ТЕМА 1

Задача 1 (6 т.). Функцията f е определена с израза

f(x) = 3x2 − 4x + a2,

където a е параметър.а) (2 т.) При a = 1 да се разложи на множители изразът f(x) и да се намери

най-малката му стойност в интервала [0, 1].

б) (2 т.) За кои стойности на a за корените x1, x2 на уравнението f(x) = 0 еизпълнено

x1 − x2 = 2/3 ?

в) (2 т.) За кои стойности на a функцията g, определена от израза

g(x) = x3 − 2x2 + a2x− 2a,

е растяща в интервала (−∞, +∞)?

Задача 2 (7 т.). Даден е трапецът ABCD с голяма основа AB = 29 и бедраAD = 13, BC = 15, в който диагоналът BD разполовява ∠ABC.

а) (2 т.) Да се докаже, че височината на трапеца е 12.б) (2 т.) Да се намери косинуса на ∠CAD.в) (3 т.) В трапеца е вписан правоъгълникът MNPQ, като т. M и N лежат

на основата AB, т. P лежи на бедрото BC и т. Q лежи на бедрото AD. Да сенамери дължината на отсечката MQ така, че лицето на правоъгълника MNPQда е най-голямо.

Задача 3 (7 точки). В пирамидата ABCDM с връх M основата ABCD еромб със страна 6 и остър ъгъл 60o. Върхът M се проектира в пресечната точкаO на диагоналите на ABCD. Лицето на околната повърхнина на пирамидата е36√

3.а) (2 т.) Докажете, че всички двустенни ъгли при основата са равни на 60o.б) (2 т.) Докажете, че OM = 9/2 и пресметнете радиуса на вписаната в пира-

мидата сфера.в) (3 т.) Точката T е среда на CM . Постройте сечение на пирамидата с равнина

λ, която минава през т. A и T и е успоредна на BD. Намерете лицето на сечението.

Забележка. Оценката се пресмята по формула, публикувана в сайта наУАСГ.

TEMA 1

SaAa.la 1 (6 r.). Oynr<qnxra f e orpeAerrena c r43pa3a

f ( * ) : 3 r 2 - 4 1 4 a 2 ,

KbAeTO A, e [apaNreTbp.

a) (2 r.) llpv o : 1 Aa ce pa3JIo)KI{ Ira Muox<r4Terrvr z3pa3.br f (") , Aa ce Harvrepr4naft-nra,rxara uy croftHocr B raHrepea"na [0,1].

6) (2 r.) 3a xor crorlsocrtr Ha o 3a Kopegr{Te rr,r2 (r, > 12) wa ypaBHeHraerof (r): o e Nenr,mreso

I r - ' I z : 213 ?

n) (2 r.) 3a xou croftHocrz Ha a $yrrxqr{sra g, onpeAeJre}ra or r43pa3a

s @ ) : 1 3 - 2 r 2 + a 2 r - 2 a

e pacrsrr{a B r4HTepBaJra (-oo, +oo)?Perrrerrrae:a ) t r 4 n r a n r e 3 r 2 - 4 r * l : 3 r 2 - 3 r _ r * r : J r ( r - 1 ) - ( " - 1 ) ; 3 n a r { r 4 f ( * ) :

(r - 1)(3r - 1). 3a Hafi - MarrKara croftuocr npeo6pasyeaue / ro cJreAHr4s Har{r4g:

f ( r ) :3r2 -4r*1 : ( " r / t - * ) ' -+ . or roea rpeAcraBsHe e.scHo, ue f ( r ) > -+

3a BcsKo r m safi. - NraJrKara croftuocr ce Aocrr4fa Ba tr : ! e [0, t].

6) Hafi - rrecHo e Aa ce rrpecMerne (q - r2)2:

( r , - r " ) ' : ( r , + *r) ' - 4r1r2 : * - nt9 3

(no $opruryru4re Ha Braer). 3ria.{u a,Ko z1 - fr2 :3, to {q - 4+: f or K.bAero crreABa,

'{e O : :t1.

n) oynxqaxra g(r) N{ox<e Aa ce Barru,,re fro cJreA'r4s Har{r4H:

g ( r ) : ( . - ? \ ' * ( o , - i ) ( , - ? \ + 2 , o - 1 6\ u . / \ 5 / \ ' - 5 ) * 5 o - - t o - n '

Axo nolo)KlrM cer / D\

KbAerop:a2-'?'{*t;;*'#"."""#;ffi T:,"Yx:ff ,":'fi t"H"{"'!"!,.i;Ha ABe pacrflrrlr $grNuuz) v He e pacmnu4a rrpw p < 0. Haucrkrlal aKo p ( 0, roat : -JW a t/-lpl : U2, Ho g(:a) : g(a2) - g. 3"u"2 rpa6ea Aa e r43n.brrHe'oyciroBr4ero p: a2 -

3 > 0, or xr4ero crreABa, .re a € (-m, -h]U [*,-)

3a6e"rre>rxa: Pas6npa ce, BT,3Mo)KHr,r ca r4 pa:Jrrrqr{r4 Apyrr{ pelregr4s,

SaAa.ra 2 (7 t.). !,a4en e rpaneq'br ABCD c rorrs\,{a ocHoBa AB :29 ra 6e4paAD :73, BC - 15, e Kofiro Ar4aroHaJribr BD pa3rroJroBssa IABC.

a) (2 r.) fa ce AoKax(e) qe Br,rcor{r4}rara Ha rpaneqa e 12.6) (2 r.) fa ce HaNrepr4 Kocr4Hyca wa ICAD.n) (3 r.) B tparreqa e BrIIacaH npaBobfa,JrHr{Kbr MNPQ, Karo r. M v N rre)Kar

Ha ocHoBara AB, r. P ne>xra na 6e4poro BC 14T.Q rre)Kr4 ua 6e4poro AD. .4a cerral,Ieplr A'bJDKr4Hara Ha orcerrxata MQ raKa, r{e ruqero Ha rrpaBo.r,r.bJrnr4Ka M N PQ4a e uaft-roJrsr\4o.

Peruenrae. a) Tr'ft xaro BD e brJrofioJroBrnqa) ro ABCD e paeno6eApeH? orKT,Aero BC : BD :15. C"rre4 ToBa rpeKapBar\{e orceqKara DM ycnopeAua r4 paBHana BC (Qur. 1). r{ernpx'bfbJrHl4Kibr M BC D e or{eBr4Auo polr6, or KbAero cJreABa, r{e

BM :L5 v AM :29-15:14. C 4pyrz lJMr4 crpagr4re sa LAMD ca ctorBerHo13,1,4 u L5 vt or Xepononara $oprnryra fioryqaBar\4e? rre nr4qero wty Syyp: 84. Tr,ftxaro Stmr, : ll,ltt.nH : 7.DH, ro DH : 72.

Que. 1

6) Cera e scHo e, ire or AAHD (IAHD:90") Mo)KeM Aa rpecNrernexc AHz:AD2 - DH2 : 732 - r22 : s2 v AH : 5 ((DlIr. 1). crea roBa or rrpaBo.br.brrHr4sTprlibftJIrrvx DHB ra or $ar<Ta) rre HB : AB - AH :24nonyuaBarv{e) r{e r :t g lHBD: # : j . 3Ha .u4 cos IABC : t g2 lHBD: *4 : * .

t

Que. 2

flpnnararr,re ABa rrbrrl KocrrnycoBara reope\,ra 3a rpu'brbJtrr[qr4Te ABC w DAC ltnpec\,rsrarue rocJreAoBareJrno C M : t/S++ r4 cos lC AD :

#.

s) tUe rocraBI,INI no - o6qa 3aAaqa. Hexa ABC e rrpor43BoJreH Tpr4br.brrr{r4K, 3ar<ofiro AB : c vr Bulco*utuara npe3 Bbpxa C wra AIJDKT{Ha h. B ABC pa3roJraraNrerpaBoa,fr,Jrrmx MNPQ, erpxosere M n l[ ua xoftro Jre)Kar Ha crpanara AB, P eroqKa or BC u Q or AC : b. flonaraNre crreA ror,a IVIN : p, MQ : pQ : q,AQ : r vt QC : y (Qvrr.3). Ot no4o6Nero Ha c'borBerHr4Te rpr4T,fr,JrHr4rlr4 ce Br4x<Aa,-re fi :

ffi : t t 2 : fi . 3navu pq : $ry. Toecr Ba rrr{qero Ha rpaBobfbrrHr4Ka

r4N{aMe pq: ffr(b-r) . ffi_(br-r2). Jlecso ce BrDKAa, .re $ynxqznra f (r) : br-r2 epacrslqa B I4HTepBaJru 10, ;l r Toecr Ao Karo orcerrKara M N e iro - foJrsMa or opeAHaraorceqKa Ha rpr4bfr,JrrrrrKa ABC.

@ue. 3

Axo cera rpoAibJDKrrir,r 6e4para Ha rpaleqa ABCD, To [oryr{enr4fl Tpr4.bf.bJrlrrKrle I4I\{a cpeAHa orcer{Ka + : T:14,5 < 15 : CD. Or rosa cJreABa, rre rr4r{ero HaHarJrvrfl [paBoibfibJrul4K e I\{aKcrrN{aJrrvro, Koraro orcerrKara M N (trnv pQ)

" N{aKcr.rNraJrHa,

r.e. rpr PQ : 15. w raKa orceqxara AQ e paBna na 12 unv JW + W : 1/J69 "3aBr4cr4rvrocr or pa3noJro>Kenrdero sa M ra ly' e orce.{xara AB.

3a4ava 3 (7 rovr<z). B rrr4paMr4Aara ABCDM c Bp.bx M ocloeara ABCD epoll6 cbc crpaHa 6 u ocrtp r,r'bJl 60o. Br'px'rr M ce [poeKTr4pa B rrpecer{Hara roqKaO n?AzraronaJrure Ha ABCD. Jluqero Ha oKoJrHara rrots.EpxHr4Ha Ha [r4paMr{Aara e36J3.

a) (2 r.) {oxaxere, rre BcI4.IKI4 ABycreH:s{u'bl'Jrzr [pr4 ocFroBara ca paBHrr na 60o.6) (2 r') foxaNere) r{e OM : 912 v rrpecN,rerHere paAr{yca Ha Brrr4cagara B

nr{paMr{Aara c@epa.n) (3 r.) To'{Kara 7 e cpe4a na C M .llocrpofire ceqeHr4e Ha nrrpaMr4Aara c paBnr4rra

), r<oato MI4HaBa Iipe3 T. A wT I4 e yc[opeAna Ha BD. Har,repere Jrr4r{ero Ha cerregr4ero.

Peurenrae. a) fnycterlnl4Te bfJrr4 rrpr4 ocnoBr{r4Te pt6one ca paBura, 3auloro aloreMrareca paBHI4 (npoei<quure I4M ca paAldyc Ha Bfir,rcaHara B ocnoBara oKpr,x<nocr) 14 ocHoBHr4Te

p'b6oBe ca eAr{aKBr4. flpoexqraflTa Ha oKoJrrrara rroBbpxHr4ua e pou6a, roftro e ocuoBarasa ABCDM. Tofr.I4rura rrrrqe o : 6.6.cos60o :36+: 18/5. Axo osna.rwM c gAByCTeHHI4flT brbJl N{e)KAy OKOJIHa CTeHa I4 OCHOBa, TO tIO I43BeCTHaTa 3aBI4CI,I1\,{OCT

18/5:36v€cosp. Or ryr roryr {aBarvre, qe cos p: * ; p :60o.

6) 3a JII4qero lla ocHoBara e rrcrbJrlreuo S.q,scn : 18/5 : 6h, or KbAero ceroJryrraBa, se h : 3J5. ABCD e pou6, cJreAoBare ryno h,: 2r, KbAero r e paAr4ycbrHa Brl4canara B ABC D oKp'bx<Hocr. trtl raxa, , : Y ^ o, Y : tg 60' -- {Z cJreABa,He Mo : rJJ : + \ /S: g .

Pa4nyctr c$epara B'bB BceKI4 onr{caH MHorocreH e paBen Ha rpr{ nr.,ru o6elraHa MHO|OCTeHa, paSAeJIeH Ha IIT'JIHaTa NIy [OBtpXHI4Ha. B ra3l{ 3aAarra CilONreFraTr4TeBeJrr4lrtr{Hr4 Ce [pec\,{sTaT TprrBr,raJ]Ho r4 3a paAr4yca ce [oIyr{aea vmcnoro }.

n) Tpn'rrc,rnr{Kibr ABD ( tyr. AorrycKa\de, ue lA: 60') e paBnocrparreH r4crpauara rvry e 6. 3na-lu AO e N{eAr4aHa v AO: OC :3J3. Toraea 3a oKoJrHr4s pr,,6AAII : C M ce rroJryr{aBa (or llur:aropoBara reopelra)

- sytrt2

AM2 : AO2 + OM2 : (3r /3)r . ( ; ) ' :7, . r r ,

w cllel c'boTBeTHLrTe flpectr,Israntrfl AM

Quz. /t

Tpurrunuux'r'r AC M e panno6e4peH r4 7 e cpe4a na C M. 3na-{rT T rt[ : luo :

?. _Ot 4pyra crpaHa oqeBI4AHo ar<o -R e oprofoHarruara npoeKrlr4s Ha ? e AdC D, ro# : f . Cle4oearerlno tg lT AD : #.IIo useecrr{r4re or crrpaBoLrHr4qure $opvry,rzuoyriBaNre, qe cos ITAD: ' ' '1r2.

fa pasrneAal,Ie cefa "p"J"l{rrt

mxa AC M. B nero orcerrKr4Te AT n MO car,{enr4arrr4.Or ryx ce rlorlyi{aBa) qe YE :

W :2, sarqoro PQ eycropeAHa wa BD (ceveuvrero e

ycrropeAl{o ua BD). Herca X vY ca oproroHaJrHr4Te npoeKrlr4r4 ua P w Q n paeunHaraIra ocHoBara. Vl TaKa, [poeKqrrsra Ha ceqenr4ero B ocuoBara e rrerl4pxrrt.bJrr{IrKibr

AXRY. Or useecrHl4re orHorrrenr4.s (XY : PQ, % : % :2, AO : OC w

#:3) ce erz>rAa rrecuo, .re ,SaxRy : isoucr:9/3. Cera ocraea 4a or6ure)Kr{M,\e ITAD e ABycrennrrsr r:,r'bJl Me)KAy paBuranara Ha ocuoBara r4 AaAeHoro cerreHge,3arrloro npecer{Hzqara Ha re3r{ paBHzHrr e ycnopeAHa wa B D, a [paBr4Te AC vt AT carprIeHAI4KyJIspHI4 wa BD (reopewra 3a rpr{Te neprrenAr4KyJrl{pa). 3naqu aKo Jrr4qeroHa cerreHl4ero e S, ro Snxav: ,9cos ITAD;9Ji : S?#

" oKoHrrarerruo ,S : Zr/fr.

3a6ene>xxa: Btglrox(Ho e Aa crrr4Tarv{e, qe IDAC : 120o - B ycJroBr4ero He eyKa3aHo xoft ro'{Ho e ocrpl4srbfr,Jr B oc}roBara. Torasa B noAycJroBrae e) ce [oryr{aBaApyf oTroeop(,S : */1011), no peruenr4ero e HarbJrHo aHaJrorr4rrno c r43Jro)KeHoroIIo - fope (npoexqraara Ha cerrenl4ero B ocHoBara r4Ma c.bx{oro Jrr4rle, Ho ARycreHHr4flTibrlbJr e ro - foJrslu: cos ITAD : # ).

pae6ilpa ce) r{ ToBa perreHr4e 4o6ana c.},trlr4s6poft rovxr4 KbM pa6orara

"u "u"h?aar - cryAeuTa.