcr\i diver+ircr.

I

t \

l - - \ a \ l \ 1 ,

L Z U L / V

S(xl aueanl -fion

' "tr t l\ ')) J 2c {12 a,l( -

^1r . . )

C;_ . . _ . | ' ( : r ) r . i . - . ( _ ^; r . x J 7 . - ' - ; - \lp1 li :

+ lol I v-4I' + il"^'fo] r_x:?n it^f) 'u ' - { i c ' l

. I \ J T

-& s$tgi qd\ -Qn- S\cnd V L'o+ e -sQ_ne-1c$81 dd?esn]-a

Oo-

,Zcr:rrx_x?!, J< r wlcnJevAles-utunrsg fld

\ . . - - . r '\ -J J \ \ .

- ' - _ :

a\ -;'.: : ._,,

l, ', --, L -:, \ _ - , . : \ . 1

It

. t \ ! ^ :

)

+ TAYLCK\E.VA-

| ; L ' . ,

- -VK$TA FUnTrok et eL^x,I""5x, ?^" [4+ "I-

f-G) '-e-x

F\; l=: sr_ jfl|_(r)=e' t t"'(r) = '\

@ s\3q\i-. e.x -

r4#^; 22

C l l r - l - r - r t - . -

r ,, Ll:__brnt_iltq): ci l \; %

: r - l \ t . l r i r -

(cJ_^tft,) = -Sln x ' (c) - o

: CCSX " (c) -- -1t ' ( ^

ttt (x ) = S INX t t t (cJ: o

' +xt-t F,b)-4

t l(rr - -4 (4tx I-z f , , [" I : - l

:X-

*x(x ) - %n ( 4+x

?r\^ ( x-r a

")-- tn

Ii_ - - - - - -

_-@

23

II

I-_I

iI;

@V E%, -B\ [I Q \1OSEL-FO_Cf-K I9{\T- \B\NCMSKA

I

i

I- ! - _ - - -

l l

- 't

-D!C,2lf,:]- : -fL-'=.-! i-f--'--I

(m' --m(rn-+)trn-z)-- (m-n+a)--- iczno,Sc\_ \nJ - _nl-__ _ JebYnnsFt-s-trn\ccL:

Ker

--1? ): o zL usc^k n>rnrne Nl, _

S , \{+-" ffi 1.-, I \. ,, * r^"

'' '-*;r1t3-\ i -I E t t*-rf - -ls*r) I tqr- !x *n))-\ . \ krl-l- r

f.O.Soo= {pr-rn-.,\.r eq -Elp-cr.:Fv A] ,(, ! b: -[T ):t"t

\ l *a)m - : 1* tT}o * 7m \ z ,\ z lc l - t (Hld'VEL\z+ :- - - - ! ] - -

R:*Ax\ffi_[+$ffir:lffi'\-=4

4/^;

e--E^11)I

II

+.- --

24

GGsnaL- -E=ruu$rnur+lf-C:n -perr"drircsr. t=''*-p-"_l_- .R

T\

r t \vrs,-t_c rY11gn\+s4^ Q\nutne,,,

FourtenQ-uc.x ute*cx sqk r

-L---=----=_d_-. . _ \xj s_ Fg_r riI\a_Zn gnnorrrl i ir,t- ki t-rvn-\:ntr+ s-Npres\iko.\cr

iZV ce;tR-rvrkciic_r : b+K ^le aue v tctKt

>_p_pbs;hcrr* lqt J >c do$I x",\. I - {[x,q) I

P.qebeg porciq\Ucdvc4 funF.r$_{-pq_Es_e*nno\$uhi ?,RmcrK_ - . _ --f-:_--of-grs)=

foi*qd -I-l-

d*erenci cr\c\\ncr

-:r_ v tcekt (o,b)'ce ib:*q\c'\c^ pqrcio\ne dvcdcr-ql--

rJ-_":-$-[e--U-)-QgP+g-/

@-\eKqe- -d-f 1[xdxTQLT/tLN

e

74[/^; 28

(- .:r

.l \J \Jt -- - __qL:veFl?nc prcrv,(c I.-----..---._._-

Nc\l lrc funkcl\cr a:f(x, g ) c\ifererrrciobilno.,_s-p4rlEqr\ilvKlX tn U- f lo ncr i h-=l- , zrArr-r t , r ' i C..^u-, . . . ,

- - -P --

f:rsredncr tunkciJc^ \rorcrmetrc\- t 1U_1.+9.1IE!"dil

' t

xLt\ rw1Ith^ \ ^ . ^ _P'ctern x

7a - ( x-r a'x

I \ \, 'r

c\ t ' h+c h

x )Z+h+c

er sto. xLt cc\vec$ivi erfe11

t^,^^ #=tt@ rh hrn seo )cencr ctbi\nc,r \tr"n

- )c

z

tu'*-^--lt-

+-e{ru1 lcsr]-:lr4nl .J-L- -i - --* rScrOc\ tcd s\ec\i c\c,t #__ _

K-:-&-,r+d-:r-fig $ br)-

L+I}

L)

t >.J

)t*-t d x--_j_ t -..-

r\v c\ Y

: ++:+- + ::5., Qe * 5,. ev29

t-:? _V_rgJr FnSc\i\_LN\;elyaDL__ _ __ ,_ i_

,J \l I- - , , . . - , -1

- U@ f -{unkcite' c\v@h sle'rernenli\uk'-*-_; -d - -Qce n\erncl r:orcto-\no. cclvcdcr ;[s!:l.i*t*-t1*$q-:

- i-

*cr:e\ r:cxrc\

I : c5c)'.ct

, tctKr (o.,r,:) rlr nq$ vrc fCq,U_l :o !g[___-.

_ | ,\\",u) tO.,_cbstcSo.hn o&ec}$irqfuirK.\qL q:_\(4 __---+S .*K,^=_ I 7

I

i

Akrz -+ zBhK-r

3\ec\r- - - - \ " 'r -ca \ r n\- B->O f i - izrcrZ Fr:z* fverr , , r i_ T -

\.d V (o..,..\r) nn\n\rnuxlrn&-

bJ n

b-\a b:

na\ bcCcr

Pc* \]-\ V eLri

=-p--a=LLU*oU) )cS\Cer

t -@ rn\n\rnLrrn

det E hLl-.!-nqvsnrc

E:UNVEIS SPR ENL-\\V

UnKcito. c\eFtn\rcrno. rro. circbe err;e\cc-x n

rivu v b- \ezGn

F--; t\dz- Red d@{< ted n+$=N.?a rtunclcr

\ ' t ' | \ ' \ J t \ \

u A^ncL:,bi.------ng=:-Cuf . oncrbcx \- v

stc^ p=5l-r\rni t\-V=i

e. \e - :, (x l:c Z.cr Uso. otencnc eb cr url -+h:m{ r-rrcr c L:r

Y-\l C-,\

q :o:r.=-----.---.=-.-

\ r+UtA-

H1-- .''"- o.t rus-_*trpr.=uo ervrcreLc= f - r!?gLi ivi!.no.

1-W ctc^.Cx) g_: ?Sx ) _,fe\vrr-, ]]le*ccl-

35

@

---]E\\ATEA-Enq\6b)c clc\ik

II

Il --_]=_--| - r ^ - . - r ; - ' - - * T - - - '

I \o"Kc # nc\ leLi sfr.rnl _( Ugpr.lal_t__Nl(rrtr)du ) .

ffic

VtrrLJi+V Pi+reAMrrtrA__vDEE=trE\lc\a._Lh\u=

SE-BU\E M.nL\ lv

E=-----E \e3

E(u-___\J-,F (xr t r ' ) _o ; Vecrsl Iru,Wrn3 trcrttnOzrcre.i*i a x cbrah-tc Zrt^no X Z

: ) T l grrcrEb: c\i c\rorn-f lri?rnnc> g\S\rns\e r

ENr\EB,O :

d

t (

hrdrI tp) d

-hrt--Bqnrsrtr--S==, d{erer^tc\rcrrne,

37

Il__

gfttopnowcJr@u$ t +=..L---tc,rnn*rn\e v d.uo' -&Ei ltnc^K-f*-py1.qgyvtgtr- +-. .o-).q K"%lnerwr kcehc^e"rtt ylruc+y\e tsriuuuF i-

V dcrrni tceki

+ EKSTE ReS\rvE

!I

IIi

J _ _ -

\Yncr \S{t*s!,__nsek"Aqlr \!6nlJ ---'-g.\ \x> uq6\Yue

!EKs\s-rEN-dnt !ZSF\

l+*I_-{tta*g.

cr\,ur

$Er_kI-g-! L-t*g*l-Lt)Idt

--L\Ectlf_z2u Ppq+

c EncLtZncs_rr KeSrrvSC\

I u,6i{e^r zcmet

\e\errri Vsi yfoqc__6

L J I .re.ko. - l I \ - , I r v

"X.. - x^+ L*arCIN 'Jcl i\a o, blvr

Er

i@.,---,---:---+ sf_Le_a$4! EES_\I_EU_ L\\'rtrAKn'_E-_ ____ _b_1tr_EEEn qta]=ne__enaie_e_- lKu_qE_qA_sipaF-(x-'g, Ul,\:!"L:_q_- sp !? sn c\--lt prl eu 8__ -r4vaeel elrn$ bg dmernq fu nkql _ ' _

--\_-" Lrn_EAKb..\A fueunggA iSKI

Kce.r t citsnrl I-T -

.- Z' \e clc.r h3ryt,>:'rrrn e :

I

i

ftt^; 40

c\TE-v

CYY\PLEFSNI ee.StTvl: p+13 G- - t

- ^Yax (_e _=A__15r2_r:e :e

q uq,6i\eu'

{n ' * Ko-e

I ) -+ i-srn ga,,. )) + K

t>Xer . cc_s fax ) +-

Klt!_w_utrcnsK@4.!+--.-

----

_rufu nfrlgJS.^--d"1d"L,u"i c\etetrntnunl= urrcnskea cr

_- -\'--.... ... -_ _-rl

, -

untrS$ sh .-r c\ e*< r rn rn 4nclrU_

)+K

41

$r $- -Sz- [necr!oa?- qEV\ rtnr-

+-L-\nEAR\\{-U\rEsEn!!4Lln&-Elw-BA=S--K2rfl Af tr[Iy\i__K_3_ff]!rEItr\*_z.gED&

- -lrE\!_cl1aqLrys$bno u6-tear E*tnqel:e ,,F --

g)'ri*-r$"Gl-.dsl + &er)-grl)-rt -@--: -rgeU$ntdl$e-txl-pn egr4sr-p-guua$

RESUFE ENC\ALN

?EFIC\trNT\

iSe eruo

-4) f - r \> :cI' Uve e,+=.rdrri( t- l : '1o '* c 'J- $-gtx):

.DVEE

[x ) - Ca.Xa1 I G't",x - nle-

VEA

F ( cico- xl + G'Sn

-@

43

, t

-3ldRrudrferenEi-cr\rrh--SroqBb-Quq1cl---te-dq-?q-cNens-an:qyr-r -&nE -." F- -S I tx l-rn--S d1] -\e ? Le-.1 qL

jq* -- I e --I

i

T1

,bK-sr+et- " eEviu.r\ennttnn