Университет по архитектура, строителство и геодезия - София - ПО-СТАРИ ТЕМИ (1992 -2004) и НЯКОЛКО П

1

Óíèâåðñèòåò ïî Àðõèòåêòóðà, Ñòðîèòåëñòâî èÃåîäåçèÿ � Ñîôèÿ

1992 ãîäèíà

Çàäà÷à 1. Ðåøåòå óðàâíåíèåòî

45x2

2512x

2 − 3x2+1 − 54 = 0 .

Çàäà÷à 2. Äàäåíà å ôóíêöèÿòà y =x+ 1

x− 3.

à) Ïðåç òî÷êàòà ñ àáñöèñà x = 4 å ïðåêàðàíà äîïèðàòåëíà êúì ãðàôè-êàòà íà ôóíêöèÿòà, êîÿòî ïðåñè÷à îñèòå Ox è Oy ñúîòâåòíî â òî÷êè Mè N . Íàìåðåòå ëèöåòî íà òðèúãúëíèêà OMN , êúäåòî O å íà÷àëîòî íàêîîðäèíàòíàòà ñèñòåìà.á) Íåêà P å òî÷êà îò îòñå÷êàòà MN è íåêà PM = tMN , êúäåòî

t ∈ [0, 1] . Èçðàçåòå âåêòîðà−→OP ÷ðåç âåêòîðèòå

−−→OM è

−−→ON . Ïðè êîÿ

ñòîéíîñò íà ïàðàìåòúðà t âåêòîðèòå−→OP è

−−→MN ñà ïåðïåíäèêóëÿðíè?

â) Íàìåðåòå àáñöèñàòà x0 > 3 íà îíàçè òî÷êà îò ãðàôèêàòà íà ôóíêöè-ÿòà, äîïèðàòåëíàòà êúì êîÿòî îòñè÷à îò ïúðâè êâàäðàíò òðèúãúëíèê ñíàé-ìàëêî ëèöå.

Çàäà÷à 3. Îñíîâàòà ABC íà òðèúãúëíàòà ïèðàìèäà SABC åðàâíîáåäðåí òðèúãúëíèê ñ AC = BC . Ïðåêàðàíà å úãëîïîëîâÿùàòàAN (N ∈ BC ) , ÷èåòî ïðîäúëæåíèå ïðåñè÷à îïèñàíàòà îêîëî òðèú-ãúëíèêà ABC îêðúæíîñò â òî÷êàòà K , à SN å âèñî÷èíàòà íà ïèðàìè-äàòà. Ïðåç îòñå÷êàòà AN å ïðåêàðàíî ñå÷åíèå, óñïîðåäíî íà îêîëíèÿðúá CS , êîåòî ñêëþ÷âà ñ îñíîâàòà íà ïèðàìèäàòà äâóñòåíåí úãúë α .Íàé-ãîëÿìàòà ñòðàíà íà òîâà ñå÷åíèå å ðàâíà íà 2 . Íåêà AN = 3NK .à) Äîêàæåòå, ÷å òðèúãúëíèêúò ABC å ðàâíîñòðàíåí.á) Íàìåðåòå îáåìà íà ïèðàìèäàòà.

2


1993 ãîäèíà

Çàäà÷à 1. Äàäåíà å ôóíêöèÿòà f(x) = x− 3− 2√x− 2 .

à) Ðåøåòå óðàâíåíèåòî f(x) = 0 .á) Íàìåðåòå êîîðäèíàòèòå íà òî÷êà îò ãðàôèêàòà íà f(x) , â êîÿòî äîïè-ðàòåëíàòà å óñïîðåäíà íà ïðàâàòà, ìèíàâàùà ïðåç òî÷êèòå îò ãðàôèêàòàñ àáñöèñè x = 2 è x = 6 .

Çàäà÷à 2. Çà úãëèòå α , β è γ íà òðèúãúëíèê å èçïúëíåíî ðàâåí-ñòâîòî

2 cosα cosβ + cos γ =1

2.

à) Èçðàçåòå úãëèòå α è β ÷ðåç γ .á) Èçðàçåòå ëèöåòî S íà òðèúãúëíèêà ÷ðåç ðàäèóñà R íà îïèñàíàòàîêðúæíîñò è úãúëà γ .â) Îïðåäåëåòå cos γ çà îíàçè ñòîéíîñò íà úãúëà γ , ïðè êîÿòî çà ôèêñè-ðàíî R ëèöåòî S å íàé-ãîëÿìî.

Çàäà÷à 3. Äàäåíà å ïðàâèëíàòà òðèúãúëíà ïèðàìèäà MABC ñîñíîâà ðàâíîñòðàííèÿ òðèúãúëíèê ABC . Ïðåç òî÷êà A å ïðåêàðàíàðàâíèíà α , óñïîðåäíà íà ïðàâàòà BC è ïåðïåíäèêóëÿðíà íà ðàâíèíàòàBCM , êîÿòî ïðåñè÷à ðúáîâåòå BM è CM ñúîòâåòíî âúâ âúòðåøíèòåòî÷êè P è Q . Îòíîøåíèåòî íà ëèöàòà íà òðèúãúëíèöèòå PQM è BCMå λ2 (λ > 0 ) .à) Íàìåðåòå ñèíóñà íà äâóñòåííèÿ úãúë ìåæäó îêîëíà ñòåíà è îñíîâàòà.á) Àêî öåíòúðúò íà âïèñàíàòà â ïèðàìèäàòà ñôåðà ëåæè â ðàâíèíàòà αè AB = 1 , îïðåäåëåòå ðàçñòîÿíèåòî ìåæäó êðúñòîñàíèòå ïðàâè, âúðõóêîèòî ëåæàò ìåäèàíèòå AA1 è BB1 íà òðèúãúëíèöèòå ABC è BCM .

3


1994 ãîäèíà

Çàäà÷à 1. Ðåøåòå óðàâíåíèåòî(1

5

)log25 (x2 + 2x+ 5)= 7

log17(3x+ 1)

.

Çàäà÷à 2. Äàäåí å êðúãîâ ñåãìåíò, îãðàíè÷åí îò õîðäàòà AB è

äúãàòà èìà ìÿðêà_AB = α , êúäåòî α < 180◦ . Îòñå÷êàòàMN å ïåðïåí-

äèêóëÿðíà íà õîðäàòà AB , êàòîM ∈ AB èN ∈_AB . Íåêà

_BN = x

_AN

è BM = y AM .à) Èçðàçåòå y êàòî ôóíêöèÿ íà x .

á) Àêî y = f(x) è α = 150◦ , ïðåñìåòíåòå limx→ 0

f(x)

x.

Çàäà÷à 3. Äàäåí å ïðàâ êðúãîâ êîíóñ ñ äèàìåòúð íà îñíîâàòà 2Rè âèñî÷èíà R . Â êîíóñà å âïèñàíà ïðàâèëíà òðèúãúëíà ïðèçìà òàêà,÷å åäèíèÿò �è îêîëåí ðúá ëåæè â îñíîâàòà íà êîíóñà, à ñðåùóïîëîæíàòàíà òîçè ðúá îêîëíà ñòåíà èìà âúðõîâå âúðõó îêîëíàòà ïîâúðõíèíà íàêîíóñà è å óñïîðåäíà íà îñíîâàòà ìó. Íàìåðåòå ìàêñèìàëíèÿ îáåì íàïðèçìàòà.

4


1995 ãîäèíà

Çàäà÷à 1. Äàäåí å èçðàçúò

f(x) = log 1√5

(a 6x − 36x

),

êúäåòî a å ïàðàìåòúð.à) Äà ñå ðåøè íåðàâåíñòâîòî f(x) ≥ −2 ïðè a = 6 .á) Äà ñå íàìåðè ãðàíèöàòà

lima→+∞

(m(a) + 4 log5 (a+ 1) ) ,

êúäåòî m(a) å íàé-ìàëêàòà ñòîéíîñò íà f(x) .

Çàäà÷à 2. Äàäåí å òðàïåö ABCD . Ãîëÿìàòà îñíîâà AB å äèà-ìåòúð íà îêðúæíîñò, êîÿòî ñå äîïèðà äî îñíîâàòà CD è ïðåñè÷à áåäðàòà

AD è BC ñúîòâåòíî â òî÷êè L è M , êàòîBM

MC=

AL

LD= k .

à) Äà ñå äîêàæå, ÷å òðàïåöúò å ðàâíîáåäðåí.á) Àêî ϕ =<) BAD , äà ñå èçðàçè cos 2ϕ êàòî ôóíêöèÿ íà k .

Çàäà÷à 3. Äàäåíà å ïðàâèëíà ïðåñå÷åíà ÷åòèðèúãúëíà ïèðàìèäàABCDA1B1C1D1 ñ âèñî÷èíà h . Îêîëíèÿò �è ðúá ñêëþ÷âà ñ ðàâíèíàòà íàîñíîâàòà úãúë α , à òåëåñíèÿò �è äèàãîíàë ñêëþ÷âà ñúñ ñúùàòà ðàâíèíàúãúë β . Ïðåêàðàíà å ðàâíèíà ïðåç òåëåñíèÿ äèàãîíàë AC1 , óñïîðåäíàíà BD .à) Äà ñå íàìåðè ëèöåòî íà ïîëó÷åíîòî ñå÷åíèå.á) Ïðè α = 2β , äà ñå îïðåäåëè îòíîøåíèåòî íà îáåìèòå, íà êîèòîñå÷åíèåòî ðàçäåëÿ ïèðàìèäàòà.

5


1996 ãîäèíà

Çàäà÷à 1. Ïðè êàêâè ñòîéíîñòè íà ðåàëíèÿ ïàðàìåòúð m ôóíê-öèÿòà f , îïðåäåëåíà îò èçðàçà

f(x) = 2x3 − 3(3m− 1)x2 + 6mx−m2

å ðàñòÿùà â èíòåðâàëà (1,+∞) ?

Çàäà÷à 2. Â òðàïåö ABCD ñ ïðàâè úãëè ïðè âúðõîâåòå A è Bè BC < AD å âïèñàíà îêðúæíîñò, êîÿòî ñå äîïèðà äî ñòðàíàòà CD âòî÷êà T . Ïðàâàòà AT ïðåñè÷à ïðîäúëæåíèåòî íà ñòðàíàòà BC â òî÷êàF òàêà, ÷å çà ëèöàòà SADT è SCTF íà òðèúãúëíèöèòå ADT è CTF åèçïúëíåíî SADT = k2 SCTF .à) Íàìåðåòå îòíîøåíèåòî íà ñòðàíèòå AD è BC .

á) Èçðàçåòå âåêòîðèòå−→AT è

−−→DC ÷ðåç âåêòîðèòå

−→AB = −→a è

−−→AD =

−→b ,

àêî k = 4 .

Çàäà÷à 3. Äàäåíà å ïðàâèëíà ÷åòèðèúãúëíà ïèðàìèäà ABCDSñ îñíîâà ABCD , îñíîâåí ðúá a = AB è îêîëåí ðúá b = AS . Ïðåç òî÷êàL îò äèàãîíàëà AC íà îñíîâàòà ( 0 ≤ AL ≤ AC ) å ïðåêàðàíà ðàâíèíà,óñïîðåäíà íà AS è BDà) Íàìåðåòå ëèöåòî íà ñå÷åíèåòî S êàòî ôóíêöèÿ íà x = AL .á) Èçñëåäâàéòå ôóíêöèÿòà îò ïîäòî÷êà à) ïðè a = 5 è b = 8 .â) Çà êîè ñòîéíîñòè íà x â ñå÷åíèåòî ìîæå äà ñå âïèøå îêðúæíîñò?

6


1997 ãîäèíà

Çàäà÷à 1. Äàäåíî å íåðàâåíñòâîòî

x log12p 4 − x2 > 3 + 2 log2 p

2

êúäåòî p å ïàðàìåòúð, à x � ïðîìåíëèâà.à) Ðåøåòå íåðàâåíñòâîòî ïðè p = −4 .á) Çà êîè ñòîéíîñòè íà ïàðàìåòúðà p íåðàâåíñòâîòî èìà ïîíå åäíî ðå-øåíèå?â) Ïðåñìåòíåòå ãðàíèöàòà

limp→−∞

( √p 2 − p+ 1 + p

).

Çàäà÷à 2. Òðèúãúëíèêúò ABC èìà ñòðàíè AB = 5 , BC = 4 èCA = 3 . Òî÷êàòà D ëåæè íà ñòðàíàòà AB .à) Àêî <) ACD = ψ , ïðåñìåòíåòå ðàäèóñèòå rA è rB íà îêðúæíîñòèòå,êîèòî ñà âïèñàíè ñúîòâåòíî â òðèúãúëíèöèòå ADC è BDC êàòî ôóíê-

öèè íà cotgψ

2.

á) Íàìåðåòå íàé-ãîëÿìàòà ñòîéíîñò íà ïðîèçâåäåíèåòî rA rB .

Çàäà÷à 3. Ïèðàìèäàòà QABCD èìà çà îñíîâà êâàäðàòà ABCDñúñ ñòðàíà a . Ðàâíèíàòà íà îêîëíàòà ñòåíà QAD å ïåðïåíäèêóëÿðíà íàðàâíèíàòà íà îñíîâàòà. Îêîëíèòå ðúáîâå QA è QD ñà ðàâíè, à äâóñòåí-íèÿò úãúë ïðè ðúáà BC å ðàâåí íà ϕ .à) Íàìåðåòå ðàäèóñà R1 íà îïèñàíàòà îêðúæíîñò îêîëî 4QAD .á) Äîêàæåòå, ÷å îêîëî ïèðàìèäàòà ìîæå äà ñå îïèøå ñôåðà è ïðåñìåò-íåòå íåéíèÿ ðàäèóñ R .â) Äà ñå íàìåðè tgϕ , êîãàòî öåíòúðúò O íà ñôåðàòà ëåæè âúðõó îñíî-âàòà ABCD . Äîêàæåòå, ÷å O íå ìîæå äà ëåæè â ðàâíèíàòà QBC .

7


1998 ãîäèíà

Çàäà÷à 1. Äàäåíà å ôóíêöèÿòà

f(x) =8(x3 + x)

(2x+ 1)3 .

à) Ïðåñìåòíåòå limx→+∞

f(x) .

á) Äîêàæåòå, ÷å àêî x ∈[

1

3, +∞

), òî

16

27≤ f(x) < 1 .

â) Çà êîè ñòîéíîñòè íà ïàðàìåòúðà c óðàâíåíèåòî f(x) = c èìà òî÷íî

äâå ðàçëè÷íè ðåøåíèÿ, ïðèíàäëåæàùè íà èíòåðâàëà

[1

3, +∞

)?

Çàäà÷à 2. Â òðèúãúëíèêà ABC òî÷êàòà D ïðèíàäëåæè íà ñòðà-íàòà BC , êàòî BD = k BC ( 0 < k < 1 ) , à òî÷êàòà E ïðèíàäëåæè íàñòðàíàòà AC è ED å óñïîðåäíà íà AB .à) Äà ñå ïðåñìåòíå îòíîøåíèåòî íà ëèöàòà íà òðèúãúëíèöèòå ABD èEDC .á) Çà êîÿ ñòîéíîñò íà k ïðîèçâåäåíèåòî íà ëèöàòà íà òðèúãúëíèöèòåABD è EDC å íàé-ãîëÿìî?

â) Íåêà k =1

3. Äà ñå èçðàçè âåêòîðúò

−−→AD ÷ðåç âåêòîðèòå

−→AB è

−→AC è,

àêîAC =

√2AB , äà ñå íàìåðè <) BAC òàêà, ÷å AD äà å âèñî÷èíà â

4ABC .

Çàäà÷à 3. Îñíîâàòà ABC íà ïðèçìàòà ABCA1B1C1 å ðàâíîáåä-ðåí ïðàâîúãúëåí òðèúãúëíèê ñ êàòåòè AB = BC = b . Îðòîãîíàëíàòàïðîåêöèÿ íà âúðõà B1 â ðàâíèíàòà íà îñíîâàòà å ñðåäàòà íà AC . Ïðåçñðåäèòå M è N íà AB è BC è ïðåç òî÷êà P , ëåæàùà âúðõó ïðîäúëæå-íèåòî íà ðúáà BB1 (B å ìåæäó B1 è P ) å ïîñòðîåíà ðàâíèíà λ . Àêî

BB1 = b è BP =b

2, ïðåñìåòíåòå:

à) ëèöåòî íà ñå÷åíèåòî íà ðàâíèíàòà λ ñ ïðèçìàòà ABCA1B1C1 ;á) îòíîøåíèåòî íà îáåìèòå íà òåëàòà, íà êîèòî λ ðàçäåëÿ ïðèçìàòà;â) òàíãåíñà íà úãúëà ìåæäó ïðàâàòà PM è ðàâíèíàòà ABC .

8


1999 ãîäèíà

Çàäà÷à 1. Äàäåíî å óðàâíåíèåòî

1 + sin 2x− 2√

2 b (sinx+ cosx)− 6 b2 = 0 ,

êúäåòî b å ïàðàìåòúð.

à) Çà êîè ñòîéíîñòè íà b òîâà óðàâíåíèå èìà êîðåí, ðàâåí íàπ

4?

á) Ðåøåòå óðàâíåíèåòî, àêî b =

√2

2.

â) Çà êîè ñòîéíîñòè íà b óðàâíåíèåòî èìà ïîíå åäíî ðåøåíèå â èíòåðâàëà[0,π

3

]?

Çàäà÷à 2. Âúðõó ñòðàíèòå AB , BC , CD è DA íà ðàâíîáåäðåíòðàïåö ABCD (AD = BC ) ñà âçåòè ñúîòâåòíî òî÷êèòå M , N , P è Qòàêà, ÷å ÷åòèðèúãúëíèêúò MNPQ å êâàäðàò. Äà ñå äîêàæå, ÷å:à) AQ = CN ;á) ïðåñå÷íàòà òî÷êà íà äèàãîíàëèòå íà MNPQ ëåæè âúðõó ñðåäíàòàîòñå÷êà íà òðàïåöà;â) àêî S1 è S2 ñà ñúîòâåòíî ëèöàòà íà òðàïåöà è êâàäðàòà, à α å úãúëúòAMQ , òî S1 = (1 + sin 2α) S2 .

Çàäà÷à 3. Äàäåíà å ïðàâèëíà òðèúãúëíà ïðèçìà ABCA1B1C1 ,íà êîÿòî âñè÷êè ðúáîâå ñà ðàâíè. Âúðõó îêîëíèÿ ðúá BB1 å âçåòà òî÷êà

M òàêà, ÷åBM

BB1= λ ( 0 ≤ λ ≤ 1 ) . Ïðåç A , M è C1 å ïðåêàðàíà

ðàâíèíà, êîÿòî äåëè ïðèçìàòà íà ìíîãîñòåíèòå ñ âúðõîâå AMA1B1C1 èABCMC1 , êîèòî èìàò îáåìè ñúîòâåòíî V1 è V2 .à) Èìà ëè ñòîéíîñò íà λ , çà êîÿòî å èçïúëíåíî ðàâåíñòâîòî V1 = V2 ?

á) ÈçðàçåòåV1

V2êàòî ôóíêöèÿ íà λ è íàìåðåòå íàé-ãîëÿìàòà è íàé-

ìàëêàòà ñòîéíîñòè íà òàçè ôóíêöèÿ.â) Íåêà ϕ å äâóñòåííèÿò úãúë ìåæäó ðàâíèíèòå AMC1 è ABC . Èçðà-

çåòå tgϕ ïîñðåäñòâîì λ è äîêàæåòå, ÷å ϕ ≥ π

4.

9


2000 ãîäèíà

Çàäà÷à 1. Äàäåíè ñà ôóíêöèèòå

f(x) = log 1√5

(6x+ 1 − 36x

), g(x) = x+

p

x,

êúäåòî p > 0 å ðåàëåí ïàðàìåòúð.à) Äà ñå ðåøè íåðàâåíñòâîòî f(x) ≥ −2 .á) Äà ñå íàìåðè íàé-ãîëÿìàòà ñòîéíîñò íà ôóíêöèÿòà g(x) â èíòåðâàëà (−∞, 0 ) .â) Äà ñå äîêàæå, ÷å ïðè p ≥ 1 íåðàâåíñòâîòî f(x) > g(x) å èçïúëíåíî çà âñÿêîx < 0 .

Çàäà÷à 2. Òðèúãúëíèêúò ABC ñ úãëè β è γ ñúîòâåòíî ïðè âúðõîâåòå B èC å îïèñàí îêîëî îêðúæíîñò k ñ ðàäèóñ r .à) Ïðåñìåòíåòå ñòðàíàòà BC .á) Òðèúãúëíèêúò A1B1C1 å âïèñàí â îêðúæíîñòòà k è å ïîäîáåí íà òðèúãúëíèêàABC , êàòî

AB

A1B1

=BC

B1C1

=CA

C1A1

= λ .

Íåêà <) BAC = 60◦ . Èçðàçåòå cos (β − 60◦) êàòî ôóíêöèÿ íà λ .â) Ïðè óñëîâèÿòà îò çàäàíèå á) äîêàæåòå, ÷å λ ≥ 2 . Çà êîè ñòîéíîñòè íà λ òðèú-ãúëíèêúò ABC å òúïîúãúëåí?

Çàäà÷à 3. Îñíîâàòà ABC íà ïèðàìèäàòà ABCS å ðàâíîñòðàíåí òðèúãúë-íèê, êàòî îðòîãîíàëíàòà ïðîåêöèÿ O íà âúðõà S â ðàâíèíàòà íà îñíîâàòà ëåæè íàâèñî÷èíàòà êúì ñòðàíàòà AB íà òðèúãúëíèêà ABC . Îêîëíàòà ñòåíà SAB è ðúáúòSC ñêëþ÷âàò ñ îñíîâàòà îñòúð úãúë α . Ïðåç âúðõà C óñïîðåäíî íà AB å ïðåêàðàíàðàâíèíà ρ , êîÿòî ïðåñè÷à ðúáîâåòå SA è SB ñúîòâåòíî â òî÷êèòå M è N , êàòîMA

AB= k , 0 < k < 1 .

à) Äîêàæåòå, ÷å ðàâíèíàòà ρ äåëè âèñî÷èíàòà SO â îòíîøåíèå2k

1− k, ñ÷èòàíî îò

âúðõà S .

á) Äîêàæåòå, ÷å àêî úãúëúò ìåæäó ðàâíèíèòå ρ è ABC å β , òî tgβ =1− k

1 + ktgα .

â) Íàìåðåòå úãúëà ìåæäó ðàâíèíàòà ρ è ïðàâàòà BC , àêî ðàâíèíàòà ρ ðàçïîëîâÿâàâèñî÷èíàòà SO è tgα =

√2 .

10


2001 ãîäèíà


f(x) =sin 2x

sin(x+

π

4

) .

à) Ðåøåòå óðàâíåíèåòî f(x) = 2√

3 cos(x+

π

4

).

á) Äîêàæåòå, ÷å

f ′ (x) =√

2(cosx− sinx) (1 + sinx cosx)

sin 2(x+

π

4

) .

â) Íàìåðåòå çà êîè ñòîéíîñòè íà ðåàëíèÿ ïàðàìåòúð a óðàâíåíèåòî f(x) = a èìàðåøåíèå â èíòåðâàëà

[0,π

2

].

Çàäà÷à 2. Â îñòðîúãúëíèÿ òðèúãúëíèê ABC úãúë <) ACB èìà ìÿðêà γ .Îêðúæíîñòèòå k1 è k2 , ñ öåíòðîâå O1 è O2 ñúîòâåòíî, ìèíàâàò ïðåç òî÷êà C . Îêðú-æíîñòòà k1 ñå äîïèðà äî AB â òî÷êà A , à îêðúæíîñòòà k2 ñå äîïèðà äî AB â òî÷êàB .à) Äîêàæåòå, ÷å <) O1CO2 = 2γ .á) Èçðàçåòå îòñå÷êàòà O1O2 è ñòðàíàòà AB ÷ðåç úãúëà γ è ðàäèóñèòå r1 è r2 íàîêðúæíîñòèòå k1 è k2 .â) Àêî úãëèòå <) BAC , <) ABC è γ îáðàçóâàò àðèòìåòè÷íà ïðîãðåñèÿ â óêàçàíèÿ

ðåä, èçðàçåòå îòíîøåíèåòî λ =r1r2

÷ðåç γ è äîêàæåòå, ÷å λ >3

4.

Çàäà÷à 3. Äàäåíà å ïèðàìèäàòà SABCD ñ âðúõ S è ñ îñíîâà ïðàâîúãúëíèÿòòðàïåö ABCD , â êîéòî ïðàâèòå úãëè ñà ïðè âúðõîâåòå A è B , ñòðàíàòà AD åóñïîðåäíà íà BC è AD > BC . Âèñî÷èíàòà CS íà ïèðàìèäàòà å 3 ñì. Úãúëúòìåæäó ñòåíàòà ABS è îñíîâàòà ABCD å ðàâåí íà úãúëà ìåæäó ðúáà SD è îñíîâàòàABCD . Èçâåñòíî å îùå, ÷å BS = 5 ñì è 5 sin <) BSD = 4

√3 sin <) SBD .

à) Äà ñå äîêàæå, ÷å òðèúãúëíèöèòå DCS è BCS ñà åäíàêâè è ÷å BD = 4√

3 ñì.á) Äà ñå íàìåðè ëèöåòî íà ñå÷åíèåòî íà ïèðàìèäàòà ñ ðàâíèíà, êîÿòî ìèíàâà ïðåçBS è å óñïîðåäíà íà CD .â) Äà ñå íàìåðÿò êîñèíóñúò íà úãúëà è ðàçñòîÿíèåòî ìåæäó êðúñòîñàíèòå ïðàâèBS è CD .

11


Ïðèìåðíà òåìà çà 2002 ãîäèíà

Çàäà÷à 1. Äàäåíî å óðàâíåíèåòî cos 6 x − sin 6 x =a

8cos 2x ,

êúäåòî a å ïàðàìåòúð.à) Äà ñå ðåøè óðàâíåíèåòî çà a = 8 .á) Çà êîè ñòîéíîñòè íà a óðàâíåíèåòî èìà ðåøåíèå â èíòåðâàëà(−π

8,π

8

)?

Çàäà÷à 2. Â òðèúãúëíèêà ABC ðàäèóñúò íà âïèñàíàòà îêðúæ-íîñò å r , à úãëèòå ïðè âúðõîâåòå A è B ñà ñúîòâåòíî 45◦ è 60◦ . Âïè-ñàíàòà îêðúæíîñò ñå äîïèðà äî AC è BC ñúîòâåòíî â òî÷êè M è N èïðåñè÷à úãëîïîëîâÿùàòà BD â òî÷êè P è Q .

à) Äà ñå íàìåðè ëèöåòî íà 4PQN .á) Äà ñå íàìåðè ëèöåòî íà 4PQM .

Çàäà÷à 3. Îñíîâàòà íà ïèðàìèäà å ðîìá ñúñ ñòðàíà a. Âèñî÷èíè-òå íà äâå ñðåùóëåæàùè îêîëíè ñòåíè, ñïóñíàòè îò âúðõà íà ïèðàìèäàòàèìàò äúëæèíà h.

à) Äà ñå íàìåðè úãúëúò ìåæäó òåçè îêîëíè ñòåíè, àêî âèñî÷èíàòà íàîñíîâàòà å h

√2 .

á) Êàêúâ íàé-ãîëÿì îáåì ìîæå äà èìà òàêàâà ïèðàìèäàòà?

12




f(x) =2log3(x

2 − 2x+ 2)

1 + 2log3(2x− x2 − 2)2 .

à) Äà ñå äîêàæå, ÷å 0 < f(x) ≤ 1

2çà âñÿêî x .

á) Äà ñå íàìåðÿò ñòîéíîñòèòå íà ïàðàìåòúðà a , çà êîèòî óðàâíåíèåòî4 (f(x))2 − 2a f(x) + a2 + 2a = 0 èìà ðåøåíèå.

â) Äà ñå ðåøè óðàâíåíèåòî f(x) =1

2 sin(π

2x) .

Çàäà÷à 2. Ïðåç òî÷êàòà O , âúíøíà çà îêðúæíîñòòà k , ñà ïðå-êàðàíè äîïèðàòåëíèòå OT1 è OT2 êúì k . Ïðåç T2 å ïðåêàðàíà ïðàâàT2F ‖ OT1 , F ∈ k . Íåêà OF ïðåñè÷à k â òî÷êàòà E , à T2E ïðåñè÷àOT1 â òî÷êàòà M .

à) Äà ñå äîêàæå, ÷å M å ñðåäà íà OT1 .á) Àêî ME = 4 , ET2 = 12 è T1T2 = 8

√6 äà ñå íàìåðè ëèöåòî íà

4T1OT2 .

Çàäà÷à 3. Äàäåí å êóá ABCDA1B1C1D1 . Òî÷êèòå M è N ñàñðåäè ñúîòâåòíî íàB1C1 èD1C1 . Ïðåç òî÷êèòåA, C,M èN å ïîñòðîåíàñôåðà.

à) Äà ñå äîêàæå, ÷å öåíòúðúò íà ñôåðàòà ëåæè íà îòñå÷êàòà, ñúåäè-íÿâàùà öåíòðîâåòå íà ñòåíèòå ABCD è A1B1C1D1 .

á) Àêî ðúáúò íà êóáà å a , äà ñå ïðåñìåòíå ðàäèóñúò íà ñôåðàòà.

13


2002 ãîäèíà

Çàäà÷à 1. Äàäåíà å óðàâíåíèåòî

2x + a 2|x| − 1 = a+ 2

à) Ðåøåòå óðàâíåíèåòî ïðè a =1

2.

á) Íàìåðåòå ðåøåíèÿòà íà óðàâíåíèåòî â çàâèñèìîñò îò a .â) Èçðàçåòå a êàòî ôóíêöèÿ íà x è çà òàêà íàìåðåíîòî a = a(x)

ïðåñìåòíåòå ãðàíèöàòà limx→−∞

a(x) .

Çàäà÷à 2. Äàäåí å ïðàâîúãúëåí òðèúãúëíèê ABC ñ ïðàâ úãúëïðè âúðõà C è <) ABC = β . Îêðúæíîñò ñ ðàäèóñ r è öåíòúð ëåæàù íàîòñå÷êàòà BC ñå äîïèðà äî AB è AC .

à) Ïðåñìåòíåòå êàòåòèòå íà 4ABC .

á) Äîêàæåòå, ÷å ëèöåòî íà 4ABC å ðàâíî íà r2 (sinβ + 1)2

sin 2β.

â) Ïðè çàäàäåíî r çà êîÿ ñòîéíîñò íà β ëèöåòî íà òðèúãúëíèêà ABCå íàé-ìàëêî?

Çàäà÷à 3. Âñè÷êè ðúáîâå íà ïðàâèëíà òðèúãúëíà ïèðàìèäàABCD ñà ðàâíè íà 4b . Òî÷êèòå E è M ñà ñúîòâåòíî ñðåäè íà AB èBC . Ïðåç òî÷êàòàM å ïîñòðîåíà ðàâíèíà λ , óñïîðåäíà íà ïðàâèòå CEè BD .

à) Äîêàæåòå, ÷å ñå÷åíèåòî íà λ ñ ïèðàìèäàòà å òðàïåö è íàìåðåòåñòðàíèòå è ëèöåòî ìó.

á) Íåêà λ ïðåñè÷à ðúáà CD â òî÷êàòà N . Îïðåäåëåòå ðàçñòîÿíèåòîîò N äî ðàâíèíàòà (ABC) .

â) Íàìåðåòå ðàçñòîÿíèåòî îò òî÷êàòà C äî ðàâíèíàòà λ .

14



Çàäà÷à 1. Íåêà a > 0 , a 6= 1 è f(x) =a2

2ax− x2 .

à) Äà ñå íàìåðè äåôèíèöèîííîòî ìíîæåñòâî íà ôóíêöèÿòà loga f(x) .á) Äà ñå íàìåðè íàé-ìàëêàòà ñòîéíîñò íà ôóíêöèÿòà f(x) â èíòåðâàëà( 0, 2a ) .

â) Àêî a < 1 , äà ñå ðåøè óðàâíåíèåòî loga f(x) = 1− sinπ x

2a.

Çàäà÷à 2. Â òðèúãúëíèêà ABC , çà êîéòî AB < AC , âúðõó ïðà-âàòà BC ñà èçáðàíè òî÷êèòå Ha , La èMa òàêèâà, ÷å AHa , ALa è AMañà ñúîòâåòíî âèñî÷èíà, úãëîïîëîâÿùà è ìåäèàíà.

à) Äà ñå èçðàçÿò äúëæèíèòå íà îòñå÷êèòå HaLa è HaMa ÷ðåç ñòðà-íèòå íà òðèúãúëíèêà ABC .

á) Íåêà I å öåíòúðà íà âïèñàíàòà â òðèúãúëíèêà ABC îêðúæíîñòè AI : ILa =

√2 . Äà ñå äîêàæå, ÷å ALa å ìåäèàíà çà òðèúãúëíèêà

HaAMa .

â) Äà ñå äîêàæå, ÷ål4ah2

a

· m2a − h2

a

l2a − h2a

= 4R 2,

êúäåòî ha = AHa , la = ALa , ma = AMa , à R å ðàäèóñà íà îïèñàíàòàîêîëî òðèúãúëíèêà ABC îêðúæíîñò.

Çàäà÷à 3. Ñôåðà ñå äîïèðà äî âñè÷êè ðúáîâå íà ïèðàìèäàòàABCS . Ðàäèóñúò �è å ðàâåí íà r , à öåíòúðúò �è O ëåæè âúòðå â ïè-ðàìèäàòà âúðõó âèñî÷èíàòà �è SL , êàòî OS = r

√3 .

à) Äà ñå äîêàæå, ÷å AL = CL .á) Äà ñå äîêàæå, ÷å òðèúãúëíèêúò ABC å ðàâíîñòðàíåí.â) Äà ñå íàìåðè äúëæèíàòà íà âèñî÷èíàòà h = SL .

15



Çàäà÷à 1. Äàäåíà å ðåäèöàòà

a1 =1

2, an =

√√√√1−√

1− a2n− 1

2, n = 2 , 3 , 4 , . . .

à) Äà ñå äîêàæå, ÷å âñÿêî åñòåñòâåíî ÷èñëî n ñúùåñòâóâà úãúë

αn ∈(

0 ,π

2

)òàêà, ÷å an = sinαn . Äà ñå èçðàçè αn ÷ðåç n .

á) Äà ñå äîêàæå, ÷å ðåäèöàòà an å íàìàëÿâàùà è äà ñå íàìåðèlimn→∞

an 2n .

â) Äà ñå äîêàæå, ÷å α1 + α2 + · · ·+ αn <π

3, çà âñÿêî n .

Çàäà÷à 2. Â òðèúãúëíèêà ABC òî÷êàòà H å îðòîöåíòúð,<) ACB = γ , à R å ðàäèóñà íà îïèñàíàòà îêðúæíîñò.

à) Äà ñå èçðàçè CH ÷ðåç γ è R .á) Äà ñå äîêàæå, ÷å AH2+BC2 = BH2+AC2 = CH2+AB2 = 4R 2 .â) Äà ñå äîêàæå, ÷å TM = R , êúäåòî T è M ñà ñðåäèòå ñúîòâåòíî

íà CH è AB .

Çàäà÷à 3. Îñíîâàòà íà òðèúãúëíà ïðèçìà å ïðàâîúãúëåí òðèú-ãúëíèê ñ õèïîòåíóçà c è îñòúð úãúë α . Îêîëíàòà ñòåíà, ñúäúðæàùàõèïîòåíóçàòà, å ïåðïåíäèêóëÿðíà íà ðàâíèíàòà íà îñíîâàòà, à îêîëíàòàñòåíà, ìèíàâàùà ïðåç ïðèëåæàùèÿ íà úãúë α êàòåò, ñêëþ÷âà ñ îñíîâàòàíà ïðèçìàòà úãúë β .

à) Äà ñå íàìåðè òàíãåíñúò íà úãúëà ìåæäó òðåòàòà îêîëíà ñòåíà íàïðèçìàòà è îñíîâàòà �è.

á) Äà ñå ñå íàìåðè îáåìúò íà ïðèçìàòà, àêî îêîëíèÿò �è ðúá å ðàâåííà b .

16




f(x) = (1 + |a|)x 2 − 2 (a+ 3) x+ |a| − 1 ,

êúäåòî a å ðåàëåí ïàðàìåòúð.à) Çà êîè ñòîéíîñòè íà a íåðàâåíñòâîòî f(x) < 0 èìà ðåøåíèå?á) Çà êîè ñòîéíîñòè íà a ðåøåíèÿòà íà íåðàâåíñòâîòî f(x) < 0 îá-

ðàçóâàò èíòåðâàë ñ ìàêñèìàëíà äúëæèíà?â) Äà ñå íàìåðè lim

a→+∞(x2 − x1), êúäåòî x1 è x2 ñà êîðåíèòå íà óðàâ-

íåíèåòî f(x) = 0 è x1 < x2 .

Çàäà÷à 2. Îêðúæíîñòòà ñ äèàìåòúð BC ñå äîïèðà äî âïèñàíàòàâ òðèúãúëíèêà ABC îêðúæíîñò.

à) Äà ñå äîêàæå, ÷å ar = (p− b) (p− c) , êúäåòî AB = c , BC = a ,CA = b , p å ïîëóïåðèìåòúðà, à r � ðàäèóñà íà âïèñàíàòà â òðèúãúëíèêàABC îêðúæíîñò.

á) Äà ñå íàìåðè ëèöåòî íà òðèúãúëíèêà ABC ïî äàäåíè BC = a èr � ðàäèóñ íà âïèñàíàòà â òðèúãúëíèêà ABC îêðúæíîñò.

â) Àêî è îêðúæíîñòòà ñ äèàìåòúð AB ñå äîïèðà äî âïèñàíàòà â òðèú-ãúëíèêà ABC îêðúæíîñò, äà ñå äîêàæå, ÷å BC = AB .

Çàäà÷à 3. Äàäåíà å ïðàâèëíà ÷åòèðèúãúëíà ABCDS ñ âðúõ S .Òî÷êàòà M ëåæè íà ïðàâàòà BC , êàòî B å ìåæäó M è C , è

MB =1

2BC . Ïðåç M è ñðåäèòå íà ðúáîâåòå AB è CS å ïðåêàðàíà

ðàâíèíà. Â êàêâî îòíîøåíèå òàçè ðàâíèíà äåëè îáåìà íà ïèðàìèäàòà?

17



Çàäà÷à 1. Äàäåíà å óðàâíåíèåòî

sin 2 x+ 2 cos 3 x− a = 0 ,

êúäåòî a å ðåàëåí ïàðàìåòúð.à) Äà ñå ðåøè óðàâíåíèåòî ïðè a = 1 .á) Çà êîè ñòîéíîñòè íà a óðàâíåíèåòî èìà ðåøåíèå?

Çàäà÷à 2. Âúðõó ñòðàíèòåAB ,BC è CA íà òðèúãúëíèêABC ñàâçåòè ñúîòâåòíî òî÷êèòå M , N è P òàêà, ÷å ÷åòèðèúãúëíèêúò MNCP

å óñïîðåäíèê.à) Äà ñå íàìåðè íàé-ãîëÿìàòà ñòîéíîñò íà îòíîøåíèåòî íà ëèöàòà íà

÷åòèðèúãúëíèêà MNCP è íà òðèúãúëíèêà ABC .á) Äà ñå íàìåðè íàé-ìàëêàòà ñòîéíîñò íà CM 2 + PN 2 , àêî AC = b

è BC = a .

Çàäà÷à 3. Äàäåí å êóáúò ABCDA1B1C1D1 ñ ðúá a . Íåêà òî÷êèòåM , N è P äåëÿò ðúáîâåòå AB , AD è DD1 ñúîòâåòíî â îòíîøåíèÿ 1 : 1 ,2 : 1 è 1 : 4 .

à) Äà ñå äîêàæå, ÷å òî÷êàòà C1 ëåæè â ðàâíèíàòà MNP .á) Äà ñå íàìåðè úãúëúò ìåæäó ðàâíèíèòå ABC è MNP .â) Äà ñå íàìåðè ëèöåòî íà ñå÷åíèåòî íà êóáà ñ ðàâíèíàòà MNP .

18


2003 ãîäèíà


f(x) = lg2 x − 2 (a+ 1) lg x + 2a ,

êúäåòî a å ðåàëåí ïàðàìåòúð.

à) Ðåøåòå íåðàâåíñòâîòî f(x) ≤ 0 ïðè a =3

4.

á) Äîêàæåòå, ÷å çà âñÿêî a óðàâíåíèåòî f(x) = 0 èìà äâà ðàçëè÷íè êîðåíà x1 èx2 . Ïðåäñòàâåòå êàòî ôóíêöèÿ íà a èçðàçà

F (a) =x1x2

1 + 100x21 x

22

.

â) Äîêàæåòå, ÷å F (a) ≤ 1

20è íàìåðåòå çà êîè ñòîéíîñòè íà a ñå äîñòèãà ðàâåí-

ñòâî.

Çàäà÷à 2. Äàäåí å òðàïåöúò ABCD ñ îñíîâè AB è CD è áåäðà AD è BC ,ïðè êîåòî AB = 3 è CD = 1 . Òî÷êàòà M å îò áåäðîòî BC è M 6= C . Ïðåç òî÷êèòåD èM å ïðåêàðàíà ïðàâà, êîÿòî ïðåñè÷à äèàãîíàëà AC â òî÷êà P è ïðîäúëæåíèåòî

íà îñíîâàòà AB � â òî÷êà Q . ÍåêàAP

CP= λ.

à) Äîêàæåòå, ÷å λ ≥ 3 è ÷å BQ = λ− 3 .á) Íåêà k(λ) å îòíîøåíèåòî îò ëèöàòà íà òðèúãúëíèê PMC è òðèúãúëíèê

ABC

(SPMC

SABC

= k(λ)

). Äîêàæåòå, ÷å

k(λ) =1

(λ+ 1) (λ− 2).

â) Íàìåðåòå çà êîè ñòîéíîñòè íà λ å èçïúëíåíî

SPMC

SBQM

=1

3.

Çàäà÷à 3. Äàäåí å êóá ABCDA1B1C1D1 ñ ðúá a . Ïðåç âúðõà B , ñðåäàòà Míà ðúáà AD è ñðåäàòà N íà ðúáà CC1 å ïðåêàðàíà ðàâíèíà λ , êîÿòî ïðåñè÷à ðúáàDD1 â òî÷êà P .

à) Íàìåðåòå ëèöåòî íà ñå÷åíèåòî BNPM íà ðàâíèíàòà λ è êóáà.á) Íàìåðåòå úãúëà ìåæäó ïðàâèòå B1D1 è MP .â) Íàìåðåòå ðàçñòîÿíèåòî îò òî÷êà C äî ðàâíèíàòà λ .

19



Çàäà÷à 1. Äàäåíî å óðàâíåíèåòî

3√

(ax+ b) 2 +3√

(ax− b) 2 +3√a 2x 2 − b 2 =

3√b .

à) Äà ñå ðåøè óðàâíåíèåòî ïðè b = 1 .á) Äà ñå íàìåðè çà êîè ñòîéíîñòè íà ïàðàìåòðèòå a è b óðàâíåíèåòî

èìà åäèíñòâåíî ðåøåíèå.

Çàäà÷à 2. Ïðè ñòàíäàðòíèòå îçíà÷åíèÿ, çà òðèúãúëíèêà ABC åèçâåñòíî, ÷å

4√

3 cosα

2cos

β

2cos

γ

2= cosα+ cosβ + cos γ .

Äà ñå äîêàæå, ÷å

à) p√

3 = R

(1 + 4 sin

α

2sin

β

2+ sin

γ

2

);

á) sin(α− 30◦) + sin(β − 30◦) + sin(γ − 30◦) = 0 ;â) àêî γ å íàé-ãîëåìèÿ úãúë, òî γ > 120◦ .

Çàäà÷à 3. Â ñôåðà ñ ðàäèóñ R å âïèñàíà ïèðàìèäà ABCDF ñ

îñíîâà òðàïåö ABCD (AB ‖ CD) , çà êîéòî CD =

√3

2AB è

<) ABC = 75◦ . Îêîëíàòà ñòåíà ABF å ðàâíîáåäðåí òðèúãúëíèê(AF = BF ) è å ïåðïåíäèêóëÿðíà íà îñíîâàòà.

à) Äà ñå äîêàæå, ÷å öåíòúðúò O íà ñôåðàòà ëåæè íà FH , êúäåòî Hå ñðåäàòà íà AB .

á) Àêî âèñî÷èíàòà íà ïèðàìèäàòà å h , äà ñå äîêàæå, ÷å îáåìúò �è å

ðàâåí íà2 +

√3

12

(2Rh− h 2)h .

â) Èçìåæäó âñè÷êè òàêèâà ïèðàìèäè äà ñå íàìåðè âèñî÷èíàòà íàîíàçè ñ íàé-ãîëÿì îáåì.

20



Çàäà÷à 1. Äàäåíè ñà ïàðàáîëèòå ñ óðàâíåíèÿ y = x 2 + 1 èy = kx 2 − akx , êúäåòî k < 0 è a > 0 ñà ïàðàìåòðè.

à) Äà ñå íàìåðÿò íåîáõîäèìè è äîñòàòú÷íè óñëîâèÿ, èçðàçåíè ÷ðåçïàðàìåòðèòå, äâåòå ïàðàáîëè äà èìàò òî÷íî äâå îáùè òî÷êè.

á) Äà ñå èçðàçè a êàòî ôóíêöèÿ íà k ïðè óñëîâèå, ÷å äâåòå ïàðàáîëèäà èìàò òî÷íî åäíà îáùà òî÷êà M (xM , yM) è äà ñå íàìåðÿò êîîðäèíà-òèòå xM è yM íà òàçè òî÷êà êàòî ôóíêöèè íà k .

â) Äà ñå èçðàçè êàòî ôóíêöèÿ íà k ëèöåòî íà òðèúãúëíèêà, ÷èèòîñòðàíè ñà âúðõó ïðàâèòå: 1) îñòà Ox ; 2) ïðàâàòà ïðåç M , óñïîðåäíà íàîñòà Oy ; 3) äîïèðàòåëíàòà êúì âòîðàòà ïàðàáîëà â òî÷êàòà M .

Çàäà÷à 2. Íåêà R è h ñà ñúîòâåòíî ðàäèóñúò íà îïèñàíàòà îêðú-æíîñò è âèñî÷èíàòà êúì îñíîâàòà íà ðàâíîáåäðåíèÿ òðèúãúëíèê ABC(AC = BC) , à d å ñóìàòà íà ðàçñòîÿíèÿòà îò öåíòúðà íà îïèñàíàòà

îêðúæíîñò äî ñòðàíèòå íà òðèúãúëíèêà. Îçíà÷àâàìå x =h

R.

à) Äà ñå èçðàçè cos γ (γ =<) ACB) ÷ðåç x .

á) Äà ñå èçðàçèd

Rêàòî ôóíêöèÿ íà x .

â) Äà ñå íàìåðÿò úãëèòå íà òðèúãúëíèêà ABC çà îíåçè ñòîéíîñòè íà

x , çà êîèòîd

Rèìà ëîêàëåí åêñòðåìóì.

Çàäà÷à 3. Â êóáà ABCDA1B1C1D1 ñ ðúá å âçåòà òî÷êà M îò

CB1 , çà êîÿòîCM

CB1= k çà k ∈ [ 0 , 1 ] . Ïðåç òåëåñíèÿ äèàãîíàë AC1 è

òî÷êàòà M å ïðåêàðàíà ðàâíèíà γ .à) Äà ñå îïðåäåëè âèäúò íà ñå÷åíèåòî íà êóáà ñ γ è äà ñå íàìåðÿò

îíåçè k , çà êîèòî ñå÷åíèåòî å ðîìá.á) Â ñëó÷àé, ÷å ñå÷åíèåòî å ðîìá, äà ñå íàìåðè ëèöåòî ìó è úãúëúò

ìåæäó ðàâíèíèòå γ è ABCD .â) Äà ñå èçðàçè ëèöåòî íà ñå÷åíèåòî ÷ðåç k .

21



Çàäà÷à 1. Äàäåíà å ôóíêöèÿòà f(x) = tg x cotgx

2+ cotgx tg

x

2.

à) Äà ñå ðåøè óðàâíåíèåòî f(x) =10

3.

á) Äà ñå ïðåñìåòíå ãðàíèöàòà limx→0

f(x).

â) Äà ñå íàìåðè íàé-ãîëÿìîòî ÷èñëî b , çà êîåòî íåðàâåíñòâîòî

f(x) > b å èçïúëíåíî çà âñÿêî x îò èíòåðâàëà(

0 ,π

2

).

Çàäà÷à 2. Â òðèúãúëíèê ñ ëèöå S å âïèñàí ïðàâîúãúëíèê ñ ëè-öå T (âúðõîâåòå íà ïðàâîúãúëíèêà ëåæàò íà ñòðàíèòå íà òðèúãúëíèêà,êàòî íàé-ãîëÿìàòà ñòðàíà íà òðèúãúëíèêà ñúäúðæà ñòðàíà íà ïðàâîú-ãúëíèêà).

à) Äà ñå ïðåñìåòíàò äúëæèíèòå íà ñòðàíèòå íà òðèúãúëíèêà, àêî íàé-ãîëÿìàòà å ðàâíà íà c , âèñî÷èíàòà êúì íåÿ � íà h è T = k 2S (k > 0) .

á) Äà ñå íàìåðè íàé-ãîëÿìàòà ñòîéíîñò íà îòíîøåíèåòî T : S .

Çàäà÷à 3. Äúëæèíàòà íà âñè÷êè ðúáîâå íà ïèðàìèäàòà ABCD åðàâíà íà 12 . Âúðõó ïðàâàòà AD å âçåòà òî÷êàM òàêàâà, ÷å D å ñðåäàòàíà îòñå÷êàòà AM . Âúðõó ðúáà BD å âçåòà òî÷êà N , çà êîÿòî DN = 4 .

à) Äà ñå íàìåðè êîñèíóñúò íà úãúëà ìåæäó ïðàâàòàMN è ìåäèàíàòàAL íà ñòåíàòà ABC .

á) Äà ñå íàìåðè ðàçñòîÿíèåòî ìåæäó ïðàâèòå MN è AL .

22



Çàäà÷à 1. Äàäåíà å óðàâíåíèåòî√a+ x+ 1−

√a (x+ 1) = x+ 1−

√a ,

êúäåòî a ≥ 0 å ðåàëåí ïàðàìåòúð.à) Äà ñå ðåøè óðàâíåíèåòî ïðè a = 1 .á) Äà ñå ðåøè óðàâíåíèåòî ïðè âñÿêà äîïóñòèìà ñòîéíîñò íà a .â) Äà ñå äîêàæå, ÷å ðåøåíèåòî x(a) å ìîíîòîííî ðàñòÿùà ôóíêöèÿ

íà a â èíòåðâàëà [ 1 ,∞ ) è äà ñå íàìåðè lima→∞

x(a) .

Çàäà÷à 2. Äàäåíà å îêðúæíîñò k ñ öåíòúð O è ðàäèóñ R . Ïðåçòî÷êàòàM , âúíøíà çà îêðúæíîñòòà, å ïîñòðîåíà äîïèðàòåëíàMN êúìk ñ äúëæèíà l > 0 . Ïðåç ñúùàòà òî÷êà å ïîñòðîåíà è ïðàâà, êîÿòîïðåñè÷à k â òî÷êèòå P è Q . Íåêà <) PNM = α .

à) Äà ñå èçðàçè ëèöåòî íà òðèúãúëíèêà PQN ÷ðåç l , R è α .á) Àêî l = R äà ñå îïðåäåëÿò ñòîéíîñòèòå íà tgα , çà êîèòî

SPQN = SPMN .â) Àêî l =

√3 R äà ñå îïðåäåëÿò ñòîéíîñòèòå íà sinα , çà êîèòî

òðèúãúëíèêúò PQN å ïðàâîúãúëåí.

Çàäà÷à 3. Äàäåíà å ïðàâèëíà ÷åòèðèúãúëíà ïðåñå÷åíà ïèðàìèäàABCDA1B1C1D1 ñ îêîëåí ðúá, ðàâåí íà l , è úãúë ìåæäó îêîëåí ðúá èòåëåñåí äèàãîíàë ðàâåí íà 30◦ . Èçâåñòíî å, ÷å îñíîâàòà A1B1C1D1 èìà÷åòèðè ïúòè ïî-ìàëêî ëèöå îò îñíîâàòà ABCD .

à) Äà ñå íàìåðè îáåìúò íà ïèðàìèäàòà.á) Äà ñå îïðåäåëè ìåñòîïîëîæåíèåòî íà öåíòúðà íà îïèñàíàòà îêîëî

ïèðàìèäàòà ñôåðà è äà ñå íàìåðè ðàäèóñúò íà òàçè ñôåðà.â) Äà ñå íàìåðè êîñèíóñúò íà úãúëà ìåæäó îñíîâàòà ABCD è ðàâ-

íèíàòà, ìèíàâàùà ïðåç âúðõà A è ñðåäèòå íà ðúáîâåòå BB1 è C1D1 .

Documents

Университет по архитектура, строителство и геодезия - София - ПО-СТАРИ ТЕМИ (1992 -2004) и НЯКОЛКО П